Los Sistemas de Telecomunicaciones Digitales

Los sistemas decomunicacionesdigitales

Pere Mart i Puig

PID_00185390

CC-BY-SA PID_00185390 Los sistemas de comunicaciones digitales

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ndice

Introduccin............................................................................................... 5

Objetivos....................................................................................................... 8

1. El emisor y el receptor digitales.................................................... 111.1. Elementos de un sistema de comunicaciones digital ................. 111.2. Modelo IQ ................................................................................... 121.3. Conversin analgico-digital (CAD) y digital-analgica

(CDA) ........................................................................................... 171.4. Sobremuestreo, submuestreo y dithering...................................... 251.5. Espectro de la seal digital ......................................................... 321.6. Tcnicas de acceso mltiple ........................................................ 34

2. Subsistemas digitales........................................................................ 382.1. Mezcladores digitales: DDC y DUC ............................................ 382.2. Osciladores controlados numricamente .................................... 412.3. El lazo de seguimiento de fase digital ........................................ 44

3. Modulaciones digitales..................................................................... 503.1. Transmisin digital banda base .................................................. 50

3.1.1. Criterio de Nyquist para la cancelacin de ISI .............. 543.1.2. Filtros conformadores banda base coseno realzado ....... 55

3.2. Transmisin paso banda. Modulaciones ASK, PSK y FSK ............ 573.2.1. Modulaciones ASK ......................................................... 593.2.2. Modulaciones PSK ......................................................... 613.2.3. Modulaciones FSK .......................................................... 63

3.3. Transmisin paso banda. Modulaciones QAM y GMSK ............. 653.3.1. Modulaciones QAM ....................................................... 653.3.2. Modulaciones GMSK ..................................................... 663.3.3. Consideraciones generales ............................................. 69

4. Tecnologas digitales......................................................................... 734.1. Procesadores digitales de seal ................................................... 734.2. Dispositivos de lgica programable ............................................ 764.3. Circuitos integrados de aplicaciones especficas ......................... 794.4. Introduccin a la radio definida por software ............................ 80

Resumen....................................................................................................... 84

Ejercicios de autoevaluacin.................................................................. 85


Solucionario................................................................................................ 87

Glosario........................................................................................................ 91

Bibliografa................................................................................................. 96

CC-BY-SA PID_00185390 5 Los sistemas de comunicaciones digitales

Introduccin

La diferencia fundamental entre las comunicaciones digitales y las analgicases que en las segundas el nmero de posibles formas de onda por transmitires infinito mientras que en una comunicacin digital el emisor solo tiene a sudisposicin un conjunto finito y discreto de formas de onda que debe hacercorresponder con los bits por transmitir. Es importante resaltar que en el con-texto de las comunicaciones digitales el proceso de la comunicacin se efectaindependientemente del tipo de informacin que se enva.

Fue Claude Elwood Shannon quien, en la dcada de los cuarenta del siglo XX,se dio cuenta de que la transmisin de la informacin se poda descomponeren dos partes que pueden ser tratadas de manera independiente sin prdidaterica de prestaciones. Shannon observ que la primera parte del problemaconsiste en encontrar la mejor manera de representar la secuencia binaria. Estaparte se conoce con el nombre de codificacin de fuente. La segunda parte delproblema, en cambio, consiste en buscar la manera ms eficiente de transmitiresta secuencia binaria por el canal. La codificacin de la seal implicada enesta segunda parte se conoce con el nombre de codificacin de canal y dependedel medio por el que se va a transmitir la seal. Hoy en da Shannon estconsiderado el padre de la teora de la informacin, y en cierto modo, de lascomunicaciones modernas.

C. E. Shannon public en 1948 un trabajo en el Bell System Technical Journal,en el que se relacionaba la capacidad de informacin C de un canal de comu-nicaciones medida en bits por segundo (bps) con su ancho de banda B (Hz) yla relacin de potencias entre la seal y el ruido (S/N), magnitud adimensionalque se conoce con el nombre de relacin seal-ruido.

La relacin matemtica que estableci se conoce con el nombre de lmite de lacapacidad de informacin de Shannon. A saber:

3.1

Vemos a partir de la frmula 1 que un canal de telefona de 2,7 kHz, con unarelacin de potencias entre la seal y el ruido de 1.000 (30 dB), puede llegara lograr una capacidad mxima de 26,9 kbps.


Para lograr cotas que se aproximen mucho a los lmites establecidos por Shan-non hay que utilizar, junto con los esquemas de modulacin, unos algoritmosde codificacin de fuente y de canal eficientes. Cuando la relacin seal-ruidodel canal es suficientemente alta, y por lo tanto, disponemos de una capacidadelevada, sta podr ser explotada utilizando esquemas de modulacin compli-cados. La relacin mostrada en la ecuacin 3.2 relaciona el nmero de puntosde una constelacin con la capacidad y el ancho de banda del canal.

3.2

donde M es el nmero de puntos de la constelacin empleada, es decir, M = 2b,en que b es el nmero de bits que llevar cada smbolo. A lo largo del mduloexpondremos diferentes esquemas de modulacin.

Las comunicaciones digitales proporcionan un conjunto de ventajas respec-to a las comunicaciones analgicas. Los receptores digitales, gracias a su ma-yor sensibilidad, pueden trabajar con niveles de seal-ruido ms bajos que losanalgicos. Ni que decir tiene que a veces la misma naturaleza digital de lainformacin, como por ejemplo un fichero de texto, se ajusta de entrada alas tcnicas de comunicacin digital, y por tanto, una alternativa analgica esms difcil. Sin embargo, es la naturaleza adversa del canal lo que a veces haceaconsejable la utilizacin de comunicaciones digitales.

Gracias al formato digital es posible utilizar tcnicas de procesamiento de se-al que pueden proporcionar nuevas funcionalidades. Es evidente que el for-mato digital permite aplicar sobre las seales ciertas operaciones que en elcaso analgico no estn resueltas de manera satisfactoria, como ocurre, porejemplo, con las tcnicas de criptografa, que permiten aadir privacidad ala comunicacin. Adems, los sistemas digitales permiten realizar fcilmenteoperaciones de multiplexacin temporal o multiplexacin por cdigo y tam-bin tareas de encaminamiento de las seales que resultaran extremamentecomplicadas en sistemas analgicos. Por otra parte, una de las ventajas msgrandes de las tecnologas digitales respecto a las analgicas se conoce comoefecto regenerativo. En enlaces a grandes distancias la fuerte atenuacin queexperimentan las seales requiere la incorporacin de dispositivos que deno-minamos repetidores cuya funcin es captar, amplificar y retransmitir la seal.El inconveniente de los repetidores es que no solamente amplifican la sealsino tambin el ruido, con lo que al final de una cadena con muchos repeti-dores, la calidad de la seal en el extremo del receptor puede llegar a ser muypobre. Utilizando comunicaciones digitales es posible el uso de repetidores re-generativos, esto es, que reconstruyen la seal antes de retransmitirla. En estecaso, si los enlaces tienen cierta calidad, la reconstruccin se puede llevar acabo prcticamente sin errores y, al final de la cadena, en el receptor, la degra-dacin experimentada por la seal puede ser prcticamente inapreciable.

Constelacin

Una constelacin es una repre-sentacin geomtrica de la se-al utilizada en comunicacio-nes de datos modulados. Losejes forman unas bases sobrelas cuales se representan lossmbolos transmitidos; la sepa-racin entre los puntos de laconstelacin est relacionadacon el umbral a partir del cualse decide cul ha sido el sm-bolo recibido de entre todoslos posibles.


La contrapartida es que, para un buen funcionamiento de los equipos de co-municaciones digitales, resulta necesaria una cuidadosa sincronizacin de lasreferencias temporales y a menudo frecuenciales entre el emisor y el receptor,con lo cual los equipos necesitan circuitos adicionales que realicen estas fun-ciones.

Un detalle que debe destacarse es que, hasta hace unos aos, se pensaba quelos sistemas digitales necesitaban un ancho de banda mayor para poder trans-mitir determinadas seales con un nivel de calidad similar. Sin embargo, ac-tualmente se ha conseguido desarrollar algoritmos de codificacin de fuentetan eficientes que se ha invertido la situacin, y es posible enviar una comuni-cacin equivalente de manera digital con solo una fraccin del ancho de ban-da necesario para una modulacin analgica. Ni que decir tiene, sin embargo,que la ejecucin de estos algoritmos de codificacin de fuente (y decodifica-cin) requiere una elevada potencia de clculo que encarece el coste de losterminales. El coste de los convertidores analgico-digital y digital-analgicotambin contribuye a incrementar el coste. Solo gracias al adelanto especta-cular en el campo de los circuitos integrados se ha podido reducir el coste, ala vez que se ha hecho posible fabricar terminales de altas prestaciones que,adems, son de dimensiones muy reducidas. Insistimos, sin embargo, en quetodas estas ventajas que proporcionan los sistemas de comunicaciones digita-les en relacin con los analgicos, comportan un incremento de complejidaden los equipos tanto en trminos de hardware como de software.

Insistiendo en este segundo aspecto, es importante saber que un terminal decomunicaciones digital moderno tiene una gran cantidad de software o micro-programas (firmware). De hecho, las tendencias actuales apuntan al desarrollode terminales cada vez ms definidos por el software. De este modo, los equi-pos de comunicaciones pueden ser actualizados automticamente para incor-porar pequeas mejoras, nuevas versiones del estndar que utilizan o, incluso,dependiendo del uso del terminal, ser capaces de funcionar con ms de un es-tndar. Hoy en da resulta evidente que las tcnicas de comunicacin digitalespueden proporcionar mucha ms flexibilidad que en el caso analgico.


Objetivos

Este mdulo quiere proporcionar una visin amplia de los sistemas de comu-nicaciones digitales. Hoy en da, cuando los sistemas de comunicaciones tra-bajan con frecuencias elevadas se hace necesario implementar algunas de lasetapas de estos equipos de manera analgica; sin embargo, gracias a las mejorasde los circuitos convertidores de analgico a digital (AD) y de digital a anal-gico (DA) se consigue la representacin discreta de la seal en una frecuenciacada vez ms elevada, de forma que en muchos casos se obtiene esta repre-sentacin a la frecuencia intermedia o intermediate frequency (FI). Mayoritaria-mente, estos sistemas son paso banda y trabajan en una determinada banda defrecuencias, que es limitada. En la gran mayora de los casos, adems, el anchode banda utilizado se puede considerar muy estrecho si lo comparamos conel valor de la frecuencia central del canal. Esta propiedad tiene implicacionesimportantes, puesto que podemos obtener representaciones equivalentes pa-so bajo de las seales de comunicaciones que preservan toda la informacin.La caracterstica de estas representaciones de las seales es que son complejasy, lo ms importante, pueden ser procesadas por equipos digitales, micropro-cesadores, procesadores digitales de seal, dispositivos de lgica programable(FPGA) o circuitos integrados de propsito especfico.

Para conseguir el objetivo general presentado, los estudiantes tenis que al-canzar los objetivos particulares siguientes:

1. Adquirir una visin introductoria de los sistemas de comunicaciones digi-tales. Para eso proporcionaremos las representaciones paso bajo de estasseales, mostraremos el proceso de digitalizacin y sus implicaciones, ytambin otros temas clave, como la representacin de las seales en el do-minio de la frecuencia.

2. Saber analizar y entender el funcionamiento de los diferentes subsistemasdigitales. Uno de los ms utilizados es el oscilador controlado numrica-mente, que es una parte integrante de otros sistemas, como los mezclado-res digitales o los circuitos de sincronismo, como el lazo de seguimientode fase (PLL) que hemos visto en el mdulo "Subsistemas de radiocomu-nicaciones analgicos", pero ahora en la versin digital.

3. Saber analizar y entender las modulaciones digitales sin memoria. Empe-zaremos por las ms bsicas, que portan la informacin en la amplitud, lafase o la frecuencia, y despus expondremos las modulaciones que combi-nan magnitudes para este fin, como por ejemplo QAM. Aqu explicaremostambin las modulaciones GMSK, ampliamente utilizadas en la prctica,


puesto que forman parte de estndares que han resultado ser muy impor-tantes, como es el caso del GSM o, en menor medida, el DECT.

4. Conocer y entender las diferentes tecnologas digitales utilizadas en la ac-tualidad, y tambin sus caractersticas principales, y proporcionar una ten-dencia. A la vez presentaremos una lnea de investigacin, conocida con elnombre de radio definida por software o software defined radio (SDR), segnla cual el software va adquiriendo ms protagonismo al ser ejecutado sobrearquitecturas de hardware que deberan ser multifuncionales y ajustarse alas funcionalidades determinadas por el cdigo que ejecuten.


1. El emisor y el receptor digitales

En este apartado empezaremos por exponer las diferentes partes de un siste-ma de comunicaciones digital en relacin con sus bloques ms importantes.A continuacin presentaremos una notacin de las seales de comunicacio-nes de banda estrecha segn su equivalente paso bajo especialmente til parautilizarla en los equipos de comunicaciones digitales, puesto que las tareas deprocesamiento de la informacin se hacen en banda base. Completaremos elapartado con una visin de conceptos necesarios sobre el paso del mundo di-gital al mundo analgico en los subapartados 1.3 y 1.4. Acabaremos el aparta-do exponiendo la forma del espectro digital y las nociones bsicas para queun conjunto de usuarios compartan el canal.

1.1. Elementos de un sistema de comunicaciones digital

En este subapartado mostraremos las diferentes partes de un sistema de comu-nicaciones digitales por medio de un diagrama de bloques (figura 1).

Figura 1. Diagrama de bloques simplificado de un sistema de comunicaciones digitales

La figura 1 representa los elementos fundamentales de un sistema de comuni-caciones digitales. A continuacin describiremos sus diferentes bloques.

El primer bloque en la banda del emisor se corresponde con la fuente de infor-macin. La fuente de informacin puede ser, como ya hemos indicado, tantode tipo analgico como digital. En el primer caso podemos tener, por ejemplo,un micrfono y en el segundo, un servidor web. En el caso de que la fuente seade tipo analgico, como por ejemplo una seal de voz, hace falta muestrearla seal para obtener su representacin digital. La funcionalidad del bloquellamado codificador de fuente es representar la informacin de la fuente con lacantidad de bits ms baja posible, lo cual requiere una compresin de la in-formacin. Para efectuar esta tarea el codificador de fuente elimina la redun-dancia presente en la seal de entrada. Cuanto mayor es la redundancia pre-sente en la seal, mayor es el nivel de compresin alcanzable. A la salida del


codificador de fuente disponemos, por lo tanto, de un conjunto de bits querepresentan la informacin original tan reducido como se pueda, puesto quese ha eliminado la informacin repetida.

La operacin siguiente consiste en proteger estos bits resultantes de la com-presin de la seal de la fuente contra los errores originados por el canal. Estaoperacin, realizada por el codificador de canal, consiste en volver a aadirredundancia. En este caso, sin embargo, la redundancia se aade de mane-ra intencionada para combatir los efectos del canal procurando minimizar laprobabilidad de recibir un bit errneo. El tipo de codificacin de canal que seutilice depende de las caractersticas del canal y del nivel de proteccin quese quiera dar a la comunicacin.

El paso siguiente consiste en convertir la secuencia de bits de la salida del co-dificador de canal en un conjunto finito de formas de onda que se ajusten alas caractersticas del canal. Si, por ejemplo, utilizamos un canal limitado enbanda, emplearemos formas de onda que no tengan contenido espectral fue-ra de la banda del canal. En este punto la estrategia consiste en disponer de

un nmero N = 2b de formas de onda diferentes, de tal manera que, una vezdistorsionadas por el canal, sean todava diferenciables en el receptor. Obser-vemos que enviar una de las N formas de onda disponibles equivale a enviarun nmero b de bits. Esta funcin, la ejerce el modulador. Aqu se acaban losmdulos del emisor.

En el lado del receptor se encuentran bloques que realizan las funciones inver-sas. Encontramos el demodulador digital, cuya funcin es decidir qu formade onda se enva en cada instante y, por lo tanto, decidir el conjunto de n bitsque se envan. Para eso hay que ejecutar diferentes tareas de sincronismo yde compensacin del canal. A continuacin el decodificador de canal, graciasa la redundancia introducida, permite corregir posibles errores. Finalmente, apartir de la decodificacin de fuente volvemos a establecer el formato de losdatos originales, reconstruyendo imgenes, voz o cualquier tipo de informa-cin en el formato analgico, si procede.

1.2. Modelo IQ

En la prctica, dada la limitacin de recursos espectrales, la mayora de lossistemas de comunicaciones son sistemas paso banda limitados en frecuencia.Adems, en la gran mayora de los casos el ancho del canal tiene un valor pe-queo si lo comparamos con la frecuencia central del canal. Cuando se cum-ple esta condicin hablamos de seales o sistemas de banda estrecha. En estascondiciones la seal paso banda s(t) se puede escribir segn dos seales realespaso bajo tal como se muestra en la ecuacin 3.3.

3.3

Algoritmos decodificacin ydecodificacin

Los algoritmos de codificaciny decodificacin de fuente sonfuertemente dependientes delas caractersticas de la sealde entrada y, por lo tanto, sue-len estar recogidos en textosenfocados a aplicaciones espe-cficas. Tampoco son objetivode la asignatura los algoritmosde codificacin de canal, ni elestudio de las propiedades es-tadsticas de diferentes tiposde canales.


donde es la pulsacin de la frecuencia portadora.

Segn esta expresin se puede construir una seal paso banda de banda estre-cha modulando dos seales reales paso bajo, s1(t) y sQ(t), utilizando dos por-tadoras de la misma frecuencia y desfasadas 90. Como una rotacin angularde 90 se corresponde con un ngulo recto, se suele decir que estas seales es-tn en cuadratura. Siguiendo esta nomenclatura, las seales sI(t) y sQ(t) recibenel nombre de componente en fase y componente en cuadratura, respectivamente.Del mismo modo, la frecuencia portadora suele ser mucho ms grande que elancho de banda de las seales paso bajo sI(t) y sQ(t).

La tecnologa actual de convertidores de analgico a digital, junto con equiposbasados en procesadores digitales de seal (DSP), dispositivos de lgica pro-gramable (FPGA) o circuitos integrados de aplicacin especfica (ASIC), permi-ten procesar seales banda base sin dificultades, pero resulta extremamentecostoso procesar directamente la seal paso banda. Por eso, el hecho de dis-poner de las representaciones banda base de , las seales sI(t) y sQ(t), tieneun altsimo inters prctico.

A continuacin explicaremos esta notacin y proporcionaremos dos represen-taciones ms totalmente equivalentes. El objetivo es facilitar un modelo ma-temtico que permita representar seales reales de banda estrecha y, por tanto,presentar un contenido espectral concentrado en una banda en las proximi-dades de esta frecuencia portadora, representada por su pulsacin .

Para ello, primero construimos una seal que contenga solo las frecuenciaspositivas de s(t). Esta seal, en el dominio de la frecuencia, puede ser expresadade la manera siguiente:

3.4

donde S() es la transformada de Fourier de s(t) y u() es la funcin escalnunitario.

El trmino 2 lo utilizamos simplemente para obtener una seal con la mismapotencia que la original, de la que hemos eliminado la mitad del espectro. Laexpresin en el dominio del tiempo, la obtenemos aplicando la transformadainversa de Fourier:

3.5

El smbolo (*) significa convolucin. La seal s+(t) se conoce con el nombre de

seal analtica o tambin preenvolvente de s(t). Observemos que F-1[S()] = s(t).Dado que:


3.6

la seal s+(t) se puede escribir de la manera siguiente:

3.7

A continuacin separamos la parte real y la parte imaginaria de s+(t). Defini-mos:

3.8

donde:

3.9

La seal puede verse como la salida del filtro de respuesta impulsional h(t)cuando la entrada es s(t):

3.10

Este filtro recibe el nombre de transformador de Hilbert. La seal analtica esuna seal paso banda. Para interpretar qu es lo que hace el transformador deHilbert veamos la respuesta frecuencial:

3.11

Observamos que H() = 1 y la respuesta de fase que tiene es () = /2 para > 0 y () = /2 para < 0; por lo tanto, el transformador de Hilbert actasolo sobre la fase de la seal.

Se construye una seal paso bajo (s1(t)) haciendo una traslacin de frecuenciascon objeto de centrar el espectro de S+() en el entorno del origen, de formaque se obtiene:

3.12

o de manera equivalente en el dominio del tiempo:

3.13

Transformador de Hilbert

Un transformador de Hilbert sepuede hacer digitalmente conun filtro de respuesta impulsio-nal finita (FIR).


que es lo mismo que:

3.14

La seal s1(t) es en general compleja, y tiene el contenido frecuencial en ban-da base. Denominamos a s1(t) equivalente paso bajo de s(t). Dado que es unaseal compleja lo podemos escribir en trminos de su parte real y su parteimaginaria:

3.15

donde sI(t) y sQ(t) son, respectivamente, los componentes en fase y en cuadra-tura que aparecen en la ecuacin 3.3.

De 3.14 y 3.15 establecemos:

3.16

Y a partir de la frmula de Euler (ejx = cosx + jsenx), obtener la expresin 3.17es directo.

3.17

3.18

donde, en colores, aparece la relacin presentada al principio del apartado enla ecuacin 3.3.

Otra representacin totalmente equivalente de s(t), obtenida directamente de(3.16), es la siguiente.

3.19

Finalmente, la tercera representacin posible de la seal paso banda se obtienede representar la seal compleja sl(t) que aparece en 3.15 en mdulo y fase.Esto es:

3.20

donde el mdulo a(t) es:


3.21

y la fase (t):

3.22

Por lo tanto, la tercera representacin toma la forma siguiente:

3.23

donde a(t) se denomina envolvente de s(t), y (t) se denomina fase de s(t).

Utilizaremos indistintamente cualquiera de las tres notaciones equivalentes.

Figura 2. Espectro de una seal de banda estrecha (arriba); espectro de la seal analtica(centro); y espectro del equivalente paso bajo (abajo)

Actividad 1

Tenemos que m(t) es la seal moduladora. Comprobad que las modulaciones de amplitud(AM) de doble banda lateral sin portadora (DSB-SC), de fase (PM), de frecuencia (FM) yde amplitud en banda lateral nica (SSB-AM-SC) pueden expresarse en trminos de sucomponente en fase y en cuadratura, tal como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1. Componentes en fase y en cuadratura de cinco modulaciones analgicas diferentes

Tipo de mo-dulacin

Componen-te en fase: sI(t)

Componente en cuadratura: sQ(t)

AM , 0

DSB-SC 0

PM

FM

Dp es la constante de desviacin de fase (rad/V) y Df, la constante de desviacin de frecuencia (rad/Vs). El signo superioren SSB-AM-SC selecciona la banda lateral superior y el signo inferior, la banda lateral inferior.


Tipo de mo-dulacin

Componen-te en fase: sI(t)

Componente en cuadratura: sQ(t)

SSB-AM-SC

Dp es la constante de desviacin de fase (rad/V) y Df, la constante de desviacin de frecuencia (rad/Vs). El signo superioren SSB-AM-SC selecciona la banda lateral superior y el signo inferior, la banda lateral inferior.

1.3. Conversin analgico-digital (CAD) y digital-analgica(CDA)

Como hemos ido comentando, en los sistemas de comunicacin digitales, elprocesamiento banda base de las seales se hace mediante dispositivos elec-trnicos del tipo procesador digital de seal (DSP), dispositivos de lgica pro-gramable (FPGA) o circuitos integrados diseados para aplicaciones especficas(ASIC). Estos dispositivos solo pueden trabajar con seales discretas, y por esose muestrea la seal, se trabaja en este dominio discreto y, a menudo, una vezacabado el procesamiento se vuelve a construir una seal temporal. El paso deldominio analgico al discreto se hace con los convertidores AD, y el regresodel mundo discreto al mundo analgico, con los convertidores DA.

Un convertidor AD es un dispositivo electrnico que convierte unamagnitud continua en un ritmo temporal determinado. La magnitudde entrada suele ser una magnitud analgica y la salida es un nmerodigital, a menudo proporcional a dicha entrada. Este proceso se deno-mina digitalizacin.

La salida digital puede venir codificada de diferentes maneras. Normalmen-te aparece como el complemento a 2 del nmero binario proporcional a laentrada, aunque hay otras posibilidades. Se podra emplear, por ejemplo, uncdigo de Gray.

Como las seales de comunicaciones son variantes en el tiempo, el resulta-do del muestreo de estas seales est cuantificado tanto en tiempos como enamplitud. As pues, la digitalizacin consiste bsicamente en tomar medidasperidicas de la amplitud de una seal, redondear los valores a un conjuntofinito de niveles preestablecidos y registrarlos en un formato binario en unamemoria o cualquier otro tipo de soporte.

La resolucin del convertidor nos indica el nmero de valores discretos quepuede producir este convertidor en el margen de valores analgicos que puedetomar la seal de entrada. Dado que los valores son almacenados en forma-to binario, la resolucin se expresa normalmente en bits. En consecuencia, elnmero de valores discretos disponibles, tambin denominados niveles, sueleser una potencia de dos. A veces la resolucin tambin se puede definir elc-

ADC

La conversin AD tambin esconocida, en ingls, por la si-gla ADC (analog to digital con-verter).


tricamente; en este caso se expresa en voltios, y es el cambio mnimo en elvoltaje de entrada que garantiza un cambio en el cdigo de salida. Este valorse corresponde con el paso de cuantificacin .

Ejemplo 1

Un CAD con una resolucin de 8 bits puede codificar una entrada analgica a una digitalde 256 niveles diferentes, puesto que 28 = 256. Luego, los valores pueden representar elmargen de 0 a 255 (siguiendo un formato entero sin signo) o el margen de 128 a 127(siguiendo un formato entero con signo).

Ejemplo 2

En la figura 3 representamos la caracterizacin de un convertidor uniforme de b = 3 bits.Con 3 bits solo se pueden representar 23 = 8 niveles diferentes. es el paso de cuantifica-cin. Segn este esquema la seal de entrada alterna x(n) tiene que ajustarse a la entradadel convertidor. Esto significa que, si los valores de entrada del convertidor estn com-prendidos entre Xmax y +Xmax, hay que ajustar los niveles de la seal x(n) de forma quex(n) Xmax. De este modo la variacin mxima de la tensin de entrada es 2Xmax, querepresentamos con 2b niveles de valor . Tenemos, por lo tanto, la relacin 2Xmax = 2b,de forma que el paso de cuantificacin en voltios viene dado por la ecuacin 3.24.

3.24

Figura 3. Representacin de un posible esquema de cuantificacin de ocho niveles (3 bits)

La seal x(n) de entrada toma valores en el margen 4 (= Xmax) a 4 (= + Xmax). La seal de salida solo puedetomar ocho valores diferentes

En la misma figura 3 vemos que los niveles de x(n) comprendidos en el margen de valoresque va de 0 a son asignados por el nivel de salida /2, que ser codificado, en este caso,con la palabra binaria 100. A su vez, los valores de x(n) comprendidos entre y 2 sonasignados por el nivel de salida 3/2, que ser codificado con 101. Observemos que laseal x(n) de entrada al cuantificador puede tomar cualquier valor en el margen Xmax y+Xmax, pero la seal cuantificada solo tiene 2b niveles posibles.


Para esquemas de cuantificacin del mismo tipo que el representado en la figura 3 se veque la relacin entre la tensin de entrada Vin y el nivel de cuantificacin en la salidasigue la relacin:

3.25

donde la funcin floor(x) devuelve el valor entero inferior ms cercano a x.

Ejemplo 3

En la figura 4 tenemos representado otro esquema vlido para el cuantificador.

Figura 4. Representacin de un segundo esquema de cuantificacin de ocho niveles (3bits)

La seal x(n) de entrada toma valores en el margen 4 (= Xmax) a 4 (= + Xmax). La seal de salida solo puedetomar ocho valores diferentes

En este caso, la entrada y la salida se relacionan segn la expresin:

3.26

En los dos casos de los ejemplos 2 y 3, una vez establecido el nivel de cuanti-ficacin, est el proceso de codificacin, que consiste en asignar una palabrabinaria a cada nivel. Por ejemplo, se puede utilizar una codificacin comple-mento a 2 para representar un formato con signo.

Otro parmetro relevante en los convertidores es el tiempo de muestreo, pues-to que es necesario definir previamente el ritmo al que se tomarn las mues-tras de la seal analgica. El inverso del tiempo de muestreo se conoce comofrecuencia de muestreo. Como sabemos, para seales continuas, paso bajo ylimitadas en banda, la seal original se puede reconstruir de manera exactaa partir de valores discretos utilizando una frmula de interpolacin. En au-sencia de ruido, la precisin de la seal recuperada solo est limitada por el


error de cuantificacin (producido en el convertidor debido al nmero de ni-veles finitos de que disponemos). De acuerdo con el teorema de muestreo deShannon-Nyquist, esta recuperacin es posible si la frecuencia de muestreo esmayor que el doble de la componente frecuencial mxima de la seal.

En la prctica, el convertidor AD no puede hacer una conversin instan-tnea; el valor de entrada tiene que mantenerse necesariamente cons-tante durante el tiempo que el convertidor necesita para efectuar la con-versin. Este tiempo se denomina tiempo de conversin y es propio decada convertidor.

En los convertidores hay un circuito a la entrada que retiene el valor, en lamayora de los casos mediante el uso de un condensador y un interruptor elec-trnico, que sirve para desconectar el condensador una vez acabada la conver-sin. Este subsistema recibe el nombre de circuito de retencin o hold. El tiempode conversin determina la frecuencia de muestreo mxima del convertidor.

En los CAD, las tres fuentes principales de errores son:

1) los errores de cuantificacin,

2) la distorsin originada cuando los errores de cuantificacin presen-tan adems un patrn regular fenmeno que, como veremos, se puedecombatir con el dithering, y

3) los ruidos de fase originados por pequeas variaciones en el reloj queproporciona los instantes de muestreo.

El error ms importante, que ya hemos comentado, es el de cuantificacin,debido al hecho de disponer de una resolucin finita. Es un fenmeno intrn-seco al proceso de muestreo. Est claro que la magnitud del error de cuantifi-cacin toma el valor mximo de /2. Cuando la amplitud de la seal que semuestrea es de un orden de magnitud superior a , el error de cuantificacinno est correlacionado con la seal y presenta una distribucin uniforme. Eneste caso la seal original x(n) se puede considerar como la seal cuantificada

ms un error de cuantificacin e(n):

3.27

En estas condiciones, siendo E[ ] el operador esperanza, el error de cuantifica-cin e(n) se ve como un ruido con el modelo estadstico siguiente:

3.28


Es decir, e(n) presenta media cero y varianza . La varianza nos da una ideade la dispersin del error en torno a su media (cero, en este caso); entonces,en estas condiciones, se toma como la medidadelapotenciaderuido.e(n) se clasifica estadsticamente como un proceso blanco (desde el punto devista espectral contiene todas las frecuencias) y estacionario en el tiempo. e(n),adems, no est correlacionado con la seal x(n), esto es:

3.29

y est uniformemente distribuido dentro de cada intervalo de cuantificacin,es decir, corresponde una funcin de densidad de probabilidad fe(e), represen-tada grficamente en la figura 5.

3.30

Figura 5. Funcin de densidad deprobabilidad del error de cuantificacin

Esta funcin se corresponde con una distribucinuniforme cuando el nivel de la seal de entrada esconsiderablemente ms grande que .

El segundo tipo de errores, tambin debido a la cuantificacin, se producecuando los errores de cuantificacin dependen de la seal de entrada y ya nose cumple la ecuacin 3.29. Este fenmeno tambin ocurre cuando los nive-les de amplitud de los valores de entrada empiezan a ser del mismo orden demagnitud de . Dado que esta distorsin se crea despus del filtro antialiasing,el error de cuantificacin puede tener los efectos en la banda de inters y creardistorsin. Para que el error de cuantificacin sea independiente de la sealde entrada y combatir la distorsin se aade un ruido intencionado de am-plitud igual a un paso de cuantificacin a la seal de entrada. Esto perjudicaligeramente la relacin seal-ruido, pero reduce de manera muy notable ladistorsin. La tcnica de aadir ruido para combatir la distorsin se denominadithering.

La tercerafuenteimportantedeerrores se debe a las ligeras variaciones deltiempo de muestreo por el hecho de que las referencias que marcan los ins-tantes de la conversin no son suficientemente buenas. Estas variaciones seconocen como ruido de fase o jitter.


Ejercicio 1

Calculad la relacin seal-ruido de cuantificacin del convertidor de 8 bits, cuyo errorde cuantificacin est distribuido uniformemente dentro de cada intervalo de cuantifi-cacin, si las muestras de la seal de entrada presentan una varianza .

Solucin

Como el error est distribuido uniformemente, su funcin de densidad de proba-bilidad fe(e) es la descrita en la ecuacin 3.30 y representada en la figura 5. Cal-culamos la varianza del error directamente de su frmula. Dado que la media delerror es cero, esto es, e = E[e] = 0, tenemos:

3.31

En este caso la desviacin estndar e toma el valor aproximado de 0,289, queen el caso del convertidor de 8 bits representa un 0,113% del margen dinmicoque tiene.

Dada la varianza de la seal que entra en el cuantificador, que vale la relacinseal-ruido de cuantificacin, aplicando la relacin 3.24, toma la forma:

3.32

donde es el nmero de bits y Xmax, el mdulo del valor ms grande representablepor el cuantificador. Si tomamos 10log10( ) en el trmino de la derecha de laecuacin 3.32 y aplicamos las propiedades bsicas de los logaritmos obtenemosla relacin seal-ruido de cuantificacin en dB, a saber:

3.33

Si analizamos el resultado del ejercicio 1, vemos que cada bit del convertidorcontribuye en 6 dB a SNRQ.

El trmino Xmax/x nos da una idea de la distribucin de los valores de la sealen los niveles de cuantificacin; cuanto mayor es este trmino, menor es SNRQ,lo cual nos indica que la distribucin de la seal de entrada, su estadstica,tiene influencia en la relacin seal-ruido.

La varianza de la seal, depende de su funcin de densidad de probabilidad.Hay seales de entrada con funciones de densidad de probabilidad diferentescomo las representadas en la figura 6 que, a pesar de cubrir todo el margendinmico del convertidor, presentan SNRQ diferentes si se muestrean con elmismo convertidor.


Figura 6. Funciones de densidad de probabilidad diferentes para la seal de entrada

En la interpretacin de la ecuacin 3.30 debemos tener en cuenta, antes quenada, que todo lo que hemos comentado solo es vlido si la seal y el ruidono estn correlacionados, lo cual significa que tiene que ser suficientementepequea. Notemos tambin que puede ocurrir que la seal no ocupe todo elmargen de cuantificacin completo o que sobrepase ocasionalmente los valo-res mximos de amplitud del convertidor.

En la prctica, la resolucin de un convertidor se elige segn la relacin se-al-ruido (SNR) que se quiere y se puede conseguir para una seal digital.

Si la funcin de densidad de probabilidad de la seal de entrada es uniformedentro del margen dinmico de trabajo del convertidor (vase la parte izquier-da de la figura 6), la mejor estrategia de cuantificacin es utilizar un paso decuantificacin uniforme, puesto que proporciona la mejor relacin seal-rui-do debida al ruido de cuantificacin. Sin embargo, no siempre es este el ca-so. Muy a menudo la seal tiene ms probabilidades de tomar valores en unaregin determinada dentro del margen de valores de entrada; en este caso esinteresante cuantificar las regiones ms importantes con un nmero mayor debits utilizando un paso de cuantificacin no uniforme. Por ejemplo, una sealde voz tiene una distribucin laplaciana (vase la parte derecha de la figura 6).Ello quiere decir que la regin alrededor del 0 contiene ms informacin quelas regiones con grandes amplitudes. Por eso hay muchos CAD de los sistemasde comunicacin de voz que tienen una relacin logartmica entre entrada ysalida con el fin de aumentar el margen dinmico de los valores representablesy mantienen una buena representacin de las regiones con baja amplitud.

Del conjunto de las leyes logartmicas ms empleadas en este tipo de converti-dores AD destacamos la ley-A y la ley-. Para resolver el problema de muestrearadecuadamente segn la estadstica de la seal de entrada se han desarrolladotcnicas de cuantificacin adaptativa que a grandes rasgos se basan en adaptarlas caractersticas del cuantificador a las variaciones de amplitud de la sealde entrada. Estas tcnicas fundamentadas en el procesamiento digital de sealincluyen, entre otras, estrategias de cuantificacin diferencial y prediccin deseal.

Ejercicio 2

Calculad la relacin seal-ruido de cuantificacin del cuantificador uniforme segn losbits b cuando la densidad de probabilidad de la seal de entrada tambin es uniformeentre Xmax y +Xmax.

Fuentes de error

Algunas otras fuentes de erroren los convertidores son loserrores de no-linealidad, debi-dos principalmente a imper-fecciones de fabricacin y quepueden ser mitigados en unproceso de calibracin.


Solucin

De la teora (ecuacin 3.24), junto con lo que hemos presentado en el ejercicio1 (ecuacin 3.32), hemos visto que a un cuantificador en el que el error estdistribuido uniformemente corresponde una SNRQ que vale:

3.33

donde se ha utilizado la relacin 2Xmax = 2b y el hecho de que la media delerror de cuantificacin sea cero (e = 0) para calcular la varianza del ruido decuantificacin uniforme segn el nmero de bits (aplicamos ecuacin 3.31).

3.33

Para calcular la varianza de la seal distribuida uniformemente entre Xmax y+Xmax hacemos la misma operacin anterior, en la que tambin utilizamos el he-cho de que x = 0:

3.33

de forma que, sustituyendo, tenemos SNRQ = 22b, o expresado de otro modo, SNRQ= 20blog102 en dB.

La mayora de los CAD comercialmente disponibles hoy en da trabajan en unmargen de 6 a 24 bits de resolucin y pueden llegar a frecuencias de muestreode megamuestras por segundo. El error en su salida suele estar entre 0,5 y1,5 veces el paso de cuantificacin .

Muy brevemente, por lo que respecta a la tecnologa de CAD ha de saberse quela hay de muchos tipos: de conversin directa o tipo flash, de aproximacionessucesivas o tipo Wilkinson, que se basan en la comparacin con una rampa,basados en un integrador o en codificadores delta, con estructura pipeline oconvertidores sigma-delta.


Finalmente, un convertidor digital-analgico o digital to analog converter (CDA)convierte una serie de nmeros de precisin finita, en general descritos en unformato binario de punto fijo, en una cantidad fsica concreta variante en eltiempo, como es un nivel de tensin. Algunos CDA convierten la serie de n-meros en un tren de impulsos de amplitudes proporcionales a estos, que esposteriormente filtrado por un determinado filtro reconstructor con el fin deobtener la seal de salida. Hay otros mtodos que generan impulsos modula-dos en amplitud que tambin son filtrados con tcnicas similares. Los conver-tidores digitales-analgicos son interfaces entre el mundo digital y el mundoreal analgico. Como ya hemos ido exponiendo, aunque las seales muestrea-das cumplan el criterio de Shannon-Nyquist y se utilice un filtro reconstructorideal, la reconstruccin perfecta no es posible debido a los errores de cuanti-ficacin.

1.4. Sobremuestreo, submuestreo y dithering

En la fase de muestreo se toman muestras de la amplitud de una seal analgi-ca a un ritmo temporal constante, la frecuencia de muestreo, que determina elnmero de muestras que se toman en un intervalo de tiempo. La representa-cin correcta de las seales de banda limitada pasa por muestrearlas utilizandouna frecuencia de muestreo por encima del doble de la frecuencia mxima dela seal (Nyquist). Dado que el procesamiento banda base se hace digitalmen-te, es interesante relacionar, aunque sea de manera intuitiva, el espectro de laseal analgica con el de la seal discreta y tambin los efectos que tiene eltiempo de muestreo sobre estos espectros.

Para hacernos una idea, consideremos la seal paso bajo x(t), en el dominiodel tiempo, al que corresponde un espectro de frecuencia X(), el cual es nulopara > W (donde W es el ancho de banda del espectro positivo, y es, por lotanto, una seal de banda limitada). Consideremos ahora un tren infinito dedeltas sd(t) equiespaciadas temporalmente el tiempo de muestreo Ts:

3.34

El producto de x(t) y sd(t) es una seal xd(t), todava analgica, formada porun tren de deltas, en la que el valor de las amplitudes se corresponde con losvalores de las muestras de x(t):

3.35

Para observar el espectro de xd(t), primero hay que ver la transformada de Fou-rier de sd(t). Recordemos:

3.36

Ahorro de patillas

El hecho de que un circuito in-tegrado tenga muchas patillaslo encarece considerablemen-te porque el encapsulado tie-ne que ser ms grande, y cadapatilla tiene que estar conec-tada al silicio del circuito inte-grado. Para ahorrar patillas, escomn que el CAD/CDA se co-munique con el microcontrola-dor, DSP, FPGA, etc., por me-dio de una interfaz serie. Estoahorra patillas y reduce con-siderablemente sus dimensio-nes.


Tambin sabemos que la transformada del producto de dos funciones en eldominio temporal es la convolucin de los espectros correspondientes en eldominio transformado. Entonces Sd() es el espectro X() repetido y centradoen cada armnico de s, ms un trmino constante s de factor de escala. Estefactor de escala no se considera en el dibujo de la figura 7, en que constatamosque si s 2W no hay encabalgamiento entre espectros. De la observacin dela misma figura deducimos que podemos recuperar la seal x(t) simplementefiltrando xd(t) con un filtro paso bajo que tenga una frecuencia de corte com-prendida entre W y s W. La seal xd(t) puede verse como un paso interme-dio entre la seal analgica x(t) y la representacin discreta x(n) de dicha seal.

Figura 7

En la parte superior, espectro de una seal paso bajo de banda limitada; en la parte inferior, el espectro resultante demultiplicar la seal anterior por un tren de deltas equiespaciadas en el tiempo Ts = 2/s

Con la ayuda de la figura 8 constatamos el parecido entre el espectro de la sealanalgica xd(t) y el espectro de la seal discreta x(n) resultado de muestrearx(t) con un perodo de muestreo Ts. El espectro de la seal discreta tambines peridico en el dominio de la frecuencia discreta . La parte que se utilizapara hacer su descripcin es la no redundante comprendida en la franja de ,a , o equivalentemente, la que va de 0 a 2.

Figura 8

En la parte superior se muestra el espectro de la seal xd(t) analgica; en la parte inferior, el espectro de la seal x(n)


El hecho de no respetar el criterio de Nyquist y muestrear en frecuen-cias inferiores a 2W (submuestreo o undersampling) provoca aliasing eimposibilita la recuperacin de la seal. El aliasing es el efecto que cau-sa que seales continuas diferentes se vuelvan indistinguibles cuandose muestrean digitalmente. Cuando esto sucede, la seal original no sepuede reconstruir de manera unvoca a partir de la secuencia de mues-tras.

El aliasing es fcilmente identificable espectralmente. El espectro de la sealresultado xd(t) presenta aliasing, tal como se ve en la figura 9, y la seal originalya no se puede recuperar a partir de un procedimiento de filtrado.

Figura 9. Representacin grfica del aliasing

En la parte superior se muestra el espectro analgico de x(t); en la parte intermedia, el espectro, tambin analgico, de xd(t)resultante de utilizar un tren de deltas que no respeta el criterio de Nyquist; en la parte inferior, el espectro de la seal x(n)

A continuacin, en la figura 10 se ve la representacin grfica del espectrode la seal discreta resultante de muestrear la seal a frecuencias superiores ala frecuencia de Nyquist, fenmeno que conocemos con el nombre de sobre-muestreo u oversampling.

Figura 10. Efecto del sobremuestreo sobre el espectro de la seal

En el lado izquierdo, espectro de la seal discreta muestreada en la frecuencia de Nyquist fN; en el centro, espectro de la sealmuestreada en 2fN, y a la derecha, en 4fN


En la prctica, conviene que la seal sea muestreada ligeramente por encimade la frecuencia de Nyquist, porque de este modo tenemos una buena repre-sentacin de la seal con un nmero ptimo de muestras. El hecho de dupli-car la frecuencia de muestreo hace que para representar la misma seal se uti-licen el doble de muestras por unidad de tiempo, lo que incrementa el costede procesamiento.

Desde un punto de vista prctico, el sobremuestreo y el submuestreo tieneninters.

Entendemos por sobremuestreo el proceso de muestrear la seal anal-gica en una frecuencia significativamente superior a la frecuencia deNyquist fN = N/(2) (N = 2W). Definimos el factor de sobremuestreo de la manera siguiente:

= S/N = fS/fN,

donde fs = S/2 es la frecuencia de muestreo.

Hay tres razones prcticas que pueden justificar la utilizacin del sobremues-treo. La ms importante, relacionada con las comunicaciones, hace referenciaal diseo de los filtros. La realizacin de filtros analgicos con banda de cortemuy abrupta es difcil. Sobremuestrear la seal permite relajar las especifica-ciones del filtro, simplificarlo y, por lo tanto, abaratarlo. Como hemos visto,sobremuestrear comprime el espectro de la seal en la zona baja del espectro.Esto se hace a costa de un muestreador ms rpido y un filtro que, si es digital,a pesar de ser menos complicado, tiene que trabajar a frecuencias ms altas.A veces el filtrado se realiza en varias etapas, de forma que una vez que hasido filtrado con un filtro sencillo, la seal se diezma, es decir, se baja haciala frecuencia de muestreo y se vuelve a filtrar con un filtro ms selectivo quetrabaja en una frecuencia ms baja.

Ejemplo 4

Una de las razones de aplicar sobremuestreo es la de simplificar el filtro de antialiasing.Suponiendo una seal de 300 Hz, el criterio de Nyquist nos dice que hace falta mues-trearla por encima de 600 Hz. Una frecuencia de muestreo exactamente de 600 Hz im-plica no utilizar sobremuestreo ( = 1). No hay margen para un filtro antialiasing digital,que tendra que tener una banda de transicin de 0 Hz. Si muestreamos esta seal a unafrecuencia tres veces superior ( = 3), implica muestrearla a 1.800 Hz. Este hecho nosproporciona una banda de transicin del filtro antialiasing de (fs W) W = 1.200 Hz.

La segunda utilidad prctica del sobremuestreo tiene por objetivo la obtencinde ms resolucin en la conversin analgica-digital cuando el ruido es de tipo

estacionario. El proceso consiste en sobremuestrear en un factor 22b la seal

analgica y calcular la media de estas 22b muestras. El efecto en la seal desalida es equivalente a aumentar en n bits la resolucin del convertidor. Este


proceso a menudo es ms barato que aadir n bits a los convertidores. Estosignifica que para que un CAD de 21 bits funcione con la precisin de 24 bitses preciso sobremuestrear por un factor de 64.

Una tercera aplicacin del sobremuestreo tiene por objetivo la reduccin delruido que puede tener la seal si esta no est correlacionada con el ruido. Eneste caso, sobremuestrear por un factor N y hacer la media reduce la varianza(potencia de ruido) en un factor 1/N, y la relacin seal-ruido mejora.

En cuanto al submuestreo o undersampling, consiste en muestrear pordebajo de la frecuencia de Nyquist.

En el mbito de las comunicaciones encontramos una aplicacin relevante delsubmuestreo en las seales paso banda. En este caso, muestrear adecuadamen-te por debajo de la frecuencia de Nyquist permite recuperar la seal original.Esta tcnica se utiliza para obtener directamente la seal discreta banda base dela seal analgica a frecuencia intermedia o direct IF-to-digital-conversion (FI).Para entender este concepto recordemos que a las seales reales correspondeuna transformada de Fourier con simetra par en torno a cero; la banda nega-tiva del espectro es una imagen especular del espectro de frecuencia positiva.El concepto siguiente que tenemos que recordar es que, al multiplicar la sealpor el tren de deltas, al muestrear, replicamos el contenido espectral (tanto elde las frecuencias positivas como el de las negativas) en valores mltiples dela frecuencia de muestreo.

Para seales banda base con lmite inferior fL y lmite superior fH, la condicinpara un (sub)muestreo correcto se reduce a hacer que los desplazamientos a losmltiplos enteros de la frecuencia de muestreo fS, tanto para la banda positiva(que va de fL a fH) como para la banda negativa (que va de fH a fL), no se su-perpongan. Considerando un nmero natural n ms grande que 1 (n > 1), estacondicin se reduce a utilizar una frecuencia de muestreo fS en los mrgenes:

3.37

cuando n cumple:

3.38


Cuanto mayor es n, menor puede ser la frecuencia de muestreo fs. Dependien-do de la frecuencia de muestreo que se escoja, las rplicas ms cercanas enla frecuencia cero pueden resultar invertidas (el componente de frecuenciaspositivas en la banda de las frecuencias negativas y a la inversa). Si ocurre estose dice que el proceso de muestreo ha generado una inversin de espectro.

Es importante que al submuestrear una seal del mundo real, el circuito demuestreo tenga el ancho de banda suficiente para poder muestrear la sealoriginal y cumpla, as, el criterio de Nyquist. Esto quiere decir que en el ejem-plo 4 el CAD tiene que ser capaz de (es decir, lo bastante rpido para) capturaruna seal con una frecuencia mxima de 108 MHz. A pesar de que se hagafuncionar en 44 MHz, el CAD, segn el criterio de Nyquist, tiene que poderfuncionar como mnimo en 216 MHz. Notemos tambin que el filtro antialia-sing tiene que ser paso banda (no servira un filtro antialiasing paso bajo).

Ejemplo 5

Es bien sabido que en Estados Unidos la radio FM opera en la banda de frecuencias queva de fL = 88 MHz a fH = 108 MHz. El ancho de banda de FM es, por lo tanto, de 20 MHz.Segn 3.37 y 3.38 tenemos que, para hacer submuestreo, n ha de cumplir 1 n 5,4.Segn esto, n puede ser 1, 2, 3, 4 o 5. El valor ms grande es n = 5, que proporciona lafrecuencia de muestreo ms baja. Segn la ecuacin 3.37 fs tiene que estar comprendidaentre 43,2 MHz y 44 MHz. Cogiendo fs = 44 MHz, situamos un alias justo en banda base,tal como est representado en la figura 11. Despus recuperamos la seal original de estealias con un filtrado paso bajo.

Figura 11. Representacin de los alias introducidos sobre la seal de FM (EE. UU.) cuando sesubmuestrea en 44 MHz

El dithering es un proceso de adicin de ruido que hay que aadir a cualquierseal que presente una amplitud muy baja o bien un nivel de periodicidad alto,antes del proceso de cuantificacin. La finalidad es descorrelacionar el ruidode cuantificacin con la seal de entrada y as evitar comportamientos nolineales (distorsin), puesto que por el hecho de muestrear se genera un patrnde errores regular en la seal muestreada, y aparece distorsin. Observamoseste efecto en forma de frecuencias espurias en el espectro de frecuencia dela seal.

El dithering tambin es necesario cuando un flujo de datos representados conun nmero de bits determinado pasa a ser representado con menos bits. Eldithering sacrifica la relacin seal-ruido total (SNR) a cambio de impedir quela seal cuantificada pueda mostrar caractersticas propias de una distorsin,es decir, de alejarse del hecho de que el proceso de cuantificacin pueda sermodelado como una seal aleatoria parecida al ruido. La reduccin terica dela relacin seal-ruido total como consecuencia de la adicin correcta de ruidoo dither a la seal analgica de entrada en el convertidor AD es aproximada-

Muestrear la seal de FIdirectamente

Con la mejora de los conver-tidores AD y DA se est impo-niendo la tendencia de mues-trear la seal de FI directamen-te, y as eliminar la etapa de FIy atacar directamente la sealdigital.


mente de 4,77 dB (el equivalente a multiplicar por 3 la potencia del ruido, esdecir, 10log (3) 4,77). As pues, en un cuantificador de 16 bits, por ejemplo,la relacin seal sinusoidal mxima a ruido de cuantificacin (SQNR) es apro-ximadamente de 98,09 dB, pero en la prctica no puede presentar relacionesseal-ruido (SNR) superiores a 93,32 dB si se hace uso del dithering.

En la figura 12 se muestra la funcin de transferencia del proceso de cuantifi-cacin y el error de cuantificacin. El conjunto de valores de entrada, repre-sentados en el eje horizontal, que estn dentro de un determinado nivel (es-caln de cuantificacin), pasan a estar cuantificados con un nico valor desalida, de forma que esta salida, xq(t), solo toma valores discretos. As, para ca-da valor de entrada x(t) se obtiene un valor de salida xq(t) y un error de cuan-tificacin eq(t) que, si se suma al valor de salida, volvemos a obtener el valorde entrada. Observamos que el error es mximo cuando el valor de entrada esequidistante a sus dos niveles de cuantificacin ms cercanos. El error es cerocuando el valor de entrada equivale a un nivel de cuantificacin y, por lo tan-to, coincide con el nivel de salida. La amplitud mxima del error es de medioescaln de cuantificacin ( = escaln o paso de cuantificacin) mientras laseal de entrada se encuentre dentro del margen de cuantificacin.

Figura 12. Representacin de la funcin de transferencia de un cuantificador

En el eje de ordenadas estn los niveles de cuantificacin. Para cada x(t), xq(t) representa la seal de cuantificacin yeq(t), el error introducido.

En la figura 13 se muestra una seal sinusoidal x(t), la seal cuantificada xq(t)y el error de cuantificacin eq(t). Es un caso particular en el que se genera unpatrn de errores que crear una distorsin evitable si se introduce dithering.


Figura 13. Representacin de la seal sinusoidal x(t), la seal cuantificada xq(t) y el error decuantificacin eq(t)

Con el objetivo de aleatorizar el error de cuantificacin, a la seal de entradase le aade el ruido analgico intencionado a la entrada de los convertidoresAD. La densidad de probabilidad de este ruido puede ser de tipo uniforme obien presentar una funcin de distribucin triangular como la representadaen la figura 14.

Figura 14. Funcin densidad de probabilidad deun ruido o dither triangular con varianza 2/6 ydesviacin estndar = 0,41

1.5. Espectro de la seal digital

Consideremos la transformada de Fourier de la seal digital banda base s(t)representable por medio de sus componentes en fase y en cuadratura o bienpor medio del equivalente paso bajo, expresado ahora en trminos de la fre-cuencia fc y no de la pulsacin:

3.39


La densidad espectral de potencia de S(f) se obtiene de la transformada deFourier de la funcin de autocorrelacin de s(t). S(f) se puede relacionar con ladensidad espectral de potencia del equivalente paso bajo Sl(f) segn la relacinpresentada en la ecuacin 3.40 (Proakis, 1995).

3.40

Dado que:

3.41

S(f) tambin se puede relacionar con las densidades espectrales de los compo-nentes en fase y en cuadratura SI(f) y SQ(f) segundos:

3.42

A grandes rasgos, a pesar de que no lo vamos a justificar matemticamente,la expresin de Sl(f), y tambin de SI(f) y SQ(f), se obtiene partiendo de la basede que la secuencia de smbolos enviados constituyen un proceso estaciona-rio que presenta una media y una funcin de autocorrelacin peridicas enel tiempo formando lo que se conoce como proceso cicloestacionario. En estascondiciones, los smbolos complejos sm enviados son equiprobables, estadsti-camente independientes y no estn correlacionados, y por lo tanto cumplen:

3.43

cuando la media s es diferente de cero y:

3.44

cuando s vale cero.

Entonces Sl(f) toma la forma:

3.45

donde 1/T es la velocidad de sealizacin, y s la varianza y la media de lossmbolos enviados y G(f) las caractersticas espectrales del impulso utilizado enla modulacin digital. Dependiendo del tipo de modulacin empleada, estosvalores varan.

Nota

El superndice (*) de las ecua-ciones 43 y 44 significa la ope-racin conjugacin compleja.


Es importante notar que la densidad espectral de potencia del equiva-lente paso bajo presenta dos trminos. El primero depende nicamentede las caractersticas espectrales del impulso conformador g(t) y la formade este impulso puede ser controlada por diseo. El segundo trminose corresponde con un conjunto de frecuencias discretas equiespaciadas1/T. Cada uno de estos componentes tiene una potencia proporcional

a G(f)2 cuando es evaluado en f = m/T.

Es interesante observar que los componentes de frecuencia discretos desapa-recen cuando la media de los smbolos es cero, lo cual se suele buscar en lamayora de modulaciones de que trataremos. Para satisfacer esta condicin lossmbolos, por un lado, tienen que ser equiprobables y, por el otro, han de estardistribuidos de manera simtrica en el plano complejo.

Ejemplo 5

Cul es la influencia en el espectro de la seal si el impulso conformador g(t) es unimpulso rectangular de amplitud A definido en el eje temporal entre 0 y T?

Solucin

Tenemos que la transformada de g(t) es:

que presenta ceros en los puntos en los que la funcin sen( ) se hace cero (exceptuandoel origen en que G(f), despus de resolver la indeterminacin, vemos que toma el valorAT). Esto pasa para fT = n, cuando n = 1, 2, 3..., es decir, cada mltiplo de 1/T.Tenemos, por lo tanto:

De forma que, de la expresin 3.45, tenemos:

donde observamos que del tren de deltas del segundo trmino de la ecuacin 3.45, lanica que no viene multiplicada por cero es la del origen. Recordando que esta funcines par, tenemos finalmente, a partir de la ecuacin 3.40:

1.6. Tcnicas de acceso mltiple

Las tcnicas de acceso mltiple son las maneras que tienen los usuarios paracompartir los recursos espectrales. Bsicamente hay tres tcnicas que se pue-den combinar entre s:

Acceso mltiple por divisin de frecuencia


Acceso mltiple por divisin de tiempo Acceso mltiple por divisin de cdigo

De manera simple, en un esquema de acceso mltiple por divisin de frecuen-

cia (FDMA1) la seal de cada usuario se transmite en una banda de frecuenciasdiferente, tal como se representa en la figura 15. En el receptor la seal deseadase separa del resto utilizando filtros. Esta tcnica puede ser usada en sealestanto analgicas como digitales.

Figura 15. Representacin del acceso mltiple por divisin de frecuencia (FDMA)

(1)Del ingls, frequency division mul-tiple acces.

En un esquema de acceso mltiple por divisin de tiempo (TDMA2) se esta-blecen intervalos temporales que son ocupados de manera peridica por lasseales de cada usuario, tal como se representa en la figura 16. Esta tcnicanicamente se puede emplear con esquemas de seales digitales.

Figura 16. Representacin del acceso mltiple por divisin de tiempo (TDMA)

(2)Del ingls, time division multipleacces.

En el acceso mltiple por divisin de cdigo (CDMA3) todos los usuarios queacceden al medio utilizan toda la banda espectral disponible durante todo eltiempo. Para distinguir a los usuarios se asigna a cada uno de ellos una secuen-cia, un cdigo diferente que, a pesar de que es peridico, tiene unas propieda-des similares al ruido, y por eso se conocen como secuencias pseudoaleatorias.Estos cdigos presentan una variacin temporal mucho ms rpida que la se-cuencia de informacin, con lo cual el contenido espectral que tienen alcanzauna amplia porcin del espectro, mucho ms all del espectro que ocupa laseal del usuario.

En el lado del emisor (vase la parte izquierda de la figura 17) se multiplica lasecuencia original por el cdigo asignado a cada usuario. El resultado es unaseal que vara a la misma velocidad que la secuencia cdigo. Espectralmente,la operacin que se lleva a cabo es la expansin espectral de la seal original.

(3)Del ingls, code division multipleaccess.


Esta nueva seal, de espectro ensanchado, es la que se enva al medio. El restode usuarios efectan la misma operacin con cdigos diferentes y tambinenvan la misma seal al medio.

Al lado del receptor llega la superposicin de todas las seales, de forma quepara extraer la seal de inters del conjunto recibido, el receptor genera elmismo cdigo por lo tanto, es capaz de sincronizarlo y lo multiplica por elconjunto de la seal recibida, de forma que la seal codificada con el mismocdigo vuelve a adoptar la forma original, tal como se representa en el ladoderecho de la figura 16, y vuelve a concentrar la potencia en una banda estre-cha. Las seales de los otros usuarios, como estn multiplicadas por un cdigoque no es el suyo, mantienen las mismas caractersticas de espectro ensancha-do, con lo cual, desde el punto de vista de la seal de inters, se ven como unnivel de ruido residual. Entonces, la seal deseada se separa con un filtro pasobajo en el que la contribucin de las seales ensanchadas del resto de usuariosse ve como un ruido residual.

Se dice que este tipo de sistemas CDMA est limitado por interferencia, puestoque el nmero mximo de usuarios que puede acomodar depende de la rela-cin seal-ruido mnima con la cual el receptor puede trabajar.

Figura 17. Acceso mltiple por divisin de cdigo (CDMA)

a. Representacin del proceso en el lado del emisor. b. Representacin del proceso en el lado del receptor

En los sistemas de comunicaciones modernos, las tres formas bsicas de accesoal medio pueden aparecer combinadas.


Ms all de la manera como los usuarios comparten el medio, hay quedistinguir de qu manera los usuarios establecen la comunicacin bidi-reccional. La manera como se organizan ambos sentidos de la comuni-cacin, recibe el nombre de dplex. Utilizando los trminos de la tele-fona mvil, la comunicacin del usuario hacia la estacin base recibeel nombre de enlaceascendente, mientras que la comunicacin de laestacin base al mvil recibe el de enlacedescendente.

El dplex por divisin de frecuencia (FDD4) consiste en reservar bandas defrecuencia diferentes para el enlace ascendente y el descendente. El dplex por

divisin de tiempo (TDD5) consiste en repartir el tiempo disponible entre elenlace descendente y el ascendente, acordando, por ejemplo, que se alternarnel uso del canal cada 20 ms. En la figura 18 se representa el dplex de maneragrfica.

Figura 18. Esquemas de dplex bsicos

A la izquierda se presenta el esquema de dplex por divisin de frecuencia y a la derecha, el esquema de dplex por divisin de tiempo

Actividad 2

Haced una indagacin bibliogrfica para determinar qu mtodos de acceso mltiple y dedplex utilizan los estndares CT2, DECT, PHS, IS-54, GSM, IS-95, PDC, UMTS, IMT-2000.Decid tambin cul es la principal regin de utilizacin de cada uno de estos estndares.

(4)Del ingls, frequency division du-plex.

(5)Del ingls, time division duplex.


2. Subsistemas digitales

2.1. Mezcladores digitales: DDC y DUC

Los mezcladores que trabajan con seales digitales son conocidos con las siglas

DDC6 y DUC7. Los DDC y los DUC son elementos clave de muchos receptoresdigitales y en especial de la radio definida por software.

Los DDC convierten una seal paso banda real muestreada previamenteen una seal banda base compleja centrada en la frecuencia cero. En estecaso, adems del desplazamiento del espectro, la seal se diezma paraser representada en una frecuencia de muestreo inferior y procesada demanera mucho ms eficiente, y eliminar as muestras redundantes. Elproceso de diezmado se hace con filtros.

Los DUC efectan el proceso contrario: parten del componente en fasey el componente en cuadratura de una seal banda base y los conviertenen una seal paso banda real. En este caso tambin hay un proceso deinterpolacin de las muestras.

(6)DDC es la abreviatura de digitaldown converter.

(7)DUC es la abreviatura de digitalup converter.

En la figura 19 mostramos el esquema de un DDC. Los elementos bsicos sonun par de multiplicadores, los filtros paso bajo, los diezmadores y el oscilador

controlado numricamente (NCO8), que permite sintetizar un coseno y unseno variables segn un valor numrico. En el esquema de la figura 19 vemosque el NCO permite sintetizar un coseno y un seno variables segn un valornumrico. Por medio de un par de multiplicadores se multiplica directamentela seal paso banda por las seales sinusoidales en fase y en cuadratura conel motivo de desplazar los espectros, y se sita uno de los alias de la seal enla zona de banda base. El filtro paso bajo deja pasar nicamente este alias yelimina el resto de alias de frecuencias superiores. La salida paso bajo de losfiltros es diezmada para que los mdulos que procesan las salidas que vienen acontinuacin puedan trabajar en frecuencias de reloj inferiores, y por lo tanto,con menos muestras. El resultado es el componente en fase y el componenteen cuadratura de la seal.

(8)Del ingls, number controlled os-cillator.


Figura 19. Esquema de un digital down converter (DDC)

El NCO es uno de los componentes crticos del sistema; la seal sinusoidaldigital generada, cuando es mezclada con la seal de entrada, desplaza el es-pectro de la seal a la posicin deseada. Como sabemos, el desplazamientode la seal en el espectro de frecuencias es igual a la frecuencia de las sealessinusoidales. Si la frecuencia de esta seal portadora no es lo bastante precisao esta seal presenta espurios, las prestaciones del circuito decaen.

Bsicamente, un NCO consta de un acumulador de fase y un convertidorfase-amplitud implementado utilizando una memoria ROM que guarda lasmuestras digitales de una seal sinusoidal. Dada la simetra de las funcionessinusoidales, esta tabla se puede reducir a un factor 4 si se guardan solo lasmuestras del primer cuadrante. Esta misma tabla se puede utilizar para gene-rar las seales del seno y el coseno simultneamente si esta memoria admitedos lecturas por ciclo de reloj. Si lo que se busca es mucha precisin, estasmemorias tienen que ser muy grandes. Una alternativa a esta implementacinconsiste en generar el seno y el coseno en cada instante de reloj. Esto se puedellevar a cabo con un algoritmo simple basado en sumas y desplazamientos quepermiten hacer la rotacin de un vector unitario en el plano complejo. Este

algoritmo se denomina computacin digital por rotacin de coordenadas (Cordic9)y es fcil de implementar por hardware. El algoritmo genera simultneamenteel valor del seno y el coseno por rotacin de un vector unitario mediante seriessucesivas de pequeas rotaciones elementales.

La funcin del mezclador consiste en multiplicar la seal de entrada por lasinusoide generada localmente. La implementacin directa utiliza multiplica-dores, uno para el seno y el otro para el coseno. Dependiendo de la tecnologaque se utilice para la implementacin del DDC, esta puede ser la opcin msinteresante. Si se ha utilizado el esquema Cordic en la ltima etapa del NCO,es posible eliminar estos dos multiplicadores utilizando el producto exponen-cial (suma de exponentes) modificando ligeramente el Cordic. Una pequeaventaja de utilizar el Cordic es que se hace rodar realmente un vector en vez demultiplicar por separado sus componentes, y se mejoran as errores de trunca-

(9)Del ingls, coordinate rotation di-gital computer.

Ved tambin

En el subapartado 2.2 de es-te mdulo se estudian algunascaractersticas de los NCO.


miento. En una implementacin sobre FPGA el algoritmo Cordic ocupa apro-ximadamente la misma rea de silicio que el par de multiplicadores (conside-rando en ambos casos entradas del nmero de bits ms grande).

A la salida del multiplicador, la seal tiene que ser filtrada para eliminar laporcin del espectro que contiene la seal de inters. Tpicamente se necesitaun filtro de banda estrecha con una alta capacidad de rechazo fuera de lasbandas de inters. Esto representa un filtro complejo y caro si se hace a lafrecuencia de muestreo de la seal de entrada. Las implementaciones eficientes

utilizan filtros de tasa mltiple10 encadenados de forma que las operacionesde filtrado y diezmado se van combinando en diferentes etapas. En un primerpaso, el filtro realiza un proceso intensivo de diezmado para dejar la sealde salida muestreada a una tasa muy inferior. Para eso se utiliza un filtro debaja complejidad que necesita un clculo muy intensivo. Despus, se limpiala seal utilizando un segundo filtro ms complicado, pero que trabaja a unafrecuencia de reloj bastante inferior. Este filtro todava puede diezmar la sealen un factor 2 o 4. Para efectuar este proceso, normalmente se eligen filtros

de respuesta impulsional finita (FIR11).

Por otro lado, el DUC (esquema presentado en la figura 20) es un circuito di-gital que implementa la conversin de una seal banda base digital complejaa una seal paso banda real. La seal banda base compleja, muestreada a ba-ja frecuencia, se filtra, se convierte y se interpola para obtener una represen-tacin a una frecuencia de muestreo superior antes de ser desplazada en fre-cuencia por la seal del NCO. A menudo, el filtrado de los DUC se efecta porpartes junto con la interpolacin. As, un primer filtro limpia los componentesen fase y en cuadratura de las seales y a continuacin se realiza el procesode interpolacin encadenando consecutivamente filtros de tasa mltiple, deforma que los filtros ms complicados son los que trabajan con un reloj msbajo. Los filtros que trabajan con un reloj elevado tienen que ser tan simplescomo sea posible. El proceso de interpolacin se hace en los mismos filtros.Posteriormente, se multiplica la salida de los filtros por la seal sinusoidal ge-nerada por el NCO para extraer finalmente la seal de salida. La suma conlos signos correspondientes (vase la expresin 3.3) de ambos componentesproporciona la seal de salida.

(10)Del ingls, multe rate.

(11)En ingls, finite impulse respon-se.


Figura 20. Esquema de un digital up converter (DUC)

2.2. Osciladores controlados numricamente

Los osciladores controlados numricamente (NCO) son circuitos total-mente digitales capaces de generar seales sinusoidales con un nivelmuy bajo de espurios.

Los osciladores controlados numricamente son tiles a la hora de generar se-ales sinusoidales de frecuencia variable sin discontinuidades y de fase conti-nua. Encontramos los NCO en PLL digitales, sistemas radar, circuitos modu-ladores y demoduladores digitales (PSK, FSK, etc.) y en los DDC y los DUC.El funcionamiento de un NCO es simple. En la figura 21 vemos su esquemabsico.

Figura 21. Esquema bsico de un NCO

Como se aprecia, un valor de fase (muy preciso) a la entrada del circuito se

acumula en el tiempo. De este modo se dispone de una cuidadosa localizacinde la fase de una sinusoide, que vara de manera continua.

Tal como se aprecia en la figura 21, dividimos los NCO en dos partes:

el acumulador de fase, que aade el valor al valor contenido en un

registro cada clic de reloj, y

el convertidor fase-amplitud, que utiliza la salida del acumulador, que esun valor de fase representado con un determinado nmero de bits, para

Ved tambin

Los DDC y los DUC se estudianen el subapartado 2.1 de estemdulo.


proporcionar un determinado valor de amplitud almacenado normalmen-te en una tabla de memoria.

A cada clic de reloj el acumulador de fase crea un valor de fase que es una

palabra mdulo 2M, la cual se convierte en un valor de amplitud en el bloque

siguiente. En un acumulador mdulo 2M, cuando el valor llega a 2M 1, alincrementar en una unidad su valor, pasa al valor 0. El valor M, el nmero debits con que codificamos la salida del acumulador, proporciona la resolucinde frecuencia del NCO y normalmente es un valor ms grande que el nmero

N de bits necesarios para dirigir las 2N palabras de memoria que implementan

el convertidor fase-amplitud. Si la capacidad de la memoria es de 2N, N < M,la palabra que sale del acumulador de fase se trunca a N bits. La salida de estamemoria es una sinusoide con la frecuencia definida por el incremento de faseque hay a la entrada del circuito.

La relacin entre la fase de entrada y la frecuencia resultante fo de la

sinusoide viene dada por:

3.46

donde M es la precisin con la que trabaja el acumulador, y fclock la frecuenciadel reloj (1/Tclock).

La mnima frecuencia de salida generable se tiene cuando , y se

conoce como frecuencia de resolucin del NCO, a saber:

3.47

El truncamiento de la palabra que representa la fase a la salida del acumuladorno afecta a la precisin de la frecuencia, pero produce un error que vara enel tiempo de manera peridica y es la principal fuente de espurios. Un meca-nismo adicional que contribuye a la generacin de espurios es la longitud depalabra finita, de P bits, que se utiliza en el convertidor fase-amplitud (unidadgeneradora de onda) para representar la amplitud de la sinusoide.

Tpicamente, la pureza espectral de un oscilador se mide por su relacin se-

al-ruido (SNR) y su margen dinmico libre de espurios (SFDR12). El SNR deuna sinusoide sintetizada digitalmente es la relacin entre la potencia de laseal sinusoidal respecto al inevitable error de cuantificacin de su represen-tacin discreta. Incrementando la precisin de la salida, es decir, el nmero

(12)Del ingls, spurious free dynamicrange.


de bits P que utilizamos para representar la amplitud de la sinusoide, se incre-menta el SNR. La ecuacin 3.48 estima el SNR de una sinusoide representadacon una precisin de P bits.

3.48

Por lo tanto, por cada bit adicional a la salida se obtienen 6 dB adicionalesen el SNR.

El SFDR de una seal sinusoidal es la relacin entre la potencia del componentefrecuencial (componente sintetizado) respecto al componente espurio de mspotencia. Los espurios pueden causar productos de intermodulacin y rplicasno deseadas de la seal de inters en el espectro, y dificultar as la recepcinde la seal.

Una tcnica que se utiliza para reducir sustancialmente los espurios origina-dos por el truncamiento de la palabra de la fase, como ya hemos comentado,consiste en aadir ruido intencionado o dither antes del proceso de trunca-miento. Si queremos truncar la palabra a un nmero N de bits, la amplitud

de este ruido afecta al bit 2N1 y se aade antes del proceso de truncamientotal como se representa en la figura 22. Este proceso elimina buena parte de lasperiodicidades del error de fase y, por lo tanto, reduce la magnitud del espurioprincipal en torno a 12 dB.

Figura 22. Esquema de un NCO con dithering

Finalmente, la mxima frecuencia que puede generar un NCO est limitadapor la frecuencia de Nyquist a la mitad de la frecuencia de operacin del sis-tema (fclock).

La precisin angular del NCO es la precisin con que se expresa la fase justoantes de la conversin fase-amplitud, que se lleva a cabo en la unidad de gene-racin de la forma de onda. La precisin de magnitud del NCO es la precisincon que se representa la amplitud de la seal generada.


2.3. El lazo de seguimiento de fase digital

Un lazo de seguimiento de fase (PLL13) es un sistema en lazo cerrado quese utiliza para sincronizar la frecuencia y la fase de una seal generadalocalmente con una seal de entrada. Un PLL tiene tres componentesbsicos: el detector de fase, el filtro de lazo y el oscilador controlado portensin.

(13)Del ingls, phase-locked loop.

El oscilador controlado por tensin (VCO14) es una de las partes ms impor-tantes del PLL. La manera de implementar el VCO determina el tipo de PLL.As, distinguimos los PLL analgicos, cuando no tienen ningn componentedigital, los PLL digitales, en los que muchas veces solo tenemos el compara-dor de fase digital, y los PLL que realmente tienen todas las partes digitales,

los cuales a menudo se conocen como PLL totalmente digitales (ADPLL15). Uncuarto tipo de PLL son los constituidos ntegramente por software, que se de-nominan software PLL (SPLL).

En este subapartado estudiaremos el ADPLL, que en adelante denominaremosPLL. En el esquema de la figura 23 encontramos una posible configuracinde stos.

Figura 23. Estructura de un PLL digital

(14)Del ingls, voltage controlled os-cillator.

(15)Del ingls, all digital PLL.


Notemos antes de nada que los PLL digitales trabajan con seales complejas,que son las utilizadas en el procesamiento banda base de los equipos de co-municaciones. Consideramos que la seal de entrada del PLL del esquema dela figura 23 es la seal analtica s+(n) de la seal sinusoidal de la que queremosrecuperar la fase, es decir, de s(n). Entonces, si la seal s(n) es:

3.49

donde Ac es la amplitud, T el tiempo de muestreo, c la pulsacin que consi-deramos conocida y s(n) la fase que es desconocida y puede ir variando conn, la finalidad del PLL es estimar s(n).

La correspondiente seal analtica de s(n), s+(n), es:

3.50

donde es la transformada de Hilbert de s(n).

Es importante recordar que en la prctica los transformadores de Hilbert sehacen con filtros FIR (de respuesta impulsional finita). La seal analtica sepuede obtener a la prctica a partir de s(n) con un circuito cuyo esquema ve-mos en la figura 24, en el que consideramos que el transformador de Hilbertpresenta un retraso de L muestras y, por lo tanto, hay que retrasar la seal s(n)en el mismo nmero de muestras.

Figura 24. Relacin entre la seal s(n), real, y la seal analtica s+(n)

Vista esta equivalencia, analizamos el PLL digital, que no difiere mucho delPLL analgico. De acuerdo con la figura 23, a partir de ahora utilizaremos laconvencin de representar las seales complejas con dos lneas, una continuapara la parte real y una discontinua para la imaginaria.

A continuacin veremos las partes del PLL. Fijmonos en el oscilador contro-lado por tensin de la figura 25. La entrada es la seal e(n), una medida del

error, y la salida es la estimacin de fase donde u(n) es la funcin escaln.

Reflexin

Haremos aqu un tratamientosimilar al que efectuamos en elapartado 6 del mdulo "Sub-sistemas de radiocomunicacio-nes analgicos" de este mdu-lo.


Figura 25. Parte de la estructura del oscilador controlado por tensin (VCO)

Considerando la variable de la figura 25, la ecuacin en diferenciassiguiente es inmediata:

3.51

y la correspondiente transformada Z:

3.52

De la expresin 3.51, observamos que la ecuacin en diferencias que nos pro-

porciona depende de dos entradas: e(n) y u(n). Como dispone de dos en-tradas no podemos encontrar una funcin de transferencia, pero podemos ha-

llar aplicando superposicin.

se puede expresar como la suma de contribucin de la entrada e(n)

cuando u(n) = 0, y de contribucin de la entrada u(n) cuando e(n) = 0.Tenemos, por lo tanto:

3.53

Empezamos calculando como la contribucin a cuando la entradau(n) = 0. Eliminando el trmino central de la parte derecha de la igualdad dela ecuacin 3.52, el resultado siguiente aparece de manera directa. Esto es:

3.54

donde Hpb(z) es un filtro paso bajo con un polo en su origen. A continuacin

analizamos la contribucin a cuando la entrada e(n) = 0. Se obtiene:

3.55

La salida del VCO es, por tanto:

3.56


Si tenemos presente la relacin:

3.57

podemos expresar la secuencia discreta de la manera siguiente:

3.58

con lo cual vemos que la estimacin de fase est formada por el trminode frecuencia conocida ncTu(n) y el trmino suavizado del error obtenido,despus de hacerlo pasar por el filtro paso bajo hpb(n).

La estimacin de fase es la entrada en una memoria LUT (lookup table)cuya salida proporciona los valores de las seales en cuadratura, representadas

por el bloque con funcin de transferencia ej(.). Notemos en este punto que laamplitud de la exponencial vale 1. Esta salida alimenta el comparador de fase.

El comparador de fase (vase la figura 23) est formado por un multiplicadorcomplejo y un bloque que proporciona el valor de fase cuando la entrada es lasalida del multiplicador complejo. La salida p(n) del multiplicador en formatoexponencial es:

3.59

donde Ac y s(n) son la amplitud y la fase de la seal recibida. El error de faseentre la portadora que recibimos y la portadora generada internamente por elVCO lo encontramos en el exponente de p(n). El siguiente bloque tiene querecuperar esta fase. La operacin consiste en calcular la arcotangente del co-ciente entre la parte imaginaria y la parte real. Esta arcotangente, representadaen la figura 23 con el smbolo arcotan( , ), se calcula en dos cuadrantes pararepresentar correctamente el signo de los ngulos. El error de fase es:

3.60

Para que el clculo de la arcotangente sea suficientemente rpido se suele hacerpor medio de una LUT. La funcin arcotangente es una funcin no lineal, loque origina que la funcin de transferencia del PLL tambin lo sea.

Una alternativa usada para simplificar la implementacin del comparador defase consiste en sustituir la funcin arcotangente por el clculo de la parteimaginaria, simplificando la expresin en:

3.61


Esta aproximacin mejora a medida que el argumento de la funcin sen( ) seaproxima a cero. An as, en la parte derecha de la figura 26 mostramos unaposible implementacin del detector de fase todava ms simple, en la que lafuncin arcotangente se aproxima directamente por la parte imaginaria.

Figura 26. Aproximacin de baja complejidad para el estimador de fase de un ADPLL

Consideremos a continuacin la estructura del filtro de lazo, representado enla figura 23, que est compuesto por una parte proporcional y una parte in-tegral. Con la parte proporcional, dependiente de la constante , nicamen-te se puede recuperar la fase de la seal en el caso de que la frecuencia de laseal sea conocida. La parte integral, dependiente de la constante , permiterecuperar tanto desvos de frecuencia como la fase de la seal. La funcin detransferencia del filtro toma la forma:

3.62

El filtro determina las caractersticas del PLL. Cuando 0 y = 0 hablamosde PLL de primer orden. Cuando 0 hablamos de PLL de segundo orden.

El PLL es un circuito no lineal debido a las discontinuidades del comparadorde fase. El anlisis de un sistema no lineal en lazo cerrado a menudo resulta

complicado porque, como hemos dicho, la diferencia de fase ejerceuna influencia no lineal sobre el lazo, tal como se ha visto en las ecuaciones3.60 o 3.61. Sin embargo, en este tipo de sistemas hay dos modos bsicos deoperacin:

El m

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