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Licenciaturaen EducaciónSecundariaEspecialidad: Matemáticas

Licenciaturaen EducaciónSecundariaEspecialidad: Matemáticas

Programa parala Transformacióny el FortalecimientoAcadémicos de las Escuelas Normales

Programa parala Transformacióny el FortalecimientoAcadémicos de las Escuelas Normales

Programa de estudio

Distribución gratuita

Prohibida su venta

2002-2003

semestre

er

Los Númerosy sus RelacionesLos Números

y sus Relaciones

Programa para la Transformacióny el Fortalecimiento Académicos

de las Escuelas Normales

Programa de estudio

México, 2002

Los Númerosy sus Relaciones

Licenciatura en Educación Secundaria

Especialidad: Matemáticas

Tercer semestre

Los Números y sus Relaciones. Programa de estudio. Licenciatura en Educación Secundaria. 3er semestre fue

elaborado por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría

de Educación Pública.

La SEP agradece la participación de los profesores de las escuelas normales en el diseño del programa.

Coordinación editorial

Esteban Manteca Aguirre

Cuidado de la edición

Sergio Peña

Diseño

Dirección Editorial de la DGMyME, SEP

Formación

Lourdes Salas Alexander

Primera edición, 2000

Primera reimpresión, 2001

Segunda reimpresión, 2002

D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2000

Argentina 28

Centro, C. P. 06020

México, D. F.

ISBN 970-18-5093-9

Impreso en México

DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Índice

Presentación

Los Números y sus Relaciones

Programa

Introducción 9

Organización de los contenidos 9

Orientaciones didácticas 10

Las ideas de problematizar el estudio de la disciplina 10

Propósitos generales 11

Bloques temáticos

Bloque I. Aspectos históricos de los sistemas númericos 12

Bloque II. Los números enteros 12

Bloque III. Números racionales 15

Bloque IV. Proporcionalidad 20

Presentación

La Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativasestatales, ha puesto en marcha el Programa para la Transformación y el Fortalecimiento

Académicos de las Escuelas Normales. Una de las acciones de este programa es la apli-cación de un nuevo Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria, quese inicia en el ciclo escolar 1999-2000.

Este cuaderno está integrado por el programa Los Números y sus Relaciones. Lostextos cuya consulta es fundamental en el desarrollo del curso, son los propuestos enel apartado de bibliografía básica y están disponibles en las bibliotecas de las escuelas

normales. Es importante que los maestros y los estudiantes sean usuarios constantesde estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos del curso.

Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores que atienden las asig-

naturas y a los estudiantes que cursan el tercer semestre de la Licenciatura en Educa-ción Secundaria. Es importante conocer los resultados de las experiencias de trabajo demaestros y alumnos, sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consi-

deradas para mejorar este material.La Secretaría de Educación Pública confía que este documento, así como las obras queintegran el acervo de las bibliotecas de las escuelas normales del país, contribuyan a la

formación de los futuros maestros que México requiere.

Secretaría de Educación Pública

Los Númerosy sus Relaciones

Horas/semana: 4 Créditos: 7.0

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Programa

Introducción

La naturaleza misma de las matemáticas tiene como punto de partida los números ysus operaciones; de hecho, a las matemáticas se les solía definir como “la ciencia delnúmero y la magnitud”. Esto justifica que, desde sus orígenes y en los diferentes

niveles educativos, el curriculum de matemáticas se haya organizado en torno a laspropiedades y el estudio de los números. La importancia de los números en la vidadel hombre es manifiesta pues, entre otras cosas, le permiten cuantificar las múltiples

actividades que realiza diariamente. Los números también pueden ayudar al hombreen actividades no tan prácticas, como cuantificar distancias astronómicas o cantida-des de años que nos remiten al origen del hombre. En general, podemos afirmar que,

para el hombre de nuestros días, los números son imprescindibles y su entendimien-to y uso, esenciales.

Organización de los contenidos

Teniendo como antecedente lo anterior y partiendo de que los números y sus opera-

ciones tienen relevancia lo mismo en actividades prácticas que teóricas, se sugiere queel estudio de los números y sus relaciones se haga tomando en cuenta los siguientesaspectos fundamentales.

a) Significado de los números, diferentes formas de representarlos, relaciones entreellos y sistemas numéricos.

En el proceso de entender el significado de los números, los estudiantes deben

diferenciar y dar sentido a números muy pequeños o muy grandes, ya que ambos seusan con frecuencia en la información que aparece en los medios de comunicaciónreferida a la población, la economía o la ciencia. Las diferentes interpretaciones de los

números racionales (fracciones, decimales, porcentajes) y su representación en unarecta numérica ayudarán a entenderlos.

Otro aspecto del proceso de entender los sistemas numéricos se relaciona con las

propiedades de los números enteros, tales como la divisibilidad, la descomposición enfactores primos y las propiedades de números primos. Un elemento adicional de mu-cha importancia para entender los sistemas numéricos son las relaciones entre los

elementos del sistema. En el caso de los números reales, la comprensión de la relación

de orden es fundamental para abordar una variedad amplia de problemas, que van de lopráctico a lo teórico, y es la base para discutir las ideas fundamentales de lo que suele

llamarse “matemáticas superiores”.

10

b) Significado de las operaciones y sus relaciones.La comprensión del significado de las operaciones en los sistemas numéricos es el

fundamento para estudiar otras áreas de las matemáticas como el álgebra, la geometríay el cálculo, entre otras. Esto permitirá operar con otros sistemas algebraicos de granutilidad, como pueden ser los vectores, las matrices, etcétera. En los aspectos prácticos,

la comprensión de las propiedades de las operaciones tiene gran utilidad. Por ejemplo,se puede usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma parasimplificar o transformar cálculos. También se puede usar e interpretar el sentido inver-

so de la suma y la resta o de la multiplicación y la división para resolver problemas.c) Calcular con fluidez y hacer aproximaciones razonables.Un aspecto de gran importancia al resolver problemas de matemáticas es poder

decidir con “buen criterio” si un determinado problema requiere de una solución más omenos precisa y cómo obtenerla. También es importante poder discernir entre el usode cálculos mentales, con calculadora o computadora o usando solamente papel y lápiz.

En algunas situaciones es recomendable acudir a cálculos mentales aproximados. Porejemplo, se requiere calcular mentalmente, con fluidez y cierto grado de precisión, cu-ando hay que tomar decisiones, para hacer alguna compra u otro tipo de operación.

El programa del curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos que cuentancon actividades sugeridas que los profesores responsables de conducirlo pueden enri-quecer con base en su experiencia.

Orientaciones didácticas

La idea de problematizar el estudio de la disciplina

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase setransforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobresu aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en

un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas,que cuestione por qué las cosas se presentan de cierta forma. Esto significa que lasactividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas en los que el estu-

diante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantesrelacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiantetendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilida-

des y rediseñar o formular nuevos problemas.Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de

clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las mate-

máticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientosque puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción

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del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluarel potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y

mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionary presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estu-diantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y

habilidades con que cuentan los estudiantes.Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y

acción continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que

llegan a ser rutina –en un curso que valore la resolución de problemas– y que juegan unpapel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿heusado o identificado la información importante en el problema? ¿Estoy convencido de

la forma de solución del problema? ¿Puedo convencer a otros compañeros? ¿He resuel-to totalmente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Se puedegeneralizar este resultado? Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden

contestar al interactuar con los problemas.Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y

presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este

sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y delos resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escu-char a sus compañeros y respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influyedirectamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las mate-máticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes

obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a lasmatemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existeevidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan

una disposición consistente con el quehacer matemático.Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las

ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se

presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entreellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos y, engeneral, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes necesi-

dades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la mismadisciplina.

Propósitos generales

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudian-

tes normalistas:1. Adquieran bases sólidas en relación con el estudio de los números y sus relacio-

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nes, tanto para abordar los siguientes cursos de la especialidad como para realizar untrabajo docente de calidad.

2. Adquieran elementos para analizar situaciones de estudio relacionadas con el sig-nificado de los números, sus relaciones y operaciones, que resulten adecuadas para losestudiantes de secundaria.

3. Desarrollen habilidades para resolver problemas en diferentes contextos, con ba-se en el conocimiento de los números y sus relaciones.

Bloques temáticos

Bloque I. Aspectos históricos de los sistemas numéricos

Temas

1. Origen del concepto de número.2. Números, lenguaje y el origen del conteo y las cifras.

3. Sistemas de numeración (romano, decimal, egipcio): su evolución.

Bibliografía básica

Ifrah, G. (1988), Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial.

Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP.

SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Actividades sugeridas

1. Los estudiantes pueden formar equipos para leer los capítulos del libro de Ifrah. En

el salón de clase, los equipos reportarán sus trabajos y señalarán las cuestiones rele-vantes vinculadas con los temas propuestos. Pueden abordar preguntas como las si-guientes: ¿cuáles son las ventajas de calcular en base 10 en relación con otros siste-

mas? ¿Cuál es la representación de 12345.75 en el sistema binario?2. Organizados en equipos, resuelvan el tema I de primer grado del Fichero de activi-

dades didácticas.

Bloque II. Los números enteros

Temas

1. Los números enteros y las propiedades de las operaciones de suma y producto.

2. Divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, números primos y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

13

3. Algunos criterios de divisibilidad (divisibilidad por 2, 3, 5, 11).4. Los enteros en la recta numérica.

5. Orden en los números enteros.6. Algunos principios de conteo.





1. Una propiedad importante de los números enteros es el concepto de números conse-

cutivos, que son aquellos cuya diferencia es 1 o -1. Por ejemplo, 10 y 11 son consecuti-vos; -110, -111. Con esta idea se pregunta: ¿es 4 suma de dos números consecutivos?Para contestar se puede empezar ensayando algunos casos, por ejemplo: 1 y 2 no

suman 4; 2 y 3 tampoco. ¿Podemos concluir que 4 no es la suma de dos númerosconsecutivos? ¿Por qué? ¿Será un número par la suma de dos números consecutivos?Dos números consecutivos tienen la propiedad de que uno es par y el otro es impar,

por lo que al sumarlos se obtiene un número impar. De esta discusión se tiene que losnúmeros pares no son la suma de dos números consecutivos. Se formula la mismapregunta para números impares. Un número impar es de la forma 2n+1 y ésta repre-

sentación es claramente la suma de dos consecutivos. Con esta misma idea se pregunta:¿es un número impar la suma de tres consecutivos? La suma de tres números consecu-tivos es de la forma n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3 (n+1). De esta ecuación se tiene que

para que un número sea la suma de tres consecutivos se requiere que 3 lo divida. ¿Quécondición se requiere para que un número entero sea la suma de 4, 5, 6, etcétera,números consecutivos? ¿Puede un número dado ser la suma de 2, 3, 4, 5 números

consecutivos?Los estudiantes pueden formar equipos para hacer una discusión de las preguntas

planteadas. El profesor puede guiar la discusión para profundizar en el estudio de pro-

piedades de divisibilidad y factorización de enteros en primos haciendo preguntas comolas siguientes: ¿cuántos factores primos puede tener un número menor que 100? ¿Cuá-les son los números menores que 100 cuyos factores primos son todos diferentes?

¿Habrá un número primo que sea mayor que todos los otros números primos? Si elnúmero 2n +1 es primo, ¿tendrá n factores impares diferentes de uno?

2. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema. Encontrar dos facto-

res de 100 tales que ninguno sea divisible por 10. Una forma de abordar el problemaes encontrando diferentes factores de 100, por ejemplo 2 y 50, pero uno de ellos nocumple las condiciones pedidas. Otros posibles factores son 4 y 25, los cuales sí

satisfacen las condiciones deseadas. Se debe notar que al factorizar 100 como pro-ducto de números primos se tiene: 100 = 25 52. Con esta representación, la solución

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al problema planteado se puede dar casi directamente. El problema se puede exten-der al caso 1 000 000.

3. El profesor puede pedir a los estudiantes que formulen problemas que extiendanal anterior. Por ejemplo, el número 1 296 es divisible por 6 (¿por qué?). La respuestadebe ser dada sin hacer la división. ¿Puede encontrar dos factores que dividan a 1 296

y que no sean divisibles por 6? ¿Cómo se formula un problema en donde intervenganlos primos 2 y 7? Para abordar estos problemas, los estudiantes se pueden auxiliar dealguna calculadora que factorice enteros.

4. Resuelvan los siguientes problemas del Libro para el maestro de matemáticas: pro-blemas 2 y 9 (p. 92) y problemas 6 y 7 (p. 95).

5. En relación con los problemas que involucran a los números enteros, se tienen

aquellos en donde se aplican propiedades que derivan de dividir enteros y dejan resto.Estos problemas dan origen a lo que se llama “aritmética modular”. Un par de buenosejemplos que ilustran esto son los problemas 8 y 10 (p. 95) del Libro para el maestro.

6. Con frecuencia se encuentran situaciones en que se debe determinar el númerode posibles formas de agrupar objetos o personas de una manera determinada. Porejemplo, se tiene un grupo de cinco personas de las cuales se han de elegir un presiden-

te y un secretario que los representen semanalmente. ¿De cuántas formas se puedennombrar los representantes? ¿Cuántas semanas habrán transcurrido antes de que serepitan los mismos representantes?

Posibles formas de solución. Los estudiantes pueden simular la situación y elegir algu-nas formas de representar la información. Por ejemplo, se pueden formar parejas conlas iniciales de los nombres, por facilidad pueden suponer que las iniciales son: A, B, C,

D y E. Ahora, ilustrar en una tabla las diferentes parejas posibles que se forman y, a lavez, una forma eficiente de contarlas.

Si ahora se tiene un grupo de n personas y a los miembros del grupo se les asigna un

número del 1 hasta n y se pregunta: ¿de cuántas formas se pueden nombrar a losrepresentantes?

Notemos que el número 1 puede formar pareja con 2, 3,..., n, de lo cual contamos

n-1 parejas, el 2 forma pareja con 3, 4, 5,... n (el 1 ya fue incluido antes). Con el auxilio deuna tabla se puede “ver” que el número de parejas es (n-1) + (n-2) + ... + 1. ¿A qué es

(A, B) (A, C) (A, D) (A, E)

(B, C) (B, D) (B, E)

(C, D) (C, E)

(D, E)

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igual esta suma? ¿Encuentra una forma isomorfa de este problema? Esta actividad sepuede extender al caso en que se tenga que elegir k representantes de un total de n.

7. (Cálculo de cuadrados.) Con cierta frecuencia se requiere calcular el cuadrado denúmeros enteros que terminan en cinco. Por ejemplo 152, 252, etcétera. Calculandoestos cuadrados se observa que el resultado termina en 25, es decir 152 = 225, 252 =

625. ¿Hay una regla que ayude a determinar los cuadrados de números enteros queterminan en 5?

El profesor puede pedir a los estudiantes que experimenten con más enteros del

tipo pedido para observar el comportamiento. Una vez hecho esto, puede preguntar sies posible formular y probar el resultado que han observado. (Sugerencia: un enteroque termina en 5 es de la forma 10n+5).

8. Realicen las actividades del tema 3 y del tema 4 de primer grado del Fichero de

actividades didácticas.

Bloque III. Números racionales

Temas

1. Lectura y escritura de números decimales y su representación en la recta numérica.2. Operaciones con decimales (cálculo mental, algoritmos y aproximaciones).

3. Decimales periódicos.4. Diferentes representaciones de los números racionales: decimales, cociente de

enteros y por ciento.

5. Propiedades de las operaciones en los números racionales.6. Orden en los números racionales.7. Uso de números racionales para representar cantidades en la recta numérica.

8. Uso de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones para simplificar cálculos.




Llinares, S. y V. Sánchez (1988), “Las fracciones: diferentes interpretaciones”, en Fracciones, Ma-

drid, Síntesis, pp. 51-78.


1. La comprensión de las diferentes representaciones de los números es fundamentalpara que los estudiantes puedan comunicar e interpretar con el lenguaje matemático y

resuelvan una variedad de problemas. Cada representación puede ofrecer ventajas odesventajas para analizar o entender situaciones. Así, los estudiantes deben utilizar di-

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versos tipos de representación de fracciones, decimales y porcentajes. Por ejemplo, el

profesor puede plantear preguntas como las siguientes: ¿cómo es más convenienteescribir 22/100 o 11/50 en un cheque? ¿Puede explicar por qué las siguientes represen-taciones 15/100, 3/20, 0.15 y 15% corresponden al mismo número? ¿Puede identificar

problemas o situaciones en las que el uso de cada una de estas representaciones sea lamás adecuada? ¿Cómo se expresa la probabilidad de sacar una bola blanca de una bolsaque contiene 20 bolas con igual probabilidad? ¿Cómo representa el descuento que

tiene un determinado producto?2. Los modelos que involucran áreas pueden ser de utilidad para que los estudiantes

visualicen el sentido de los números. En las siguientes representaciones se observa que

las fracciones l8/12 y 2/3 son equivalentes y pueden representar áreas. ¿Cómo se expli-ca esto geométricamente? En la multiplicación (1.2) x (1.4), ¿cuál es el significado geomé-trico? ¿Cómo se puede representar gráficamente el 80% de 20?

3. De la siguiente lista, seleccionen aquellos números que sean racionales. Expliquen

por qué:

7(9 - 32)

; 0; 25%

5 ;;√45 √ -16 ; √ 1.3434; - 5.6; 1.121121112...;

23 ;

17

4. En una gran variedad de problemas reales se requiere obtener respuestasaproximadas. Para comentar este aspecto, el profesor puede plantear los siguientes

problemas:• Las dimensiones de un terreno rectangular son 40.15 y 60.25 metros. ¿Cuál es

el área aproximada del terreno?

• ¿Cuál es el resultado aproximado de sumar 7/8 y 16/15?• ¿Cuál es el valor aproximado de la diagonal de un cuadrado de lado 4? ¿Es

mayor que 6?

Al contestar a las preguntas planteadas, el maestro puede orientar una revisión delas propiedades y operaciones con fracciones, áreas de cuadrados y el Teorema dePitágoras.

5. Otra situación en donde los métodos de aproximación juegan un papel importan-te es la siguiente:

• ¿Qué proceso se puede utilizar para estimar 64.6 x 0.16?

Una forma de realizar esta estimación es observar que los números 64 y 16 sepueden expresar como potencias de 2 y aprovechar esta propiedad para operar con26 x 24 = 210 y, después, al resultado (1 024) colocarle el punto decimal en el lugar

correspondiente 10.24. ¿Cómo se aproxima 482 x 50.2? Aquí, por ejemplo, se puedeaproximar usando la operación: 482 x 1/2 x 100 de lo que resulta 24 100. El redon-deo, la distributividad y el uso de potencias de dos son las estrategias que ayudaron a

realizar las operaciones anteriores. La estimación es una habilidad fundamental quelos estudiantes deben desarrollar y forma parte de las propiedades de los números.El contexto de la pregunta o problema desempeña un papel importante en la forma

de estimar. Por ejemplo, si han de comprarse 35 artículos a un precio de $45 pesoscada uno y se desea saber si se tiene suficiente dinero para comprarlos, entonces elnúmero 40 x 40 = 1 600 da una idea de la cantidad de dinero que se necesita. Otra

situación análoga a la anterior es la siguiente: si se va a pintar una superficie de 35 x45 metros, entonces 1 600 sería una buena estimación. En general, para estimar elresultado de alguna operación se realiza un cálculo mental teniendo en cuenta núme-

ros aproximados a los originales. Aquí es importante discutir lo razonable de la res-puesta. Otra variante de la estimación se relaciona con el proceso de estimar medi-ciones, es decir, llegar a una medición sin utilizar herramientas para medir, por ejemplo,

la estimación del área de una habitación.El tema de aproximaciones está lleno de ejemplos de la vida diaria. Por ejemplo,

¿cuánta basura se recolecta en tu casa cada semana? ¿Cuánta agua se consume diaria-

mente en tu casa?, etcétera. Nótese que, en estas situaciones, el estudiante tiene queaportar cierta información y asumir una serie de condiciones que le permitan planteary llevar a cabo un plan de solución. Estos problemas se pueden abordar de distintas

maneras y una forma de evaluar la respuesta es comparando (con sus compañeros) lassoluciones que se obtengan en esos diversos caminos.

18

6. El maestro debe utilizar actividades de estudio en las que los estudiantes exploren

propiedades de los números. A continuación se presentan algunos aspectos que sonimportantes durante el proceso de resolver problemas:

• Usar diferentes representaciones de los números y reconocer cuando una representa-

ción es más útil que otra. Por ejemplo, observar que 12 x 15 puede fácilmenteoperarse como 6 x 30, o que 12 x 25 puede calcularse como un cuarto de 12 ymultiplicar el resultado por 100 (ya que 25 es 100/4).

• Reconocer la magnitud relativa de los números. Por ejemplo, saber que 1/3 es ma-yor que 1/4 y que la diferencia entre 3 y 5 es la misma que la diferencia entre123 y 125; relativamente, cuando los números son más grandes, el significado de

la diferencia puede variar.• Usar números de referencia para comparar cantidades. Por ejemplo, puede usar el

1 como referencia para reconocer que la suma de 7/8 y 9/10 debe ser un poco

menos que 2, ya que cada fracción es un poco menos que 1.• Conectar entre los números, operaciones y relaciones entre símbolos. Por ejemplo,

reconocer que 365 ÷ 0.69 será un número mayor que 365, o que la diferencia

entre $6 y $2.85 se puede encontrar restando 2 (que da 4) y quitando otros.85¢ o sumando .85¢ a $2.85, y sumarlos a $3.00

• Reconocer los efectos de las operaciones. Por ejemplo, explicar qué le ocurre a un

número cuando se multiplica por .5 o cuando se divide por un número entre 0y 1. O con la información representada en la recta, ¿qué número (de los allírepresentados) está más cerca de: ab, 1/f, √h y √e?

• Reconocer cuando una estimación es apropiada. Por ejemplo, explicar si la suma dedos números de dos dígitos es más o menos que 100. ¿Cuántas cifras o dígitos

contienen dos números consecutivos cuyo producto sea 4 160?• Utilizar diferentes estrategias para aproximar resultados. Por ejemplo, ¿aproxima-

damente cuántas personas caben en el zócalo del D.F.? Es una pregunta que

puede ser contestada a partir de estimar las dimensiones de la plaza y dividir-la en cuartos, y estimar esa porción para después multiplicar ese número porcuatro. Otra estrategia podría ser la estimación de cuantas personas entran

en alguna fila en un lado de la plaza y después estimar el número de filas. Laidea de utilizar diversas estrategias ayuda a contrastar las respuestas que seobtengan.

19

7. Resolver las actividades del tema 6 y del tema 8 de primer grado del Fichero de


8. (Orden y comparación.) Una de las propiedades más importantes en los núme-ros (enteros, racionales y reales) es la relación de orden. Con las propiedades de éstase puede abordar una gama muy amplia de problemas prácticos y teóricos (usualmen-

te hay que comparar para tomar decisiones). Para abordar este aspecto, el maestropuede plantear los siguientes problemas:

Si a es un número positivo, ¿qué tan pequeño es S = a + ?

Posible forma de solución:

Para darnos una idea de la posible respuesta tomemos algunos casos particulares. Por

ejemplo, si

Con estos datos se puede conjeturar que S ≥ 2 para todo a positivo. ¿Cómo sepuede justificar la conjetura? Notemos que S = a + = y la conjetura equi-vale a: ≥ 2. Como a es un número positivo, la última desigualdad es equivalen-

te a: a2 + 1 ≥ 2a, y esto a la vez equivale a: a2 + 1 - 2a = (a-1)2 ≥ 0, lo cual es cierto.

Un problema más es el siguiente: ¿cuál de los siguientes números u es mayor? Otra

situación por considerar es comparar números muy pequeños. Por ejemplo, ¿cuál delos siguientes números es más pequeño?: , .

9. Dos pasteles idénticos han sido divididos en 5 y 9 partes iguales. Se te proponedecidir entre recibir tres pedazos del que ha sido dividido en 5 partes o 4 pedazos delque se dividió en 9 partes. ¿Qué parte seleccionarías? (Argumenta tu respuesta.)

10. (Números racionales.) Cuando se toma una unidad de medida se divide éstaen b partes iguales y se toma algún número a de esas b partes de la unidad, entoncesse puede hablar de una de esas partes de la unidad dada. La expresión a/b es una

forma de escribir el número racional formado por algún número de subunidades.Nótese que π/2 no es un número racional (pues no es cociente de enteros) peropuede ser escrito como una fracción.

a = 1, S = 2.

Si a = , S = + 3 ≥ 2.

Si a = , S = + = 1 + + ≥ 1 + + = 2.54

54

45

14

45

15

45

13

13

1a

1215

133

a2 + 1a

1a

a2 + 1a

20

Para abordar este aspecto se plantea los siguientes problemas. Tome como unidad,u = 1/3 represente en la recta numérica 5/2 de u. ¿Cuál es la diferencia geométrica

entre tomar u=1/3 y u=1 al representar 5/2 de u?Usando la siguiente figura u otra similar, el maestro pedirá a los alumnos que

expliquen por qué cada una de las partes sombreadas representa 1/4. Deben notar

que sin importar el tamaño de las piezas, sus colores, formas, arreglos o cualquier

otra característica física, 1/4 representa la parte sombreada. La actividad puede serextendida usando otro tipo de representaciones tanto gráficas como numéricas.

11. Organizados en equipos, leer el artículo que se sugiere en la bibliografía y tratar

de establecer las características de cada una de las cuatro interpretaciones de la frac-ción que en él se sugieren.

Por equipos, inventar cuatro problemas en los que se pueda distinguir el uso de las

fracciones como expresión de una cantidad, como operador, como cociente y comorazón. En trabajo colectivo, analicen los problemas inventados.

Bloque IV. Proporcionalidad

Temas

1. Razones y medición.2. Proporcionalidad y variación.




21

Actividad I. (Razonamiento proporcional.)

Seis albañiles construyen una barda en tres días. Si todos trabajan con la misma rapidez,¿cuántos albañiles más se necesitan para construir la misma barda en un día? ¿Cuál es la

razón de hombres a mujeres en un pueblo donde 2/3 de los hombres están casadoscon 3/4 de las mujeres. Se asume que los matrimonios se permiten solamente entre unhombre y una mujer. Para el primer problema se observa que al aumentar el número de

albañiles, el número de días para la construcción de la barda disminuye. Si todos traba-jan con la misma rapidez, entonces un albañil realiza cada día 1/8 del trabajo. Por lotanto se necesitan 18 albañiles para terminar la barda en un día. El segundo problema se

puede representar de la siguiente manera:

Los alumnos pueden usar diferentes representaciones para ilustrar el manejo

de la información. Por ejemplo, una figura como la siguiente les permite analizarla segunda pregunta planteada arriba.

Se observa que la razón de mujeres a hombres es de 8/9 o de hombres amujeres es de 9/8.

Actividad 2. (Razonamiento proporcional.)

Una fábrica de componentes de computadoras produce 100 000 piezas con 10 máqui-nas trabajando 8 horas diarias durante 7 días. Si se incorporan 6 máquinas a la produc-ción, ¿en cuánto tiempo se producirán las 100 000 piezas?

El total de horas que trabaja cada máquina es 8 x 7 = 56 horas, y cada máquina pro-duce = 10 000 piezas. Con esta información se tiene que cada máquina produ-ce piezas por hora. Las 16 máquinas producen piezas por hora. Si t100 00

56

100 0010

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denota el tiempo que tardan las máquinas en producir 100 000 piezas se debe tener:t t = 100 000. De esto último se tiene que el valor de t = 35 horas.

El profesor puede utilizar el problema anterior para hacer una discusión con losestudiantes en donde se planteen situaciones como la siguiente. Una compañía, paratransportar una cierta cantidad de materia prima utiliza 3 camiones y le toma 7 días

(sólo puede hacer un viaje por día cada camión). En condiciones de emergenciasolamente dispone de 3 días. ¿Cuántos camiones del mismo tipo son necesariospara transportar la materia prima? Estas situaciones ocurren con cierta frecuencia.

Es recomendable que el profesor pida a los estudiantes que ellos propongan proble-mas análogos.

Actividad 3. Resolver los problemas del tema 13 para primer grado del Fichero de


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Los Números y sus RelacionesPrograma de estudio

Licenciatura en Educación Secundaria3er semestre

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

en los talleres de

con domicilio en

el mes de abril de 2002.Se imprimieron 2 500 ejemplares

más sobrantes de reposición.

El cuidado de la edición estuvo a cargo de la Dirección General de Normatividadde la Secretaría de Educación Pública.

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