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Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales Programa de estudio Distribución gratuita Prohibida su venta 2002-2003 semestre er Pensamiento Algebraico Pensamiento Algebraico

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Licenciaturaen EducaciónSecundariaEspecialidad: Matemáticas

Licenciaturaen EducaciónSecundariaEspecialidad: Matemáticas

Programa parala Transformacióny el FortalecimientoAcadémicos de las Escuelas Normales

Programa parala Transformacióny el FortalecimientoAcadémicos de las Escuelas Normales

Programa de estudio

Distribución gratuita

Prohibida su venta

2002-2003

semestre

er

PensamientoAlgebraico

PensamientoAlgebraico

Programa para la Transformacióny el Fortalecimiento Académicos

de las Escuelas Normales

Programa de estudio

México, 2002

PensamientoAlgebraico

Licenciatura en Educación Secundaria

Especialidad: Matemáticas

Tercer semestre

Pensamiento Algebraico. Programa de estudio. Licenciatura en Educación Secundaria. 3er semestre fue elabora-

do por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de

Educación Pública.

La SEP agradece la participación de los profesores de las escuelas normales en el diseño del programa.

Coordinación editorial

Esteban Manteca Aguirre

Cuidado de la edición

Sergio Peña

Diseño

Dirección Editorial de la DGMyME, SEP

Formación

Inés P. Barrera

Primera edición, 2000

Primera reimpresión, 2001

Segunda reimpresión, 2002

D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2000

Argentina 28

Centro, C. P. 06020

México, D. F.

ISBN 970-18-5103-X

Impreso en México

DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Índice

Presentación 5

Pensamiento Algebraico

Programa

Introducción 9

Organización de los contenidos 9

Orientaciones didácticas 9

Propósitos generales 11

Bloques temáticos

Bloque I. La observación, generalización y formalización de patrones 11

Bloque II. El estudio de las funciones y relaciones 15

Bloque III. Estructuras y transformación de expresiones algebraicas 22

Bloque IV. El uso de modelos para representar y entender

relaciones cuantitativas 26

Presentación

La Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativasestatales, ha puesto en marcha el Programa para la Transformación y el FortalecimientoAcadémicos de las Escuelas Normales. Una de las acciones de este programa es la apli-

cación de un nuevo Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria, quese inicia en el ciclo escolar 1999-2000.

Este cuaderno está integrado por el programa Pensamiento Algebraico. Los textos

cuya consulta es fundamental en el desarrollo del curso, son los propuestos en el apar-tado de bibliografía básica y están disponibles en las bibliotecas de las escuelas nor-males. Es importante que los maestros y los estudiantes sean usuarios constantes de

estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos del curso.Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores que atienden las asig-

naturas y a los estudiantes que cursan el tercer semestre de la Licenciatura en Educa-

ción Secundaria. Es importante conocer los resultados de las experiencias de trabajo demaestros y alumnos, sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consi-deradas para mejorar este material.

La Secretaría de Educación Pública confía que este documento, así como las obras queintegran el acervo de las bibliotecas de las escuelas normales del país, contribuyan a laformación de los futuros maestros que México requiere.

Secretaría de Educación Pública

PensamientoAlgebraico

Horas/semana: 4 Créditos: 7.0

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Programa

Introducción

Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico es el poder ex-presar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas

tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebrai-cas se puedan estudiar diferentes clases de relaciones entre objetos matemáticos, entre lasque destacan las funciones. El álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de

problemas usando propiedades de manera adecuada.El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utili-

dad para los estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para

graficar, visualizar y entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particu-lar se recomienda el uso de la “hoja de cálculo” como herramienta, para que el estudiantedesarrolle conceptos del álgebra tales como la búsqueda de patrones, funciones y

modelación. Por supuesto, su uso depende de la disponibilidad de estos instrumentos y delos materiales de apoyo que el profesor pueda recibir y generar durante su práctica.

Organización de los contenidos

El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de cuatro temas o ejes fundamen-

tales. Aun cuando cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstossiempre aparecen conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo delpensamiento algebraico; por ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los

ejes, generalmente abordan temas de varios de ellos. Además, en las actividades se ilus-tran algunas estrategias como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estu-diantes deben emplear continuamente en sus experiencias de aprendizaje.

Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maes-tros pueden utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como puntode referencia para construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada

bloque se identifica un conjunto de contenidos que el maestro debe atender durante laaplicación de las actividades; se pretende que los recursos matemáticos y las estrate-gias adquieran sentido o emerjan durante el proceso de solución de las actividades.

Orientaciones didácticas

La idea de problematizar el estudio de la disciplina

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase setransforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre

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su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan enun vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, quecuestione por qué las cosas se presentan de cierto modo. Esto significa que las activida-des deben presentarse en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiantetenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes rela-cionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiantetendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidadesy rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón declase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las mate-máticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientosque puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interaccióndel estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluarel potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y man-tener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar ypresentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudian-tes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habi-lidades con que cuentan los estudiantes.

Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión yacción continua acerca de la actividad matemática. Algunas preguntas, que llegan a serrutina –en un curso que valore la resolución de problemas– y que juegan un papelcentral en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿he usado oidentificado la información importante en el problema? ¿Estoy convencido de la formade solución del problema? ¿Puedo convencer a otros compañeros? ¿He resuelto total-mente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Puede este resul-tado ser generalizado?

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones ypresentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En estesentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, aprovechar sus ideas y losresultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchara sus compañeros y a responder adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnosinfluye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacialas matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas losestudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y dever a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avan-zar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexivadesarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático.

Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión delas ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que nose presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión

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entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos–y en general las matemáticas– como un todo estructurado en torno a las diferentes

necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de lamisma disciplina.

Propósitos generales

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudian-

tes normalistas:• Utilicen herramientas algebraicas para resolver problemas en diversos contextos.• Adquieran elementos de tipo didáctico que les permitan analizar situaciones ade-

cuadas para los alumnos de educación secundaria.• Adquieran elementos para analizar las dificultades con que tropiezan los alum-

nos de secundaria en el estudio del álgebra.

Bloques temáticos

Bloque I. La observación, generalización y formalización de patrones

Temas

1. Procesos de generalización.2. Expresiones algebraicas y sus operaciones.

3. Diagramas, tablas y gráficas.4. Uso de variables.

El estudio de la aritmética elemental se enfoca, generalmente, al tratamiento de rela-

ciones numéricas; en dicho estudio, un paso importante es la generalización de tratamien-tos aritméticos a procesos algebraicos. En la búsqueda de patrones, el álgebra aportauna herramienta importante: el empleo de símbolos que permiten identificar y explotar

relaciones o casos generales.Los procesos de generalización permiten extender el rango de razonamiento o

comunicación más allá de los casos considerados; es decir, el individuo identifica y

expone propiedades comunes de los casos analizados que van más allá de las situacio-nes mismas. En este proceso, el estudiante enfoca su atención a detectar patrones,procedimientos, estructuras y relaciones entre los casos particulares en donde se dis-

tingue el uso de algún lenguaje simbólico.Las actividades que se presentan muestran aspectos relevantes relacionados con el

desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes; en la mayoría éstas ilustran la

relación entre varias representaciones. La idea es que el maestro formule otras activi-dades y motive a los estudiantes para que ellos mismos presenten situaciones pareci-das o introduzcan algunos cambios en las ya formuladas.

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Bibliografía básica

SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las

matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas

Actividad 1. Cuatro estudiantes llegan puntuales al curso de pensamiento algebraico. Ca-

da uno saluda de mano a los otros. ¿Cuántos saludos de mano ocurren? Después llegaotro estudiante, después otro, etcétera, y todos realizan el mismo procedimiento quesus predecesores. ¿Cuántos apretones de mano se realizan en total, cuando han llegado

25 estudiantes? ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar el número deapretones de mano para cualquier número n de estudiantes?

Los estudiantes pueden trabajar en equipos en las fases de entendimiento de la

situación. En particular, pueden simular la actividad y empezar a registrar el número deapretones a través de los medios que ellos consideren pertinentes. El maestro puedeayudar a orientar y controlar el trabajo de los estudiantes. Su papel incluye plantear

preguntas que permitan a los estudiantes organizar y analizar el trabajo de manerasistemática. Por ejemplo, después de que los estudiantes resuelven el problema, el maestropuede presentar tres formas de representar la información relevante del problema y

los estudiantes deben analizar y contrastar las ventajas que ofrecen estas maneras deorganizar la información.

En la figura siguiente aparece una representación gráfica de la información relevante

del problema.

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Con esta construcción se tienen algunos elementos que ayudan a lograr un mejorentendimiento de la situación. La tabla que aparece más abajo permite identificar un

patrón entre los casos particulares que se ilustran con la figura. También permite iden-tificar el patrón de comportamiento del caso general, con lo que se pueden contestarlas preguntas planteadas.

Núm. de maestros Nuevos saludos Total, otra forma

4 6 = 1 + 2 + 3

5 4 10 = 1 + 2 + 3 + 4

6 5 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

7 6 21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

25 24 21= 1 + 2 + 3 +… + 24 =

25(24/2) = 150

N n-1 n(n-1)/2

Otra forma de representar este problema es por medio de un arreglo matricialdonde 1 representa un saludo y 0 sin saludo (nadie se saluda a sí mismo).

A B C D … N

A 0 1 1 1 … 1

B 1 0 1 1 … 1

C 1 1 0 1 … 1

D 1 1 1 0 … 1

. . . . . … .

. . . . . … .

N 1 1 1 1 … 0

En la matriz se observa que si fueran N amigos, entonces se tendrían N2 - N saludos.Se observa que en la diagonal solamente aparecen ceros e indican que aquí no haysaludo. Hay N ceros sobre la diagonal, y como los saludos en la mitad de abajo de la

diagonal son los mismos que la de arriba (es lo mismo que Juan salude a Pedro o quePedro salude a Juan), entonces la cantidad total de saludos será: (N2 - N)/2

Actividad 2. Resolver los problemas del tema 14 para tercer grado del Fichero de

actividades didácticas.

Actividad 3. Regularmente, a principios del año escolar los estudiantes tienen quecomprar varios útiles escolares. José decide comprar cuadernos que cuestan $25.00 y

plumas de $15.00. Se plantea la idea de hacer una tabla donde se muestren las diferen-tes combinaciones de estos artículos y el precio que tiene que pagar por ellos. Empiezaa llenar una tabla como la siguiente:

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9

8

7

6

5 200

4 60 185

3 45 170

2 30 55 80 105 130 155

1 15 40 65 90 115 140

0 0 25 50 75 100 125 150

0 1 2 3 4 5

Los estudiantes pueden trabajar individualmente y después en equipos para discutir

cada una de las siguientes preguntas. La idea central es identificar los distintos caminosque les ayuden a llenar la tabla y las formas de representarlos. Además, se sugiere quelos estudiantes formulen problemas o situaciones similares.

I. Describe la forma en que José ha llenado las casillas. ¿Es ésta la única forma dellenarlas?

II. Completa la tabla y explica los cálculos que utilizaste para obtener la informa-

ción de cada casilla.III. Describe lo que significa cada término de la expresión 25x + 15y = 320 en

relación con lo que José compra.IV. Observa la expresión 25x + 15y = 182. Si x y y representan el número de

cuadernos y plumas respectivamente, entonces la parte del lado izquierdo de laigualdad es múltiplo de 5 (¿por qué?). Como 182 no es múltiplo de 5, entoncesno existen dos valores enteros que cumplan la igualdad. Explica este hecho en

términos de los cuadernos, plumas y el precio.Determina para qué cantidades entre 200 y 300 (en pesos) es posible comprar una

cantidad exacta de cuadernos y plumas.

Actividad 4. Un papel importante en el uso de las variables es que funcionan comoherramientas para expresar generalizaciones matemáticas. Se sugiere que los estudian-tes expresen algunos resultados y observaciones de sus experiencias con números

como actividad que les permita paulatinamente transitar de la aritmética al álgebra.¿Qué ocurre si el triple de un número a es el doble de ese mismo número? ¿Se puededecir que la suma de dos números impares será necesariamente par o impar?

Existen muchos fenómenos que el estudiante puede discutir donde aparece el con-cepto de variable. Por ejemplo, puede observar que el costo (variable) que se reportaen una máquina despachadora de gasolina es una función (lineal) de la cantidad de

gasolina que sale de la bomba (se sugiere que los estudiantes formulen una función querelacione la cantidad de gasolina con el costo.) Otro componente importante en el

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análisis de las expresiones con variables es la interpretación que puedan admitir dentrode algún contexto. Por ejemplo, la expresión: a/(a + 1) con a un entero positivo es

susceptible de ser interpretada como:I. Un valor particular, por ejemplo, 3/4 cuando a = 3.II. Una expresión algebraica.

III. Un conjunto de valores 1/2, 2/3, 3/4, etcétera.IV. Una fracción que se acerca a 1 cuando se aumenta el valor de a.

Es importante que el estudiante identifique y exprese diversos tipos de patrones.

Por ejemplo, en la secuencia 4, 6, 8, 10, 12, …, se observa un patrón de crecimiento quepuede ser expresado como p

n+1 = p

n + 2 y donde p

1 = 4 que se identifica con una idea

central de crecimiento aritmético. Esta idea es base para el análisis de fenómenos que

se comportan en forma lineal.Otras ideas centrales son el crecimiento geométrico y el crecimiento exponencial que

pueden servir de marco para que los estudiantes detecten patrones, formulen expre-

siones algebraicas que les permita predecir, controlar y entender la situación.Argumentos geométricos también desempeñan un papel importante en la búsqueda de

expresiones generales. ¿Puede encontrar la relación entre la suma 1 + 3 + … + (2n - 1)

(números impares) y la siguiente figura?

Actividad 5. Resolver los problemas que se plantean en el tema 7 del Fichero de activi-

dades didácticas de segundo grado.

Bloque II. El estudio de las funciones y relaciones

Temas

1. Concepto de función.2. La idea de variación y sus diferentes representaciones.

3. Clasificación de funciones.Las funciones y relaciones pueden ser expresadas a través de múltiples sistemas de

representación y también ser la base para explorar diversos problemas. Por ejemplo, en

el estudio del crecimiento de población, los alumnos pueden representar una función

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que describa el fenómeno vía una tabla, una gráfica o una fórmula. Una cierta transfor-mación geométrica se puede representar a través de una matriz. Las definiciones

recursivas de funciones son de utilidad para analizar fenómenos en varios contextos.El concepto de función puede abordarse a partir del análisis de cantidades que cam-

bian con el tiempo (peso, temperatura, precios, etcétera) y estableciendo sus represen-

taciones gráficas. La idea de función involucra el uso de múltiples formas de representa-ción (lista, tabla, gráfica, fórmula) y un proceso que permite generalizar. ¿Qué es lo quetienen en común todas estas instancias?

Bibliografía básica

SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las

matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas

En las actividades siguientes se sugiere que los alumnos se organicen en grupos peque-

ños y discutan la “calidad” de los argumentos en cada una de las respuestas. En todos loscasos es importante que los estudiantes valoren la posibilidad de utilizar múltiples re-presentaciones que les permitan analizar el comportamiento de la situación desde al

menos tres ángulos diferentes: una tabla o lista ordenada, una gráfica y una fórmula.Además, resulta importante que la información que aparezca en las representaciones seinterprete en términos del fenómeno o situación bajo estudio. Al final de la discusión

grupal, es conveniente que el maestro promueva una discusión global con todo el grupodonde los estudiantes puedan conocer y contrastar el trabajo de todos los equipos ogrupos pequeños. Se recomienda que los estudiantes desarrollen el hábito de buscar

otras conexiones de la situación en estudio o de formular problemas relacionados.Actividad 1. Realizar los siguientes ejercicios sobre porcentaje.I. Si el precio de un artículo se reduce en un 40% inicialmente y, más tarde, a este

nuevo precio se le aumenta un 40%, ¿cómo es el último precio que se obtiene?:a) Éste muestra un incremento comparado con el precio original.b) Éste muestra una reducción con respecto al precio original.

c) Éste no muestra ninguna variación comparada con el precio original.¿Qué significa calcular el porcentaje de cierta cantidad? ¿Cómo es la cantidad a la

que se le aumenta el 40% comparada con la cantidad inicial? Estas son algunas pregun-

tas iniciales que pueden ayudar a identificar los elementos importantes de la situación.El precio original se reduce en un 40%. La cantidad que después se aumenta es un 40%

del nuevo precio. Como el nuevo precio es menor que la cantidad original, entonces el

resultado muestra una reducción con respecto al precio original. (El aumento es unacantidad menor que la de la reducción inicial). En términos cuantitativos, se observa que:

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• La reducción del 40% equivale a multiplicar el precio original por .6.• Aumentarlo en un 40% equivale a multiplicar este nuevo precio por 1.4.

• Realizar las dos operaciones es equivalente a multiplicar (.6)(1.4) = .84. Estosignifica que el precio original tuvo una reducción neta de un 16% del preciooriginal

d) En una papelería el precio de lista de un cuaderno es $10.00.• El primer día que aparece a la venta reducen su precio en un 40%.• El segundo día se incrementa el precio del primer día en un 40%.

• El tercer día, se reduce el precio del segundo día en un 40%.• Esta acción se repite cada día por un periodo prolongado.

Representar la información de tal manera que fácilmente se puedan leer las varia-

ciones del precio del cuaderno durante las dos primeras semanasUna representación podría ser una tabla como la siguiente:

PI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10 6 8.4 5.04 7.06 4.23 5.93 3.56 4.98 2.99 4.18 2.51 3.51 2.11 2.95

Con los valores de la tabla se puede construir una representación gráfica:

¿Cómo se obtuvieron los valores de la tabla?

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Día Precio Precio (otra representación)

1 10(.6) 10 (.6) = 6

2 10(.6)(1.4) 10 (.84)

3 10(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)

4 10(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (8.4)2

5 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)2

6 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (.84)3

7 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)3

8 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10(8.4)4

Analizando la tabla donde se indican los cálculos, se puede plantear la tarea de

representar el precio para el caso en que el número de días sea par y para cuando seaimpar.

II. El precio inicial es $10.00 y cada dos días es multiplicado por (.6)(1.4) = .84. Si el

número n de días es par, el precio será multiplicado por (.84) un total de n/2 veces. Deaquí que la fórmula sea:

Precio después de n (n par) días = ($10.00)(.84)n/2.

III. Si el número n de días tomando como punto de partida $10.00, es impar, enton-ces el número de días comenzando con $6.00 será n-1 el cual es par. Aquí el precio$6.00 se multiplica cada dos días por (1.4)(.6) = .84. Este es el mismo factor que el caso

anterior, pero con un precio diferente $6.00.El resultado es que el precio de $6.00 será multiplicado por (.84) un total de (n-1)/2

veces.

La fórmula será:

Precio después de n (n impar) días = (6.00)(.84)(n-1)/2

Otra pregunta: si decides comprar un par de zapatos que tiene un 12% de descuen-

to y al pagarlos, el encargado de la caja plantea: ¿qué prefieres, que primero te haga eldescuento del 12% del precio y después te aumente el IVA o primero te cargo el IVA

y después te hago el descuento? Respalda tu respuesta con un argumento claro.

Actividad 2. Cuando José cumplió 9 años, su padre le ofreció darle cierta cantidad dedinero cada año. Le ofreció que escogiera una opción de las siguientes dos ofertas:

I. José recibiría $1000.00 en su cumpleaños nueve; $1100.00 en su siguiente cum-

pleaños; $1200.00 en el siguiente y así sucesivamente. Es decir, José recibiría un regalode $1000.00 y después se incrementaría en $100.00 cada año.

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II. José recibiría $1.00 en su cumpleaños 9. Después, en su siguiente cumpleaños reci-biría $2.00, en el siguiente $4.00, el siguiente $8.00 y así sucesivamente. Es decir, recibiría

inicialmente $1.00 y cada año duplicaría la cantidad del previo.¿Qué plan le recomendarías a José? Argumenta tu respuesta.

Edad Plan I Plan II

9 $1,000 $1

10 $1,100 $2

11 $1,200 $4

12 $1,300 $8

13 $1,400 $16

14 $1,500 $32

15 $1,600 $64

16 $1,700 $128

17 $1,800 $256

18 $1,900 $512

19 $2,000 $1,024

20 $2,100 $2,048

21 $2,200 $4,096

22 $2,300 $8,192

23 $3,400 $16,384

Se recomienda que el estudiante exprese gráficamente el comportamiento de la

información. Además, escribir y discutir representaciones algebraicas como f(n) = 2n yf(n) = 1000 + (n-1)100.

Actividad 3. Resolver las actividades del tema 17 del Fichero de actividades didácticas

de segundo grado.Actividad 4. La tecnología puede ser un recurso importante que permite a los estu-

diantes examinar la información relevante de un problema desde distintos ángulos. En

esta actividad se emplea un software para analizar el comportamiento de parámetrosimportantes a partir de su representación gráfica y numérica. El lado AC de un triángulose divide en tres segmentos congruentes AD, DE, y EC. ¿Qué se puede decir de los tres

ángulos que se forman en el vértice B?

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Se observa que los tres ángulos nunca son congruentes.

Actividad 5. Otro ejemplo donde los estudiantes tienen oportunidad de analizar ca-

sos particulares y plantear una generalización y formalización tanto de las dimensionesde las figuras como de la cuantificación de atributos perímetro y área es: las figurasrepresentan tres familias de rectángulos con medidas particulares. ¿Cuáles son las di-

mensiones del elemento enésimo de cada familia? Calcula el área y perímetro paraalgunos casos particulares de cada familia. ¿Qué se puede decir del valor del área delenésimo rectángulo de cada familia? ¿Es posible identificar a partir de qué rectángulo de

alguna de las familias el área o el perímetro es mayor que los otros correspondientesrectángulos? ¿Cuándo el área y el perímetro son los mismos?

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Representación gráfica de los perímetros correspondientes:

P = 18.00 cm

P = 20.00 cm

Perímetro =22.00 cm Perímetro = 24.00 cm

Á = 8.00 cm2

Área = 32.00 cm2Área = 24.00 cm2

Á = 16.00 cm2

4 cm3 cm2 cm1 cm

8 cm 8 cm 8 cm 8 cmÁ(n) = 8nP(n) = 16 + 2n

Á(n) = n2

P(n) = 4n

Á(n) = (1/4)2n

P(n) = 2(1/4 + 2n)

8 cm4 cm2 cm

4 cm

3 cm

2 cm

1 cm

4 cm

3 cm

2 cm

1 cmP = 4.00 cm

P = 8.00 cm P = 12.00 cm P = 16.00 cm

P = 4.00 cmÁ = 0.50 cm2

P = 8.50 cmÁ = 1.00 cm2

P = 16.50 cmÁ = 2.00 cm2

Á = 1.00 cm2

Á = 4.00 cm2

Á = 9.00 cm2

Á = 16.00 cm2

1/21/21/2

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Representación gráfica de las áreas correspondientes

¿Qué se puede decir del comportamiento del perímetro y área de las familias de

rectángulos a partir de las gráficas anteriores?Actividad 6. Resolver las actividades del tema 1 y del tema 3 del Fichero de actividades

didácticas de tercer grado.

Bloque III. Estructuras y transformación de expresiones algebraicas

Temas

1. Transformación de expresiones algebraicas.2. Significado del algoritmo de la división.3. Representación algebraica de procesos aritméticos.

Una meta importante en el estudio del álgebra es que el estudiante trabaje problemasy relaciones a través de generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La orga-nización del álgebra alrededor de estructuras implica discutir cómo funcionan los siste-

mas: ¿qué propiedades de un sistema permiten que las fracciones se operen o combinen,o que las ecuaciones se resuelvan? El poder de las matemáticas radica en abstraer ygeneralizar las propiedades comunes de un sistema y aplicar o extender esas ideas a otros.

Por ejemplo, el entendimiento de la estructura de los enteros, permite buscar y recono-cer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades de las operaciones que sedefinen en la estructura permiten realizar una serie de transformaciones en las expresio-

nes, que pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones matemáticas. Unaidea central en el proceso de transformar expresiones algebraicas es que el estudianteencuentre el sentido al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan en

23

el entendimiento de cómo y cuando las representaciones simbólicas deben ser usadaspara representar relaciones: a) generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser

invisibles o estar escondidas; y b) habilidad para manipular y leer expresiones simbólicascomo dos aspectos complementarios para resolver problemas algebraicos.

Bibliografía básica

SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las

matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas

Actividad 1. Realizar las actividades del tema 6 del Fichero de actividades didácticas desegundo grado.

Actividad 2. Realiza las operaciones correspondientes en cada una de las expresionesde la izquierda para que se transformen en las expresiones de la derecha. En cada casoidentifica los valores de A, B, C, D y E.

Reescriba la expresión En esta forma Escriba el valor de

-2(x + 3(x – 2(x + 1))) A(x+ B) A =

B =

A =

-3(x – 2)2 + 4 C + x(B + Ax) B =

C =

A =

B =

C =

D =

E =

El maestro puede pedir a los alumnos que procedan a llenar la tabla anterior yexpliquen sus procedimientos. También puede pedirles que la extiendan, de manera

que se incluyan diversas operaciones algebraicas.Actividad 3. Significado del algoritmo de la división. Generalmente cuando se trabajan las

expresiones algebraicas se da mucha atención a los símbolos y reglas sintácticas para

manipularlas y poca atención al posible significado que pueda otorgársele a determina-das representaciones. Uno de los algoritmos más útiles es el algoritmo de la división, elcual se presenta usualmente sin ningún referente que ayude a entender su significado.

4x - 3 8x + 4

-x - 3 2x - 3+

Ax + B

(Cx + D)(Ex + D)

24

La idea geométrica de este algoritmo, que se remonta a Euclides, puede ser de utilidadpara que los estudiantes identifiquen las ideas claves y sentido de los pasos que se

realizan en este proceso. Se inicia con una representación geométrica.Sea b un número mayor que cero, sobre el eje numérico se ubican puntos a una

distancia b y también se ubica un punto de referencia, cero. Estos puntos se localizan

como múltiplos enteros de b y se representan como en el caso de los números enterossobre la recta numérica pero con un cambio de escala.

Cualquier número estará situado entre dos de estos números consecutivos o seráuno de ellos. Si qb (con q un número entero) es el punto más cerca a la izquierda delpunto a, entonces se tiene la siguiente representación:

Ahora restando qb se tiene:

0≤ a – qb < b, si r = a – qb se tiene una interpretación geométrica del algoritmo de ladivisión: el segmento b cabe q veces en el segmento a y sobra un segmento de longitudr. Es decir, si se fija un número real b > 0, entonces para cualquier número real a, existe

un único entero q (cociente) y número real r (residuo), 0 ≤ r < b, tal que a = qb + r.Los estudiantes verificarán el significado de este algoritmo para algunos casos parti-

culares de a y b. Con b = 10, y a = 5297, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 1.5 y

a = 145.65, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 4/5 y a = 103/7, ¿cuáles son losvalores de r y q?

Actividad 4. En un triángulo rectángulo el perímetro mide 70 unidades de longitud

y la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Determine las longitudes de los treslados.

En una primera fase los estudiantes pueden discutir en equipo las ideas o conceptos

fundamentales relacionados con triángulos. ¿Qué es un triángulo? ¿Qué es lo que carac-teriza un triángulo rectángulo? ¿Cómo se calcula el perímetro o área de un triángulo?,etcétera. Posteriormente, estos mismos equipos pueden proponer caminos de solu-

ción a todo el grupo. De forma individual, los estudiantes pueden intentar resolver elproblema a partir de las sugerencias de los equipos. Finalmente, en una discusión global,se invita a que un estudiante presente su respuesta al problema. El maestro identifica

los conceptos e ideas importantes que aparecen durante el proceso de solución.Una figura ayuda a entender los datos:

-4b -3b -2b -b 0 b 2b 3b 4b

qb ≤ a < (q + 1)b

qb a (q + 1)b

25

Se tiene que el perímetro vale 70, esto es a + b + c = 70. También que la suma de loscuadrados de los lados es 1682. Es decir, a2 + b2 + c2 = 1682. Como se trata de un

triángulo rectángulo también se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir, a2 + b2 = c2.

Con esta información se tiene que 2c2 = 1682, de donde c2 = —— = 841=, de aquíc vale 29.

Utilizando la ecuación a + b + c = 70 y el valor de c se tiene que:a + b = 41 (al sustituir el valor de c en la ecuación del perímetro)a2 + b2 = 841; ahora, despejando b de la primera (b = 41 – a) y sustituyendo su valor

en esta última ecuación se tiene: 2a2 – 82a + 1681 = 841, la cual se reduce aa2 – 41a + 420 = 0(a – 20)(a – 21) = 0

Con esta información se tiene que las medidas de los catetos del triángulo rectán-gulo son 20, 21 y con hipotenusa igual a 29. Para comprobar las condiciones que tienenque cumplir, se tiene que 20 + 21 + 29 = 70 (la condición del perímetro). Además, 202

+ 212 + 292 = 400 + 441 + 841 = 1682. Esto verifica la justifica la validez del procedi-miento.

Actividad 5. Dimensiones y área de un rectángulo. Considere cualquier rectángulo: ¿qué

le ocurre a su área si una de las dimensiones se incrementa en un 10% y la otra dismi-nuye en un 10%?

Sin realizar operaciones se sugiere que los estudiantes presenten algunas respues-

tas. Después se pueden analizar algunos ejemplos particulares. En una discusión contodo el grupo se pueden plantear algunas preguntas. ¿Cómo organizar la informaciónque se obtenga al analizar algunos casos particulares? ¿Una tabla? ¿Qué elementos se

deben mostrar en esta tabla? ¿Qué se observa en la tabla?

Largo (a) Ancho (b) Área Inicial 1.1a .9b Nueva Área Diferencia

60 40 2400 66 36 2376 24

40 60 2400 44 54 2376 24

90 80 7200 99 72 7128 72

80 90 7200 88 81 7128 72

100 50 5000 110 45 4950 50

a

cb

16822

26

Se observa que siempre que se disminuye una dimensión en un 10% y se aumenta laotra en un 10% el área inicial del rectángulo disminuye. Para cada caso se puede saber

el valor de la diferencia entre las áreas correspondientes. Por ejemplo, para la primerafila se tiene que de 2400 el área se reduce a 2376, lo que significa que el área se reduceen un 1%, ya que 2400 – 2376 = 24

Usando una representación algebraica, la pregunta se puede traducir como:Si a y b son las dimensiones, entonces, para calcular la nueva área se tendría que:(1.1)a x (.9)b = (1.1)b x (.9) a = .99(ab)

El área siempre disminuye, además se observa que disminuye un 1% (discutir aquí las

ventajas o el poder de la representación algebraica). El resultado es independiente delorden en que se seleccione la dimensión que se incremente o disminuya.

Bloque IV. El uso de modelos para representary entender relaciones cuantitativas

Temas

1. Tratamiento de la información al resolver problemas.

2. Formulación de modelos para analizar el comportamiento de una situación.El poder de los modelos radica en que permiten estudiar fenómenos o situaciones

a través del uso de diversas representaciones. Las representaciones algebraicas de la

situación o fenómeno que se modela es una manera efectiva de analizar la informacióny parámetros relevantes. En este proceso, los estudiantes pueden explotar sus expe-riencias previas y recursos algebraicos en la búsqueda de soluciones de problemas

particulares. Las actividades que aquí se presentan involucran varios aspectos impor-tantes que los estudiantes deben atender durante el proceso de solución. Un primermomento incluye el entendimiento de la situación o problema. Aquí es necesario iden-

tificar la información relevante que permita caracterizar o establecer relaciones entreparámetros de la situación. Una segunda fase es intentar representar la información através de distintos medios que permitan analizar la información desde distintos ángu-

los. Esta fase está ligada a la adopción de un modelo que permita analizar el comporta-miento de la situación.

Bibliografía básica

SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Rojano, T. y S. Ursini (1997), Enseñando álgebra con hojas electrónicas de cálculo, Grupo Editorial

Iberoamérica.

27

Actividades sugeridas

Actividad 1. Resuelva el problema de la página 319 del Libro para el maestro.

Actividad 2. Un alumno en la clase de educación física se lastima una rodilla. El médicode la escuela le receta una medicina anti-inflamatoria (tabletas) para reducirle la hincha-zón. El médico le explica al paciente la frecuencia en que se tomará las tabletas y como

actuará la tableta en su organismo.1. La dosis en cada suministro será de 16 unidades (cantidad de sustancia activa)2. Cuando el paciente recibe un suministro de medicamento, su organismo inme-

diatamente inicia un proceso para asimilar las 16 unidades, y este proceso cul-mina 10 minutos después. Es decir, 10 minutos después del primer suministro, elcuerpo del paciente habrá asimilado la cantidad total de sustancia activa que le

fue suministrada.3. Al momento que el organismo del paciente asimila el total de la sustancia activa

que le fue suministrada, se inicia un proceso de eliminación del medicamento.

4. Cuando la cantidad máxima de medicamento previa a un suministro se ha redu-cido a la mitad, tiene lugar el siguiente suministro, en este momento se inicia unaumento de la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente. Para

este medicamento en particular, la reducción se logra cada 4 horas a partir delsuministro. Por ejemplo, el segundo suministro tendrá lugar cuando la cantidadde sustancia activa sea de 8 unidades (la mitad de 16), lo cual ocurrirá después

de cuatro horas de haber recibido el primer suministro.5. El paciente recibirá varios suministros durante el tratamiento.

¿Cómo se comporta la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente?

Por ejemplo, ¿cuánto medicamento tendrá el paciente después de dos días de trata-miento?

Los estudiantes, trabajando en grupos pequeños o en forma individual representarán

la información usando diferentes formas. Por ejemplo, el uso de una tabla puede ayudara detectar el comportamiento de ciertas relaciones entre los datos a partir de un aná-lisis cuantitativo. Un camino para determinar las entradas de la tabla es tratar de incluir

las “formas de asignación” que determinan la cantidad de sustancia activa en el cuerpodel paciente en diferentes momentos.

Suministro (núm.)cada 4 horas

Horas transcurridasal momento del

suministro

Cantidad de sustanciaactiva en el organismoen el momento de cada

suministro

Cantidad de sustanciaactiva en el organismo,10 minutos después de

cada suministro

1 0 0 16

2 4 8 24

3 8 12 28

4 12 14 30

5 16 15 31

28

6 20 15.5 31.5

7 24 15.75 31.75

8 28 15.875 31.875

9 32 15.9375 31.9375

10 36 15.96875 31.96875

La información de la tabla ilustra algunos aspectos de cómo varía la cantidad desustancia activa en el organismo después de que el paciente ha recibido cierto número

de suministros. De hecho, nos permite observar una tendencia de la cantidad de medi-camento en el cuerpo del paciente.

Los datos de la tabla, en su representación gráfica, confirman de manera visual elcomportamiento que se había observado en los números. Se nota que después de cier-to suministro la cantidad de sustancia activa se mantiene en un intervalo con un valor

mínimo y máximo. Se puede decir que la cantidad no pasa cierto límite para no producirefectos colaterales en el paciente, pero para que surta efecto tiene que estar por arribade cierta cantidad.

En la construcción de la tabla se detecta cierta regularidad en la forma en que secomporta la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente. ¿Cómo describiresas regularidades en forma algebraica? Una forma es reescribir los valores de la tabla

de tal manera que las operaciones se dejen indicadas. Esto se ilustra en la siguientetabla:

Suministronúmero

1

2

Cantidad de sustancia activa en el organismoal momento de cada suministro

0

——— = ——0 + 16 1622

29

Se observa que en el suministro n≥2, la cantidad de sustancia es la que había en elsuministro anterior, n-1, más 16; todo dividido entre dos.

El comportamiento que se presenta en la tabla se puede escribir como:

Con esta última expresión se pueden verificar los datos que se obtuvieron en laprimera tabla respecto a la cantidad de sustancia en el organismo del paciente después

de cada suministro. También se observa que 10 minutos después del n-ésimo suminis-tro, el cuerpo del paciente habrá acumulado la cantidad que tenía en ese momento, másla que acaba de ser asimilada (16 unidades). Si esta cantidad la denotamos por An,

entonces también se puede obtener una expresión para esta cantidad:

Es claro que la representación algebraica ofrece ciertas ventajas comparada con lasotras representaciones. Por ejemplo, con la ayuda de las expresiones algebraicas resul-

ta fácil calcular la cantidad de medicamento en cualquier suministro.Tarea de extensión. En la situación anterior cambie la dosis que es suministrada a r

unidades y conteste las mismas preguntas.Actividad 3. Una situación que incluya solamente atributos matemáticos también

puede ser modelada a partir de algún software dinámico que permita explorar el com-portamiento de sus parámetros importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el rectángulo con

mayor área de todos aquellos que tienen el mismo perímetro? Es una pregunta que se

3

4

5

6

—— + 16162

————— = —————16 + 2 × 16

2 22

16 + 2 × 16 + 22 × 16————— + 1616 + 2 × 16

22

———————— = —————————2 23

24

16 + 2 × 16 + 22 × 16————————— + 16

23

———————————— = —————————————16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 162

—————————————— = ————————————————24

———————————— + 1616 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16

216 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 + 24 × 16

25

Cn = ————————————————————

= 16 ———————————

= 16 1- ——

16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 + . . . + 2n-2 × 16 =

(1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n-2

2n-1

( ))

12n-1

2n-1

(An = Cn + 16 = 16 1 - —— + 16 2 - ——2n-1 )( )1

2n-11

30

puede abordar a partir de una representación dinámica que permita establecer co-nexiones y examinar el comportamiento o variación continua del área.

En la figura se observa el valor del área (tabla) de varios rectángulos con perímetro

fijo y estos valores se pueden identificar en la gráfica de la función que representa elárea. Esto permite visualizar dónde se encuentra el rectángulo con mayor área.

6.00 cm

3.00 cm 3.00 cm

3.00 cm

9.00 cm2

3.00 cm

Pensamiento AlgebraicoPrograma de estudio

Licenciatura en Educación Secundaria3er semestre

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

en los talleres de

con domicilio en

el mes de abril de 2002.Se imprimieron 2 500 ejemplares

más sobrantes de reposición.

El cuidado de la edición estuvo a cargo de la Dirección General de Normatividadde la Secretaría de Educación Pública.