Los números fraccionarios: conceptos y operaciones

7/30/2019 Los nmeros fraccionarios: conceptos y operaciones

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2013Antonio Garca MegaLos nmeros fraccionariosAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1309015685943mailto:[email protected]://angarmegia.com/


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Los nmeros

fraccionariosConceptos y operaciones

Notas y recursos didcticos para las clases de Matemticasde Educacin Primaria y Secundaria

Una propuesta deAntonio Garca Mega


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El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.

Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:

Vdeos en el Portal:http://angarmegia.com/videos.htm

Angarmegia en YouTube:http://www.youtube.com/user/angarmegia

Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.

http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Esta misma informacin en formato html est accesible desde lassecciones Matemticas

http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:

http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.

Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,

Doctor en Filologa Hispnica.
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CONTENIDO

Introduccin: ________________________________________________________________ 9La lectura de nmeros fraccionarios ____________________________________________ 9

Clases de nmeros fraccionarios ________________________________________________ 10Fracciones propias _________________________________________________________ 10Fracciones impropias y nmeros mixtos ________________________________________ 10Fracciones homogneas _____________________________________________________ 11Fracciones aparentes _______________________________________________________ 11Fracciones equivalentes _____________________________________________________ 12Fracciones decimales _______________________________________________________ 12

Propiedades de los quebrados __________________________________________________ 12

La simplificacin de fracciones _________________________________________________ 13

Reduccin de quebrados a un comn denominador __________________________________ 14

Operaciones con nmeros fraccionarios __________________________________________ 15Adicin de fracciones _______________________________________________________ 15Sustraccin de fracciones ____________________________________________________ 16Multiplicacin de fracciones _________________________________________________ 17Divisin de fracciones ______________________________________________________ 18Potencia de una fraccin ____________________________________________________ 19


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DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLOS NMEROS FRACCIONARIOS

_____9

INTRODUCCIN:Se denomina nmero fraccionario a aquel que representa a una o varias partes iguales en las quese ha dividido una, o ms, unidades enteras. Consta siempre de dos trminos que se suelenpresentar en forma de dos cifras colocadas una sobre otra y separadas por una lnea.

En nmero inferior, denominador, indica el nmero de partes en que se ha dividido cada unidadentera. El superior, o numerador, informa de los fragmentos de unidad que se consideran: se

han tomado cuatro partes de las seis obtenidas al fragmentar la unidad entera.Un nmero fraccionario es la forma de expresar de manera exacta el resultado de un cocienteinexacto que tiene como dividendo el numerador y como divisor al denominador.El ejemplo utilizado ser el resultado exacto de la dividin 4:6.

LA LECTURA DE NMEROS FRACCIONARIOS

Los nmeros fraccionarios, o fracciones. Se leen enunciando primero el numerador como unnmero entero y luego el denominador como un nmero partitivo. En el caso del ejemplo:

Cuatro sextos


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_____10

PartitivosPartes realizadas Lectura del denominador

2 Medios3 Tercios4 Cuartos

5 Quintos6 Sextos7 Sptimos8 Octavos9 Novenos10 Dcimos11 Onceavos12 Doceavos13 Treceavos14 Catorceavos15 Quinceavos16 Dieciseisavos

17 Diecisieteavos18 Dieciochoavos19 Diecinueveavos20 Veinteavos30 Treintavos

CLASES DE NMEROS FRACCIONARIOSFRACCIONES PROPIAS

Son aquellas que representan una cantidad inferior a la unidad. Se reconocen porque eldenominador es mayor que numerador.

FRACCIONES IMPROPIAS Y NMEROS MIXTOS

Son aquellas que representan una cantidad superior a la unidad. Se reconocen porque eldenominador es menor que numerador.

Pueden tomar la forma de nmero mixto. Se denominan as aquellos nmeros fraccionarios que

constan de una parte entera y un nmero fraccionario. En el ejemplo, como resulta evidente:


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_____11

4

3= 1 +

1

3= 1

1

3

Para transformas una fraccin impropia en nmero mixto se divide el numerador entre eldenominador. El cociente resultante corresponde a la parte entera de la forma mixta, el resto dela operacin se sita en el numerador y como denominador se mantiene el que haba, es decir el

divisor.

7

3= 2 +

1

3= 2

1

3

Al dividir 7:3 se obtiene:

COCIENTE=2

RESTO =1

De manera anloga un nmero mixto puede tomar la forma de fraccin impropia. Para ello semultiplica la parte entera por el denominador y se suma al producto el numerador. El resultadoes el nuevo numerador. El denominador es el mismo. En el caso anterior:

21

3

ENTERO =2

DENOMINADOR =3

NUMERADOR =1

23=6

6+1=7 Se sita como numerador

Se mantiene 3 como denominador

FRACCIONES HOMOGNEAS

Se llaman homogneas a las fracciones que muestran el mismo denominador:

4

3;

8

3;

2

3

FRACCIONES APARENTES

Se llaman as a los nmeros fraccionarios que realmente representan unidades completas. Si sehacen cuatro partes de algo y se hacen referencia a esas cuatro partes, en realidad, se estaraludiendo a la totalidad del objeto o cantidad. En realidad, son fracciones que representan

divisiones exactas. Por eso, convertir una fraccin aparente en un nmero entero es tan sencillocomo dividir el numerador entre el denominador. El resto siempre es 0.

4

4= 4 4 = 1

15

5= 15 5 = 3

Asimismo, cualquier nmero entero puede tomar la forma de fraccin con denominador 1:

17 =17

1


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_____12

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas que representan a la misma cantidad a pesar de utilizar trminos diferentes:

FRACCIONES DECIMALES

Son un caso especial de nmero fraccionario. Se denominafraccin decimala la que tiene comodenominador la unidad seguida de ceros, es decir. Cualquiera de las potencias de 10. Es mscomn utilizarlas en su formato de nmero decimal que con la forma caracterstica de un

quebrado.4

10= 04

8

100= 008

La lectura de los quebrados decimales vara ligeramente de la regla general de lectura apuntadacon anterioridad:

Fracciones decimalesPartes realizadas Lectura del denominador

10 Dcimas100 Centsimas1.000 Milsimas

10.000 Diezmilsimas100.000 Cienmilsimas

1.000.000 Millonsimas

Para convertir un nmero decimal en fraccin comn se opera de la siguiente forma: NUMERADOR: El nmero completo considerado como entero, es decir, prescindiendo

de la coma decimal. DENOMINADOR: La unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

nmero.

0089 = 891000

218 = 218100

= 218

100

PROPIEDADES DE LOS QUEBRADOS De dos o ms quebrados con el MISMO DENOMINADOR es mayor el que presenta

mayor numerador.

2

4;

1

4;

3

4 3

4>

2

4>

1

4


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_____13

De dos o ms quebrados con el MISMO NUMERADOR es mayor el que presentamenor denominador.

3

4;

3

6;

3

2 3

2>

3

4>

3

6

Si el NUMERADOR de un quebrado SE MULTIPLICA POR UN NMERO, el valor querepresenta el QUEBRADO QUEDA MULTIPLICADO POR ESE NMERO. Esta propiedadposibilita que para multiplicar un entero por un quebrado se multiplique elnumerador y se mantenga el mismo denominador.

3 2

2=

6

2

Si el NUMERADORde un quebrado SE DIVIDE POR UNO DE SUS DIVISORES, el valorque representa EL QUEBRADO QUEDA DIVIDIDO POR EL MISMO NMERO.

4 210

=2

10

Si el DENOMINADOR de un quebrado SE MULTIPLICA POR UN NMERO, el valor querepresenta EL QUEBRADO QUEDA DIVIDIDO POR ESE NMERO.

Si el DENOMINADORde un quebrado SE DIVIDE POR UNO DE SUS DIVISORES, el valorque representa EL QUEBRADO QUEDA MULTIPLICADO POR ESE NMERO.

Si el NUMERADORy el DENOMINADOR de un quebrado se multiplican o dividen porun mismo nmero el valor que representa el quebrado no se altera. Esta propiedad

es fundamental para la simplificacin o amplificacin de fracciones y la reduccinde quebrados a comn denominador.

LA SIMPLIFICACIN DE FRACCIONESLa simplificacin de fracciones busca su transformacin en otras equivalentes pero con lostrminos ms pequeos que facilite los clculos. Cuando no es posible ms simplificacin se haalcanzado lafraccin irreducible. Todo quebrado cuyos dos trminos son nmeros primos entres, es irreducible.Para simplificar una fraccin se han de dividir ambos trminos, sucesivamente, entre todos losfactores comunes al numerador y al denominador.

20

50(dividiendo ambos factores entre 2) =

10

25

Dividiendo ambos factores entre 510

25=

2

5

2

5= 20

50

El mtodo ms eficaz para simplificar fracciones, especialmente si se opera con cifras elevadas,

consiste en dividir numerador y denominador entre el m.c.d. de sus valores.


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_____14

90

1350

90 = 2 32 51350 = 2 33 52

m.c.d. (90, 1350) = 2 9 5 = 90

90 : 90 = 11350 : 90 = 15

90

1350=

1

15

REDUCCIN DE QUEBRADOS A UN COMN DENOMINADORReducir varias fracciones a un denominador comn es buscar otras equivalentes que tengan el

mismo denominador. Se basa en la aplicacin de la propiedad, ya enunciada, que deca: Si elNUMERADOR y elDENOMINADOR de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo nmero

el valor que representa el quebrado no se altera. Es imprescindible para efectuar determinadosclculos con este tipo de nmero.

MTODO TRADICIONALSe multiplican los dos trminos de cada fraccin por el producto de los denominadoresde todas las dems.

,

,

,

Reduccin a comn denominador2

4 2 3 8 10

4 3 8 10=

480

960

7

3 7 4 8 10

3 4 8 10=

2240

960

2

8 2 4 3 10

8 4 3 10=

240

960

5

10 5 4 3 8

10 4 3 8=

480

960

Resultado final ,

,

,

,

,

,

MTODO DEL m.c.m.Se calcula el m.c.m. de todos los denominadores. Ser el denominador comn. Cadanuevo numerador se determina multiplicando el original por el resultado de dividir elm.c.m. entre el denominador correspondiente.

,

,

,


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_____15

Clculo del m.c.m de todos los denominadores4 = 22

3 = 38 = 23

10 = 2 5m.c.m (4, 3, 8, 10) = 8 3 5 = 120

Reduccin a comn denominador2

4 2 (120 4)

120=

60

120

7

3 7 (120 3)

120=

280

120

2

8 2 (120 8)

120=

30

120

5

10 5 (120 10)

120=

60

120

Resultado final ,

,

,

,

,

,

OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOSADICIN DE FRACCIONES

CASO 1:TODAS LAS FRACCIONES TIENEN EL MISMO DENOMINADORSi las fracciones son homogneas, es decir, tienen un mismo denominador, se suman losnumeradores y se mantiene el mismo denominador.

3

5+

2

5+

6

5+

4

5=

3 + 2 + 6 + 4

5=

15

5

CASO 2:LAS FRACCIONES TIENEN DIFERENTES DENOMINADORESSi las fracciones no son homogneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducenprimero a comn denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidoscomo en el caso anterior.

PROCEDIMIENTO TRADICIONAL:

1

5+

2

4+

3

8=

1 4 8

160+

2 5 8

160+

3 5 4

160=

32

160+

80

160+

60

160=

172

160

PROCEDIMIENTO m.c.m.1

5+

2

4+

3

8

Clculo m.c.m. de los denominadores5 = 54= 22

8= 23

m.c.m. (5, 4, 8) = 23 5 = 40


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_____16

1

5+

2

4+

3

8=

1 (40 5)40

+2 (40 4)

40+

3 (40 8)40

=8

40+

20

40+

15

40=

43

40

COMPARATIVA DE RESULTADOS DE AMBOS PROCEDIMIENTOS

1: 172160

172 4160 4 =

43

40

2: 4340

CASO 3:ALGN NMERO FRACCIONARIO SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los sumandos es un nmero mixto se procede ante todo a sutransformacin en fraccin impropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en elcaso anterior.

23

4+ 1

1

6+

4

7

Transformacin de nmeros mixtos en fracciones impropias

23

4=

8

4+

3

4=

11

4

11

6=

6

6+

1

6=

7

6

Resulta:

2

3

4 + 1

1

6 +

4

7 =

11

4 +

7

6 +

4

7

Clculo m.c.m. de los denominadores4= 22

6 = 2 37= 7

m.c.m. (4, 6, 7) = 22 3 7 = 84

11

4+

7

6+

4

7=

11 (84 4)84

+7 (84 6)

84+

4 (84 7)84

=231

84+

98

84+

48

84=

377

84

SUSTRACCIN DE FRACCIONES

CASO 1:TODAS LAS FRACCIONES TIENEN EL MISMO DENOMINADORSi las fracciones son homogneas, es decir, tienen un mismo denominador, se restan losnumeradores y se mantiene el mismo denominador.

5

7 2

7=

5 27

=3

7

CASO 2:LAS FRACCIONES TIENEN DIFERENTES DENOMINADORESSi las fracciones no son homogneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducen

primero a comn denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidoscomo en el caso anterior.


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_____17

PROCEDIMIENTO TRADICIONAL:

4

10 2

24=

4 24

240 2 10

240=

96

240 20

240=

76

240

PROCEDIMIENTO m.c.m.

410 224

Clculo m.c.m. de los denominadores10 = 2 524 = 23 3

m.c.m. (10, 24) = 23 3 5 = 120

4

10 2

24=

4 (120 10)120

+2 (120 24)

120=

48

120 10

120=

38

120

COMPARATIVA DE RESULTADOS DE AMBOS PROCEDIMIENTOS

1: 76240

76 2240 2 =

38

120

2: 38120

CASO 3:ALGN NMERO FRACCIONARIO SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los trminos es un nmero mixto se procede, ante todo, a sutransformacin en fraccin impropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en elcaso anterior.

4

3

2 14

5


43

2=

8

2+

3

2=

11

4

14

5=

5

5+

4

5=

9

5

Resulta:

43

2 1 4

5=

11

4 9

5

Clculo m.c.m. de los denominadores4= 22

5=5m.c.m. (4, 5) = 22 5 = 20

11

4 9

5=

11 (20 4)20

9 (20 5)20

=55

20 36

20=

19

20

MULTIPLICACIN DE FRACCIONES

CASO 1:PRODUCTO DE UNA FRACCIN POR UN ENTERO

Se multiplica el entero por el numerador y se mantiene el denominador.


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_____18

3 5

8=

3 5

8=

15

8

4

9 6 =

4 6

9=

24

9

CASO 2:PRODUCTO DE VARIAS FRACCIONESNumerador del producto: Resultado de multiplicar entre s todos los numeradores.Denominador del producto: resultado de multiplicar entre s todos los denominadores.

3

11

6

4

5

3=

3 6 5

11 4 3=

90

132

CASO 3:ALGN FACTOR SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los factores es un nmero mixto se procede a su transformacin en fraccinimpropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en el caso anterior.

33

2

2

6

14

3


33

2=

6

2+

3

2=

9

2

14

3=

3

3+

4

3=

7

3

Resulta:

33

2

2

6 1

4

3=

9

2

2

6

7

3=

9 2 7

2 6 3=

126

36

DIVISIN DE FRACCIONES

CASO 1:DIVISIN DE UN ENTERO ENTRE UNA FRACCINSe multiplica el entero por el denominador de la fraccin situando en resultado comonuevo numerador. El numerador inicial pasa a ser denominador del cociente.

4 58

=4 8

5=

32

5

6 65

=6 5

6=

30

6

CASO 2:DIVISIN DE UNA FRACCIN ENTRE UN ENTEROSe mantiene el mismo numerador. El denominador ser el que resulte de multiplicar eldenominador de la fraccin por el entero.

5

7 3 = 5

7 3=

5

21

4

8 5 = 4

8 5=

4

40

CASO 3:DIVISIN DE UNA FRACCIN ENTRE OTRA FRACCINNumerador del cociente: Resultado de multiplicar el numerador del primero

(dividendo), por el denominador del segundo (divisor).


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_____19

Denominador del cociente: Resultado de multiplicar el denominador del primero(dividendo), por el numerador del segundo (divisor).

4

11 6

5=

4 5

11 6=

20

66

35 24 = 3 45 2 = 1210

Importante: En el supuesto de que alguno de los trminos tenga la forma de nmero mixto, seobtendr la fraccin impropia equivalente de este y se operar a continuacin del modo aqu

descrito.

21

5 3

7=

11

5 3

7=

11 7

5 3=

77

15

POTENCIA DE UNA FRACCIN

Para elevar un nmero fraccionario a una potencia se elevan numerador y denominador a dichapotencia.

25

3

=23

53=

8

125

37

2

=32

72=

9

49


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Vdeos relacionados en:http://angarmegia.com/videos.htm

http://www.youtube.com/user/angarmegia

Actividades interactivas en:http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Informacin en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en:http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm

http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

Ms documentos imprimibles relacionados en:http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas

2013Antonio Garca MegaLos nmeros fraccionarios

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