IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Los modelos p-regions y max-p-regions y su aplicación en el

diseño de unidades espaciales para estudios socio-económicos.

Juan C. Duque

Departamento de EconomíaUniversidad EAFIT

Seminario de Investigación.Facultad de Economía Universidad del Rosario

mayo, 2011Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

La tendencia. . .

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

La tendencia. . .

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

La tendencia. . .

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

La tendencia. . .

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

La necesidad de agregar

Agregamos para:

Alcanzar un mínimo poblacional en cada unidad de estudioReducir los efectos de datos atípicosFacilitar la visualización e interpretación de mapasDiseñar unidades de estudio con sentido económicoFacilitar el tratamiento de los datosMantener el secreto estadísticoLa agregación puede ser necesaria cuando el fenómenono se puede medir en un solo punto (tasas de nacimiento,proporción de personas en edad de trabajar, etc.)

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Definición

Problema de la Unidad Espacial Modificable (PUEM)Cuando analizamos datos espaciales agregados, losresultados dependen de la definición de las unidadesgeográficas utilizadas.El valor de los estadísticos (univariados, bivariados ymultivariados) cambia como consecuencia de la pérdidade información que resulta al agregar los datos originales.

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Dimensiones de PUEM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

EscalaFuente: Long and Nucci (1997)

El índice de concentración poblacional de Hoover, 1890-1995

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

AgregaciónFuente: Openshaw (1978)

Iowa: Correlación entre el porcentaje de votos republicanos (1968) yel porcentaje de la población con edad mayor o igual a 60 años

(1970).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

AgregaciónFuente: Openshaw (1978)

Iowa: Correlación entre el porcentaje de votos republicanos (1968) yel porcentaje de la población con edad mayor o igual a 60 años

(1970).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

AgregaciónFuente: Openshaw (1978)

Iowa: Correlación entre el porcentaje de votos republicanos (1968) yel porcentaje de la población con edad mayor o igual a 60 años

(1970).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

AgregaciónFuente: Openshaw (1978)

Iowa: Correlación entre el porcentaje de votos republicanos (1968) yel porcentaje de la población con edad mayor o igual a 60 años

(1970).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

PUEM: Dimensiones

AgregaciónFuente: Openshaw (1978)

Iowa: Correlación entre el porcentaje de votos republicanos (1968) yel porcentaje de la población con edad mayor o igual a 60 años

(1970).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Implicaciones:

Si los resultados se usan para, por ejemplo, orientar laformulación de política, el PUEM podría llevarnos acometer graves errores...No se pueden utilizar los resultados obtenidos a partir deuna configuración espacial en estudios que utilicen otrasconfiguraciones.Las conclusiones obtenidas a una escala no son válidasen otras escalas (las áreas con bajo nivel de ingresotienen más crimen 6= las personas con bajos ingresos sonmás propensas a cometer crímenes).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

El problema de los números pequeños

DefiniciónDado un riesgo π de estar expuesto a un evento en unapoblación P en un período de tiempo dado, el número depersonas O observadas que han experimentado el eventosigue una distribución binomial. La probabilidad de observar xeventos es:

Prob[O = x ] =(

Px

)πx(1− π)P−x , para x = 0,1, · · · ,P.

Media = πPVarianza = π(1− π)P

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

El problema de los números pequeños

DefiniciónCuando el riesgo se estima por medio de tasas:

π̂ = O/P (Estimador insesgado de π)

E [O/P] = E [O]/P = πP/P = πVar [O/P] = Var [O]/P2 = π(1− π)P/P2 = π(1− π)/P

La precisión de la tasa depende del tamaño de la población.Esto hace dificil comparar tasas entre poblaciones de diferentetamaño (Variance instability).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Autocorrelación espacial espuria

DefiniciónAparición de autocorrelación espacial por error de medidadebida a una escasa correspondencia entre la extensiónespacial del fenómeno económico bajo estudio y las unidadesespaciales de observación.

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

PUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

Error de agregación

Definición

A: Parte de la población se considera como no cubierta.B: La población se considera como cubierta cuando no loestá en su totalidad (suele estar entre el 7− 10% y puedellegar a 35%).

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Modelos de agregación espacial

Formulaciones exactasDuque, J. C., Church, R. L., and Middleton, R. S. (2011)The p-regions problem Geographical Analisis,43(1):104-126.Duque, J. C., Rey, S. J., and Anselin, L. “The max-p-regionproblem.” Submitted.

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Parameters:i, I index and set of areas, i = {1, · · · , n} ;k ,K index and set of regions, k = {1, · · · , p} ;o,O index and set of contiguity order, o = {0, · · · , q} , with q = n − p + 1;

cij

{1, if areas i and j share a border, with i, j ∈ I and i 6= j0, otherwise;

Ni{

j|ci,j = 1};

Dij Dissimilarity relationships between areas i and j , with i, j ∈ I and i < j ;

Decision variables:

Tij

{1, if areas i and j belong to the same region k , with i < j0, otherwise;

X koi

{1, if area i is assigned to region k in order o0, otherwise;

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

p-regions: OrderRM

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Max-p-region problem

Parameters

Decision variables

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Max-p-region problem

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Métodos de solución

Modelos heurísticos

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Métodos de solución

Modelos heurísticos

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Construction

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Métodos de solución

Modelos heurísticos

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

Local search

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Accra

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Accra

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Accra

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Accra

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Pobreza en Medellín

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Pobreza en Medellín

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Plan Director 2030

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Plan Director 2030

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Spatial Smoothing

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Spatial Smoothing

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Localización de sirenas

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Clusters Industriales

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Clusters Industriales

Aircraft Manufacturing Real State

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Submercados de vivienda

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

¿Un mapa es suficiente?

La distribución espacial de una variable puede cambiar radicalmentecon el tiempo.

Una única agregación no puede explicar dichos cambios.

Estos fenómenos son comunes en economías de transición. a

a“In terms of either the rapidity of changes or the scale of involvement, the formation, reformation, and

transformation of urban landscapes in contemporary China really have little parallel elsewhere in the world”(Lin and Wei 2002).

GDPPC 1978 GDPPC 1998

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Shock y su efecto en la redistribución espacial de unavariable

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Casos1 Comparar la reacción de dos variables frente a un mismo

shock.2 Comparar la misma variable en dos espacios diferentes.3 Estimar el momento del shock.

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Caso de China

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Outline

1 Introducción

2 Problemas relacionados con la agregaciónPUEMEl problema de los números pequeñosAutocorrelación espacial espuriaError de agregación

3 Modelos de agregación espacial y métodos de solución

4 AplicacionesRiseOtras

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

En econometría espacial

p-region para una solución no paramétrica de laautocorrelación espacial.p-region para una solución paramétrica de laautocorrelación espacialp-region para el tratamiento de la heterogeneidad espacial

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Desigualdad

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Regionalizacíon (Districting)

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Dinámicas espaciales

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Remote sensing

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

Heurísticos

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions

IntroducciónProblemas relacionados con la agregación

Modelos de agregación espacial y métodos de soluciónAplicaciones

RiseOtras

http://www.rise-group.org/

Juan C. Duque Modelos p-regions y max-p-regions