Introducción a las Lógicas No-Clásicas

Bajo la acepción de “Lógica Clásica” no se debería entender exactamente una

lógica concreta, uno de esos triplos <L,[|S], √M> caracterizados por un lenguaje formal

L, y sendas definiciones de la relación de consecuencia en términos de derivabilidad

formal y de consecuencia semántica. El adjetivo “clásica” aparece, por ejemplo, en los

dos sistemas formales cuya descripción ha ocupado casi por entero este curso, lo cual

da a entender que la Lógica Clásica resulta ser más bien una cierta clase de lógicas

particulares caracterizada por la presencia de ciertos rasgos genéricos.

Sabemos que los sistemas que aquí hemos denominado Lógica proposicional

clásica y Lógica clásica de Primer Orden –donde se puede incluir también los sistemas

que resultan al admitir identidad y símbolos funcionales- forman parte de la Lógica

Clásica, y aunque puede haber alguna discrepancia acerca de si es adecuado incluir

ahí algún otro sistema –lógica- con iguales derechos, mi decisión será la de no incluir

ningún otro sistema bajo esa acepción.

El uso del plural en el caso de las Lógicas No-Clásicas no hace referencia sólo

a la existencia de múltiples sistemas del tipo <L,[|S], √M> , sino también a la presencia

de familias o incluso grupos enteros de familias de tales sistemas. Así, por ejemplo,

veremos cómo la Lógica Modal es una Lógica No-Clásica formada por una amplia

colección de familias de sistemas dotados de rasgos comunes suficientemente

explícitos. Decir que la clasificación de Lógicas No-Clásicas constituye en ocasiones

una tarea que recuerda a la clasificación de especies animales no es mucho exagerar.

Para comprobarlo basta solicitar a algún especialista en la materia una rápida

clasificación del terreno fácil de aplicar y suficientemente completa: lo más probable es

que acabemos por provocar su hilaridad.

Lógica de Enunciados

410

Aunque por ahora sólo sean nombres para nosotros, las primeras de estas

lógicas aparecen no mucho más tarde que la propia Lógica Clásica. Los primeros

sistemas modales -de la necesidad y la posibilidad- son introducidos por C.I. Lewis en

1932. Las lógicas multivaluadas –con más valores de verdad que {Z,F}- nacen de la

mano de Lukasiewicz en la década de 1930, mientras que la primera lógica

intuicionista –de enunciados- es presentada por A. Heyting también en 1930. Todas

ellas divergen, discrepan, o extienden decisiones que son características del modelo al

que parece responder el diseño de la Lógica Clásica.

El canon clásico. Pero, ¿existe realmente un modelo tal? ¿Hay algo así como un

canon cuyo desarrollo y expresión constituya el objetivo de la Lógica Clásica? En otras

palabras, ¿por qué hablamos siquiera de Lógica Clásica? Son muchas las razones

que pueden aducirse para justificar un modo de proceder que, sea razonable o no,

constituye un hecho histórico insoslayable. En un extremo de éstas podemos

encontrar la defensa del valor de la Lógica como tribunal de la razón, como canon al

que todo razonamiento correcto debería ajustarse. La Lógica Clásica sería, entonces,

la expresión más clara y depurada de los intentos de la ciencia por describir la

capacidad argumentativa del ser humano cuando ésta se aplica de modo correcto.

Esta posición no es del todo ajena a la propia refundación de la Lógica a finales del

siglo xix y principios del xx. El programa Logicista confía en la autoridad de la Lógica

como ciencia, que lo es por excelencia, de los fundamentos. Desde este punto de vista

resulta evidente la existencia de una única Lógica correcta asociada a aquellos

momentos en que la razón humana ha de mostrar un máximo de rigor y eficacia. No se

trata de ver en la Lógica Clásica la auténtica representación de los esquemas formales

e inferenciales que los seres humanos usamos de hecho. Se trata de defender y

justificar su primacía en orden al conocimiento de la realidad. Es justo reconocer en

este punto, que han sido muy pocos los autores que han pretendido dar a la Lógica

una función descriptiva de los procesos que de hecho seguimos al razonar, lo que

dejaría sin explicación posible el error y las falacias lógicas. Es mucho más frecuente

una posición normativa asociada al intento de describir el método correcto de la

ciencia y del conocimiento en general.

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

411

La pronta aparición de insuficiencias en el modelo clásico, o incluso la

constatación de aparentes paradojas, junto con la definición de alternativas formales –

como las ya mencionadas- de igual rigor matemático, desbarató las aspiraciones que

la Lógica Clásica pudiera haber tenido a erigirse en canon de la razón. El proyecto

normativo en Lógica que intenta describir o proponer un único modelo admisible muere

para la comunidad científica mucho antes que para el resto de la comunidad filosófica.

No es extraño encontrar aún hoy pensadores que atribuyen al lógico un afán normativo

que muy posiblemente nunca haya tenido y que desde luego, sabe ahora que no

puede tener.

Una vez descartado el paradigma normativo como razón que explique la

vigencia de la Lógica Clásica, lo que se impone es el intento de explicar su valor como

un dato real efecto de procesos tal vez no procedentes de una única causa. Podemos

rechazar también que la presencia de este modelo responda a otra cosa que la mera

casualidad histórica, pero pocos podrían conceder valor a una afirmación tan radical.

Descartada también esta opción, pienso que podemos indicar al menos tres buenas

razones para explicar la robustez mostrada por la Lógica Clásica.

[1] i. La Lógica Clásica responde en todas sus decisiones a los

criterios más simples y elementales que pueden ser aportados

como solución.

ii. La Lógica Clásica puede ser el producto de determinadas

necesidades socioculturales o incluso sociobiológicas.

iii. La Lógica Clásica ocupa una posición singular en relación a

resultados aparentemente no arbitrarios como aquellos que se

ponen de manifiesto al estudiar ciertos resultados de limitación y

ciertos teoremas de la teoría abstracta de modelos.

Lógica de Enunciados

412

La teoría de modelos de la Lógica de clásica de Primer Orden ha sido

considerada en numerosas ocasiones como una explicación muy pobre del

comportamiento de la noción de verdad en relación a las constantes lógicas

elementales –conectivas y cuantores- y del modo en que los enunciados adquieren un

valor de verdad. Pero el análisis de esta objeción puede llevar, en realidad, a reforzar

el estatus de la Lógica Clásica en la línea indicada en [1.i]. El argumento es bastante

convincente. Querer ver en el desarrollo modelista clásico de la Lógica de Primer un

análisis de la noción de verdad es improcedente y totalmente inadecuado. Los valores

considerados y la relación que entre ellos se asume solo representan las condiciones

mínimas que son necesarias para clasificar de forma ideal las fórmulas de un lenguaje.

Los valores {V,F} podrían, igualmente, haber sido {0,1} o cualquier otra opción que

mostrarse idénticas relaciones de complementariedad y exclusión que la que se

asume en este caso. Lo que se caracteriza no es, por tanto, una concepción

filosóficamente profunda de la noción de verdad, sino la habilidad para distinguir o

clasificar fórmulas bajo condiciones ideales o perfectas. Este argumento, que sirve

ahora para justificar la presencia y conducta de los valores de verdad, se repite

también en otros momentos críticos de la construcción de la teoría de modelos clásica.

Pienso en la definición de las cláusulas de algunas constantes lógicas, especialmente

el condicional material y el negador, y en la propia definición de la consecuencia

semántica como relación simplemente preservadora del valor designado –verdad en

este caso-.

La Lógica Clásica es persistente porque alude de algún modo a nuestra

habilidad cognitiva para establecer distinciones ideales y perfectas entre los miembros

de una cierta clase de objetos –preferentemente una clase finita-. ¿Se quiere decir con

ello, que esta habilidad forma parte de nuestro equipamiento cognitivo como seres

humanos, no tratándose entonces de un producto cultural más o menos casual? Esta

es la línea que precisamente se adopta en [1.ii]. La Lógica Clásica, entendida como la

habilidad para idear criterios perfectos de clasificación de clases de objetos mediante

el uso de un lenguaje, sería el resultado del proceso de evolución que ha llevado a

establecer los rasgos distintivos de nuestra especie. Tenemos la Lógica que tenemos

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

413

porque es la que permitió que desarrollásemos las habilidades que conducían al nicho

ecológico ocupado por la especie homo.

Sea por lo que se dice en [1.ii] o por otras razones, el estudio metateórico de la

Lógica clásica de Primer Orden lleva a resultados que indican una cierta estabilidad en

los rasgos que este sistema presenta. Hay propiedades que se adquieren o se pierden

al disponer de teorías de Primer Orden, correlaciones de rasgos que sólo se dan

simultáneamente en su interior, etc –cfr.: cap.3.8-. Esto resulta bastante apreciable en

el terreno de la decidibilidad y aún más en la llamada teoría de modelos abstracta –

pienso muy en particular en el Teorema de Lindström-. Sería muy complejo entrar en

el pormenor, y no lo haremos, pero es un hecho que el mapa conceptual que resulta al

estudiar las propiedades metateóricas de los distintos sistemas lógicos, deja un hueco

que es, precisamente, el cubierto por la Lógica clásica de Primer Orden. En definitiva,

si por avatares históricos hubiéramos primado otras soluciones distintas a las que son

ahora comunes, las vías trazadas en el mapa conceptual de nuestro ingenio lógico-

matemático habría acabado por llevarnos igualmente, a la Lógica clásica de Primer

Orden. Esta es la idea que subyace, grosso modo, a la tesis expuesta en [1.iii].

Ninguna de estas razones puede ser utilizada, sin embargo, para negar al resto

de los sistemas lógicos conocidos hoy en día el derecho a la existencia. Así, cuando

se consideran condiciones menos simples que las ilustradas por la Lógica Clásica lo

que se obtiene no son teorías informales al margen de la Lógica. Las herramientas

empleadas son las mismas que aquellas de que nos servimos en el caso de la Lógica

Clásica, y los estándares de rigor en nada desmerecen los se alcanzan en el caso

clásico. Por otra parte, tampoco es cierto que el modo en que razonamos cuando nos

limitamos a aplicar esquemas de uso común, poco sometidos a una reflexión previa,

sean siempre los que la Lógica Clásica propone. En otras palabras, el argumento

sociobiológico puede ser empleado igualmente para defender la existencia y

plausibilidad de otras lógicas, incluso en ocasiones con mayor motivo. Finalmente,

tampoco es posible utilizar el argumento metateórico para marginar a las Lógicas No-

Clásicas. Muchas de ellas, quizá la mayoría, poseen conductas que no dudaríamos en

reconocer como típicas de una conducta metateórica clásica.

Lógica de Enunciados

414

Pero, ¿cuáles son las razones que pueden aducirse para construir o definir una

Lógica No-Clásica? De entre las muchas que tal vez cabe mencionar, me parece

oportuno entresacar las siguientes:

[2] i. El intento de extender el alcance de los métodos de la Lógica a

dominios de mayor complejidad o a los que antes no había

llegado el análisis formal.

ii. Intentar reparar las deficiencias observadas en la conducta de

una constante lógica bajo su análisis clásico.

iii. Reemplazar el análisis de una constante o rasgo definitorio de

una lógica por otro considerado correcto.

Esta lista sólo reúne una serie de actitudes o motivaciones frecuentemente

ligadas al desarrollo o propuesta de una lógica no-clásica y no debe entenderse como

una clasificación de sistemas alternativos. De hecho, es un rasgo característico del

estudio de las Lógicas No-Clásicas encontrar que uno y el mismo sistema es asociado

a distintas motivaciones por distintos autores.

Reconozco que esta presentación sabría a poco si no se acompañase de algún

mecanismo más explícitamente destinado a la clasificación o descripción de Lógicas

No-Clásicas. Pero esto ya está dado, al menos en parte. Me serviré, aunque debo

reconocer que no es lo más habitual, de las intenciones o motivos descritos en [2] para

este fin. La descripción de la intención generalmente asociada a la descripción de una

lógica junto con el lugar por el que prioritariamente empieza la introducción de rasgos

diferenciales puede ser un buen modo de acercarse al tópico. Para indicar estos

lugares me serviré de los elementos que he empleado para definir una lógica, es decir,

un lenguaje, una relación de derivabilidad formal y otra de entrañamiento. El resultado

nos lleva a :

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

415

[3] i. Modificaciones que dan comienzo básicamente por el lenguaje

formal.

ii. Modificaciones que afectan prioritariamente al tratamiento de la

derivabilidad.

iii. Modificaciones que afectan en primer lugar al desarrollo

modelista del lenguaje y de la relación de consecuencia –

consecuencia semántica-.

Lo que procede a continuación es un somero recorrido por las lógicas no-

clásicas de mayor fama indicando en cada caso bajo qué motivaciones ha encontrado

un tratamiento más frecuente, y qué modificaciones son aquellas que han sido

ensayadas para lograr su objetivo. Como parece evidente, estas elecciones no tienen

por qué ser únicas, y esto es así, por que de hecho, la historia de la disciplina muestra

que no lo fueron. Mi intención será en todo momento mostrar la genuina diversidad

que la Lógica ha alcanzado en nuestros días: es difícil indicar un problema o un

concepto genuinamente refractario a un tratamiento formal, del mismo modo que es

difícil indicar algún tipo de estrategia que no pueda ser ilustrada mediante el desarrollo

de alguna lógica obtenida mediante un uso relevante de la misma.

Ni antes ni ahora he contemplado la posibilidad de incluir un apartado dedicado

ex profeso a lo que en ocasiones se denomina lógica aplicada. Supongo que es una

decisión que conviene explicar, sobre todo en un momento en el que ésta parece ser

una tendencia en auge. No creo que exista algo así como una lógica aplicada en

sentido estricto, ni tampoco un conjunto de rasgos formales que sirvan para distinguir

las lógicas aplicadas o instrumentales de las puras o fundamentales. Tampoco creo

que esa sea una forma habitual de ver las cosas. Existe, si se quiere, una intención

identificable –podría incluirse entre las que he enumerado en [1]- en algunas lógicas o

en algunos programas de investigación que podría ajustarse bien a esa denominación:

instrumental o aplicada. Sin embargo, me cuesta mucho trabajo ver qué diferencia hay

Lógica de Enunciados

416

entre esta motivación y la de extender en alcance de la Lógica a dominios en los que

aún no tiene expresión, pero en los que existe evidencia de procesos inferenciales

ligados a la estructura de ciertos procesos o entidades. Un caso paradigmático es el

de las lógicas temporales. ¿Se trata de una lógica aplicada, o del hallazgo de la

estructura formal que es característica de ciertas inferencias asociadas al uso de

partículas temporales? Lo primero se puede defender al observar que para tratar

partículas como “en algún momento futuro”, “ahora y antes”, etc se recurre a las

herramientas características de la Lógica modal, aquella dedicada al tratamiento de

partículas como “es necesario que” o “es posible que”. Se trataría así de aprovechar

una herramienta formal conocida por sus resultados para estudiar un dominio con el

que nada tiene que ver. La otra opción, completamente enfrentada a ésta, defendería

que la estructura de tales partículas temporales y de los operadores modales de

necesidad y posibilidad es similar, o que existe una comunidad estructural entre todas

estas familias de conceptos. Aunque sólo sea por lo sugerente de la idea, simpatizo

más con esta última opción. No creo en la existencia de una genuina lógica aplicada,

sino en el descubrimiento de manifestaciones de la estructura formal que es asunto de

la Lógica en dominios cada vez más extensos.

Conviene advertir en cualquier caso que aquello en que puede consistir la

lógica aplicada no debe confundirse con la tarea de formalizar una teoría expresada

hasta entonces en el lenguaje ordinario. Formalizar una teoría constituye un tipo de

investigación por entero completo al diseño de una lógica aplicada, al menos tal y

como entiendo tales tareas.

Elaborar una lista de sistemas lógicos que ilustren el recorrido de las Lógicas

No-Clásicas no parece ni posible ni conveniente aquí. No creo tampoco que tal cosa

sea posible sin que el proyecto alcance dimensiones enciclopédicas. En su lugar he

optado por seleccionar una escueta muestra de sistemas que a mi juicio son

representativos de la amplia variedad de técnicas y motivaciones que han sido

ensayadas en este vasto dominio. Al final, todo ello se completará con un listado de

otras lógicas que no trataré pero cuya existencia tal vez no haya que ignorar.

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

417

Lógica de Orden Superior. Pese a lo que pueda parecer, la llamada Lógica de

Orden Superior no nace después de la Lógica de Primer Orden, sino al mismo tiempo

Se trata de un sistema cuya intención es extender el alcance de los recursos de la

Lógica de Primer Orden, aunque sería inadecuado pensar que se propone tan sólo

como un intento de paliar las posibles deficiencias de la primera. La Lógica de Primer

Orden y de Orden superior son propuestas ambas en el Begriffsschrift de Frege

separándose progresivamente a lo largo de las dos primeras décadas del siglo xx. La

Lógica de Orden Superior se caracteriza por poseer un vocabulario básico con letras

de variable capaces de representar relaciones n-arias de tipos de complejidad

creciente y sobre las cuales pueden actuar cuantores del mismo modo que lo hacen

sobre las variables de individuo. En la Lógica de Primer Orden sólo hay variables de

individuo, en la Lógica de Segundo Orden hay variables de individuo y variables

relacionales, en la Lógica de Tercer Orden, etc. Todo indica que en este caso la

modificación que da lugar a esta nueva lógica empieza por el lenguaje: se trata de una

ampliación de la potencia expresiva en una dirección determinada ya por el rango de

recursos existentes en Primer Orden.

Hay muchos principios importantes que pese a su aire elemental no pueden ser

expresados en Primer Orden. Uno de los más notables es el principio –que no su

esquema de Primer Orden –cfr.: cap.3.5- de inducción:

[4] Principio de Inducción. Para toda propiedad de números enteros se

cumple que si es posible establecer que el cero posee esa propiedad y

se muestra que si un número x la posee, entonces x+1 la posee

igualmente, entonces es posible concluir que esa propiedad es común a

todos los enteros.

La correcta formalización de este principio sería la siguiente:

Lógica de Enunciados

418

[5] ∀Ψ[Ψ0 & ∀x(Ψx→Ψ(x+1)) → ∀xΨx]

Junto a este cabe recordar también el conocido como principio de identidad de

los indiscernibles, originalmente debido a Leibniz, que afirma que dos objetos

cualesquiera son idénticos si y sólo si comparten los mismos atributos. Esto daría

lugar a lo siguiente:

[6] ∀xy[x=y ↔ ∀Ψ(Ψx↔Ψx)]

Se puede ver que algunos de los principios más relevantes dentro del armazón

de la matemática moderna o de la filosofía de todos los tiempos sólo encuentran una

adecuada expresión admitiendo la potencia expresiva que en este caso figura en una

Lógica de Segundo Orden. ¿Por qué no considerar la Lógica de Orden Superior, en la

medida en que incluye propiamente la Lógica de Primer Orden, como la expresión más

acertada y definitiva de la Lógica Clásica? Pese a que hay algunos autores que han

sugerido esa opción, basándose en que la Lógica de Orden Superior extiende los

principios semánticos y sintácticos –relativos a la derivabilidad- de la Lógica de Primer

Orden de la forma más directa posible, no es lo que la mayoría acepta. La razón se

encuentra en la pérdida de propiedades metateóricas que tiene lugar en este nivel. La

Lógica de Segundo Orden no es completa, tampoco es compacta y no satisface los

teoremas de Löwenheim-Skolem –como sostiene el Teorema de Lindström-. Se trata

de un sistema formal extremadamente potente desde un punto de vista expresivo –sus

teorías son categóricas-, pero muy anómalo como producto formal genuino.

Lógica Intuicionista. Si la Lógica de Orden Superior es, al menos en espíritu, una

prolongación de los métodos de la Lógica Clásica, el caso de la Lógica Intuicionista

representa el polo opuesto a esta pretendida continuidad. Su definición constituye un

caso claro de intento de reemplazar el análisis que la Lógica Clásica hace de sus

principios básicos por otros de índole completamente distinta. El lenguaje formal es,

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

419

sin embargo, el mismo. Hay una Lógica Intuicionista de enunciados y una Lógica

Intuicionista de Primer Orden. En realidad, nada impide imaginar una réplica

intuicionista de cada posible lógica basada en la noción de verdad clásica. Pese a lo

que pueda parecer, la Lógica Intuicionista encuentra su primera expresión a través de

modificación en la conducta de la derivabilidad clásica. De hecho, no existe una única

forma de obtener una semántica formal adecuada a la interpretación intuitiva que

subyace a la Lógica Intuicionista.

El movimiento intuicionista tiene su origen en los primeros años de la década

de 1920. El responsable inmediato es Brouwer, lógico de origen holandés, al que se

une de pleno derecho el nombre de Heyting, también de esa nacionalidad. En el

núcleo de la reacción intuicionista se encuentra un profundo desacuerdo ante los

objetivos del programa Logicista. Para Brouwer la Matemática no se reduce a Lógica

de ningún modo. Los objetos matemáticos son construcciones mentales, así como las

pruebas que establecen propiedades acerca de esos objetos. Afirmar algo de un

objeto propio de las Matemáticas equivale a sostener la existencia de una construcción

de dicho objeto poseyendo esa propiedad. Construcción cuya existencia no sólo se

postula, sino que se conoce. Hasta aquí el Intuicionismo no parece tener mucho que

ver con la Lógica. Sin embargo, cuando se examina a fondo los términos de esta

protesta se aprecia su incompatibilidad con ciertos principios que la Lógica Clásica

sanciona como teoremas. Interpretada desde el punto de vista anterior, según el cual

el contenido de una proposición es una construcción mental en la que un objeto se

muestra poseedor de un cierto atributo –relación, etc.- el principio de tercio excluso

Av¬A –tertium non datur en la tradición clásica- resulta ininteligible a la luz de ciertos

hechos. El ejemplo prototípico es la conjetura de Goldbach que afirma que todo

número par es la suma de dos números impares. No se conoce una demostración de

este hecho ni de su negación. Por tanto, interpretado de modo intuicionista, la

disyunción Gv¬G formada a partir del enunciado de la conjetura de Goldbach afirmaría

la existencia de una prueba –construcción- de ese hecho o de su negación. Ninguna

cosa es cierta, y por tanto, el principio debe ser rechazado. Al hacer caer este

principio, hay otros que inmediatamente se ven afectados. Los principales son,

incluyendo tercio excluso, los siguientes:

Lógica de Enunciados

420

[7] i. |Av¬A

ii. | ¬¬A→A

iii. | ¬(A&B)→¬Av¬B

El primero que da una presentación de un sistema de lógica elemental –Primer

Orden- compatible con los principios intuicionistas del razonamiento matemático es

Heyting en 1928. Lo hace siguiendo un formato axiomático y no aporta una

interpretación de las constantes lógicas consistente con la interpretación ingenua que

el intuicionismo da de las proposiciones de la Matemática. Esto último se solventa en

1928 cuando el propio Heyting aporta una interpretación en la que la noción de prueba

se conecta con las constantes lógicas de forma razonablemente natural. Así, A→B se

interpreta como la existencia de una prueba en la que se muestra cómo transformar

una construcción de A en una construcción de B. No obstante, no será la única

interpretación semántica operativa en el contexto del intuicionismo. Esto justifica que

pensemos en la Lógica Intuicionista como en una operación tendida principalmente

sobre la derivabilidad con el objetivo de evitar principios que se juzgan inaceptables

desde nuevas bases.

En 1934 Gentzen aporta elementos que permiten construir un cálculo de

deducción natural para la Lógica intuicionista. Éste difiere del cálculo clásico en un

grado relativamente pequeño para lo que sería de esperar, ajustándose mucho mejor

al espíritu del intuicionismo que las presentaciones axiomáticas precedentes. Se

prescinde, en primer lugar, del negador para introducir lo que se denomina constante

de absurdo, representada mediante “⊥”. El negador se reintroduce definicionalmente

como ¬A≡A→⊥. Es decir, ¬A significa que existe una construcción que muestra que a

partir de una construcción de A se llega a una contradicción, algo que permite

entender muy bien el móvil intuicionista. El cálculo de deducción natural intuicionista

de enunciados es en todo igual al clásico salvo en que prescinde de las reglas de la

negación. En su lugar sólo añade la siguiente:

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

421

[8] ⊥

A

Falta un total acuerdo acerca de si es éste el mejor modo de capturar la

esencia del intuicionismo –lógica minimal de Johanson- y de cuál sea la semántica

más adecuada. Hay disenso incluso acerca de si realmente debe haber algo así como

una Lógica Intuicionista, ya que el Intuicionismo es una escuela matemática que se

limita a rechazar la vigencia de ciertos principios clásicos. Tercio excluso no es sólo un

teorema de la Lógica Clásica, sino un principio cuyo rechazo lleva a inhabilitar muchas

demostraciones matemáticas generalmente aceptadas: todas aquellas que proceden

por reducción al absurdo.

Lógicas multivaluadas. Una vez más encontramos que las primeras lógicas dignas

de tal nombre son formuladas no mucho más tarde que la propia Lógica Clásica. Los

nombres asociados a este desarrollo son los de Lukasiewicz y Post quienes a lo largo

de la década de 1920 proponen diversos sistemas en los que entre los valores de

verdad que puede recibir un enunciado se incluyen otros que no son {V,F}. Aunque

ambos trabajan en el mismo periodo su desarrollo es por entero independiente. Con el

tiempo las Lógicas multivaluadas –hay una familia entera de ellas- se han llegado a

entender como una extensión de los métodos de la Lógica Clásica que empieza por

replantear el tratamiento semántico clásico. Este replanteamiento conserva intacta la

conducta de las conectivas por lo que hace a los valores clásicos {V,F} que pasan a

ser vistos ahora como casos límite. Las Lógicas multivaluadas tienen un mayor

desarrollo y motivación en el ámbito del lenguaje LE, comentario que se entiende mejor

mirando brevemente su historia.

Aunque todo parece indicar que las Lógicas multivaluadas constituyen un

intento de naturalizar –y así extender- los esquemas inferenciales clásicos, la verdad

es que nacen por motivos ligeramente distintos. Es cierto que verdad y falsedad

representan situaciones ideales que no suelen encontrarse en la mayoría de las casos

Lógica de Enunciados

422

en que supuestamente razonamos conforme a principios formales inobjetables. La

constatación de incertidumbre no comporta, pese a lo que podría parecer desde un

punto de vista ingenuo, el abandono de esquemas de razonamiento lógico. Ha de

existir una lógica capaz de trabajar con valores verdad representativos de diversos

grados de incertidumbre y en consecuencia, ha de poderse establecer el

comportamiento de la conectivas, que dan lugar a enunciados complejos. Así

entendidas, las Lógicas multivaluadas sólo intentan extender los métodos de la Lógica

Clásica a dominios más próximos a nuestra experiencia cotidiana. La diferencias entre

ellas residirán, básicamente, en el número de grados intermedios de verdad que es

posible encontrar en los valores clásicos de “verdad” y “falsedad”. Lo característico de

una Lógica multivaluada y aquello que las distingue de otras en las que también

pueden aparecer otros valores de verdad, es, precisamente, esa disposición de los

nuevos valores de verdad con respecto a los clásicos.

Pero ésta, como ya he dicho, es la interpretación que se ha abierto paso a lo

largo del tiempo, no la que inicialmente concede Lukasiewicz a su primer sistema

trivaluado. El sistema de lógica trivaluada que introduce este autor contempla un tercer

valor de verdad cuya interpretación es la de “posibilidad”, noción que debe ser

asimilada a algo que se parece más a la noción típicamente alética de “tan verdadero

como falso” que a la noción modal que hoy vemos asociada a ese concepto. La

indefinición del propio Lukasiewicz a este respecto ha sido fuente de numerosos

problemas y debates nunca resueltos por completo. La introducción de este valor tiene

por objeto en su caso combatir el principio de omnisciencia lógica, una forma de

determinismo especialmente rechazada por este autor. El problema arranca de un

texto de Aristóteles, Α+Χ3 +Χ9/;+3!Ε (De Interpretatione), en el que se analiza el valor

de verdad de enunciados acerca de futuros contingentes. El caso típico es “Mañana

habrá una batalla naval”. Si todo enunciado ha de tener un valor de verdad éste

también. Si los únicos valores de verdad son {V,F}, y como enunciado que es le

corresponde uno de ellos, entonces el futuro estará determinado aquí y ahora por el

valor de verdad de los enunciados que expresan futuros contingentes. Para evitar esta

perversa conclusión sostiene Lukasiewicz se hace preciso aceptar un tercer valor que

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

423

corresponda a este tipo de enunciados que aún no poseen un valor de verdad, pero

que pueden llegar a poseerlo.

Esta posición metodológica hace que el principio de tercio excluso Av¬A

adopte el valor ½ (“posible”) cuando A es simplemente posible. La negación de un

contingente futuro es igualmente posible y la disyunción preserva la monotonía. Sin

embargo, Lukasiewicz se esfuerza por conservar la tautologicidad de A→A

entendiendo por tal el hecho de que su columna sólo arroje el valor {V}. Este efecto,

mal explicado por el autor, y peor entendido por sus críticos, es uno de los rasgos

característicos de su lógica.

Poco después de proponer este sistema trivaluado, Lukasiewicz extiende sus

ideas a espacios valuacionales con n-valores y finalmente a espacios con una

cantidad enumerable de ellos. Este giro en sus planteamientos tiene un efecto positivo

para sus ideas y otro que no lo es tanto. Lo primero se refiere a la necesidad de

sistematizar de una forma mucho más coherente la conducta de las conectivas. Al no

haber un número finito de valores, el cálculo de aquellos que adquiere un enunciado

complejo no puede presentarse de forma más o menos arbitraria, más o menos ad

hoc, mediante una matriz de valores. La solución de Lukasiewicz para su lógica infinito

valuada definida sobre el intervalo racional [0,1] es la siguiente:

[9] v(A→B)=min(1,1-v(A)+v(B))

v(¬A)=1-v(a).

La consecuencia discutible de este giro es la considerable debilitación del móvil

filosófico originalmente vertido sobre su sistema trivaluado. A parte de esto, proyecta

un aire instrumental sobre estos sistemas, diseñados en apariencia a la mayor gloria

de los métodos formales de análisis del lenguaje, bastante dañino para su valor

epistemológico.

Lógica de Enunciados

424

Los sistemas de Post son sistemas n-valuados, donde n siempre finito. El valor

que tiene su investigación es el de aportar por vez primera, un estudio en profundidad

de la completitud funcional en un dominio en el que este resultado no es trivial.

Lógicas Parciales ( y Paraconsistentes). De nuevo nos encontramos ante sistemas

que operan sobre el entramado semántico intentado extender los métodos de la

Lógica Clásica a dominios donde verdad y falsedad son casos límite. ¿Por qué no

incluirlos entonces entre las lógicas multivaluadas? La razón es la relación que en esta

ocasión guardan los nuevos valores con los clásicos de “verdad” y “falsedad”.

Empecemos por el caso parcial. Como su nombre indica, una lógica parcial es

aquella en la que hay enunciados asociados a circunstancias que hacen –o explican-

que carezcan de valor de verdad. Esa deficiencia puede subsanarse más adelante o

puede no hacerlo, pero no hay modo de saber cuál de los dos casos es aquel ante el

que nos hallamos. ¿Supone esta dificultad la completa suspensión de cualesquiera

principios lógicos? En absoluto. El autor que de una forma más motivada y profunda

ha propuesto el tratamiento formal de enunciados carentes de valor –o compuestos

por subfórmulas carentes de valor de verdad- es S. Kleene –1938 y 1952-. La relación

de este autor con los principales episodios del nacimiento y constitución de la Teoría

de la Computación explican en parte su motivos para proponer este tipo de sistema.

Muchas de las circunstancias en que nos vemos operando con ciertos algoritmos

conllevan un grado de indeterminación que impide concluir si el algoritmo en cuestión

va a concluir arrojando un resultado o va a continuar indefinidamente sin arrojar uno.

La naturalidad de este tipo de situación aconseja contemplar una lógica útil para

razonar en circunstancias en que los enunciados formalizados se refieren a algoritmos

y sus resultados. Kleene podría haber utilizado, como él mismo afirma, funciones

parciales como medio para interpretar los enunciados de su lenguaje –el lenguaje LE,

en principio-. Una función parcial de verdad difiere de una función de verdad estándar

en el hecho de que puede dejar de asignar valor a los átomos del lenguaje. En lugar

de adoptar esta solución, algo radical para la época en que se sugiere por primera vez,

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

425

Kleene opta por introducir junto a los valores clásicos {T,F} un tercer valor “u” –por

undefined- cuya interpretación no es, sin embargo, alética: “u” significa carecer por el

momento, o a todos los efectos, de valor de verdad. Este hecho es importante porque

la existencia de una inequívoca interpretación del tercer valor conduce en este caso, y

a diferencia de lo que sucedía con Lukasiewicz, a unas matrices para la definición de

las conectivas con una fuerte motivación intuitiva y, por tanto, fáciles de entender.

¿Qué valor de verdad tiene una fórmula del tipo A&B cuando A recibe el valor

indeterminado y B falso? Evidentemente poco importa si A finalmente adquiere un

valor y cual sea éste para que el enunciado A&B sea falso y ello simplemente porque

B lo es. Desarrollar este móvil estableciendo los casos correspondientes al resto de las

conectivas no es difícil. De hecho, se trata de un tipo de tratamiento de la compleción

de información que ha sido visto por algunos autores –S. Blamey- como un análisis

presidido por la única idea de la monotonía: si sea cual sea el modo en que se

resuelve una expresión indeterminada, ello no hace que el valor del enunciado en que

interviene cambie, entonces ese valor es el que enunciado complejo posee aquí y

ahora pese a existir en su interior porciones de información aún no determinadas.

El fuerte componente intuitivo de este modelo ha hecho que sea tenido muy en

cuenta a la hora de producir sistemas artificiales de razonamiento capaces de operar

bajo información incompleta. A parte de este valioso componente intuitivo, las

conectivas de Kleene tienen la ventaja de preservar unas con respecto a las restantes,

las mismas relaciones de interdefinición que en el caso clásico. Esto hace que puedan

ser consideradas como una genuina extensión del modelo de la Lógica Clásica a un

contexto más amplio, algo que sólo era parcialmente verdad en el caso de las lógicas

multivaluadas de Lukasiewicz. La contrapartida se encuentra a la hora de analizar la

preservación de las tautologías clásicas, o de la conducta de la consecuencia

semántica. A menos que aceptemos incluir el valor “u” entre los valores designados y

considerar la posibilidad de concluir enunciados indefinidos a partir de otros

verdaderos, la relación clásica de consecuencia no se preserva. Pero esto, tal vez, no

sea tan dramático: algunos autores han señalado que el refinamiento de la

consecuencia clásica no sólo no es indeseable, sino bastante razonable, ya que

permite incorporar entre las condiciones a ser satisfechas por la relación de

Lógica de Enunciados

426

consecuencia una cierta conexión entre el contenido –los átomos- de los enunciados

que intervienen en premisas y conclusión.

Pero el modelo de Kleene no es el único que se propone en ese periodo. En

1939 Bochvar, un lógico ruso, propone otras conectivas parciales enteramente

distintas. El tercer valor, “I” –por indeterminado o carente de sentido, en realidad-

vuelve a comportarse como un valor no alético que, pese a todo, se incluye en el

rango de valores de verdad para evitar recursos más radicales. La idea en este caso

es distinta, y en cierto modo menos interesante. Bochvar introduce este valor para

representar la presencia de enunciados anómalos como pueden ser las paradojas

lógicas del tipo de la de Russell o Grelling. Desde su punto de vista este tipo de

enunciados constituyen sinsentido lógicos que impiden el normal proceso de atribución

de valor de verdad. Así, en el momento en que una subfórmula determinada adquiere

el valor “I” toda la expresión de la que forma parte se vuelve ininteligible adquiriendo

ese mismo valor. La idea que subyace a este planteamiento es fácil de entender

aunque discutible en algunos aspectos: todo enunciado complejo que contenga una

subfórmula ininteligible por representar un sinsentido adquiere él mismo esa categoría.

Lo discutible aquí, no es ese principio, seguramente plausible por lo que hace al

tratamiento de enunciados deficientes desde un punto de vista alético, sino que las

paradojas lógicas sean un buen ejemplo de enunciados de este tipo.

Esta observación sirve para introducirnos en las llamadas lógicas

paraconsistentes. Reciben esta denominación aquellos sistemas diseñados para tratar

en principio con enunciados inconsistentes o paradójicos. Los modos de entender

estas nociones son muy variados y, tal vez no es lo más importante aquí desarrollarlos

con la atención que merecen. De todos los intentos de tratar con esta noción destaco

dos por su indudable paralelismo con el formato de las lógicas parciales. De hecho, la

decisión de incluir la noción de paraconsistencia en este apartado se debe al acierto

mostrado por estos desarrollos en el intento de hacer aparecer esta noción como un

concepto dual con respecto al de parcialidad. Sin embargo, es innegable que la

paraconsistencia carece de la respetabilidad de la parcialidad. Seguramente hay

buenas razones filosóficas para ver en la parcialidad una idea más central en la

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

427

constitución de nuestro ingenio formal, pero esto no supone automáticamente el

destierro de la paraconsistencia, ni tampoco la necesidad de negar cierta evidencia

favorable a la tesis de la dualidad. Las razones por las que la paraconsistencia ha

creado en torno a sí una cierta mala fama están basadas muchas veces en el

prejuicio: una lógica que acepte contradicciones trivializa su relación de consecuencia,

y si no lo hace es porque habrá de admitir cierta dosis de arbitrariedad en el modo en

que selecciona sus consecuencias. El lema de las lógicas paraconsistentes es,

precisamente, el desarrollo y estudio de teorías inconsistentes no-trviales. No creo

que debamos dejar un proyecto como este sin al menos una opción de defensa

comentando algunas de sus líneas de investigación más características.

La que tal vez halla adquirido una mayor notoriedad en las últimas décadas es

la que nace a partir de un artículo de G. Priest –lógico australiano- en 1979 en el que

se reivindica la posibilidad de atribuir a la proposición indemostrable G de Gödel el

estatus de un genuino enunciado paradójico. Para evitar depender en exceso de la

argumentación de Gödel –lo que tampoco viene al caso- bastará que sepamos ver en

su proposición G un enunciado verdadero pero indemostrable de la teoría elemental

de números. Su sola existencia basta, por tanto, para hacer de la teoría de números

una teoría incompleta, siempre que se suponga que es consistente. Priest hace una

interesante relectura de la demostración de Gödel apreciando la existencia de una

solución alternativa que corre en paralelo a la lectura que Gödel hace de ella. La

proposición G sería verdadera pero demostrable, y de ahí también falsa, admitiéndose

entonces que es a la vez verdadera y falsa, o por resumir, paradójica. La teoría de

números sería inconsistente y amenazaría entonces con resultar trivial –contener una

demostración de cada enunciado de su lenguaje- a no ser que cambiemos de lógica.

Este cambio de lógica ha de permitir la derivabilidad de enunciados verdaderos y de

enunciados paradójicos, pero nunca de enunciados falsos. ¿Cómo se logra esto?

Priest considera la adición de un tercer valor de verdad “p” –por paradójico- que

resulta, una vez más, un valor no alético, algo que en realidad es un pseudovalor. A

continuación analiza la conducta de las conectivas clásicas observando cómo se

combinan los valores clásicos con este paquete de valores en que consiste “p”. El

resultado son las mismas conectivas de Kleene para el caso parcial sólo que con “p”

Lógica de Enunciados

428

en lugar de “u”. La modificación de la consecuencia clásica, que en el caso parcial

resulta un efecto no del todo deseado, es aquí completamente bienvenido.

Al margen de la lógica de Priest, existen otros modelos diseñados por motivos

tal vez más generales o filosóficos. Tienen valor por representar en una medida muy

considerable una aportación propia de los países iberoamericanos, Brasil y Argentina

al frente. Los sistemas diseñados por Arruda y Da Costa son sistemas axiomáticos –

elección poco afortunada- que desarrollan su semántica mediante lo que denominan

pseudovaluaciones. Éstas constituyen un intento, no del todo satisfactorio, de tomar en

serio el carácter paradójico de un enunciado prescindiendo de las reinterpretaciones

que lleva a cabo Priest mediante un valor comodín diseñado para la ocasión. Es

cuestionable que sus técnicas sean las más adecuadas, pero han sido vistas por

diversos autores como el paso hacia el uso de nuevas técnicas de interpretación

capaces de imitar lo que las funciones parciales hacen en el caso de la lógica parcial.

La herramienta formal sería esta vez la de las relaciones veritativas, esto es,

relaciones binarias entendidas como subconjuntos de pares formados por fórmulas y

valores de verdad, {V,F} en este caso. La idea es simple y el desarrollo formal

inobjetable.

Pese a su progresiva respetabilidad formal y pese al intento de Priest de anclar

en resultados matemáticamente relevantes la necesidad de una lógica de lo

inconsistente, es dudoso que este tipo de intentos hayan conseguido borrar por

completo la incomodidad que produce la noción de inconsistencia. Estamos

demasiado acostumbrados a admitir que una contradicción trivializa lógicamente una

teoría como para reconocer que eso sólo sucede si la lógica en que se apoya esa

teoría es clásica. Sea como fuere, existen situaciones cotidianas en las que de hecho,

manejamos información contradictoria sin que por ello razonemos de modo trivial o

arbitrario. Si se trata de conocer los procesos metales que realmente usamos cuando

operamos lógicamente en situaciones habituales de conflicto, tal vez sea preciso irse

habituando a las inconsistencias.

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

429

La gran familia de la Lógica modal. Y tal vez aún me quede corto. Quiero decir con

ello que bajo la denominación Lógica modal cae en la actualidad un entramado de

sistemas que no encuentra parangón en ningún otro dominio de la Lógica

contemporánea. La variedad, densidad y aplicabilidad de la Lógica modal merecerían,

de hecho, un capítulo aparte.

En la actualidad, Lógica modal se emplea para referirnos al estudio formal de

las nociones de necesidad y posibilidad. Así entendida, se presenta como un intento

de extender el dominio de la Lógica al análisis de ciertos conceptos fundamentales

hasta entonces no bien entendidos. Para ello es preciso actuar sobre el lenguaje LE

introduciendo una nueva categoría de constantes destinadas a representar estos

nuevos conceptos y ofrecer a continuación un desarrollo semántico de los mismos. Es

decir, la Lógica modal parece ser concebida básicamente como una extensión de la

Lógica Clásica obtenida mediante una operación sobre el lenguaje y a través de la

subsiguiente actuación sobre la interpretación de los nuevos símbolos –semántica-.

Aunque esta imagen es cierta en parte, y en cualquier caso, se ajusta bien a lo que en

la actualidad entendemos pro Lógica modal, no hace justicia a su desarrollo histórico.

Los primeros pasos en la dirección que lleva a la aparición de la Lógica modal,

tienen lugar a finales del siglo pasado. Su responsable, el lógico británico H. McColl,

expone sus críticas a la aceptabilidad del siguiente principio: p→q= ¬pvq. Cuando un

enunciado implica a otro, no se quiere decir meramente que o bien es falso, o bien el

que opera como consecuencia es verdadero. Parece existir un cierto componente de

necesidad que no queda recogido ahí en absoluto. Años más tarde el lógico americano

C.I. Lewis recupera esa idea dando inicio a un tipo de análisis que ha dado lugar a

más de un tipo de lógica. La caracterización axiomática que Russell y Whitehead dan

de las conectivas es los Principia está reciente y su impacto se deja notar muy

considerablemente. Lewis adopta, pues, una estrategia destinada a la caracterización

axiomática de una nueva conectiva, la implicación estricta representada por “∝” –

arpón-, libre, en principio, de los rasgos indeseables del condicional material. Esta

estrategia pasa por hallar las paradojas del condicional material más claramente

Lógica de Enunciados

430

asociadas a los defectos de su conducta. Principios clásicamente admisibles –

tautológicos- como p→(q→p), ¬p→(p→q), (p→q)v(q→p) son dudosamente inteligibles

cuando en el condicional material se lee de forma más liberal, o simplemente, con la

intención de representar la noción profunda de implicación. La estrategia de Lewis

consiste en ofrecer una caracterización axiomática de la implicación estricta en la que

tales fórmulas no aparezcan. Con ello funda una tradición que más tarde se reactiva

en las llamadas lógicas condicionales y sobre todo en la Lógica relevantista. Todas

ellas guardan algo de ese espíritu inicial en el que la conducta de la implicación es

permanentemente juzgada por su capacidad para evitar paradojas.

Pero a parte de esta estrategia típicamente sintáctica, diametralmente opuesta

a lo que hemos visto que se asocia en la actualidad al esfuerzo de la Lógica modal,

Lewis da lugar a otra idea capaz de hacer arrancar una tradición completamente

distinta. En 1912 Lewis define no menos de cinco sistemas S1-S5 para la implicación

estricta; son los conocidos sistemas del Survey . Ninguno es el bueno, pero todos son

aceptables. Esta circunstancia impide que la atención se centre sólo en estos logros

para hacer pensar en una identificación que Lewis hace explícita entonces: p∝q=

∼(p→q), donde “∼” representa “es necesario que”.

Si la implicación estricta es un concepto formal complejo, ¿por qué tratarlo

como si fuera primitivo? La atención gira progresivamente hacia el concepto de

necesidad y su dual, la posibilidad. Al tratarse de un símbolo nuevo, no hay historial

axiomático que quepa aplicar, lo cual permite, en cierto modo, partir de cero. Los

primeros que consiguen someter el operador de necesidad a un tratamiento semántico

aceptable son Kanger, Kripke, Montague, y Hintikka en torno a 1950. Todos ellos

trabajan de forma independiente y aunque hay diferencias entre ellos, el parecido es

muy notable. El modelo que comento aquí es el de Kripke. La idea es analizar la

necesidad siguiendo la vieja inspiración manifestada por Leibniz según la cual la

necesidad se resuelve como verdad en todo mundo posible. La solución formal pasa

por incorporar en la noción de modelo la de mundo posible. Pero en la medida en que

esa noción es relacional, un mundo sólo es posible, composible, en realidad, con

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

431

respecto a algún otro, parece que también hemos de incorporar en los modelos esa

especie de relación entre mundos posibles. El par

[10] <W,R>, donde W es un conjunto de mundos posibles wi –en principio

con tantos mundos como sea preciso- y R una relación binaria entre

mundos interpretada como “wj es accesible desde wi”, o “wj es

composible con respecto a wi”, wiRwj en símbolos,

recibe el nombre de marco. Para obtener un modelo basta adjuntar a un marco una

valuación clásica relativizada a mundos posibles. Así,

[11] Un modelo Kripkeano es un triplo <W,R,v>, donde W y R son como

antes y v se comporta como sigue:

c0) Si A es atómica v(A,wi)∈{V,F}

c1) v(¬A, wi)=V syss v(¬A, wi)=F

c2) v(A→B, wi)=V syss v(A, wi)=F ó v(B, wi)=V

c3) v(∼A, wi)=V syss para todo mundo wj accesible desde wi (∀wj wiRwj)

sucede que v(A, wi)=V

c4) v(�A, wi)=V syss existe un mundo wj accesible desde wi (∃wj wiRwj)

para el que sucede que v(A, wi)=V.

La existencia, por vez primera, de una semántica bien motivada para el

tratamiento de la necesidad, debería verse acompañada, se pensaba, por el

descubrimiento de los principios que caracterizan la noción de necesidad. Se seguiría

de este modo el modelo la Lógica Clásica en la que los axiomas se supone que

representan la conducta semántica de las conectivas. Pero lo que se pudo comprobar

casi de inmediato fue la existencia de una interesante correspondencia entre axiomas

específicos y propiedades de la relación de accesibilidad:

Lógica de Enunciados

432

[12] Sistemas modales normales:

1. Parte común: incluye los axiomas de la lógica de enunciados

clásica, la regla de modus ponens (MP) y la específicamente modal

de necesitación -|A ⇒ | ∼A.

2. Axiomas particulares:

K: |∼(A→B)→ ∼A→∼B

T: |∼(A→A)

4: |∼A→∼∼A

B: |A→∼�A

E: |�A→∼�A.

A partir de ahí, se sabe que:

[13] i. El axioma K es válido en cualquier clase de modelos kripkeanos.

ii. El axioma T es válido en aquellos modelos en los que R es reflexiva.

iii. El axioma 4 es válido en aquellos modelos en que R es transitiva.

iv. El axioma B es válido en aquellos modelos en que R es reflexiva.

v. El axioma E es válido en aquellos modelos en que R es de

equivalencia.

No hay, por tanto, un único sistema modal sino una auténtica pléyade de ellos,

de los que éstos son sólo una pequeñísima porción. La correspondencia entre

axiomas y propiedades de R –la relación de accesibilidad- se ha convertido, sin

embargo, en el rasgo distintivo de la Lógica modal. Este aspecto ha sido interpretado

de manera diversa. Hay quien piensa que con ello se confirma ante todo el fracaso de

estas técnicas como análisis de la noción de necesidad. Las herramientas diseñadas

carecerían de la finura suficiente para identificar el sistema que entre todos los

existentes representa las propiedades genuinas del concepto. Hay, por el contrario,

quienes ven en ello una consecuencia deseable del análisis lógico. Lo que de lejos –

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

433

léase en un sentido informal- parecía un único concepto se resuelve, una vez sometido

al análisis riguroso de la Lógica, en una familia de conceptos, o en un rasgo

compartido por una amplia colección de ellos.

Esta última lectura es la que con el tiempo parece haber logrado un mayor

apoyo gracias en parte a que los sistemas tipo Kripke, y otros igualmente aptos para el

estudio de la necesidad –pienso en la semántica de vecindades-, han mostrado una

sorprendente capacidad para estudiar nociones independientes entre sí e

independientes por supuesto de la noción de necesidad. La lista es larga. Las

nociones de pasado, futuro, etc, dando lugar a la lógica temporal; la noción de

obligación moral en la lógica deóntica; la noción de prueba en teoría de números en la

lógica de la prueba; el concepto de creencia en la lógica epistémica, etc. ¿Qué

debemos concluir, la presencia del concepto de necesidad en todas ellas, o la

existencia de un rasgo común, compartido también por la necesidad? La cuestión no

es fácil y desde luego no es éste el lugar para abundar más en ella, pero es un hecho

que cada vez con más frecuencia se oye hablar de lógicas intensionales para referirse

a todas aquellos sistemas en los que los modelos kripkeanos o variantes obtenidas a

partir de ellos aportan la estructura conceptual básica para el estudio de una

determinada noción.

Lógicas de la Relevancia. El comportamiento del condicional material ha sido siempre

objeto de fuertes críticas. Al presentar la correspondiente cláusula semántica en la

definición de su conducta bajo la noción de verdad, ya nos vimos obligados a tomar un

considerable rodeo que nos llevó primero a definir bajo qué circunstancias un

condicional es falso para establecer después –a cosa hecha- cuándo es verdadero.

Sea como fuere, es justo reconocer que esta conectiva no parece responder

excesivamente bien al significado que intuitivamente se le otorga. Sin embargo,

siempre que se intenta precisar en qué consiste la dificultad, la discusión acaba siendo

poco concluyente o mostrando más de un componente al que responsabilizar de los

defectos hallados.

Lógica de Enunciados

434

La familia de las Lógicas de la Relevancia está formada por todos aquellos

sistemas que se han propuesto para intentar paliar los defectos mostrados por el

condicional material, tal y como es tratado por la Lógica Clásica –y todas las que en

ese punto asumen sus planteamientos-, y también por otras conectivas, aunque en

mucha menor medida. El término mismo de “relevancia” hace referencia a algunas

tesis clásicas en las que sólo interviene el condicional material y que poseen un cierto

aire anómalo ligado a la mala interpretación de lo que puede ser relevante para la

obtención de una consecuencia. El caso paradigmático de falta de relevancia es el

que se aprecia en la tesis A→(B→A). Sea cual sea el medio que se emplee para

comprobar que esta fórmula es un teorema (tautología) de la Lógica Clásica de

Enunciados, siempre resulta evidente que B no interviene de forma alguna para

garantizar la verdad de al ocurrencia de A en el consecuente. B es prescindible,

irrelevante para la verdad de A. Aunque sea forzar algo la interpretación del problema,

otra forma de apreciar esta irrelevancia es interpretar el condicional material en

términos de alguna otra partícula con la que habitualmente se ve conectada. Un buen

ejemplo de lo que quiero decir lo ofrece la partícula “...es causa de...” u otras por el

estilo. Así leído, el condicional material hace inmediatamente irrelevante la fórmula B

en A→(B→A).

Esta fórmula no sino una de las muchas que a lo largo del tiempo han sido

clasificadas como paradojas del condicional. A parte de la identificación de este tipo de

paradojas, o de su clasificación en orden de importancia, lo que suele provocar mayor

polémica dentro de la comunidad relevantista es la imputación de una causa clara a

este tipo de enunciados problemáticos. De hecho, este es el motivo de muchas agrias

polémicas no del todo desconectadas de eso que se ha venido en llamar un estilo de

ciencia nacional.

El primero en tratar de eliminar algunos de los rasgos más indeseables de la

conducta del condicional material fue Lewis. Desde su punto de vista, las deficiencias

de esta conectiva se debían a la ausencia de un cierto componente de necesidad que

de hecho está presente en muchos usos ordinarios de esa partícula. El intento de

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

435

definir un condicional que incorporase ciertas dosis de necesidad no llevó realmente a

definir lógicas de la relevancia sino a fundar la Lógica Modal, esto es, la lógica de la

necesidad. El proyecto de Lewis no consiguió su objetivo al intentar mantener justo por

separado los rasgos que él creía que debían formar parte de un genuino implicador,

los aléticos del condicional material y la necesidad. De hecho, la implicación se

considera entonces como una partícula definible en los siguientes términos:

[14] A∝B=def ∼(A→B)

Tras el fallido intento de Lewis ha de pasar algún tiempo antes de que

volvamos a ver un intento convincente por caracterizar partículas que eviten las

paradojas del condicional material. El componente que se considera responsable esta

vez de sus deficiencias no es la necesidad, sino lo que se denomina desde entonces

criterio de uso. Los responsables de este nuevo impulso –entorno a 1965- son A.

Anderson y N.D. Belnap. Su idea se origina en la observación del modo en que

trabajan las derivaciones en un cierto cálculo. De hecho, su modelo inicial es el que

suministra el Cálculo de Deducción Natural. ¿En qué consiste el criterio de uso o, más

bien, su violación? Veámoslo con un ejemplo:

[15] Demostración de A→(B→A) en DN

1. A

2. B

3. ¬A

4. A&¬A I& 1,3

5. ¬¬A I¬ 3-5

6. A E¬ 5

7. B→A I→2-6

8. A→(B→A) I→ 1-7

Lógica de Enunciados

436

Como se puede, la derivación de la ocurrencia de A en el consecuente, que

tiene lugar propiamente entre las líneas 3 a 6, no hace uso en ningún momento de la

fórmula B. Esto es lo que Anderson y Belnap entienden por un fallo de relevancia

debido a la violación del criterio de uso. Su solución pasa por adjuntar un sistema de

índices a los recursos propios de DN con el fin de bloquear derivaciones clásicamente

válidas como la anterior. Se sigue de todo esto que los sistemas de Anderson y Belnap

constituyen restricciones del cálculo clásico.

La definición de una considerable variedad de sistemas de índices distintos

junto con la ausencia de una semántica adecuada han sido las principales críticas

recibidas por este enfoque, pero no cabe duda de que la solución hallada a ha pasado

a formar parte ya del gran acervo de técnicas formales disponibles en el mercado.

El último intento de gran alcance dentro de los dominios relevantistas es el

apadrinado, entre otros, por los lógicos australianos R.Routley y R.K. Meyer. Su

propuesta es considerablemente más radical e intenta también ocuparse de otras

irrelevancias –según sus posiciones- como las que permiten sustanciar en teoremas

los principios según los cuales de una falsedad se sigue cualquier cosa y que una

verdad es consecuencia de cualquier cosa: A&¬A→B, y B→Av¬A. El criterio de uso es

poco radical desde su punto de vista haciéndose necesaria una revisión profunda de

ciertos dogmas clásicos, como la exhaustividad y la no contradicción. Para ello se

dotan de una semántica basada en la semántica kripkeana aunque con una relación

de accesibilidad ternaria. La evolución de esta propuesta ha llevado a ciertas dosis de

manierismo en los que la artificialidad está a menudo presente. En la actualidad se

puede afirmar que ha perdido algo de su impulso inicial.

El balance final del proyecto relevantista no puede hacerse aún hoy en día. Sus

principales aportaciones están demasiado recientes y quedan seguramente nuevos

episodios que considerar. Sin embargo, hay dos objetivos en la actualidad no han

encontrado la debida satisfacción. No hay un sistema característico que haya

Introducción a las Lógicas No-Clásicas

437

concentrado en torno a sí el suficiente reconocimiento, y no hay tampoco un único

móvil o criterio al que adjudicar las deficiencias atribuibles al condicional material.

Y muchas más. El número de lógicas al que he dedicado unas líneas en este capítulo

representan una porción muy reducida del dominio de las llamadas Lógicas No-

Clásicas. La razón de que se hayan incluido estas y no otras responde en buena

medida a su tradición y a su carácter fundamental. Todas ellas han logrado un cierto

estatus apoyado en una producción bibliográfica suficientemente extensa. Por otra

parte, no se trata de lógicas aplicadas a algún problema concreto, sino análisis

concienzudos de la consecuencia desde un punto de vista formal.

Lógicas aplicadas, o aplicaciones de la Lógica hay muchas. De entre ellas

conviene distinguir aquellas que toman como punto de partida algún sistema o entorno

de sistemas ya existente y aquellas que crean uno propio. Las lógicas temporales,

deónticas –de la obligación- epistémicas –de la creencia-, dinámicas –relativas a la

ejecución de algoritmos- guardan un parentesco bastante inmediato –cuando no son

directamente- con la Lógica modal. El operador de necesidad y el de posibilidad se

reinterpretan entonces de forma adecuada a las necesidades que surgen en cada

caso. Existen otras que directamente crean su propio modelo o paradigma, pienso en

algunas lógicas relativas a los cambios de creencias-, pero es menos frecuente verlas

prosperar. Esto sólo es posible cuando se cuenta con un fuerte sostén basado en un

prestigio previo, o en instituciones científicas con gran capacidad para imponer

tendencias.

Existen en la actualidad diversos sistemas que proponen revisiones muy

considerables de las decisiones adoptadas por la Lógica Clásica de los cuales, no

obstante, no he dicho nada. En la mayoría de los casos se trata de propuestas que

están siendo desarrolladas en la actualidad y nada garantiza que vayan a conseguir un

lugar más o menos estable dentro del panorama de las Lógicas No-Clásicas. Hay

casos de sistemas muy publicitados que, tras un periodo de gran efervescencia, han

sido olvidados quedando, en el mejor de los casos, como sistemas conocidos en

Lógica de Enunciados

438

pequeños círculos. Un caso que se parece bastante a este es el de la Lógica de

Situaciones de Barwise y Perry, que tras suscitar numerosas expectativas, atraviesa

ahora un periodo de relativo abandono. O algunas de las propuestas paraconsistentes

de Priest, en torno a las que se ha generado un trabajo sólo conocido en detalle por

pequeños núcleos de iniciados.

En la actualidad existe un intenso desarrollo en un dominio que, con mucha

generalidad, podríamos denominar como lógicas del razonamiento ordinario. El móvil

consiste en averiguar y describir los patrones formales de que hecho empleamos un

situaciones reales en las que la Lógica actúa de algún modo. Este paradigma surge en

parte gracias a la colaboración creciente entre la Lógica, la Psicología cognitiva, y la

Inteligencia Artificial. Dependiendo de la procedencia inicial del grupo observaremos el

predominio de unas herramientas u otras. Aquellos desarrollos más próximos a la

metodología tradicional de la Lógica son la Lógica de la Vaguedad, la Lógica Lineal, La

Lógica de Defectos y un cierto magma formado por las llamadas lógicas no-monótonas

al que también pertenece alguna de las anteriores. Me conformo con que estos

nombres sean conocidos y guardados para un posterior estudio, siempre que la

evolución de la disciplina lo justifique.

Orientación bibliográfica.

El tercer apartado de la bilbiografía general que acompaña a este Proyecto

está íntegramente dedicado a las Lógicas No-Clásicas. Lo mejor es dirigirse a esa

sección y consultar con el profesor en función de los intereses del alumno.