Logica para principiantes

Alianza Editorial

(libro y CD de apoyo)

VII Encuentro Internacional de

Didactica de la Logica

Marıa Manzano Antonia Huertas

Noviembre 2004

1. Resumen Objetivos

Primer libro de logica

• Alumnos primer ciclo: Filosofıa e Informatica

• Profesores bachillerato (14-17)

• Alumnos bachillerato (parte I y II)

• Autoestudio

RECETA

• Entusiasmar e implicar al alumno◦ Profesor: adicto

◦ No ofender la inteligencia del lector

◦ El alumno descubre las respuestas y creamaterial educativo

◦ En clave futuro investigador

• Texto facil de leer◦ Hoy se mira, no se lee

◦ Enfasis en la formalizacion

◦ Ejemplos: Interesantes, divertidos, mundo real

◦ CD-Rom con miles de ejercicios, 2/3 resuel-tos

• No renunciar a la logica formal◦ Definiciones precisas

◦ Glosario de terminos

◦ Introducciones intuitivas

◦ Presentacion informal de metateoremas (com-pletud y correccion)

◦ Demostraciones en CD-Rom (80 paginas demetalogica)

• Apoyo en clases practicas con ordenador◦ Tarski world

◦ Software propios alumnos

◦ El CD-Rom que acompana nuestro libro

• Marketing de la logica◦ Herramienta aplicable¦ Informatica

¦ I.A.

◦ Interesante teorıa que¦ investigar, desarrollar, mejorar, etc.

¦ adaptar a nuevas necesidades de: lenguaje,informatica, matematicas, economıa, etica,ciencia, transmision de informacion, etc.

2. LOGICA PROPOSICIONAL

2.1. Introduccion general

¿Que es la Logica?

Figura 1: Summa Logicae

Logica o Logicas

Pasado, Presente, Futuro

Logica = estudio de la consistencia

Consistencia 6= lealtadConsistencia 6= justiciaConsistencia 6= sinceridadInconsistencia 6= estupidezInconsistencia 6= irracionalidadInconsistencia 6= desacuerdo con la realidad

El barbero de Las Batuecas

Hace pocos dıas me contaron el caso de un hombrellamado Roque, barbero en Las Batuecas. Solo mehabıan dicho dos frases cuando exclame: ¡Imposible!

“Roque vive en Las Batuecas.”

“Roque afeita a los habitantes de Las Batuecasque no se afeitan a sı mismos y solo a ellos.”

¿Me precipite al no creerme lo que me contaban?

¡Polıticos!

Uno de nuestros insignes polıticos manifiesta:

“Es un error censurar, por violentas, la retrans-

mision de las corridas de toros porque lo que ve-

mos en la television no afecta en absoluto el com-

portamiento; ni siquiera el de los jovenes.”

“Deberıa haber mas programas y documentales

que mostraran nuestras costumbres nacionales (bai-

les tıpicos, corridas de toros, concursos de cortar

troncos, etc.) para ası fomentar estas costumbres

entre los jovenes.”

Suponiendo que dice lo que cree, ¿son consistentes

sus creencias?

Enunciados

Creencias à enunciados

Lengua natural à lenguaje formal

• ambiguedades CHISTES

• bivalencia

“Pernambuco es un estado de Brasil, cuya capital fue

Olinda”

“Todo entero par mayor que dos es igual a la suma

de dos primos”

Consecuencia

Traducciones y retrotraducciones

Esto es, p ∧ q ² p signifiquen lo que signifiquen

p y q.

Picasso es malagueno

Si Picasso nacio en Malaga (p), entonces no es

cierto que naciera en Francia (¬q).

Picasso no nacio en Francia.

LUEGO

Picasso nacio en Malaga.

Esquema

{(p→ ¬q), ¬q} ² p

Picasso es uruapano

Si Picasso nacio en Uruapan (p), entonces no es

cierto que naciera en Francia (¬q).

Picasso no nacio en Francia.

LUEGO

Picasso nacio en Uruapan.

La obscuridad de la noche

Una prueba de la Teorıa del Big Bang

El gran descubrimiento de este siglo es que el uni-verso no es inmovil ni eterno, como supuso la mayorıade los cientıficos del pasado. El universo tiene unahistoria, no ha cesado de evolucionar, enrareciendose,enfriandose, estructurandose. Esta evolucion sucededesde un pasado distante que se situa, segun las es-timaciones, hace diez o quince mil millones de anos,cuando el universo esta completamente desorganizado,no posee galaxias, ni estrellas, ni moleculas, ni tan si-quiera nucleos de atomos...Es lo que se ha llamadoel BIG BANG. Una de las pruebas indirectas de estateorıa se puede plantear ası:

Si las estrellas fueran eternas (p), entonces la canti-dad de luz emitida serıa infinita (q). Si la cantidad deluz emitida fuera infinita, entonces el cielo deberıa serextremadamente luminoso (r). El cielo es obscuro.

LUEGO: Las estrellas no existieron siempre.

Esquema

{(p→ q), (q → r), ¬r} |= ¬p

Lucrecio, filosofo romano, siglo I a.C

Lucrecio afirmaba que el universo aun estaba en sujuventud. Razono ası: He comprobado desde mi in-fancia, se dijo, que las tecnicas se han ido perfeccio-nando. Han mejorado el velamen de nuestros barcos,inventado armas mas y mas eficaces, fabricado instru-mentos musicales mas refinados...¡Si el universo fueraeterno, todos estos progresos habrıan tenido tiempode realizarse cien, mil, un millon de veces¡

Si el universo fuera eterno (p), entonces todos los pro-gresos se habrıan realizado ya (q). Si todos los progre-sos se hubieran producido ya, el mundo estarıa aca-bado, no cambiarıa (r). El mundo cambia.

LUEGO

El mundo no existe desde siempre

Tipologıa de razonamientos correctos, clasificados por

los valores de verdad de sus hipotesis y conclusion en

la realidad

Conclusion

Hipotesis

Verdadera Falsa

Verdadera 1 2Falsa 3 4

Tipologıa de razonamientos incorrectos, clasificados

por los valores de verdad de sus hipotesis y conclusion

en la realidad

Conclusion

HipotesisVerdadera Falsa

Verdadera 5 6Falsa 7 8

Distinciones importantes

Razonamiento concluyente

Valido, con hipotesis compatibles

Revision de creencias

Encontrar soluciones razonables

NUESTRO PLAN

Soltar lastre

INTUITIVO SEMANTICO SINTACTICOConsistencia Satisfacibilidad ConsistenciaConsecuencia Consecuencia Deducibilidad

Limitaciones logica proposicional

Una logica es como una balanza

Figura 2: Balanza

2.2. El lenguaje de la logica proposicional

Caracterısticas

Induccion y recursion

• Notacion uniforme

• Induccion y recursion estructural

Formalizacion en PL

No traduccion literal

• MAFIA

• Tarski

Comprobar con tabla de verdad

Condicional

• Distinto al orden de los eventos

• Distinto que implicacion

Cartas

“Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un

numero par”.

2 1 A B

Figura 3: Las cartas “sobre la mesa”

¿A cuantas cartas tengo que darle la vuelta para estar

completamente segura de que la ley se cumple?

Ejercicios del CD

• Formulas

• Formalizacion

• Formalizacion inversa

Miles de ejemplos

1. El fuego (p) es la causa del humo (q).

2. La magia del cuento se revela (p) solo cuando Pi-

nocho miente (q) o Blancanieves muerde la man-

zana (r).

3. Leere a Proust (p), si me voy de vacaciones (q) y

encuentro sus libros en oferta (r).

2.3. Semantica

Objetivos

Deshacernos: traduccion/retrotraduccion

Por etapas

• Tablas de verdad

• Definiciones: Interpretacion, semanticaExportables a primer orden

• Anoranza tablas de verdad

Metalogica: Reflexividad, Monotonıa, Corte, Basico

ATRAPAR LA LOGICA

Arquımides y la corona del rey Hieron II de Siracusa

Cuenta la leyenda que el rey Hieron de Siracusa habıa

encargado una corona de oro macizo al orfebre real

y que cuando este se la entrego dudo seriamente de

su honestidad, pidiendole a Arquımedes que compro-

bara si efectivamente la corona era de oro puro. Na-

turalmente, no podıa danar la corona para hacerlo.

Arquımedes andaba dandole vueltas al asunto hasta

que un dıa, al entrar en la banera, observo el agua que

rebosaba y se le ocurrio una forma de medir el volu-

men. Cuentan que se puso tan contento, que salio des-

nudo por las calles de Siracusa gritando ¡eureka! (lo

encontre).

Lo que Arquımedes penso fue:

Pesarıa la corona y medirıa su volumen midiendo el

del agua que desplazara. Tomarıa un lingote de oro

macizo que pesara lo mismo y medirıa tambien su

volumen. Cuando lo hizo y comprobo que el lingote

de oro y la corona no desplazaban la misma cantidad

de agua supo que habıan enganado al rey.

p := El peso de la corona y el lingote es el mismoq := La corona y el lingote tienen igual densidadr := La corona y el lingote tienen el mismo volumens := La corona y el lingote desplazan

la misma cantidad de agua

Hechos:

A := p B := ¬sLeyes fısicas:

C := r ↔ s D := p→ (q → r)

Conclusion:

E := ¬qFacilmente se comprueba:

{p, ¬s, p→ (q → r), r↔ s} |= ¬q

p q r s p ¬s r ↔ s p→ (q → r) ¬q0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1 10 1 0 0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 1 0 1 00 1 1 1 0 0 1 1 01 0 0 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 1 0 01 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1 0 1 01 1 1 1 1 0 1 1 0

Vemos en la tabla de verdad que el unico caso en el

que las hipotesis son verdaderas la conclusion tambien.

1 01A1 A2 An

A... ...... ...

Th (A )

A1A2

¬An...

Teorıa asociada a A

1

11

1

1 01A1 A2 An

A1

A2

Am

... ...

...... ...

... ...

...

0

0

...

...

...

...

...

...

...

.........VAL

...

... ... ...

¿Como atrapar a VAL?

2.4. Tableaux semanticos

Volver a la idea de ”soltar lastre”

espanol à lenguaje formalconsistencia intuitiva à satisfacibilidadconsecuencia intuitiva à semanticaverdad à calculo

¡Estamos locos, vamos a convertir a la logica en un

juego intrascendente de reglas!

¿Que es un tableau?

Respuesta 1 Un procedimiento semantico, pero

sistematico, de busqueda de un modelo que cum-

pla ciertos requisitos.

Respuesta 2 Un procedimiento sintactico de

prueba de teoremas, esto es, un calculo deductivo.

¿Para que se usan?

Satisfacibilidad / InsatisfacibilidadValidez

Consecuencia / IndependenciaBusqueda de solucion

Como calculo deductivo posee ciertas ventajas

1. Son automaticos para la logica proposicional

2. Son mas eficientes que las tablas de verdad

3. Pueden ser facilmente implementados

4. Generalizables a la logica de primer orden

5. aprendizaje muy sencillo

Adecuacion y Suficiencia

Theorem 2.1 Adecuacion: Si hay un tableau cerrado

para Γ, entonces Γ es insatisfacible.

Theorem 2.2 Suficiencia: Si Γ es insatisfacible, enton-

ces hay un tableau cerrado para Γ.

Corolarios

Adecuacion =⇒ Correccion

Si ` A entonces ² A

Suficiencia =⇒ Completud

Si ² A entonces ` A

TEO

VAL

Cálculo

Semántica

Dos metodos de seleccion

TEO

VAL

Las zonas rayadas estánvacías

Calculo correcto y completo

2.5. MAFIA

“ambientados” en el mundo de la Mafia (hechos

delictivos)

descubrir a los traidores a La Familia

Tres apartados:

1. Formalizar los enunciados

p := Pedro es traidorq := Quiteria es traidorr := Ramon es traidors := Sebastian es traidor

2. Comprobar si los datos son compatibles.

3. Extraer consecuencias de los datos y demos-

trar que son validas.

Los gemelos

Este caso es de extrema gravedad, hay que evitar que

se ejecute al hijo del padrino, quien acaba de recibir

un besugo con una tarjeta en la que aparece el nombre

de su hijo.

A := Solo hay tres sospechosos de haber enviado la

“misiva” al padrino, P,Q y R.

B := Sucede que P y R son gemelos identicos, nadie

es capaz de distinguirlos. Ambos son terriblemente

tımidos por lo que todas las acciones importantes las

tienen que hacer en comandita.

C := Justamente el opuesto es el caso de Q, que es

tan hosco, que jamas reliza mision alguna acompanado.

D := Pero el dıa de marras uno de los gemelos lo

paso completo en el bar, muchos testigos ası lo mani-

festaron.

La formalizacion es:

A := (p ∨ q) ∨ r

B := p↔ r

C := q → ¬ (p ∨ r)

D := ¬p ∨ ¬r

Vemos si

{A,B,C,D}es satisfacible.

Formula resultante (ramas abiertas)

¬p ∧ (q ∧ ¬r)

Concluimos que

{A, ...,D} ² ¬p ∧ (q ∧ ¬r)y lo demostramos

MAFIA (3). Los gemelos. ARACNE(María Manzano)

Apartado 2

Para comprobar si son compatibles vemos si fA, B, C, Dg es satisfacible.

(p _ q) _ rp $ r

q ! : (p _ r):p _ :r

p :pr :r

:q

: (p _ r):p:rO

:q: (p _ r)

:p:r

:pO :rO p _ qrO

pO qO :p :r

p _ qrO p _ q

rO

pOq*1

pOq*2

Observamos que son compatibles, hay dos interpretaciones en las que A, ..., D son simultáneamente ver-daderas.

1 = f:p,q, :rg2 = f:p,q, :rg

1

Observamos que son compatibles, hay dos inter-

pretaciones en las que A, ...,D son simultaneamente

verdaderas.

1 = {¬p, q, ¬r}

2 = {¬p, q, ¬r}

Para extraer conclusiones hacemos la intersecion

1 ∩ 2 = {¬p, q,¬r}

La formula resultante es:

¬p ∧ (q ∧ ¬r)

Concluimos que

{A, ...,D} ² ¬p ∧ (q ∧ ¬r)para comprobarlo hacemos un arbol.

MAFIA (3). Los gemelos. ARACNE(María Manzano)

Apartado 3

Para extraer conclusiones hacemos la interseción

1 \ 2 = f:p, q,:rg

La fórmula resultante es::p ^ (q ^ :r)

Concluimos quefA, ..., Dg ² :p ^ (q ^ :r)

para comprobarlo hacemos un árbol.

(p _ q) _ rp $ r

q ! : (p _ r):p _ :r

: (:p ^ (q ^ :r))

::p : (q ^ :r)

:pO :rpr

:p:r

prO

:p:rO

:pO :rO

:q: (p _ r)

:p:r

p _ qrO

pO qO :q::rO

p _ qrO

pO qO

Así que vimos quefA, ..., Dg ² :p ^ (q ^ :r)

Puesto quefA, ..., D, : [:p ^ (q ^ :r)]g

es insatisfacible.

1

2.6. Otros calculos proposicionales

Resolucion

• Dual del de tableaux◦ forma normal conjuntiva

◦ conjuncion abre rama, disjuncion en la misma

• Reglas◦ Expansion clausular: reglas de los tableaux

◦ Simplificacion clausular

• Eliminacion Regla de resolucion

• Varias estrategias

• Automatizable, implementable

Deduccion natural

1. Una prueba con deduccion natural consiste en

una lista finita de formulas

las premisas (o hipotesis)

formulas intermedias

la conclusion

2. reglas del calculo (principales estrategias de razo-

namiento informal)

3. Tienen dos reglas para cada conector (introduccion

y eliminacion)

4. Contienen subpruebas o subdeducciones

A→ (B → C) ` B → (A→ C)

1. A→ (B → C) premisa

2.3.4.5.6.

B

AB → CC

A→ C

hipotesishipotesis(E →), 1, 3(E →), 2, 4(I →), 3, 5

7. B → (A→ C) (I →), 2, 6

Aquı tenemos un ejemplo de subprueba dentro de una

subprueba, por ello hay dos hipotesis, una para abrir

cada subprueba. Curiosamente se aplica la misma re-

gla (I →) a las dos subpruebas (lıneas 6 y 7). Es

importante recordar que una vez cerrada una sub-

prueba solo se la puede citar como un todo, en ningun

caso podemos citar formulas “sueltas” de la subprueba

fuera de ella.

3. CONJUNTOS Y DIAGRAMAS

3.1. Teorıa basica de conjuntos

Presentacion muy basica e intuitiva, instrumental

Remitimos a nuestro libro: El Universo matematico

en http://logicae.usal.es

Conjuntos

• Pertenecia, igualdad, subconjunto

• Algebra de conjuntos

• Universo de individuos

Espanol en Teorıa de conjuntos

3.2. Diagramas de Venn

¿Hay un razonamiento visual, diagramatico?

Representar los conjuntos abstractos A, B y C

A

B

C

5 2

8

U

6

13 4

7

Hoja de trebol

Razonamiento diagramatico

Logica de relatores monarios (Silogıstica)

Sintaxis de los diagramas

1. Rectangulo

2. Curva cerrada

3. Sombreado

4. Cruces

Como objetos auxiliares:

5. Lıneas, para unir las cruces

6. Para nombrar las curvas y el rectangulo se usaran

letras.

La informacion se suma mediante superposicion

Por ejemplo:

U

P Q

U

P

U

&P QQ

Diagrama inconsistente

La superposicion de los diagramas correspondientes a

P 6= ∅, P ⊆ Q y P ⊆∼ Q es inconsistente.

P

U

Q P

U

Q P

U

Q

P 6= ∅ P ⊆ Q P ⊆∼ QEl resultado final es el siguiente:

P

U

Q

Diagrama final

Razonamiento diagramatico

Mediante diagramas de Venn determinamos si es co-

rrecto el razonamiento siguiente:

Hipotesis 1 J ∩R 6= ∅

Hipotesis 2 E ∩ J = ∅

Conclusion (J ∩R)∩ ∼ E 6= ∅J

R

U

E

J

R

E

U J

R

U

E

Hipotesis 1 Hipotesis 2 Conclusion negada

J

R

U

E

Diagrama final

DiagramaConsistenteInconsistente F

RazonamientoCorrecto FIncorrecto

3.3. SILOGISTICA AVENTURERA

Lo veremos con un ejemplo: (Silvina Merino)

La Isla del Tesoro (Robert L. Stevenson)

Baso mis razonamientos en la novela de aventuras

“La isla del tesoro”, de Robert L. Stevenson, cuyo

argumento se puede resumir...

HIPOTESIS 1 A := Todos los piratas enrolados

en La Espanola saben de la existencia de un tesoro

HIPOTESIS 2 B := Nadie que sepa de la existen-

cia de un tesoro obra desinteresadamente

CONCLUSION C := Hay piratas que obran desin-

teresadamente, pero no van enrolados en La Espanola

Formalizacion

Universo de discurso: Piratas

Ex := x es un pirata enrolado en La Espanola

Sx := x sabe de la existencia del tesoro

Dx := x obra desinteresadamente

HIPOTESIS 1 A := ∀x(Ex→ Sx)

HIPOTESIS 2 B := ¬∃x(Sx ∧Dx)

CONCLUSION C := ∃x(Dx ∧ ¬Ex)

Es la formalizacion en el lenguaje de primer orden de

predicados monarios.

Representacion en Teorıa de Conjuntos

Sea

A =DA,

DEA, SA,DA

EEuna estructura adecuada al lenguaje del silogismo

HIPOTESIS 1 EA∩ ∼ SA = ∅HIPOTESIS 2 SA ∩DA = ∅CONCLUSION DA∩ ∼ EA 6= ∅

Es la representacion en la estructura A

Resolucion mediante diagramas de Venn

Identificacion silogismos

SILOGÍSTICA AVENTURERA (3): La Isla del Tesoro ARACNE

Explicación 3

Silogismo 1

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

DiagramaConsistente FInconsistente

RazonamientoCorrectoIncorrecto F

Contraejemplo

SeaA = ­A,

­EA, SA,DA®®

una estructura adecuada al lenguaje del silogismo, cuyo universo lo constituyen los piratas y EA, SA,DA son losconjuntos de piratas enrolados en La Española, que saben de la existencia del tesoro y que obran desinteresadamente,respectivamente. Hagamos:

A ={1, 2, 3}EA = {1}SA = {1, 2}DA = ∅

Fácilmente se comprueba queEA∩ ∼ SA = {1} ∩ {3} = ∅SA ∩DA = {1, 2} ∩∅ = ∅

peroDA∩ ∼ EA = ∅ ∩ {2, 3} = ∅

1

Contraejemplo

Sea

A =DA,

DEA, SA,DA

EEuna estructura adecuada al lenguaje del silogismo,

cuyo universo lo constituyen los piratas y EA, SA, DAson los conjuntos de piratas enrolados en La Espanola,

que saben de la existencia del tesoro y que obran des-

interesadamente, respectivamente. Hagamos:

A ={1, 2, 3}EA = {1}SA = {1, 2}DA = ∅

Facilmente se comprueba que

EA∩ ∼ SA = {1} ∩ {3} = ∅SA ∩DA = {1, 2} ∩∅ = ∅

pero

DA∩ ∼ EA = ∅ ∩ {2, 3} = ∅

Identificacion del silogismo

Cuartafigura

P MM SS P

MODOAEO

A E O

Era uno de los silogismos seleccionados como correc-

tos, pero no lo es.