LGICA PROPOSICIONAL

CURSO: MATEMATICAS BASICAS

CAPITULO i: lGICA PROPOSICIONALDocente. Ing. Miguel A. Cruz VenancioAPRENDIZAJES ESPERADOS

Reconoce las proposiciones lgicas y expresarlo simblicamente. Reconoce las proposiciones compuestas y elabora sus tablas de verdad. Evala los esquemas moleculares y utiliza correctamente las leyes lgicas.

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LGICA Lgica es el estudio de los procesos vlidos del razonamiento humano. Tipos: Inductivo, medio por el cual una persona, en base de sus experiencias especficas, decide aceptar como vlida un principio general. Deductivo, medio segn el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habr de determinar el curso de su accin.

PROPOSICINUna proposicin es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultneamente.Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p, q, r, etc. (llamadas variables proposicionales)

ENUNCIADOSe denomina enunciado a toda frase u oracin.Ejemplos: 11 es un nmero primo Qu ests haciendo? 17 > 12 Viva el Per! 6+2= 8 7 es un nmero par.

Los enunciados que en matemtica tienen significado son aquellas que pueden ser consideradas como verdaderos o falsos (proposiciones); en algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero o falso, como por ejemplo, las interrogaciones, las exclamaciones, las aclamaciones o las preguntas.

CLASES DE PROPOSICIONESPROPOSICIONES ATMICAS, SIMPLES O BSICAS: Es una proposicin que no contiene ningn conectivo lgico.Por ejemplo: 3 es un nmero primo Tres ms cuatro es igual a diez Todo nmero natural pertenece al conjunto de nmeros enteros.

PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARESSon aquellas que poseen trminos de enlace o conectivos lgicos.Ejemplo: 5 es primo y 2 es par. El cuadrado es una figura plana y 2 + 2 = 5. Si n es par entonces n es divisible por2.

TRMINO DE ENLACE O CONECTIVOS LGICOSSon expresiones que sirven para unir dos ms proposiciones, tenemos:La negacin NO (~), la conjuncin Y (), la disyuncin O (V), la implicancia SiEntonces (), la bicondicional Siy sloSi ( )

Ejemplo:Carla y Karen son amigas, o Cintia es amiga de ambas entonces, Alejandra es amiga de todas. Formalizando la proposicin se tiene:[(p q) r ] s

JERARQUIZACIN DE LOS CONECTIVOS LGICOSEl orden de menor a mayor jerarqua es: ~ ( y ), , etc. ( y ) son de igual jerarqua.

OPERADORES LGICOSFormado por los conectivos lgicos con las cuales se efectan operaciones.

LA NEGACIN (~)Cambia el valor de la proposicin Si p es una proposicin cualesquiera. ~ p se lee: no p es falso que pLa negacin est determinada por la siguiente tabla:p~ p

VF

FV

CONJUNCION p q (Se lee p y q)Es una proposicin que se define de tal manera que resulta verdadera (V) nicamente si p y q son ambas verdaderas, en los dems casos son falsas como se aprecia en la siguiente tabla:pqp ^ q

VVV

VFF

FVF

FFF

Nota: Hay palabras como pero, a la vez, sin embargo, adems, aunque, no obstante, etc. que tambin unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por el conectivo .

DISYUNCIN p v q (se lee p o q)La proposicin (p v q) es falsa nicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera.

PQp v q

VVV

VFV

FVV

FFF

DISYUNCIN EXCLUSIVA p v q(Se lee p o q pero no ambos)La proposicin (p v q) es verdadera si p y q tienen valores contradictorios, en el caso que tengan valores idnticos resulta falso.

Pqp v q

VVF

VFV

FVV

FFF

CONDICIONAL IMPLICACIN p q (se lee, si p entonces q)La proposicin implicancia es falsa nicamente en el caso en que la proposicin p es verdadera y la proposicin q es falsa, siendo verdadera en todos los dems casos.pQp q

VVV

VFF

FVV

FFV

Nota: Tambin son conectivos los trminos; porque, puesto que, ya que, si, cuando, cada vez que, etc. todas se caracterizan porque despus de cada una de estos conectivos est el antecedente o condicin.

BICONDICIONAL DOBLE IMPLICACINp q (se lee p si slo si q)La proposicin p si y slo si q, son verdaderas si ambas tienen el mismo valor de verdad en los dems casos resulta falso.

PQP q

VVV

VFF

FVF

FFV

EVALUACIN DE UN ESQUEMA MOLECULAR Evaluar un esquema molecular por la tabla de verdad es obtener los valores del operador principal a partir de valores de verdad o falsedad de cada una de las variables proposicionales para ello utilizamos la frmula siguiente:2n; donde:n = nmero de variables que tiene un esquema molecular2 = constante.EjemploPor decir se tiene las proposiciones; p, q, r; entonces los arreglos ser`: 23 = 8; as:

pqr

VVV

VVF

VFV

VFF

FVV

FVF

FFV

FFF

Evaluar la tabla de verdad de la proposicin:~ (p q) ~ [(~ p) (~ q)]

EXPLICACION: Para hallar el valor de verdad del operador principal () se sigue los siguientes pasos:1) Primero se realiza las operaciones dentro del parntesis.2) Seguidamente dentro del corchete.3) Finalmente con los resultados parciales se llega a operar debajo del operador principal ( ) la cual ser su valor del esquema molecular propuesto.

p q ~ (p q) ~ [ ( ~ p) ( ~ q)]

V VFVVFFVF

V FVFFFFVV

F VFVFVVVF

F FFVVFFVV

DIAGRAMA DE LOS VALORES DE VERDAD O DE CERTEZACada proposicin ha de ser falso o verdadero, Cada proposicin atmica o molecular tiene uno de los valores de certeza posible.Ejemplo:1. p q V V2 ms 2 es igual a cuatro, entonces 4 menos dos es 2.p: 2 + 2 = 4a : 4 2 = 2Su diagrama es:

2. Sean p, q, r, s; proposiciones lgicas. Determinar el valor de verdad de p, q, r, s. Si el valor, de verdad de las siguientes proposiciones (a) es falso y (b) es verdadero:a) [~ (p q) r] (s ^ r)b) ( ~ p V q) ^ (r s)Solucin:En la proposicin (a) para que la condicin sea falso, quiere decir que: [~ (p q)r] tiene que ser verdadero (V) y (s ^ r) tiene que ser falso (F)Teniendo ya estas condiciones deducimos que: ~ (p q) es verdadero.

p ser (V) y q ser (F); operando dentro del parntesis (p q) resulta falso (F) finalmente operando con la negacin ser verdadero (V) de aqu (R) toma el valor de verdadero como se ilustra: [~ (pq)r]

[ ~ ( p q ) r] V F F V V v

Seguidamente (s ^ r) ser (F)Entonces (S) toma el valor de falso (F) y r (V), del cual operando tenemos como resultado el valor de falso (F) debajo del operador principal de la condicional. As:

VF

b) (~ p v q) ser verdadero (V) y (r s) verdadero (V), Luego: p: Es falsor: Falso q: Verdaderos: Falso

(~p v q) ^ (r s)

V V V F F V V

LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL1. Doble negacin: (p) p 2. Idempotencia:

a) p p p b) p p p 3. Conmutativa

a) pq qpb) pq qp

c) pq q p 4. Ley Asociativa

a) (p q) r p (q r)

b) (p q) r p (q r)

c) (pq) r p (q r)5. Ley Distributiva

a) p (q r) (p q) (p r)

b) p (q r) (p q) (p r)

c) p (q r) (p q) (p r)

d) p (q r) (p q) (p r)6. Ley de Morgan.

a) (p q) p q

b) (p q) p q7. Ley de Elementos Neutros

a) V P P b) V P V

c) F F F d) F F P 8. Ley del Complemento.

a) p p V b) p p F9. Ley de Absorcin

a) p (pq) p

b) p (p q) p q

c) p (p q) p

d) p ( p q) p q10. Ley Condicional.

a) p q p q

b) (p q) p q11. Ley del Bicondicional.

a) p q (p q) (q p)

b) p q (p q) ( p q)12. Ley de Transposicin

a) (p q) ( q p)

b) (p q) ( q p)

PRACTICA N 01

1. De las siguientes expresiones, indicar cuantas son proposiciones: La gripe porcina. Cmo te encuentras? 39 es un nmero primo. El da tiene 24 horas. Un triangulo equiltero tiene dos lados iguales en longitud.R: _____________2. Cuntas de las expresiones siguientes no son proposiciones? Cmo has cambiado! Es cierto que Velsquez Quesqun es embajador? 161 es un nmero capica. 12 : 3 = 6 Un hexgono tiene cuatro lados iguales. Lima es la capital folklrica del Per.R:_______________3. Tres alumnas: Mara, Rosa y Sofa responden verdadero (V) falso (F) en un examen de tres de la siguiente manera: MaraRosaSofa

1ra. PreguntaVVF

2da. PreguntaVFF

3ra. PreguntaFFV

Una contest todas correctamente, otra fall en todas y la otra slo en uno. Quin acert todas?

4. Un polica persegua a un delincuente a travs de las escaleras de un edificio. Se da cuenta que su peso disminuy 6 gramos por subir al cuarto piso. Cuntos gramos baj si logr alcanzarlo en el doceavo piso?a) 15 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24

5. Cuntas personas como mnimo hay en cinco filas de cuatro personas cada fila?A)5B) 10C) 15D) 16E) 20

6. En un almuerzo estaban presentes; padre, madre to, ta, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2 primos. Cul es el menor nmero de personas presentes?A)4B)6C)8D) 10E)5

7. Seis chicas estn escalando una montaa. Carla esta ms abajo que Juana quien se encuentra un lugar mas abajo que Mara, Fernanda est ms arriba que Carla, pero un lugar ms abajo que Paola, quien est ms abajo que Rosa, esta ltima que se encuentra entre Juana y Paola. Quin est en el cuarto lugar del ascenso?A) RosaB) PaolaC) FernandoD) CarlaE) Juana.

8. Qu parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del nico vstago de mi madre?a) Hermanab) tac) abuelad) hijae) esposa9. Anbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe; este ltimo por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de una misma mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente. S: Anbal se sienta junto Eduardo y Daniel. Frente a Eduardo se sienta Betty. Junto a un hombre no se encuentra el asiento vaci. Entre quienes se sienta Eduardo?

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NOTA: Justifique cada uno de sus respuestas al ser desarrollados

FECHA DE ENTREGA: GRUPO N 01 Y 02 22/04/15 . Hra. 17.15 Hora Exacta. Grupo de 04 Integrantes, segun se explico en clase.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

01

02

0403

FECHA DE ENTREGA: GRUPO N 01 Y 02 22/04/15 . Hra. 17.15 Hora Exacta - "AULA 401", Grupos de 04 Integrantes, segun se explico en clase.