Á L G E B R A

LÓGICA MATEMÁTICA

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

• Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos permitirá introducirnos a la Matemática: la Lógica Matemática, que estudia las leyes que regulan el razonamiento.

• En la lógica proposicional consideraremos dos elementos básicos: Proposiciones, Conectivos.

PROPOSICIONES.

• Son “frases” sobre las cuales podemos decidir, unívocamente, sobre la verdad(V) o falsedad(F) de ellas.

• Así entonces, una proposición es una frase que es V o F, no existiendo la posibilidad de obtener ambas decisiones conjuntamente.

• Las proposiciones las denotamos por letras minúsculas p, q, r, etc. , que resumirán, en si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situación concreta.

PROPOSICIÓN

• EJEMPLOS.1) “p” resumirá, al interior de éste ejemplo, a la proposición : “Hoy es Martes 10 de Mayo“, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”2) Las siguientes “frases” son proposiciones:• q : x + 4 = 9 y x = 5 (es V)• r: Si x es un número real, entonces su cuadrado es

no negativo (es V)• Observación :

No son proposiciones los interrogativos y los imperativos

CONECTIVOS

• Símbolos que, junto con las proposiciones básicas, nos permiten crear nuevas proposiciones, son:

• ~ : se lee “no”

• ∧ : se lee “y”

• ∨ : se lee “ o”

• ⇒ : se lee “ ...implica ...” ó “si, ....entonces, ......”

• ⇔ : se lee “ ... equivalente con ....”

• Observación:

• El conectivo “ ~ ” se usa antes de una proposición, y los restantes conectivos se usan entre dos proposiciones.

CONECTIVOS

• Ejemplo :

Si p, q, r son proposiciones, entonces también son proposiciones:

1. ~ p

2. p ∧ q

3. p ∨ q

4. p ⇒ q

5. p ⇔ q

6. p ∧ (q ∨ r)

7. [(~ p) ∧ (q ∨ r)]⇒ q

TABLAS DE VERDAD

• Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas básicas ese valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”:

p q �⋀� � ∨ � � ⇒ � � ⇔ �

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

TABLAS DE VERDAD

• Tabla de verdad de la negación (∼)

Dada la proposición básica " p" , existe la negación de ella, denotada ~ p , que se lee “no p”, proposición que tiene la siguiente tabla de verdad.

p ~ p

V F

F V

TABLAS DE VERDAD

• Observación:

Es claro que el valor veritativo de ∼ p es el contrario de p

Por ejemplo, si " p" es : p : “ Hoy llueve “, entonces ~ p es : ~ p : “ Hoy no llueve “

TABLAS DE VERDAD

• Determine el valor veritativo de:

~ (p ∧ q)⇔[(~ p)∨ (~ q)]

• Solución :

• Su tabla de verdad es:

p q p ∧∧∧∧ q ~ ( p ∧∧∧∧ q) ~ p ~ q (~ p) ∨∨∨∨ (~ q) ~ (p ∧∧∧∧ q)⇔⇔⇔⇔[(~ p)∨∨∨∨ (~ q)]

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

TAUTOLOGÍA

Definición

• Una proposición compuesta que siempre es VERDADERA, es una tautología.

• Una tautología la denotamos por I.

TAUTOLOGÍA

Ejemplo :

• Demuestre que p ∨ (~ p) es tautología.

• Demostración:

Debemos encontrar su tabla de verdad y verificar que siempre es verdadera:

p ~ p p ∨∨∨∨ (~ p)

V F V

F V V

TAUTOLOGÍA

• Notamos que si “p” significa, “Esta sala tiene 40 alumnos” entonces p ∨ (~ p) significa “Esta sala tiene 40 alumnos o no tiene 40 alumnos”, lo que siempre verdadero.

A EJERCITAR!

1. Demuestre que: ~ (~ p) ⇔ p es tautología.

2. Demuestre que: {p ⇒[(q ∧ (~ q)]}⇒ (~ p) es tautología

CONTRADICCIÓN

• Definición

Una proposición que siempre es FALSA, es una contradicción. Una contradicción la denotamos por 0.

CONTRADICCIÓN.

• Ejemplo.

Demuestre que p ∧ (~ p) es una contradicción.

• Demostración

Debemos encontrar la tabla de verdad de la proposición y verificar que siempre es falsa

p ~ p p ∧∧∧∧ (~ p)

V F F

F V F

CONTINGENCIA

• Definición

• Una proposición que no es tautología ni contradicción se llama contingencia.

CONTINGENCIA.

• Ejemplo:

• Demuestre que [p ∧ (q ∨ r)]⇒ r es una contingencia

• Concluimos que [p ∧ (q ∨ r)]⇒ r es una contingencia.

p q r q ∨∨∨∨ r p ∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨ r) [p ∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨ r)]⇒⇒⇒⇒ r

V V V V V V

V V F V V F

V F V V V V

V F F F F V

F V V V F V

F V F V F V

F F V V F V

F F F F F V

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Identidad

a) p ∧ V ⇔ p

b) p ∨ F ⇔ p

c) p ∧ F⇔ F

d) p ∨ V ⇔ V

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Idempotencia

a) p ∧ p ⇔ p

b) p ∨ p ⇔ p

• Involución

a) ∼ (∼ p) ⇔ p

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Complemento

a) ~ F⇔ V

b) ~ V ⇔ F

c) p ∧ (~ p )⇔ F

d) p ∨ (~ p )⇔ V

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Conmutatividad

a) p ∧ q ⇔ q ∧ p

b) p ∨ q ⇔ q ∨ p

• Asociatividad

a) p ∧ (q ∧ r)⇔ ( p ∧ q) ∧ r

b) p ∨ (q ∨ r)⇔ ( p ∨ q) ∨ r

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Distributividad

a) p ∧ (q ∨ r)⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

b) p ∨ (q ∧ r)⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

• De Morgan

a) ~ ( p ∧ q)⇔ (~ p) ∨ (~ q)

b) ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p) ∧ (~ q)

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Una ley fundamental, muy importante es:

( p ⇒ q) ⇔ ((~ p) ∨ q)

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Ejemplos:

• 1) Si definimos ∇ y ∆ como:

I. p∇q = (~ p) ∧ (~ q)

II. p∆q = (~ p) ∨ (~ q)

Demuestre, sin usar tablas de verdad que:

a) p∇p ⇔ ~ p

b) p ∧ q ⇔ ~ (p∆q)

c) p ∨ q ⇔ ~ (p∇q)

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• Demostración:

a) p∇p ⇔ (~ p) ∧ (~ p) ⇔ ~ p

b) ~ ( p∆q)⇔ ~ [(~ p) ∨ (~q)]⇔ ~ (~ p) ∧ ~ (~ q)⇔ p ∧ q

c) ~ ( p∇q) ⇔ ~ [(~ p) ∧ (~q)]⇔ ~ (~ p) ∨ ~ (~ q)⇔ p ∨ q

LEYES FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

• A TRABAJAR!

Sin usar tablas de verdad

1. Demuestre que: p ∨ [(~ p) ∧ q]⇔ p ∨ q

2. Demuestre que: p⇒ ( p ∨ q) es una tautología

3. Demuestre que: [p ∧ ( p ⇒ q)]⇒ q es una tautología

4. Demuestre, sin usar tablas:

{[( p ∧ q) ∨ r]∧ ~ q}∨ q ⇔ (r ∨ q)

LÓGICA FUNCIONAL

ÁLGEBRA

FUNCIÓN PROPOSICIONAL.

• Podemos observar que la expresión “x < 3”no es una proposición. Sin embargo, se puede considerar como una función proposicional (x es una variable).

• Denotemos por p(x) a “x < 3”y consideremos como dominio de p(x) a R (conjunto de los números reales). Luego, si x = 2 se obtiene p(2) : “2 < 3”que es una proposición con valor de verdad V . En cambio si x = 8 se obtiene p(8) : ”8 < 2”que es una proposición con valor de verdad F.

CUANTIFICADORES

• 2) Anteponiendo a la FP un símbolo que responde a la pregunta ¿Cuántos elementos de D verifican p(x) ?

• Estos símbolos, llamados Cuantificadores, son:

∀ : significa : “todos”

∃ : significa : “algunos”

∃! : significa : “un único”

FUNCIONES PROPOSICIONALES

• Sea D el dominio de una función proposicional p (en general este dominio se da explícitamente o bien se infiere del contexto).

• Un método de hacer de una función proposicional una proposición, es substituyendo elementos de D en p, como vimos. Un segundo método se denomina cuantificación.

CUANTIFICADORES

• Básicamente hay dos formas de cuantificar una función proposicional. La primera es anteceder la función proposicional con “Para todo x en D tal que”. La notación es:

∀ x en D , p(x):

• La segunda es anteceder la función proposicional con “Existe un x en D tal que”. La notación es:

∃ x en D / p(x) ó ∃ x en D tal que p(x):

CUANTIFICADORES

• ∀ se denomina cuantificador universal

• ∃ se denomina cuantificador existencial.

• Observación : El valor de verdad de una función proposicional cuantificada depende del dominio utilizado.

LEYES DE CUANTIFICADORES

• Se cumple:

• 1) ~ [∀ x ∈ D : p(x)]⇔ ∃ x ∈ D : ~ p(x)

• 2) ~ [∃ x ∈ D : p(x)]⇔∀ x ∈ D : ~ p(x)