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  • S I M B L I C A IRVIIMG M . C O P I University of Hawaii

    DCIMA QUINTA REIMPRESIN MXICO, 1997

    COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE C.V. MXICO

  • Ttulo original de la obra: SYMBOLIC LOGIC

    Traduccin autorizada por: Copyright by Macmillan Publishing Co. Copyright by Irving M. Copi

    Traduccin: Andrs Sestier Boulier, M. en C.

    Lgica simblica Derechos reservados en espaol: 1979, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

    Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial. Registro nm. 43

    ISBN 968-26-0134-7

    Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

    Impreso en Mxico Printed in Mxico

    Primera edicin: 1979 Dcima cuarta reimpresin: 1996 Dcima quinta reimpresin: 1997

  • El M t o d o de Deducc in

    3.1. Prueba Formal de Validez

    Cuando los argumentos contienen ms de dos o tres enunciados simples diferentes como componentes, se hace difcil y tedioso uti-lizar tablas de verdad para probar su validez. Un mtodo ms con-veniente de establecer la validez de algunos argumentos es deducir las conclusiones de sus premisas por una secuencia de argumentos ms cortos y ms elementales que ya se conoce que son vlidos. Considrese, por ejemplo, el siguiente argumento en el que aparecen enunciados simples diferentes:

    O el procurador general ha impuesto una censura estricta o si Black envi la carta que escribi, entonces Davis recibi un aviso.

    Si nuestras lneas de comunicacin no se han interrumpido por completo, entonces si Davis recibi un aviso, entonces Emory fue informado del asunto.

    Si el procurador general ha impuesto una censura estricta, entonces nues-tras lneas de comunicacin se han interrumpido por completo.

    Nuestras lneas de comunicacin no se han interrumpido por completo. Por tanto, si Black envi la carta que escribi, entonces Emory fue in-

    formado del asunto.

    Se puede traducir en nuestro simbolismo como

    A v (B D D) - C D ( D D E)

    A D C

    : , B D E

    Establecer la validez de este argumento por medio de u n a tabla de verdad requerira una tabla de treinta y dos renglones. Pero po-demos probar el argumento dado como vlido deduciendo su con-clusin de sus premisas por u n a secuencia de solamente cuatro argumentos cuya validez se ha sealado ya. De la tercera y cuarta premisas, A D C y ^ C , vlidamente inferimos

  • 50 El Mtodo de Deduccin

    leus. De A y la primera premisa A v(B D D ) , vlidamente inferi-mos B D D , por u n Silogismo Disyuntivo. De la segunda y cuarta premisas, D (D D E ) y ^ C , vlidamente se infiere DDE por Modus Ponens. Y finalmente, de estas dos ltimas conclusiones (o subconclusiones), B D D y D D E , vlidamente inferimos B D E por un Silogismo Hipottico. Que su conclusin se deduce de sus premisas usando argumentos vlidos exclusivamente, prueba que el argumento original es vlido. Aqu las formas argumntales v-lidas elementales Modus Ponens ( M . P . ) , Modus Tollens ( M . T . ) , el Silogismo Disyuntivo (D.S.), y el Silogismo Hipottico (H.S.) se usan como Reglas de Inferencia por medio de las cuales se deducen vlidamente las conclusiones a partir de las premisas.

    Una manera ms formal y ms concisa de escribir esta prueba de validez es hacer una lista de las premisas y de los enunciados deducidos de ellas en una columna, con las "justificaciones" para estos ltimos escritas a un lado de los mismos. En cada caso, la "justificacin" para u n enunciado especifica los enunciados prece-dentes a partir de los cuales, y la regla de inferencia por medio de la cual, el enunciado en cuestin fue deducido. Es conveniente poner la conclusin a la derecha de la lt ima premisa, separada de la misma por una lnea diagonal que automticamente seala que todos los enunciados que estn por arriba de la misma son premisas. La prueba formal de validez para el argumento dado puede escribir-se como

    1. Av(BD D) 2. C D (D D E) 3. A D C 4. - c / / . BD E 5. A 3 , 4 , M.T. 6. BDD 1, 5, D.S. 7. DDE 2, 4, M.P. 8. BD E 6, 7, H.S.

    Una prueba formal de validez para un argumento dado se define como una sucesin de enunciados, cada uno de los cuales es una premisa de ese argumento o se sigue de los precedentes por u n argumento vlido elemental, y tal que el ltimo enunciado de la secuencia es la conclusin del argumento cuya validez se est de-mostrando. Esta definicin debe completarse y hacerse ms precisa especificando qu es lo que va a contar como "argumento vlido elemental*. Primero definimos un argumento vlido elemental como cualquier argumento que es una instancia de sustitucin de u n a forma de argumento vlida, y despus presentamos u n a lista de

  • Prueba Formal de Validez 51

    slo nueve formas de argumento suficientemente obvias para ser vistas como formas de argumento vlidas elementales y aceptadas como Reglas de Inferencia.

    Una cuestin que hay que recalcar es que cualquier instancia de sustitucin de u n a forma de argumento vlida elemental es un argumento vlido elemental. As, el argumento

    ~CZ) {DD E) C / . D D E

    es un argumento vlido elemental porque es una instancia de sustitucin de la forma de argumento vlida elemental Modus Ponens (M.P.). Resulta de

    v => q v :.q

    sustituyendo por p y D D E por q9 as que es de esa forma aun cuando Modus Ponens no es la forma especfica del argumento dado.

    Iniciamos nuestro desarrollo del mtodo de deduccin presentando u n a lista de slo nueve formas de argumento vlidas elementales que pueden usarse al construir pruebas formales de validez:

    REGLAS DE INFERENCIA

    1. Modus Ponens (M.P.) V => 9 P .'.q

    2. Modus Tollens (M.T.) V D 9

    3. Silogismo Hipottico (H.S.) pD q q D r .*. p D r

    4. Silogismo Disyuntivo (D.S.) p v q

    5. Dilema Constructivo (C.D.) (p D q)'(r D s) pv r .'. qvs

    6. Dilema Destructivo (D.D.) (P D ?)*( r D s ) ~~q v ~ 5 . *. ~ p v

    7. Simplificacin (Simp.) p-q :.p

    8. Conjuncin (Conj.) V

    .\p*q 9. Adicin (Ad.)

    P .'. pv q

  • 52 El Mtodo de Deduccin

    Estas nueve reglas de inferencia son formas vlidas elementales de argumentos cuya validez fcilmente se establece mediante ta-blas de verdad. Pueden usarse para construir pruebas formales de validez para u n a amplia clase de argumentos ms complicados. Los nombres de la lista son estndar en su mayor parte, y el uso de sus abreviaciones permite presentar las pruebas formales con un mnimo de escritura.

    E J E R C I C I O S

    I. Para cada uno de los argumentos siguientes enuncie la Regla de Inferen-cia por la que su conclusin sigue de su o sus premisas

    *L (A 3 - B ) - ( - C 3 D) 9. (F 3 - G ) 3 ( - H v - ) A 3 ~~B F 3 G

    2. D F *10. [(//) => L]-(A# 3 N) (E 3 - F ) v (~~G 3 H) v M

    3. (I=~~J).(I=~~J) i i . O D - P

    ( O D

    4. K v ( L v M ) 12. (~~fl = S) v (T v (7) [K v (L v Ai)] v [ K v ( L v M)]

  • Prueba Formal de Validez 53

    2. 1 F v ( G v H ) 2 (GDI)-(HDJ) 3 (Jv / ) 3 (FvH) 4 F / H 5 G v f 6 J v / 7 F v t f 8 H

    3. 1 K 3 L 2 M D N 3 ( O D JV)'(PD L)

    4 (Nv ^ L ) * ( - M v O) / ( ~ O v ~ P ) - ( - M v - K )

    5 (Ai 3 N)'(K 3 L) 6 iVvL 7 - M v - K 8 - O v - P 9 ( O v - P ) ( - M v - j f C )

    4. 1 p ( f D S ) 2 ( D S) D T 3 (S>U) 3 V 4 - V D (R = ~~W) 5 Pv(f=EW)

    / - < ? v - ( S - l / ) 6 QD T 7 (S-C7) 3 (f = W) 8 [QD T]-[(S-U)D (R=~W)] 9 ~ ~ p v (S-C/)

    *5. 1 (XvY) 3 [A 3 (PQ)] 2 (X-R) 3 [(P*~~Q) 3 Z]

    3 R ) ' ( - Z v A ) / A 3 Z

    4 X - ~ 5 (P(?) 3 Z 6 X 7 - x v - y 8 A 3 ( P g ) 9 A 3 Z

    6. 1 A 3 B 2 C 3 D 3 ~Rv~D 4 A 5 (E-F) 3 C / (-F) 6 (A 3 B)-(C 3 D)

    7 A v C 8 - C 9 ()

    7. 1 (G 3 H) 3 (1 = / ) 2 Kv (L 3 M) 3 (G 3 / / ) v K 4 2V 3 p M) 5 - ( / = / ) / -JV 6 (G 3 / / ) 7 *C 8 (L 3 M) 9 JV

    8. 1 (O 3 ~P) . (~~p 3 R) 2 (S 3 T)-(~UD V)

    3 (P 3 S)-(R 3 7) 4 (PvV) 3 (W-X) 5 O v - Q / W'X 6 - P v f i 7 S v - 1 7 8 P v V 9 W-X

    9. 1 [(A v B) v C] 3 [D 3 ( = F)] 2 (A v - B ) 3 [(F ~ G) 3 / / ] 3 A 3 [( = F) 3 (F=G)] 4 A / D 3 H 5 A v - B 6 ( A w B ) v C 7 DD (E = F) 8 (E = F) 3 (F = G) 9 D 3 ( F = G )

    10 (F = G) 3 H 11 > 3 H

    *10. 1 HD(IDJ) 2 KD (ID J) 3 (tf2C) 3 (L v ~ M ) 4 (L 3 N)'(~M 3 O) 5 (P 3 N)-(Q 3 O) 6 - ( / D / ) / - P v - p 7 // 8 K 9 i / K

    10 L v ~ M 11 iVv O 12 P v

  • 54 El Mtodo de Deduccin

    III. Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos:

    M . A D B C D D ( - B v - D ) - ( - A v - 5 )

    - A v - C

    2. E D (F-G) (FvG) D H E

    H

    3 . / D K / v ( K v - L )

    4. M D N N O O ( M D O ) D ( i V D P) (M D P) 3 (?

    Q

    *5. (f 3 ~S)-(T D ~~C7) (V D W)-(X 3 Y) (TD W)-(C7 3 S) V v

    T v ~ U

    6 . A D (B-C) - A D [(D D )( D G)] (B-C)v[(~A D D)-(A D F)]

    - (B-C)(G-D) F v G

    7. ( - H v ) D (/ 3 K) M) D (K D N)

    (H D L)-(L D H) (w ,M)-~~0

    8. (P D

  • Prueba Formal de Validez 55

    3. Si se desarrolla una escasez de artculos de consumo hay alza de precios. Si hay un cambio en el gobierno no seguirn los controles fiscales. Si la amenaza de inflacin persiste seguirn los controles fiscales. Si hay sobreproduccin no hay alza de precios. O hay sobreproduccin o hay un cambio de gobierno. Por lo tanto, o no se desarrolla una escasez de artculos de consumo o la amenaza de inflacin no persiste. (E: Se desarrolla una escasez de artculos de consumo. P: Hay alza de precios. C: Hay un cambio de gobierno. F: Siguen los controles fiscales. I: Persiste la amenaza de inflacin. S: Hay sobreproduccin.)