INTRODUCCION• La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina

que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es falso o verdadero, además de que es ampliamente aplicada en filosofía, matemáticas, computación y física.

BENEFICIOS• En filosofía la lógica se utiliza para establecer si un razonamiento es

valido o no. Tomando en cuenta que una frase puede tener diferentes interpretaciones, en este caso la lógica permite saber el significado correcto.

• En matemáticas la lógica es una herramienta útil para demostrar teoremas e inferir resultados, así como para resolver problemas.

• En la computación la lógica se aplica en la elaboración y revisión de programas, en el estudio de lenguajes formales y la relación existente entre ellos, así como en la obtención de resultados en forma recursiva.

• Con el apoyo de la lógica, en el área de la inteligencia artificial se logra que una maquina tome decisiones precisas.

• En la física, la lógica se necesita tanto para establecer el procedimiento para llevar a cabo un experimento como para interpretar los resultados obtenidos.

AREAS DE APLICACIÓN DE LA LOGICA

LOGICA PROPOSICIONAL• La Lógica es una ciencia formal, que no se interesa ni por los

contenidos del pensamiento, ni por el contenido de las expresiones del pensamiento, sino por sus formas, por sus estructuras. La lógica proposicional es la parte más elemental de la Lógica moderna y estudia aquellas relaciones formales existentes entre las proposiciones ( y no las que se dan dentro de ellas).

LOGICA PROPOSICIONAL

Ejemplos de proposiciones: “Las empresas premiaran a los usuarios que consuman menos luz”.“Ecuador cayó 13 casillas en el índice de competitividad” Proposición: “Aquellas oraciones aseverativas de las cuales tenga sentido decir si son verdaderas o falsas.”Ejemplo de expresiones que no son proposiciones: ¿Cuál es el premio? Un paquete de velas ¡ Prepárate porque ya mismo nos cae el índice de pobreza!

(no se pueden saber si son V o F) Nota: Una proposición es una oración pero no toda oración es

una proposición.

LOGICA PROPOSICIONAL• En general , No son proposiciones, las siguientes expresiones:a) Las oraciones interrogativas. Ej: ¿ Qué es la lógica? Imperativas o exhortativas. Ej: Debemos honrar el bicentenario Desiderativas. Ej. Sea en hora buena Exclamativas o admirativas. Ej. ¡Que suerte! ¡Casi me saco el monobingo! y las Dubitativas. Ej. Quizás llueva mañanab) Los juicios de valor. Ej: Mariano es bueno c) Las pseudoproposiciones. Ej. El cuadrado es inteligente d) Las funciones proposicionales. Ej. 2X + 6 = 14 e) las descripciones definidas. Ej. El actual presidente del Banco Central f) Los filosofemas. Ej. La materia se mueve en un ciclo eterno.

PROPOSICIONES

Una proposición o enunciado es una oración, frase o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

PROPOSICION COMPUESTAEJEMPLO 1: Los modelos son una simplificación o abstracción de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos. Por lo tanto estas representaciones sencillas no reflejan la realidad misma. En este texto se pueden advertir tres proposiciones:• Ellas son:

• Los modelos son una simplificación de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos.

• Los modelos son una abstracción de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos.

• Las representaciones sencillas reflejan la realidad misma.

• Estas proposiciones están vinculadas por términos de enlace que destacamos con negrita:

( ) o ( ) . Por lo tanto………. no ( )

En general en Lógica:

Los términos "y" , "no" , "o" , "si...entonces" y "si y solo si" , que pueden figurar en una proposición son llamados CONECTIVOS

LOGICOS.

Observación: Hay proposiciones que contienen los términos de enlace expresados de otra forma, pero que en esencia tienen el mismo significado que las definidas, pues no cambian la estructura de la oración.

Clase de proposiciones:

Pueden ser simples (o atómicas) y compuestas ( o moleculares) Las simples carecen de conectivas mientras que las compuestas si los tienen (al menos una).

En el ejemplo dado, el texto mismo es una proposición compuesta.

Nota: La forma de las proposiciones moleculares (PM) construidas, depende del término de enlace utilizado y no del

contenido de la proposición o proposiciones atómicas.

Actividad 1: Indique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa?

• 2+3=7• La luna es satélite natural• La tierra es plana• Voy a clases• Levántate y camina• Ayúdame, por favor.• x+y=z• Lloverá mañana?• ¡Auxilio¡• Mañana se acabara el mundo• Yo juego tenis los sábados• Hoy hace sol

Para cada proposición identifique las proposiciones simples• Bertha es atractiva, también Claudia.• Ni fumar ni beber es bueno para la salud• La lógica es fácil y le gusta a los estudiantes. Si las matemáticas no son difíciles, la lógica es

fácil. Por tanto, si muchos estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas son difíciles.• Si estudio, no perderé matemáticas. Si juego futbol, entonces no estudio. Pierdo

matemáticas. Por lo tanto jugué futbol.

El lenguaje de la lógica de proposiciones

Los ejemplos dados están expresados en un lenguaje coloquial (lenguaje natural) mientras que la LÖGICA tiene su propio lenguaje. Es el lenguaje simbólico (lenguaje formal). Las proposiciones se representan con las letras p, q, r...... que se denominan variables proposicionales y las operaciones o los conectivos con los signos: , , , , , u otros, según las convenciones adoptadas por cada autor (nosotros elegiremos la de Scholz).

CONJUNCIÓN:Si ambas proposiciones son verdaderas la proposición compuesta conjunción es Verdadera. Cualquier otro caso la hace falsa. (definición semántica).

Fórmula: p q

• Ejemplo considerando la primera viñeta de la figura y usando las variables p y q , tenemos: p: Yo antes iba al psicoanalista en taxi q: Yo ahora me tengo que conformar con contarle todo al taxista.

• En el ejemplo dado también tenemos otra conjunción si sustituimos pero por y:

“Yo ahora tengo un taxi y en realidad soy psicoanalista”

DISJUNCION

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {v, +, u}.Ejemplo 4.3. Se tiene el siguiente enunciado: “Una persona puedeentrar al cine si y sólo si compra su boleto o le regalan un pase. ”Sean:

p: Una persona entra al cine,q: Compra su boleto,r: Le regalan un pase.

De esta manera la representación del enunciado anterior con notación lógica es la siguiente

p = (q v r)

• Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones compuestas:

• a) La materia es teórica o práctica o ambas a la vez. • b) Se le enviara el diploma por correo hoy o mañana. • c) Carlos va directamente en colectivo o en bicicleta a su

trabajo. • d) El gobierno busca consenso o no asistirá al Congreso. • e) El afiliado puede optar por el IOSEP o por PAMI, pero no

ambos

NEGACION: ( )

Dada una proposición p verdadera, su negación es p es Falsa; y recíprocamente. Ejemplo: p : “El pan ha aumentado el 15% en santiago “ es verdadera (V) p : “El pan no ha aumentado el 15% en santiago” es obviamente falso (F) En general cualquiera sea la proposición p se cumple la siguiente tabla de verdad:

Condicional

Una proposición condicional es aquella que está formada por dos proporciones simples (o compuestas) p y q, y que se indica de la siguiente manera:

p —> qEsto se lee “si p entonces q”.

Condicional

Sean las proposiciones a y b la expresión lógica de ab, donde:

AntecedenteHipótesisPremisa

ConsecuenteTesisConclusión

Condición necesariaEfecto

Condición suficienteCausa

a b

ba

Condición necesaria y suficiente

Dado un condicional de antecedente p y consecuente q , Verdadero, decimos que:

p es condición suficiente para q q es condición necesaria para p

Ejemplo: “Si el tipo de cambio es bajo y los atractivos naturales siguen vigentes, se favorecerá el crecimiento del turismo en Argentina.” Podemos expresar en forma equivalente: 1. Que el tipo de cambio sea bajo y los atractivos naturales sigan

vigentes es condición suficiente para favorecer el crecimiento del turismo en Argentina.

2. Que sea favorable el crecimiento del turismo en Argentina es condición necesaria para que el tipo de cambio sea bajo y los atractivos naturales sigan vigentes

Los lenguajes relacionados con la condicional a bA implica b Puesto que a, b

Si a,b b si a

Si a entonces b Para b basta a

Basta a para que b Solo si b , a

A solo si b Para b es suficiente a

A es suficiente para b B cuando a

Cuando a, b B siempre que a

Siempre que a, b B para todo a

Para todo a, b B cada vez que a

Cada vez que a, b B ya que a

Ya que a, b B es necesario para a

Para a es necesario b B puesto que a

Condicional

Ejemplo: Considérese que un candidato a la presidencia de México. dice: “Si salgo electo presidente de la Republica, entonces el crecimiento anual del pais sera del 7%.”

Una declaración como esta se conoce como condicional, y para analizarla sean las proposiciones:

p: Salió electo Presidente de la Republica,q: El crecimiento anual fue del 7%.

De esta forma el enunciado anterior se puede expresar comoP -» q

Condicional

Ejemplo: Identifique el antecedente «a» y el consecuente «b». Además reescriba la proposición usando los términos «condición necesaria» y «condición suficiente».

Pienso, luego existoP= Yo piensoq= Yo existo

Pensar es una condiciones suficiente para existirUna condiciones suficiente para existir es pensar.Existir es una condiciones necesaria para pensar.Una condiciones necesaria para pensar es existir.

Condicional

Ejemplo: Identifique el antecedente «a» y el consecuente «b». Además reescriba la proposición usando los términos «condición necesaria» y «condición suficiente».

Canto tan solo lo que ya no puedo callar.P= Yo no puedo callarq= Yo canto

Yo no puedo callar es suficiente para cantar.Una condición suficiente para cantar es lo que ya no puedo

callar.Cantar es una condición necesaria para ya no poder callar.Una condición necesaria para ya no poder callar es cantar.

Condicional• En las siguientes condicionales identifica con variables

proposicionales el antecedente del consecuente : • i) Si las tasas de interés se mantienen fijo, los clientes podrán

ampliar sus créditos.• ii) El número 432 es par puesto que es divisible entre 2. • iii) La huelga continua, pues no hay solución al conflicto.

Bicondicional• Esto se lee como “p si solo si q” en donde la proposicion que

representa el enunciado (p q) es verdadera si p es verdadera si y solo si q tambien lo es. O bien la proposicion es verdadera si p es falsa y si solo si q tambien lo es.

“Si no pago el telefono, entonces me cortaran el servicio telefonico. Y si pago el telefono, entonces me quedare sin dinero o pedire prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podre pagar la tarjeta de credito, si solo si soy una persona desorganizada."

Bicondicional: Ejemplos

Representar con notación lógica los siguientes enunciados:• “Si no estudio matemáticas para computación y no hago la

tarea de fundamentos de programación, entonces reprobare el semestre o no podre ir de vacaciones a Cancún. ”

• «Si no pago el teléfono, entonces me cortaran el servicio telefónico. Y si pago el teléfono, entonces me quedare sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podre pagar la tarjeta de crédito, si solo si soy una persona desorganizada.»