EIT113 - Logica y Matematica Computacional

7/21/2019 EIT113 - Logica y Matematica Computacional

1/88

Cuaderno de Aprendizaje 2015

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproduccin. Derechosreservados AIEP.

CUADERNO DE APRENDIZAJE

LGICA Y MATEMTICACOMPUTACIONAL


2/88



Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada AprendizajeEsperado que se te presenta y que corresponde al Mdulo que cursas, encontrarsEjercicios Explicativos que reforzarn el aprendizaje que debes lograr.

Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de sntesis te orienten en eldesarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho xito.-

Direccin de Desarrollo Curricular y EvaluacinVICERRECTORA ACADMICA AIEP


3/88



Unidad 1 : Nivelacin de la Matemtica

APRENDIZAJE ESPERADO1. Resuelven problemas de aplicacin sencillos y ejercicios numricos aplicando laoperatoria y propiedades del conjunto de los nmeros naturales, enteros, racionales y reales,con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 1.1. Aplica las reglas de operatoria, divisibilidad y propiedades de orden en elclculo de ejercicios numricos en el conjunto de los nmeros naturales. Ejercicio 1Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora.Primero le envan 854 kg, al da siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos das despus 156kg ms que la primera vez. Cuntos kilgramos faltan por enviarle?

Solucin:

1 854 Kg2 (854 12) Kg3 (854 + 156) Kg

En total:

854 854 12 854 156 2706

Por lo tanto, faltan por enviarle:

3.000 2.706 = 294 Kg.

Ejercicio 2Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos,otro cada 18 segundos y un tercero cada 1 minuto. A las 6:30 de la tarde, los tres coinciden. A quhora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas?

Solucin:

Para encontrar la hora que volvern a encontrarse, debemos encontrar el mnimo comn mltiploentre los 12seg, 18seg y 60seg (1 minuto).

12 18 60 2

6 9 30 23 9 15 3

1 3 5 3 1 5 5 1

Multiplicando los nmeros de la derecha, es decir,2 2 3 3 5 , resulta 180 segundos = 3 minutos

Respuesta: Por lo tanto los tres motociclistas vuelven a coincidir a las 6:33 de la tarde.


4/88



Ejercicio 3 Para realizar una inauguracin, se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porcionesde cctel calientes y 12 porciones de cctel frio. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidadde bebida, ccteles calientes y ccteles fros. Cul es el mayor nmero de personas que es posibleatender en esta recepcin?

a) 3

b) 4c) 6d) 12

Solucin:

Los divisores de 48 son: 48,24,16,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 24 son: 24,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 12 son: 12,,6,4,3,2,1

Por lo tanto el mximo comn divisor es 12, por lo que, el mayor nmero de personas que es posibleatender son 12 personas.

Respuesta: La alternativa correcta es d)

Criterio 1.2. Aplica las reglas de operatoria y de orden en el clculo de ejercicios numricosen el conjunto de los nmeros enteros y racionales.

Ejercicio 4Encuentre el valor numrico de, 7 3 5 8 9 7 3 14:2 , (utilice calculadora paraverificar el resultado).

Solucin:

7 3 5 8 9 7 3 14:2 7 8 8 16 3 7

7 16 19 7 112 19 7

Respuesta: El valor numrico de la expresin es 138.


5/88



Ejercicio 5

Encuentre el valor de 2 3 1 3 75 7 8 4 2

a) 13131120

b) 13021120

c) 13131120

d) 13021120

Solucin:2 3 1 3 75 7 8 4 2

Resolviendo los parntesis, se tiene:

29 1 1135 8 4

Resolviendo la multiplicacin, se tiene:

29 1135 32

13131120

Respuesta: Alternativa correcta c)

Ejercicio 6Ordenar de mayor a menor los nmeros 4,6 - 4,8 4,56 -4,78 -4,82.

Solucin:

Los nmeros negativos son siempre menores que los nmeros positivos.Para compararlos, se recomienda que la cantidad de decimales sean las mismas, as obtenemos que:

4,60 > 4,56-4,78 > -4,80 > -4,82 recordar que en los nmeros negativos el mayor est ms cerca del 0.

Respuesta: El orden de los nmeros de mayor a menor es 4,60 > 4,56 > -4,78 > -4,80 > -4,82.


6/88



Criterio 1.3. Transforma nmeros decimales a fracciones, fracciones a decimales, nmeromixto a fraccin impropia y viceversa comprobando las equivalencias con ayuda de lacalculadora cientfica.

Ejercicio 7Transforme los siguientes nmeros decimales a fraccin:

a) 0,7 b) 3,75 c) 7,2 d) 1,32

Solucin:

a) El nmero 0,7 es un nmero decimal finito, por lo tanto, se utilizan potencias de 10.Como el nmero 0,7 tiene un decimal se fraccionar por 10.

0,7 = 710

b) El nmero 3,75 , tambin es un nmero decimal finito. El nmero 3,75 tiene dos decimales, luegose fraccionar por 100.

3,75 = 375100

= 753100

c) El nmero 7,2 es un nmero decimal infinito peridico, en este caso utilizaremos 9. Como elnmero 7,2 tiene un decimal peridico se fraccionara por un 9

27, 2 7

9

d) El nmero 1,32 en un nmero decimal semi-peridico, en este caso utilizaremos potencias de 10 y9. Como el nmero 1,32 tiene un decimal peridico se fraccionar por un 9, y como tiene un nmerodecimal finito se fraccionar por un 10.

1,32 = 32 3190

= 29190

En el numerador se resta el decimal que no es peridico.

Ejercicio 8

Transformar las fracciones 25

y 790

a decimales.

Solucin:

Para realizar la transformacin de una fraccin a decimal, dividimos el numerador por el denominador.

2 : 5 = 0,4 . As 2 0,45

- 7 : 90 = -0,07 . As 7 0,0790


7/88



Ejercicio 9

Transformar la fraccin impropia 134

a nmero mixto.

Solucin:Una fraccin impropia es una fraccin cuyo numerador es mayor al denominador, y un nmero mixtoest formado por un nmero entero y una fraccin.

Para realizar esta transformacin proseguimos de la siguiente manera:

13 : 4 = 31

El cociente 3 representa al nmero entero, el resto 1 ser el numerador de la fraccin y eldenominador se mantiene.

As,13 1

34 4

Ejercicio 10Transformar el nmero mixto 32

4 a fraccin.

Solucin:

Los 2 enteros equivalen a 84

, por lo que, 324

= 8 3 114 4 4

.

Una forma equivalente de realizar esta transformacin es:3

24

= 2 4 3 8 3 114 4 4

Criterio 1.4. Evala expresiones aritmticas dadas, utilizando reglas de operatoria ypropiedades de orden en el conjunto de los Nmeros Reales.

Ejercicio 11

Encontrar el valor de; 7 4 50,5: 6,12 1,33 5 4

. Exprese el resultado en fraccin.

Solucin:

7 4 50,5: 6,12 1,3

3 5 4 Los nmeros decimales se transforman a fracciones.

7 5 4 551 5 13:

3 9 5 90 4 10 Se realiza la divisin y multiplicacin de fracciones,

simplificando la fraccin resultante.

. 7 25 551 133 36 72 10

Se saca m.c.m, se amplifica cada fraccin y luego se simplifica

959

120= 1197

120


8/88



Ejercicio 12

El valor numrico de la expresin 1 1 73 2 : 0,5 0,2 18 2 8

es:

a) 138

b) 17

8

c) 238

d) 134

Solucin:

1 1 73 2 : 0,5 0,2 1

8 2 8

Los nmeros mixtos y decimales se transforman a fraccin

25 5 5 2 15

:8 2 10 10 8

Se desarrolla el parntesis y se aplica la propiedad para dividir fracciones

5 10 2 158 5 10 8

Se desarrolla las multiplicaciones

50 3040 80

Simplificando y sumando, tenemos,

5 34 8

138

Respuesta: La alternativa correcta es a)

Criterio 1.5. Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas de operatoria y propiedadesde orden en el conjunto de los nmeros naturales, enteros y racionales.

Ejercicio 13Un estanque de combustible tiene 800 litros de petrleo. Por la parte superior del estanque, un llavevierte 25 litros por minuto, y por otra llave en parte inferior salen 30 litros por minuto. Cuntos litrosde petrleo habr en el estanque, despus de 15 minutos de funcionamiento?

Solucin:

1 Petrleo inicial 800 litros2 En 15 minutos se vierte 25 15 litros de petrleo = 375 litros de petrleo.3 En 15 minutos sale 30 15 litros de petrleo = - 450 litros de petrleo.

800 375 450 725

Respuesta: Despus de 15 minutos, hay en el estanque 725 litros de petrleo.


9/88



Ejercicio 14 Una bomba extrae agua de un pozo de 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que seencuentra a 48 metros de altura Qu nivel supera el agua?

a) 1.023 metrosb) 1.100 metrosc) 1.200 metros

d) 1.350 metrosSolucin:

48 metros

975 metros

48 975 1.023 metros.

Respuesta: La alternativa correcta es a)

Ejercicio 15De una piscina inicialmente llena de agua, se saca un da la cuarta parte y al segundo da, la terceraparte del agua que quedaba, quedando 450 m 3 de agua en la piscina. Determine la capacidad total dela piscina.

Solucin:

Inicialmente: x (lleno)

Primer da: se extrae 14

de x, es decir 14

x

Segundo da: se extrae 13

de lo que quedaba, es decir 1 1 1 3 13 4 3 4 4

x x x x

Entonces, entre los dos das se extrae:

1

4 x + 1

4 x = 1

2 x , es decir, la mitad de la piscina queda con agua.

Como quedo 450 m3

en la piscina, la piscina tiene la capacidad de 450 2 = 900 m3

de agua .


10/88



Ejercicio 16En una fbrica de textiles, se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso paramaximizar la produccin es el siguiente:1

3del tiempo, se dedica a la fabricacin de camisas, 1

4de la jornada para pantalones, 1

2del tiempo

que se ocupa para la fabricacin de camisas, se utiliza para bordar los botones,1

3 del tiempo

destinado a pantalones, se usa para afinar detalles, 12

del tiempo utilizado para bordar los botones, se

destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas.Cuntas horas se dedican a esta actividad?

a) Media horab) Una horac) Una hora y mediad) Dos horas

Solucin:

Las horas de trabajo son 12 horas.

Tiempo para las camisas, 13

= 4 horas.

Tiempo para los pantalones, 14

= 3 horas.

Tiempo para bordar botones, 12

del tiempo para las camisas, es decir, 2 horas.

Tiempo para afinar detalles, 13

del tiempo para los pantalones, es decir, 1 hora.

Tiempo para almorzar, 1

2 del tiempo para bordar botones, es decir, 1 hora.

Total: 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11 horas.

Tiempo para actividades recreativas, 12 11 = 1 hora

Respuesta: La alternativa correcta es b)


11/88



Unidad 2 : lgebra en los Reales.

APRENDIZAJE ESPERADO2. Realizan operaciones con potencias y races con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 2.1. Realiza operaciones combinadas con potencias, aplicando sus propiedades,utilizando calculadora cientfica.

Ejercicio 17

El resultado de 9 42 2 2 es:

Solucin:Cuando el exponente no aparece, debemos colocar un 1, as:

9 42 2 2 = 9 1 42 2 2

Aplicando la propiedad de la multiplicacin de igual base, que debemos sumar los exponentes,tenemos que:

9 42 2 2 = 9 1 42 2 2

= 62 = 64

Ejercicio 18

Determinar el valor de2 1

1 11 3

4 8

Solucin:

Cada nmero mixto lo transformamos a fraccin.1 51

4 4 y 1 253

8 8

As,2 1

1 11 3

4 8

=12

825

45

/ ap l icamos propiedadn n

a b

b a

=

258

54

2

/desar ro l lamos con ayuda de ca lcu ladora

= 16 82 5 2 5

128625


12/88



Ejercicio 19

El valor de3

25

equivale a:

a) 8125

b) 85

c) 85

d) 8125

Solucin: 3

2 2 2 2 85 3 3 3 125

Respuesta: La alternativa correcta es d).

Criterio 2.2. Realiza operaciones combinadas con races, utilizando sus propiedades.Con ayuda de la calculadora cientfica.

Ejercicio 20Simplificar la siguiente expresin 75 12 147 .

Solucin:Usando propiedades tenemos que:

75 25 3 25 3 5 3

12 4 3 4 3 2 3

147 49 3 49 3 7 3

As,75 12 147 =5 3 2 3 7 3 =0

Lo cual, se puede comprobar con la calculadora.


13/88



Ejercicio 21

Calcula el valor de 55 5 .

Solucin:

Usando la definicin de raz, se tiene:1

25 5 y1

5 55 5

Luego,55 5 =

125

155 =

1 12 55 =

5 2105 =

7105 = 10 75 3,085

Lo cual, puede ser comparado con la calculadora.

Criterio 2.3. Resuelve expresiones y problemas de aplicacin de potencias y racesutilizando calculadora cientfica

Ejercicio 22Una poblacin de bacterias se duplica cada 10 minutos. Si inicialmente hay 1 sola bacteria. Cuntasbacterias habr al cabo de 3 hrs y media?

Solucin:Recordar que una hora es equivalente a 60 minutos, por lo que, 3,5 horas es equivalente a 210minutos. Luego,

0 minutos 1 bacteria = 20 bacterias




40 minutos 16 bacteria = 24

bacterias

.

.

.

210 minutos 221 bacterias = 2.097.152 bacterias

Respuesta: Al cabo de 3 horas y media, habrn 2.097.152 bacterias.

Ejercicio 23 Andrs ha recibido 9 cajas, cada caja contiene 9 paquetes, cada paquete contiene 9 estuches y cadaestuche contiene 9 lpices. Cuntos lpices ha recibido Andrs?

Solucin:1 estuche tiene 9 lpices, por lo que, 9 estuches contienen 29 9 9 81 lpices.1 paquete contiene 9 estuches y los 9 estuches contienen 81 lpices, por lo que, 9 paquetes contienen

39 81 729 9 lpices.1 caja contiene 9 paquetes y los 9 paquetes contienen 729 lpices, por lo que, 9 cajas contiene 6561lpices, pues 49 729 6561 9 lpices.

Respuesta: Andrs recibi 6561 lpices, lo cual, se podra haber calculado como 49 .


14/88



Ejercicio 24El estanque de agua de una mquina, tiene la forma de un cubo. Si el volumen del estanque es de46.656 m3. Determine la medida de cada lado del estanque.

Solucin:El volumen de un cubo se determina elevando a 3 el lado. En este caso, me dan el volumen, por tanto,debemos calcular la raz cbica del volumen. Es decir,

3 46.656 = 36 , lo que podemos comprobar con la calculadora.

Respuesta: Cada lado del estanque mide 36 metros.


15/88



APRENDIZAJE ESPERADO3. Realizan procedimientos matemticos operando expresiones algebraicas, con apoyo decalculadora cientfica.

Criterio 2.5. Realiza valorizacin de expresiones algebraicas con ayuda de la calculadora

cientfica.Ejercicio 25Sea x = 4, y = 2, z = 1. Determine 2 2 x xy z .

Solucin:

Se reemplaza el valor numrico de cada letra, segn la informacin dada, as:2 2 x xy z = 224 4 2 1

= 16 8 1

= 23 Ejercicio 26Si 2#a b a a b , determine 3 # 4 .

Solucin:En este caso, a = 3 y b = 4.Reemplazando, se tiene:

2#a b a a b 23 # 4 3 3 4

9 12 3


16/88



Ejercicio 27El volumen de un paraleleppedo est dada por la frmula V a b c ; donde a es el largo, b es elancho y c es el largo. Si el largo del paraleleppedo es 15 cm, el ancho es la tercera parte del largo yla altura es el doble del largo. Determine el volumen del paraleleppedo.

Solucin:

El largo a es 15 cm.El ancho b es la tercera parte del largo, es decir, 15 5

3cm

La altura c es el doble del largo, es decir, 2 15 30 cm

Reemplazando la informacin en la frmula dada, se tiene:V a b c

15 5 30V 2.250V cm3

Criterio 2.6. Realiza reduccin de trminos semejantes y eliminacin de parntesisutilizando los procedimientos matemticos establecidos.

Ejercicio 28Sumar los siguientes polinomios:

4 3 2

3

4 2

3

2 5 2 3 5

8 2 5

3 2

6 2 5

P x x x x

Q x x

R x x x

S x x

Solucin:

Podemos ordenar los polinomios segn el grado de l.

4 3 2

3

4 2

3

2 5 2 3 5

8 2 5

3 2

6 2 5

x x x x

x x

x x x

x x

Sumando en forma vertical, se tiene:

4 3 23 19 2 3 x x x x


17/88



Ejercicio 29Reduzca la expresin 2 3 23 9 8 7 5 7 x x x x x x

Solucin:Primero eliminamos los parntesis. Recordar que cuando adelante del parntesis hay un signopositivo o simplemente no tiene signo, el parntesis se elimina. Cuando adelante del parntesishay un signo negativo, el signo negativo desaparece y todos los nmeros que estn dentro delparntesis cambian de signo (si la letra no tiene nmero, es porque en forma implcita hay un 1).

As tenemos:

2 3 23 9 8 7 5 7 x x x x x x 2 3 23 9 8 7 5 7 x x x x x x , ordenamos trminos

3 2 23 7 5 9 8 7 x x x x x x , reducimos trminos semejantes3 22 10 x x x

Criterio 2.7. Desarrolla productos algebraicos y los productos notables: Cuadrado debinomio y suma por su diferencia, siguiendo procedimientos establecidos.

Ejercicio 30 Al efectuar el producto de 3 5 2 3 x x , se obtiene.

a) 215 6 x x b) 215 6 x x c) 215 6 x x d) 215 6 x x

Solucin:

Debemos multiplicar trmino a trmino:

3 5 2 3 x x 6

3 5 2 3 x x 6 9 x

3 5 2 3 x x 6 9 10 x x

3 5 2 3 x x 26 9 10 15 x x x

Reduciendo trminos, obtenemos 215 6 x x

Respuesta: La alternativa correcta es c).


18/88



Ejercicio 31Desarrollar 223 2 x y , utilizando cuadrado de un binomio.

Solucin:El desarrollo del cuadrado de un binomio es:- Primer trmino al cuadrado

22 4

3 9 x x

- El doble del primer trmino por el segundo trmino2 22 3 2 12 x y x y

- El segundo trmino al cuadrado 2 22 4y y

As,

22 4 2 23 2 9 12 4 x y x x y y

Ejercicio 32Desarrollar 2 22 2 2 2m n m n , utilizandosuma por su diferencia

Solucin:El desarrollo de una suma por su diferencia es:- El primer trmino al cuadrado

22 42 4m m

- Se resta el segundo trmino al cuadrado 2 22 4n n

As, 2 2 4 22 2 2 2 4 4m n m n m n


19/88



Ejercicio 33 Al desarrollar

23 22t s , se obtiene:

a) 6 2 3 42 2t s t s b) 6 2 3 44 4t s t s c) 6 2 3 44 2t s t s d) 6 44t s

Solucin:El desarrollo del cuadrado de un binomio es:- Primer trmino al cuadrado

23 6t t

- El doble del primer trmino por el segundo trmino3 2 2 32 2 4t s s t

- El segundo trmino al cuadrado

22 42 4s s

2 22 4y y

As,

23 2 6 2 3 42 4 4t s t s t s

Respuesta: La alternativa correcta es b).

Criterio 2.8. Factoriza expresiones algebraicas siguiendo los patrones y procedimientosestablecidos.

Ejercicio 34Factorizar las siguientes expresiones:

a) 33 6ab ab b) 2 249 56 16 x xy y

c) 21 14 25

n

Solucin:

a) Se aplica factor comn.Se puede observar que el mximo comn divisor entre 3 y 6 es 3 (Porqu nmero se puede dividir el3 y el 6? Se escoge el mayor), adems, de las letras que se repiten se escoge la de menor exponente.De esta manera el factor comn de 33 6ab ab es 3ab , as se tiene:

33 6ab ab = 3 -ab Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar3ab para obtener como resultado 33ab . Respuesta 2b .

33 6ab ab = 23 bab Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar3ab para obtener como resultado 6ab . Respuesta 2 .

Respuesta: 3 23 6 3 2ab ab ab b


20/88



b) La expresin 2 249 56 16 x xy y , es el desarrollo de un cuadrado de binomio, pues:

2 22 249 56 16 7 2 7 4 4 x xy y x x y y

Luego, 22 249 56 16 7 4 x xy y x y

c) La expresin 21 14 25

n , es una diferencia de cuadrados, por ende, el desarrollo de una suma por

su diferencia, pues:

2 221 1 1 1

4 25 2 5n n

Luego,21 1 1 1 1 1

4 25 2 5 2 5n n n

Ejercicio 35 Al Factorizar la expresin 3 23 2 3 2a a a resulta:

a) 23 2 1a a b) 23 2a a c) 2 1 2a a d) 1 3a a

Solucin:

Asociaremos en forma conveniente, de la siguiente manera, 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

Aplicaremos factor comn de cada parntesis 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

2 3 2 1 3 2a a a

Como existe una suma entre las 2 expresiones, nuevamente aplicaremos factor comn 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

2 3 2 1 3 2a a a

23 2 1a a

Respuesta : La alternativa correcta es a).


21/88



APRENDIZAJE ESPERADO4. Resuelven problemas sencillos relacionados con el rea econmica, comercial,tecnolgica, etc., que impliquen operar con ecuaciones de primer grado y sistemas deecuaciones lineales con 2 incgnitas, con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 2.10. Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio al rea de laeconoma, comercio, tecnologa, etc., con ayuda de la calculadora cientfica.

Ejercicio 36Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisin del 5% por las ventasque realice. Qu cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $200.000?

Solucin:

Recordar que el 5% equivale a 5 0,05100

Por lo tanto la ecuacin que resuelve nuestro problema es:

144.000 0,05 200.000 x

Al resolver la ecuacin, debemos agrupar la incgnita en uno de los lados, y luego despejarla.

144.000 0,05 200.000 x / 144.000 0,05 200.000 144.000 x 0,05 56.000 x / : 0,05

1.120.000 x

Respuesta: Debe vender $1.120.000, para recibir $200.000 de sueldo.

Ejercicio 37Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades, entre dos socios, de modo que la parte del

que recibe menos equivale a los 57

de la parte del socio que recibe ms. Determinar que cantidad

recibe cada socio.

Solucin:

Sea x el socio que recibe ms dinero y 57

x el socio que recibe menos dinero.

Lo que distribuyen son 48.000 euros, as la ecuacin es:

548.0007 x x / 7

57 7 7 48.000

7 x x

7 5 336.000 x x / reduciendo trminos12 336.000 x / : 12

28.000 x

Respuesta: Un socio recibi $28.000 y el otro $20.000


22/88



Ejercicio 38En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad delas del primero, entonces el nmero de habitaciones del segundo piso es:

a) 8b) 16

c) 20d) 40

Solucin:

Sea x : habitaciones del primer piso

2

x : habitaciones del segundo piso

Como el total de habitaciones es 48, se tiene:

482 x

x / 2

2 96 x x 3 96 x / :3

96:3 x 32 x

Respuesta: Las habitaciones del segundo piso son 32 162 2 x en total.


23/88



Criterio 2.11. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas, orientandosu estudio al rea de la economa, comercio, tecnologa, etc., con ayuda de la calculadoracientfica.

Ejercicio 39Una persona tiene un depsito de 2.000 dlares en dos bancos. Uno le paga un inters de un 6%anual y el otro 8%. Si gan un total de 144 dlares de intereses durante un ao. Cunto deposit encada banco?

Solucin: Aplicaremos el mtodo de sustitucin, para resolver el sistema de ecuaciones:

14408,006,0

000.2

y x

y x

Despejamos x en la primera ecuacin

2.000 x y / y 2.000 x y (*)

Lo reemplazamos en la segunda ecuacin.

0,06 0,08 144 x y

0,06 2.000 0,08 144y y / distribuyendo120 0,06 0,08 144y y / reduciendo trminos

120 0,02 144y / 120 0,02 24y /: 0,02

1.200y

Reemplazando el valor de y en (*), se tiene:

2.000 x y 2.000 1.200 x 800 x

Respuesta: Deposit 800 dlares al 6% de inters y 1.200 dlares al 8% de inters.


24/88



Ejercicio 40Entre las 7:00 y 9:00 de la maana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan$190 por el pasaje y los adultos $670 por el pasaje, el ingreso total obtenido en ese horario es de$574.000 Cuntos escolares y cuntos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de lamaana?

Solucin:

Sea x : la cantidad de escolares y : la cantidad de adultos

1.000190 670 574.000

x y x y

Multiplicando la primera ecuacin por -190, se tiene:

190 190 190.000 190 670 574.000

x y x y

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

480 384.000y / : 480

800y

Como 1.000 x y , entonces 200 x .

Respuesta: 200 escolares y 800 adultos, utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la maana.

Ejercicio 41Una pizzera tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos , lacual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros. Entonces el nmero depizzas cuatro quesos vendidas es de:

a) 28b) 40c) 46d) 50

Solucin:

Sean x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos

744 6 388 x y x y

Multiplicando la primera ecuacin por -4, se tiene:

4 4 296 4 6 388

x y x y

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

2 92y / : 246y

Respuesta: La alternativa correcta es c).


25/88



APRENDIZAJE ESPERADO5. Analizan las grficas de funciones bsicas, relacionando su estudio con la resolucin deproblemticas en el mbito de la economa, los negocios, la tecnologa y otros fenmenossocioeconmicos, con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 2.13. Determina dominio y recorrido de una funcin en forma grfica o algebraica,usando el concepto de funcin.

Ejercicio 42Dados los siguientes grficos, Cul (es) representan una funcin?

Solucin:

Un grfico representa una funcin, si para elemento del dominio (x), existe una nica imagen (y).Grficamente se traza una recta paralela al eje y, si esta recta toca un solo punto de la grfica,entonces es funcin, y si esta recta toca dos o ms puntos de la grfica entonces no es funcin.

El grfico I, no representa una funcin, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la mismaimagen, ejemplo el 1 y el 1 tendran la misma imagen.

Los grficos II y III son funciones, ya que, todos los elementos del dominio (x), tienen slo unaimagen.

Ejercicio 43Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) 1f x x

b) 14

f x x

c)

2 3f x x

Solucin:

El dominio de una funcin, son los valores que puede tomar la variable x.

a) La raz cuadrada de un nmero negativo no est definida, es necesario que x 1 sea mayor o iguala cero. Para que eso se cumpla los valores de x pueden ser 1 2 3 etc. Inclusive los nmerosdecimales que estn entre los nmeros enteros. As, Dom f(x) son todos los valores desde el 1 enadelante, es decir, desde el 1 hasta el infinito.


26/88



b) En esta funcin, la nica restriccin es que el denominador de la fraccin no puede ser cero. Es poreso que 4 x debe ser distinta de cero, es decir, x debe ser distinto de 4 ( 4 x ). As, Dom f(x) sontodos los nmeros reales excepto el 4.

c) En esta funcin, no existe ningn tipo de restriccin. As, Dom f(x) son todos los nmeros reales.

Ejercicio 44Determinar el dominio y recorrido de la funcin 2( )f x x , cuyo grfico es,

Solucin:

Se observa que la grfica (parbola) se est abriendo siempre, por ende, el Dominio sern todos losnmeros reales. Si observamos la funcin, no existe ningn tipo de restriccin, por lo que tambinpodemos concluir que el dominio son todos los nmeros reales.

Adems, grficamente se observa que los valores de y parten desde el 0 hacia arriba, es decir,desde el cero hasta el infinito. Si analizamos la funcin, los valores de y siempre sern positivos ocero, pues todo nmero real al cuadrado siempre ser positivo o cero, por lo que, el recorrido (valoresde y) son desde el 0 hasta el infinito.

Ejercicio 45El dominio de la funcin 2( ) 1f x x es:

a) Desde el 1 hasta el infinitob) Desde el 1 hasta el infinitoc) Todos los nmeros realesd) Todos los nmeros reales positivos

Solucin:

Como 2 x es siempre positivo y la raz siempre es positivo, no existe ningn tipo de restriccin para lafuncin dada, por lo tanto, el dominio de la funcin son todos los nmeros reales.

Respuesta: La alternativa correcta es c)


27/88



Criterio 2.14. Calcula imagen y preimagen en funciones reales sencillas, a partir de su formaalgebraica y grfica.

Ejercicio 46Dada la funcin 2( ) 2 1f x x x . Calcular:

a) 1f b) ( 2)f c) ( )f a

Solucin:

Lo primero que se hace, es reemplazar el valor de la x en la funcin y as se determina lo solicitado.

a) 2( ) 2 1f x x x 2(1) 2 1 1 1f

(1) 2f

b) 2( ) 2 1f x x x

2( 2) 2 2 2 1f ( 2) 2 4 2 1f ( 2) 11f

c) 2( ) 2 1f x x x 2( ) 2 1f a a a

Ejercicio 47

Dada la funcin 52

x y x

, calcular:

a) 1(3)f b) 1( 2)f c) 1( )f a

Solucin:

Primero se despeja la variable x.

52

x y

x / 2 x

2 5y x x / distribuyendo2 5 xy y x / agrupando trminos

2 5 xy x y / factorizando 1 2 5 x y y / : 1y

2 51

y x

y


28/88



Como debemos encontrar 1( )f x , cambiaremos x por 1( )f x e y por x. As, tenemos:

1 2 51

x f x

x

Ahora, calcularemos lo pedido:

a) 1 2 51 x f x x

reemplazamos 3 x

1 2 3 5(3)3 1

f

1 11(3)2

f

b) 1 2 51

x f x

x reemplazamos 2 x

1 2 2 5( 2)2 1

f

1 1( 2) 3f

c) 1 2 51

x f x

x reemplazamos x a

1 2 5( )1

af a

a

Ejercicio 48

Si 1

2 3 x

f x x x

. Calcular (5)f .

a) 16

b) 17

c) 27

d) 13

Solucin:

Si

12 3 x

f x x x

reemplazamos 5 x

5 1 2 1

(5)5 2 5 3 14 7

f



29/88



Ejercicio 49Dado el siguiente grfico, determine el valor de 20 2 40 3 80 100e e e e .

Solucin:

En el grfico, la funcin es e t .Para calcular 20e , debemos observar que cuando 20t , el valor de e es 20, luego 20 20e .De esta manera:

40 30e , luego 2 40 2 30 60e 80 30e , luego 3 80 3 30 90e 100 0e , luego 100 0e

Luego, reemplazando en: 20 2 40 3 80 100e e e e

20 60 90 010

Respuesta: El valor de 20 2 40 3 80 100 10e e e e

Criterio 2.15. Identifica grficamente funciones reales sencillas en el plano cartesiano.

Ejercicio 50 Cul de los siguientes grficos, corresponde a la funcin 3,4f x ?

I. II. III.

Solucin:

La funcin 3,4f x , nos indica que f x , recta vertical en el plano cartesiano, siempre tendr elmismo valor para cualquier valor de x que nos demos, que es 3,4. Por lo que, la recta que satisfaceeso es la recta del grfico I.


30/88



Ejercicio 51Determine a qu funcin corresponde el siguiente grfico:

a) 5f x b) f x x c) f x x d) f x x

Solucin:

La alternativa a) no puede ser, pues 5f x representa una funcin constante en la cual, los valoresde y es siempre 5.

La alternativa b) representa una recta y los valores de y puede n ser positivos o negativos, sinembargo el grfico muestra que y nunca puede ser negativo, entonces la alternativa b) tampocopuede ser.

De igual manera que en la alternativa b) la funcin de la alternativa c) no corresponde al grfico dado.

La alternativa d) es la correcta, pues el valor absoluto indica que la funcin siempre es positiva o cero,como se observa en el grfico. Adems, se puedo corroborar haciendo el grfico respectivo con unatabla de valores.

Respuesta: La alternativa correcta es la d)


31/88



Criterio 2.16. Representan grficamente funciones reales sencillas en el plano cartesiano.

Ejercicio 52 Graficar la funcin 52 x y .

Solucin:

Encontraremos los pares ordenados para nuestro grfico, dando valores a x obtendremos los valoresde y.

Si 1 x 2 1 5 2 5 3y Si 2 x 2 2 5 4 5 1y Si 3 x 2 3 5 6 5 1y Si 4 x 2 4 5 8 5 3y Si 5 x 2 5 5 10 5 5y

Luego, representamos los pares ordenados 1,3 , 2,1 , 3, 1 , 4, 3 y 5, 5 en el plano cartesiano.

Ejercicio 53Graficar la funcin 2 1y x .

Solucin:


Si 3 x 23 1 9 1 10y Si 2 x 22 1 4 1 5y

Si 1 x 21 1 1 1 2y Si 0.5 x 20,5 1 0.25 1 1.25y Si 0 x 20 1 0 1 1y Si 0.5 x 20,5 1 0.25 1 1 .25y Si 1 x 21 1 1 1 2y Si 2 x 22 1 4 1 5y Si 3 x 23 1 9 1 10y


32/88



Luego, representamos los pares ordenados 3,10 , 2,5 , 1,2 , 0.5 , 1.25 , 0,1 , 0.5 , 1.25 , 1,2 , 2,5 y 3,10 en el plano cartesiano.

Si consideramos ms valores para x, podemos obtener una mejor grfica, como:


33/88



APRENDIZAJE ESPERADO6. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin linealcomo modelo, con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 2.18. Identifica la funcin lineal a travs de su grfica, interseccin con los ejes eintercepto (coeficiente de posicin).

Ejercicio 54Dadas las siguientes funciones:

I. 2 3y x II. 2 3 2y x x III. 3y x IV. 3 5y x

Identifique cual(es) representa(n) una funcin lineal.

Solucin:

Las funciones I y IV representan una funcin lineal, ya que ambas tienen la forma nmx y .En cambio la funcin II es cuadrtica y la funcin III es cbica (por sus exponentes)

Ejercicio 55Identifique cul de las siguientes grficas, representa la funcin lineal 3 5y x

I. II. III.

Solucin:

La grfica I representa la funcin lineal 3 5y x .

La grfica II no representa la funcin lineal 3 5y x , pues en el eje y intercepta al 2 y no al 5,como debera ser.

La grfica III no representa la funcin lineal 3 5y x , pues la inclinacin (pendiente) es positiva yno negativa, como debera ser.


34/88



Ejercicio 56

Dada la funcin lineal 1( ) 52

f x x podemos afirmar que:

a) Tiene pendiente positiva.b) Corta al eje de las abscisas en 5

c) Corta al eje de las ordenadas en1

2

d) Corta al eje de las abscisas en 12

Solucin:

La funcin 1( ) 52

f x x , es lineal con pendiente negativa -5, recordar que la pendiente es m en

( )f x mx n .

Corta al eje de las abscisas en 110

, pues cuando ( ) 0f x se tiene:

1 15 0 10 1 0 10 12 10

x x x x

Corta al eje de las ordenadas en 12

, pues es el intercepto.



35/88



Criterio 2.19. Determina la pendiente de una recta, a partir de su forma algebraica y grfica,con ayuda de calculadora.

Ejercicio 57

Determinar la pendiente de la funcin 5 1( )6 2

f x x .

Solucin:La forma particular de una funcin lineal es ( )f x mx n , donde m es la pendiente y n es el

intercepto. De esta manera se tiene que 56

m y 12

n .

Respuesta: La pendiente de la funcin es 56

.

Ejercicio 58Determine la pendiente de la recta, con ecuacin 3 2 0y x .

Solucin:Debemos tener claro que ( )y f x , luego y mx n . Por lo tanto, en la ecuacin dada 3 2 0y x ,debemos despejar la variable y.

3 2 0y x /+ 3x 23 2y x

De esta manera se obtiene que 3m

Respuesta: La pendiente de la recta 3 2 0y x , es 3 .

Ejercicio 59Una recta, pasa por los puntos 2, 3 y 8,7 . Determine la pendiente de dicha recta.

Solucin:Dado 2 puntos 1 1, x y y 2 2, x y , la pendiente (m) la calculamos de la siguiente manera:

2 1

2 1

y y m

x x 1 2

1 2

y y m

x x

Sea 1 1, x y = 2, 3 y 2 2, x y = 8,7 As,

2 1

2 1

y y m

x x

7 38 2

m

1010

m

1m


36/88


37/88



Criterio 2.20. Determina la ecuacin de la recta, expresndola en sus formas principal ygeneral, con ayuda de la calculadora cientfica.

Ejercicio 61Determinar la ecuacin de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos

1 2(3, 2) (5, 4)P y P

Solucin:

Para determinar la ecuacin de la recta dado dos puntos, usaremos la frmula

112

121 x x x x

y y y y

As, siendo 1 1 2 2(3, 2) , (5, 4) , x y y x y se tiene:

112

121 x x x x

y y y y

4 2

2 35 3

y x

62 32

y x

2 3 3y x / multiplicando2 3 9y x / 2

3 11y x

Luego, la ecuacin de la recta principal es 3 11y x

Para encontrar la ecuacin de la recta general, debemos igualar a cero y darle la forma:0ax by c .

3 11y x / 3 11 x 3 11 0 x y / 1 3 11 0 x y

Luego, la ecuacin de la recta general es 3 11 0 x y

Ejercicio 62Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto ( 1, 3)P , siendo su pendiente 2, en susformas general.

Solucin:

Usando la frmula 1 1y y m x x y siendo 1 1( 1, 3) , x y , se tiene: 3 2 1y x

3 2 1y x / multiplicando3 2 2y x / 2 2 x

2 1 0 x y / 1 2 1 0 x y


38/88



Ejercicio 63La ecuacin de la recta que pasa por los puntos (4, 7) (2, 3)y , est dada por:

a) 5 13y x b) 5 13y x c) 5 13y x

d) 5 13y x

Solucin:

Usando la frmula 112

121 x x x x

y y y y y siendo 1 1 2 2(4, 7) , (2, 3) , x y y x y , se tiene:

3 7

7 42 4

y x

107 42

y x

7 5 4y x / multiplicando7 5 20y x / 7

5 13y x


Criterio 2.21. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando lafuncin lineal como modelo.

Ejercicio 64Encuentre la expresin lineal, que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufasingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros.

Solucin:

Con la informacin dada, podemos decir que 1 1 2 240,4.500 , (15, 2.000) , x y y x y .Reemplazando en la frmula, se tiene:

112

121 x x x x

y y y y

2.000 4.5004.500 4015 40

y x

2.5004.500 4025

y x

4.500 100 40y x / multiplicando4.500 100 4.000y x / + 4.500

100 500y x

Respuesta: La expresin lineal para el ingreso es 100 500y x Donde x: cantidad de estufas, y: dinero que ingresa en euros.


39/88



Ejercicio 65Dadas las ecuaciones de oferta : 2 1O p x y demanda : 28D p x de un artculo. Determinar elprecio p (pesos) y la cantidad x (unidades) de equilibrio del mercado

Solucin:

Como 2 1 p x y 28 p x , podemos formar el sistema de ecuaciones2 1

28

p x

p x

, el cual,resolveremos con el mtodo de igualacin.

2 1 28 x x / + x3 1 28 x / 1

3 27 x / : 39 x

Como 2 1 p x , reemplazamos el valor de x:2 9 1 p 19 p

Respuesta: La cantidad en equilibrio es de 9 unidades y el precio de $19

Ejercicio 66Un supermercado recibe 25 dlares por cada unidad de produccin vendida de una marca de licores.Sus costos variables por unidad son de 15 dlares y un costo fijo de 1.200 dlares. Cul es el nivelde utilidad, si se producen y venden 200 unidades?

a) 600 dlaresb) 800 dlaresc) 900 dlaresd) 950 dlares

Solucin:

La funcin de utilidad es la diferencia entre la funcin ingreso y la funcin costo, es decir: U x I x C x

Siendo la funcin ingreso 25I x x y la funcin costo 15 1.200C x x .

Luego, la funcin utilidad es: 25 15 1.200U x x x

25 15 1.200U x x x 10 1.200U x x

Nos interesa determinar la funcin utilidad cuando se producen y se venden 200 unidades, entonces,reemplazando 200 x , se tiene:

200 10 200 1.200U 200 2.000 1.200U 200 800U

Respuesta: La alternativa correcta es la b)


40/88



APRENDIZAJE ESPERADO7. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando como modelo lafuncin exponencial.

Criterio 2.23. Identifica la funcin exponencial de la forma x y a b , y la caracterizan atravs de sus parmetros y grfica, cuando 10 b y cuando 1b .

Ejercicio 67Dada la funcin 2 x y , identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros, cerosy grfica.

Solucin:

Es una funcin exponencial, ya que es de la forma x y a b . El dominio de una funcin exponencialson todos los nmeros reales, es decir , , el recorrido en este caso (por ser a positivo, 0a )son todos los nmeros reales positivos, es decir 0, .

La funcin exponencial es una funcin continua, y como 1b la funcin es creciente.


Si 4 x 4

4 1 12 0,06252 16

y

4;0.0625

Si 2 x 2

2 1 12 0,252 4

y

2;0.25

Si 1 x 1

1 1 12 0,52 2

y

1;0.5

Si 0 x 02 1y 0;1 Si 1 x 12 2y 1;2 Si 1,5 x 1,52 2,828y 1.5;2.828


41/88



Ejercicio 68

Dada la funcin 12

x

y

, caractercela a travs de sus parmetros y grfica.

Solucin:

Es una funcin exponencial, ya que es de la forma x y a b . El dominio de una funcin exponencial

son todos los nmeros reales, es decir , , el recorrido en este caso (por ser a positivo, 0a )son todos los nmeros reales positivos, es decir 0, .

La funcin exponencial es una funcin continua, y como 1b la funcin es decreciente.


Si 2 x 2

21 2 42

y

2;4

Si 1 x 1

11 2 22

y

1;2

Si 0 x 0

11

2y

0;1

Si 1 x 1

1 10,5

2 2y

1;0.5

Si 2 x 2

1 10,25

2 4y

2;0.25

Si 4 x 4

1 10,0625

2 16y

4;0.0625


42/88


43/88



Ejercicio 71

El valor de x en la ecuacin1 32 5

03 54 x x x

a a a a

es?

Solucin:

Como las bases son iguales, aplicaremos propiedad de la multiplicacin de potencias y luegoresolveremos la ecuacin.

1 32 503 54

x x x

a a a a

1 32 5

03 54 x x x

a a

/como las bases son iguales, las eliminamos.1 2 5 3

03 4 5

x x x / multiplicamos por el m.c.m. entre 3, 4 y 5, que es 60.

1 2 5 360 60 60 60 03 4 5

x x x

20 1 15 2 5 12 3 0 x x x / multiplicamos20 20 30 75 36 0 x x x / reducimos trminos

86 95 0 x / 95

86 95 x / : 86 9586

x

Criterio 2.25. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en laespecialidad, aplicando el modelo exponencial, con ayuda de la calculadora.

Ejercicio 72La demanda semanal de una nueva lnea de refrigeradores, t meses despus de introducido almercado est dada por la siguiente expresin 0,05( ) 2.000 1.500 , 0t D t e t . Cul es la demandadel producto despus de dos aos?

Solucin:

Como t esta expresado en meses, 2 aos 24 meses. Reemplazando 24t , tenemos:

0,05 24(24) 2.000 1.500D e 1,2(24) 2.000 1.500D e

(24) 1.548,2D

Respuesta: La demanda por los refrigeradores, despus de 2 aos es de 1.549 refrigeradores.


44/88



Ejercicio 73Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10% por ao, entonces despus de t aos,el valor de una casa comprada en P pesos, est dada por ( ) 1,1 t v t P . Si una casa fue comprada en$40.000.000 en el ao 2004. Cul ser su precio en el ao 2013?

Solucin:

Reemplazando 9t y 40.000.000P , se tiene:

9(9) 40.000.000 1,1v (9) 94.317.907,64v

Respuesta: El precio de la casa en el ao 2013 es $94.317.908

Ejercicio 74

El ingreso I (en dlares) de un cierto producto viene dado por la expresin 25( ) 150 x

I x x e . Si sevenden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:

a) 55.417,92 dlaresb) 1.015,01 dlaresc) 2.030,35 dlaresd) 1.050,32 dlares

Solucin:

Reemplazando 50 x , se tiene:

5025(50) 150 50I e

2(50) 7.500I e (50) 1.015,01I



45/88



APRENDIZAJE ESPERADO8. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcinlogartmica como modelo.

Criterio 2.27. Identifica la funcin logartmica de la forma logy a b x , y la caracterizan atravs de sus parmetros y grfica.

Ejercicio 75Dada la funcin logy x , identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros ygrfica

Solucin:

Es una funcin logartmica, ya que es de la forma logy a b x . El dominio de la funcin logy x por ser 0a y 0b son todos los nmeros reales positivos, es decir 0, , el recorrido de lafuncin logartmica siempre sern todos los nmeros reales, es decir , .

La funcin logartmica es una funcin continua, y como 0b la funcin es creciente.


Si 4 x log(4) 0,602y 4;0.602 Si 2 x log(2) 0,301y 2;0.301 Si 1 x log(1) 0y 1 ;0 Si 0,5 x log(0,5) 0,301y 0.5; 0.301 Si 0,25 x log(0,25) 0,602y 0.25; 0.602 Si 0,1 x log(0,1) 1y 0.1 ; 1


46/88



Ejercicio 76Dado el grfico logartmico, caractercelo a travs de sus parmetros, ceros y grficas

Solucin:

La grfica corresponde a una funcin creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al ejey, en la medida que x se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto 1, 0

Ejercicio 77Dados los siguientes grficos. Cul de ellos representa una funcin logartmica?

I II III IV

a) Grfico I

b) Grfico IIc) Grfico IIId) Grfico IV

Solucin:El grfico I corresponde a funcin exponencial creciente, el grfico II es una funcin racional, el grficoIII es una funcin exponencial decreciente y el grfico IV corresponde a una funcin logartmica.

Respuesta: La alternativa correcta es d)


47/88



Criterio 2.28. Resuelve ecuaciones logartmicas usando propiedades dadas y con ayuda decalculadora cientfica.

Ejercicio 78 Determine el valor de x en la ecuacin 3log log 1 x .

Solucin:Recordemos que la definicin de logaritmo es log x b a x b a , aplicndola a nuestra ecuacin, setiene:

3log log 1 x 310 10log log 1 x

1 3 310 10

110 log log

10 x x , aplicando nuevamente la definicin, se tiene:

131010 x / 3

13

1010 x 1

1 31010 x

13010 x

Ejercicio 79Encuentre el valor de x en la ecuacin log log log log x a x a x x a .

Solucin:

Primero aplicaremos la propiedad de la resta de logaritmos log log log aa bb

.

log log log log x a x a x x a

log log x a x x a x a

, eliminamos los logaritmos.

x a x x a x a

, multiplicamos cruzado

x a x a x x a 2 2 2 x ax ax a x ax

2ax ax a ax , agrupamos trminos2 3a ax / : 3a

2

3a

x a

con 0a

3

a x

Debemos considerar que3

a x , debe satisfacer la ecuacin log log log log x a x a x x a

la cual, no la satisface pues, reemplazando el valor de x, se tiene:

log log log log3 3 3 3a a a a

a a a


48/88



2 4 2log log log log

3 3 3 3a a a a

El logaritmo de un nmero negativo no existe, as:

- Si a es positivo 2log3a

no existe.

- Si a es negativo log3a

no existe.

Respuesta: La ecuacin log log log log x a x a x x a , no tiene solucin .

Criterio 2.29. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en laespecialidad, aplicando el modelo logartmico, con ayuda de la calculadora.

Ejercicio 80Un equipo de ftbol considera que la cantidad de dlares x que gana semanalmente en la venta de

sus productos (camisetas, gorros, etc), est dada por la expresin400

200 ln 500y x

. Calcular lacantidad de unidades que se deben vender, para que la ganancia sea de 139 dlares.

Solucin:Reemplazamos el valor de 139 x en la funcin dada,

400200 ln

500y

x

400200 ln

500 139y

400200 ln

361y

20,517y

Respuesta: Por lo tanto, la cantidad que se debe vender es de 21 unidades.


49/88



Ejercicio 81El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relacin 0,0161.000 t N e , donde t se mide enaos y N en millones de litros. Cuntos aos deben transcurrir para que la cantidad de agua sereduzca a la mitad?

Solucin:

Para determinar la cantidad actual de agua, reemplazamos 0t y obtenemos que 500N . Ahora, determinaremos la cantidad de ao:

0,016500 1.000 t e /:500 0,0160,5 t e / ln

ln(0,5) 0,016 t /: 0,016 ln(0,5)0,016

t

43,32 t

Respuesta: Deben transcurrir 43,32 aos para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.

Ejercicio 82Las ventas de un producto (en miles de pesos), vienen dadas por la siguiente expresin

(ln )V m x b . Si sabemos que 184,19 bm , y x representa la produccin del producto.Determine las ventas, si se producen 200 unidades.

Solucin:Reemplazamos los datos y obtenemos:

(ln )V m x b 19,4 (ln200) 18V 120,787V

Respuesta: Las ventas sern de $120.787.


50/88



APRENDIZAJE ESPERADO9. Resuelven, con ayuda de planilla de clculo, problemas que impliquen operar conmatrices.

Criterio 2.31. Resuelve problemas contextualizados, utilizando adicin y sustraccin de

matrices, con ayuda de planilla de clculo.Criterio 2.32. Resuelve problemas contextualizados, utilizando la operacin multiplicacin deun escalar por una matriz, con ayuda de planilla de clculo.Criterio 2.33. Resuelve problemas contextualizados, utilizando multiplicacin de matrices,con ayuda de planilla de clculo.

Ejercicio 83

Sea A =3 0 -2

2 -1 4

y B =5 -3 6

1 2 -5

. Determine A + B.

Solucin:

A + B =3 5 0-3 -2+6

2 1 -1+2 4-5

=8 -3 4

3 1 -1

Ejercicio 84

Sea A =3 0 -2

2 -1 4

. Determine 3A.

Solucin:

3A = 33 0 -2

2 -1 4

=3 3 3 0 3 -2

3 2 3 -1 3 4

=9 0 -6

6 -3 12

Ejercicio 85

Sea A =2 1 -6

1 -3 2

y B =1 0 -3

0 4 2

-2 1 1

. Determine A B.

Solucin:

A B =2 1 -6

1 -3 2

1 0 -3

0 4 2

-2 1 1

=2 1 1 0 -6 2 2 0 1 4 6 1 2 3 1 2 6 1

1 1 3 0 2 2 1 0 3 4 2 1 1 3 3 2 2 1

=14 -2 -10

-3 -10 -7


51/88



UNIDAD 3: Lgica Conjuntista y Proposicional.

APRENDIZAJE ESPERADO:10. Resuelven problemas con operatoria bsica de conjuntos, usando el lgebra deconjuntos.

Criterio 3.1. Identifica la pertenencia, la igualdad y la inclusin de elementos en un conjunto,en forma grfica.Criterio 3.2. Aplica la unin y la interseccin en la resolucin de problemas, en forma grficay algebraica.Criterio 3.3. Aplica el complemento, la diferencia y la diferencia simtrica en la resolucin deproblemas, en forma grfica y algebraica.

Los conjuntos se denotan por letras maysculas A, B, C, etc. y sus elementos con letrasminsculas a, b, c, etc. y se escriben entre corchetes.

Ejemplos:

, , , , 1, 2,3, 4,5,6,7,8 A a e i o u B

Los conjuntos se representan grficamente por un valo (o crculo; en general una curvacerrada) que encierra sus elementos. Esta representacin recibe el nombre de diagrama deVenn-Euler. Para los conjuntos A y B anteriores la representacin es:

La relacin de pertenencia se simboliza por (por ejemplo "1 B" que se lee "1 pertenece al conjuntoB"). La negacin de ella es (por ejemplo "u B" que se lee "u no pertenece al conjunto B"). De estaforma notar que en nuestros ejemplos se tiene que:

a A Verdadero (porque 4 es un elemento de A)

i B Falso (porque i no es un elemento de B)

4 B Falso (porque 4 s es un elemento de B)

5 A Verdadero (porque 5 no es un elemento de A)

Los conjuntos se pueden definir de dos formas: por extensin (es decir, nombrando todos suselementos) o por compresin (indicando las caractersticas que poseen los elementos del conjunto).

a u

o i e

1 85 6 4

2 3 7

B


52/88



Ejemplos:

1) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A Este conjunto est escrito por extensin.

Ahora lo expresaremos por comprensin, quedando lo siguiente:

{ / } A x x es dgito

2) 2, 1,0,1,2 B Este conjunto est escrito por extensin.

Ahora lo expresaremos por comprensin, quedando lo siguiente:

{ / 3 3} B x Z x

Definicin (Conjunto vaco) : Es el conjunto que no contiene elementos. En smbolos " {} " o mscomnmente " " (proveniente del alfabeto noruego) y se representa de la siguiente manera.

Definicin (Conjunto universo) : Conjunto formado por todos los elementos de una caracterstica,contiene a todos los elementos. Se denota por la letra U y grficamente se representa por unrectngulo.

Definicin (Subconjunto) : Dado un conjunto no vaco A, se llama subconjunto de A a todo conjuntoB tal que todo elemento de B est en A. Esto lo denotaremos como B A (tambin se utiliza A B).Grficamente se tiene:

U B

U

AB


53/88



Observacin: El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto

Definicin (Cardinalidad): La cardinalidad de un conjunto es el nmero de elementos queposee dicho conjunto y se denota por Card(A) o tambin por #A.

Ejemplo: Si D={a,p,c,r} entonces #D=4 (ya que posee 4 elementos)

Definicin (Conjunto potencia): La familia de todos los subconjuntos de A, que se denotapor P(A), se denomina conjunto potencia de A (o conjunto de partes de A ). En smbolos:

( ) / P A B B A Si Card(A)=n, entonces Card(P(A)) = n2

Ejercicio 86:Si 1,2,3 A , calcule P(A) y Card(P(A))

Solucin:Lo primero es saber cul es la cardinalidad del conjunto que en este caso es igual a 3,reemplazando este valor en la frmula se tiene que:

# A = 3 entonces # 3( ) 2 8 P A que corresponde al nmero de subconjuntos de A

Para 1,2,3 A , su conjunto de partes (escrito por extensin) es:

( ) {1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}, P A

Definicin (Igualdad de conjuntos): Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen losmismos elementos. En smbolos:

( ) , , A B x A x B x B x A

Se puede definir tambin del siguiente modo:

( ) ( ) A B A B B A Es decir, dos conjuntos, A y B, son iguales si y solo si A est contenido en B y B estcontenido en A.

Definicin(Equivalencia de conjuntos): Dos conjuntos son equivalentes si y solo si tienenel mismo nmero de elementos (igual cardinalidad). En smbolos:

)#(#)~( B A B A


54/88



Ejercicio 87

Dados los siguientes conjuntos, determinar cules de ellos son iguales y cules sonequivalentes.

, , , , A a e i o u

/ 5 B x N x

" "C vocalesdela frase Hace muchofro

/ 1 6 D x N x

Solucin:Podemos observar que todos los conjuntos tienen cardinalidad igual a 5.

# A = # B= # C = # D = 5, eso quiere decir que todos son equivalentes, pero son igualessolamente A = C y B = D

Operaciones entre conjuntos

Unin entre dos conjuntos A y B , es el conjunto que contiene todos los elementos de A otodos los elementos de B, se denota por B A .

Lo achurado corresponde a }/{ B x A x x B A

Observacin: Recuerde que el smbolo " " es de disyuncin y significa "o"; asimismo, elsmbolo " " es de conjuncin y significa "y".

Interseccin de dos conjuntos A y B , es el conjunto formado por los elementos comunesde los conjuntos (es decir, pertenecen ambos conjuntos), se escribe A B .


55/88



Lo achurado corresponde a / A B x x A x B

Observacin: Si dos conjuntos presentan interseccin vaca se dice que son conjuntosdisjuntos. En smbolos B A .

Complemento de un conjunto A : Se define con respecto a un conjunto universal y es elconjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto universal y nopertenecen al conjunto A, se denota por ,c A A

Lo achurado corresponde a / A x x U x A


56/88



Diferencia entre dos conjuntos A y B : Corresponde al conjunto formado por los elementosque pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota por A B .

Lo achurado corresponde a / A B x x A x B

Diferencia simtrica: Dados los conjuntos A y B, la diferencia simtrica entre A y B est dada por)()( A B B A B A .

Lo achurado corresponde a )()( A B B A B A


57/88



Ejercicios 87En una encuesta para determinar las preferencias de un grupo de consumidores decigarrillos, se obtuvo la siguiente informacin de una muestra o universo de 100consumidores:

33 personas fuman cigarrillos Belmont.29 personas fuman cigarrillos Viceroy22 personas fuman cigarrillos Kent13 personas fuman cigarrillos Belmont y Viceroy

6 personas fuman cigarrillos Viceroy y Kent12 personas fuman cigarrillos Belmont y Kent3 personas fuman cigarrillos Belmont, Viceroy y Kent

a) Cuntas personas no fuman ninguna de las marcas de cigarrillos citadas?b) Cuntas personas fuman cigarrillos Belmont, Viceroy pero no Kent?c) Cuntas personas fuman solo cigarrillos Kent?

Solucin: Lo primero es definir los conjuntos:

A = Personas que fuman Cigarrillos Belmont

B = Personas que fuman Cigarrillos Viceroy

C = Personas que fuman Cigarrillos Kent

Datos:

33# A , 29# B , 22# C , 13)(# B A , 6)(# C B , 12)(# C A ,3)(# C B A

Con esta informacin construiremos el diagrama de Venn - Euler. Sugerencia: Para hacerms fcil el llenado partimos ubicando la cardinalidad de la interseccin de los conjuntos, esdecir, la cardinalidad de C B A

a) Sumando todos los valores nos da un resultado de 56:


58/88



11 10 3 9 3 13 7 56 , por lo tanto, tenemos 44 consumidores de cigarrillos que nofuman ninguna de estas 3 marcas de cigarrillos, ya que las personas encuestadas son 100consumidores.

100 56 44 Consumidores de cigarrillos

b) Sumando todos los valores que no tengan el valor de C se obtiene lo siguiente:11 10 13 34 Consumidores de cigarrillos

c) Observando el grfico nos damos cuenta de que el valor de C=7, ya que 7 personasson las que consumen solo la marca de cigarrillos Kent.

Ejercicio 88Determine los elementos que correspondan en cada caso, aplicando la operatoriaconjuntista:

a) U A b) A B c) A B d) ( ) A B e) ( ) A B

/ 2, 2 24U x Z x es mltiplo de x

/ , 2 10 A x N x es par x

/ 4, 2 24 B x N x es multiplode x

Solucin:

Lo primero es expresar los conjuntos en su forma de extensin:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24U

4,6,8 A

4,8,12,16,20 B

a) U A , para responder esta pregunta al conjunto universo tenemos que restarle loselementos del conjunto A. Quedando lo siguiente:

2,10,12,14,16,18,20,22, 24U A

b) A B , para responder esta pregunta nos tenemos que fijar en cules son loselementos en comn entre los conjuntos A y B. Quedando lo siguiente:

4,8 A B


59/88



c) A B , para responder esta pregunta tenemos primero que calcular el complementode A ( A ) que corresponde a todos los elementos del universo, salvo los del conjunto

A.

2,10,12,14,16,18,20,22,24 A , a estos elementos se les resta los elementos quetiene en comn con el conjunto B.

2,10,14,18,22,24 A B

d) ( ) A B , lo primero es obtener la unin entre el conjunto A y B que corresponde atodos los elementos de cada uno de los conjuntos. Los valores repetidos seconsideran una vez.

4,6,8,12,16,20 A B , luego obtenemos el complemento de esta expresin

( ) 2,10,14,18,22,24 A B

e) ( ) A B , lo primero es obtener la interseccin entre los conjuntos A y B quecorresponde a todos los elementos que tienen en comn ambos conjuntos.

4,8 A B , luego obtenemos el complemento de esta expresin

( ) 2, 6,10,12,14,16,18, 20, 22, 24 A B

Ejercicio 89 De las siguientes alternativas, cul de ellas representa la parte sombreada?

a) ( ) ( ) A B A B

b) ( ) ( ) A B A B

c) ( ) ( ) A B B A


60/88



Solucin:

Analizando la figura nos damos cuenta de que la parte sombreada corresponde a lasalternativas a) y c). Note, adems, que corresponde a la diferencia simtrica que ya hasido definida, .

APRENDIZAJE ESPERADO:11. Aplican teoremas y leyes fundamentales de la operatoria conjuntista, usando el lgebrade conjuntos. Criterio 3.5. Utiliza las propiedades de conjuntos en la resolucin de problemas en forma algebraica.Criterio 3.6. Aplica las leyes de asociatividad, conmutatividad y distributividad en la resolucin deproblemas usando el lgebra de conjuntos.Criterio 3.7. Aplica las leyes de Morgan en la resolucin de problemas usando el algebra deconjuntos.Criterio 3.8. Utiliza el Diagrama de Venn Euler en la resolucin de problemas, usando el lgebra defunciones, propiedades y leyes.

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Sean A, B, C conjuntos contenidos en el universo U.

1. ( ) A A 2. U U 3. A A A A

Idempotencia

4. A A A

A U U A U A

A A A A A A

A A U A A

Leyes de la asociatividad

5.( ) ( )

( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

Leyes de la conmutatividad

6. A B B A A B B A


61/88



Leyes de la distributividad

7.( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B C A B A C A B C A B A C

Leyes de Morgan

8. ( )( )

A B A B A B A B

Propiedades de la relacin de inclusin entre conjuntos ( )

Sean A, B, C conjuntos en un universo U.

1. Si A B entonces A B B A B A 2. Si A B entonces A B 3. ( ), A U A A propiedad reflexiva4. A B B A A B propiedad antisimtrica5. A B B C A C propiedad transitiva6. A B A C B C A C B C

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces:

; ; A B A B A B A B

Ejercicio 90

Demostrar que A B A B

Solucin:

Para poder demostrar igualdades de conjuntos podemos hacerlo por doble inclusin, esdecir, probamos primero la inclusin " " y luego la inclusin en el otro sentido " "

I) ( ) A B A B II) ( ) B A B A ' ( que es lo mismo que: A B A B )

I) sea x A B ( ) x A x B x A x B x A B

Por lo tanto, A B A B

II) ( ) x A B ( ) x A x B x A x B x A B

Por lo tanto, A B A B

Luego, se ha demostrado que: A B A B


62/88



Ejercicio 91Demostrar la asociatividad de la interseccin:

( ) ( ) A B C A B C

I) Por demostrar: ( ) ( ) A B C A B C Sea ( ) x A B C x A B x C ( ) x A x B x C

( ) x A x B x C ( ) x A x B C

( ) x A B C Por lo tanto, ( ) ( ) A B C A B C

II) Por demostrar: ( ) ( ) A B C A B C Sea

( ) ( ) x A B C x A x B C

( ) x A x B x C ( ) x A x B x C

( ) x A B x C ( ) x A B C

Por lo tanto, ( ) ( ) A B C A B C

Luego, por I) y II) queda demostrado que:

( ) ( ) A B C A B C


63/88



U1

15 20

Ejercicio 92Sea el siguiente diagrama Venn Euler para los conjuntos A, B y U dados:

Determinar:

a) ( ) ( ) B A B A b) ( ) ( ) A B A B

Solucin:

a) ( ) ( ) B A B A , antes de responder esta pregunta aplicaremos las leyes deMorgan.

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A B A , ocupamos lapropiedad de idempotencia.

( ) ( ) B A B A B A , quedando lo siguiente

2,4,6, 7,8,9,10,11,12,13 B A

b) ( ) ( ) A B A B , antes de responder esta pregunta aplicaremos las leyes deMorgan.

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) A B A B A B A B A B A B , ocupamos lapropiedad de idempotencia.

( ) ( ) A B A B A B , quedando lo siguiente

2,4 A B

2

4

7 9 11

13

A

B6 8 10

12


64/88



Ejercicio 93De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente informacin:

391 ven programas deportivos230 ven programas cmicos545 ven programas sobre el mundo animal98 ven programas cmicos y deportivos152 ven programas cmicos y mundo animal88 ven programas deportivos y mundo animal90 no ven ninguno de esos tres programas

a) Cuntos entrevistados ven los tres tipos de programas?b) Cuntos entrevistados ven solo uno de los tres tipos?

Solucin:

Lo primero es definir los conjuntos:

D: televidentes que ven programas deportivosC: televidentes que ven programas cmicos

A: televidentes que ven programas del mundo animal

a) Haremos un abuso de notacin, identificamos (solo por simplificar las cuentas) lacardinalidad del conjunto #A con el conjunto A; del mismo modo para el resto delos conjuntos. Note tambin que, por ejemplo, AD significar la cardinalidad delconjunto D A , esto es D A#

( ) D C A D C A CD CA DA DCA , lo primero es cunto es:

( ) 1000 90 910 D C A , para encontrar cuntos televidentes ven los tres tipos

de programas se reemplazan los valores.910 391 230 545 98 152 88 DCA , despejando en la ecuacin

910 391 230 545 98 152 88

910 391 230 545 98 152 88 82

DCA

DCA

El nmero de televidentes que ven los tres programas son 82.

b) Para la solucin vamos a construir el diagrama de Venn- Euler


65/88



Podemos observar que la respuesta a la pregunta se obtiene de sumar.

287 62 387 736 Televidentes ven solo uno de los tres tipos de programas.


66/88



APRENDIZAJE ESPERADO:12. Resuelven ejercicios con operatoria bsica de lgica, determinando el valor de verdad deuna expresin.

Criterio 3.10. Identifican una proposicinCriterio 3.11. Diferencia entre una proposicin y una funcin proposicional.Criterio 3.12. Determina el valor de verdad de proposiciones compuestas, utilizando losconectivos lgicos.

Una expresin del lenguaje a la cual puede aplicarse con sentido uno y solo uno de loscalificativos Verdadera o Falsa se denomina proposicin.

Proposicin simple: Es toda expresin que afirma o niega en referencia a un sujeto, estasproposiciones podemos simbolizarlas mediante letras minsculas tales como p, q, r, s y t.

Es decir, una proposicin es una expresin que puede ser verdadera o falsa.

p: El agua est limpia

q: El Gato tiene 2 patas

Si una proposicin es verdadera, diremos que su valor de verdad es V y si es falsa, diremosque su valor de verdad es F.

Se llama funcin proposicional o proposicin abierta a una proposicin en que el sujeto estdado en forma de smbolos y puede ser reemplazado por alguno de los elementos de unconjunto.

Ejemplo: P(x): x es un nmero natural, x N

Podemos darnos cuenta de que cada vez que el smbolo o la variable es (x) es reemplazadopor un elemento del conjunto (N). La funcin pasa a ser una proposicin y tiene su valor deverdad.

Si x = 4 4 es un nmero Natural es V

Si x = 1,5 1,5 no es un nmero Natural F

Al conjunto al que pertenece la variable se le denomina Dominio o Universo de la funcinproposicional. En el ejemplo anterior el dominio de la funcin proposicional P es el conjuntode los nmeros enteros N.

Se llama Negacin u Opuesto de un enunciado el que se obtiene al aplicarle el modificadorno, es falso que, no es verdad que, en smbolos; o o ~

Consideremos la proposicin:

p : 2 es un nmero entero par. Se trata de una proposicin verdadera


67/88


68/88



Conjuncin

Se dice que una proposicin compuesta q p es verdadera si ambas proposiciones sonverdaderas. La conjuncin se simboliza por .

En esta proposicin puede que o curra p y ocurra q, el sentido lgico de la expresin y es deocurrencia conjunta, es decir, deben ocurrir ambas conjuntamente. Esto se resume en lasiguiente tabla de verdad:

p q p q V V VV F FF V FF F F

Condicional

Se dice que una proposicin compuesta q p es verdadera, a menos que la primeraproposicin enunciada sea verdadera y la segunda falsa. Se simboliza por y se leeSientonces, esto se resume en la siguiente tabla de verdad:

p q p q V V VV F FF V VF F V

Doble implicacin o Bicondicional

Se dice que una proposicin compuesta q p es verdadera, si ambas proposicionestienen igual valor de verdad. Se simboliza por y se lee si y solo si. Esto se resume enla siguiente tabla de verdad:

p q p q V V VV F FF V FF F V


69/88



Ejercicio 93Determinar cules de las siguientes expresiones del lenguaje son proposiciones y determinarsu valor de verdad.

a) 7 + 5 = 20b) Eres un estudiante de matemtica?c) X + 5 = 8d) Cierra la puerta!e) 12+9 =21f) El queso es un subproducto de la leche

Solucin:

a) 7+5 = 20, es una expresin cuyo valor de verdad es falsa. Luego es unaproposicin.

b) Eres un estudiante de matemtica?, es una pregunta que se hace, carece devalor de verdad, es decir, no podemos afirmar si es verdadero o falso no es unaproposicin.

c) X + 5 = 8, es un enunciado abierto o una funcin proposicional porque tiene unavariable y depende de esta su valor de verdad.

d) Cierra la puerta!, es una orden. Luego no es una proporcine) 12+9 =21, es una expresin cuyo valor de verdad es falsa. Luego es una

proposicin.f) Es una expresin cuyo valor de verdad es Verdad. Luego es una proposicin

Ejercicio 94Dadas las siguientes proposiciones determine el valor de verdad

a) p: El dlar es la moneda ms utilizada en las operaciones comerciales.q. La unidad de fomento es un ndice usado solo en Chile.

Cul es el valor de verdad de la expresin p q ?

Solucin:

Como podemos ver el valor de verdad de ambas proposiciones es verdaderoSe tiene que: V V V

b) p: El IVA es un ndice econmico que permanece constante en el tiempoq. El dlar es una moneda que no cambia su valor en el tiempo con respecto alpeso.Cul es el valor de verdad de la expresin p q ?

Solucin:

Lo primero es determinar el valor de verdad de cada expresin el valor de verdadde la proposicin p es verdadera, en cambio el valor de verdad de q es falso (eldlar siempre vara en su precio)

Reemplazando obtenemos que:

7/21/2019 EIT113 - Logica y Matematica

EIT113 - Logica y Matematica Computacional

Documents

Transcript of EIT113 - Logica y Matematica Computacional