LógicaClases Teóricas –

4/11/2013-6/11/2013

Federico M. Pailos

Repaso

Lenguaje P

Sistema SP

(SP1) (A → (B → A))

(SP2) ((A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C)))

(SP3) ((¬A → ¬B) → (B → A))

(MP) A, (A→B) /B

Repaso

Demostración: Una demostración en SP es una tira finita de fórmulas de P, cada una de las cuales o bien es un axioma de Sp o bien una consecuencia por MP de dos fórmulas anteriores de la tira, y donde la última fórmula de la tira es A.

Teorema: Una fórmula A de P es un teorema de SP ( A) sii existe ⊢una demostración de A en SP.

Derivación: Una derivación en SP de una fórmula A a partir de un conjunto de fórmulas Γ de P es una tira finita de fórmulas de P, cada una de las cuales o bien es un axioma de SP o bien es un miembro de Γ o bien una consecuencia por MP de dos fórmulas anteriores de la tira, y donde la última fórmula de la tira es A.

Consecuencia sintáctica: Una fórmula A de P es una consecuencia sintáctica de un conjunto de fórmulas Γ de P (Γ A) sii existe una derivación de A a partir de Γ en SP.⊢

Repaso

Metateorema de la deducción

ΓA B⊢ Γ (A→B)⊢ Principio de Inducción Matemática

Completa Si: 1 es F y (Si todo m menor a k es F k es F) todo

n es F

Repaso

Consistencia simple de un aparato deductivo: Un aparato deductivo es simplemente consistente sii no existe una

fórmula B tal que ella y su negación son teoremas del sistema ( B ⊢y ⊢ B).

Un aparato es simplemente inconsistente sii existe tal fórmula B.

Consistencia absoluta de un aparato deductivo: Un aparato deductivo es absolutamente consistente sii existe al

menos una fórmula del lenguaje en el cual dicho sistema está formulado que no es un teorema en él.

Un aparato deductivo es absolutamente inconsistente si toda fórmula es teorema suyo

Repaso

4.12. Consistencia Simple de SP: SP es simplemente consistente

4.9. SP es simplemente inconsistente SP es absolutamente inconsistente.

CORRECCIÓN FUERTE DE SPSI Γ A ⊢ Γ A (5.2)⊨

Vamos a probar: Para todo número natural n, si existe una derivación de A a partir de Γ en n pasos, entonces Γ A.⊨

Caso base: n=1 (longitud de la demostración =1) Probar: si existe una derivación de A a partir

de Γ en 1 paso, entonces Γ A⊨

CORRECCIÓN FUERTE DE SPSI Γ A ⊢ Γ A (5.2)⊨ Si la longitud de la demostración de A tiene un solo

paso, 1-Ese paso es A (Def. Derivación) 2-Hay dos casos posibles: A es un axioma de SP

(caso 1) o un miembro de Γ (caso 2) (Def. Derivación)

3-Caso 1: A ⊢ 4- A (4.10)⊨ 5-Γ A (3.8)⊨ 6-Caso 2: A Γ 7-Para toda valuación V, si V(Γ)=1 entonces V(A)=1 8-Γ A (3.5)⊨

Paso inductivo para probar 4.11

Vamos a probar: Para todo número natural n, si existe una derivación de A a partir de Γ en n pasos, entonces Γ A.⊨

Paso inductivo: Hipótesis inductiva: Si existe una derivación de A

a partir de Γ en un número de pasos menor a k, entonces Γ A.⊨

Tesis inductiva: Si existe una derivación de A a partir de Γ en un número de pasos k, entonces Γ ⊨A.

Paso inductivo

Sea A un enunciado derivable a partir de Γ en exactamente k pasos:

existe una tira finita de fórmulas cada una de las cuales es o bien un axioma (caso 1), o bien es un miembro de Γ (caso 2) o bien una fórmula que se obtiene por la aplicación de MP de dos fórmulas anteriores (caso 3) y donde la última línea de la tira es A. (def. deriv.)

Paso Inductivo Caso 1: Ídem. Caso 2: Ídem. Caso 3: A se obtiene por la aplicación de MP a dos fór. anteriores en la

tira. Existen dos fórmulas anteriores (en la tira) a A, Bi y Bj

(donde la i y la j indican el lugar que las fórmulas ocupan en la demostración, de modo que i<k y j<k)

Una de esas fórmulas debe tener fórmula condicional, con A como consecuente y con la otro fórmula como antecedente.

Sea Bi ≡ (Bj → A) Tanto Bi como Bj aparecen en la derivación de A, removiendo todos los

pasos posteriores obtenemos derivación de Bi de longitud i y de Bj de longitud j (donde i<k y j<k)

Γ Bj y Γ ⊨ ⊨ (Bj→A) (por hipótesis inductiva) Γ A (por metateorema 3.7)⊨

Completitud En SP también se cumple que: (Completitud) Γ ⊨ A Γ A ⊢ Nociones preeliminares: (Conjunto máximamente consistente) Un

conjunto Γ de expresiones de P es máximamente consistente (1) es consistente, y (2) toda fórmula A del lenguaje cumple alguna de estas dos condiciones:

(i) A, o bien (ii) A B y ⊢ A ⊢¬B, para alguna fórmula

B de P

Método Efectivo

Método Efectivo: “conjunto finito de instrucciones que indican cómo realizar paso a paso una determinada tarea, de modo tal que no involucre imaginación, fuentes externas de información ni métodos azarosos… es un procedimiento para resolver un problema, un mecanismo que, de seguirlo, ofrece la respuesta correcta, por sí o por no, a una determinada pregunta en un tiempo finito”.

Método Efectivo

Un M.E. no es, necesariamente, un procedimiento que pueda ser realizado por un ser humano. (Los pasos deben ser finitos, pero pueden ser demasiados para un humano.)

No hay consideraciones respecto del tiempo (salvo la exigencia de finitud), los recursos técnicos o las capacidades psicológicas a poner en juego.

Ejemplos: la receta de un omelette, la receta de un omelette del tamaño de Júpiter.

Método Efectivo

Definición intuitiva o preteórica. ¿Puede ser capturada en un definición

rigurosa? Tesis de Church: Todo procedimiento

efectivo puede ser representado por una definición recursiva.

(Parece plausible. De momento, no ha sido refutada.)

Enumeración Efectiva

Una E.E. de los elementos de un conjunto es una función que asigna números naturales a esos elementos, de modo tal que:

1-Un mismo número no corresponde a más de un elemento.

2-Existe un método efectivo para, dado cualquier número natural n, saber a qué miembro del conjunto fue asignado.

Completitud para SP: Prueba de Henkin Objetivo: probar Γ ⊨ A Γ A ⊢ Corolario: ⊨ A A. (Caso particular.)⊢ Estrategia general de la prueba: (1) Mostraremos que si Γ ⊨ A, entonces ¬A

es insatisfacible. Si Γ ⊨ A, entonces no existe una valuación v t.q.

v(Γ)=1 & v(A)=0, o, lo que es lo mismo, v(¬A)=1. Por tanto, no existe una valuación v t.q. asigne 1 a

cada elemento de ¬A. Así que ¬A no tiene modelo, y es por tanto

insatisfacible.

Completitud para SP: Prueba de Henkin

(2) Probaremos que si ¬A es insatisfacible, entonces también es inconsistente. (i) Probaremos primero que si es un conjunto

máximamente consistente, entonces: 1.Dada una fórmula cualquiera A de P, o bien ella o

su negación, ¬A, son miembros de . 2.Toda fórmula A que pueda derivarse a partir de

es un miembro de este conjunto: si Γ A ⊢ A.

Completitud para SP: Prueba de Henkin

(ii) Demostraremos luego el “Metateorema de la Enumeración”.

Con este metateorema y los referidos a los conjuntos maximales consistentes, probaremos el “Lema de Lindenbaum” –que dice que los conjuntos consistentes son subconjuntos de conjuntos maximales consistentes. (Es decir, que cualquier conjunto consistente de fórmulas, puede extenderse a un conjunto max máximamente consistente.)

Con el “Lema de Lindenbaum”, probaremos el “Lema de Henkin”, que afirma que si un conjunto es consistente, entonces tiene modelo (i.e., es satisfacible).

Lema de Henkin: estrategia de prueba

Probaremos el lema para un conjunto máximamente consistente max, construido a partir de un conjunto consistente cualquiera.

Si probamos que max tiene modelo, probamos que todos sus subconjuntos (de fórmulas) lo tienen. En particular, .

Finalmente, aplicaremos el Lema de Henkin al conjunto ¬A. Dado que este conjunto no es satisfacible, entonces –suponiendo Γ ⊨ A- será inconsistente.

(3) Demostraremos que si ¬A es inconsistente, entonces Γ A (a través del ⊢metateorema de la Deducción).

(1) Metateorema 5.3. Si Γ ⊨ A, entonces A es insatisfacible.

Prueba: si Γ ⊨ A, (def. 3.5) no existe una valuación V t.q. V(Γ)=1 &

V(A)=0 (def. 3.5) no existe una valuación V t.q. V(Γ)=1 &

V(¬A)=1 (def. 3.1,1) no existe una valuación V t.q. V(¬A )=1 ¬A es insatisfacible (def. 3.3)

(2) Metateorema 5.4. Si Γ es un conjunto máximamente consistente para toda fórmula A, o bien A, o bien A, pero no ambas.

Prueba: Si Γ es máximamente consistente Γ es consistente, y para toda fórmula A, o bien A o bien ¬A es inconsistente (def. 5.1)

Supongamos por absurdo que existe una fórmula A t.q. A y ¬A A es inconsistente y ¬A es inconsistente (def. 5.1) existe una fórmula B t.q. A B y ⊢ A ⊢¬B, y existe una

fórmula C t.q. ¬A C y ⊢ ¬A⊢¬C (def. 4.6) existe una fórmula B t.q. A⊢ B y A⊢ ¬B, y existe una fórmula C

t.q. ⊢¬AC y ⊢¬A¬C (Deducción) ⊢(¬A¬¬A), ((A⊢ B)((A¬B)¬A) y

((⊢ ¬AC)((¬A¬C)¬¬A) (ejs. 4.1.5 y 4.1.15) ⊢(¬A¬¬A), ((A⊢ B)((A¬B)¬A) y

((⊢ ¬AC)((¬A¬C)¬¬A) (met. 4.5) ⊢(¬A¬¬A), ⊢(A¬B)¬A) y (⊢ ¬A¬C)¬¬A)

(met. 4.4)

(2) Metateorema 5.4. Si Γ es un conjunto máximamente consistente para toda fórmula A, o bien A, o bien A, pero no ambas.

⊢(¬A¬¬A), ⊢¬A y ⊢¬¬A (met. 4.4) ⊢¬A y ⊢¬¬A (met. 4.4) es inconsistente, lo cual es un absurdo

porque dijimos que era consistente (def. 4.6)

El absurdo partió de suponer que existe una fórmula A t.q. A y ¬A. Por tanto, para toda fórmula A, o bien A o bien ¬A.

(2) Metateorema 5.4. Si Γ es un conjunto máximamente consistente para toda fórmula A, o bien A, o bien A, pero no ambas.

Supongamos por absurdo que existe una fórmula A t.q. A y ¬A.

⊢¬A y ⊢A (ej. 4.1.17) es inconsistente, lo cuál es un absurdo

porque dijimos que era consistente (def. 4.6)

El absurdo partió de suponer que existe una fórmula A t.q. A y ¬A. Por tanto, para toda fórmula A, no es el caso de que A y ¬A.

□

Metateorema 5.5. Si Γ es máximamente consistente y ⊢A y A.

Prueba: Si Γ es máximamente consistente y ⊢A

Γ es consistente y A o ¬A y ⊢A (def. 5.1 y met. 5.4)

Si ¬A Γ⊢¬A (ej. 4.1.17) ⊢A y Γ⊢¬A Γ es inconsistente (def. 4.6) Absurdo. Luego, A

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Metateorema 5.6. METATEOREMA DE LA ENUMERACIÓN. Existe una enumeración efectiva de todas las expresiones de P.

Prueba: Comenzaremos por asignar numerales a los símboles del vocabulario de P del siguiente modo:

p 10 ‘ 100 ¬ 1000 10000 ( 100000 ) 1000000

Numeral de una fórmula: aquél que se obtiene yuxtaponiendo los numerales de sus símbolos de izquiera a derecha. Ej: el numeral de (p’p’’) es 10000010010010000101001001000000.

Cada fórmula tendrá un numeral asociado.

Metateorema 5.6. METATEOREMA DE LA ENUMERACIÓN. Existe una enumeración efectiva de todas las expresiones de P.

Ordenamos las expresiones de P de acuerdo con sus numerales, de menor a mayor.

Esta enumeración es efectiva: (i) a fórmulas diferentes corresponden numerales diferentes, y(ii) existe un método efectivo para encontrar, para cualquier número n, la fórmula que se encuentra en el lugar n:

El numeral más chico es el correspondiente a la fórmula p’: 10100

A partir de ahí, se avanza de diez en diez, controlando si para cada numeral resultante se corresponde o no a una fórmula (por medio de la def. de fórmula bien formada). Si corresponde, se anota la expresión en una lista, a continuación de las anteriores, hasta haber anotado n fórmulas.

Metateorema 5.6. METATEOREMA DE LA ENUMERACIÓN. Existe una enumeración efectiva de todas las expresiones de P.

Existe un método efectivo para encontrar para cualquier fórmula su posición en la lista:

1-Se calcula el numeral de la fórmula. 2-Se parte del numeral 10100 y se van

listando todas las fórmulas hasta encontrar la deseada. La cantidad de expresiones listadas hasta el número de la fórmula origninal nos dará su posición en la lista.