MIRTA VARGAS DE ARGENTINA MEDIA 9 CALZADA Cat B 2° grupo 1ª Actividad
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
LISTADO 9: TRIGONOMETRIAIntroduccion a la Matematica Universitaria - 520145
1) Determine los valores de sin(α), cos(α), tan(α) y cot(α) sabiendo que
1.1) (P) sin(α) = 513 , P (α) ∈ Cuadrante 1,
1.2) cos(α) = 79 , P (α) ∈ Cuadrante 4,
1.3) cos(α) = − 34 , P (α) ∈ Cuadrante 2,
1.4) sin(α) = − 13 , P (α) ∈ Cuadrante 3,
1.5) (P) tan(α) = 247 , P (α) 6∈ Cuadrante 1,
1.6) sin(α) = − 513 , tan(α) > 0.
2) (P) Conociendo sin(α) = 19 , P (α) esta en el primer cuadrante, cos(β) = − 3
5 y P (β) esta en segundocuadrante, determine:
2.1) cos(2α), 2.2) sin(α+ β), 2.3) tan(α), 2.4) cot(β).
3) Determine los siguientes valores
3.1) cos(Arcsin
(56
)),
3.2) (P) tan(Arccos
(23
)),
3.3) Arcsin(cos(−π2))
,
3.4) Arcsin(sin(13π8
)),
3.5) (P) sin(Arcsin
(1213
)+ Arcsin
(45
)),
3.6) cos(Arctan
(− 3
4
)− 2Arccos
(− 4
5
)).
4) Sea x ∈ R− {kπ : k ∈ Z}. Pruebe que para todo m ∈ N se cumple que
cos(x) cos(2x) · · · cos (2mx) =sin(2m+1x
)2m+1 sin(x)
.
5) Determine los valores de x ∈ R para los cuales se cumple que
5.1) sin(x) + cos(x) = −√
2,
5.2) (P) 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0,
5.3) sin(x) + cos(x) = 1,
5.4) sin2(x) + sin(x) + 1 ≤ 34 ,
5.5) cos(2x) + cos(−x) = 0,
5.6) ln(sin(x)) ≤ 0.
6) Determine los valores de x ∈ [−2π, 2π] para las cuales se cumple que
6.1) sin(x) cos(x) = sin2(x),
6.2) (P) sin(x) = sin(2x),
6.3) cos(2x) + 3 cos(x)− 1 = 0,
6.4) sin3(x)− cos3(x) = 0,
6.5) (P) sin(2x) + cos(2x) = cos(x)− 1,
6.6) sin(2x) = 4 cos(x2
),
6.7) (P) sin2(x)(5− 4 sin2(x)
)= 1,
6.8) sin(x)− sin2(x) = − cos2(x).
7) Pruebe las siguientes identidades trigonometricas:
7.1)sin(t)
1 + cos(t)+
1 + cos(t)
sin(t)= 2csc(t),
7.2) sin(3t) = 3 sin(t)− 4 sin3(t),
7.3) (P) cos(2x) =1− tan2(x)
1 + tan2(x),
7.4) (P) sin2(y2
)=
tan(y)− sin(y)
2 tan(y).
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LISTADO 9, IMU (520145) 2
8) En la figura a continuacion la ciudad B se encuentra a 30km de A en direccion Este, mientras que C seencuentra a 50km de A en direccion N30oO. La lınea recta entre B y C representa una carretera entre lasdos ciudades, mientras que la lınea intermitente entre A y esta carretera representa un camino que deseaconstruirse.
8.1) Determine la longitud de la carretera entre B y C.
8.2) Determine cual va a ser la longitud del caminoentre A y la carretera que une a B y C.
9) (P) El extremo superior de una escalera se encuentra apoyado a un muro en un punto A a una determinadaaltura del suelo y de tal manera que la escalera forma un angulo de 30◦ con el muro. La escalera resbala ysu extremo superior desciende hasta un punto B formandose entonces un angulo de 60◦ entre la escaleray el muro. Si el largo de la escalera es de 3 metros, ¿cuanto descendio el extremo superior de la escalera?
10) Desde cierta ciudad costera A se observa, a 10km de A y en direccion NαE con α = Arcsin(23
), una isla
P . Un barco parte desde A en direccion sur y en cierto momento de su travesıa se observa desde el lamisma isla P , pero en direccion NβE con β = Arctan
(12
), ¿que distancia ha recorrido el barco hasta ese
momento?
11) (P) Sea f :]−π2 ,
π2
[−→ R tal que ∀x ∈
]−π2 ,
π2
[: f(x) =
1√cos(x)
.
11.1) Determine el recorrido de f .
11.2) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta.
11.3) Defina la funcion f oArccos.
11.4) Restrinja dominio y codominio de f de modo que la funcion resultante tenga inversa y determınela.
12) Sea f : Dom(f) ⊆ [0, π] −→ R tal que ∀x ∈ Dom(f) : f(x) = ln(| tan(x)|).
12.1) Determine dominio y recorrido de f .
12.2) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta.
12.3) Restrinja dominio y codominio de f de modo que la funcion resultante tenga inversa y determınela.
13) Sea f : R −→ R tal que ∀x ∈ R : f(x) = sin(2x+ π
2
).
13.1) Determine perıodo, amplitud y desplazamiento de fase de f .
13.2) Demuestre que ∀x ∈ Dom(f) se cumple que f(x) = 1− 2 sin2 x.
13.3) Determine para que valores de x ∈ [0, 2π] se cumple que f(x) = 12 .
14) Escriba cada una de las siguientes funciones f : R → R como una funcion sinusoidal y determine de ellaperıodo, amplitud y desplazamiento de fase,
14.1) (P) f(x) = 4 sin(2x)− 4√
3 cos(2x),
14.2) (P) f(x) = −2 cos(3x+ π
4
),
14.3) f(x) = 2− 5 sin(4x+ π
3
),
14.4) f(x) = 5 cos(3x+ 8π).
LBA/MGI/MSS/FTO Trimestre 2, 2015