Lista de Exercicios
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES
Universidade de São Paulo - USP Escola de Engenharia de São Carlos – EESC
Departamento de Engenharia de Transportes – STT
Exercícios de Geomática I – Edição 2010
Profs. Irineu e Segantine
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Disciplina de GEOMÁTICA I e II - Lista de Exercícios Edição 2010
Professores – Irineu da Silva e Paulo César Lima Segantine
Esta lista é uma coletânea de exercícios básicos de Geomática que tem por
finalidade auxiliar o estudante a aprimorar os seus conhecimentos a respeito desta
esta área. A ordem dos exercícios segue aproximadamente a ordem do curso
oferecido. Para maior clareza e facilidade para o estudo, os exercícios foram
agrupados em temas. Existem, entretanto, alguns exercícios deslocados da ordem,
mas que foram inseridos desordenados para manterem-se de acordo com a ordem
dos temas.
Os exercícios aqui apresentados são, na sua maioria, retirados de exemplos
práticos criados pelos professores responsáveis pela disciplina Topografia – STT-
409 Geomática I e STT:410 Geomática II. Vários deles, entretanto, foram retirados
de livros que versam sobre a Geomática e que se encontram indicados na
bibliografia do curso.
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Exercícios de Geomática I – Edição 2010
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Índice
1. Exercícios sobre ângulos – conversões e operações ............................ 4
2. Exercícios sobre distâncias ................................................................... 5
3. Exercícios sobre Projeção UTM ............................................................ 8
4. Exercícios de Topometria ...................................................................... 9
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1.Exercícios sobre ângulos – conversões e operações
1.1 Expresse 0,6 em minutos Resp – 36’
1.2 Expresse 0,016 em segundos Resp – 57,6”
1.3 Converta 2,50 rad para graus decimais Resp – 143,24
1.4 Expresse 92,572 em radianos Resp – 1,61569 rad
1.5 Converta 546’12”para radianos Resp – 0,10070 rad
1.6 Converta 66,4941 em graus sexagesimais Resp - 6629’39”
1.7 Converta 4918’37” em graus decimais Resp- 49.3103
1.8 Some 3542’28”com 5731’59” Resp - 9314’27”
1.9 Subtraia 2533’42” de 2813’28” Resp - 239’46”
1.10 Multiplique 1328’35” por 2,7354 Resp - 3652’42”
1.11 Divida 7232’10” por 2,831 Resp - 2537’19,49”
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2. Exercícios sobre distâncias
2.1 Mediu-se uma distância inclinada com uma Estação Total obtendo-se um valor igual a
347,832 m. Calcule a distância horizontal sabendo-se que o ângulo vertical zenital medido
foi igual a 8833’51” Resp – 347,723 m
2.2 Mediu-se uma distância inclinada com uma Estação Total obtendo-se um valor igual a
822,123 m. Calcule a distância horizontal sabendo-se que o ângulo vertical zenital medido
foi igual a 9513’22” Resp – 818,710 m
2.3 Com uma Estação Total instalada sobre um tripé visou-se a extremidade superior de um
poste obtendo-se os seguintes valores:
Distância inclinada – 50,272 m
Ângulo vertical de altura - 354’44”
Altura do instrumento – 1,57 m
Considerando que o terreno aonde se encontram o poste e o equipamento é plano e
horizontal, calcule a altura do poste.
Resp – 5,00 m
2.4 Através de um teodolito visou-se uma mira graduada colocada na posição vertical obtendo-
se os seguintes valores:
Leitura dos fios estadimétricos: Sup – 2432
Méd – 1500
Inf - 932
Angulo vertical zenital - 9256’06”
Calcule a distância horizontal entre o instrumento e a mira. Considere a constante de
multiplicação do instrumento igual a 100 e a constante de adição igual a 0.
Resp – 149,61 m
2.5 Considerando os mesmos dados do exercício anterior, calcule a diferença de cota entre o
ponto aonde está estacionado o instrumento (pto P) e o ponto aonde está estacionada a mira
(pto Q). Considere a altura do instrumento igual 1,61 m
Resp – 7,56 m
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2.6 Considerando ainda o exercício anterior, calcule a rampa (em porcentagem, em graus e em
proporção) entre os pontos P e Q.
Resp – 5,05%, 253’34”, 1:19,79
2.7 No estaqueamento de uma estrada (20 m entre estacas) o ponto P encontra-se na estaca
14+2,725 m e o ponto Q encontra-se na estaca 22+15,738 m. Qual é a distância entre os
pontos P e Q?
Resp – 173,013 m
2.8 Calcule a distância entre dois pontos separados por um ângulo de 1” e distantes 1000 m de
um teodolito.
Resp – 0,48 cm
2.9 Calcule a mesma distância anterior considerando o ângulo igual a 1’.
Resp – 29,08 cm
2.10 Calcule a mesma distância anterior considerando o ângulo igual a 1.
Resp – 17,45 m
2.11 Com o mesmo raciocínio anterior, calcule o ângulo interno para uma distância entre os dois
pontos igual a 50 cm e uma distância até o teodolito igual a 1500 m.
Resp – 001’08,7”
2.12 Calcule o valor do raio médio de curvatura da Terra (R0) para um local de latitude igual a
2158’00”, considerando o elipsóide SAD-69 como referência.
Resp – 6.362.734,958 m
2.13 A distância esférica entre dois pontos ao nível do mar é igual a 1200,164 m. Qual é o valor
da projeção dessa distância na altitude de 870,00 m? Considere a raio de curvatura médio da
Terra nesse local igual a 6.362.735,00 m.
Resp – 1199,836 m
1000m
1000m
{
1’’
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2.14 Calcule a diferença entre a distância esférica e a corda e entre a distância esférica e a
distância horizontal entre dois pontos separados por uma distância esférica igual a 5000 m e
a uma altitude igual a 870 m. Considere a raio de curvatura médio da Terra nesse local igual
a 6.362.735,00 m.
Resp - +0,13 mm e –1,03 mm
2.15 A partir de um ponto P, de altitude igual a 870 m, visou-se um ponto Q, obtendo-se os
valores indicados a abaixo.
Distância inclinada - 5643,856 m
Ângulo vertical zenital - 8455’31”
Reduza a distância PQ para o nível do mar. Considere a raio de curvatura médio da Terra
nesse local igual a 6.362.735,00 m.
Resp – 5.620,552 m
2.16 Mediu-se a distância entre dois pontos P e Q utilizando-se uma Estação Total
desconsiderando a correção devido as condições atmosféricas. A distância obtida foi igual a
2.327,584 m. Sabendo-se que a pressão atmosférica no local da medição era de 745 mmHg
(993 mb), a temperatura era de 41 C e a umidade era igual a 95%, calcule a distância
corrigida.
Resp – 2.327,662
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3. Exercícios sobre Projeção UTM
3.1 Considerando a projeção UTM, calcule a convergência meridiana C de um ponto com as
seguintes coordenadas geográficas:
= 1623’30.7554”
= 5441’22.1918”
Resp = 036’18,007”
3.2 Seja um ponto de coordenada UTM - Este = 202.270,000 m. Considerando a raio de
curvatura médio da Terra nesse local igual a 6.362.735,00 m, calcule o fator de escala k
para esse ponto.
Resp – 1,0010948
3.3 Através das coordenadas UTM de dois pontos calculou-se a distância plana entre eles
obtendo-se o valor igual a 1.745,865 m. Sabendo-se que o fator de escala k médio para
esses pontos é igual a 1,0010948, calcule a distância topográfica desses dois pontos em uma
altitude igual a 870,00 m. Adotar o raio de curvatura médio da Terra nesse local igual a
6.362.735,00 m.
Resp – 1744,194 m
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4. Exercícios de Topometria
4.1 Dadas as coordenadas plano-retangulares entre dois pontos P e Q, conforme indicado na
tabela abaixo, calcule o azimute do alinhamento PQ e a distância entre eles.
Ponto Coordenadas
E N
P 202.567,689 7.235.745,269
Q 202.108,112 7.236.325,779
Resp – 32137’56”, 740,407 m
4.2 Dadas as coordenadas plano retangulares do ponto P, o azimute do alinhamento PQ e a
distância horizontal entre P e Q, calcule as coordenadas do ponto Q.
Ponto Coordenadas
E N
P 202.567,689 7.235.745,269
Azimute PQ = 32137’56”
Distância PQ = 740,407 m
Resp – 202.108,112; 7.236.325,779
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4.3 Considerando a figura apresentada abaixo, calcule os azimutes dos alinhamentos indicados.
Dado: Azimute da linha 29 – 23 = 4110’35”
Vértice Ângulo interno
23 26131’26”
24 9803’59”
25 9302’06”
26 12144’12”
27 9710’07”
28 19604’10”
29 3224’01”
Resp - 12242’01”; 4046’00”; 31348’06”; 25532’18”; 17242’25”;18846’35”
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4.4 Deseja-se medir a velocidade superficial de um rio. Para tanto se lançou uma bóia e mediu-
se a sua posição em dois locais diferentes, conforme indicado na figura abaixo. As posições
foram medidas através de dois teodolitos estacionados sobre os pontos A e B. Foram lidos
os ângulos indicados na tabela abaixo. Calcule a velocidade de deslocamento da bóia (m/s).
Estação Pto visado Ângulo Horizontal
B A 000’00”
1 28922’06”
2 32624’40”
A B 000’00”
1 4420’54”
2 9513’06”
Dados: Distância A-B = 586,629 m Tempo de deslocamento = 5 min.
Resp – 1,58 m/s
4.5 Dado o levantamento topográfico indicado abaixo,
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a) Calcule o ajustamento da poligonal;
b) Calcule as coordenadas dos pontos irradiados 3.1 e 6.1;
c) No alinhamento 6.1-3.1, considerando o ponto 6.1 como início do estaqueamento,
calcule as coordenadas dos pontos A e B que estão na estaca 100 m e afastamento 100
metros e na estaca 200 metros e afastamento 100 metros, respectivamente. (considere
afastamento positivo p/ a direita);
d) Calcule as áreas das duas glebas definidas pela poligonal e divididas pelos pontos 3, 3.1,
6.1 e 6.
Obs – Considere todas as distâncias no plano topográfico local
Caderneta de campo do levantamento
Estação Pto
visado
Ângulo horizontal
Ângulo vertical
Distância
inclinada (m)
1 6 000’00” 8959’40 607,174
2 8444’55” 9010’00 308,049
2 1 000’00” 8950’00 308,085
3 14411’28” 9030’20 458,852
3 2 000’00” 8927’40 458,860
4 13012’50” 9000’20 419,262
3.1 8823’25” 9.00’09 213,034
4 3 000’00” 8959’37 419,264
5 5021’06” 8953’12 419,200
5 4 000’00” 9015’00 419,202
6 24214’01” 8940’00 352,875
6 5 000’00” 9022’13 352,880
1 6815’48” 9000’50 607,180
6.1 5449’58” 9015’12 368,458
Coordenadas planas local do ponto 1 E = 642.000,000
N = 7.512.000,000
Azimute local da direção 1-6 = 19959’58” (medido a partir de um ponto conhecido). Respostas – 8”, 1:23.992, 3.1 (7511716,987; 641356,006), 6.1 (7511795,455; 641834,476), A (7511877,953; 641719,611), B
(7511861,770; 641620,929), 184690,46 m2, 125347,05 m2
4.6 Para o projeto da continuação de duas ruas em uma cidade, levantou-se uma poligonal com
pontos irradiados, obtendo-se as coordenadas UTM indicadas abaixo. Baseado nos pontos
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levantados, calcule as coordenadas do ponto de cruzamento da continuação da rua 1 com a
continuação da rua 2 (pto 23 indicado na figura) e indique o ângulo e a distância para a
locação desse ponto.
Obs – Notar que as coordenadas dos pontos estão na projeção UTM.
A altitude média do terreno nesse local é de 850,00 metros.
Raio de curvatura médio da Terra no local = 6.338.430,00 m.
O ponto 22 está localizado no eixo da rua 2.
Os pontos 18,19,20 e 21 estão localizados na guia da rua1.
Pto Coordenadas
Norte Este
13 7.025.083,300 627226,628
14 7.025.009,204 627281,874
15 7.024.991,540 627219,254
16 7.024.931,187 627301,028
17 7.024.806,064 627284,084
18 7.025.024,661 627322,393
19 7.025.065,878 627322,393
20 7.025.059,990 627334,393
21 7.025.028,341 627334,393
22 7.024.908,994 627459,261
Resp - 23 = 4908.994,
7328.393
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4.7 Deseja-se construir um túnel em linha reta entre os pontos 27 e 31, conforme indicado na
figura abaixo. Para tanto se mediu uma poligonal topográfica local aberta partindo dos
pontos 24 e 25 de coordenadas conhecidas. Calcule qual deve ser o ângulo de partida, em
relação a direção 27-28 e a distância que se deve cavar para alcançar o ponto 31.
Levantamento Topográfico
Estação Pto Visado Ang. Horz. Dist. Horizontal
(m)
25 24 000’00”
26 16247’36” 79.710
26 25 000’00”
27 18729’36” 102.394
27 26 000’00”
28 13522’45” 138.914
28 27 000’00”
29 19531’10” 131.061
29 28 000’00”
30 2323’59” 127.3113
30 29 000’00”
31 18922’12” 159.155
31 30 000’00”
32 14746’50” 311.362
Coordenadas planas local – 24 E = 7570,662 N = 4877.457
25 E = 7675,274 N = 4928,242
Resp – 43.3735; 454,253
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4.8 Considerando a tabela do levantamento topográfico indicada abaixo, calcule os erros de
fechamento e as coordenadas finais dos vértices da poligonal.
Estação Pto
visado
Ângulo horizontal
Distância
horizontal
(m)
BR Monte 000’00” 480,360
1 27138’00” 346,210
1 BR 000’00”
2 11652’45” 448,620
2 1 000’00”
SP 9346’15” 502,740
SP 2 000’00”
Rio 000’00” 270,790
Dados:
Ponto Coordenadas
E N
Monte 202.900,000 8.111.500,000
BR 203.092,470 8.111.059,890
SP 203.229,990 8.110.407,490
Rio 203.499,830 8.110.384,740
Resp – Fechamento angular – 9”
Fechamento linear - 0,25 m e 0,12 m
Ponto Coordenadas finais
E N
1 202.771,370 8.110.930,200
2 202.733,080 8.110.483,150
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4.9 Considerando a figura abaixo, calcule o raio do arco.
Dados: Distância AB = 867,06 m
Distância BC = 208,15 m
Resp – 1909.94 m
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4.10 Considerando a figura abaixo, calcule as coordenadas do ponto PI e do ponto B.
Dados: Raio da Curva = 1099,00 m
Coordenadas do ponto A X = 150.375,00
Y = 250.478,00
Azimute do alinhamento A-PI = 7130’00”
Azimute do alinhamento PI-B = 15830’00”
Resp -
Ponto Coordenadas finais
X Y
PI 150.754,30 250.603,50
B 151.126,50 250.456,90
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4.11 Calcular a cota do ponto P2, visado a partir de P1, e a distância entre eles, sendo
disponíveis os seguintes dados de campo:
a) cota de P1: C1=321,532 m;
b) ângulo zenital: Z=88º37’;
c) altura do aparelho em P1: hi=1,682 m
d) leituras dos fios estadimétricos: S=1627 M=1325 I=1023
4.12 Para calcular a altura livre sob um viaduto, foi feita uma visada horizontal a uma mira
colocada sob esse vão obtendo-se três leituras indicadas abaixo, e a seguir visou-se o ponto
mais alto, na mesma vertical, medindo-se o ângulo zenital 85º27’. Qual a altura máxima dos
caminhões que podem passar por aí? Dados: Para visada horizontal (z=90º); S=1808,
M=1633, I=1457.