Lista de Exercicio Unidade 3 - Transformada de Laplace e Z CORRIGIDO

Lista de Exerccios Unidade III

Docente: Fabiano Poderoso

Disciplina: Anlise de sinais e Sistemas

Alunos: Mabelle C. Marinho da Rocha,

Vincius Marinho Silva

Vitria da Conquista, Janeiro 2013.

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5.

Problemas

2.4-7 a resposta ao impulso unitrio de um sistema LCIT

Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for:

a) )(tu

b)

c)

d)

Letra a:

A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equao:

Substituindo x(t) e h(t):

Deixando h(t) e x(t) em funo da frequncia (vide tabela 1 - Transformada de Laplace):

e

logo,

Como esta transformada no pode ser obtida diretamente da tabela 1. necessrio expandir

estas funes por fraes parciais. Ento:

A = 1 e B = -1

Subst. A e B:

Em funo do tempo:


Letra b:




e

logo,

Esta transformada pode ser obtida diretamente da tabela 1. Ento, em funo do tempo:

Letra c:



e

logo,


estas funes por fraes parciais. Ento:

A = -1 e B = 1

Subst. A e B:


Em funo do tempo:

Letra d:




e

logo,


estas funes por fraes parciais.

o fator irredutvel que possui razes complexas, motivo este de tal frao parcial.

Ento, para encontrar A:

Para encontrar C, considere S =0 .

Ento

Subst. A,B e C:

Em funo do tempo:


2.4-9 Repita o problema 2.4-7 para

e




e

logo,

Agora esta transformada pode ser obtida diretamente da tabela 4.1

Em funo do tempo:

2.4-25 Considere o circuito mostrado na figura P2.4-5.

Figura P2.4-25

a) Determine a sada y(t) dada uma tenso inicial do capacitor de y(0) = 2V e entrada

x(t) = u(t).


b) Dada uma entrada x(t) = u(t-1), determine a tenso inicial do capacitor y(t) tal que a sada

y(t) seja 0,5 volts para t = 2 segundos.

Letra a

Atravs da LTK, nota-se que,

Sendo que

ento

De modo que

A resposta quando tem a forma

Quando t=0

Ento

A resposta de entrada nula

Letra b

Sabe-se que a resposta de entrada nula

Desde que o sistema seja invariante no tempo, o passo unitrio avanado 1 segundo gerando

a resposta x(t) = u(t-1) .Ento


Portanto,

3.9-4 Utilize o mtodo clssico para resolver

Com entrada e condies auxiliares

.

As razes repetidas so

As equaes do sistema so:

e

Para e substituindo e

2 =


Respondendo esta questo por transformada Z

Considerando e condies auxiliares

a equaoacima se tornar:

Sabe-se que

x[-1] e x[-2] = 0

e que

y[1] + 2y[0] + y[-1] = 2x[1] - x[0],

y[0] + 2y[-1] + y[-2] = 2x[0] - x[1]

portanto:

y[-1] = 2x[1] - x[0] - y[1] - 2y[0] (Eq 1)

y[-2] = 2x[0] - x[1] - y[0] - 2y[-1] (Eq 2)

Substituindo e na Eq. 1

Substituindo , e y[-1] na Eq. 2

Substituindo as condies iniciais em , e y[-2]

Estado nulo entrada nula

Encontrando o estado nulo


Se

ento, pela tabela de transformadas z:

Multiplicando por

,

,

Ento,

Em funo do tempo

Encontrando a entrada nula

Multiplicando por


Em funo do tempo

Ento a resposta total


4.1-3 Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funes:

b)

c)

f)

Letra b

Como a funo

possui um denominador com razes complexas ele pertence ao

exemplo

que possui uma transformada de Laplace especfica na tabela de

transformadas 1.

Ento:

Sendo

Portanto,

Letra c

Como a funo

no possui um denominador com razes complexas necessrio

manipular esta funo de modo que se possa fazer uma das transformaes da tabela de

transformadas 1.

Ento:

Trata-se de um caso especial em que o denominador tem o mesmo grau que o numerador.

Ento, deve-se proceder da seguinte maneira:


Divide-se por e nota-se que possui como quociente o nmero e de

resto a equao .

ento,

Ou

Encontrando a transformada da segunda parcela da equao

Portanto, em funo do tempo:

letra F

Como a funo

no possui um denominador com razes complexas necessrio

manipular esta funo de modo que se possa fazer uma das transformaes da tabela de

transformadas 1.

Ento:

, que exige a frao parcial vista

acima. Ento

Portanto, em funo do tempo:


5.1-4 Usando apenas as transformadas Z da tabela 5.1, determine a transformada Z de cada

um dos seguintes sinais.

a)

b)

c)

d)

Letra a

De acordo com a tabela 5.1

=

Letra b

Letra c

Letra d

Lista de Exercicio Unidade 3 - Transformada de Laplace e Z CORRIGIDO

Documents

Transcript of Lista de Exercicio Unidade 3 - Transformada de Laplace e Z CORRIGIDO