PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSOINSTITUTO DE MATEMÁTICAS

Nombre: Raúl Carrasco Vargas Katherine Martínez Suazo Bárbara Vera Cabrera Profesor: Héctor Meneses Asignatura: MAT 439 Fecha: 26/04/10

Introducción:

En matemáticas aplicadas, en el área de sistemas dinámicos, es interesante el modelamiento de estos sistemas mediante ecuaciones diferenciales. Un sistema dinámico bien conocido, el cual está gobernado por una ecuación diferencial, es por ejemplo, el caso de un cuerpo colgado de un resorte oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Aplicando la segunda ley de Newton a este sistema, obtenemos un movimiento armónico simple que se define en una dimensión mediante la ecuación diferencial:

La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma:

Si superponemos dos de estos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares, obtenemos el sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a

La gráfica es la llamada la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch.

Este trabajo se generarán las curvas de Lissajous con un experimento, donde se encontrarán dos espejos que se estarán moviendo debido a motores con pesos desbalanceados que permitirán que vibren con frecuencias ωx y ωy. Un puntero láser emitirá un rayo que se reflejará en un espejo y luego al otro espejo, así el rayo finalmente reflejado será la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares.

Algo de historia:

Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano Nathaniel Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto.Las “curvas de Lissajous”.

Jules Antoine Lissajous (4 marzo 1822 hasta 24 junio 1880) fue un matemático francés. Jules inventó el aparato de Lissajous, un dispositivo que crea las figuras que llevan su nombre. En él, un haz de luz rebota en un espejo unido a una vibración y, a continuación se reflejaba en un segundo espejo unido a otra vibración orientados perpendicularmente, lo cual creaba en una pared una figura de Lissajous. Lissajous estaba interesado en poder visualizar las vibraciones. Estudió las vibraciones transversales de las láminas elásticas y la composición de varios movimientos vibratorios por un procedimiento óptico. Sus experimentos más famosos implicaron diapasones y espejos. Por ejemplo, uniendo un espejo a un diapasón y enfocando una luz sobre él, Lissajous podía observar, ayudado por otro par de espejos, la luz reflejada que se torcía y daba vuelta en los espejos, al tiempo de las vibraciones del diapasón. Cuando él instaló dos diapasones perpendicularmente, con uno vibrando al doble de la frecuencia del otro, Lissajous encontró que las líneas curvadas en la pantalla se combinaban para dar lugar a una de estas curvas que hoy llevan su nombre.

Esto condujo a la invención de otros aparatos, como el armonógrafo. Las curvas de Lissajous fueron utilizadas para determinar las frecuencias de sonidos o de señales de radio. Estas curvas permiten el estudio de los movimientos vibratorios y, particularmente, la comparación de los sonidos dados por dos instrumentos.

Modelo del experimento:

Es posible crear las Curva de Lissajous de varias formas, una de ellas es el típico experimento de un péndulo doble, que dibuja las curvas dejando un rastro de arena. También es posible crear estas curvas usando programas computacionales, aplicaciones en Java, osciloscopios, etc. Este experimento pretende ser una variante del conocido experimento con espejos pegados a parlantes, colocados en forma de que un rayo laser rebota perpendicularmente de un espejo al otro, componiéndose ambos movimientos y formando las curvas de Lissajous.

En el experimento se encontrarán dos espejos que se estarán moviendo debido a motores con pesos desbalanceados que permitirán que vibren con frecuencias ωx y ωy, como se muestra en la figura 1. Un puntero láser emitirá un rayo que se reflejará en un espejo y luego al otro espejo, así el rayo finalmente reflejado será la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares. El modelo matemático se basa en la segunda ley de Newton, cada movimiento armónico simple se define en una dimensión mediante una ecuación diferencial, luego obtenemos como soluciones las ecuaciones paramétricas de la forma:

Tanto la amplitud como la frecuencia aplicadas en la componente horizontal y vertical se pueden regular mediante los diferentes mandos. Variando las frecuencias horizontal y vertical conseguimos generar infinitas figuras de Lissajous demostrando así la composición de dos movimientos armónicos perpendiculares uno al otro.

Modelo del experimento:

Figura 1.

En la experiencia se irá haciendo variar los parámetros ωx, ωy y δ los cuales son las frecuencias de los movimientos y el ángulo de desfase entre los dos movimientos respectivamente, así se podrán generar algunas curvas de Lissajous como las siguientes:

Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará.

La ecuación de movimiento armónico

El movimiento de un punto material se llama armónica si se mueve bajo la influencia de o un valor directamente proporcional a la desviación de la posición de equilibrio x. y

dirigido frente a la oscilación. La fuerza de retorno, dice, el signo menos en la fórmula , Cuando es el coeficiente de proporcionalidad.

Si sustituimos la potencia armónica a la ecuación que expresa el segundo principio de la dinámica, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden. Vemos que la solución de esta ecuación es una función cuya segunda derivada tiene la misma forma que la misma función con el signo opuesto (dentro de una constante). Las funciones que son el seno y el coseno

Vamos a ver si la ecuación se satisface con la función , Cuando , y son parámetros arbitrarios. Calculamos la primera y segunda derivada de la

desviación después de la hora y sustituir en la ecuación.

Función satisface la ecuación de movimiento, o también una

ecuación , siempre que la constante : satisface la relación:

. Permanente llama la frecuencia de vibración. El argumento de la función cos , Esta maniobra, una fase inicial en el momento . .. La desviación máxima de la posición de equilibrio se llama amplitud de la vibración, es , debido a que el mayor y el menor valor de la función coseno es 1 y -1.

Duración y la frecuencia de la vibración

Período de tiempo se denomina una oscilación completa. Después de la expiración del cuerpo es crispar de nuevo en la misma fase. El período está relacionado con la frecuencia de la fórmula:

La inversa del periodo, el número de vibraciones por unidad de tiempo se llama frecuencia. La unidad de frecuencia es hertz . .

Si medimos el tiempo desde ese momento que la fase inicial . El movimiento armónico de la función seno se describe. Como se puede ver la elección de seno o coseno es, de hecho, la elección de la fase inicial.

Referencias

Internet