LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, … · Sistemas Lindenmayer y su relación...

Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática

2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

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LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, UNA OPCIÓN PARA MODELAR FORMAS

VEGETALES.

Armando Cervantes Sandoval', Yo landa Rodríguez Pagaza l, Luis L. Landois Palencia 2

RESUMEN

Con la finalidad de mostrar qué son y cómo aplicar los Sistemas

Lindenmayer a la modelación de formas vegetales, se revisan aspectos como: 1)

Lenguajes formales; 2) Tipos de sistemas Lindenmayer; 3) Diferencias y

semejanzas entre lenguajes forn1ales y sistemas Lindenmayer; y 4) Patrones de

desarrollo en vegetales a nivel de disposición foliar, ramificación y tipo de

inflorescencia. Esto con el fin de proponer un sistema que consta de 16 archivos

en Visual Basic, al cual se le denominó LINSIS, que requiere como entrada un

axioma y un conjunto de reglas de producción para generar e interpretar

gramáticas Lindenmayer cuya salida es una representación gráfica, en dos

dimensiones, de la gramática obtenida; ya que como se muestra mediante

algunos ejemplos, se pueden hacer gráficos no sólo de formas

1 Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM. 2 Instituto de Socioeconomía Estadística e Informática. Colegio de Postgraduados.

Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza

Luis L. Landois Palencia

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vegetales y fractales, sino de cualquier estructura en la que se pueda

identificar un patrón básico de desarrollo o crecimiento.

Las ventajas de un sistema como LINSIS es que al usar una

notación formal, del tipo de los sistemas Lindenmayer, se adquieren las

bases matemáticas que dan soporte a un análisis sintáctico y de

ambigüedades o inconsistencias, con la facilidad de que las gramáticas

generadas se pueden plasmar directamente en un lenguaje de

programación, por lo que constituyen modelos lógico-matemáticos que

describen el crecimiento de las plantas y permiten hacer correcciones de

diseño, sintácticas o de congruencia al momento de hacer la modelación,

bondades que se aprecian al utilizar este sistema y aplicarlo a casos

específicos.

LINSIS representa un primer acercamiento y constituye la base para

elaborar otros sistemas que consideren tanto factores genéticos, como

ambientales, en el desarrollo de una planta y realicen representaciones

gráficas en tres dimensiones.

Palabras clave: Sistemas Lindenmayer, Gramáticas Formales, Desarrollo

Vegetal, Patrones, Modelación.


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INTRODUCCION

LINSIS es un sistema, elaborado en Visual Basic, para modelar

formas en las que se identifican patrones de crecimiento, con énfasis

especial en el desarrollo y crecimiento de formas vegetales.

Los fundamentos en los que se sustenta este sistema se presentan

en los dos primeros capítulos. El Capítulo 1 describe qué son los

Sistemas Lindenmayer y su relación con las gramáticas formales,

analizando los diferentes tipo de gramáticas y los tipos de sistemas

Lindemayer; aspectos fundamentales para entender cómo se plantea un

axioma y cómo se aplican las reglas de reescritura, con el fin de generar

las gramáticas, que al interpretarse se convierten en despliegues gráficos

en la pantalla de una computadora.

El Capítulo 2 analiza los patrones de crecimiento en vegetales,

revisando aspectos como disposición foliar o filotaxia; patrones en

ramificaciones y patrones en inflorescencias. Lo que muestra la

existencia, bien documentada, de patrones de crecimiento vegetal que se

pueden modelar con herramientas como las gramáticas formales y los

sistemas Lindenmayer.



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En el Capítulo 3 se revisa el enlace entre los sistemas

Lindenmayer y la computación, sustentando en esta relación el diseño de

LINSIS, un sistema que interpreta gramáticas. Se describe cómo se

elaboró el sistema, así como una guía de usuario para facilitar su manejo.

Esta información se utiliza en el Capítulo 4, para mostrar diez ejemplos

de formas modeladas con LINSIS. Esto permite concretar una propuesta

de cómo utilizar los sistemas Lindenmayer para la modelación de formas

vegetales.

Finalmente, el Capítulo 5 muestra las conclusiones y perspectivas

de este tipo de sistemas, haciéndose notorio que el siguiente paso consiste

en mejorar LINSIS para que funcione como un compilador de gramáticas

y los despliegues gráficos se realicen en tres dimensiones y no en dos,

aspectos sobre los que ya se está trabajando.

SISTEMAS Lindenmayer, aspectos basicos

Los sistemas Lindenmayer son una variación de la teoría de los

lenguajes formales desarrollada a finales de los años cincuenta por Noam

Chomskyl, por lo que, para comprender qué son y cómo permiten

1 Noam Chomsky, lingüista norteamericano, desarrolló en los cincuenta la teoría de los lenguajes formales para explicar cómo se comportan los idiomas utilizados por el hombre. (Fu, 1974:25; Prusinkíewicz, 1989:39).


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modelar el patrón de crecimiento de las plantas es necesario revisar

algunos tópicos referentes a los lenguajes formales.

LENGUAJES FORMALES

Un lenguaje formal o un sistema formal, se define como "... un

sistema lógico sin interpretación definida". Según Donovan (1986, pág

214), un lenguaje formal consta de un alfabeto, que es un conjunto de

palabras llamadas axiomas y un conjunto finito de relaciones llamadas

reglas de inferencia. Se hace uso de este tipo de lenguajes para obtener

modelos formalizados de .nociones intuitivas o informales. Los modelos

formales pueden ser abstraídos y estudiados matemáticamente y si el

modelo es adecuado para el problema que representa, los resultados

pueden explicar mucho del fenómeno que se estudia.

Como todo lenguaje, los sistemas formales tienen una sintaxis,

donde se establecen cuáles son las condiciones para construir palabras

válidas dentro de éste y una semántica, donde se asigna una

interpretación a los signos lingüísticos. Para definir formalmente a un

lenguaje es preciso cons iderar las siguientes definiciones:

Definición l. Un alfabeto es cualquier conjunto finito de símbolos. Una

sentencia sobre un alfabeto es cualquier cadena de longitud finita



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compuesta de símbolos del alfabeto (cadena o palabra son sinónimos de

sentencia). La cadena vacía λ es una cadena que carece de símbolos. Si

al alfabeto se le denota como V, entonces V* denota todas las posibles

sentencias sobre V incluyendo a la cadena vacía. De manera que V+

denota a V*- { λ }, es decir al conjunto de todas las cadenas no vacías.

Por último, un lenguaje L es un conjunto de sentencias sobre un alfabeto,

aunque debe aclararse que .los lenguajes no incluyen a todas las posibles

concatenaciones finitas de símbolos del alfabeto, ya que no todas tienen

un significado; por ello, L es un subconjunto de V* (toda concatenación

infinita ordenada) y se expresa como L⊂ V*.

Por ejemplo, si se toma la sentencia u oración en castellano: "La planta

fotosintetiza eficientemente", donde: "La planta" es una frase nominal y

"fotosintetiza eficientemente" es una frase verbal; a su vez, la frase

nominal está compuesta por un artículo: "La" y un sustantivo: "planta"; y

la frase verbal por el verbo "fotosintetiza" y el adverbio:

"eficientemente". Esta sentencia se forma mediante los siguientes pasos:

Paso 1: <oración>

Paso 2: <frase nominal><frase verbal>

Paso 3: <artículo><sustantivo><frase verbal>

Paso 4: <sustantivo><frase verbal>

Paso 5: La planta <frase verbal>


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Paso 6: La planta <verbo><adverbio>

Paso 7: La planta fotosintetiza <adverbio>

Paso 8: La planta fotosintetiza eficientemente

Donde el conjunto de palabras entre paréntesis angulares «» forma

parte de un lenguaje que se utiliza para hablar de otro lenguaje, es decir,

un metalenguaje y representa estados de transición para describir al

lenguaje objeto. Los símbolos utilizados en el metalenguaje pertenecen al

conjunto V N Y se conocen como símbolos no terminales, debido a que

aparecen sólo en pasos intermedios de la generación formal. En

contraparte, los símbolos terminales pertenecen a VT y son: "La",

"planta", "fotosintetiza" y "eficientemente". Otro elemento importante es

el símbolo inicial denotado como S, a partir del cual se derivan todas las

series del lenguaje. Retornando el mismo ejemplo, pero con reglas de

reescritura2, la misma oración partiendo del símbolo inicial

"<sentencia>" se forma de acuerdo a la secuencia:

Paso 1: <sentencia> → <frase nominal><frase verbal>

Paso 2: <frase nominal> → <artículo><sustantivo>

Paso 3: <frase verbal> → <verbo> <adverbio>

Paso 4: <artículo> → La

2 Una regla de reescritura se expresa de la forma a → b, y se entiende como "a puede ser reescrita como b" o "a puede ser sustituida por b". Forma conocida como BNF (Backus-Normal-Form).



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Paso 5: <sustantivo> → planta

Paso 6: <verbo> → fotosintetiza

Paso 7: <adverbio> → eficientemente

Estas reglas de reescritura o sustitución constituyen un algoritmo

para generar oraciones o cadenas de símbolos y el proceso de generación

consiste en aplicar estas reglas hasta que no puedan aplicarse nuevas

producciones3, o la serie quede constituida por símbolos terminales. De

acuerdo con el ejemplo anterior, una gramática formal G se define de la

siguiente manera.

Definición II. Una gramática G es una cuádrupla G = (VN, VT, P,

S) en donde:

1. VN es un conjunto finito de símbolos llamados variables o símbolos no

terminales.

VT es un conjunto finito de símbolos llamados terminal.

En el ejemplo anterior,

VN = {<oración>, <frase verbal>, <frase nominal>, <artículo>, <verbo>,

<sustantivo>, <adverbio>}

VT = {La, fotosintetiza, planta, eficientemente}

3 Una producción y una regla de reescritura son sinónimos de manera que a → b se lee como "a

produce a b".


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La unión de VN y VT constituyen el vocabulario total V de G y la

intersección de VN y VT da por resultado el conjunto vacío, representado

por el símbolo λ .

2. P es un conjunto finito de reglas de reescritura o producciones

denotadas como βα → (se lee: α genera a β ), donde. α y β son

cadenas de V, α pertenece a V+ y β pertenece a V*.

..

3. S pertenece a VN y es el símbolo inicial.

Definiendo algunos conceptos más, como el proceso para generar

una serie: Una serie η genera inmediatamente a una serie γ (se escribe

η ⇒ γ ) en una gramática G si y sólo siη =σατ , γ =σβτ , y ∈→ βα P

de G en la que σ y τ 4 representan series arbitrarias que pueden estar

vacías. Por ejemplo, sea G = (VN, VT , P, S), donde:

VN = {A,∑ } , VT = {a,p} , S= { ∑ }

P= { ∑ →A ………(1)

A →aAb ……...(2)

A →ab ……...(3)

4 A estas letras (σ y τ ) también se les conoce como contexto. La expresiónσατ , se entiende como α en el contexto στ .



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Si se supone que η =aAb y γ =aabb. Entonces aAb ⇒ aabb es una

generación inmediata con σ =a, τ =b, a=A, β =ab y la producción

A →ab. Ahora, una serie η genera a una serie γ (se escribe η ⇒ γ ) en

una gramática G si y sólo si hay una secuencia de series ω 0, ω 1, …, ω n

para n ≥ 0, de modo que η =ω 0 , γ =ω 1 y para todo 0 ≤ i ≤ (es decir,

(η =ω 0 ) ⇒ ω 1⇒ … ⇒ ω n-1⇒ (ω n=γ )) con ω i ∈(VN ∪ VT)*- λ para

todo i. La lista {ω i } es una prueba de λ en G.

Tomando en cuenta el ejemplo anterior, ∑ genera a aabb ya que

∑ ⇒ A ⇒ aAb ⇒ aabb.

Se debe aclarar que una forma sentencial es una serie que puede

ser derivada a partir del símbolo inicial S, mientras que una sentencia

sólo contiene símbolos terminales. En el ejemplo ∑ ⇒ A ⇒ aAb ⇒ aabb;

a, aAb y aabb son formas sentenciales, mientras que aabb es una

sentencia, lo que conduce a la siguiente definición.

Definición III. Si G = <VN,VT , P, S> es una gramática, al lenguaje

generado por G se le define como L(G) = {w | w está en V*T y S=>w}

Las producciones pueden tener distintas restricciones para llevarse

al cabo. Chomsky divide a las gramáticas en cuatro tipos, de acuerdo a


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las restricciones que se imponen a sus producciones, las cuales son:

Gramáticas de tipo 0; Gramáticas de tipo 1; Gramáticas de tipo 2 y

Gramáticas de tipo 3.

Gramáticas de tipo 0

En las gramáticas de tipo 0 o gramáticas no restringidas, no se

limitan sus producciones. Estas gramáticas también reciben el nombre de

lenguajes de tipo 0, y las series intermedias se pueden expandir o

contraer. Un ejemplo es la producción abA→aA, donde desaparece la b

en el contexto aA.


A este tipo de gramáticas también se les da el nombre de

gramáticas sensitivas al contexto y las producciones se restringen de la

siguiente manera:

σβτσατ →

donde α pertenece a VN, σ ,τ , β , T, pertenecen a V*, y β ≠ .λ . Esto se

puede leer como "α puede ser remplazada por β en el contexto σ ,τ ".

Esto implica que:

|σ α τ |≤ | β σ τ | ó |α |≤ | β |



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es decir, las series no son contractivas, ya que la segunda serie formada

es de igualo mayor longitud que la primera serie. Estas gramáticas

también reciben el nombre de lenguajes de contexto sensitivo. Un

ejemplo de un lenguaje de contexto sensitivo es aAb →abb, donde σ =a,

τ =b, α =A y β =b.


A estas gramáticas también se les llama de contexto libre y son de

la forma:

α → β

Donde a pertenece a VN Y β pertenece a V. Nótese que en una

producción de esta forma, α puede ser remplazada por β

independientemente del contexto en que se encuentre a, pero a diferencia

de las gramáticas de tipo 0, las series no se pueden expandir o contraer,

sino que conservan el mismo número de caracteres. Las gramáticas de

tipo 2 también son conocidas como lenguajes de contexto libre.

5 La longitud, o tamaño de una serie es el número de símbolos que contiene esta. Por ejemplo, la

serie abb tiene longitud 3, es decir |aab| = 3 y |λ |=0.


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También se les conoce como gramáticas regulares o de estado

finito, y son de la forma:

A →aB o A →b

donde A, B pertenecen a VN y a,b pertenecen a VT .En estas gramáticas

se admite como máximo un símbolo no terminal tanto en el primer como

en el segundo miembro de la producción, en el ejemplo A→aB, A y B

son símbolos no terminales. Cuando sucede esto, se dice que la

producción es lineal. Si el símbolo no terminal ocurre siempre a la

derecha de todos los otros símbolos en el segundo miembro de una

producción, se llama producción lineal derecha. Si por el contrario, se

encuentra a la izquierda de los demás símbolos, se llama producción

lineal izquierda. Una gramática será lineal derecha o lineal izquierda si

todas sus producciones son lineales derechas o izquierdas

respectivamente. Por último, un lenguaje se llama regular si puede ser

creado por una gramática lineal izquierda o derecha.

La forma de clasificar a las gramáticas se condensa en la Definición IV y

en la Figura l.



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Definición IV. Dada G = (VN, VT , P, S), una gramática. Si para cada

producción βα → en P, |α | β≤ , entonces se dice que G es sensitiva al

contexto. Si para cada producción βα → en P, a es una variable simple y |b| > 0, se dice que G es de contexto libre. Si cada producción en P es de la forma A → aB o A → a, donde A y B son variables y a es un símbolo terminal, entonces se dice que G es regular

Cada gramática presentada es un subconjunto de la anterior, ya que cada

nueva restricción incluye las que le preceden. Así, una gramática de


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tipo 3 es un subconjunto de las gramáticas de tipo 2; a su vez, las de tipo

2 son un subconjunto de las gramáticas de tipo 1 y estas son un conjunto

de las gramáticas tipo 0.

Las nociones de los sistemas Lindenmayer son casos especiales de las

nociones de lenguajes y familias de lenguajes en la teoría de lenguajes

formales, por lo que hay algunas diferencias entre ellos.

DIFERENCIAS ENTRE LENGUAJES FORMALES Y SISTEMAS

LINDENMA YER

En 1968, el biólogo húngaro, Aristid Lindenmayer, introdujo un tipo de

reglas de reescritura llamadas sistemas Lindenmayer (conocido también

como sistemas-L o L-systems, este último por su abreviación en inglés).

Este tipo de sistemas surgen como un modelo formal del crecimiento de

las plantas y sus esfuerzos iniciales se concentraron en la generación

automática de imágenes de plantas. A pesar de que estos sistemas se

basan en la teoría de .lenguajes formales, existen diferencias, por lo que

es importante entender que los sistemas Lindenmayer y los lenguajes

formales no son lo mismo. Las diferencias son:

1. En los lenguajes formales se hace una clara distinción entre los

símbolos terminales y no terminales. En los sistemas Lindenmayer no



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existen símbolos terminales, ya que las estructuras representadas: hojas,

tallos o flores, están en constante transformación y no existe un órgano

terminal. Por ejemplo, una hoja se transforma durante el crecimiento de

la planta: cambia de forma, aumenta de tamaño, toma otro color o se

marchita, pero no existe una forma terminal, en todo caso, la forma

terminal es el conjunto vacío; por ejemplo, cuando una hoja se marchita y

cae.

2. Debido al primer punto, los sistemas Lindenmayer no consideran

símbolos terminales en la definición de su alfabeto, V.

3. Otra diferencia fundamental es el modo en que se aplican las

producciones, ya que en los lenguajes formales las sustituciones se hacen

secuencialmente, mientras que en los sistemas Lindenmayer se aplican en

paralelo.

Por ejemplo, para la siguiente gramática:

V= {A,B, Σ ,a,b}, S= {Σ }

P= { →Σ AB (1)

A →aBb (2)

B →b} (3)


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En los lenguajes formales, la producción se llevaría a cabo como:

Σ => AB=>aB bb=>aBbb=>abbb

Mientras que en los sistemas Lindenmayer, la producción se llevaría a

cabo como:

Σ =>AB=>aBbb=>abbb

Sin embargo, se ha visto que no hay ningún problema en generar

el lenguaje de manera secuencial y después hacer el análisis e

interpretación de las cadenas generadas.

TIPOS DE SISTEMAS LINDENMAYER

Un sistema o modelo de desarrollo tiene un alfabeto y un

conjunto de producciones que son aplicadas en paralelo a todos los

símbolos de la cadena para formar la siguiente cadena en la secuencia de

desarrollo. Al alfabeto y las producciones se les conoce como el esquema

de desarrollo. Además, este sistema especifica uno o más símbolos

iniciales, llamados axiomas. Una secuencia de desarrollo es una serie de

cadenas ϖ 0, ϖ 1, ϖ 2… de símbolos del alfabeto tal que ϖ 0 es el axioma,

y para toda i, ϖ i+1se obtiene de aplicar las producciones en parale lo a

todos los símbolos de ϖ i.



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Los sistemas Lindenmayer pueden representar los diferentes estadíos por

los que pasa un organismo vegetal. Para ello se sigue una secuencia de

desarrollo utilizando reglas de producción, las que utilizan un alfabeto de

símbolos; que a su vez representan estructuras del organismo a modelar y

estas producciones, dependiendo de sus características, pertenecen a un

tipo diferente de L-system como se describe a continuación.

Sistemas 0L

Los sistemas-0L son el conjunto más simple de los sistemas

Lindenmayer, los de contexto libre (para abreviar, sistemas-0L, donde el

cero significa "cero interacciones"). Prusinkiewicz y Hanan (1989, p. 39),

explican que este tipo de sistemas-L imitan un desarrollo unidimensional,

como el de un organismo filamentoso, donde la descendencia se da por

linajes celulares y es independiente de otros factores como las

condiciones de las células vecinas o el clima.

Definición V. Un esquema 0L, se representa por G = <V,P, ω >, donde V

(el alfabeto de G) es un conjunto finito no vacío y P el conjunto de

producciones de P es un subconjunto no vacío de VxV*, tal que: ( α∀ )V

( β∃ )V*( <α , β >)∈P; y ω es la cadena inicial o axioma. Donde


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de acuerdo a las convenciones usuales de la teoría de lenguajes formales,

una producción < βα , > de P se puede escribir como βα → , y βα →

p

representa la transformación del estado α de la cadena al estado β .

Por ejemplo, suponiendo que:

V={a, b, c, λ }, ω ={a}

P={a →b …….(1)

a→bc …….(2)

a → λ } …….(3)

a y b representan dos tipos de células:

respectivamente. Donde la célula a se puede trasformar en una célula tipo

b, puede duplicarse en células tipo b y c, o simplemente puede

desaparecer. La aplicación de las diferentes reglas de producción se

esquematiza en la Figura 2.



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Sistemas 0L determinísticos (sistemas-D0L)

Los sistemas-0L se pueden dividir en diferentes clases sin perder la

característica de que imitan el desarrollo por linajes celulares.

Lindenmayer y Jürgensen (1992, pp 6-7), determinan que, si dada una

cadena α , esta tiene reglas de transición sencillas donde un símbolo de la

cadena produce un paso de derivación único, entonces ésta pertenece a

los sistemas llamados sistemas-0L determinísticos o sistemas-D0L.

El siguiente ejemplo modela el desarrollo de la bacteria verde-

azul Anabaena catenula, donde: V={a, b}, ω ={b} y

→ ← →

P={ a →a b ………….(1)

→ → b→a …………(2)

← ← →a→b a …………(3)

← ← b→a { 4) …………(4)


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las flechas arriba de a y b representan polaridad de la célula. De manera que la secuencia de desarrollo es la siguiente:

Al comparar este modelo con el de la Figura 2 (sistemas 0L), la célula a tiene tres reglas diferentes de producción, mientras que en este ejemplo, la célula a con cierta polaridad tiene solo una regla de producción. Esta es la característica que hace la diferencia entre los sistemas-0L y los sistemas-D0L.



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Sistemas T0L

Para modelar el desarrollo de plantas cuyo crecimiento depende

de factores climáticos se utilizan diferentes conjuntos de reglas de

producción correspondientes a diferentes condiciones ambientales. Las

reglas de producción con estas características formal1 los sistemas- T0L

(Donde la T hace referencia a las tablas de decisión que se utilizan), otra

clase de sistemas-0L.

Definición VI. Un esquema T0L está definido por G = <V, P,ω >, donde

V (el alfabeto de G) es un conjunto finito no vacío y P es un

conjunto no vacío de tablas de G. Donde cada elemento P de P (llamado

una tabla) es un subconjunto no vacío de VxV*, tal que

( α∀ )V ( β∃ )V*( <α , β >)∈P

y ω es la cadena inicial o axioma. Donde una producción <α , β > de P se

puede escribir como βα → , y βα → representa la transformación del

p

estado α de la cadena al estado β .

Herman (1975, p. 112) explica que los sistemas T0L constan de

un alfabeto V, un conjunto finito de tablas de decisión P, compuestas a su


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vez, por un conjunto finito de reglas de producción P y un símbolo inicial

o axioma ω . Dentro de la secuencia de derivación se puede cambiar de

una tabla a otra. En el caso de las plantas que cambian de un crecimiento

vegetativo a la floración dependiendo de las horas luz, como en la

Nochebuena, (Euphorbia pulchérrima), se pueden utilizar tablas como se

muestra en la Figura 4.

Donde a, y A son ápices, H es una hoja, 1 es un internodo y F es

la flor. En este caso se utilizaría la primera tabla, mientras las horas luz

no fueran las requeridas para que la planta dé flores, ya que el ápice a se

transforma en una parte vegetativa I[H]a; en caso contrario, la planta

daría flores y se utilizaría la segunda tabla donde el ápice A de la parte

vegetativa I[H]A se transforma en una flor, F. Prusinkiewicz y Hanan

(1990, p. 66), previenen que el uso de este tipo de sistemas-L es sólo una

solución parcial al modelar plantas cuyo crecimiento está inf1uenciado

por las condiciones ambientales; además es necesario elegir una tabla

adecuada.



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Sistemas-0L estocásticos.

Se dice que un sistema 0L es estocástico si las reglas de

producción tienen una cierta probabilidad de que sucedan. Prusinkiewicz

(1989, p. 60), los define como una cuádrupla {V, ω , P, π }, donde V es

el vocabulario o alfabeto, ω el axioma, P el conjunto de producciones, y

π es la distribución de probabilidad, es decir, la probabilidad de que una

producción se lleve a cabo. Supongamos que las flores de cierta planta

puedan ser rojas, moradas y blancas, y la probabilidad de que sea de un

color dado es de 1/3. Entonces

V={B, Fb, Fr, Fm } , ω ={B}

Donde B es un botón, Fb son flores blancas, Fr son flores rojas y

Fm son flores moradas. Cada producción puede ser seleccionada con la misma probabilidad de 0.33.


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Sistemas-IL

Este tipo de sistemas-L modela las plantas que responden a

interacciones celulares, y sistemas-IL significa "sistemas-L de contexto

sensitivo". Prusinkiewicz explica que las producciones son de la forma

βγαδ →>< , donde la letra α puede producir β si y sólo si α es

precedido por δ y seguido por γ . Las letras δ y γ forman el contexto

izquierdo y derecho de α en esta producción.

Los sistemas-IL se dividen en los sistemas-2L y en los sistemas-

lL. Los sistemas-2L tienen dos contextos, uno izquierdo y uno derecho.

Los sistemas- lL, como su nombre lo indica, tienen un solo contexto, que

puede ser de la forma βαδ →< ó βγα →> .

Un ejemplo de cómo se aplican estos sistemas es la difusión de

una hormona a lo largo de células filamentosas.

Supongamos que ,

V={a,b}, ω ={baaaaaaa} P={b<a →b}



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Donde ω es el estado inicial del filamento, a es una célula con

una concentración baja de hormona y b es una célula con una

concentración excedente. El proceso de difusión se dará de la siguiente

manera:

baaaaaaa

bbaaaaaa

bbbaaaaa

bbbbaaaa

…

Sistemas 0L y IL paramétricos

Estos sistemas operan sobre palabras parametrizadas6, las cuales

son cadenas de letras con parámetros asociados. Las letras A pertenecen a

un alfabeto V y los parámetros al, a2, ..., an, al conjunto de los números

reales R. De manera que a todas las cadenas de letras A y a los

parámetros al, a2, ..., an, se les definen, en conjunto, como una cuádrupla

{V, Σ , ω , P} donde V es el vocabulario, Σ es el conjunto de parámetros

formales (números reales R), ω es el axioma y P es el conjunto de

producciones (Prusinkiewicz y Hanan,' 1990, p. 185; Prusinkiewicz y

Lindenrnayer, 1990, pp. 41-42). En estos sistemas, los

6 El término letras parametrizadas se refiere a que cada letra del vocabulario utilizado (V) se acompaña de un elemento que la caracteriza, en este caso un número


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símbolos ":" y " →" sirven para separar los tres componentes de una

producción: el predecesor, la condición y el sucesor

Esta producción se entiende así: "A se rescribirá como B si n es

mayor de 5". Una producción se puede aplicar cuando:

1. La letra en la cadena que se está derivando y en el predecesor de la

producción es la misma.

2. El número de parámetros formales en la cadena es igual al número de

parámetros formales en la producción predecesora y

3. La condición evaluada es "verdadera" en el valor de los parámetros

actuales.

Este tipo de sistemas se puede dar también en los sistemas-IL. Un

ejemplo es el desarrollo de Anabaena catenula. Esta bacteria verde-azul

forma un filamento sin ramificaciones con dos tipos de células:

vegetativas y heterocistos. Comúnmente, las células vegetativas se



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dividen y producen dos células vegetativas hijas, pero en algunos casos

las células se diferencian en heterocistos. La forma en que se distribuyen

es un número relativamente constante de células separadas por

heterocistos y la distribución de estos últimos está regulada por

compuestos de nitrógeno generados por los heterocistos, transportados de

célula a célula por el filamento hasta que decrece en las células

vegetativas. Cuando la concentración de estos compuestos nitrogenados

llega a un nivel específico en las células vegetativas, éstas se diferencian

en heterocistos.

Para hacer el modelo, las células son representadas mediante

módulos F(s,t,c) donde s es la longitud o tamaño de la célula, la cual

puede llegar al umbral en que se diferencia en heterocisto (3.9); t es el

tipo de célula (O-heterocisto, 1 y 2 células vegetativas); y c representa la

concentración de compuestos de nitrógeno, la cual puede ser alta (900), o

estar en el umbral (0.4) para que la célula se diferencie en un heterocisto.

Las reglas de producción quedan como sigue:

ω : F(0,0,900) F(4,1,900) F(0,0,900) Axioma

P1: F(s,t,c): t=1 y s ≥ 6 →F(2/3 s, 2, c) F(1/3 s, 1,c)

P2: F(s,t,c): t=2 y s ≥ 6 →F(1/3 s, 2, c) F(1/3 s, 1,c)


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79

P3: F(h,i,k)<F(s,t,c)>F(o,p,r): s>3.9 ó c>0.4 → F(s+0.l, t, c+(0.25*(k+r-

(3*c))))

P4: F(h,i,k)<F(s,t,c)F(o,p,r): s ≤ 3.9 ó c≤ 0.4 → F(0,0.900) IL paramétrico

P5:F(h,i,k)<F(0,0,900)>F(o,p,r,) → H(l ) D0L

P6: H(s): s<3 → H(s*l.l) 0L paramétrico

Las dos primeras producciones describen la división de células

vegetativas tipo 1 y 2.

La producción 1, define que si una célula es tipo 1 y su longitud es

mayor o igual a 6, entonces' se convertirá en dos células:

a) Una de tipo 2, con longitud 2/3 de la que tenía originalmente y

la misma concentración, y

b) Otra de tipo 1, a un tercio del tamaño original y con la misma

concentración.

La producción 2, indica que si una célula de tipo 2 tiene tamaño mayor o

igual a 6, entonces se convertirá en dos células:

a) Una de tipo 2, con un tercio del tamaño original y la misma

concentración. b) otra de tipo 1, con 2/3 del tamaño original y la misma concentración.



80

La producción 3, muestra el proceso de transportación y decremento de

los compuestos de nitrógeno, donde si existe una célula con tamaño

mayor de 3.9 o concentración mayor de 0.4, que además se encuentre

entre dos células, ésta se convertirá en una célula del mismo tipo, con

tamaño igual al que tenía más 0.1, y su concentración será igual a la suma

de las concentraciones de las dos células vecinas inmediatas, menos 3

veces la concentración de la célula en cuestión. Esto se multiplica por

0.25 y al resultado se le suma la concentración que tenía originalmente la

célula.

La producción 4, describe la diferenciación de una célula vegetativa a un

heterocisto, que se convierte como tal en P5. La producción 4 dice que si

existe una célula con tamaño menor o igual a 3.9 o concentración menor

o igual a 0.4 y que además se encuentre en medio de dos células,

entonces se diferenciará en una célula de tipo O, con tamaño O y

concentración de 900.

En la producción 5, las células tipo O, tamaño O y concentración 900 se

convierte en un heterocisto (H( 1 )), siempre y cuando se encuentre entre

dos células.

La producción 6, describe el desarrollo del heterocisto, ya que cada vez

que se encuentra uno de ellos crecerá a una tasa del 0.1 %.


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

81

La aplicación de esta gramática se muestra, de manera grafica y

abreviada en la Figura 5. Donde las células vegetativas son los cuadros de

diferente tamaño y su color varia según la concentración de compuestos

nitrogenados y los heterocistos son las células que aparecen como

círculos.



82

Analizando la Figura 5 con mayor detenimiento, para entender como se

llega a la representación grafica, mediante las seis reglas de producción,

se tiene:

La célula inicial, señalada por el inciso a), es el axioma o punto del

cual se parte:

F(0,0,900) F(4,1,900) F(0,0,900)

donde la única célula visible es la de en medio, ya que las otras dos tienen

longitud cero. De las seis reglas de producción que rigen su crecimiento,

la única que se puede aplicar es la tercera (P3), ya que la célula de en

medio (F(4,1,900)) cumple con las condiciones de ser una célula con

tamaño mayor de 3.9 y concentración mayor de 0.4. La primera

aplicación de la regla P3 genera:

F(0.0.900) F(4.1.900) F(0.0.900)

F(0,0,900) F(4.1,1,675.00) F(0,0,900)

Si se sigue aplicando la regla 3 consecutivamente, la secuencia

generada seria:

F(0,0,900) F(4.1, 1, 675.00) F(0,0,900)


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83

F(0.0.900) F(4.2.1.61 R_751 F(0.0.900)

F(0.0.900) F(4.3.1.604.68) F(0.0,900)

F(0,0,900) F(4.4,1,601.17) F(0,0,900)

F(0,0,900) F(4.5,1,600.29) F(0,0,900)

(Producción 3 aplicada 16 veces mas)

F(0,0,900) F(6,1,600.00) F(0,0,900)

Al llegar a este paso, ya se puede aplicar la producción 2 porque

la célula de en medio es de tipo 1 y de longitud igual a 6, por lo que:

F(0,0,900) F(6,1,600.00) F(0,0,900)

F(0,0,900) F(4,2,600.00) F(2,1,600.00) F(0,0,900)

que resulta ser el inciso b). 'Partiendo ahora del inciso b), las

subsecuentes figuras que aparecen y las reglas de producción aplicadas

son las siguientes:



84

Inciso

F(0,0,900) F(4,2,600.00) F(2,1,600.00) F(0,0,900) b)

21 veces P3 y una vez P2

F(0,0,900) F(2,2,450) F(4,1,450) F(4,1,450) F(0,0,900) c)


F(0,0,900) F(4,2,385) F(4,2,257) F(2,1,257) F(4,2,385)

F(2,1,385) F(0,0,900 ) d)


F(0,0,900) F(2,2,385) F(4,1,385) F(2,2,257) F(4,1,257)

F(4,1,257) F(2,2,385) F(4,1,385) F(4,1,385) F(0,0,900) e)


F(0,0,900) F(4,2,344) F(4,2,132) F(2,1,132) F(4,2,53)

F(4,2,26) F(2,1,26) F(4,2,26) F(2,1,26) F(4,2,53) F(4,2,132)

F(2,1,132) F(4,2,344) F(2 ,1 ,344 ) F ( 0 , 0 , 900) f)


F(0,0,900) F(2,2,343) F(4,1,343) F(2,2,131) F(4,1,131) F(4,1,50) F(2,2,19) F(4,1,19) F(2,2,7) F(4,1,7) F(4,1,3) F(2,2,2) F(4,1,2) F(4,1,3) F(2.2.7) F(4,1,7) F(2,2,19) F(4,1,19) F(4,1,50) F(2,2,31) F(4,1,31 ) F(4,1,343) F(0,0,900 )

21 veces P3 , una vez P2 , 10 veces

P3 ,una vez P4 y una vez PS


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85

F(0,0,900) F(3,2,345) F(5,1,133) F(3,2,53) F(5,1,22) F(5,1,10) F(3,2,5)

F(5,1,2) F(3,2,1.5) F(5,1,0.8) F(5,I,0.5) H(I) F(5,I,0.4) F(5,1,0.4)

F(3,2,0.7) F(5,1,1.3) F(3,2,2.9) F(5,1,7.3) F(5,1,18,9) F(3,2,49)

F(5,1,130) F(5,1,343) F(0,0,900) h)

En esta última producción, el H(l) denota el heterocisto que se

forma y se nota en la Figura 5. Los incisos i), j) Y k), son muy extensos

para anotarlos en este espacio.

LENGUAJES LINDENMA YER Y LENGUAJES CHOMSKY

La Figura 6 muestra la relación entre los tipos de lenguaje de

Chomsky y los lenguajes generados por los Sistemas-L. Donde los

símbolos OL e IL denotan sistemas-L de contexto libre y sensitivo al

contexto, respectivamente. Se puede apreciar en esta Figura que hay

lenguajes que se pueden generar por un sistema OL (de contexto libre),

pero no por una gramática de contexto libre de Chomsky.

Antes de concluir esta sección, es conveniente aclarar que .los

modelos que se generan a través de los Sistemas Lindenmayer se

obtienen a partir de nociones intuitivas o informales, las. cuales se

abstraen para su tratamiento matemático. De aquí que algunos autores



86

los consideren una forma de juego y le resten seriedad a este tipo de enfoque.

Sin embargo, hasta el momento han mostrado su utilidad como una

herramienta mas, en el estudio de fenómenos naturales, de ahí que se sigan

estudiando y aplicando a la solución de problemas reales.

Figura 6. Relación entre los lenguajes Chomsky y los lenguajes de Sistemas-L (Prusinkiewicz and Lindenmayer, 1990; p. 3).


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87

PATRONES DE DESARROLLO EN VEGETALES I

Las plantas poseen diferentes caracteres morfológicos, tales como

su forma de ramificación, la disposición de las hojas en el tallo y

determinadas estructuras de reproducción. Estos caracteres le dan forma

definida a un organismo y varían, dependiendo de la etapa de desarrollo

en que se encuentre. De manera que a la forma en general que adquiere

una planta en cierta etapa de su desarrollo se le llama forma arquitectural

y a su vez, a las formas arquitecturales por las que pasa a lo largo de su

vida se les llama patrón de desarrollo.

Si se conocen los factores que afectan el crecimiento de la planta,

se puede crear un modelo que incluya como variables los factores

genéticos, anatómicos y ambientales de los cuales depende la forma que

tome en su desarrollo. Este modelo sería una herramienta de gran utilidad

en el estudio de las plantas, ya que, además de comprobar si realmente

una planta sigue un determinado patrón de crecimiento en diferentes

circunstancias (en diversos climas, por ejemplo), lo cual ayudaría al

taxónomo, también le permitiría a otros profesionistas, como el

agrónomo, predecir el desarrollo de la planta dependiendo de los

fertilizantes o tipos de suelo; o al biólogo y al botánico predecir el

desarrollo de una planta en función de la competencia, la simbiosis y la



88

acción de ciertas fitohornlonas; y al paleontólogo, extrapolando el

desarrollo a plantas ya extintas apoyándose en el registro fósil. Esta

herramienta ahorraría tiempo y dinero al simular en una computadora el

desarrollo de una planta.

PATRONES DE CRECIMIENTO EN LAS PLANTAS

Para modelar la forma arquitectural que tiene un organismo

vegetal, es necesario establecer si el organismo completo posee un patrón

de desarrollo, o en alguno de sus órganos, como puede ser en las hojas,

flores o ramas.

Existen muchos caracteres morfológicos. Dentro de los más

comunes, conspicuos y predecibles se encuentran la disposición foliar o

filotaxia, la ramificación, la floración y la fructificación, por lo que se

revisan, en esta sección, sus formas y diferentes clasificaciones.

Disposición foliar o filotaxia

La filotaxia o el patrón de disposición foliar de la planta es la

secuencia en que se originan las hojas en el tallo, así como su disposición

a lo largo de los ejes de crecimiento. La filotaxia de una


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89

planta es usualmente constante. De hecho, la filotaxia se utiliza como un

carácter importante cuando se determina a una planta y una filotaxia

particular caracteriza a un género de plantas, o a un grupo de éstas. Por

ejemplo, en las monocotiledóneas, generalmente se presenta una hoja por

nodo, mientras que en las dicotiledóneas se presenta más de una. La

posición de las hojas en una planta afecta la intercepción de luz y además,

fija la posición de los subsecuentes botones axilares, por lo que la

filotaxia puede determinar los patrones de ramificación, sobre todo en

plantas perennes. La filotaxia es uno de los patrones de crecimiento que

se pueden predecir en una, planta, de allí que pueda diseñarse un modelo

que la represente a lo largo del crecimiento de una planta.

Las filotaxias se clasifican generalmente en tres grupos 7 :

l. Una hoja por nodo (alternas). Existen varios tipos de arreglo de estas

hojas en el tallo:

Monósticas. La hoja se desarrolla siempre del mismo lado del

tallo, por lo que visto desde arriba forma una fila (Fig. 7).

7 La mayor part e de los autores (Greulanch y Adams, 1990:425 y .Joncs. 1988:222) clasifican a las filotaxias en a) Alternas, con una hoja por nodo; b) Opuestas. con dos hojas por nodo; y c) Verticiladas, con tres o más hojas por nodo. En este trabajo se reporta la clasificación utilizada por Bell, quien las clasifica en función de las hojas por nodo. Aunque es básicamente la misma clasificación, este autor es más explícito en los tipos de hojas alternas que existen. (Bell. 1991 :218-220).



90

Dísticas. Las hojas forman dos filas en el tallo vistas desde arriba y el

ángulo entre hojas consecutivas es de 180°(Fig. 7).

Trísticas. Las hojas forman tres filas en el tallo vistas desde arriba y el

ángulo entre hojas consecutivas es de 120° (Fig. 7).

Espirales. Se dice que son espirales si vistas desde arriba forman mas

de tres filas. A las filas que forman también se les conoce como

ortósticos.

II. Dos hojas por nodo (opuestas). En este patrón, las hojas forman cuatro

ortósticos, y un par de hojas guarda un ángulo de 90° con el subsecuente par

de hojas (Fig. 7).

III. Tres o mas hojas por nodo. También reciben el nombre de verticiladas

(Fig. 7).

Figura 7. Ejemplos de disposición foliar en ramas.

a) monósticas. b) Dísticas c) Tr ísticas. d) Opuestas. e) Verticiladas.


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91

Cuando la filotaxia es de tipo espiral (una hoja por nodo) se puede

designar como un quebrado. Para determinar el tipo de filotaxia que sigue

una planta se cuentan las hojas que hay que recorrer alrededor de este

para dar un numero de vueltas exacto, es decir, hasta encontrar otra hoja

paralela y en la misma posición que la hoja de la que se esta partiendo. Si

por ejemplo, se necesitan dos hojas para dar una vuelta completa, la

filotaxia se representa como 1/2, que es el caso de las hojas alternas

dísticas (Figura 7); si se necesitan 13 hojas para dar cinco vueltas

completas, se designa como 5/13, donde:

Vueltas alrededor d e l 5/13 Hojas (o nodos)

necesarios.

De manera semejante, el ángulo entre dos hojas adyacentes se

determina de la siguiente manera:

Filotaxia representada en un quebrado

Angulo entre hojas adyacentes

Respecto a la filotaxia, Bell (1990:220-223), Greulach y Adams

(1990:425) y Prusinkiewicz y Hanan (1989:26), explican que existe un

número determinado de filotaxias de acuerdo a la serie:

1/2,

1/3, 2/

5 , 3/

8 , 5/

13 , 8 /21 , 13 /34 ...



92

donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de Fibonacci8, en

la cual el numero siguiente es la suma de los dos anteriores (Por ejemplo

donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de

Fibonacci8, en la cual el numero siguiente es la suma de los dos

anteriores (Por ejemplo 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, etc.). Estas series

pueden seguir indefinidamente, pero los ángulos formados hasta ahora se

acercan sin sobrepasar los 137° 30' 28". Una hipótesis sostiene que si el

ángulo entre hojas fuera exactamente de 137° 30' 28", ninguna hoja se

superpondría, captando mejor la luz del sol.

La filotaxia no siempre es tan clara y predecible, ya que puede

cambiar en algunas plantas debido a factores ambientales. Además, se

pueden presentar dos o mas filotaxias en la misma planta, siendo

confuso el arreglo de hojas en la porción de tallo que queda entre las dos

series filotácticas.

Hasta aquí se ha visto que la filotaxia es un patrón de crecimiento

que siguen las hojas alrededor del tallo en las plantas.

8La serie de Fibonacci (llamada así por el apodo de Filius Bonacci de Leonardo de Pisa, quien la descubri6 en 1202) es una sucesi6n de números donde, cada numero nuevo se origina de los dos anteriores. Además de la botánica, a esta serie de n6meros también se le halla en otras áreas como matemáticas, biología y m6sica. (Para mas informaci6n de esta serie, su historia, y su relaci6n con otras áreas, consulte a Newman y Boles,

1992:168-195)


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

93

Al igual que las hojas, las ramas alrededor del tronco en las plantas

siguen un patrón que puede ser predecible y constante, como se vera en el

apartado siguiente

Ramificación

La ramificación también tiene patrones característicos.

Generalmente se le clasifica en tres grupos:

I. Dicotómica. Cuando el tallo se bifurca en dos ramas mas o menos

iguales (Fig. 8, a y b), las cuales siguen creciendo y se pueden dividir a su

vez en dos. Cuando una de las ramas es abortada o forma una estructura

temporal como una inflorescencia se llama pseudodicotomia (Fig. 8, c y

d).

II. Monopodial. Existe un eje principal y ejes laterales reducidos o

ausentes (Fig. 8.a). Si las ramas laterales quedan subordinadas al

crecimiento del eje principal, hablamos de monopodios, como en el abeto

(Abies). Si los brotes laterales siguen ramificándose, se les puede

denominar brotes laterales de primer, segundo y tercer grado.

III. Simpodial. No existe un eje principal, en cambio, existen varias ramas

laterales semejantes (Fig. 8.b). A veces el eje principal se atrasa en su

crecimiento o incluso cesa.



94

a) Dicotomía sin reflejo en el espejo. b) Dicotomía con reflejo en el espejo En estas dos dicotomías,

ambas ramas provienen de ápices principales. c) Pseudodicotomía. Se trata de un crecimiento simpOdico.

Nbtese que el spice principal se encuentra en medio de las dos ramas bifurcadas. las cuales provienen de un

Spice axilar. d) Pseudodicotomia debida a un desarrollo precoz do la rama. Notese que Ia rama izquierda

proviene de un spice axilar mientras la rama derecha proviene de un spice principal.

Hallé y Oldeman1 , además de usar la clasificación de falsa y verdadera

dicotomía, menciona 23 modelos diferentes para árboles, los cuales se

reportan en el Cuadro 1. Esta clasificación se puede utilizar también

en plantar herbáceas, según lo afirma Bell (1991, p. 288).

Estos modelos de ramificación consideran cinco características

diferentes:

1Citados por Bell, 1991: 288


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

95

1. Tronco. Este puede ser monopodial o simpodial. Bell usa las palabras

"monopodial" y "simpodial" con un concepto distinto al visto

anteriormente. Para el, un tronco monopodial es aquel que se desarrolla

de yemas apicales; mientras que un tronco simpodial se desarrolla de

yemas axilares (Figura 9 a y b). El tipo de tronco puede ser determinado

(con flor terminal) o indeterminado (sin flor).

2. Crecimiento del tronco. Este puede ser rítmico (con periodos de

crecimiento y periodos de dormancia) o continuo (siempre en

crecimiento).

3. Ramas con crecimiento plagiotrópico (en dirección vertical) u

ortotrópico (en dirección horizontal).

4. Ramas simpodiales y unidades simpodiales.

5. Floración. Puede ser lateral o terminal.



96

Figura 9. Ejemplo de crecimiento monopodial y simpodial

a) Crecimiento monopodial. b) Crecimiento simpodial.

Aunque estos tipos de ramificación fueron propuestos para los

árboles, Bell explica que también se pueden encontrar en arbustos y

plantas herbáceas.

El Cuadro 1 es una muestra de que existen patrones de crecimiento

en árboles, que pueden ser clasificados y predichos en cuanto a la forma

que puede adquirir un árbol en su crecimiento. Otras partes que están

clasificadas y que se reconocen como un patrón de crecimiento son los

tipos de flores.


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

97

Cuadro 1. Clasificación de los tipos de ramificación.

MODELO DESCRIPCION EJEMPLO

Hulttun Tronco monopodial, determinado y con inflorescencia terminal. Ramas que acompañan a la inflorescencia.

Coryphautan

Corner Tronco monopodial, indeterminado y con inflorescencias laterales. Sin ramas, excepto las que acompaflan a la inflorescencia.

Bulbosty/is

vestita

Cook Tronco monopodial e indeterminado, crecimiento continuo. Algunas ramas temporales.

Phyllanthus

grandifolius

Attims Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas monopodiales y ortotropicas.

Ficus pumila

Rauh Tronco monopodial con crecimiento rítmico. Ramas monopodiales y ortotropicas.

Cecropia

obtusa

Roux Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas monopodiales y plagiotropicas

Laetia

procera

Massart Tronco monopodial con crecimiento rítmico. Ramas

Alisma

plantago-

aquatica

Petit Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas compuestas de unidades simpodiales determinadas.

Piper sp.

Fagerlind Tronco monopodial con Crecimiento rítmico. Ramas compuestas por unidades simpodiales determinadas

Paulownia

tomentosa



98

Aubreville Tronco monopodial con crecimiento rítmico. Ramas plagiotrópicas compuestas de unidades simpodiales indeterminadas

Terminalia

catappa

Stone Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas ortotr6picas simpodiales

Rhipsalis

bambusoides

Scarrone Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas ortotr6picas simpodiales

Phellodendron

chinense

Troll Tronco monopodial, plagiotrbpico, reorientado en posici6n vertical por un cambio de actividad. Ramas plagiotr6picas

Prunus sp.

Troll Tronco simpodial, plagiotrbpico, reorientado en posici6n vertical. Ramas plagiotropicas

Platanus

hispanica

Continuacion Cuadro 1. Clasificación de los tipos de ramificación. MODELO DESCRIPCION EJEMPLO ESQUEMA

Mangenot Tronco simpodial y ortotr6fico. La porci6n distal de cada unidad simpodial del tronco se desarrolla lateralmente como una rama plagiotr6pica.

Strychnos sp.

Champagnat Tronco simpodial ortotr6fico. La parte distal de cada unidad simpodial se desarrolla de lado cuando crece cayendo por su propio peso.

Salix

babylonica

McClure Secuencia de ramas simpodiales en las que la parte proximal de cada unidad simpodial determinada es plagiotr6pica y la parte distal forma un tronco ortotrófico. El tronco soporta ramas determinadas,

Bambusa

arundinacea


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99

Tomlinson Secuencia de ramas simpodiales donde cada unidad simpodial nace en la parte proximal de la unidad previa. Las unidades simpodiales son determinadas o indeterminadas.

A/pin/a speciosa

Chamberlain Tronco simpodial. Cada unidad simpodial soporta una unidad similar justo en su parte terminal. Sin ramas.

Epiphyllwn sp

Leeuwenberg Secuencia de ramas simpodiales. Cada unidad simpodial soporta solo una unidad similar en su parte final.

Euphorb ia

punicea

Schoute Verdadera dicotomia en el spice a intervalos. Floración lateral

Hyphaene

thebaica

Koriba Tronco simpodial. Cada unidad simpodial de tronco soporta más de una rama lateralmente extendida en su parte final. Una de estas ramas es secundariamente reorientada en posición vertical para recibir la siguiente unidad del tronco.

Alstonia

ntacrophyl/a

Prevost Tronco simpodial. Cada unidad simpodial soporta más de una rama en su extremo distal. Una de estas ramas es retardada en su extensión y crece verticalmente para soportar la siguiente unidad del tronco. las otras ramas son ortotrepicas inicialmente pero se convierten en plagiotropicas por aposición o substitución.

Cyphomandra

betacea

Nozeran Tronco simpodial, cada unidad simpodial soporta una o más ramas en su parte distal. Una de estas ramas es retrasada en su extensión y crece verticalmente para recibir la siguiente unidad del tronco. Las otras ramas son plagiotrepicas conservando este carácter incluso si son cortadas.

Geissosperniuni

serviceuni



100

Flores y frutos

Los órganos reproductivos de las plantas también muestran

patrones, sobre todo la inflorescencia. El termino inflorescencia, se

refiere al arreglo de las flores en la planta (Jones, 1988, p. 251). Una

Inflorescencia determinada es aquella en la que la secuencia de floración

comienza con la flor terminal en la punta del tallo o en el centro del

grupo de flores. Una inflorescencia indeterminada presenta una

secuencia de floración que comienza en o cerca de la base hacia arriba o

hacia el centro. Algunas inflorescencias son simples y fáciles de

distinguir. Otras son agregados complicados difíciles de caracterizar. Los

tipos más comunes de inflorescencias se describen en el Cuadro 2.

Otro concepto utilizado en las inflorescencias es la paracladia, que

se refiere a que ocurre una secuencia regular de un patrón a lo largo de la

estructura completa de la flor. Por ejemplo, en una ramificación

dicotómica se repite de forma general la división de un eje en dos. En

una inflorescencia como la de la Figura 10, lo que se encuentra

encerrado en líneas discontinuas es el patrón que se repite a lo largo de la

inflorescencia. La unidad que se repite recibe el nombre de paracladium.


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

101

Figura. 10. Ejemplo de paracladia, P y P' son los Paracladium. Cuadro 2. Tipos de inflorescencias.

TIPO DESCRIPCION EJEMPLO Amento Inflorescencia en forma de espiga, decidua, con

brácteas escamosas y flores unisexuales y

apétalas. La inflorescencia puede ser erecta o laxa.

Capítulo o

cabezuela

Agrupación densa de flores sin pedicelo.

Cuando las flores se originan en un receptáculo

y es posible que Sean guardadas dentro de esta

en un hipantodio. Puede ser determinada o indeterminada



102

Cima

Construcción simpodial. Consiste de una serie

de flores que nacen en la axila de la bráctea de

una flor precedente Si el cimo soporta una flor

es monocasio. Si soporta dos flores es dicasio, y

más de dos es pleiocástico. Determinada.

Corimbo

.

Inflorescencia amplia, donde los pedicelos se

van alargando sucesivamente dando la

apariencia de que las flores se distribuyen mas o

menos al mismo nivel horizontal. Las flores no

se originan en el mismo punto dentro del eje

principal como en la umbela. Indeterminada.

Espádice Inflorescencia parecida a la espiga pero gruesa

y carnosa, con flores muy pequeñas que se

encuentran reunidas y por lo común incluidas

en una espata. Indeterminada

Espiga Inflorescencia con un solo eje, donde las flores

se arreglan a lo largo de este, sin pedicelos.

Indeterminada


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

103

Panicula Inflorescencia compuesta, donde el eje principal

se ramifica una o mas veces y puede sostener

espigas, racimos o corimbos.

Racimo Inflorescencia con un solo eje, donde las flores

se arreglan a lo largo de este, sobre sus pedicelos. Indeterminada.

Tirso Un conjunto de secuencias simpodiales que se

arreglan a lo largo de un tallo en series

consecutivas. El eje principal es indeterminado y los ejes laterales son determinados.

Umbela Si las flores se distribuyen más o menos al

mismo nivel horizontal y las flores se originan en un mismo punto. Indeterminada.

Verticilo Inflorescencia que presenta flores arregladas en

Vértices o espirales en nodos.



104

En algunas plantas, el patrón de crecimiento es visualmente

preciso, geométrico y predecible. En otras plantas, el patrón no es

detectable ni aunque se utilice el análisis estadístico. De ahí la dificultad

de generalizar en la modelación.

Son estos patrones, en las especies que se presentan, los que

permiten visualizar 1a aplicación directa de los Sistemas Lindenmayer a

la modelación de formas vegetales.

MODELACION DE PATRONES VEGETALES EN LA COMPUTADORA

Con una computadora se pueden aplicar rápidamente las diferentes

producciones de un sistema-L y posteriormente elaborar una grafica que

muestre como se desarrolla una planta, lo cual hace mucho mas útiles a

los sistemas Lindenmayer, ya que si se cuenta con imágenes en dos o tres

dimensiones se les puede dar diferentes texturas, colores y matices para

que se parezcan mas a las plantas reales.

ENLACE ENTRE LOS SISTEMAS LINDENMAYER Y LA COMPUTACION

Prusinkiewicz y Hanan (1989, p. 6) mencionan que en colaboración

con cient íficos computacionales intentaron mostrar el


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

105

desarrollo de las plantas vía computadora. En primer lugar, trataron de

que las letras del alfabeto, utilizado en los sistemas-L, fueran

representadas gráficamente como rectas largas o cortas. Posteriormente,

se tomaron en cuenta aspectos geométricos como la longitud de los

segmentos utilizados y los ángulos.

Prusinkiewicz se dedico a desarrollar un programa que

representara el crecimiento de las plantas basado en Logo. En este

lenguaje, se pueden dibujar líneas por medio de los movimientos de una

tortuga imaginaria, la cual se representa como un triangulo en la

pantalla. La tortuga puede avanzar y retroceder, o bien girar a la derecha

o a la izquierda.

La idea general del programa creado por Prusinkiewicz es la

siguiente:

Se define como un estado de la tortuga, al lugar en que se

encuentra sobre un plano. Este estado se representa como una tripleta

(x,y, α ), donde las coordenadas (x,y) representan la posición de la

tortuga sobre el plano y el ángulo a se interpreta como la dirección en la

cual la tortuga se desplaza. Dado el tamaño de paso d y el ángulo de

incremento 6, la tortuga puede responder a comandos representados por

los siguientes símbolos:



106

F La tortuga se mueve un paso de longitud d. El estado de la tortuga cambia a (x',y', α ’), donde x'= x+dcos(α ) y y'=y+ dsen (α ). Se traza una línea entre los puntos (x,y) y (x',y').

f La tortuga se mueve un paso de longitud d sin trazar línea. + La tortuga da un giro a la izquierda con ángulo δ . El siguiente

estado es (x, y, α +δ ). La orientación positiva de los ángulos se da en contra de las agujas del reloj.

- La tortuga da un giro a la derecha con ángulo S. El siguiente

estado es (x, y, α —δ ).

Para comprender mejor estos símbolos utilizados en el programa

desarrollado por Prusinkiewiez, véase el ejemplo en la Figura 11.

Figura 11. Interpretación de una cadena de símbolos.


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107

Se definen dos símbolos para representar ramificación, que la

tortuga interpreta como:

[ La tortuga adquiere un nuevo estado, mientras que el actual se guarda

en memoria. El nuevo estado de la tortuga contiene la posición y

orientación de la tortuga y posiblemente otros atributos como el color o

el ancho de Línea.

] La tortuga regresa al estado anterior (el que se guardó) al abrirse el

corchete). Aunque no se dibujan líneas, el estado general de la tortuga

cambia.

Un ejemplo de la utilización de estos símbolos, con = 45° se

presenta en la Figura. 12.

Figura 12. Arbol correspondiente a la cadena F[+F][-F[-F]F]F[+F][-F]

La importancia de los conceptos revisados hasta el momento

consiste en que sirven de referencia para desarrollar programas que



108

utilicen a los sistemas Lindenmayer para simular el crecimiento de las

plantas. En base a estas ideas se desarrollo una propuesta computacional

para desplegar imágenes utilizando sistemas Lindenmayer.

LINSIS. SISTEMA PARA INTERPRETAR GRAMATICAS LINDENMAYER

Diseño

Se planteó un sistema, en Visual Basic versión 4.0, con las

siguientes características:

1. Acepta el axioma y las reglas de producción utilizando diferentes

caracteres disponibles.

2. Crea la gramática a partir de reglas de producción dadas, tomando en

cuenta un cierto número de iteraciones definido por el usuario.

3. Realiza una grafica en base a la gramática generada, tomando en

cuenta el ángulo de ramificación.

4. Muestra cinco tipos diferentes de caracteres, de los cuales, tres son

líneas (letras a,b,c), un circulo (letra d) y una elipse (letra e). Además, a


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109

todos los caracteres se les puede cambiar color, tamaño y en

el caso de la elipse también de forma.

5. Permite definir la escala, para ajustar el tamaño de los

gráficos a la pantalla.

El sistema denominado LINSIS, consta de seis

módulos, que se muestran y describen en la Figura 13. Para

un adecuado funcionamiento se consideran las fases: Entrada,

Proceso y Salida, que a continuación se describen.

1. Entrada. La información a introducir antes de correr el

programa es: el axioma, las reglas de producción y el número

de iteraciones. También las propiedades de los caracteres a

usar en las reglas de producción o la gramática y por ultimo,

la escala.

2. Proceso. Comprende la lectura, análisis e interpretación de

la información dada en el paso 1, con la cual se genera una

gramática que da como resultado una cadena de caracteres, en

base a la cual se realiza el grafico de salida.



110

3. Salida. La salida consiste en un grafico, producto de la interpretación

de la gramática generada, con las formas y colores seleccionados desde

el paso 1.

Figura. 13. Estructura del Sistema LINSIS.


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111

Gráficos en el plano x-y

En éste programa las gráficas se realizan en base a la propuesta de

Prusinkiewicz; se debe trazar una línea de un punto x,y en el piano, a otro

punto al que llamaremos xl,yl con un cierto ángulo. Además, esta

ramificación se puede dar a la izquierda o derecha del punto x,y.

Prusinkiewicz propone utilizar las siguientes formulas para mostrar la

ramificación de una línea:

donde:

x, = x + d cosα α es el ángulo de la línea a trazar, con respecto al

ángulo que tiene la línea previamente trazada.

y, = y + d senα d es la longitud de la línea a trazar.

Prusinkiewicz también propone el uso de los signos:

- Para señalar que la ramificación es hacia la derecha del punto x,y. El

nuevo ángulo de la línea trazada es a-d, donde d es el ángulo de

ramificación respecto al punto x,y.

+ Para señalar que la ramificación se da a la izquierda del punto x,y. El

nuevo ángulo de la línea trazada es a+d, donde d es el ángulo de

ramificación respecto al punto x,y



112

Estos signos tienen una razón de ser. Veamos un ejemplo usando

las ecuaciones y Los signos propuestos por Prusinkiewicz:

Figura 14. Gráficos utilizando las propuestas de Prusinkiewicz.

En la Figura 14, la línea ab tiene un ángulo de 90° (a=90°), y el

punto b seria el equivalente al punto x,y. El ángulo de ramificación

supongamos que es de 45° (d=45°) y la ramificación puede ser a la

derecha (Línea bd) o a la izquierda (línea bc). Como el ángulo de la línea

se mide con respecto al eje x (línea punteada), si la ramificación es a la

derecha se restarían 45° (es decir que, a-d = a; 90°- 45° = 45°) mientras

que si es a la izquierda, el ángulo de ramificación aumenta (es decir que

a+d = a; 90° + 45° = 135°), y las ecuaciones quedan como:

x1 = x + d cosα con α = 45o si la ramificación es a la

derecha y


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113

y1 = y + d senα a a = 135° si la ramificación es a la izquierda por

lo que la ramificación se Bard de la Línea b (x,y) a la línea d o c (xl,yl).

Descripción del sistema LINSIS

LINSIS consta de 16 archivos unidos en uno solo llamado Linsis.exe, que

junto con sus rutinas de ejecución (RUNTIME) ocupan un espacio de 999

KB en disco, este sistema se puede instalar y ejecutar en cualquier

computadora con Windows versión 95 o superior.

LINSIS muestra seis pantallas diferentes, llamadas:

1. Grafica: Pantalla principal donde se hace la grafica de la gramática

que describe la forma de una planta (Figura 15).

2. Gramática: Aquí se puede escribir directamente la gramática que

describe la planta, o generarla a partir de reglas de producción

previamente establecidas (Figura 16).



114

Figura 3.5. Pantalla principal Figura 16. Pantalla de gramática

3. Reglas: En esta pantalla se dan tanto el axioma como las diferentes

reglas de producción que posteriormente generan la gramática en la

pantalla correspondiente (Figura 17).

Figura 17. Pantalla de reglas de producción.


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115

4. Caracteres a utilizar: En esta pantalla se puede modificar la forma de los

caracteres a utilizar, los cuales son:

a, b, c, que representan líneas.

d, un círculo.

e, una elipse o un círculo, dependiendo de la forma que se le asigne.

En estos caracteres se puede modificar color, longitud, tamaño y en

el caso de la elipse también la forma (Figura 18).

Figura 18. Pantalla de caracteres

5. Color: Aparece solo cuando se quiere cambiar el color de un carácter

(Fig. 19).

Figura 19. Pantalla de cambio de color.



116

6. Escala: Esta pantalla sirve para ajustar la escala de la pantalla donde

se hace la grafica de la planta, a partir de la gramática (Figura 20).

Figura 20. Pantalla de cambio de escala.

GUIA PARA EL USO DE LINSIS

Para usar el programa primero se debe crear una gramática. Para

ello, en el menú Ver de la pantalla principal (Figura 21) se debe

seleccionar Gramática, también se puede accesar a esta pantalla con la

combinación de teclas Ctrl+G (Figura 16), aquí se puede dar la

gramática directamente o generar reglas de producción.


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117

Figura 21. Pantalla principal y gramática.

Para seleccionar reglas de producción se elige esta opción del

menú Ver, o mediante Ctrl+R (Figura 17), con lo que aparece una tercera

pantalla dentro de la cual existe un cuadro de texto para poner el axioma

y otra para escribir las reglas de producción e irlas incorporando al

programa mediante el boton "Añadir". También existe un botón para

borrar cada regla de producción llamado "Remover" y un tercer botón

para quitar todas las reglas de producción escritas. Los botones de

caracteres sirven para escribir- las diferentes reglas de producción a

utilizar (Figura 22).



118

Figura 22. Pantalla reglas de producción.

Las reglas de producción solo pueden ser de la forma a—f a, donde

a es un solo carácter, a puede ser cualquier cadena de caracteres, y solo

puede haber una regla de producción para cada carácter distinto. Las

flechas », utilizadas en las reglas de producción pueden darse con el

botón correspondiente o mediante Alt+187.

Una vez escritos el axioma y las diferentes reglas de producción se

obtiene la gramática que describe la forma de la planta, regresando a la

pantalla Ramada Gramática. Dentro de esta se puede definir el ángulo de

ramificación y las iteraciones que se requieran (Figura 23).

Para hacer una grafica utilizando una gramática ya definida, se

debe ir a la pantalla Grafica y pulsar el botón Graficar (Figura 24).


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119

Figura 23. Gramática generada.

Figura 24. Representación grafica.

Para modificar la apariencia de los diferentes tipos de caracteres a

utilizar, se selecciona Caracteres del menú Ver en la primer pantalla o

mediante Ctrl+A (Fig. 3.8). En esta ventana, se puede cambiar el color

de los caracteres dando un "clic" en el cuadro correspondiente al carácter



120

que se quiera cambiar, con lo que aparece una quinta pantalla mostrando

cuadros de color (Figura 25).

También es posible cambiar el tamaño a los caracteres y ver una

imagen previa de cada uno, apretando el botón correspondiente.

Figura 25. Modificación de caracteres.

Al oprimir el botón graficar de la primer pantalla, la figura tendra

las nuevas características seleccionadas en esta opción. Para cambiar la

escala se selecciona Escala en el menú Ver de la primer pantalla, o

mediante Ctrl+E y aparecerá la sexta pantalla, Ramada Escala, donde se

pueden hacer modificaciones teniendo en cuenta que las coordenadas

iniciales estan en el punto 0,0. En esta pantalla, se puede dar el valor

máximo y el mínimo de los ejes X , Y. Una vez modificados, al hacer

"clic" en el botón Graficar de la primer pantalla, se muestra la imagen

con la nueva escala.


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121

Figura 26. Grafica de una forma vegetal.

Además, se cuenta con varios cuadros de mensaje que avisan

cuando existe un error. Por ejemplo, si se trata de generar una grafica, sin

haber establecido reglas, aparece un cuadro en el cual se puede leer un

mensaje que explica el problema. Para arreglar tal problema, basta con

dar las reglas de producción necesarias en la pantalla correspondiente.

Otro error frecuente consiste en generar una gramática con muchos

caracteres. En tal caso el programa muestra el mensaje de que falta

memoria.

Es claro que LINSIS nos permite empezar a modelar formas

vegetales y otros tipos de gráficos, como fractales, tal como se muestra en

la siguiente sección.



122

GRAFICAS DE GRAMATICAS LINDENMAYER CON LINSIS

A continuación se tienen algunos gráficos que muestran como

utilizar el sistema LINSIS, con énfasis en los despliegues gráficos.

EJEMPLO 1, planta con axioma y regla de producción:

ω : a

a >> a[+a]a[-a]a

cuya definición, en LINSIS, se aprecia en la Figura 27, que con un ángulo

de 25.7° y cuatro iteraciones genera 1561 caracteres a dibujar (Figura

28), cuya representación grafica se muestra en la Figura 29.

Figura 27. Reglas de producción

Figura 28. Gramática generada.


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123

Figura 29. Planta modelada.

EJEMPLO 2, otra forma vegetal, cuya grafica se muestra en la Figura

30, se obtiene con la siguiente definición:

ω : a

a >> aa+[+a-a-a]-[-a+a+a]

con cuatro iteraciones y un ángulo de 22.5°.

Figura 30. Grafica del ejemplo 2



124

LINSIS permite modelar cualquier forma que tenga patrones bien

definidos, como los fractales.

EJEMPLO 3, grafica de un fractal, la definición:

ω : a+a+a+a

a >> a-aa+aa+a+a-a-aa+a+a-a-aa-aa+a

corresponde a la curva de Koch, conocida como la isla de Koch cuadrá-

tica, cuya grafica, con un ángulo S = 90°, se presenta en la Figura 31.

Figura 31. Curva de Koch.

EJEMPLO 4, los Kolem (una explicación sencilla e interesante de que

es un Kolem se encuentra en el Capitulo 6 de Prusinkiewicz y Hanan,

1980), cumplen con los requisitos para trabajarse con los Sistemas-L. En


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

125

este ejemplo se define un Kolem por las siguientes reglas de producción,

cuya grafica se muestra en la Figura 32.

ω : aaaa

a >> b+b+b+b+b+b+

b >> [a+a+a+a[---b-c]+++++a++++++++a-a-a-a-a]

c >> [a+a+a+a[---c]+++++a++++++++a-a-a-a]

EJEMPLOS A RESOLVER

Una forma de ver como funcionan las gramáticas generadas por los

Sistemas-L consiste en trabajar con algunos ejemplos ya resueltos, como

los que se presentan en el cuadro 3.

Figura 32. Un Kolem con 8=15° y 5

iteraciones.



126

Durante la investigación y el desarrollo de LINSIS, el ejercicio

de resolver estos ejemplos permitió apreciar su funcionamiento como

un intérprete de gramáticas. Con la aclaración que cuando las

gramáticas de entrada presentan errores sintácticos o lexicográficos no

se envía ningún aviso al usuario; sino que simple y sencillamente se

generan cadenas de símbolos que no tienen nada que ver con la forma

que se esta modelando y por lo tanto se realizan graficas muy simples

o sin sentido alguno, por lo que, en ese caso, se debe proponer otra

gramática que verdaderamente permita lograr una Buena

representación de la forma en estudio.

1. ω : a+a+a+a

a >> aa+a+a+a+a+a-a

n=2, 5=90°

2. ω : be

a >> bc+ac+b

b >> ac-bc-a

n=6, δ =60°

3. ω : a

a >> b-[[a]+a]+b[+ba]-a

b>> bb

n=5, δ =22.5°

4. ω : a

a >> b[+a]b[-a]+a

b>> bb

n=7, δ =20°

5. ω : a+a+a+a

a >> a+a-a+a+a

c >> [-b+b[c]+b][+b-b-b]

n=4, 5=90°

6. ω : c

c >> cab [+c] [-c]

b >> b[-aaa][+aaa]ab

n=6, δ =25.7°


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127

Cuadro 3. Ejemplos de producciones para generar gramáticas

Lindemayer.

Figura 33. Ejemplo 1 del cuadro 3.

Figura 34. Ejemplo 2 del cuadro 3.



128

Figura 35. Ejemplo 3 del cuadro 3. Figura 36. Ejemplo 4 del cuadro 3.

Figura 37. Ejemplo 5 del cuadro 3. Figura 38. Ejemplo 6 del cuadro 3

Para entender el funcionamiento de los sistemas de reescritura y

como se pueden definir gramáticas de este tipo, utilizando los Sistemas


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

129

Lindenmayer como herramienta de trabajo, se recomienda trabajar con

LINSIS y probar el mayor numero posible de ejemplos y de opciones

dentro de cada ejemplo, con el fin de adquirir habilidad para empezar a

plantear sus propias gramáticas.

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Al usar una notación formal, como la de los sistemas Lindenmayer,

se adquieren todas las bases matematicas de los sistemas formales, que

permiten soportar análisis sintácticos y de ambiguedades o

inconsistencias. Desde el punto de vista computacional, las gramáticas

generadas se pueden plasmar directamente en un lenguaje de

programación, lo que permite comprobar las especificaciones de un

modelo y hacer al instante, correcciones de diseño, sintácticas o de

congruencia; enorme ventaja cuando se modela.

Los sistemas Lindenmayer constituyen modelos logicomatemáticos

que describen el crecimiento de las plantas mediante la utilizacion de un

lenguaje formal. En esta herramienta se representan, por medio de letras,

las partes de la planta a modelar; mientras que los factores que afectan su

crecimiento se pueden agregar mediante una parametrización.



130

Los modelos generados con los sistemas Lindenmayer poseen

ventajas sobre la experimentación directa porque:

a) Ahorran tiempo, ya que el crecimiento de las plantas, en tiempo real,

puede durar de días a anos.

b) Son replicables (repetibles).

c) Son seguros, ya que no representan ningún tipo de peligro para quien

los utiliza.

Los sistemas Lindenmayer han tenido gran auge en el campo

computacional, pero hace falta que se utilicen y apliquen desde el punto

de vista biológico. Es decir, la creación de un modelo no es la parte más

fácil de los sistemas Lindenmayer sino su utilización. por ejemplo, para

simular. Con la simulación no solo se describe y predice el

comportamiento de una planta, sino que se pueden plantear hipótesis y

proponer teorías acerca del proceso de crecimiento o desarrollo que

muestre una planta.

Los sistemas Lindenmayer son capaces de generar modelos del

desarrollo de las plantas, fieles a la realidad, debido a que pueden incluir

a los dos grandes factores que lo afectan: el genético y el ambiental. Para

crear un modelo de desarrollo de una planta, utilizando esta herramienta,

el vegetal debe poseer caracteres constantes o predecibles a lo largo de


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

131

su crecimiento. La descripción de una planta usando gramáticas basadas

en los sistemas ayuda a familiarizarse con ella, con sus diferentes partes y

a dilucidar patrones recurrentes, así como sus posibles reglas de

producción.

El sistema LINSIS constituye la base para desarrollar otros

programas que además de hacer gráficos en dos dimensiones, a partir de

una gramática que describe una forma arquitectural, tomen en cuenta

reglas de producción que contengan las variables externas e internas que

afectan la forma de la planta y muestren el desarrollo en tres

dimensiones.

Perspectivas

Los sistemas Lindenmayer tienen un alto potencial de aplicación en

la investigación biológica, tanto para predecir el desarrollo de organismos

vegetales, como para entender la manera en que afectan las diversas

variables a la forma que toma la planta. Por lo que aplicados a problemas

reales, puede ayudar a probar y plantear nuevas hipótesis de investigación

en el estudio que se este realizando.

Es necesario elaborar programas que desplieguen gráficos en tres

dimensiones que permitan agregar variaciones de color y textura a las



132

imágenes de las plantas modeladas, para verdaderamente representar su

crecimiento. Se puede crear un catalogo de formas como:

ramificaciones, tipos de hojas, tipo de inflorescencias, aspectos de tallos

y de frutos; que se utilicen como una base de datos (objetos), que

permitan seleccionar la mas adecuada a la planta en estudio y así acelerar

el proceso de modelado, con resultados mas cercanos a la realidad. Para

esto se tiene continuar trabajando para que LINSIS pase de ser un simple

interprete, a un compilador que contemple análisis léxicos, sintácticos y

semánticos; además de integrarle todas las rutinas para elaborar gráficos

en tres dimensiones.

LINSIS es una propuesta que vincula áreas como: Matemáticas,

Computación y Biología, por lo que se debe promover la formación de

grupos de trabajo interdisciplinarios, donde todos los participantes se

comuniquen a través de un lenguaje común: los Sistemas Lindenmayer.

Solo así se puede pensar en verdaderamente modelar el crecimiento

vegetal con grandes posibilidades de éxito.

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fundamentales, Addison Wesley Iberoamericana, EUA, 1995, 179 PP-

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen el apoyo financiero de la Dirección General

de Asuntos del Personal Académico (UNAM), a través del proyecto

PAPIIT IN-220998.


2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.

135

También se agradecen, anticipadamente, las sugerencias, críticas o

comentarios que se hagan al presente trabajo, las cuales se pueden enviar

al E-mail: [email protected]. Dirección electrónica donde se

puede solicitar una copia de LINSIS, la cual enviaremos con gusto y a la

brevedad.

LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, … · Sistemas Lindenmayer y su relación...

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