UNIDAD 2

LNEAS DE TRANSMISIN Y

DIAGRAMA DE SMITH

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocer e identificar las diferentes lneas de transmisin

(feeder)

Conocer los diferentes modos de propagacin.

Conocer el diagrama de Smith.

Realizar clculos de relacin de onda estacionaria

Realizar operaciones utilizando el diagrama de Smith.

CAPITULO 1. LNEAS DE TRANSMISIN

La energa electromagntica no slo se puede transmitir a travs de un medio

infinito, sino tambin a travs de un medio confinado en una lnea de transmisin o

gua de ondas. La diferenciacin de ambos trminos nos sigue unas reglas

universalmente aceptadas.

Generalmente se discrimina lnea de gua reservando el trmino gua para

las lneas constituidas por un solo conductor. Dado que se presentarn numerosos

resultados y propiedades que son totalmente generales, se utilizar

preferentemente el trmino lnea. Este trmino lo emplearemos para designar

cualquier objeto fsico que se utilice como soporte para propagar campos, inde-

pendientemente del nmero de conductores que tenga.

En la teora de circuitos de baja frecuencia se asume implcitamente que las

dimensiones de los circuitos son muy pequeas en comparacin con la longitud de

onda. Gracias a ello, podemos suponer que cuando una corriente alterna circula

por un cable, por ejemplo, en un instante dado tanto la amplitud como la fase de

esta corriente es la misma en todos los puntos del cable. En las lneas que se

utilizan para transmitir seales de alta frecuencia generalmente no es posible

hacer este tipo de aproximaciones. A pesar de ello, y tal y como veremos en este

apartado, la teora de lneas de transmisin nos permite aprovechar muchas de las

leyes y propiedades que se estudian en electrnica de baja frecuencia.

1.1 CORRIENTES Y VOLTAJES EN LNEAS

Comencemos deduciendo las ecuaciones bsicas que deben satisfacer los

voltajes y corrientes en una lnea de transmisin. Estas ecuaciones asumen

implcitamente que por la lnea se propaga un modo TEM, es decir, que las

componentes longitudinales de los campos elctrico y magntico son siempre

nulas. Esta hiptesis es necesaria para garantizar la unicidad en las definiciones

de V e I. Existen lneas no TEM en las cuales hay infinitas maneras de definir

voltajes y corrientes, pero incluso en estas lneas se pueden establecer convenios

que permiten utilizar los conceptos, definiciones y conclusiones que se van a

presentar en este apartado.

Para poder aplicar las leyes de Kirchoff dividiremos la lnea a estudiar en

secciones de una longitud Az., que consideraremos muy inferior a la longitud de la

onda. Un modelo circuital preciso debe considerar las prdidas y el

almacenamiento de energa en cada una de estas secciones. Un posible modelo

equivalente (existen muchos otros igualmente vlidos) podra ser una red RLC

como la de la Figura 2.1.

En este modelo GAz. Simula las prdidas dielctricas, RA, las prdidas en los

conductores y los elementos reactivos LAz. y CAz, el almacenamiento de energa

magntica y elctrica, respectivamente. Aplicando las leyes de Kirchoff se

obtienen las

siguientes

expresiones

(2.1)

(2.2)

R, G, L, y C son parmetros definidos por unidad de longitud. Dividiendo por la

longitud de la seccin y tomando el lmite a longitudes diferenciales se obtienen

las ecuaciones del telegrafista,

(2.3)

(2.4)

Figura 2.1 Modelo equivalente de una seccin de lnea de longitud muy pequea en comparacin con la longitud de onda.

En aquellos casos en los que se puede utilizar la notacin fasorial estas ecuaciones quedan reducidas a un sistema de ecuaciones de una variable,

(2.5)

(2.6) Derivando ambas expresiones con respecto a z y sustituyendo trminos se

obtienen dos ecuaciones de Helmholtz desacopladas para V e /,

(2.7)

(2.8)

donde la constante de propagacin viene dada por

En ausencia de prdidas (R = G = 0) la constante de propagacin coincide con la

de fase, la cual se puede expresar como

Como ya se ha visto en el anlisis de ondas planas, las ecuaciones de Helmholtz

admiten como soluciones una superposicin de una onda incidente y una

reflejada,

Imponiendo la relacin (2.5)

Las lneas de transmisin se caracterizan habitualmente por un parmetro con

dimensiones de resistencia que recibe el nombre de impedancia caracterstica, y

que se define como el cociente entre la tensin y la corriente en ausencia de

ondas reflejadas,

esta impedancia es un nmero real en una lnea sin prdidas. La impedancia

caracterstica estndar que ms se utiliza en las lneas de transmisin de alta

frecuencia es de 50 Ohm. Con esta definicin la corriente puede expresarse como

1.1.1 LNEAS TERMINADAS EN CARGAS

Si una lnea tiene una longitud finita, es razonable suponer que lo que se conecte

al final de la lnea constituye una discontinuidad que ser en general una fuente de

reflexiones. La impedancia caracterstica nos brinda la posibilidad de calcular la

amplitud del voltaje reflejado a partir de la impedancia que se conecta al final de la

lnea, la cual recibe el nombre genrico de impedancia de carga. Si se toma como

origen de coordenadas el punto de la lnea en donde se conecta la carga, los

voltajes y corrientes totales debern satisfacer la relacin

Donde Z, es la impedancia de carga. As pues particularizando (2.13) y (2.18) para

z = 0,

Con esta relacin se llega a una conclusin importante: para evitar reflexiones en

una lnea es necesario terminarla en una impedancia de carga igual a la

impedancia caracterstica de la lnea.

En lneas de transmisin es habitual definir un coeficiente de reflexin asociado a

la carga como el cociente entre el voltaje reflejado y el incidente en el plano de

conexin de la carga. Esta definicin tambin se puede extender a cualquier punto

de la lnea de transmisin,

Recordemos que todos los valores de z en estas ecuaciones son negativos,

puesto que se ha tomado como origen de coordenadas el plano de conexin de la

carga y las ondas de voltaje incidente se propagan hacia valores de z crecientes.

Consecuentemente, en una lnea con prdidas terminada en una carga arbitraria

el coeficiente de reflexin sufre una atenuacin exponencial a medida que se mide

en puntos ms alejados de la carga que genera las reflexiones.

Tambin puede extenderse la definicin de impedancia a cualquier punto de la lnea,

Donde en la ltima igualdad se ha supuesto que las prdidas son despreciables. El coeficiente de transmisin se define de la misma forma que en el caso de ondas planas,

Tambin son ampliamente utilizados los parmetros de prdidas de insercin (IL)

y prdidas por retorno (RL), que son el coeficiente de reflexin y el de transmisin

en dB,

El cociente Z/ZC recibe el nombre de impedancia normalizada. Asimismo, tambin

es habitual definir en lneas sin prdidas una razn de onda estacionaria en voltaje

como

El voltaje oscila entre un mximo de amplitud V0

+ (1 + | L |) y un mnimo de amplitud V+0 (1-- | L | ). As pues

1.2 TRANSMISIN DE POTENCIA

En alta frecuencia es difcil medir directamente voltajes y corrientes, en gran parte

debido a que no se pueden construir con facilidad circuitos abiertos y

cortocircuitos. No obstante, las ondas de voltaje y corriente tambin permiten

evaluar el flujo de potencia en la lnea, que es habitualmente lo que se mide.

Segn la teora de circuitos este flujo es

Sustituyendo en las soluciones de la ecuacin de ondas para V e I se obtiene

O bien

Si las prdidas no son elevadas la impedancia caracterstica es real y por tanto

Esta potencia est expresada en trminos de la amplitud del voltaje incidente en la

carga. Sin embargo es ms prctico expresarla en funcin del voltaje suministrado

por el generador que alimenta la lnea. Para ello simularemos el generador con

una impedancia interna ZG en serie con una fuente de voltaje VG tal y como se

muestra en la Figura 2.2. Suponiendo que este generador se encuentra en el

punto de coordenada Zgen, el voltaje en el punto de conexin del generador con la

lnea ser

Por otra parte, si se llama Zin a la impedancia de entrada vista por el generador,

Asi pues, el voltaje incidente en la carga resulta ser:

Figura 2.2. Lnea de transmisin alimentada por un generador de impedancia ZG

Por tanto, el flujo total de potencia en la lnea es:

Esta expresin general proporciona abundante informacin de inters prctico. Veamos algunos de los resultados que se pueden obtener a partir de ella:

a) Si la carga est adaptada a la lnea, entonces la potencia suministrada a la

carga se maximiza con un generador de impedancia nula.

Esta potencia mxima ser igual a

No obstante, en la prctica los generadores de alta frecuencia se disean

para tener una impedancia de entrada igual a la caracterstica de las lneas

convencionales, que suele ser de 50 Ohm. Gracias a ello es ms fcil

disear el generador para que suministre a la lnea una potencia ms

estable y menos sensible con respecto a la carga que se conecte.

b) En ausencia de prdidas en la lnea, la potencia suministrada a la carga

puede hacerse independiente de la Idealizacin del generador si se utiliza 1) un

generador acoplado o 2) una carga acoplada. Si el generador est acoplado

En esta expresin queda patente como se distribuye la potencia en una lnea.

La potencia suministrada a la carga P (0) es la diferencia entre la potencia

incidente en la carga Pinc menos la reflejada Pref Asimismo, es interesante

observar que una vez que el generador est acoplado, entonces la mxima

transferencia de potencia se produce cuando la carga est acoplada. Si es la

carga la que est acoplada,

c) En ausencia de prdidas, si el generador y la carga estn acoplados entonces la

potencia suministrada a la carga es igual a la mitad de la generada. La potencia

generada es donde Zin es la impedancia vista por el generador.

En numerosas ocasiones la impedancia del generador viene impuesta y es preciso estudiar cmo modificar la impedancia que presenta la lnea al generador para conseguir mxima transferencia de potencia del generador a la lnea. Para ello calculemos la potencia suministrada a la lnea. Esta potencia se puede obtener a partir de Zin y viene dada por

Para obtener bajo qu circunstancias se maximiza esta potencia basta con igualar a cero las derivadas con respecto a la parte real e imaginaria de la impedancia de entrada, lo que da lugar a un importante resultado: la mxima transferencia de potencia se produce cuando la impedancia vista por el generador es igual al complejo conjugado de la impedancia del mismo. A la potencia que suministra el generador a una impedancia igual al complejo conjugado de su impedancia interna se le llama, potencia disponible, y viene dada por

(2.4

1)

1.3 MODOS DE PROPAGACIN Y PROPIEDADES DE CORTE

Cada una de las posibles soluciones a las ecuaciones de Maxwell en una lnea de

transmisin recibe el nombre genrico de modo. Los modos en los que pueden

propagarse los campos se clasifican habitualmente segn el valor que adopten las

componentes longitudinales de los campos magntico y elctrico. Ya conocemos los

modos TEM, en los que tanto Ez como Hz son nulos. Por otra parte, tambin existirn

soluciones en las que se anule Ez (modos TE, tambin llamados modos H) o Hz, (modos

TM, tambin llamados modos E). No obstante, no todos los modos que se propaguen por

cualquier lnea son de tipo TEM, TE o TM. Existen lneas que por su complejidad tienen

modos hbridos, en los cuales ni Ez ni Hz son nulos. (2.42)

Veamos cmo se determinan los modos y cules son sus propiedades ms interesantes.

La complejidad de las ecuaciones de Maxwell fuerza la necesidad de hacer algunas

hiptesis de partida,

1) Los campos tienen una dependencia armnica. 2) No existen fuentes de campo en el interior de la lnea. 3) El medio en el que se confinan los campos es istropo, homogneo, lineal y no tiene prdidas. 4) Los modos son ondas que se propagan en una nica direccin y un nico sentido.

Tal y como se hace habitualmente, la direccin de propagacin se har coincidir con el

eje z, y el sentido de avance del modo ser hacia z = +.

Estas hiptesis permiten escribir las expresiones generales para los fasores

representativos de los modos de la siguiente forma:

Donde es la constante de fase de la onda guiada. No todas las funciones que adopten

esta forma van a satisfacer las ecuaciones de Maxwell. De hecho, al imponer estas

ecuaciones se llega a un interesante resultado:

Las componentes de los campos no son independientes entre s, sino que existen

ecuaciones que permiten determinar todas las componentes transversales a la

direccin de propagacin nicamente a partir de las longitudinales.

Estas ecuaciones de ligadura se obtienen sin necesidad de aplicar ninguna condicin de

contorno, y son las siguientes:

donde por definicin el factor kc llamado constante de corte, viene dado por

k es la constante de fase de una onda plana que se propagara por el medio que confina

el campo en la lnea si este medio fuera infinito,

Las Ecuaciones (2.47)-(2.50) sern referenciadas a menudo y para recordarlas las

llamaremos ecuaciones TPL (Transversales a Partir de Longitudinales).

En lneas como la coaxial o la gua circular es preferible utilizar coordenadas cilndricas.

Las ecuaciones TPL en estas coordenadas son

En general, la constante de corte no va a ser nula, y en consecuencia ni la constante de

propagacin ni la longitud de onda de los campos confinados coincidirn necesariamente

con las correspondientes a una onda que se propague por un medio ilimitado. De hecho,

puede darse la circunstancia de que por una misma lnea se propague una superposicin

de modos de distintas longitudes de onda.

Es importante recordar que el hecho de que se obtengan en medios infinitos longitudes

de onda distintas a las de una lnea no implica que la frecuencia en la lnea cambie. La

frecuencia de una onda est determinada por el generador que la produce, y no por el

medio en el que la onda se propaga. Generalmente Infrecuencia es un dato que se

impone a las ecuaciones de Maxwell, mientras que la longitud de onda es un resultado

que se obtiene cuando se especifica la geometra de la lnea a travs de las condiciones

de contorno, as como los medios constitutivos de la lnea.

En los ejemplos de lneas que se van a estudiar en este captulo se ilustrarn dos

propiedades importantes de la constante de corte:

1) Es un nmero real positivo.

2) Depende nicamente de las propiedades geomtricas de la lnea y a lo sumo de sus medios constitutivos.

Existen lneas en las que la constante de corte ni siquiera depende del medio, sino

nicamente de la geometra. Por ejemplo: las guas rectangulares y circulares, la lnea

coaxial y la lnea de lminas planoparalelas. En guas no homogneas, como por

ejemplo, las guas parcialmente llenas de un dielctrico, la constante de corte depende

tambin de la permitividad de los medios.

Las propiedades de la constante de corte permiten definir una serie de trminos de inters:

Modos evanescentes. Modos que se atenan a medida que se propagan por la lnea.

Para que estos modos se atenen es necesario que la constante de fase sea imaginaria,

y por tanto que la constante de corte sea superior a k. Dado que se ha hecho la hiptesis

de que la lnea no tiene prdidas, esta atenuacin no es de carcter disipativo.

Frecuencia de corte. Frecuencia a la cual se anula la constante de fase. Utilizando la

propia definicin de constante de corte podemos obtener inmediatamente una expresin

para esta frecuencia:

Es fcil aclarar el significado fsico la frecuencia de corte. Supongamos que la frecuencia

con la que el generador alimenta la lnea es inferior a la de corte. Entonces k < kc y en

consecuencia el modo sera evanescente. As pues, la frecuencia de corte de un modo

es la mnima frecuencia a la cual debe sintonizarse el generador que alimenta la lnea

para que el modo se propague.

Longitud de onda de corte. Se define como

Para que un modo se propague, es necesario que su longitud de onda de corte sea

superior a la de la onda plana asociada en el medio no confinado. A,

Longitud de onda en la gua. Es la distancia entre dos puntos de igual fase en ausencia de reflexiones,

Modo fundamental. Modo de propagacin que tiene la frecuencia de corte ms baja. A

partir de esta definicin se deduce inmediatamente que si deseamos que por la lnea se

propague slo un modo, entonces una forma de lograrlo consistira en seleccionar una

frecuencia que sea superior a la de corte del modo fundamental, e inferior a la de corte

del modo inmediatamente superior. En estas condiciones se propagar slo el modo

fundamental. Si la frecuencia viene impuesta, entonces sera necesario buscar otra

geometra de lnea que tenga las constantes de corte apropiadas.

Los modos de orden superior dificultan la utilizacin prctica de la lnea y complican el

anlisis de los campos. Por tanto, en la prctica es habitual disear las lneas con

geometras adecuadas que garanticen la propagacin de un nico modo. No obstante,

puede darse la circunstancia de que la configuracin de campos del modo fundamental

no sea la ms adecuada. En estos casos es posible seleccionar frecuencias suficiente-

mente altas para que se propague el modo de orden superior que se desee, y utilizar

geometras adecuadas en la excitacin de la lnea que permitan generar este modo sin

que aparezcan otros de frecuencia de corte ms baja. No obstante, en estas

circunstancias cualquier posible discontinuidad que pudiera existir en la gua podra dar

lugar a propagacin multimodo.

Modos degenerados. Son aquellos que tienen una misma frecuencia de corte.

Impedancia del modo. Los modos se caracterizan no slo por una constante de

propagacin sino tambin por una impedancia, que recibe el nombre de impedancia de

la onda o bien impedancia del modo. Esta impedancia se define de distinta forma para

cada tipo de modo. Para un modo TEM se definir como la impedancia intrnseca del

medio. En el caso de los modos TE y TM la definiremos mediante las siguientes expre-

siones,

La impedancia del modo es por tanto un nmero real positivo en una lnea constituida

por materiales sin prdidas. En lneas disipativas es habitual extender estas definiciones

utilizando la constante de propagacin en lugar de la de fase,

A continuacin describiremos brevemente cmo se calculan los modos y qu

propiedades tienen, y justificaremos la utilidad de estas definiciones de impedancia.

1.4 MODOS TEM

1.4.1 Propiedades

La constante de fase coincide con la de una onda plana

Supongamos que las componentes longitudinales de E y H son nulas. Entonces las

Ecuaciones TPL, (2.47)-(2.50), indican que la nica posibilidad que habra de que los

campos totales no fueran nulos sera haciendo que se anulase k,.. Por tanto, si por la

lnea se propaga un modo TEM, entonces su constante de corte es nula. As pues,

Con esta propiedad es evidente que si en una lnea se propaga un modo TEM, ste ser

siempre el modo fundamental.

Los campos satisfacen la Ecuacin de Laplace en el plano perpendicular a la direccin

de propagacin

Esta propiedad es un resultado directo de la ecuacin de ondas. Si se impone esta

ecuacin a las componentes transversales de los campos,

y se asumen soluciones de la forma

se obtiene la Ecuacin de Laplace tanto para como para e como para h,

donde el subndice t identifica las dos dimensiones transversales,

De esta forma la obtencin de los campos en un modo TEM queda reducida a resolver

un problema en 2 dimensiones. El hecho de que el campo elctrico satisfaga la Ecuacin

de Laplace es especialmente relevante porque gracias a ello es posible utilizar algunos

resultados importantes de las leyes de la Electrosttica.

Los campos son conservativos

Hagamos uso del siguiente teorema:

Si el rotacional de un campo es nulo, entonces el campo es conservativo y puede

obtenerse a partir del gradiente de una funcin escalar.

Las ecuaciones de Maxwell garantizan que los campos transversales cumplen este

requisito,

As pues,

Este resultado tiene una importante consecuencia: en una gua construida con un tubo

conductor hueco de seccin arbitraria no es posible propagar un modo TEM. Si as fuera

el potencial elctrico en el interior del conductor sera constante, lo que dara lugar a un

campo nulo.

Las potenciales tambin satisfacen la Ecuacin de Laplace

Si se impone que no hay cargas en el interior de la lnea, la divergencia del campo

elctrico es nula y por tanto el potencial tambin deber satisfacer la Ecuacin de

Laplace,

El mismo razonamiento se puede aplicar al potencial magntico.

1.4.2 CLCULO DE LOS MODOS TEM

Una vez conocido el campo elctrico, el campo magntico se puede obtener a partir de

las ecuaciones de Maxwell,

Es interesante observar que en un modo TEM el mdulo del campo elctrico total

dividido por el del campo magntico total es independiente del punto donde se mide el

campo, e igual a la impedancia del modo. Gracias a ello es posible caracterizar de forma

compacta el modo en una lnea sin prdidas a partir de un slo nmero real positivo

ZTEM

En resumen, el procedimiento para obtener la configuracin de campos en un modo TEM

se podra esquematizar en los siguientes pasos: a) determinar la solucin general de la

Ecuacin de Laplace para el potencial elctrico y aplicar las condiciones de contorno, b)

calcular el campo elctrico a partir del gradiente del potencial, y finalmente c) calcular el

campo magntico a partir del rotacional del campo elctrico.

1.5. MODOS TE Y MODOS TM

1.5.1 MODOS TE

Anulando la componente 7. del campo elctrico las ecuaciones TPL se pueden

simplificar a las siguientes expresiones:

En este caso la constante de propagacin no tiene por qu ser nula para obtener una

solucin distinta a la trivial. Para determinar la componente longitudinal del campo

magntico es necesario resolver la ecuacin de Helmholtz,

Puede demostrarse que en un modo TE las condiciones de contorno generales quedan reducidas a

(2.85)

donde n es la coordenada normal a la superficie conductora. Imponiendo esta condicin

de contorno a la solucin general para h. se reducen el nmero de constantes arbitrarias

y posteriormente se pueden aplicar las ecuaciones TPL para determinar el resto de las

componentes. En resumen, el procedimiento para obtener la configuracin de campos en

un modo TE se podra esquematizar en los siguientes pasos: a) obtener la solucin

general a la ecuacin de Helmholtz para la componente longitudinal del campo

magntico, b) aplicar las condiciones de contorno y obtener Kc. , y c) calcular las dems

componentes a partir de las ecuaciones TPL.

Si se particulariza la ecuacin de Maxwell para el rotacional de E a un modo TE se

obtiene un interesante resultado,

As pues, la impedancia de la onda tal y como se ha definido permite obtener una

relacin entre los campos transversales similar a la existente en un modo TEM (Ecuacin

2.79).

1.5.2 MODOS TM

Los campos de un modo TM se calculan de forma totalmente anloga a los de un modo TE. Imponiendo que la componente longitudinal del campo magntico es nula en las ecuaciones TPL se obtiene

Al igual que en el caso anterior, la constante de corte no es nula. La componente

longitudinal del campo elctrico se puede obtener de la ecuacin de Helmholtz en dos

dimensiones,

En este caso, las condiciones de contorno para e, permitirn obtener las constantes de

corte y por tanto las de propagacin. Consecuentemente, los campos de un modo TM

pueden determinarse esencialmente en dos pasos: a) obtener la solucin a la ecuacin

de Helmholtz para e, y aplicar las condiciones de contorno. Con ellas se obtendrn los

valores de Kc. y se reducir el nmero de constantes arbitrarias; b) calcular todas las

dems componentes de E y H a partir de las ecuaciones TPL.

Anlogamente a como ocurre con los modos TE, se puede aprovechar la impedancia de

la onda para relacionar los campos transversales,

CAPITULO 2 LNEAS DE GEOMETRA SENCILLA

Una vez obtenidas las propiedades generales de los modos, es necesario particularizar

para poder conseguir ms informacin de una lnea. El siguiente paso a seguir es aplicar

las condiciones de contorno. Estas condiciones se obtienen a partir de la geometra de la

lnea se aplican para reducir parcialmente el numero de constantes arbitraria que

aparecen en las soluciones generales de los campos. Slo en algunos casos concretos

se obtendr solucin nica, cuando sea posible conocer de qu forma se ha excitado la

lnea.

La Figura muestra la geometra de las lneas que se van a considerar junto con la

nomenclatura que va a utilizarse. Se describirn las propiedades principales de cada

lnea y los resultados finales de los campos.

2.1 LNEA DE LAMINAS PLANOPARALELAS

La estimacin analtica de los campos en la lnea de lminas planoparalelas es posible

haciendo la hiptesis de que la anchura de las lminas es muy superior a la separacin

entre las mismas. La Tabla 3 muestra las expresiones analticas para los campos

correspondientes; la Figura 2.4 muestra la distribucin de campos en los primeros modos

de propagacin, Esta lnea soporta el modo TEM. y por tanto este modo es el

fundamental. Conociendo la diferencia de potencial entre las dos placas en una seccin

arbitrarla de la lnea, es posible determinar unvocamente los campos de este modo en

lodos los puntos de la lnea. Utilizando estos campos y el modelo circular equivalente se

puede determinar la impedancia caracterstica

Figura 2.3. Lneas de geometra sencilla: a) lnea de lminas planoparalelas, b) gua rectangular, c) lnea coaxial y d) gua circular.

Para que se satisfagan las condiciones de contorno en la lnea es necesario que se

anule la componente Ex en los modos TE y Ez en los modos TM. En ambos casos

existen infinitos valores de Kc que permiten satisfacer esta propiedad. Por tanto existen

infinitos modos TE y TM, los cuales se identifican con un nico subndice. Los modos de

frecuencia de corte inmediatamente superior al fundamental son degenerados: el TE1 y el

TM1. La constante de corte para ambos es inversamente proporcional a la separacin

entre las lminas, y por tanto para poder alcanzar el mayor ancho de banda posible en

propagacin monomodal es necesario minimizar esta separacin. Resultados similares

pueden encontrarse en el resto de las lneas, en las que generalmente ser necesario

reducir la seccin para maximizar el ancho de banda. Esta reduccin va siempre

acompaada por una disminucin de la potencia mxima que puede transmitirse.

En la lnea de lminas planoparalelas las impedancias de los modos TE y TM estn

relacionadas con los campos transversales a partir de las siguientes expresiones,

Figura 2.4 Vista frontal de la distribucin de campos en una lnea de lminas

planoparalelas. Modo TEM (a), modo TM1 (b), modo TE1 (c). La lnea continua

corresponde al campo elctrico, la discontinua al magntico.

As pues, la impedancia de la onda tal y como la hemos definido es tambin un cociente

de componentes de campos transversales, cociente que no depende del punto de la

lnea donde se determine el campo. Si se hubiera considerado un modo que se

propagase en sentido de z decreciente hubiera aparecido un signo negativo en el

cociente, de manera que la impedancia siempre es un nmero real positivo en una lnea

sin prdidas.

2.2 GUA RECTANGULAR

La gua rectangular es una de las lneas de transmisin ms ampliamente utilizadas.

De hecho, es posible encontrar numerosos fabricantes que suministran una gran

variedad de componentes en bandas de frecuencia localizadas desde 0,3 GHz hasta 325

GHz. Esta gua es especialmente adecuada para propagar seales de frecuencias

elevadas, con longitudes de onda del orden de milmetros. Las expresiones de los

campos se encuentran en la Tabla 3, y la Figura 2.5 muestra algunos de sus modos de

propagacin.

Al estar constituida por un conductor hueco, la gua rectangular tan slo soporta modos

TE y TM. La dependencia de las componentes de los campos respecto de las

coordenadas transversales aparece como el producto de dos funciones oscilatorias

(senos y csenos). Como consecuencia de ello, al imponer las condiciones de contorno

se obtiene una serie doblemente infinita de constantes de corte y por tanto cada modo

est caracterizado por dos subndices distintos. En los modos TMmn ni m ni n se anulan,

puesto que haciendo cero cualquiera de estos dos rdenes en las ecuaciones de los

campos se obtiene la solucin trivial (campos nulos).

Figura 2.5. Campos de distintos modos en una gua rectangular. De arriba a abajo,

modo TE10, TE20, TE11 y TM11. De izquierda a derecha, plano y = b/2, plano E y vista

frontal. El plano E es el x = a/2 para los modos TE0 y TM11, el x = 3a/4 para el TE20, y

el x = a para el TE11.

En la prctica las guas rectangulares ms comnmente empleadas se disean de forma

que a = 2b. Estas guas reciben el nombre de guas normalizadas, y su banda de

operacin monomodal est delimitada por las frecuencias de corte de los modos TE10

(modo fundamental) y el TE20. El campo elctrico del modo fundamental tiene dos

propiedades interesantes:

1. Es mximo en el centro de la cara ancha de la gua. 2. Es independiente de la coordenada y. 3. Apunta en una direccin constante y paralela a las caras laterales. Debido a ello, el

plano YZ recibe el nombre de plano E. Por motivos anlogos el plano XZ se denomina

plano H.

Asimismo, es interesante observar que en el modo fundamental h, se anula en el centro

de la cara ancha de la gua, y por tanto en este plano tanto E como H son

perpendiculares a la direccin de propagacin.

En la gua rectangular las impedancias de los modos TE y TM estn relacionadas con los campos transversales,

La gua rectangular tambin es especialmente til para transmitir grandes cantidades de potencia. La potencia mxima de pico que puede soportar una gua rectangular est determinada por el campo de ruptura del dielctrico donde se confinan los campos. Sin embargo, la potencia mxima media que puede transportar la gua est ms limitada por las prdidas conductoras y dielctricas, las cuales pueden elevar considerablemente la temperatura fsica de la gua. Las potencias mximas de pico en los modos TEmn, se pueden calcular mediante la expresin

Donde Emax es el campo de ruptura (2,9 MV/m en el caso del aire seco a temperatura

ambiente y presin de una atmsfera). Esta expresin es aplicable cuando m y n son

iguales o mayores que la unidad. En caso de que no sea as podemos obtener la

potencia mxima con las siguientes expresiones

La potencia mxima de pico disminuye con la frecuencia de operacin. Esta potencia

podra aumentarse llenando la gua con un dielctrico en lugar de aire, puesto que el

campo de ruptura en los dielctricos es mayor que el del aire. No obstante, la utilizacin

de dielctricos puede limitar la potencia mxima media a causa de las prdidas. La

capacidad de potencia tambin puede incrementarse presurizando la gua con aire o un

gas inerte.

2.3 GUA CIRCULAR

Las guas circulares presentan un ancho de banda menor que las coaxiales a igualdad

de radios externos, pero permiten transmitir mayor potencia y son ms fciles de

mecanizar. Las expresiones para los campos se encuentran en la siguiente Tabla 4, y la

Figura 2.6 muestra la distribucin en algunos modos. A pesar de la aparente existencia

de dos constantes distintas a determinar en las expresiones de los campos, una de estas

dos constantes puede hacerse nula seleccionando apropiadamente la direccin

transversal que establezca el origen para el ngulo .

Los campos de los distintos modos estn expresados en trminos de las funciones de

Bessel de primera especie Jn Estas funciones no pueden calcularse analticamente pero s

numricamente con algoritmos muy sencillos, basados generalmente en frmulas de

recurrencia.

Figura 2.6. Campos de distintos modos en una gua circular. De arriba a abajo, modo

TE, TM, y TEg,. De izquierda a derecha, plano lateral y vista frontal. En el modo TE, el plano lateral corresponde al que se indica en el plano frontal con la lnea de puntos.

Generalmente esta precisin es ms que suficiente para simular campos en lneas y guas.

El programa MATLAB incorpora rutinas basadas en las libreras IMSL, con las que se

obtienen mayores precisiones.

Para que se satisfagan las condiciones de contorno en las paredes de la gua es necesario

que se anule la componente E en p = a. Debido a que las funciones de Bessel y sus

derivadas presentan un comportamiento oscilatorio, para cada orden de J o de su derivada

existen infinitos valores de Kc que satisfacen las condiciones de contorno.

Por tanto, cada modo est etiquetado por dos subndices. El primero se corresponde con el

orden de la funcin de Bessel, y el segundo indica la raz de esta funcin, Pnm (en el caso de

los modos TM), o de su derivada, Pnm (en los modos TE). A diferencia de la gua rectangular,

por convenio se suele asignar la letra n al primer subndice, para mantener la compatibilidad

con la nomenclatura habitual de las funciones de Bessel. Tambin por convenio las races se

identifican a partir del subndice m = 1, y por tanto no existen modos TMNO ni TEno.

Tanto pnm como Pnm estn tabuladas en numerosas referencias.

El modo fundamental es el TE11 y el inmediatamente superior el TM01,. El ancho de banda en propagacin monomodal se puede aproximar por la expresin

donde a est expresada en cm. De forma anloga a como ocurre con la lnea de lminas planoparalelas y la gua rectangular, las impedancias de los modos TE y TM se pueden obtener a partir de cocientes de campos transversales,

2.4 LNEA COAXIAL

El modo fundamenta de la lnea coaxial es el TEM, para el cual las expresiones de los

campos son extremadamente sencillas. Al igual que como ocurre en la lnea de lminas

planoparalelas, conociendo la diferencia de potencial entre los dos conductores en una

seccin arbitraria de la lnea es posible determinar una solucin nica para los campos de

este modo.

Los modos TE y TM estn determinados por las funciones de Bessel de primera y segunda

especie, Jn e Yn. Las expresiones para los campos se muestran en la anterior Tabla 4. y la

siguiente Figura 2.7 muestra la distribucin de estos campos para algunos modos de inters.

Las constantes de corte deben obtenerse numricamente resolviendo las ecuaciones no

lineales que se indican en la Tabla 4, a las cuales se llega imponiendo las condiciones de

contorno.

Figura 2.7. Distribucin de campos en distintos modos de una lnea coaxial. De arriba a abajo, modo TEM, TE, y TMg, De izquierda a derecha, plano lateral y vista frontal.

El modo inmediatamente superior al TEM es el TE11. Su constante de corte se puede aproximar mediante la expresin

Las impedancias de los modos en la lnea coaxial tambin pueden obtenerse a partir de la ecuacin (2.100).

La impedancia caracterstica de esta lnea puede determinarse mediante el modelo circutal equivalente, el cual se puede obtener a partir de las expresiones de los campos en el modo TEM,

2.5 COEFICIENTES DE REFLEXIN Y TRANSMISIN Cada vez que una onda incida en una discontinuidad, se generarn ondas reflejadas. El caso

ms simple que puede ilustrar este tipo de situaciones consiste en una onda plana que incide

perpendicularmente en una frontera plana de dos medios elctricamente distinta, y en la que

no existe ninguna densidad de corriente libre. En el medio de procedencia de la onda, que

llamaremos medio 1, los campos se pueden expresar como una superposicin de una onda

incidente y una reflejada,

En el medio 2, medio al que se transmite la onda, no habra reflexin y por tanto todo el

campo existente en 2 se propagar en el sentido de z creciente,

Imponiendo las condiciones de contorno en la frontera de los medios (plano z = 0) es posible

obtener una relacin entre el cociente de impedancias intrnsecas y las amplitudes de los

campos incidente y reflejado. Esta relacin es

De la Ecuacin (2.107) se puede obtener el cociente entre el campo reflejado y el incidente,

el cual se denomina coeficiente de reflexin Y. Este factor es idntico para las dos

direcciones X e Y gracias a la isotropa de los medios, y

Es interesante observar que cuando el medio 2 es un conductor ideal, su impedancia

intrnseca tiende a cero y por tanto el coeficiente de reflexin tiende a -1.

A partir de las condiciones de contorno tambin se obtiene la amplitud del campo transmitido, el cual tambin tiene la misma direccin que el campo incidente y se puede expresar como

donde el factor T recibe el nombre de coeficiente de transmisin.

2.5.1 POLARIZACIN La direccin del campo elctrico de una onda plana en un plano perpendicular a la direccin

de propagacin define la polarizacin de dicha onda. Consideremos una onda plana se

propaga en la direccin Z. El campo elctrico se puede expresar como,

Las amplitudes de las componentes del campo , y Ey determinan los posibles tipos de

polarizacin. La expresin general para el campo en el dominio del tiempo es

Donde p representa la fase de las amplitudes del campo en cada direccin. Analizando esta expresin se observa que para que el campo no cambie de direccin, es decir, para que la

onda sea linealmente polarizada, es necesario que o bien una de las dos amplitudes

sea nula o bien que

Cuando la direccin del campo vara con el tiempo se dice que la polarizacin de la onda es

no lineal. Este tipo de polarizacin incluye la polarizacin circular, de gran inters prctico, y

que se produce cuando el mdulo del campo es constante. Dado que la perpendicularidad

con respecto a la direccin de propagacin debe conservarse, la direccin del campo debe

mantenerse en el plano XY y por tanto el campo slo puede variar rotando en tomo al eje de

propagacin.

El sentido de la rotacin est determinado por las fases de las amplitudes. A modo de

convenio, la institucin americana IEEE define la polarizacin como positiva cuando al hacer

coincidir el pulgar de la mano derecha con el sentido de avance de la onda, el resto de los

dedos indica el sentido de rotacin del campo. En este caso se dice que la onda es RHCP

(Right Hand Circularly Polarized), siendo LHCP (Eeft Hand Circularly Polarized) en caso

contrario. La Figura muestra los dos tipos de polarizacin circular para el campo elctrico.

Se pueden obtener expresiones sencillas para los campos de las ondas RHCP y LHCP a

partir de (2.112) si se impone que el mdulo del campo elctrico sea constante y que la

derivada del ngulo formado por el campo elctrico con el eje x sea positiva (en una onda

RHCP) o negativa (en una LHCP),

Figura 2.8. Polarizacin LHCP (a) y RHCP (b)

Si la onda se propagase hacia z = - sera necesario intercambiar los signos,

Una onda circularmente polarizada puede descomponerse como la suma de dos ondas linealmente polarizadas con direcciones ortogonales (formando un ngulo de 90) lo que permite transmitir simultneamente dos canales de informacin, uno en cada direccin, con interferencias mnimas.

CAPITULO 3. EL DIAGRAMA DE SMITH: USOS Y APLICACIONES

La siguiente Figura 2.9. muestra el diagrama de Smith. Este diagrama es una herramienta

grfica que fue ideada en 1939 por Phillip Smith, ingeniero de la compaa RCA, para el

clculo y la transformacin de impedancias en lneas de transmisin. A pesar de que en la

actualidad estas tareas se pueden realizar sin dificultad mediante ordenadores y calculadoras

electrnicas, el diagrama de Smith an se emplea con profusin en los instrumentos de

medida de redes de alta frecuencia (analizadores vectoriales de redes) e incluso en

programas de CAD de circuitos de alta frecuencia para representaciones grficas y diseo de

redes de acoplo. Asimismo, constituye una valiosa herramienta educativa para facilitar la

comprensin de las tcnicas de acoplo.

3.1 LOCALIZACIN DE CARGAS

El diagrama de Smith es una representacin del coeficiente de reflexin en un diagrama

polar. Cualquier coeficiente de reflexin se puede localizar en el diagrama simplemente

trazando un crculo de radio igual al mdulo, y localizando la posicin que corresponde en

este crculo a un ngulo igual a la fase del coeficiente de reflexin, tomando como origen de

coordenadas el semieje horizontal derecho. El centro del diagrama representa un coeficiente

de reflexin nulo (o bien una impedancia igual a la caracterstica de la lnea), mientras que la

periferia representa los coeficientes de reflexin de mdulo unidad. En particular, el extremo

derecho del eje horizontal representara un circuito abierto (fase = 0) mientras que el

izquierdo sera un cortocircuito (fase = 180).

3.2 CLCULO DE IMPEDANCIAS A PARTIR DEL COEFICIENTE DE REFLEXIN

Para determinar la impedancia a partir del coeficiente de reflexin, el diagrama de Smith

tiene un conjunto de crculos y arcos de crculo que representan lneas de resistencia y

reactancia constantes.

Figura 2.9. El diagrama de Smith. En la figura se muestra una carga de una impedancia

normalizada de valor 0,6 + j1,8. El coeficiente de reflexin es de mdulo 0,78 y fase 54.

La admitancia normalizada (punto simtrico) es de 0,17- j0.5, y VSWR es en torno a 9.

La impedancia en un punto de la lnea situado a (0,2 - 0,175) es de 1,2 + J2,6. El primer mximo de voltaje est a una distancia (0,25 - 0,175) de la carga, y el primer mximo

de corriente a una distancia (0,5-0,175) Distribuido por Analog Instruments, Co-, P.O. Box 808, New Providence, NJ 0974.

El semicrculo superior del diagrama constituye la zona inductiva, mientras que el inferior abarca las reactancias capacitivas. La impedancia est normalizada respecto a la impedancia caracterstica de la lnea. De este modo, la localizacin de una carga en un punto del diagrama permite determinar simultneamente tanto la impedancia tanto como el coeficiente de reflexin.

3.3 CLCULO DE LA RAZN DE ONDA ESTACIONARIA (VSWR)

El diagrama de Smith tambin permite obtener la razn de onda estacionaria que se

establece en una lnea cargada con una impedancia distinta a su impedancia caracterstica.

Las cargas que presentan impedancias normalizadas reales y de mdulo mayor que la

unidad tienen la peculiaridad de que su impedancia es numricamente igual a la razn de

onda estacionaria que originan. Este resultado se obtiene inmediatamente comparando

As pues, para obtener el valor de VSWR basta con trazar una circunferencia centrada en el

origen del diagrama y que pase por el punto que representa la carga. La escala del semieje

derecho proporciona el valor de VSWR en su interseccin con la circunferencia,

3.4 TRANSFORMACIN DE IMPEDANCIAS

Las escalas de que dispone el diagrama de Smith permiten obtener grficamente la

impedancia y coeficiente de reflexin en cualquier posicin de la lnea a partir del valor de

estos dos parmetros en cualquier otro punto de la lnea.

En el caso de una lnea sin prdidas, para transformar una impedancia conocida en una

posicin determinada basta con trazar un crculo centrado en el origen y que pase por el

punto correspondiente a la carga conocida. La distancia del segundo punto se localiza

mediante un desplazamiento por el crculo en el sentido de las agujas del reloj o viceversa,

dependiendo de que el segundo punto est mas cerca o ms lejos del generador que el

primero, este desplazamiento es igual a un ngulo dado por el doble de la longitud elctrica

existente entre ambos puntos, .

Es interesante observar que una vuelta completa en el diagrama equivale a un

desplazamiento de una semilongitud de onda a lo largo de la lnea. Tambin puede verse

que la impedancia en la lnea se hace real en los puntos localizados en el eje horizontal, los

cuales aparecen en la lnea cada cuarto de longitud de onda. En estos puntos se encuentran

los mximos (puntos de interseccin con el semieje real derecho) y mnimos (puntos de

interseccin con el semieje real izquierdo) de voltaje existentes en la lnea.

Cuando la lnea tiene prdidas, el desplazamiento a travs de la lnea desde la carga

conocida da lugar a impedancias cuya representacin en el diagrama de Smith corresponde

a una espiral que colapsa en el centro del diagrama. Para localizar la impedancia en

cualquier punto de una lnea con prdidas, es necesario recordar que el coeficiente de

reflexin a una distancia de la carga viene dado por

As pues, la impedancia en cualquier punto de la lnea podra localizarse desde el punto correspondiente a desplazndose por el crculo de VSWR constante en direccin al generador (sentido de avance de las agujas del reloj) hasta un punto P que estuviera a un

ngulo 2l respecto del punto original, y despus reduciendo el mdulo del coeficiente de

reflexin en una cantidad 2l Para ello bastara con trazar una Lnea que uniera P con el centro del diagrama, y localizar el punto que tiene un coeficiente de reflexin de magnitud

e-2l

Dado el carcter ambivalente de los crculos en el diagrama (representan simultneamente

conductancias y resistencias, o bien reactancias y suceptancias), cuando se desea

transformar una admitancia de carga a una determinada distancia a lo largo de la lnea, basta

con utilizar el mismo procedimiento que con las impedancias.

3.5 CLCULO DE ADMITANCIAS

El diagrama de Smith tambin permite determinar la admitancia a partir de la impedancia y

viceversa. Para comprobarlo basta con considerar la impedancia en un punto de la lnea

situado a un cuarto de longitud de onda de la impedancia de carga.

As pues, para obtener la admitancia normalizada en el diagrama de Smith basta con

localizar el punto simtrico al correspondiente a la impedancia con respecto al origen.

3.5.1 LOCALIZACIN DE MXIMOS Y MNIMOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

Los mximos de voltaje en una lnea sin prdidas se pueden determinar a partir de la ecuacin de voltajes, deducindose:

As pues, el voltaje es mximo cuando se verifica la relacin En

estos puntos el coeficiente de reflexin es un nmero real positivo y por tanto la impedancia

es real y mayor que la unidad,

Consecuentemente, para localizar el primer mximo bastar con encontrar la distancia que

hay entre la impedancia de carga Z L, y el primer punto en el cual la impedancia sea real y

mayor que la unidad. El mnimo de voltaje estara a una distancia igual a 1/4 de longitud de

onda. De Forma totalmente anloga pueden determinarse mximos y mnimos de corriente.

En este caso el mximo de corriente se obtendra buscando la distancia entre la impedancia

de carga y el primer punto en el cual la impedancia sea real y menor que la unidad.