Líneas de espera -...

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN

Manual de Práctica de Investigación de Operaciones Página 35

Práctica #4

Líneas de espera

Objetivo: Optimizar la operación de los servicios y la manufactura utilizando modelos de líneas de espera.

Introducción: El sistema de líneas de espera, es el más conocido de todos, ya

que, independientemente de la ocupación de cada uno de nosotros, hemos

utilizado uno de ellos alguna vez, cuando vamos al cine, cuando utilizamos el

servicio de un banco, cuando pagamos los víveres en un supermercado, etc.

De los sistemas de líneas de espera más utilizados están: Un servidor con una fila

(figura 1), varios servidores con una fila (figura 2).

Lo interesante de este tema, es la gran gama de aplicaciones que tiene, ya que lo

podemos utilizar en la vida cotidiana así como en la industria, por ejemplo:

La llegada y recepción de materia prima a la industria

El servicio de mantenimiento en las máquinas.

El proceso de ensamble.

El proceso de empaque.

Etc.

Los elementos que componen una línea de espera o fila; como comúnmente le

llamamos; los identificaremos con letras (estas pueden variar de acuerdo con los

autores).

LETRA REPRESENTA

S SERVIDOR(ES)

C CLIENTE(S)

µ (miu) RAZON O PROPORCION DEL

TIEMPO DE SERVICIO (tasa de servicio)

λ (lamba) RAZON O PROPORCION DE LLEGADA DE LOS CLIENTES

(tasa de llegadas)

Ls CANTIDAD DE CLIENTES EN EL

SISTEMA

Lq CANTIDAD DE CLIENTES EN LA FILA

Ws TIEMPO DE ESPERA TOTAL DEL

CLIENTE EN EL SISTEMA



Wq TIEMPO DE ESPERA DEL CLIENTE

EN LA FILA

Algo que debemos tener muy claro, es cuando los clientes forman parte del

sistema, y cuando dejan de pertenecer al sistema. En las figura se aprecian las

“posibles entradas” y las que son salidas “reales” del sistema. Mientras el cliente

potencial no haya ingresado al SISTEMA no lo consideraremos para los cálculos

necesarios, es importante identificar plenamente lo que conoceremos como

SISTEMA, ya que de eso dependerá el buen análisis del problema.

Por ejemplo; analizaremos una tienda de ropa y calzado donde se cuenta con

varios departamentos, entre ellos “DAMAS”, “CABALLEROS”, “NIÑOS”, etc. En el

departamento de caballeros se cuenta con el servicio para subir bastillas y arreglar

el largo de las mangas de las camisas. Si deseamos conocer cuánto tardará una

persona en que le tomen medidas para el arreglo de un pantalón,

¿contabilizaremos a todos los clientes de la tienda, o solo aquellos que entraron al

salón donde toman las medidas?. La respuesta es sencilla; solo los que entraron

al salón de medidas, en ese caso el salón de medidas se convertirá, para análisis

y cálculos necesarios, en el SISTEMA a analizar.

Será necesario también, identificar la rapidez o habilidad del servidor o quien este

atendiendo a los clientes (tasa de servicio), y además identificar el número de

clientes por unidad de tiempo que llegan (tasa de llegadas), es importante revisar

que ambas tasas este en la misma unidad de tiempo (minutos, segundos u horas),

en caso de no cumplirse esto, realizaremos una transformación de cualquiera de

las dos tasas.

Figura 1



Correlación con otros temas del programa: En esta unidad se empiezan a

entrelazar los temas sobre líneas de producción, así como casos de comercios y

de la vida cotidiana, con la finalidad de entender que de alguna manera se puede

estudiar la vida como un todo.

Material y equipo necesarios: Una calculadora y libreta para resolver los

problemas, y practicar la metodología vista, en caso de utilizar algún software,

imprimir o enviar de forma electrónica el resultado.

Metodología: De acuerdo con la teoría revisada, se deberá determinar el modelo

apropiado de líneas de espera, ante determinada cantidad de colas y servidores

disponibles. Esto es analizar el problema y decidir si es un solo servidor con una

fila y aplicar las fórmulas necesarias para encontrar:

Si es de un servidor con una fila:

Figura 2



; ; ; ; ;

Si es de servidores múltiples con una fila:

O simplificando la fórmula, utilizando una aproximación a P0 se obtendría por medio de

tablas (anexo)

Para este sistema el valor de

;

Sugerencias didácticas: Realizar actividades grupales que propicien la

comunicación, el intercambio de ideas, la reflexión, la integración y la colaboración

de los estudiantes.

Plantear, resolver y analizar casos reales propios de las empresas.

Propiciar el uso de la tecnología en el desarrollo de la asignatura (procesador de

texto, hoja de cálculo, base de datos, graficador, Internet, etc.) para el

planteamiento y la solución de problemas.

Proponer problemas y casos prácticos que permitan al estudiante adentrarse en la

problemática de las empresas hoy en día.

Reporte del alumno: Entregar los problemas solicitados por el docente para la

calificación de la competencia.



Bibliografía preliminar:

INVESTIGACION DE OPERACIONES (HAMDY TAHA)

INVESTIGACION DE OPERACIONES (W. L. WINSTON)

INVESTIGACION DE OPERACIONES (HILLER)

METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS (SWEENEY)

METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS (RENDER)

INVESTIGACION DEOPERACIONES (EPPEN)

ENFOQUES CUANTITATIVOS EN LA ADMINISTRACION (LEVIN)



TEORIA: I.- Responda las siguientes preguntas con F falso o V verdadero 1. Los modelos de líneas de espera también son

conocidos como teoría de colas F V

2. La tasa de servicio mide la rapidez de llegada de los clientes potenciales

F V

3. Los modelos de líneas de espera son: un servidor una fila, servidores múltiples una fila, y servidores múltiples, múltiples filas.

F V

4. El número de clientes en el sistema está representado por Ls

F V

5. La tasa de servicio está representada por la letra λ(lamba)

F V

6. P0 representa la probabilidad de que el sistema este desocupado

F V

7. El tiempo total de espera del cliente está representado por Lq

F V

8. Probabilidad de que el sistema este vacío es igual a la probabilidad de que el sistema este desocupado

F V

9. El factor de utilización ρ (ro) representa también la probabilidad de que el sistema este ocupado

F V

10. El tiempo de espera en la fila está representado por Wq

F V

II.- Elaborar un mapa conceptual sobre los temas que contempla la Teoría de Líneas de Espera PRACTICA. III.- Encuentre la solución a cada problema, según el método que se pida. Sección 1

1.- En un aeropuerto internacional, todos los pasajeros tienen que ser revisados

por una sola máquina para saber si no llevan armas o alguna herramienta que

pueda ser usada como tal, el proceso de revisión de la máquina de rayos x puede

examinar en promedio 12 pasajeros por minuto, y los pasajeros llegan a una tasa

de 10 pasajeros por minuto.

a) Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado.

b) Cuantos pasajeros hacen fila para pasar por la revisión c) Cuanto tiempo pasará el pasajero en el punto de revisión



2.- Los barcos llegan a un canal del río Mississippi a una tasa promedio de

llegadas de 1 barco cada 60 minutos y en promedio toma 30 minutos pasar un

barco por el canal. Si los tiempos tienen una distribución de Poisson, encontrar:

a) El tiempo que un barco tarda en pasar por el canal b) El número de barcos en espera de utilizar el canal c) El número de barcos en el canal d) La probabilidad de que el canal este vacío

3.- Un agente de inmigración en el aeropuerto de la cd. de México puede procesar

en promedio 120 pasaportes de turistas que desean entrar al país en sus 8 horas

de trabajo (si estuviera ocupado todo el tiempo). Si en promedio llega un turista

cada 6 minutos, y se cuenta con un solo agente de emigración, encuentre:

a) La cantidad esperada de turistas en la sala de espera b) El tiempo que un turista utiliza para el sellado del pasaporte c) El tiempo que un turista emplea en el trámite de ingreso al país

4.- Los autos llegan a una estación de mecánica rápida para un cambio de aceite

en promedio de 1 auto cada 60 minutos, y la estación de servicio es capaz de

atender hasta 48 autos en un lapso de 8 horas sin tiempo de ocio y con un solo

mecánico. Suponga que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria.

Estime:

a) El tiempo que un auto pasa en la estación de servicio b) El número de autos en la estación de servicio c) El número de autos esperando ser atendidos d) La probabilidad de que la estación de servicio este vacía

5.-Una oficina de venta de boletos utiliza la venta y reservación de boletos por

medio telefónico en un conmutador, el cual concentra y distribuye las llamadas a la

primer vendedora disponible, cuenta con 3 operadoras, y en promedio cada una

de ellas atiende una llamada que dura aproximadamente 6 minutos. Si las

llamadas entran aleatoriamente con una distribución de Poisson a razón de 20

llamadas por hora. Calcule:

a) La probabilidad de que la llamada entre inmediatamente b) La probabilidad de que la llamada tenga tono de ocupado c) El número de llamadas en espera d) El tiempo que esa llamada tendrá que esperar para ser atendida



6.- En un consultorio dental de la clínica #6 del IMSS, se detectó la siguiente

situación. Los pacientes llegan con una distribución de Poisson de 5 pacientes por

hora, de manera que se forman en una sola fila y son atendidos por 3 dentistas, y

en promedio cada consulta dura 30 minutos, calcule:

a) El número de pacientes esperando ser atendidos b) El tiempo que tarda un paciente en el consultorio c) La probabilidad de que el consultorio dental este vacío

7.- Una empresa debe tomar la decisión respecto a la política de contratar un

mecánico para reparar las máquinas que se descomponen con una tasa promedio

de 4 por hora. El tiempo improductivo de cualquiera de las máquinas está

costando a la empresa $10.00 dólares por hora. La empresa puede contratar 2

tipos distintos de mecánicos, uno de $2.50 dólares por hora y el otro de $4.50

dólares por hora. El mecánico más barato puede reparar en función de una

distribución exponencial las máquinas con una tasa promedio de 6 por hora,

mientras que el mecánico caro a una tasa promedio de 8 por hora. Basándose en

los datos anteriores ¿Cuál mecánico deberá contratarse?

8.-Una fábrica de ropa de una marca reconocida, tiene la política de que no se

debe hacer esperar a los operarios por más de 10 minutos para que les sean

entregadas las órdenes de fabricación. Se cuenta con 5 terminales de

computadora, y cada computadora puede procesar y entregar 4 órdenes de

fabricación de ropa en una hora, los operarios llegan con una distribución de

Poisson de 18 operarios por hora. Determine:

a) ¿El gerente de producción tiene razón en publicar esta política de servicio?

b) ¿Qué modificaciones a su centro de operación tendrá que hacer si esta

política no se cumple?

c) ¿Por qué?

9.- El centro de reparaciones de un taller de computadoras, maneja la política de

asignar las máquinas que llegan en forma rotatoria para los 3 técnicos conforme

van llegando, es decir, no se asignan al técnico que este desocupado en turno.

Las llegadas son aleatorias a una tasa de 30 pc por mes, y el servicio de

reparación es de 2 pc por técnico por día, suponga que se trabajan 20 días hábiles

por mes. Determinar:

a) Cuál es el tiempo promedio que una pc permanece en el taller b) Cuantas pc están esperando ser reparadas



c) Si los técnicos se quejan sobre la carga de trabajo de que no es proporcional, que modificaciones sugiere para este caso y en que basa su respuesta.

10.- El almacén de producto terminado de una empresa tiene 3 montacarguistas,

los camiones de carga llegan a una tasa promedio de 90 camiones por hora y se

forman en una sola fila, los montacarguistas pueden atender en promedio 40

camiones por hora cada uno. Calcular:

a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupados los montacarguistas

b) Cuál es el número promedio de camiones esperando su cargamento c) Cuál es el tiempo que un camión utiliza para tener la carga y empezar la

entrega. 11.- Un fabricante está estudiando una propuesta para instalar un dispositivo

automático en una de sus operaciones de producción. Es dispositivo deberá

realizar la operación en exactamente 30 segundos. La tasa de llegadas es de 50

productos por hora y la tasa actual de servicio de la operación manual de un solo

servidor es de 60 por hora. Si el dispositivo cuesta $10,000 dólares, y se producen

1,500 al año, y cada minuto ahorrado por producto de la operación vale $2

dólares, deberá instalarse el nuevo dispositivo.



PROBLEMA RESUELTO. El auto cinema Australia tiene 3 taquillas, los automóviles llegan a una tasa

promedio de 90 autos por hora y se forman en una sola fila, las taquillas pueden

atender en promedio 40 autos por hora cada una.

a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupadas las taquillas

b) Cuál es el número promedio de automovilistas esperando comprar el boleto c) Cuál es el tiempo que un automovilista invierte para ingresar al auto cinema d) Cuál es la probabilidad de que un automovilista tenga que esperar para

comprar el boleto de entrada e) Cuanto tiempo tendrá que esperar un automovilista para estar comprar el

boleto de entrada f) En que cambiaría el modelo de este problema si fueran 3 filas?

ANÁLISIS

Realicemos un diagrama para entender el problema.

SISTEMA = TAQUILLAS DEL AUTO CINEMA

ENTRADA

SALIDA



PROCEDIMIENTO

Una vez realizado el diagrama y entendido el problema, contestaremos algunas

preguntan necesarias para encontrar el modelo y la solución:

Cuantos servidores: 3

Cuantas filas: 1

Modelo a utilizar: Servidores múltiples con una fila

Valor de la tasa de llegadas λ (lamba): 90 autos/hr

Valor de valor de la tasa de servicio µ (miu): 40 autos/hr cada taquilla

Comprobar características del sistema (S*µ≥λ), SI SE CUMPLE se puede

resolver = 3*40≥90

Ahora podemos responder cada pregunta aplicando las fórmulas

correspondientes:

a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupadas las taquillas. La respuesta es P0= probabilidad de que el sistema este vacío

P0= para encontrar este valor en las tablas del anexo, necesitamos calcular

la relación de (λ/µ)= 90/40 = 2.25

Y el número de servidores = 3

Con estos dos valores, nos vamos a la tabla a buscar el valor más próximo

al 2.25.

Estos son los valores de las dos tablas en el anexo, de manera que el más

aproximado a 2.25 y con intersección de 3 (que es el número de servidores;

y está indicado por columna) encontramos que es el enmarcado en el

recuadro rojo (buscar lo anterior en las tablas del anexo), es cuestión de

establecer si se aplicará el redondeo o que criterio seguir para determinar

cuál será el valor a elegir entre los dos, ya que el 2.25 no se encuentra

exacto. Así que el valor para P0 en este problema es:



P0= 0.0815 (sin redondeo) y la respuesta es = 0.0815*100= 8.15%

b) Cuál es el número promedio de automovilistas esperando comprar el boleto. Para responder esto, debemos entender cuál de los dos tamaños de fila están buscando; todos los autos en el sistema o solo los que están en espera de obtener el servicio. Como respuesta es; solo los que esperan obtener el servicio Lq

Del formulario tenemos que

Pero para esta fórmula no conocemos el valor de Pso, por lo que debemos calcularlo aunque no lo pregunten, así que:

Pso=

Entonces:

c) Cuál es el tiempo que un automovilista invierte para ingresar al auto cinema De forma similar que el inciso anterior, cuál de los dos tiempos que podemos calcular es el solicitado aquí: el tiempo total Ws

d) Cuál es la probabilidad de que un automovilista tenga que esperar para comprar el boleto de entrada

Si nos preguntan que se tiene que esperar, es porque las taquillas están atendiendo a otros autos por lo tanto están ocupadas, y esto indica Pso, y este valor ya lo calculamos en el inciso b

Pso = 0.61889*100 y la respuesta es 61.88%

e) Cuanto tiempo tendrá que esperar un automovilista para poder comprar el boleto de entrada.



Aquí nos solicitan el tiempo antes del servicio, lo que quiere decir Wq

Estos son los resultados utilizando el software del Winqbs,

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