8/6/2019 Linealidad

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ALGEBRA LINEAL Exmenespropuestos

Dependencia lineal

Se dice que existe dependencia lineal en un conjunto de vectores

cuando alguno de ellos puede ser descrito en funcin de alguno o

varios de ellos.

Una forma de demostrar independencia lineal es la siguiente. Siendo

un conjunto de vectores A = { u1, u2,, un }, se dice que es linealmente

independiente si cumple: C1u1 + C2u2 + + Cnun =0, que implica que

C1 = C2 = Cn = 0 como solucin nica.

La demostracin se realiza de la siguiente manera utilizando el

producto interno:

[0, u1] = [(C1u1 + C2u2+ + Cnun), u1] = C1 (u1, u1) + C2 (u2, u1) + +

Cn (un, u1),

Donde (u1, u1) 0 y (um, u1) = 0 para toda m 1,

Por lo tanto C1 = 0. (Y as sucesivamente para TODAS las Cn)

Si por el contrario, en alguna de Cn se encuentra un valor distinto de

cero, se dice entonces que el conjunto ES LINEALMENTE

DEPENDIENTE.

En el anlisis de sistemas de ecuaciones lineales tiene importancia

relevante, debido a que si las columnas presentan dependencia lineal,

se espera que el sistema de ecuaciones no tenga solucin nica (solopodra tener solucin mltiple o ninguna solucin), con ello se obtiene

valiosa informacin del sistema para cmo afrontarlo.

I