LINEALA - Euskaltel · 3. problema Saltzaile bat azokara joan da laranjak erosten. 500€ ditu eta...

104. orrialdea

1. problema

y – x ≤ 2 adierazteko, adierazi y – x = 2 zuzena. Gero, inekuazioa bi planoer-dietako zeini dagokion erabakitzeko, hartu zuzenetik kanpo dagoen edozeinpuntu eta ikusi bere koordenatuek desberdintza egiaztatzen duten.

Adierazi modu berean honako hauek:

x + 5y ≥ 10 x + 2y ≤ 16 2x + y ≤ 20

105. orrialdea

2. problema

Adierazi baldintza hauek eratzen dutenbarrutia:

y – x ≤ 2; x + 5y ≥ 10;

x + 2y ≤ 16; 2x + y ≤ 20

14. unitatea. Programazio lineala

PROGRAMAZIO LINEALA

4. UNITATEA

2x + y = 20

x + 2y = 16

x + 5y = 10

y –

x = 2

1

1

1

1

1

1

1

1

x + 5y ≥ 10

x + 2y ≤ 16

2

2

2x + y ≤ 20

y – x ≤ 2

3. problema

Saltzaile bat azokara joan da laranjak erosten. 500 € ditu eta furgonetan 700kg sartzen zaizkio.

Azokan, A motako laranjak daude 0,5 €-tan eta B motakoak, 0,8 €-tan. Berak0,58 €-tan saldu ahal izango ditu A motakoak eta 0,9 €-tan B motakoak. Motabakoitzeko zenbat kg laranja erosi beharko ditu ahalik eta irabazi handienaklortzeko.

a) Diru guztia B motako laranjak erosteko erabiltzen badu, zenbat kilo sartu-ko zaizkio oraindik furgonetan?

b) Furgoneta A motako laranjekin betetzen badu, zenbat diru geratuko zaiosobran? Zenbateko irabazia lortuko du?

c) Zein izango da irabazia A motako 400 kg laranja eta B motako 300 kg eros-ten baditu?

a) 500 : 0,8 = 625 kg de naranjas de tipo B puede comprar.

700 – 625 = 75 kg le caben aún en su furgoneta.

b) 700 · 0,5 = 350 € se gasta.

500 – 350 = 150 € le sobran.

Beneficio = 700 · (0,58 – 0,5) = 56 €

c) 400 · (0,58 – 0,5) + 300(0,9 – 0,8) = 62 € de beneficio.

118. orrialdea

PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK

TREBATZEKO

1 Minimizatu ondorengo murrizketak dituen f (x, y) = 2x + 8y funtzioa:

• Representamos las rectas:

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo encuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.

2x + 4y = 8 → x + 2y = 42x – 5y = 0–x + 5y = 5

⎧⎪⎨⎪⎩

x ≥ 0, y ≥ 02x + 4y ≥ 82x – 5y ≤ 0–x + 5y ≤ 5

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


• Representamos la dirección de las rectas z = 2x + 8y, dibujando la que pasa porel origen de coordenadas: 2x + 8y = 0 → x + 4y = 0

• El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:

Punto ( , )

• El mínimo vale f ( , ) = .

2 Maximizatu eta minimizatu ondorengo murrizketak dituen p = x + 2y – 3funtzioa:


y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.

• Representamos la dirección de las rectas p = x + 2y – 3, dibujando la rectax + 2y – 3 = 0:

La restricción 5y ≤ 9 es superflua. La regiónsería la misma sin ella.

• El máximo se alcanza en el punto de inter-sección de las rectas:

Punto ( , )

El máximo es p ( , ) = + – 3 =

• No hay mínimo.

–139

89

23

49

23

49

23

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x = —–

34

y = —9

⎧⎪⎨⎪⎩

2x – 3y = 02

x = —3

2x – 3y = 05y = 9

3x = 2

⎧⎪⎨⎪⎩

2x – 3y ≥ 05y ≤ 93x ≤ 2

⎧⎪⎨⎪⎩

1049

89

209

89

209

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

20x = —–

98

y = —9

⎧⎨⎩

x + 2y = 42x – 5y = 0


x + 4y = 0

x + 2y = 4

–x + 5y = 5

2x – 5y = 0

1 2 3 4 5

1

2

x + 2y – 3 = 0

1 2

1

2y = —9

5

x = —23

2x –

3y = 0

3 Maximizatu ondorengo murrizketak dituen z = 3x + 4y funtzioa:


y obtenemos la región que cumple las condiciones del problema.

• Representamos la dirección de las rectas z = 3x + 4y, dibujando la recta 3x + 4y = 0:

La restricción x + y ≥ 0 es superflua.La región sería la misma sin ella.

• No hay máximo. La función 3x + 4yse puede hacer tan grande como sequiera en el recinto propuesto.

4 3x + y ≥ 5, x – 2y ≤ 0, x ≥ 0 eta y ≥ 0 inekuazioek zehazten duten eskualdean,aurkitu zein puntutan lortzen duen balio minimoa f (x, y) = 2x + 4y funtzioak.Maximoa ere eskualde horretan lor dezake?


y hallamos la región que cumple lascondiciones del problema, teniendo encuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.

• Representamos la dirección de las rectasz = 2x + 4y, dibujando la que pasa porel origen de coordenadas:

2x + 4y = 0 → x + 2y = 0

3x + y = 5x – 2y = 0

⎧⎨⎩

2x + 3y = 362x + 2y = 28 → x + y = 148x + 2y = 32 → 4x + y = 16x + y = 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x + 3y ≥ 362x + 2y ≥ 288x + 2y ≥ 32x + y ≥ 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


11

x + y = 0

x + y = 143x + 4y = 0

4x + y = 16

2x + 3y = 36

1

2x + 4y = 0

3x + y = 5

x – 2y =

0

1

• El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas.

Punto ( , )• No hay máximo. La función 2x + 4y se puede hacer tan grande como se quiera

en el recinto propuesto.

5 Kalkulatu barrutiko zein puntuk egiten duten minimo edo

maximo z = 2x + y funtzioa. Zenbat soluzio daude?

• Representamos las rectas

y obtenemos la región que cumple las restriccio-nes dadas.

• Representamos la dirección de las rectasz = 2x + y, dibujando la recta 2x+ y = 0. Estarecta es paralela a 2x + y = 20, que determinauno de los lados del recinto:

• Hay infinitos puntos que hacen mínima la fun-ción: todos los que están sobre el segmento derecta y = 20 – 2x con 0 ≤ x ≤ 10.

• El máximo se alcanza en el punto de intersec-ción de las rectas:

Punto (20, 20)

6 Maximizatu eta minimizatu egin daiteke ondorengo murrizketak dituen z = x+ y + 1 funtzioa?


y obtenemos el recinto que cumple las restricciones del problema.

3x + 4y – 13 = 02x – 3y – 3 = 05x – y – 27 = 0

⎧⎪⎨⎪⎩

3x + 4y – 13 ≥ 02x – 3y – 3 ≤ 05x – y – 27 ≤ 0

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎨⎩

x = 20y = 20

⎧⎨⎩

2x – y = 20y = 20

2x + y = 202x – y = 20

y = 20y = 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x + y ≥ 202x – y ≤ 200 ≤ y ≤ 20

⎧⎪⎨⎪⎩

57

107

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

10x = —–

75

y = —7

⎧⎨⎩

3x + y = 5x – 2y = 0


468

10

2x + y = 20

2x + y = 0

2x –

y =

20

2 4 6 8

y = 20

y = 0

2

• Representamos la dirección de las rectas

z = x + y + 1,

dibujando la recta x + y + 1 = 0.

• No existe máximo ni mínimo.

7 2x + y = 18, 2x + 3y = 26 eta x + y = 16 zuzenek binaka ebakitzen dute elkar Ttriangeluko erpinak diren hiru puntuetan. S da T triangeluak lehen koadran-tearekin duen ebakidura. Aurkitu z = 5x + 3y funtzioaren maximoa x eta yaldatu egiten direnean S-n.


y obtenemos el triángulo T, y la re-gión S.

• Representamos la dirección de las rectasz = 5x + 3y, dibujando la recta:

5x + 3y = 0

• El máximo se alcanza en el punto decorte de x + y = 16 con el eje X; esdecir, en el punto (16, 0).

• El máximo vale z = 5 · 16 + 3 · 0 = 80

8 Irudikatu murrizketa hauek betetzen dituen barrutia:

a) Aurkitu F (x, y) = x + y helburu funtzioa maximo eta minimo egiten du-ten barruti horretako puntuak.

b) Barruti beraren gainean, aurkitu G (x, y) = 5x + y funtzioaren maximoaeta minimoa.

x ≥ 0y – x + 1 ≥ 0y – 4 ≤ 0y + 2x – 5 ≤ 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x + y = 182x + 3y = 26x + y = 16

⎧⎪⎨⎪⎩


3x + 4y = 13

2x –

3y = 3

5x –

y =

27

11

x + y + 1 = 0

2x + 3y = 26

2

2

5x + 3y = 0

x + y = 16

2x + y = 18



y obtenemos el recinto que cumple lascondiciones del problema.

• Representamos la dirección de las rectasz = x + y, dibujando la recta x + y = 0.

• Representamos la dirección de las rectasz = 5x + y, dibujando la recta 5x + y = 0.

a) • F (x, y) alcanza el máximo en el punto de intersección de las rectas:

Punto ( , 4)• F (x, y) alcanza el mínimo en el punto de corte con el eje Y de la recta

y – x + 1 = 0, es decir, en el punto (0, –1).

b) • G (x, y) alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas:

Punto (2, 1)

El máximo vale G (2, 1) = 5 · 2 + 1 = 11

• G (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, –1).

El mínimo vale G (0, –1) = –1.

9 (0, 0), (2, 8) eta (10, 3) erpinak dituen triangelua daukagu. Zehaztu:

a) Triangeluaren zein puntutan lortuko duen f (x, y) = –4x + y + 9 funtzioakmaximoa.

b) Triangeluaren zein puntutan lortuko duen f (x, y) = 4x + y + 12 funtzioakmaximoa.

Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice (o en un lado). Calculamos elvalor de la función dada en cada uno de los vértices:

a) f (x, y) = –4x + y + 9

Hay infinitos puntos que hacen máxima la función:todos los puntos del lado que une los vértices (0, 0)y (2, 8).

⎧⎪⎨⎪⎩

f (0, 0) = 9f (2, 8) = 9f (10, 3) = –28

⎧⎨⎩

x = 2y = 1

⎧⎨⎩

y – x + 1 = 0y + 2x – 5 = 0

12

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1x = —

2

y = 4

⎧⎨⎩

y + 2x – 5 = 0y = 4

x = 0y – x + 1 = 0y – 4 = 0y + 2x – 5 = 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y + 2x – 5 = 0

x + y = 0

y –

x + 1 = 0

5x + y =

0

y = 4

x = 0

1

1

S

b) f (x, y) = 4x + y + 12

La función alcanza el máximo en el punto (10, 3).

EBAZTEKO

10 Ikasle batek propaganda banatzen du etxerik etxe denbora librean. A en-presak 0,05 € ordaintzen dio banatzen duen foileto bakoitzeko eta B enpre-sak 0,07 €, baina bere foiletoak handiagoak dira. Ikasleak bi poltsa daramat-za: bata A motako foiletoentzat, guztira 120 sartzen dira; bestea Bmotakoentzat, guztira 100 sartzen dira. Egunean, gehienez, 150 foileto banatuditzakeela kalkulatu du.

Mota bakoitzeko zenbat foileto banatu behar ditu eguneko irabazia maxi-moa izateko?

• Llamamos x al n-º de impresos de tipo A e y al n-º de impresos de tipo B.

• Las restricciones son:

• La función que nos da el beneficio es f (x, y) = 0,05x + 0,07y. Tenemos que ma-ximizar f (x, y), sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restricciones y la recta0,05x + 0,07y = 0 → 5x + 7y = 0, que nos da ladirección de las rectas z = 0,05x + 0,07y.


Por tanto, habrá de repartir 50 impresos de tipo Ay 100 de tipo B. El beneficio será de:

f (50, 100) = 0,05 · 50 + 0,07 · 100 = 9,5 €

11 Ardo industria batek ardoa eta ozpina produzitzen ditu. Ardo produkzioa-ren bikoitza, ozpin produkzioa gehi lau unitateren berdina edo txikiagoa dabeti. Horrez gain, ozpin produkzioaren hirukoitza gehi lau aldiz ardo pro-dukzioa, 18 unitate baino txikiagoa edo berdina da beti.

Aurkitu produktu bakoitzeko zenbat unitate produzitu behar diren irabazimaximoa lortzeko, ardo unitateak 8 €-ko irabazia eta ozpin unitateak 2 €-koalortzen duela jakinda.

x = 50y = 100

⎧⎨⎩

x + y = 150y = 100

⎧⎪⎨⎪⎩

0 ≤ x ≤ 1200 ≤ y ≤ 100x + y ≤ 150

⎧⎪⎨⎪⎩

f (0, 0) = 12f (2, 8) = 28f (10, 3) = 55


5x + 7y = 0

x + y = 150

y = 100

y = 0

x = 0 x = 120

20 40 60 80 100

20406080

100

• Llamamos x a las unidades de vino e y a las de vinagre. Las restricciones son:

• La función que nos da el beneficio es f (x, y) = 8x + 2y. Tenemos que maximizarf (x, y), sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restricciones y larecta 8x + 2y = 0 → 4x + y = 0, que nos da ladirección de las rectas z = 8x + 2y.


Por tanto, hay que producir 3 unidades de vino y2 de vinagre.

119. orrialdea

12 Madril-Paris bidea egiten duen autobusak 100 €-tan ditu erretzaileentzakoeserlekuak eta 60 €-tan erretzaile ez direnentzakoak.

Erretzailea ez denari 50 kg-ko pisua eramaten uzten zaio eta erretzaileari, 20 kg.

Autobusak 90 leku baditu eta guztira 3 000 kg hartzen baditu, zein izango dakonpainiaren eskaintza irabazi maximoak lortzeko?

• Llamamos x al n-º de plazas para fumadores e y al n-º de plazas para no fuma-dores.

• Las restricciones del problema son:

• Tenemos que maximizar la función:

f (x, y) = 100x + 60y, sujeta a las restriccionesanteriores.

• Representamos el recinto de restricciones y la recta100x + 60y = 0 → 5x + 3y = 0, que nos da ladirección de las rectas z = 100x + 60y:

• El máximo se alcanza en el punto (90, 0).

Por tanto, deben ofrecer 90 plazas para fumadoresy ninguna para no fumadores, para obtener el má-ximo beneficio.

x ≥ 0; y ≥ 0x + y ≤ 9020x + 50y ≤ 3000 → 2x + 5y ≤ 300

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎨⎩

x = 3y = 2

⎧⎨⎩

2x = y + 43y + 4x = 18

⎧⎪⎨⎪⎩

x ≥ 0; y ≥ 02x ≤ y + 43y + 4x ≤ 18


2x =

y +

4

3y + 4x = 18

1

1

8x + 2y = 0

2x + 5y = 300

20 40 60 80

20

40

60

80

5x + 3y = 0

100

100x + y = 90

13 Pertsona batek 100 000 € inbertitu nahi ditu bi akzio motatan, A eta B. Amotakoak arriskutsuagoak dira, baina %10eko irabazia produzitzen dute. Bmotakoak seguruagoak dira, baina %7 nominala bakarrik produzitzen dute.

A motako akzioetan, gehienez, 60 000 € eta B motakoetan gutxienez 20 000 €inbertitzea erabaki du. Horrez gainera, A-n inbertitutakoa, gutxienez, B-n in-bertitutakoaren berdina izatea nahi du.

Nola inbertitu behar ditu 100 000 € horiek urteko irabazia maximoa izateko?

• Llamamos x al dinero invertido en acciones de tipo A (en decenas de miles de eu-ros) e y al dinero invertido en acciones de tipo B (en decenas de miles de euros).


• La función que nos da el beneficio anual es: f (x, y) = 0,1x + 0,07y. Tenemos quemaximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restricciones, y la recta0,1x + 0,07y = 0 → 10x + 7y = 0, que nos da ladirección de las rectas z = 0,1x + 0,07y.


Por tanto, debe invertir 60 000 € en acciones de ti-po A y 40 000 € en acciones de tipo B.

14 Dendari bat azokara joan da, laranjak erosteko 500 € daramatzala. Bi laran-ja mota eskaini dizkiote: A motakoak, kiloa 0,5 €-tan eta B motakoak, ki-loa 0,8 €-tan.

Furgonetan, gehienez, 700 kg laranja eramateko lekua dauka eta A motakolaranjak 0,58 €-tan eta B motakoak 0,9 €-tan saltzeko asmoa dauka.

Aurkitu mota bakoitzeko zenbat kilo laranja erosi behar dituen irabazi ma-ximoa lortzeko?

• Llamamos x a los kg de naranjas del tipo A e y a los kg de naranjas del tipo B.


x ≥ 0; y ≥ 0x + y ≤ 7000,5x + 0,8y ≤ 500 → 5x + 8y ≤ 5000

⎧⎪⎨⎪⎩

x = 6y = 4

⎧⎨⎩

x + y = 10x = 6

x + y ≤ 100 ≤ x ≤ 6y ≥ 2x ≥ y

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


1

1

10x + 7y = 0

x + y = 10

x =

yx = 0 x = 6

y = 2

• La función que nos da el beneficio es f (x, y) = 0,08 + 0,1y. Tenemos que maxi-mizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restriccio-nes, y la recta 0,08x + 0,1y = 0 →→ 8x + 10y = 0 → 4x + 5y = 0, quenos da la dirección de las rectasz = 0,08x + 0,1y.

• El máximo se alcanza en el punto deintersección de las rectas:

Por tanto, deberá comprar 200 kg de na-ranjas del tipo A y 500 kg del tipo B.

15 Jostun batek kotoizko oihal baten m2 eta artilezko oihal baten m2 ditu.

Gizonezkoentzako traje bat egiteko, kotoizko 1 m2 eta artilezko 3 m2 beharditu, eta andrezkoentzako pitxi bat egiteko, tela bakoitzeko 2 m2 behar ditu.

Kalkulatu zenbat traje eta pitxi egin behar dituen jostunak irabaziak maxi-mizatzeko, trajeak eta pitxiak prezio berean saltzen dituela jakinda.

• Llamamos x al número de trajes e yal número de vestidos. Resumamos enuna tabla la información:


• Si llamamos k al beneficio obtenido por la venta de un traje o de un vestido, lafunción que nos da el beneficio total es f (x, y) = k (x + y). Tenemos que maxi-mizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restriccionesy la recta k (x + y) = 0 → x + y = 0,que nos da la dirección de las rectasz = k (x + y).

• El máximo se alcanza en el punto de in-tersección de las rectas:

Por tanto, debe confeccionar 20 trajes y 30vestidos.

x = 20y = 30

⎧⎨⎩

3x + 2y = 120x + 2y = 80

x ≥ 0; y ≥ 0x + 2y ≤ 803x + 2y ≤ 120

⎧⎪⎨⎪⎩

x = 200y = 500

⎧⎨⎩

x + y = 7005x + 8y = 5 000


200 400 600 800 1000

200

400

600

800

4x + 5y = 0

5x + 8y = 5 000

x + y = 700

20 40 60 80

20

40

60

3x + 2y = 120

x + 2y = 80

x + y = 0

N-º ALGODÓN LANA

TRAJE x x 3x

VESTIDO y 2y 2y

TOTAL x + 2y 3x + 2y

16 Olio marka ezezagun bat, D, promozionatu nahi da marka ezagun bat, C,erabiliz. Horretarako, eskaintza hau asmatu dute:

“C olioa 2,5 € ordaindu eta D olioa 1,25 € bakarrik, guztira 6 litro edo gehia-go erosten badituzu eta erositako C olio kopurua erositako D olio kopuru er-diaren eta bikoitzaren artekoa bada”.

Gehienez, 31,25 € ditugu.

a) Adierazi grafiko batean eskaintza hori zein modutan onar dezakegun.

b) Eskaintza onartzen badugu, D olioaren zein kantitate erosi behar dugu,gutxienez? Eta gehienez eros dezakegun C olio kantitatea?

• Llamamos x al n-º de litros de aceite D, e y al n-º de litros de aceite C.


x ≥ 0; y ≥ 0

x + y ≥ 6

≤ y ≤ 2x

2,5y + 1,25x ≤ 21,25 → 2y + x ≤ 17

x, y enteros

a) Representamos gráficamente el recinto:

Hay 20 puntos en el recinto (20modos de acogernos a la oferta).

b) La mínima cantidad de D son 2 litros y la máxima de C son 8 litros.

17 Bitaminei dagokienez, egunerako baldintza minimo batzuk beteko dituen die-ta bat egin nahi dugu ganaduarentzat: 2 mg A bitamina, 3 mg B bitamina, 30mg C bitamina eta 2 mg D bitamina.

Horretarako, bi motatako pentsuak nahasiko ditugu: P eta Q. Pentsu bienprezioa kilo bakoitzeko 0,30 € da eta kiloko bitamina kopurua, miligramo-tan, ondorengo hau:

Nola nahasi behar dira pentsuak gastua minimoa izateko?

x2


1

1

ACEITE C

ACEITE D

2x + y = 17

y =

2x

x + y = 6

y = —x2

A B C D

P 1 1 20 2

Q 1 3 7,5 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

• Llamamos x al pienso de tipo P (en kg) e y al de tipo Q (en kg). Las res-tricciones son las siguientes:

• La función que nos da el gasto es: f (x, y) = 0,3x + 0,3y = 0,3(x + y). Tenemosque minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restriccio-nes, y la recta

0,3(x, y) = 0 → x + y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 0,3(x + y).

• Como la recta x + y = 0 es paralela ax + y = 2, el mínimo se alcanza encualquier punto de la recta x + y = 2comprendido entre A y B. Hallamoslas coordenadas de A y de B:

A: Punto de corte de las rectas:

A ( , )B: Punto de corte de las rectas:

B ( , )

18 Pastelgile batek T1 eta T2 motako tartak egiten ditu eta A, B, C osagaiak era-biltzen ditu bietarako. A osagaiaren 150 kg, B-ren 90 kg eta C-ren 150 kg di-tu. T1 motako tartak egiteko, A-ren 1 kg, B-ren 1 kg eta C-ren 2 kg nahasi be-har ditu. T2 motako tartak egiteko, A-ren 5 kg, B-ren 2 kg eta C-ren 1 kg.

a) T1 tartak 10 €-tan eta T2 tartak 23 €-tan saltzen baditu, mota bakoitzekozenbat egin behar ditu diru sarrerak maximoak izateko?

b) T1 motako tarta baten prezioa 15 € bada, zein izango da T2 motako tar-ta baten prezioa, soluzio optimo bat T1 motako 60 tarta eta T2 motako15 egitea bada?

• Llamamos x al n-º de tartas de tipo T1 e y al n-º de tartas de tipo T2.

12

32

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3x = —–

21

y = —2

⎧⎨⎩

x + y = 2x + 3y = 3

45

65

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

6x = —–

54

y = —5

⎧⎨⎩

x + y = 28x + 3y = 12

x + y ≥ 2x + 3y ≥ 320x + 7,5y ≥ 30 → 8x + 3y ≥ 122x ≥ 2 → x ≥ 1y ≥ 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

8x + 3y = 12

x + 3y = 3

x + y = 0

x + y = 2

x = 1

AB


a) • La función que nos da los ingresos es f (x, y) = 10x + 23y. Tenemos que ma-ximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restricciones, y larecta 10x + 23y = 0, que nos da la direcciónde las rectas z = 10x + 23y:


Por tanto, deben fabricarse 50 tartas de tipo T1y 20 tartas de tipo T2.

b) • Si llamamos k al precio de la tarta de tipo T2, los ingresos vendrían dadospor la función g (x, y) = 15x + ky.

• Si la función g (x, y) alcanza el máximo en el punto (60, 15), que no es unvértice, será porque hay infinitas soluciones y la recta 15x + ky = 0 será para-lela a x + 2y = 90. Por tanto:

= – → k = 30

Por tanto, el precio de una tarta del tipo T2 será de 30 €.

120. orrialdea

19 Fabrika batek jakak eta prakak egiten ditu. Produkzioan, hiru makina era-biltzen dira: ebakitzekoa, jostekoa eta tindatzekoa.

Jaka bat egiteko, ebakitzeko makina ordubetean, jostekoa hiru orduan etatindatzekoa ordubetean erabili behar da. Prakak egiteko, ebakitzekoa eta jos-tekoa ordubetean erabili behar dira eta tindatzekoa ez da erabili behar. Tin-datzeko makina hiru orduan erabil daiteke, jostekoa hamabi orduan eta eba-kitzekoa zazpi orduan.

Egiten den guztia saltzen da eta lortutako irabaziak jaka bakoitzeko zortzieuro eta praka bakoitzeko bost euro dira.

Nola erabiliko ditugu makinak irabazi maximoa lortzeko?

12

–15k

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1515x + ky = 0 → pendiente = – —–

k1

x + 2y = 90 → pendiente = – —2

x = 50y = 20

⎧⎨⎩

x + 5y = 150x + 2y = 90

x ≥ 0; y ≥ 0x + 5y ≤ 150x + 2y ≤ 902x + y ≤ 150

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


50

100

10x + 23y = 0

x + 2y = 90x + 5y = 150

2x + y = 15050

100

• Llamamos x al n-º de chaquetas e y al n-º de pantalones.


x, y enteros

• La función que nos da el beneficio es f (x, y) = 8x + 5y. Tenemos que maximizaresta función sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el conjunto de restricciones y larecta 8x + 5y = 0, que nos da la dirección delas rectas z = 8x + 5y:

• El máximo se alcanza en el punto (2, 5). Por tan-to, han de fabricarse 2 chaquetas y 5 pantalones.

20 Abeltzain batek A bitaminaren 4 mg eta B bitaminaren 6 mg eman behar diegutxienez abereei pentsutan. Horretarako, bi pentsu ditu, P1 eta P2. Pentsuonbitamina edukia kilogramoko, honako hau da:

P1 pentsuaren kilogramoak 0,4 € balio badu eta P2 pentsuarenak 0,6 €, zelannahasi behar dira pentsuak bitamina kopuru egokia kostu minimoarekineman ahal izateko?

• Llamamos x a los kg de pienso P1 e y a los kg de pienso P2.


• La función que nos da el coste es f (x, y) = 0,4x + 0,6y. Tenemos que minimizaresta función, sujeta a las restricciones anteriores.

x ≥ 0, y ≥ 02x + 4y ≥ 4 → x + 2y ≥ 26x + 3y ≥ 6 → 2x + y ≥ 2

⎧⎪⎨⎪⎩

x ≥ 0, y ≥ 0x ≤ 3x + y ≤ 73x + y ≤ 12

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


1

8x + 5y = 0

3x + y = 12

1

x + y = 7

x = 3

A B

P1 2 6

P2 4 3

S

• Representamos el conjunto de restriccio-nes y la recta

0,4x + 0,6y = 0 → 2x + 3y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 0,4x + 0,6y.

• El mínimo se alcanza en el punto deintersección de las rectas:

Por tanto, se deben mezclar kg de pienso P1 con kg de pienso P2.

21 Auto tailer batean, planta berria jarriko dute argiketariek eta mekanikarieklan egin dezaten.

Merkatuaren beharrizanei erantzuteko, mekanikariak argiketariak bainogehiago edo adina izan behar dira, baina mekaniko kopuruak ez du argike-tari kopuruaren bikoitza baino handiagoa izan behar. Guztira, 30 argiketarieta 20 mekanikari daude aukeran.

Enpresaren irabazia, egun bakoitzeko, 150 € da argiketari bakoitzeko eta120 € mekanikari bakoitzeko.

Mota bakoitzeko zenbat langile aukeratu behar dira irabazi maximoaklortzeko?

• Llamamos x al n-º de electricistas e y al de mecánicos.


• La función que nos da el beneficio es:

f (x, y) = 150x + 120y

Tenemos que maximizar esta función,sujeta a las restricciones anteriores.


150x + 120y = 0 → 5x + 4y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 150x + 120y.

x ≥ 0, y ≥ 0; x ≤ 30; y ≤ 20y ≥ xy ≤ 2xx, y enteros

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

23

23

2x = —

32

y = —3

⎧⎨⎩

2x + y = 2x + 2y = 2


1 2 3 4 5

2x + 3y = 0

2x + y = 2

1

2

3

4

5

x + 2y = 2

10 20 30 40 50 60

5x + 4y = 0

10

20

30

40

50

60

y =

2x

y = 20

y =

x

x = 30

S

• Solo hay 4 puntos en el conjunto de restricciones: (0, 0), (10, 10), (10, 20) y(20, 20). El máximo se alcanza en el punto (20, 20). Por tanto, deben elegirse 20electricistas y 20 mecánicos.

22 Gozotegi batean, oso ezagunak dira tarta mota bi: inperiala eta limazkoa.

Inperiala egiteko, kilo erdi azukre eta 8 arrautza behar dira eta 8 € balio di-tu.

Limazko tarta egiteko, 1 kilo azukre eta 8 arrautza behar dira eta 10 € balioditu.

Biltegian, 10 kilo azukre eta 120 arrautza bakarrik geratzen zaizkie.

a) Zelako tarta konbinazioa egin dezakete?

Planteatu problema eta adierazi grafiko batean soluzioen multzoa.

b)Tarta bakoitzeko zenbat unitate egin behar dituzte diru sarrera maximoaklortzeko?

a) • Llamamos x al n-º de tartas de tipo Imperial e y al n-º de tartas de Lima.


• La función que nos da los ingresos por ventas es f (x, y) = 8x + 10y. Tendre-mos que maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 10y = 0 → 4x + 5y = 0,que nos da la dirección de las rectas z = 8x + 10y:

(Puntos de coordenadas enterasdentro de este recinto)

b) El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:

Por tanto, han de fabricar 10 tartas Imperiales y 5 de Lima.

x = 10y = 5

⎧⎨⎩

x + y = 15x + 2y = 20

x ≥ 0, y ≥ 0; x, y enteros0,5x + y ≤ 10 → x + 2y ≤ 208x + 8y ≤ 120 → x + y ≤ 15

⎧⎪⎨⎪⎩


5 10 15 20

8x + 10y = 0

5

10

15

20

x + y = 15

x + 2y = 20

S

23 Urregile batek bi bitxi mota egiten ditu.

A motako unitatea egiteko, 1 g urre eta 1,5 g zilar behar dira eta 25 €-tansaltzen da.

B motakoa 30 €-tan saltzen da eta 1,5 g urre eta 1 g zilar behar dira egiteko.

Metal bakoitzeko 750 g baino ez baditu, mota bakoitzeko zenbat bitxi eginbehar ditu irabazi maximoak lortzeko?

• Llamamos x al n-º de unidades de tipo A e y al n-º de unidades de tipo B.


• La función que tenemos que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es:f (x, y) = 25x + 30y


25x + 30y = 0 → 5x + 6y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 25x + 30y.

• El máximo se alcanza en el punto decorte de las rectas:

Por tanto, ha de fabricar 300 joyas de ca-da uno de los dos tipos.

24 A eta B bi substantziarekin, bakoitzeko 10 unitate gutxienez eduki behar di-tuen nahaste bat egin nahi dugu.

Substantziok bi saltzailek saltzen dizkigute lotean.

Lehenengo saltzailearen lotean, B eta A substantzien edukiak 4tik eta 1erakoerlazioan daude eta A-ko unitate bat dago.

Bigarren saltzailearen lotean, A eta B substantzien edukiak 4tik eta 1erakoerlazioan daude eta B-ko unitate bat dago.

Lehenengo saltzaileak 10 €-tan saltzen du lotea eta bigarrenak, bikoitzean.Saltzaile biek lote osoak edo zatikiak saltzen dizkigute.

Zein lote kopuru erosi behar dugu kostua minimoa izateko?

• Llamamos x a los lotes del primer proveedor e y a los lotes del segundo pro-veedor.

x = 300y = 300

⎧⎨⎩

1,5x + y = 750x + 1,5y = 750

x ≥ 0; y ≥ 0x + 1,5y ≤ 7501,5x + y ≤ 750

⎧⎪⎨⎪⎩


100 200 300 400 500 600 70025x + 30y = 0

100

200

300

400

500

600

x + 1,5y = 750

1,5x + y = 750

S

S


• La función que nos da el coste es f (x, y) = 10x + 20y. Tenemos que minimizaresta función sujeta a las restricciones anteriores.


10x + 20y = 0 → x + 2y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 10x + 20y:

• El mínimo se alcanza en el punto decorte de las rectas:

Por tanto, hemos de comprar 2 lotes decada uno de los dos tipos.

121. orrialdea

25 Albaitari batek dieta minimoa aholkatu dio hegaztiak hazten dituen abeltzainbati. Dietaren osagaiak, 3 unitate burdina eta 4 unitate bitamina dira egune-ko. Abeltzainak badaki arto kilo bakoitzak 2,5 unitate burdina eta 1 unitatebitamina dituela, eta pentsu konposatuaren kilo bakoitzak 1 unitate burdinaeta 2 unitate bitamina. Kilo bat artok 0,3 € eta pentsu konposatuaren kiloak0,52 € balio duela jakinda:

a) Zein da abeltzainaren kostuak minimizatzen dituen eguneko dietarenkonposizioa? Azaldu erantzuna lortzeko bete dituzun urratsak.

b) Emaitza berdina izango litzateke merkatuan gabezia egon eta abeltzainakegunean pentsu konposatuaren kilo 1 bakarrik lortu ahalko balu? Arra-zoitu erantzuna.

a) • Llamamos x al n-º de kg de maíz e y al n-º de kg de pienso.


• La función que nos da el coste es f (x, y) = 0,3x + 0,52y. Tenemos que mini-mizar esta función sujeta a las restricciones anteriores.

x ≥ 0; y ≥ 02,5x + y ≥ 3x + 2y ≥ 4

⎧⎪⎨⎪⎩

x = 2y = 2

⎧⎨⎩

x + 4y = 104x + y = 10

x ≥ 0; y ≥ 0x + 4y ≥ 104x + y ≥ 10

⎧⎪⎨⎪⎩


4x + y = 10

x + 4y = 10

x + 2y = 0

1

1

S

• Representamos el conjunto de res-tricciones y la recta

0,3x + 0,52y = 0 → 15x + 26y = 0,

que nos da la dirección de las rectasz = 0,3x + 0,52y.

• El mínimo se alcanza en el puntode corte de las rectas:

Por tanto, debe utilizar kg de maíz y kg de pienso compuesto.

b) • Si añadimos la restricción y ≤ 1 a las anteriores, el recinto sería:

• El mínimo en este caso se alcanzaría en el punto de corte de:

En este caso, debería utilizar 2 kg de maíz y 1 kg de pienso compuesto.

GALDERA TEORIKOAK

26 Helburu funtzio batek lor dezake bere balio optimoa eskualde egingarriarenbarruko puntu batean? (Hau da, ertzean ez dagoen puntu batean).

x eta y-rentzat balio hamartarrak onartuz gero, gerta daiteke hori?

Sí puede alcanzar su valor óptimo en el interior cuando tratamos con valores enteros.

No puede ocurrir si los valores son decimales.

x = 2y = 1

⎧⎨⎩

x + 2y = 4y = 1

74

12

1x = —

27

y = —4

⎧⎨⎩

x + 2y = 42,5x + y = 3


x + 2y = 4

2,5x + y = 315x + 26y = 0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

x + 2y = 4

2,5x + y = 3

15x + 26y = 01

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8

y = 1

27 Helburu funtzio bat zuzen horizontal baten bidez adieraz daiteke? Eta zuzenbertikal baten bidez?

Sí se puede representar por una recta horizontal, y también por una vertical.

28 z funtzioak maximoa du adierazitako barrutian? Eta mi-nimoa?

No tiene máximo ni mínimo.

29 Problema baten murrizketak adierazten ditugunean,guztiak batera betetzen dituen punturik ez dagoelaikusten dugu (eskualde baliagarria hutsa da). Zer esandezakegu problemaren soluzioari buruz?

La solución no existe, ya que no hay ningún punto que cumpla las restricciones.

SAKONDU

30 Enpresa batek 26 tren makina erosi dizkie hiru fabrikari: 9 A fabrikari, 10B-ri eta 7 C-ri. Makinok bi geltokitan lan egin behar dute: 11k N geltokianeta 15ek S geltokian. Garraio kostuak, makinabakoitzeko, taulan adierazitakoak dira (milakaeurotan):

Aurkitu nola komeni den egitea banaketa, kos-tua minimoa izateko.

• Hacemos una tabla:


(para que todos los datos de la tabla sean positivos o cero)(x, y enteros)

• La función que nos da el coste (en miles de euros) es:

f (x, y) = 6x + 15y + 3(11 – x – y) + 4(9 – x) + 20(10 – y) + 5(x + y – 4) =

= 4x – 3y + 249

Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x ≥ 0; y ≥ 0x + y ≥ 4x + y ≤ 11x ≤ 9y ≤ 10


��

z

A B C

N 6 15 3

S 4 20 5

A B C

N x y 11 – x – y 11

S 9 – x 10 – y x + y – 4 15

9 10 7 26

• Representamos el recinto de restricciones:

(x, y enteros)

Los vértices del recinto son:

A (0, 10) B (1, 10)

C (9, 2) D (9, 0)

E (4, 0) F (0, 4)

• Hallamos f (x, y) en cada uno de los vértices:

f (0, 10) = 219 f (1, 10) = 223

f (9, 2) = 279 f (9, 0) = 285

f (4, 0) = 265 f (0, 4) = 237

• El mínimo se alcanza en el punto A (0, 10).

Por tanto, el reparto debe efectuarse así:

31 Tabako ustiatzaile batek 85 hektarea lur ditu bi tabako mota hazteko: VIRGINIA

eta LANDUA. VIRGINIA barietateak 9 600 €/ha-ko errendimendua dauka; bainabehar hauek ditu: tresnerian, 3 h/ha eta eskulanean, 80 h/ha. Gainera, Esta-tuak ez du haztegi bakoitzeko 30 ha baino gehiago ustiatzen uzten.

LANDUA barietateak 7 500 €/ha-ko errendimendua dauka eta behar hauek:tresnerian, 2 h/ha eta eskulanean, 6 h/ha behar du.

Herriko kooperatibak tresneria erabiltzeko 190 h utzi dizkio, baina eskulana5 420 ordukoa baino ez dago eta 12 €/h ordaindu behar da. Zenbat hektarealandu behar ditu barietate bakoitzarekin?

• Llamamos x a las hectáreas dedicadas a VIRGINIA e y a las dedicadas a PROCESADO.


x ≥ 0; y ≥ 0x ≤ 30x + y ≤ 853x + 2y ≤ 19080x + 60y ≤ 5420 → 4x + 3y ≤ 271

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


A B C

N 0 10 1 11

S 9 0 6 15

9 10 7 26

4

11

4 9 11

x = 9

y = 10AB

C

DE

F

10

x + y = 4

x + y = 11

• La función que nos da el beneficio será igual al rendimiento menos el coste de lamano de obra:

f (x, y) = (9 600x – 960x) + (7 500y – 720y) = 8 640x + 6 780y

Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el recinto de restricciones, y la recta 8 640x + 6 780y = 0 →

→ 144x + 113y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 8 640x + 6 780y:

• Hallamos los puntos A y B, y obtenemos el valor de f(x, y) en cada uno de los dos:

A(16, 69) → f (16, 69) = 606 060

B(28, 53) → f (28, 53) = 601 260

Por tanto, el máximo se alcanza en el punto A; es decir, debe dedicar 16 ha a VIR-GINIA y 69 ha a PROCESADO.

32 Elpidio jaunak erabaki du, gehienez jota, bere ondasunen 30 000 € erabilikodituela bi inbertsio elkarteen akzioak erosteko: BLL eta ISSA.

Akzio bakoitzak 10 € balio du kasu bietan.

BLLk bere jardunaren %35 aseguruen arloan, %45 eraikuntzaren arloan eta%20 industrian darabil.

ISSAk bere baliabideen %30 aseguruen arloan, %25 eraikuntzaren arloan eta%45 industrian darabil.

Elpidio jaunak ez du bere kapitalaren %40 baino gehiago inbertitu nahi in-dustrian, ezta %35 baino gehiago eraikuntzan. Elkarte bakoitzeko zenbatakzio erosi behar ditu, BLLk ematea espero duen dibidendua 1,2 €/akziobada eta ISSAk espero duena 1 €/akzio?

⎧⎨⎩

x = 28y = 53

⎧⎨⎩

4x + 3y = 2713x + 2y = 190

⎧⎨⎩

x = 16y = 69

⎧⎨⎩

x + y = 854x + 3y = 271


4x + 3y = 271

3x + 2y = 190

144x + 113y = 010

20

30

40

50

60

70

80

90

10 20 40 50 60 70 80 90

x = 30

A

B

30

x + y = 85

• Llamamos x al n-º de acciones que adquiere de BLL e y al n-º de acciones queadquiere de ISSA.

• Hagamos una tabla que resuma la información que nos dan:


• La función que nos da los beneficios es f (x, y) = 1,2x + y. Tenemos que maxi-mizarla, sujeta a las restricciones anteriores.

• Representamos el conjunto de restricciones y la recta 1,2x + y = 0, que nos da ladirección de las rectas z = 1,2x + y:

• El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas:

Por tanto, debe adquirir 1 500 acciones de cada una de las dos sociedades.

x = 1 500y = 1 500

⎧⎨⎩

x + y = 30004,5x + 2,5y = 10 500

x ≥ 0, y ≥ 010x + 10y ≤ 30000 → x + y ≤ 30002x + 4,5y ≤ 120004,5x + 2,5y ≤ 10500

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


N-º PRECIO SEGUROS INMOBILIARIA INDUSTRIAL

ACCIONES BBL x 10x 3,5x 4,5x 2x

ACCIONES ISSA y 10y 3y 2,5y 4,5y

TOTAL 10x + 10y 3,5x + 3y 4,5x + 2,5y 2x + 4,5y

1,2x + y = 0

1 000

2 000

3 000

4 000

1000 2000 3000 4000 5000 6000

x + y = 3 000

4,5x + 2,5y = 10500

2x + 4,5y = 12 000

LINEALA - Euskaltel · 3. problema Saltzaile bat azokara joan da laranjak erosten. 500€ ditu eta...

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