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Teor´ ıa de l´ ımites Ejercicios de l´ ımites Ejercicios de ex´ amenes L ´ IMITES PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE MATEM ´ ATICAS PARA LA ECONOM ´ IA: C ´ ALCULO MATEM ´ ATICAS II (ADE) Jos´ e Jaime Noguera Noguera UNED-D ´ ENIA 25 de noviembre de 2020
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Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
LIMITES PARA FUNCIONES DE UNAVARIABLE
MATEMATICAS PARA LA ECONOMIA: CALCULOMATEMATICAS II (ADE)
Jose Jaime Noguera NogueraUNED-DENIA
25 de noviembre de 2020
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Lımite cuando x → x0
Decimos que el lımite de una funcion f (x) cuando x tiende a x0 esL y lo denotamos por
lımx→x0
f (x) = L,
si f (x) ”se acerca” a L cuando x ”se acerca” a x0.La definicion formal es la siguiente:
Definicion de lımite finito cuando x → x0
Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lımx→x0
f (x) = Lsi ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ, entonces|f (x)− L| < ε
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Lımite cuando x → x0
Figura: Definicion de lımite finito.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Lımite cuando x → x0
De la misma manera dicho lımite puede ser infinito, denotandolocomo:
lımx→x0
f (x) = +∞,
Cuya definicion formal es:
Definicion de lımite infinito cuando x → x0
Dada una funcion f definida en (a, b), decimos quelım
x→x0f (x) = +∞ si ∀M > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ,
entonces f (x) > M
Analogamente se puede definir lımx→x0
f (x) = −∞ o lımx→x0
f (x) =∞(engloba los dos casos en ADE).
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Lımite cuando x → x0
Mediante la expresion lımx→x−0
f (x) denotamos el lımite lateral por la
izquierda de x0, que significa a lo que tiende la funcion cuando nosacercamos a f (x) por la izquierda de x0.Tenemos diferentes opciones:
lımx→x−0
f (x) = +∞
lımx→x−0
f (x) = −∞
lımx→x+
0
f (x) = +∞
lımx→x+
0
f (x) = −∞
lımx→x−0
f (x) = L
lımx→x+
0
f (x) = L
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Lımite cuando x → x0
Decimos que el lımite finito en un punto x0 es L si existen amboslımites laterales por la izquierda y por la derecha de x0 y ademasambos son L, es decir:
lımx→x0
f (x) = L⇔ lımx→x−0
f (x) = L = lımx→x+
0
f (x)
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Lımite cuando x →∞
Podemos tambien querer saber a que tiende la funcion cuando la xse hace arbitrariamente grande, esto lo denotamos ası: lım
x→+∞f (x).
Puede ocurrir que sea finito o infinito.
Definicion de lımite finito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lım
x→+∞f (x) = L
si ∀ε > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entonces |f (x)− L| < ε
Definicion de lımite infinito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que
lımx→+∞
f (x) =∞ si ∀M > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entoncesf (x) > M
Analogamente se puede definir para lımx→−∞
f (x) = L,lım
x→∞f (x) = L, lım
x→−∞f (x) =∞, . . .
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Notacion
En ADE se hace distincion entre lımx→+∞
y lımx→∞
entendiendo queeste ultimo engloba a lım
x→−∞y a lım
x→+∞.
Ası, cuando se pide lımx→∞
, hay que estudiar lımx→−∞
y lımx→+∞
.
En ECONOMIA no se hace tal distincion, entendiendo que∞ = +∞.
En lo que sigue, se trabajara como en ECONOMIA.
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Propiedades de los lımitesSi tenemos dos funciones f y g para las que existen los lımites
lımx→x0
f (x) = L, lımx→x0
g(x) = K ,
se cumple que:lım
x→x0[cf (x)] = c · lım
x→x0f (x) = c · L (siendo c ∈ R)
lımx→x0
(f (x)± g(x)) = lımx→x0
f (x)± lımx→x0
g(x) = L± K
lımx→x0
(f (x) · g(x)) = lımx→x0
f (x) · lımx→x0
g(x) = L± K
lımx→x0
f (x)g(x) =
lımx→x0
f (x)
lımx→x0
g(x) = LK (con K 6= 0)
lımx→x0
f (x)g(x) = lımx→x0
f (x)lım
x→x0g(x)
= LK (con L > 0)
lımx→x0
ln f (x) = ln(
lımx→x0
f (x))
= ln L (con L > 0)
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Calculo de lımites
Una primera aproximacion al calculo de lımites es mediante tablas.Se va sustituyendo la x por valores cada vez mas cercamos a x0 yse observa a que tiende f (x). Pero esto no siempre da buenosresultados, y debemos utilizar otros metodos.
Este esquema resume los metodos mas comunes para calcularlımites.
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Ejercicios de lımites
1 lımx→∞
3x2 + 5x − 1 = ∞
2 lımx→∞
3x12 =∞
3 lımx→∞
3x =∞
4 lımx→∞
(12
)x= 0
5 lımx→∞
log3 x5
x = 0
6 lımx→∞
x1000
2x = 0
7 lımx→∞
x1000
xx = 0
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Ejercicios de lımites
8 lımx→∞
x5 − 3x2 + 7−2x3 − 5x + 1 = −∞
9 lımx→∞
3x5 − 3x2 + 77x2 − 5x4 + 1 = −∞
10 lımx→∞
3x5 − 3x2 + 77x5 − 5x4 + 1 = 3
7
11 lımx→∞
3 3√x9 +√
x√x8 + 5x2
= lımx→∞
3 · x 93 + x 1
2
x 82 + 5x2
= 0
12 lımx→∞
3 3√x5 − 3x3
3x + 5√x6' lım
x→∞3 3√x5
5√x6=∞. Mas rigurosamente:
= lımx→∞
3 3√x5−3x3
x53
3x+ 5√x6
x53
= lımx→∞
3 3√
x5
x5 − 3 x3
x5
3x
x53
+ 5√
x6
x5·53
= lımx→∞
33
√���
1
x5
x5 − 3���
0
x3
x5
���7
03x
x53
+5
√���7
0
x6
x253
= 30 =∞
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Ejercicios de lımites
13 lımx→∞
6√
x5 − 4x3 4√16x10 + 7x
' lımx→∞
6√
x5
3 4√16x10= lım
x→∞6x 5
2
3 4√16 · x 104
= 1
14 lımx→∞
x5 − 2x6 − 53x2 + 1 =∞−∞ = lım
x→∞x5︸︷︷︸
orden 5
− 2x6 − 53x2 + 1︸ ︷︷ ︸
orden 6−2=3
=∞
15 lımx→∞
x3
2x + 4− 3x4
x2 + 1 =∞−∞ = lımx→∞
x3
2x︸︷︷︸orden 2
+ 4− 3x4
x2 + 1︸ ︷︷ ︸orden 2
=
lımx→∞
x3(x2 + 1) + 2x(4− 3x4)2x(x2 + 1) = lım
x→∞
−5x5 + x3 + 8x2x3 + 2x = −∞
16 lımx→∞
√5x + 3−
√2x =∞−∞ = lım
x→∞
√5x + 3︸ ︷︷ ︸
orden 12
−√
2x︸ ︷︷ ︸orden 1
2
=
lımx→∞
(√
5x + 3−√
2x)(√
5x + 3 +√
2x)√5x + 3 +
√2x
=
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Ejercicios de lımites
16 lımx→∞
((√
5x + 3)2 − (√
2x)2)
√5x + 3 +
√2x
= lımx→∞
3x + 3√5x + 3 +
√2x
=∞
17 lımx→∞
(x2 + 71 + x2
) x2+1x
= 1∞ =
elım
x→∞
(x2 + 71 + x2 − 1
)·(
x2 + 1x
)= e
lımx→∞
6x = e0 = 1
18 lımx→−∞
√2x2 + x + x = lım
x→∞
√2(−x)2 + (−x) + (−x) =
lımx→∞
√2x2 − x − x = ∞−∞ = lım
x→∞
√2x2 − x︸ ︷︷ ︸orden 1
− x︸︷︷︸orden 1
=
lımx→∞
(√
2x2 − x − x) · (√
2x2 − x + x)√2x2 − x + x
= lımx→∞
x2 − x√2x2 − x + x
=∞
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Ejercicios de lımites
19 lımx→−∞
3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = lım
x→∞3(−x)3 − 5(−x)2 + 8
4(−x)2 + 7
lımx→∞
−3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = −∞
20 lımx→∞
(−2x5 + 3xx2 − 5x5
) x3+2x2
=(2
5
)∞= 0
21 lımx→∞
sin xx2 = lım
x→∞1x2 · sin x = 0 (teorema 0 por acotada)
22 lımx→2
2x3 − 53x + 1 = 2 · 23 − 5
3 · 2 + 1 = 117
23 lımx→2
x3
2x − 4 = 80 = ±∞. Hay que estudiar lımites laterales:
lımx→2−
x3
2x − 4 = −∞
lımx→2+
x3
2x − 4 = +∞
lımx→2
x3
2x − 4 =∞︸ ︷︷ ︸ADE
ECONOMIA︷ ︸︸ ︷lımx→2
x3
2x − 4 = ±∞
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Ejercicios de lımites
24 lımx→2
x2 − 2xx2 − x − 2 = 0
0 = lımx→2
x(x − 2)(x + 1)(x − 2) = lım
x→2
x(x + 1) = 2
3
25 lımx→3
x2 − 6x + 9x3 − 4x2 + x + 6 = 0
0 = lımx→3
(x − 3)2
(x + 1)(x − 2)(x − 3)lımx→3
x − 3(x + 1)(x − 2) = 0
26 lımx→5
√x2 − 3x − 10
3√x − 5= 0
0 = lımx→5
6
√(x2 − 3x − 10)3
(x − 5)2
lımx→5
6
√((x + 2)(x − 5))3
(x − 5)2 = lımx→5
6√
(x + 2)3(x − 5) = 0
27 lımx→2
1− cos(x2 − 4)x2 − 4 = 1 (Porque lım
x→2x2 − 4 = 0)
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Ejercicios de lımites de examenes de ADE
1 lımx→∞
senxx [2017/18, semana 2, P 131-Ej-33]
2 lımx→0|x | [2016/17, semana 1, P 110, ejemplo 7]
3 lımx→0
f (x), siendo f (x) =
1 si x < 0
|x |x + e− 1
x si x ≥ 0[2015/16,
semana 1, P 157, ejemplo 10]
4 lımx→0
(1x −
1senx
)5 lım
x→∞
√x2 + 3x − x [2015/16, semana 2, P 132]
6 lımx→0
f (x), siendo f (x) ={
x + 1 si x ≥ 0x2 + 1 si x < 0 [Reserva
2014/15]
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Ejercicios de examenes
Ejercicios de lımites de examenes de ADE
8 lımx→∞
√x2 + 3x − x3x+√
x2+12−x
[2013/14, Semana 2, P 131, 132, 116 d]
9 lımx→1
|x − 1|x − 1 [2013/14, septiembre, P 154]
10 lımx→−1
( 21− x2 −
11 + x
)[2013/14, septiembre, P 194]
11 lımx→∞
900(1− e−0,3x ) [2012/13, P 146]
12 lımx→∞
(1 + 5
x
)x+2[2011/12, semana 2]
13 lımx→3
x − 3√
x −√
3[2011/12, septiembre]
