Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE

CIENCIAS E INGENIERÍA

E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]

Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938

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TEMA: Límites, continuidades y derivadas de dimensiones superiores SEMANA: 10

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II

LÍMITES, CONTINUIDADES Y DERIVADAS EN DIMENSIONES SUPERIORES

Límites para funciones de dos variables

Si valores de f (x, y) son arbitrariamente cercanos a un número real fijo L para todos los puntos (x, y) suficientemente

cercanos a un punto (𝑥0, 𝑦0), decimos que f tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0). Esto es similar a la

definición informal de límite de una función de una sola variable. Sin embargo, observe que si (𝑥0, 𝑦0)está en el interior

del dominio de f, (x, y) se puede acercar a (𝑥0, 𝑦0) desde cualquier dirección. Para que el límite exista, se debe obtener

el mismo valor límite desde cualquier dirección de aproximación. Ilustramos este hecho con varios ejemplos después

de la definición.

Definición.- Decimos que una función f (x, y) tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0), y escribimos

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x yf

si para cada número 휀 > 0, existe un número correspondiente 𝛿 > 0 tal que para todo (x, y) en

el dominio de f , (x,y) Lf siempre

que 2 2

0 00 (x x ) (y y ) .

En la definición de límite, d es el radio de un

disco con centro en (𝑥0, 𝑦0). Para todos los

puntos (x, y) dentro de este disco, los valores

de la función f (x, y) se encuentran dentro del

intervalo correspondiente ⟨𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀⟩.

Propiedades de los límites de funciones de dos variables

Las siguientes reglas se cumplen si L, M y k son números reales y

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x yf

y

0 0( , ) (x ,y )lim g(x,y)

x yM

Regla de la suma

0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de la resta

0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de la multiplicación por una constante

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x ykf k

(Para cualquier número k)

Regla del producto

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0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de del cociente

0 0( , ) (x ,y )

(x,y)lim , 0

g(x,y)x y

f LM

M

Regla de la potencia

0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y) Ln n

x yf

, n es entero positivo

Regla de la raíz

0 0

1

( , ) (x ,y )lim (x,y) Ln nn

x yf L

, n es entero positivo, y n es par. Suponemos que 𝐿 > 0

Ejemplo 01: Compruebe que el siguiente límite no existe

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝒚

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

Solución

El dominio de esta función es D = R2 – {(0,0)}. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias

diferentes de acercamiento al punto (0,0).

∎ Sobre el eje 𝑋 (𝒚 = 𝟎) cada punto es de la forma (x, 0) y el límite en esta dirección es:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = 𝑥(0)

𝑥2+(0)2 =0

𝑥2 = 0

∎ Sobre la trayectoria 𝒚 = 𝒙 cada punto es de la forma (𝑥, 𝑥) y el límite en esta dirección es

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑥)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = 𝑥(𝑥)

𝑥2+(𝑥)2 =𝑥2

𝑥2+𝑥2 =𝑥2

2𝑥2 =1

2

Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen puntos (𝑥, 𝑦) en los cuales f vale 1/2 y

0. Luego f no puede tener límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).

Ejemplo 02. Compruebe que: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦2 = 0

Solución

La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite dé cero a través de

muchas trayectorias esto no demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.

Sea 휀 > 0, queremos encontrar un 𝛿 > 0 tal que

|3x2y

x2+y2 − 0| < 휀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿









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Es decir:

3x2|y|

x2+y2 < 휀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Como:

𝑥2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 1

x2+ y2 ≤1

x2 3x2|y|

x2+y2 ≤3x2|y|

x2 = 3|𝑦| = 3√𝑦2 ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2

Por consiguiente, si elegimos a δ =ε

3 , entonces

|3x2y

x2 + y2 − 0| ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝛿 = 3 (휀

3) = 휀

Por consiguiente, por la definición:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦2 = 0

Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto

(1) |𝐚. 𝐛| = |𝐚|. |𝐛|

(2) |𝐚

𝐛| =

|𝐚|

|𝐛|

(3) |𝐚 + 𝐛| ≤ |𝐚| + |𝐛|

(4) |𝒂 − 𝒃| ≥ |𝒂| − |𝒃|

Ejemplo 03. Usar la definición de límite para demostrar que 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏

Solución

El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún disco abierto que tenga centro en el

punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3). Como 2𝑥 + 3𝑦 está definida en cada punto (x, y), entonces cualquier disco

abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que para cualquier 휀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal

que:

Si 0< √(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿, entonces |𝐟(𝐱, 𝐲) − 𝐋| = |𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 휀

De la desigualdad,

|𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟏| = |𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒚 − 𝟗| ≤ 𝟐|𝒙 − 𝟏| + |𝒚 − 𝟑|

Debido que:

|𝑥 − 1| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 y |𝑦 − 3| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2

Se deduce que:

Si0 < √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 < 𝛿 entonces 2|𝑥 − 1| + 3|𝑦 − 3| < 2𝛿 + 3𝛿









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Esta proposición muestra que una elección adecuada para 𝛅 es 5𝜹 = 𝜺, esto es, 𝜹 =𝟏

𝟓𝜺. Con esta 𝛅 se tiene el argumento

siguiente:

0< √(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿 |𝒙 − 𝟏| < 𝛿 y |𝒚 − 𝟑| < 𝛿

2|𝒙 − 𝟏| + 𝟑|𝒚 − 𝟑| < 5𝛿 |𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒚 − 𝟑)| < 5 (𝟏

𝟓𝜺)

|𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 휀

De este modo, se ha probado que para cualquier 𝜺 > 0 se elige 𝛿 =1

5휀 a fin de que la proposición 0 <

√(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿, entonces |(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) − 𝟏𝟏| < 휀

Sea verdadera. Esto demuestra que:

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏

Ejemplo 04. Calcule el límite siguiente: lim(𝑥,𝑦)→(1,0)

𝑥+𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Solución

Evaluando da: 1+0

(1)2+02 = 1


𝑥−𝑦

𝑥3− 𝑦3

Solución

Evaluando dá: 1−1

(1)3−13 =0

0 la cual es una indeterminación, entonces factorizando el denominador, recordando que:

A3 - B3 = (A – B)(A2 + AB + B2), luego:

lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥−𝑦

𝑥3− 𝑦3 = lim(𝑋,𝑌)→(1,1)

𝑥−𝑦

(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

1

𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 =1

(1)2 + (1)(1)+ (1)2 =1

1 + 1 + 1=

1

3


𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦

Solución

Evaluando dá: 4 − 4

√4 − √4=

0

0 la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(4,4)

𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦 = lim

(𝑥,𝑦)→(4,4)

𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦

√𝑥 + √𝑦

√𝑥 + √𝑦= lim

(𝑥,𝑦)→(4,4)

(𝑥 – 𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

(𝑥 − 𝑦) =

= lim(𝑥,𝑦)→(4,4)

(√𝑥 + √𝑦)= √4 + √4 = 2 + 2 = 4









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𝑥𝑦

√𝑥2+ 𝑦2

Solución

Sean (r,𝜃) las coordenadas polares del punto (x, y) y sean (r, θ, z) las coordenadas cilíndricas del punto (x, y, z). Entonces

debemos tener presente que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas:

Polares Cilíndricas

𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 x = ρ. sen∅. cosθ 𝜌2 = x2 + y2 + z2

𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 y = ρ. sen∅. senθ

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 z = ρ. cos∅

Evaluando da: (0)(0)

√(0)2+(0)2=

0

0 la cual es una indeterminación, luego usando coordenadas polares, cuando (x,y)→(0,0)

entonces r→ 𝟎, luego el

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

√𝑥2+ 𝑦2 = lim

𝑟→0

(𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑟= lim

𝑟→0𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =0

Pues, |𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃| ≤ 1 para cualquier valor de 𝜃.

Ejemplo 08. Estudie la existencia del siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2

Solución

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen 𝒚 = 𝒎𝒙, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥3(𝑚𝑥)

𝑥6 + (𝑚𝑥)2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥3(𝑚𝑥)

𝑥2(𝑥4 + 𝑚2)

=𝑚(0)

(0)4 +𝑚2 =0

𝑚2 = 0

∎ Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥3(𝑥2)

𝑥6 + (𝑥2)2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥5

𝑥4(𝑥2 + 1)=

0

(0)2 + 1=

0

1= 0

∎ Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las rectas y la parábola que pasan por el origen

son una infinidad de trayectorias. Pero observe que al usar la trayectoria y = x3, obtenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥3)→(0,0)

𝑥3(𝑥3)

𝑥6 + (𝑥3)2 = lim(𝑥,𝑥2)

𝑥6

2𝑥6 =1

2

Por tanto, el límite no existe.

Ejemplo 09. Calcule el siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4−𝑦4

𝑥2 + 𝑦2









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Solución

Evaluando da: (0)4−(0)4

(0)2+(0)2 =0

0 la cual es una indeterminación, entonces factorizando el numerador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4−𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2−𝑦2)(𝑥2+𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2 − 𝑦2)= (o)2 - (0)2 = 0

Ejemplo 10. Calcule el siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦

Solución

Evaluando dá: (0)2−(0)(0)

√0 − √0=

0

0 la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦= lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦 √𝑥+√𝑦

√𝑥+√𝑦 = lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(𝑥− 𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

𝑥 − 𝑦=

= lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(√𝑥 + √𝑦) = (0)(√0 + √0) = 0

Ejemplo 11. Aplicando la definición de límite, demostrar que: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 = 0

Solución

Para cualquier 휀 > 0 existe un𝛿 > 0 tal que:

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 휀 Siempre que 0< √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿, o sea

|4xy2

x2+y2 − 0| < 휀 Siempre que 0< √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿

|4xy2

x2+y2| < 휀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

4|x|y2

x2+y2 < 휀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Desde 𝑦2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 tenemos que:

4|x|y2

x2 + y2 ≤ 4|x| = 4√x2 ≤ 4√x2 + y2

Si escogemos 𝛿 = 휀4⁄ y deje 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿, obtendremos que:

|4xy2

x2 + y2 − 0| ≤ 4√x2 + y2 < 4𝛿 = 4 (휀

4) = 휀

Esto demuestra que:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 = 0









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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 =𝟏

𝟑 2) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

3) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏)

𝒙𝒚 − 𝟏

𝟏 + 𝒙𝒚= 𝟎 4) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 = 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆

5) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒚𝒛𝟐 + 𝒙𝒛𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 6) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛

√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐= 𝟎

7) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒌,𝟎)

𝒙𝟐.𝒔𝒆𝒏(𝒚

𝒌)

𝒚 (Trabajo) 8) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙+𝒚)

𝒚

9) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒆𝒙𝒚 − 𝟏

𝒙 (Trabajo) 10) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏

11) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝟑 + 𝒚𝟑

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎 12) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐= 𝟎 13) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) = 𝟎

14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el límite. (Sugerencia: tomar:

x = ρ. sen∅. cosθ

y = ρ. sen∅. senθ

z = ρ. cos∅

𝜌2 = x2 + y2 + z2

Observar que (x, y, z)→(0, 0, 0) es equivalente a 𝜌 → 0+)

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚𝒛

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟎

Continuidad Como en las funciones de una variable, la continuidad se define en términos de límites.

DEFINICIÓN Una función f (x, y) es continua en el punto (𝑥0, 𝑦0) si

1. ƒ está definida en (𝑥0, 𝑦0).

2. 0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y)x y

f

existe,

3. 0 0

0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y) f(x ,y )x y

f

Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

Ejemplo 01. Determine si la función g es continua en (0, 0), si

4 2 2 4

2 2

2 2(x, y) (0,0)

(x, y)

2 (x, y) 0,0

g

si

x x y ysi

x y









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Solución

(i) 𝒈(𝟎, 𝟎) = 𝟐. Por tanto, se cumple la primera condición.

(ii) Veremos si lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4+2𝑥2+2𝑦2+𝑦4

𝑥2+𝑦2 , evaluando da: 0 0⁄

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2(𝑚𝑥)2 + (𝑚𝑥)4

𝑥2 + (𝑚𝑥)2 =

= lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑚2𝑥2 + 𝑚4𝑥4

𝑥2 + 𝑚2𝑥2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥2(𝑥2 + 2 + 2𝑚2 + 𝑚4𝑥2)

𝑥2(1 + 𝑚2)=

=(0)2 + 2 + 2𝑚2 + 𝑚4(0)2

(1 + 𝑚2)=

2 + 2𝑚2

1 + 𝑚2 =2(1 + 𝑚2)

1 + 𝑚2 = 2


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2(𝑥2)2 + (𝑥2)4

𝑥2 + (𝑥2)2 =

= lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥2(𝑥2 + 2 + 2𝑥2 + 𝑥6)

𝑥2(1 + 𝑥2)= lim

(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥2 + 2 + 2𝑥2 + 𝑥6

1 + 𝑥2 =(0)2 + 2 + 2(0)2 + (0)6

1 + (0)2 =2

1= 2

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 2

(𝑖𝑖𝑖) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(0,0) = 2

Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que cumple con las tres condiciones de continuidad.

Ejemplo 02. Determine si la función h es continua en (0, 0), si

2 2(x, y) (0,0)

h(x, y)

0 (x, y) 0,0s

xysi

i

x y

Solución

(i) 𝒉(𝟎, 𝟎) = 𝟎. Por tanto, se cumple la primera condición.

(ii) Veremos si lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

ℎ(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2, evaluando da: 0 0⁄









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∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2= lim

(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥(𝑚𝑥)

𝑥2 + (𝑚𝑥)2= lim

(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑚𝑥2

𝑥2(1 + 𝑚2)=

= lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑚

(1+𝑚2)=

𝑚

(1+𝑚2), ya podemos concluir que el limite no existe porque el limite quedo en función de m, sin

embargo vamos a usar otra trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥(𝑥2)

𝑥2 + (𝑥2)2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥(𝑥2)

𝑥2(1 + 𝑥2)=

= lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥

1 + 𝑥2 =0

1 + (0)2 =0

1= 0

Luego, el 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒉(𝒙, 𝒚) 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛

Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)

𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, entonces se dice

que f tiene una discontinuidad removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de modo que:

𝒇(𝒂, 𝒃) = 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)

𝒇(𝒙, 𝒚)

Entonces la nueva función es continua en (a, b). Si una discontinuidad no es removible, entonces de denomina

discontinuidad esencial.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Analizar la continuidad de la función siguiente:

𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)

𝟏 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)

2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a que 𝑓(0, 0) no existe. Determine si la

discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible redefina 𝑓(0, 0) de modo que la nueva función

sea continua en (0,0).

(2.1) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

(2.2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦). 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

𝑥2 + 𝑦2) 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0

(2.3) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3𝑦2

𝑥6 + 𝑦4 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

(2.4) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3−4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0









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Derivadas parciales de una función de varias variables

El cálculo de varias variables es como el cálculo de una

variable aplicado a cada una de las variables. Cuando

mantenemos constantes todas las variables independientes de

una función, excepto una, y derivamos con respecto a esa

variable, obtenemos una derivada “parcial”. Esta sección

muestra cómo se definen e interpretan geométricamente las

derivadas parciales y cómo calcularlas aplicando las reglas

de derivación para funciones de una sola variable. La idea de

derivabilidad de funciones de varias variables requiere algo

más que la existencia de las derivadas parciales, pero

veremos que las funciones derivables de varias variables se

comportan del mismo modo que las funciones derivables de

una variable.

Derivadas parciales de una función de dos variables

Si 0 0(x , y ) es un punto en el dominio de una función f (x, y),

el plano vertical 𝑦 = 𝑦0 cortará la superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)

en la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) (figura). Esta curva es la gráfica

de la función 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) en el plano 𝑦 = 𝑦0 . La

coordenada horizontal en este plano es x; la coordenada

vertical es z. El valor de y se mantiene constante en 𝑦0, de manera que y no es una variable.

Definimos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto 0 0(x , y ) como la derivada ordinaria de f (x, 𝑦0) con

respecto a x en el punto 𝑥 = 𝑥0 . Para

distinguir las derivadas parciales de las

ordinarias usamos el símbolo 0 en vez de la

d usada previamente. En la definición, h

representa un número real, positivo o

negativo.

DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x,

y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es

0 0

0 0 0 0

0( , )

( , ) ( , )lim ,h

x y

f x h y f x ydf

dx h

si el límite existe.

DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x,

y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es

0 0

0 0 0 0

0( , )

( , ) ( , )lim ,h

x y

f x y x y hdf

dy h

si el

límite existe.

La pendiente de la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥0, 𝑦) en

el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0)) del plano

vertical 𝑥 = 𝑥0 es la derivada parcial de f









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con respecto a y en (𝑥0, 𝑦0). La recta tangente a la curva en P es la recta en el plano 𝑥 = 𝑥0 que pasa por P con esta

pendiente. La derivada parcial proporciona la tasa de cambio de f con respecto a y en (𝑥0, 𝑦0) cuando x se mantiene fija

en el valor 𝑥0.

La derivada parcial con respecto a y se representa del mismo modo que la derivada parcial con respecto a x:

0 0( , )f

x yy

,

0 0( , )yf x y , yf ,

dy

dx

Observe que ahora tenemos dos rectas tangentes asociadas a la superficie

𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0))

Notaciones de derivadas parciales: Si definimos a la función yxfz , se puede denotar:

La derivada parcial de f respecto de x: fDyxfxx

fyxff xxx

,,

La derivada parcial de f respecto de y: fDyxfyy

fyxff yyy

,,

Ejemplo. El plano 𝑥 = 1 corta al paraboloide 2 2z x y en

una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la

parábola en (1, 2, 5)

Solución

La pendiente es el valor de la derivada parcial dz

dy en (1, 2):

2 2

(2,1)

(1,2) (1,2)

2 2(2) 4.z

x y yy y

Para verificar, podemos considerar a la parábola como la

gráfica de una función de una sola variable 2 2 2z (1) 1y y en el plano 𝑥 = 1 y calcular la

pendiente en 𝑦 = 2. La pendiente, calculada ahora como una

derivada ordinaria, es

2 2

2

2 2

1 2 4.y

y y

zy y

y y

Funciones de más de dos variables. Las definiciones de las derivadas parciales de funciones de más de dos variables

independientes son similares a las definiciones para funciones de dos variables. Son derivadas ordinarias con respecto

a una variable, la cual se calcula mientras las demás variables independientes se mantienen constantes.

Ejemplo 01: Si x, y y z son variables independientes y (x,y,z) xsen(y 3z),f entonces

(y 3z) (y 3z)f

xsen x senz z z

⇒ xcos(y 3 ) (y 3z) 3xcos(y 3z).z

z









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Ejemplo 02: Si tres resistencias de R1, R2 y R3 ohms se

conectan en paralelo para obtener una resistencia de R

ohms, se puede obtener el valor de R con la ecuación

1 2 3

1 1 1 1

R R R R Determine el valor de

2

R

R

cuando

1 2 330, 45 90 .R R y R ohms

Solución

Para obtener 2

R

R

, consideramos a R1 y R3 como

constantes y, usando la derivación implícita, derivamos

ambos lados de la ecuación con respecto a R2:

2 2 1 2 3

1 1 1 1R

R R R R R R

⇒

2 2

2 2

1 10 0

R R R

⇒

22

2

2 2 2

R R R

R R R

Cuando 1 2 330, 45 90 ,R R y R ohms

1 1 1 1 3 2 1 6 1,

30 45 90 90 90 15R

de manera que

𝑅 = 15 y

2 2

2

15 1 1.

45 3 9

R

R

Por lo tanto, en los valores dados, un pequeño cambio en la resistencia R2 trae consigo un cambio en R con un tamaño

cercano a 1 y 9.

Reglas para hallar derivadas parciales

Para hallar xf considere a la letra y como constante y derive yxf , con respecto a x.

Para hallar yf considere a la letra x como constante y derive yxf , con respecto a y.

Ejemplo 1: Si f(x, y)= x3 + x2y3 + 2 y2, hallar las expresiones de xf y yf .

Solución:

Hallamos primeramente xf , hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene: 32 23, xyxyxfx

Ahora se halla yf , hacemos x constante, al derivar respecto a y se obtiene:

yyxyxf y 43, 22

Bien, si además piden evaluar esas derivadas parciales en el punto 1,2 .Se hace:

16122231,232xf

8141231,222

yf









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Ejemplo 2: Si

y

xsenyxf

1, , hallar las expresiones de

y

fy

x

f

.

Solución:

Recordando usar la regla de la cadena para las funciones de una variable se tiene:

yy

x

y

x

xy

x

x

f

1

1

1cos

11cos

Con respecto de y se tiene:

211cos

11cos

y

x

y

x

y

x

yy

x

y

f

Ejercicios Propuestos

1. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función.

a. yx

yxyxf

, b.

y

xyxyxf 2, c. 22ln, yxxyxf

2. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función en el punto indicado.

yxeyxf y 3, , evalúe en el punto (1, 0)

yxyxf 32, , evalúe en el punto (2, 4)

xysenyxf , , evalúe en el punto (3, 3)

22 2, yxyxyxf , evalúe en el punto (0, 1)

x

ysen

eyxf , , evalúe en el punto (1, 1)

yxseneyxf , , evalúe en el punto (1, 1)

22, yxyxf , evalúe en el punto (2, -1)

3. Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función .xyz e

4. Sea 2ln(x y).z Comprobar que ,xy yxz z en los puntos donde esta igualdad tenga sentido.

5. Probar que la función y

z arctgx

satisface la ecuación de Laplace 0.xx yyz z

6. Calcular las derivadas parciales de:

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 3𝑦

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 4𝑦2 − 7𝑥 + 8𝑦









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Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas 7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3 – 5𝑥𝑦 + 𝑦2, respecto a x en el punto (1, -2)

8. 2 2

(x, y) ,xy

fx y

respecto a y en el punto (2, -1)

9. 3 33(x,y)f x y , respecto a x en el punto (1, 1)

10. ,xyz ye respecto a y en el punto (0, 1)

11. Si 2 3 ,z x y demuestre que 3 2 0x yz z

12. Si ,

y

xz e demuestre que 0x yxz yz

13. Si 2 ,

y

xz x e

demuestre que 2x yxz yz z

14. Si 3 3y ,z x demuestre que 3x yxz yz z

15. Si ,xyz ye demuestre que xy

x yxz yz e

16. Si ,y

zy x

demuestre que

2

y x

xxz yz

x y

Bibliografía LARSON. HOSTETLER. Cálculo y geometría analítica. Tercera edición. McGRAW-WILL (Stewart, Cálculo de varias variables conceptos y contextos, 2010) Venero, A. (2012). Análisis matemático III Transformaciones Integrales múltiples y de superficie. Lima: Gemar. Referencias https://ingejoel . j imdo.com/c%C3%A1lculo -vectorial/ https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo

https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html www.migueltarazonagiraldo.com

https://www.youtube.com/watch?v=Cq4ihtKd7So



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https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo

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http://www.migueltarazonagiraldo.com/

https://www.youtube.com/watch?v=Cq4ihtKd7So

Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores

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