Ctedra: CLCULO I

Alumna: QUISPE ARANA, JhselinCatedrtico: Lic. Julio R. ngeles VsquezTEMA: Lmites

AO:

LMITES

INTRODUCCINEl concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el lmite es el valor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmero determinado o al infinito.

Definicin de lmite:Antes de establecer la definicin formal del lmite de una funcin en general vamos a observar qu sucede con una funcin particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f (x):

xf (x)Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms cerca est x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es ms pequea asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez ms pequea. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima tambin a un valor constante.

1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.12.61

2.9601

2.996001

2.99960001

3.00040001

3.004001

3.0401

3.41

Teoremas de lmitesPara facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a la definicin Epsiln-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Nota: los teoremas se presentan sin demostracin, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vnculo correspondiente.Teorema de lmite 1:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite 2:Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite 3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite 4:

Teorema de lmite 5:

Teorema de lmite 6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema de lmite 7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite 8:

Procedimiento para calcular lmitesSi es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la funcin de tal modo que, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la divisin por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la conjugada, etc.

Lmite de funciones. Clculo

Propiedades.

Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe lmite en un punto o en el infinito. Entonces:

En general calcular el lmite de una funcin "normal", cuando x tiende a un nmero real, es fcil, basta aplicar las reglas de clculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.

No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la funcin no est definida para el valor en el que queremos calcular el lmite . Esta situacin, es habitual, cuando el lmite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.

Una funcin no est definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:

En cada caso, el lmite en el punto en que la funcin no est determinada, depender de los valores que la funcin tome, en las proximidades de dicho punto.

Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los mtodos que se indican sirven de gua en casos parecidos.

La funcin no est determinada para x = 1, la razn es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la funcin, existe algn factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el lmite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra funcin , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestin.

En este caso concreto, el punto es : x = 1.

La nueva funcin permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminacin, que son los que permiten calcular el lmite. En el caso concreto que nos ocupa, sera:

Cuando x crece indefinidamente, esta funcin es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, tambin lo har :

puesto que sera la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminacin. Sacando factor comn se transforma esta expresin en otra equivalente:

que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, tambin crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.

Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fraccin no cambia, sigue que:

Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la funcin :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :

Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, est claro que:

Veamos ahora otra indeterminacin de este tipo, pero algo ms complicada:

Como en este caso no se puede sacar factor comn, para eliminar la indeterminacin, multiplicamos y dividimos la expresin por su conjugado. El conjugado de una expresin, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, ser: