Cálculo Diferencial e Integal I

Curso de Matemática

Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

Limites Infinitos

Para discutir limite infinito, consideremos o seguinte limite

lim𝑥→0

1

𝑥2

Observe que para

𝑥 = 0,5 → 1

(0,5)2=

1

0,25= 4

𝑥 = −0,5 → 1

(−0,5)2=

1

0,25= 4

𝑥 = 0,25 → 1

(0,25)2=

1

0,0625= 16

𝑥 = −0,25 → 1

(−0,25)2=

1

0,0625= 16

𝑥 = 0,01 temos 1

(0,01)2=

1

0,0001= 10.000

𝑥 = 0,001 temos 1

(0,001)2=

1

0,000001= 1.000.000

Limites Infinitos

A medida que 𝑥 se aproxima de 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), 𝑥2 também se aproxima de 0 (por valores positivos)

e desta forma 1

𝑥2 fica muito grande.

Assim, os valores de 𝑓(𝑥) não tendem a um número 𝑎 e

portanto não existe lim𝑥→0

1

𝑥2.

Limites Infinitos

Para indicar esse comportamento, usamos a notação lim𝑥→0

1

𝑥2 = ∞

Alguns outros casos:

FIGURAS

A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada de assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Limites Infinitos

Exemplos: Calcule os limites.

1) lim𝑥→0

1

𝑥3

2) lim𝑥→3+

𝑥2+𝑥+2

𝑥2−2𝑥−3

Exercício: Calcule os limites e encontre as assíntotas verticais.

1) lim𝑥→3−

𝑥2+𝑥+2

𝑥2−2𝑥−3

2) lim𝑥→3

5

𝑥−3 2

Limites no Infinito

Para discutir limite no infinito, consideremos o seguinte limite

lim𝑥→∞

1

𝑥2

Observe que para

𝑥 = 10 temos 1

102=

1

100= 0,01

𝑥 = 100 temos 1

1002=

1

10.000= 0,0001

𝑥 = 1.000 temos 1

1.00002=

1

1.000.000= 0,000001

Se 𝑟 > 0 for um número racional então

lim𝑥→∞

1

𝑥𝑟 = 0 e lim𝑥→−∞

1

𝑥𝑟 = 0

Limites no Infinito

Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.

Exemplo: lim𝑥→∞

3𝑥2−𝑥−2

5𝑥2+4𝑥+1

Limites no Infinito

Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.

Exemplo: lim𝑥→∞

3𝑥2−𝑥−2

5𝑥2+4𝑥+1

Limites no Infinito

A reta 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota horizontal.

Limites no Infinito

Exercício: Calcule os limites no infinito

1) lim𝑥→∞

2𝑥2

𝑥2+1

2) lim𝑥→∞

4𝑥−3

2𝑥+5

3) lim𝑥→−∞

2𝑥2−𝑥+5

4𝑥3−1

Limites Trigonométricos

Antes de prosseguirmos, lembremos de algumas identidades trigonométricas.

Algumas Identidades Fundamentais:

• sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1

• 1 + tg2 𝜃 = sec2 𝑥

• tg 𝜃 =sen 𝜃

cos 𝜃

• cotg 𝜃 =1

tg 𝜃

• sec 𝜃 =1

cos 𝜃

• cossec 𝜃 =1

sen 𝜃

Limites Trigonométricos

Primeiro Limite Fundamental

lim𝑥→0

sen 𝑥

𝑥= 1

Demonstração: Faremos juntos em sala de aula

A partir do primeiro limite fundamental e utilizando algumas identidades trigonométricas podemos calcular muitos outros limites trigonométricos.

Vejamos alguns exemplos:

a) lim𝑥→0

sec 𝑥−1

𝑥2 sec 𝑥

b) lim𝑥→0

tg 𝑥

𝑥

c) lim𝑥→0

sen 3𝑥

𝑥

Limites Trigonométricos

Teorema:

lim𝑥→0

1 − cos 𝑥

𝑥= 0

Demonstração: Faremos juntos em sala de aula

Exemplo:

lim𝑥→0

1 − cos 𝑥

sen 𝑥

Definição precisa de um limite

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1

Quando 𝑥 está próximo de 1, mas não é 1,

𝑓 𝑥 está próximo de 2, então

lim𝑥→1 𝑓 𝑥 = 2

Agora pensemos na seguinte pergunta:

Quão próximo de 𝟏 deverá estar 𝒙 para que 𝒇(𝒙) difira de 2 por menos que 𝟎, 𝟏?

Definição precisa de um limite

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1

• A distância de 𝑥 a 1 é |𝑥 − 1|

• A distância de 𝑓 𝑥 a 2 é |𝑓 𝑥 − 2|

Assim precisamos encontrar um número 𝜹 (delta) tal que

𝒇 𝒙 − 𝟐 < 𝟏 se 𝒙 − 𝟏 < 𝜹 mas 𝒙 ≠ 𝟏

Definição precisa de um limite

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1

Observe que se

𝑥 − 1 < 0,1 então 𝑓 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1 − 2| = |𝑥 − 1| < 0,1

ou seja,

𝑓 𝑥 − 2 < 0,1 se 𝑥 − 1 < 0,1

Assim uma resposta para o problema é dada por 𝜹 = 𝟎, 𝟏, isto é, para que 𝒇(𝒙) tenha uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟐, 𝒙 precisa estar com uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟏.

Definição precisa de um limite

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1

Observe que se

𝑥 − 1 < 0,1 então 𝑓 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1 − 2| = |𝑥 − 1| < 0,1

ou seja,

𝑓 𝑥 − 2 < 0,1 se 𝑥 − 1 < 0,1

Assim uma resposta para o problema é dada por 𝜹 = 𝟎, 𝟏, isto é, para que 𝒇(𝒙) tenha uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟐, 𝒙 precisa estar com uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟏.

Definição precisa de um limite

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1

Para que 2 seja precisamente o limite

de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende a 1, devemos

não apenas ser capazes de tornar de tornar a diferença entre 𝑓 𝑥 e 2 menor que 0,1, mas sim menor que qualquer número positivo 휀 (épsilon).

Desta ideia temos definição precisa de limite.

Definição precisa de um limite

Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto contendo o número 𝑎, exceto possivelmente no próprio 𝑎. Então dizemos que o limite de 𝒇 𝒙 quando 𝒙 tende a 𝒂 é 𝑳, e escrevemos

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

se para todo 휀 > 0 existir um número 𝛿 > 0 tal que

se 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 então 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Definição precisa de um limite

Exemplos: Prove que

1) lim𝑥→3

4𝑥 − 5 = 7

2) lim𝑥→2

4𝑥2−11𝑥+6

𝑥−2= 5

3) lim𝑥→3

2𝑥 − 1 = 5

Continuidade de uma função

Continuidade de uma função

Definição: Uma função é contínua em um número 𝑎 se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições:

i) 𝑓(𝑎) está definida;

ii) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) existe;

iii) lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)

Exemplo:

1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2−𝑥−2

𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2

1 𝑠𝑒 𝑥 = 2 é contínua em 2?

2) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1

Continuidade de uma função

Teorema: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas em 𝑎. Então são válidas as seguintes afirmações:

i) 𝑓 + 𝑔 é contínua em 𝑎.

ii) 𝑓 − 𝑔 é contínua em 𝑎.

iii) 𝑓 ∙ 𝑔 é contínua em 𝑎.

iv) 𝑓

𝑔 é contínua me 𝑎, com 𝑔 ≠ 0.

Teorema:

a) Uma função polinomial é contínua em qualquer número real

b) Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio.

Continuidade de uma função

Exemplo:

Determine os números nos quais a função a seguir é contínua

𝑓 𝑥 =𝑥3 + 1

𝑥2 − 16