PRACTICA 9: LÍMITE DE FERMAT.

Rectas tangentes en un punto de una función. Se inicia el estudio de los máximos y mínimos de una función que completarán el estudio de su gráfica.

Actividades de la práctica:

1. Para la siguiente función, f(x) = x2, dibuja y obtén la ecuación de la recta tangente a esta función en los puntos siguientes:

Primero obtenemos la derivada de la función: f’(x) = 2x, ahora evaluamos para cada punto:

1) a = -1f(-1) = (-1)2 = 1 ; A(-1,1)f’(-1) = 2(-1) = -2 = m1 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-1 = -2(x+1) de donde;2x + y +1 = 0 ... Ecuación generaly = -2x -1 … Pendiente-ordenada al origen.

Realizando las mismas operaciones para los siguientes incisos;

2) a = 1f(1) = (1)2 = 1 ; B(1,1)f’(1) = 2(1) = 2 = m2 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-1 = 2(x-1) de donde;2x – y - 1 = 0 ... Ecuación generaly = 2x -1 … Pendiente-ordenada al origen.

3) a = -2f(-2) = (-2)2 = 4 ; C(-2,4)f’(-2) = 2(-2) = -4 = m3 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-4 = -4(x+2) de donde;4x + y + 4 = 0 ... Ecuación generaly = -4x - 4 … Pendiente-ordenada al origen.

4) a = 2f(2) = (2)2 = 4 ; D(2,4)f’(2) = 2(2) = 4 = m4 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-4 = 4(x-2) de donde;4x - y - 4 = 0 ... Ecuación general

y = 4x - 4 … Pendiente-ordenada al origen.

5) a = 3f(3) = (3)2 = 9 ; E(3,9)f’(3) = 2(3) = 6 = m5 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-9 = 6(x-3) de donde;6x – y - 9 = 0 ... Ecuación generaly = 6x - 9 … Pendiente-ordenada al origen.

6) a = 0f(0) = (0)2 = 0 ; F(0,0)f’(0) = 2(0) = 0 = m6 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0 = 0(x-0) de donde;y = 0 ... Pendiente-ordenada al origen.

La gráfica de la función y las tangentes en los puntos respectivos se muestran en el siguiente gráfico:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

X

Y

GRAFICA DE LA FUNCIÓN "f(x) = x2" Y RECTAS TANGENTES

FUNCIÓNTANGENTE(a=-1)TANGENTE(a=1)TANGENTE(a=-2)TANGENTE(a=2)TANGENTE(a=3)TANGENTE(a=0)

2. Calcula el límite de Fermat para la misma función y en los mismos puntos de la actividad anterior, donde hallaste la ecuación de la recta tangente. ¿Qué relación observas entre la ecuación de la recta tangente y el valor del límite de Fermat en cada caso?

El límite de Fermat es . Entonces para cada caso tenemos que:

1) a = -1

2) a = 1

3) a = -2

4) a = 2

5) a = 3

6) a = 0

Para todos los casos, el valor del límite de Fermat corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente en el punto indicado.

3. Repite el procedimiento de los puntos 1 y 2 para la función f(x) = x2+2x.

3.1 Primero obtenemos la derivada de la función: f’(x) = 2x+2, ahora evaluamos para cada punto:

1) a = -1f(-1) = (-1)2+2(-1) = 1-2 = -1 ; A(-1,-1)f’(-1) = 2(-1)+2 = -2+2 = 0 = m1 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y+1 = 0(x+1) de donde;y +1 = 0 ... Ecuación generaly = -1 … Pendiente-ordenada al origen.

Realizando las mismas operaciones para los siguientes incisos;

2) a = 1f(1) = (1)2+2(1) = 1+2 = 3 ; B(1,3)

f’(1) = 2(1)+2 = 2+2 = 4 = m2 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-3 = 4(x-1) de donde;4x – y - 1 = 0 ... Ecuación generaly = 4x -1 … Pendiente-ordenada al origen.

3) a = -2f(-2) = (-2)2+2(-2) = 4-4 = 0 ; C(-2,0)f’(-2) = 2(-2) +2= -4+2 = -2 = m3 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0 = -2(x+2) de donde;2x + y + 4 = 0 ... Ecuación generaly = -2x - 4 … Pendiente-ordenada al origen.

4) a = 2f(2) = (2)2+2(2) = 4+4 = 8 ; D(2,8)f’(2) = 2(2)+2 = 4+2 = 6 = m4 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-8 = 6(x-2) de donde;6x - y - 4 = 0 ... Ecuación generaly = 6x - 4 … Pendiente-ordenada al origen.

5) a = 3f(3) = (3)2+2(3) = 9+6 = 15 ; E(3,15)f’(3) = 2(3)+2 = 6+2 = 8 = m5 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-15 = 8(x-3) de donde;8x – y - 9 = 0 ... Ecuación generaly = 8x - 9 … Pendiente-ordenada al origen.

6) a = 0f(0) = (0)2+2(0) = 0 ; C(0,0)f’(0) = 2(0)+2 = 0+2 = 2 = m6 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0 = 2(x-0) de donde;y = 2x ... Pendiente-ordenada al origen.

La gráfica de la función y las tangentes en los puntos respectivos se muestran en el siguiente gráfico:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-50

-40

-30

-20

-10

-10

10

20

30

40

X

Y

GRAFICA DE LA FUNCIÓN "f(x) = x2+2x" Y RECTAS TANGENTES

FUNCIÓNTANGENTE(a=-1)TANGENTE(a=1)TANGENTE(a=-2)TANGENTE(a=2)TANGENTE(a=3)TANGENTE(a=0)

3.2 El límite de Fermat es . Entonces para cada caso tenemos que:

1) a = -1

2) a = 1

3) a = -2

4) a = 2

5) a = 3

6) a = 0

Como se dijo en el punto anterior, para todos los casos el valor del límite de Fermat corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente en el punto indicado.

4. Para las funciones de los puntos 1 y 3, ¿En qué puntos el límite de Fermat vale 0?Para la función f(x) = x2 cuando a = 0Para la función f(x) = x2+2x cuando a = -1

En ambos casos, el valor corresponde a la recta tangente en el vértice de la curva, es decir, una recta horizontal cuya pendiente es igual a cero.

5. Determina el vértice de las parábolas de los puntos 1 y 3 y calcula el límite de Fermat en esos puntos, ¿cómo es allí la recta tangente?

5.1 Considerando la ecuación de una parábola cuyo eje coincide con el eje Y, (x-h)2 = 4p(y-k) y coordenadas del vértice (h,k);

Realizamos una igualdad de términos con la función y = x2, vemos que (x-h)2=x2, (y-k)=y, 4p=1.

Por tanto vemos que las coordenadas (h, k) del vértice son V(0,0)

Límite de Fermat:Con a = 0

La recta tangente es horizontal (pendiente, m, igual a cero)

5.2 Ahora para y = x2+2x; completamos el cuadrado en x:x2+2x+1 = y+1(x+1)2 = y+1De donde (x-h)2=(x+1)2, (y-k)=y+1, 4p=1.Por tanto, las coordenadas (h, k) del vértice son V(-1,-1)

Con a = -1

La recta tangente es horizontal (pendiente, m, igual a cero)

6. Repite el procedimiento del punto 1 para las funciones siguientes:

Calcula la recta tangente, para cada función, en los puntos a = 0; a = -2.4142; a = -1 y a = 0.4142. ¿Qué relación observas entre el valor del límite de Fermat y la ecuación de la recta tangente en los casos correspondientes?

Para :Primero obtenemos la derivada de la función: f’(x) = 3x2, ahora evaluamos para cada punto:

1) a = 0f(0) = (0)3 = 0 ; A(0,0)f’(0) = 3(0)2 = 0= m1 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0 = 0(x-0) de donde;y = 0 … Pendiente-ordenada al origen.

Realizando las mismas operaciones para los siguientes incisos;

2) a = -2.4142f(-2.4142) = (-2.4142)3 = -14.07 ; B(-2.4142,-14.07)f’(-2.4142) = 3(-2.4142)2 = 17.485 = m2 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y+14.07 = 17.485(x+2.4142) de donde;17.485x - y + 28.1422 = 0 ... Ecuación generaly = 17.485x + 28.1422 … Pendiente-ordenada al origen.

3) a = -1f(-1) = (-1)3 = -1 ; C(-1,-1)f’(-1) = 3(-1)2 = 3 = m3 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y+1 = 3(x+1) de donde;3x - y + 2 = 0 ... Ecuación generaly = 3x + 2 … Pendiente-ordenada al origen.

4) a = 0.4142f(0.4142) = (0.4142)3 = 0.7106 ; D(0.4142,0.7106)f’(0.4142) = 3(0.4142)2 = 0.5147 = m4 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0.7176 = 0.5147(x-0.4142) de donde;0.5147x – y + 0.5044 = 0 ... Ecuación generaly = 0.5147x + 0.5044 … Pendiente-ordenada al origen.

La gráfica de la función y las tangentes en los puntos respectivos se muestran en el siguiente gráfico:

-10 -8 -6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 8 10-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

X

YGRAFICA DE LA FUNCIÓN "f(x) = x3" Y RECTAS TANGENTES

FUNCIÓNTANGENTE(a=0)TANGENTE(a=-2.4142)TANGENTE(a=-1)TANGENTE(a=0.4142)

Para :Primero obtenemos la derivada de la función: f’(x) = -3x2+6x-3, ahora evaluamos para cada punto:

1) a = 0 ; A(0,1)

= m1 ; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-1 = -3(x-0) de donde;3x + y - 1 = 0 … Ecuación generaly = -3x + 1 … Pendiente-ordenada al origen.

Realizando las mismas operaciones para los siguientes incisos;

2) a = -2.4142;

B(-2.4142,4.8283)=m2; pendiente de la

recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-4.8283 = -34.9703(x+2.4142) de donde;34.9703x + y + 79.597 = 0 ... Ecuación generaly = -34.9703x - 79.597 … Pendiente-ordenada al origen.

3) a = -1

; C(-1,2)= m3; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-2 = -6(x+1) de donde;6x + y + 4 = 0 ... Ecuación generaly = -6x - 4 … Pendiente-ordenada al origen.

4) a = 0.4142; D(0.4142,0.201)

= m4; pendiente de la recta tangente.

Entonces empleando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta tenemos:y-y1 = m(x-x1)y-0.201 = -1.0295(x-0.4142) de donde;1.0295x + y + 0.2254 = 0 ... Ecuación generaly = -1.0295x - 0.2254 … Pendiente-ordenada al origen.

La gráfica de la función y las tangentes en los puntos respectivos se muestran en el siguiente gráfico:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

X

Y

GRAFICA DE LA FUNCIÓN "f(x) = -x3+3x2-3x+1" Y RECTAS TANGENTES

FUNCIÓNTANGENTE(a=0)TANGENTE(a=-2.4142)TANGENTE(a=-1)TANGENTE(a=0.4142)

A medida que las rectas tangentes se aproximan a la horizontal el valor del límite de Fermat se aproxima a cero.

7. Utiliza el límite de Fermat para hallar los puntos máximos o mínimos de las funciones del punto 3 y 6. ¿Cuánto debe valer este límite para que la recta tangente esté en la cima o en el valle de una función cualquiera?

Para la función f(x) = x2+2x, tenemos que, cuando a = -1 el límite es:

Tenemos entonces un punto mínimo en la función para este valor.* El límite debe “valer” cero para que la recta tangente esté en la cima o en el valle de una función cualquiera

Para la función , tenemos que cuando a = 0 el límite esta dado por:

Tenemos entonces un punto mínimo en la función para este valor.

Para la función ; tenemos que cuando y el

límite es:

Tambien,

Tenemos entonces un punto de inflexión(máximo - mínimo) en la función para estos dos valores.

Tarea:

Calcula los límites de Fermat siguientes:

1) Para la función f(x) = 4x, cuando x0; x-2 y x2

1) x0

2) x-2

3) x2

2) Para la función f(x) = 3x2, cuando x0; x-3 y x31) x0

2) x-3

3) x3

3) Para la función f(x) = 4x2 + 5, cuando x1; x-4 y x51) x1

2) x-4

3) x5

4) Para la función f(x) = 2x3, cuando x2; x-5 y x51) x2

2) x-5

3) x5

5) Para la función f(x) = 6x3 - 1, cuando x1; x-4 y x51) x1

2) x-4

3) x5

6) Para la función f(x) = 5x4, cuando x2; x-5 y x51) 2

2) x-5

3) x5

7) Para la función f(x) = 1/x, cuando x1; x-4 y x01) x1

2) x-4

3) x0

8) Para la función f(x) = x/(x+1), cuando x2; x-1 y x51) x2

2) x-1

3) x5

9) Para la función g(x) = 3x+7, cuando x-2; x01) x-2

2) x0