7/18/2019 Limit Es

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Taller de Reforzamiento Lımite.Calculo I

Defincion: La funcion  f   :  R →  R  tiene lımite  L, en el puntode acumulacion  x0, si y solo si dado   >  0  arbitrario, existeδ > 0  tal que

0  < |x − x0|  < δ ⇒ |f (x) − L|  <

Teoremas sobre lımites

1. Si el lımite de una funcion existe cuando  x  tiende a  x0   ,este es unico.

2. Si  f (x) =  k  (  k  constante), entonces   lımx→x0

f (x) =  k

3. Si   lımx→x0

f (x) =  A  y   lımx→x0

g(x) =  B , entonces

3.1)   lımx→x0

k · f (x) =  k ·   lımx→x0

f (x) =  k · A

3.2)   lımx→x0

[f (x) ± g(x)]

= lımx→x0

f (x) ±   lımx→x0

g(x) =  A ± B

3.3)   lımx→x0[f 

(x

) ·g

(x

)]= lım

x→x0

f (x) ·   lımx→x0

g(x) =  A · B

3.4)   lımx→x0

f (x)

g(x)

 =

lımx→x0

f (x)

lımx→x0

g(x)=

  A

B, B = 0

3.5)   lımx→x0

[f (x)]n =

  lımx→x0

f (x)

n

=  An

3.6)   lımx→x0

n

 f (x) =   n

   lımx→x0

f (x) =  n

√ A

4. Lımite de un polinomio: Si  p(x) es un polinomio y  x0 ∈R , entonces   lım

x→x0

 p(x) =  p(x0)

5. Lımite de una funcion racional: Si  r (x) =  p(x)

q(x)  y x0 ∈

R tal que  x0 = 0  , entonces

lımx→x0

r(x) =  r (a) =  p(a)

q(a)

6. Lımite de funciones compuestas :

lımx→x0

g[f (x)] =  g

  lımx→x0

f (x)

7. Teorema del Sandwich: Si   f (x),   g(x)  y   h(x)   son fun-ciones tales que  g(x) ≤  f (x) ≤  h(x)   , para todo  x enun intervalo abierto que contiene a  x0 ( excepto posible-mente al propio x0  ) y si :

lımx→x0

g(x) = lımx→x0

h(x) =  L ⇒   lımx→x0

f (x) =  L

1. Dada una funcion f  se dice que tiene lımite por la izquier-da  L1, si:

∀ > 0, ∃δ > 0  tal que  0  < x0−x < δ ⇒ |f (x)−L1|  <

Notacion:   lımx→x

−

0

f (x) =  L1

2. Dada una funcion f  se dice que tiene lımite por la derechaL2, si:

∀ > 0, ∃δ > 0  tal que  0  < x−x0  < δ ⇒ |f (x)−L2|  <

Notacion:   lımx→x

+0

f (x) =  L2

Observacion:

lımx→x0

f (x) ⇔   lımx→x

−

0

f (x) = lımx→x

+0

f (x)

Ejemplos

1. Demuestre usando la definicion que

lımx→5

9 − 3x = −6

Solucion:

Dado   > 0, se debe hallar  δ > 0  tal que:

0  < |x − 5|  < δ ⇒ |(9 − 3x) − (−6)|  <

Luego,

|9 − 3x + 6|   =   |15 − 3x|=   |3x − 15|= 3|x − 5|<   3 · δ

= 3 ·  

3

Por lo tanto,

∀ > 0, ∃δ  = 

3> 0,   tal que

0  < |x − 5|  < δ ⇒ |(9 − 3x) − (−6)|  <

2. Demuestre usando la definicion que

lımx→1

x2 + x + 1 = 3

Solucion:Dado   > 0, se debe hallar  δ > 0  tal que:

0  <

 |x

−1

| < δ

 ⇒ |x2 + x + 1

−3

| <

Luego,

|x2 + x + 1 − 3|   =   |x2 + x − 2|=   |(x + 2)(x − 1)|<   |x + 2| · δ

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= lımx→4

4√ 

2

6=

  2√ 

2

3

Encuentrese el valor del siguiente l ımite, o establezca queno existe:

lımx→1

|x − 1|x − 1

, x = 1

Solucion: De acuerdo con la definicion de valor absoluto,se tiene:

|x − 1| =

  x − 1   , x ≥ 1

−(x

−1)   , x < 1

De esta forma:

|x − 1|x − 1

=  x − 1

x − 1= 1,   si  x > 1

|x − 1|x − 1

=  1 − x

x − 1= −1,   si  x < 1

La funcion puede escribirse entonces como una funcion atramos,

f (x) = |x − 1|

x

−1

=

  1   , x > 1

−1   , x < 1

Ahora,

lımx→1− f (x) = lım

x→1−(−1) = −1lım

x→1+ f (x) = lımx→1+(1) = 1

⇒   lımx→1

f (x)   No existe

6. Considerese la funcion a tramos definida ası:

f (x) =

x2 , x ≤ 2ax +  b , −2  < x < 22x − 5   , x ≥ 2

Encuentrense los valores de las constantes   a   y   b   paraque:   lım

x→−2f (x) y   lım

x→2

f (x)  existan. Solucion:

lımx→−2

f (x) ⇔

lımx→−2+

f (x)  y   lımx→−2−

f (x)  existen

y ademas   lımx→−2+

f (x) = lımx→−2−

f (x)

Pero,

lımx→−2+

f (x) = lımx→−2+

ax +  b  = −2a +  b

lımx→−2−

f (x) = lımx→−2−

x2 = 4

Ası para que lımite de f(x) en -2 exista es necesario que−2a +  b  = 4.Analogamente,

lımx→2

f (x) ⇔

y ademas   lımx→2+

f (x) = lımx→2−

f (x)

Pero,

lımx→2+

f (x) = lımx→−2+

2x − 5 = −1

lımx→2−

f (x) = lımx→−2−

ax +  b  = 2a +  b

Ası para que lımite de f(x) en 2 exista es necesario que2a +  b  = −1.Resolviendo el sistema

 −2a +  b   = 42a +  b   =   −1

se obtiene  a  = −5

4  y  b  =   3

2.

Con estos valores la funcion  f   es,

f (x) =

x2 , x ≤ 2−5

4x +   3

2  , −2  < x < 2

2x − 5   , x ≥ 2

Ejercicios Propuestos

1. Demostrar usando la definicion de lımite

1.1)   lımx→1 x2

+ 2 = 3

1.2)   lımx→0

√ x + 1 = 1

1.3)   lımx→2

x2 − 4

x − 2= 4

2. Calcular los siguientes lımites

2.1)   lımx→1

√ x − 1

3√ 

x − 1

2.2)   lımx→1

  1

1 − x−   3

1 − x3

2.3)   lımx→ 1

2

x

−2

− x

−1

− 22x − 1

2.4)   lımx→1

3√ 

x2 − 2   3√ 

x + 1

(x − 1)2

3. Calcular los siguientes l ımites (estudiar los lımites late-rales)

3.1)   lımx→1

|2x − 1| − x

|x − 1|3.2)   lım

x→2

(3 + |2x − 4|)

3.3)   lımx→1

x2

−1

|x − 1|

3.4)   lımx→3

2|x − 3| + x2 − 9

x2 − 2x − 3

MT

3