Lic. Katya Perez M. 82 Ing. Carla E scobar O.

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Ing. Carla Escobar O. 82

CAPÍTULO VI INGENIERÍA DE SISTEMAS I

DIAGRAMAS DE BLOQUES

La metodología del enfoque de sistemas establece una secuencia lógica para la solución de

la problemática de sistemas complejos por lo que constituye un complemento de acción de

todo profesional en cualquier rama. La descripción del sistema parte del hecho de que sea

cual fuese el sistema y sobare todo si es complejo el sistema está compuesto por subsistemas

y cada uno de estos a su vez se halla compuesto por una variedad de componentes. Para

efectuar la descripción gráfica de las interrelaciones de los componentes del sistema veremos

los diagramas de bloques y las gráficas de flujos de señales.

6.1. INTRODUCCION

Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para mostrar las

funciones que realiza cada componente se acostumbra usar representaciones esquemáticas

denominadas Diagrama en Bloques.

Un Diagrama de Bloques es por lo tanto una representación grafica de un sistema físico que

ilustra las relaciones funcionales entre los componentes del sistema. Este último rasgo

permite la evaluación de las contribuciones de los elementos individuales hacia la ejecución

completa del trabajo realizado por el sistema.

6.2. FUNDAMENTOS

Este tipo de diagramas emplea tres símbolos:

Bloque

Sirve para representar un sistema al que llega información (variable de entrada) y en el que

se produce información (variable de salida). Se lo identifica con una letra Mayúscula que da

el valor del bloque.

Señal Representativa de variables de entrada o salida.

La dirección del flujo de información tiene dado por el sentido de la flecha. Se caracteriza

con una letra minúscula.

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Sumador

Elemento que sirve para combinar dos señales de entrada generando una salida que es su

suma (o resta)

En general, un diagrama en bloque consta de una configuración especifica de cuatro tipos de

elementos: bloques, puntos, de suma, puntos de toma y flechas que representan el flujo

unidireccional de señales.

El significado de cada elemento se debe entender claramente de acuerdo con el diagrama

anterior.

Las cantidades en el dominio del tiempo representan con letras minúsculas.

Ejemplo 1.

r = r (t)

En este capitulo las letras mayúsculas se usan para las transformadas de Laplace

Ejemplo 2. R =R (s)

6.3. OPERACIONES ELEMENTALES

Dos son las operaciones elementales definidas para los Diagramas en bloque. Una la que

define la función del bloque y que se esquematiza como sigue:

z

Descripción

del Bloque

Punto de suma

x x+-y

Bloque

• Punto de Toma

z

z

G a b

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La variable de entrada es 'a', perfectamente individualizada por la dirección de la flecha. La

variable de salida es 'b' y la relación matemática entre ambas es:

B = Ga

Se quiere poner de manifiesto una relación causa-efecto. La variable de entrada 'a' influye

(causa) en el sistema determinado por el bloque G que genera una variable de salida

(efecto). Esta variable de salida es la consecuencia de la entrada 'a' y de la naturaleza del

sistema 'G'. Cada bloque tiene una sola entrada y una sola salida.

La combinación de señales se hace a través del sumador al que ingresan dos señales de

entrada y de la que resulta una salida, la suma (o resta) de las entradas:

c = a + b c = a – b

Cuando una de las señales se resta, debe indicarse explícitamente en la proximidad del

sumador con el signo '(-)'. Toda la representación de un sistema físico en el que existen

diversos subsistemas y en que se relacionan diversas variables se debe describir con estos

tres elementos.

A modo de ejemplo consideremos un tanque agitado continuo al que ingresa una corriente

F1 y sale una corriente F2. Mediante un flujo de vapor W que condensa en un serpentín se

transfiere calor haciendo que la corriente que ingresa a la temperatura T1 salga a una mayor

T2.

a a c c

b -b

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Hay diversas variables de entrada. Considérese T1 y W (se supone que solo éstas cambian).

Debido al cambio de estas entradas, la temperatura T2 cambiará. Se observa la acción de

dos causas (variables de entrada) y el efecto sobre una variable de salida T2 a través de un

sistema que en este caso es el tanque.

Para representar esta relación entrada-salida (causa-efecto) se puede emplear el siguiente

Diagrama en Bloques:

que matemáticamente se puede expresar como:

Salida = (Bloque 1) entrada 1 + (Bloque 2) entrada 2

T2 = G1 T1 + G2 W

y que puede interpretarse de la siguiente forma

T2 cambia como resultado de la influencia de cambios en T1 (una de las entradas) a través

del bloque G1 a lo que se le debe sumar la influencia de la otra variable de entrada W que

produce cambios en la salida a través del bloque G2. Tanto G1 como G2 representan la

influencia del sistema (en este caso el tanque con calefacción) sobre la variable de salida,

pero cada una considera la influencia de una variable de entrada

La representación con Diagramas en Bloques sirve exclusivamente para sistemas lineales,

es decir para aquellos en los que la influencia de diversas variables de entrada resultan igual

a la suma de las influencias individuales. No obstante esto, se puede extender este análisis a

sistemas no lineales.

Las ventajas de esta representación es que resulta fácil formar el diagrama en bloques

global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de

acuerdo con el flujo de señales. De esta forma es posible evaluar la contribución de cada

componente al comportamiento general de todo el sistema. El funcionamiento de un sistema

se puede ver más fácilmente examinan- do el diagrama de bloques, que analizando el

sistema físico en sí.

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Un diagrama de bloques contiene información respecto al comportamiento dinámico, pero no

de la constitución física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas distintos, sin

relación alguna entre ellos, pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

6.4. ÁLGEBRA ELEMENTAL DE BLOQUES

Los diagramas en bloques representados por muchos bloques y señales intermedias pueden

simplificarse en un solo bloque cuyo valor es una función de los bloques individuales pero no

de las señales intermedias.

Para simplificar diagramas muy complejos se pueden emplear tres reglas elementales (y

toda otra que se deduzca a partir de ellas) que se presentan en la Tabla siguiente.

Empleando estas reglas se puede simplificar diagramas integrados por diversos elementos

hasta llegar a una representación mínima.

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A modo de ejemplo, se puede considerar el diagrama siguiente (muy difundido en Control de

Procesos) que consta de 4 bloques y 2 sumadores. Se pretende encontrar la relación entre

"r" (entrada) e "y" (salida) a través de un solo bloque equivalente.

Considerando los bloques en serie G1, G2 y G3 queda:

y resolviendo la realimentación:

o expresado en términos de ecuaciones:

rHGGG

GGGy

321

321

1 +=

Esto nos refiere a la conocida "Regla de Mason" que dice que cuando existe un lazo de

realimentación, la transferencia entre la entrada y la salida es igual al producto de todas las

transferencias en el camino directo entrada-salida dividido en 1 más el producto de todas las

transferencias incluidas en el circuito de realimentación (o 1 menos si la realimentación es

positiva).

6.5. TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUE

Los diagramas de bloque de sistemas de control complicados se pueden simplificar usando

transformaciones que se pueden derivar fácilmente. Con el fin de dar una visión completa,

esta transformación se incluye en la siguiente ilustración de los teoremas de transformación.

La letra P se usa para representar cualquier función de transferencia y W, X, Y, Z, denotan

cualquier señal en el dominio s.

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Transformación Ecuación Diagrama en Bloque Diagrama en Bloque

Equivalente

1. Combinación de

bloques en

cascada

Y =( Pp 21) X

2. Combinación de

bloques en

paralelo o

eliminación de un

lazo directo

Y= XX PP 21 ±

3. Eliminación de

un bloque de la

trayectoria directa

Y= XX PP 21 ±

4

Y= )( 21 YX PP ±

5 Y= )(21YX PP ±

P1 P2 P1 P2 Y X Y X

P1

P2

X Y

±P2

?

P1 ± P2 Y X

+

P2 21

pp

Y +

P1

P2

X Y

? +

2111

PPP

±

Y X

P2 2

1p

Y +

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Equivalente

6a. Predistribución

de los puntos de

suma

Z = W ± X ± Y

6b. Predistribución

de los puntos de

suma

Z = W ± X ± Y

7. Desplazamiento

de un punto hacia

delante de un

bloque

Z = PX± Y

8. Desplazamiento

de un punto de

suma mas allá de

un bloque

Z = P(X± Y)

9. Desplazamiento

de un punto de

toma hacia

adelante de un

bloque

Y =PX

+

X

X Y

Y

W W + + +

± ± ± ±

Z Z

X

Y

W + +

± ±

W

X

Y

±

±

Z Z

P X + Z

Y

±

P X + Z

Y

±

P1

P X + Z

Y

±

P X + Z

Y

±

P

P X Z

Y

? P X

Y

?

P

Y

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Equivalente

10 Desplazamiento

de un punto de

toma mas allá de

un bloque

Y =PX

11 Desplazamiento

de un punto de

toma hacia delante

de uno de suma

Z = X± Y

12 Desplazamiento

de un punto de

toma mas allá de

uno de suma

Z = X± Y

6.6. FORMA CANONICA DE UN SISTEMA DE CONTROL POR

RETROALIMENTACIÓN

Los dos bloques en la trayectoria hacia delante del sistema de retroalimentación se pueden

combinar. Siendo G G1 G2, la configuración resultante se denomina forma canónica de un

sistema de control por retroalimentación. G y H no son necesariamente únicos para un

sistema particular.

≡

P1

P X Y

X

? P X Y

X

?

X + Z

Y

±

?

Z

?

?

Z +

+ Z

X

Y

±

±

X + Z

Y

± ?

X

?

?

Z +

X

X

Y ±

±

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Las siguientes definiciones de refieren a este diagrama en bloque.

Definición 1: G función de transferencia directa función de transferencia hacia

adelante.

Definición 2: H función de transferencia de retroalimentación.

Definición 3: GH función de transferencia de lazo, función de transferencia de lazo

abierto.

Definición 4: RC

función de transferencia de lazo cerrado, razón de control.

Definición 5: RE

razón de señal impulsora, razón de error

Definición 6: RB

razón de retroalimentación primaria.

En las siguientes ecuaciones, el signo - se refiere a un sistema de retroalimentacion positiva

u el signo + se refiere a un sistema de retroalimentacion negativa.

RC

=GH

G±1

(1)

RE

=GH±11

(2)

RB

=GH

GH±1

(3)

≡

G

H

E R +

B

C

+ - •

≡

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La ecuación característica del sistema, el cual se determina a partir de 01 =± GH es:

0=± ND GHGH (4)

Donde DGH es el denominador y N GH

es el numerador de GH

6.6.1. SISTEMA DE RETROALIMENTACIÓN DE UNIDAD

DEFINICIÓN 7: Un sistema de retroalimentación de unidad es un sistema de

retroalimentación en el cual la retroalimentación primaria b es igual a la salida controlada c.

Ejemplo Para un sistema de retroalimentación y lineal de unidad:

Cualquier sistema de retroalimentación, con los elementos lineales solamente en el lazo de

retroalimentación, se puede poner en la forma de un sistema de retroalimentación de unidad,

usando la transformación 5.

Ejemplo

La ecuación característica para el sistema de retroalimentación de unidad determinado a

partir de 1 G = 0. es

ND GG± = 0 (7.7)

Donde DG es el denominador y N G

el numerador de G.

6.7. ENTRADAS MULTIPLES

A veces es necesario evaluar el trabajo ejecutado por un sistema cuando se aplican

simultáneamente varios estímulos en diferentes puntos del sistema.

P R E C

±

G

R E C

±

H

? H1

GH

±

C R

?

+

≡

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Cuando están presentes entradas múltiples en un sistema lineal, cada una se reara

independientemente de las otras. La salida ocasionada por todos los estímulos actuando

conjuntamente se encuentra de la siguiente manera:

Paso 1: Igualar todas las entradas a cero excepto una.

Paso 2: Transformar el diagrama el bloque a la forma canónica, usando las transformaciones

de las sección anterior.

Paso 3: Calcular la respuesta debida a la entrada escogida actuando sola.

Paso 4: Repetir los pasos 1 a 3 para cada una de las entradas restantes.

Paso 5: Añadir algebraicamente todas las respuestas (salidas determinadas) en los pasos 1

a 5. Esta suma es la salida total del sistema con todas las entradas actuando

simultáneamente.

Se vuelve a insistir aquí en que el proceso de superposición anterior depende de si el

sistema es lineal.

Ejemplo: Determinaremos la salida C del siguiente sistema.

Paso 1: Sea U = 0.

Paso 2: El sistema se reduce a:

Paso 3: Según la ecuación (7.3) la salida debida a la entrada R es :

G1

U

? G2

+

+

+ R C

-

C R

GG 21 ? + R

-

CR

RGG

GGCR

+=

21

21

1

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CU

Paso 4a: Sea R = 0.

Paso 4b: Poner –1 dentro de un bloque para representar el efecto de retroalimentación

negativa:

Ordenar el diagrama en bloque:

Hacer que el bloque con –1 sea absorbido en el punto de suma:

Paso 4c: Según la ecuación (7.3), la salida debida a la entrada U es:

UGG

GCU

+=

21

2

1

Paso 5: La salida total es:

C =

G1 ? G2 +

+

+ R

U

-1

CU

G1

? G2

+

+ U

-1

CU

G1

?

- G2

+ U

[ ]URUR GGGG

GGG

GGGGCC UR

+

+=

++

+=+

121

2

21

2

21

21 .111

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6.8. REDUCCION DE DIAGRAMAS EN BLOQUE COMPLICADOS

El diagrama en un bloque de un sistema simple de control por retroalimentación es a

menudo bastante complicado. Puede incluir varios lazos de retroalimentación o de

alimentación directa y entradas múltiples. Por medio de una reducción sistemática del

diagrama en bloque, cada sistema de retroalimentación de lazo múltiple se puede reducir a

una forma canónica. Las técnicas desarrolladas en los párrafos anteriores proporcionan los

medios necesarios.

Los siguientes pasos generales se pueden usar como una aproximación en la reducción de

diagramas en bloque complicados.

Paso 1: Combinar todos los bloques en cascada usando la transformación 1.

Paso 2: Combinar todos los bloques en paralelo usando la transformación 2.

Paso 3: Eliminar todos los lazos menores de retroalimentación usando la transformación 4.

Paso 4: Desplazar los puntos de suma hacia la izquierda u los puntos de toma hacia la

derecha del lazo principal, usando las transformaciones 7, 10y 12.

Paso 5: Repetir los pasos de 1 a4 hasta que se logre la forma canónica para una entrada

particular.

Paso 6: Repetir los pasos de 1 a 5 para cada entrada según sea necesario.

Las transformaciones 3,5,6,8,9,y 11 a veces sin útiles y la experiencia con la técnica de

reducción determinara su aplicación.

Ejemplo:

Reducir el siguiente diagrama en bloque a una forma canónica.

G1 ? G4

+

+ R +

G2

G3

H 1

-

H 2

? ?

C + +

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Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4: No se aplica.

Paso 5:

Paso 6: No se aplica

Un requisito ocasional en la reducción de diagramas en bloque es el aislamiento de un

bloque particular de un lazo de retroalimentación o de alimentación directa. Esto es

conveniente para examinar más fácilmente el efecto de un bloque particular sobre el sistema

completo.

G1 G4 ≡ G1 G4

G2

G3

GG 31+

? +

≡

H 1

GG 41

HGGGG

141

41

1−

?

+

≡

+

HGG

GG

141141

−

GG 32+

H1

? +

-

R

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Al aislamiento de un bloque se puede llevar a cabo generalmente aplicando los mismos

pasos de reducción al sistema, pero con frecuencia en un orden diferente. Hay que tener en

cuenta también el cloque que se va a aislar no de puede combinar con otros.

Ordenar los puntos de suma (transformación 6) y las transformaciones 8,9 y 11 es

especialmente útil para aislar bloques.

Ejemplo

Reducir el diagrama en bloque del ejemplo 9 aislando el bloque H1.

Pasos 1y 2:

En este momento no se aplica el paso 3, sino que se sigue directamente al paso 4,

moviendo el punto de toma 1 mas allá del bloque

H 2

C ( )HGGGGGG

141

3241

1−

+

R ?

-

+

R

GG 41 ?

+

+ +

GG 32+

H 1

-

H 2

? C 2 1

GG 32+

GG 41 ?

+

+ R

+

GG 32+

H 1

-

H 2

?

C 2 1

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Ahora se pueden ordenar los puntos de suma 1 y 2 y combinar los bloques en cascada en

el lazo directo usando la transformación 6, luego la 1:

Paso 3:

Finalmente se aplica la transformación 5 para quitar a del lazo de

retroalimentación:

Obsérvese que el mismo resultado se hubiera podido obtener después de aplicar el paso 2,

moviendo hacia delante el punto de toma 2 de , en lugar de mover el punto de

toma mas allá de

El bloque tiene el mismo efecto sobre la razón de control C/R, ya sea que

siga directamente a R o proceda directamente a C.

( )GGGG 3241+ ?

-

+ R +

GG 32

1+

H 1

+

H 2

?

C 2 1 1 2

( )( )GGHGG

GGGG3224

324

111

++

+ ?

+ R

GG 32

1+

H 1

+

C

GG 32

1+

R

( )GGHGGGG

3224

4

111

++ ?

+ GG 32+

H 1

C

+

GG 32+

GG 32+

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6.9. REPRESENTACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Una posibilidad interesante es que las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales pueden

ser apropiadamente representadas con Diagramas en Boques. Esto permite entender los

mecanismos internos de sistemas cuyo comportamiento viene descrito por una o más

ecuaciones diferenciales. Como ejemplo se puede considerar la siguiente ecuación:

dtdy

ByAxx =−+ 21

Lo primero es dejar establecido cuáles son variables de entrada y cuáles de salida. Colocar a

la izquierda todas las entradas, dejando a la derecha la(s) salida(s). En el ejemplo, entradas

(x1, x2), salida y Asumiendo que A, B son constantes:

El signo ∫ significa que la variable intermedia z al ser integrada en el tiempo resulta la salida

y. Efectivamente, si a la ecuación diferencial anterior la rescribimos, z sería:

∫=⇒==−+

zdtydydy

zB

yAxx 21

que es lo que se esquematizó en el Diagrama en Bloques.

6.10. PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR DIAGRAMAS DE BLOQUES

Para trazar un diagrama de bloques de un sistema, primero se escriben las ecuaciones que

describen el comportamiento dinámico, de cada componente. Luego se toman las

transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero, y

cada ecuación transformada de Laplace se representa individualmente en forma de bloque.

Finalmente se integran los elementos en un diagrama de bloques completo.

Ejemplo : Dado el siguiente circuito RC

PASO1.

Entidades:

vi(t): es la entrada de voltaje al sistema.

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V0(t) es la salida del sistema.

C :Capacitor

Atributos:

i(t): flujo de corriente

Variables de Salida

V0(S), VR(S) y I(S)

Variables de Entrada:

Vi(S)

PASO 2. La leyes

1ª ley: “la suma algebraica de la suma de las intensidades de las corrientes que llegan a un

nudo es igual a cero”

2ª ley: “La suma algebraica de las fuerzas electromotrices de una malla cualquiera es igual a

la suma algebraica de los productos de las intensidades por las respectivas resistencias”

PASO 3. Ecuaciones integro-diferenciales

La siguiente ecuación indica que el voltaje aplicado se equilibra por los voltajes desarrollados

debido al flujo de corriente i(t) a través del resistor R y del condensador C.

dttic

tiRtvit

∫+⋅=0

)(1)()( (1)

PASO 4. Aplicando Transformadas de Laplace.

SSI

CSIRSVi

)(1)()( +⋅= (2)

como :

CSSI

SV)(

)(0 = (3)

reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2) tenemos

)(0)()( SVSIRSVi +⋅=

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Vi(S) R

1 I(S)

-

+ CS

1 V0(S)

RSVSVi

SI)(0)(

)(−

=

PASO 4.1. Representando individualmente cada ecuación en forma de bloque

tenemos:

CSSI

SV)(

)(0 =

RSVSVi

SI)(0)(

)(−

=

PASO 4.3. Integrando los elementos en un diagrama de bloques final.

PASO 5. Obtenemos la función de transferencia del sistema

1

1)(

)(

)(

)()(0

)(+

=+⋅

==RCS

CSSI

SIR

CSSI

SViSV

SG

I(S)

CS1 V0(S)

V0(S)

Vi(S) R

1 I(S)

-

+

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EJERCICIOS

Aplicando las reglas del álgebra de bloques obtener la función de transferencia en los siguientes casos.

U G1 G2 G3

G4

G5

G6

G7

Y +

+

- + +

+

+

+ +

-

G1 G2 G3

G4

G5 G6

G7

U Y

+ - +

+ +

+

-

G1 G2

G3 G4

G5

U Y

-

+ +

+ - +

+

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