iiPrlogo Objetivo Principal de la Obra El objetivo principal de esta obra es el siguiente: Proporcionaralestudiantelosfundamentostericosnecesariosparaquestepueda analizaryresolverproblemasdeecuacionesdiferencialesordinariasyquetengala posibilidad de aplicarlos en el estudio de los fenmenos fsicos y sociales relacionados con la ingeniera. A Quienes va Dirigida la Obra? Lapresenteobravadirigidaaestudiantesdeingenieraydelicenciaturasafinesytodo aquel que se interese por el desarrollo histrico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Estructura de la Obra Con base en la experiencia que he tenido como catedrtico e investigador de la disciplina matemtica denominada ecuaciones diferenciales, he decidido estructurar la presente obra acorde con los siguientes objetivos principales: 1.Que el contenido de la obra sea acorde con los programas acadmicos ms comunes de la materiadeecuacionesdiferencialesordinariasqueseimparteenlosdiversosplanteles educativos de la Repblica Mexicana 2.Que los contenidos expuestos le sirvan al estudiante como base matemtica fundamental para una mejor compresin de los conceptos manejados en materias posteriores. 3.Que fomente la lectura y la investigacin terica y prctica en el proceso de formacin del estudiante. 4.Quemuestrelosaspectoshistricosdeldesarrollodelasecuacionesdiferenciales ordinarias.5.Quehagahincapienlaimportanciaquetienenlasecuacionesdiferencialesenel desarrollo evolutivo de la ingeniera. 6.Que sea leda y utilizada en su totalidad 7.Queconelenfoquedeprocesoselestudiantetengaunavisindiferenteacercadelas ecuaciones diferenciales. Y esto ha sido as, puesto que desde 1987 ao en el que comenc a estudiar la teora de las ecuacionesdiferenciales,mehedadocuentadequeexisteunaenormecantidaddetemasque constituyentalteora,yquesisehicieraunaobraqueloscontengaatodosseradevarios iiivolmenes.Asqueescogsoloaquellostemasquelessontilesalestudianteensuformacin matemticayalmismotiempoacordeconlamayoradelosprogramassobrelamateriade ecuaciones diferenciales, esto da la posibilidad de que la obra sea leda de principio a fin. Por otro ladoconsideroqueseramseficienteelaprendizajedelasmatemticassielestudiantelea muchomsdeloqueactualmentelohace.Estodefinitivamenteayudaraenlaformacin acadmicadelestudiantepuestoqueconellologratenerunavisinmsampliasobrelos conceptos manejados en esta materia y en otras reas afines; la Internet ofrece la gran posibilidad de ampliar esta visin. He decidido incluir en esta obra algunos aspectos histricos del desarrollo delasecuacionesdiferencialesordinariaspuestoquestoshansidoimportantesenelproceso evolutivodelossistemasquesemanejanactualmenteenelcampolaboraldelaingeniera;por ejemplo:losmodernossistemasdecontrolautomtico.AlfinaldelCaptulo4,muestroel enfoquedeprocesos,unpuntodevistapococomnenunaobradeecuacionesdiferenciales ordinarias;conellopretendoqueelestudiantetengaunavisinmuydistintadelaquetiene actualmente,yestolohedecididoas,poralgunasentrevistasquehetenidoconestudiantesde ingeniera acerca de este tipo de enfoques. Caractersticas de la Obra Fundamentos Tericos Concretos Laobramuestraunaseriedeaxiomasydefinicionesconcretasrelacionadosconlos diferentestpicosqueconformanelestudiodelasecuacionesdiferencialesordinariasquele permitenallectorutilizarlosenlaresolucindeproblemas.Enestasnociones,seincluyeenla muchos de los casos la raz etimolgica (marcados en cursiva, entre parntesis y en rojo) del o delostrminosinvolucradosenelestablecimientodeunaxioma,definicin,principioo concepto. Los conceptos importantes mostrados dentro de un prrafo, se encuentran remarcados ennegrita,cursivayenazulparaunarpidalocalizacin,mientrasquelapropiadefinicin,en cursiva y en azul. Los ttulos de las definiciones, teoremas, observaciones, comienzan remarcados en negrita cursiva y en negro. Herramientas para la Resolucin de los Problemas Porotroladoexisteungrannmerodereferenciasdentrodelosdesarrollosdelos ejemplosquelepermitealestudianteencontrarherramientaspararesolverconfacilidadun problemadado.Porejemplo,enlaresolucindelasecuacionesdiferencialeshomogneas,es necesario que el estudiante sepa utilizar la regla de Ruffini (divisin sinttica) para encontrar las racesdelpolinomiocaracterstico;eneldesarrollodeunejemplodeestetema,viene referenciado el apndice C, en donde se encuentra una extensa explicacin de la regla de Ruffini. Reseas Histricas Laobraincluyeaspectoshistricosdeldesarrollodelasecuacionesdiferenciales ordinarias hasta la primera mitad del siglo XX, stos, dan la posibilidad de acrecentar la habilidad de sntesis y con ello, poder analizar comparativamente las fases del desarrollo evolutivo de una materiayvisualizarlosaspectosmedularesdesta.Porejemplo,enlaltimadcadadelsiglo XIX,lateoradelanlisiscualitativodePoincarjuntoconlateoradelosgruposde transformacin de Lie, fueron fundamentales para el posterior desarrollo de la moderna teora de iv lasecuacionesdiferenciales.Peroparaqueestosucediera,estosmatemticostuvieronquever hacia atrs para analizar las grandes sntesis de Euler y sus contemporneos. Hay una obra sobre lamateriaquemefuemuygratoconsultarlayeslaobradelprofesorGeorgeSimmonsde ColoradoCollegeycitaatinadamenteunproverbioarmenioquerezaas:Quiencarecedel sentido del pasado, est condenado a vivir en la estrecha oscuridad de su propia generacin y despus sigue el profesor Simmons diciendo Una matemtica desprovista de su historia es una matemtica desprovista de su grandeza..... Desarrollo Lgico Secuencial de los Temas Adiferenciadeotras,existeunafuertedependenciadelostemasqueconformanel contenido de esta obra, es decir, que para poder comprender los fundamentos tericos as como la metodologaempleadaenlaresolucindelosproblemasesnecesarioatenderelcaptulo precedente. Y lo he decidido as, puesto que sigue la natural secuencia lgica de los temas de un programa acadmico comn de la materia. En otras palabras, la presente obra puede ser un libro de texto en la enseanza de la materia de ecuaciones diferenciales ordinarias. Delimitacin de los Temas Porrazonesquemencionanteriormente,evidentementehaytemasquenoincluenlos contenidos de la presente obra, como la ecuacin de Riccati o el clculo operacional de Heaviside (oseaelmtododelanulador)aplicadoaecuacionesdiferencialesordinarias.Peroesonofue parte de mi preocupacin ya que considero que los presupuestos tericos y prcticos de la obra, le puedeproporcionaralestudianteunaformacinmatemticatal,quelmismoenforma autodidacta puede estudiar estos temas sin ningn problema. Referencias Bibliogrficas Hayunnmeroconsiderabledereferenciasbibliogrficasalfinaldecadacaptuloyde cada apndice y la existencia de stas en esa ubicacin tiene un doble sentido: por un lado sirve paramostrarlasobrasenlasquemeapoyparaenriquecerlainformacindeloscontenidos tericosyprcticosy,porotrolado,lesirvenalestudianteparaextenderelestudiodelas ecuacionesdiferencialesordinariaseinclusotemasafinescomolateoradecontrolautomtico, por ejemplo. Contenido Laobraconstade5captulosy4apndices,losprimerosseencuentranendependencia lgica secuencial mientras que los ltimos se vinculan acorde con su necesidad. En el captulo 1 abordoalgunostemasfilosficossobrelasmatemticas(incluyendosudefinicin)yla terminologabsicanecesariaparapodercomprenderlosfundamentosdelasecuaciones diferenciales ordinarias, e incluyo una breve resea histrica sobre las mismas. En el captulo 2 muestro los cinco tipos de ecuaciones de primer orden ms comnmente estudiadoscomolasecuacionesdevariablesseparables,homogneas,endiferencialestotales, lineales,ladeBernoullyalgunoscasosquesereducenastas.Enlaseccin2.8semuestran aplicacionesdelasecuacionesdeprimerordenenalgunosfenmenosfsicos,talescomo vcrecimientodelapoblacin,concentracinentanquesagitados,cadalibredeloscuerpos,etc., haciendo un riguroso anlisis de las respuestas obtenidas. Enelcaptulo3abordolasecuacionesdiferencialesdeordenn,homogneasyno homogneas, la ecuacin de Cauchy-Euler, as como el mtodo de variacin de parmetros. En la Seccin 3.7 se muestran tambin aplicaciones de las ecuaciones de orden n en algunos fenmenos fsicos,especficamenteenelclsicosistemamasa-resorte,haciendounrigurosoanlisisdelas respuestas obtenidas. Enelcaptulo4muestrolosfundamentostericosdelatransformadadeLaplaceysu procesodeinversin,ascomolasaplicacionesdestosenlaresolucionesdeecuaciones diferencialesordinarias.Enlaseccin4.4aparecenlasaplicacionesdelatransformadade Laplaceenfenmenosfsicosendondeintroduzcoelenfoquedeprocesoshaciendoun interesante anlisis de las entradas y salidas en un proceso visto desde la modelacin matemtica. Finalmente en el captulo 5 muestro la teora de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, algunosmtodosdesolucinyuninteresanteestudiosobreelplanodefasesylospuntosde reposo as como la aplicacin del computador en la solucin de cierto tipo de sistemas lineales y no lineales. Comoyalomencioneanteriormente,alfinaldecadacaptuloseencuentranreferencias bibliogrficasparaqueelestudiantepuedaampliarsusconocimientosconrelacinalostemas contenidos en los captulos. ElapndiceAcontienelasfrmulasmscomunesqueseempleanenlaresolucinde problemassobreecuacionesdiferencialesordinarias.Seincluyenfrmulasdederivadas, integralesindefinidas,identidadestrigonomtricas,hiperblicasylogartmicas,ademsdeuna corta descripcin de las operaciones bsicas sobre nmeros complejos. En el apndice B muestro elmtododelosmnimoscuadradosparaunaaproximacinlineal,tilenelmanejodedatos estadsticos masivos observados en un fenmeno natural o social. En el apndice C trato algunos teoremas relacionados con los polinomios algebraicos y muestro una extensa explicacin sobre la regla de Ruffini til en el clculo de las races de polinomios, as como tambin una interesante reseahistricadelascontribucionesdealgunosmatemticoschinosdelaantigedad.Enel apndiceD,muestroeltemadelasfuncionesracionalesyabordoloscuatrocasosde descomposicindeunafraccinpropiaensusfraccionessimples.FinalmenteenelapndiceE muestro fragmentos de algunas obras de Leonhard Euler, Gustav Doetsch, Ruel Vance Churchill y Aleksandr Mikhailovich Liapunov. Mi Currculum Vitae MiformacinacadmicaanivellicenciaturalaobtuveenelInstituto Tecnolgico#7deCd.MaderodondeestudielacarreradeIngenieraQumica Industrial con especializacin en Procesos y en el Instituto de Ciencias y Estudios SuperioresdeTamaulipas,dondeestudielaLicenciaturaenPedagogacon especializacinenMatemticasSuperiores.Posteriormentelosestudiosde postgradolosrealicenelInstitutodeEstudiosSuperioresdeTamaulipasdonde curs la Maestra en Educacin vinculando estos estudios con la Didctica de las Matemticas, la Psicologa Matemtica y la Educacin Audiovisual. vi Debo mi formacin matemtica principalmente a los estudios que realic en el Programa NacionaldeFormacinyActualizacindeProfesoresdeMatemticasauspiciadoporelCentro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional y dirigido por el Dr. ArturoHernndezRamrez;tambin,alasenseanzasdelMto.FranciscoGerardoBenavides Bravo de la Universidad Autnoma de Nuevo Len, del Mto. Jess Garza Whittaker y del Mto. DavidLermaBonilla,ambosdelInstitutoTecnolgicodeCd.Maderoy,enparticular,al aprendizajeautodidactadelasobrasdelosacadmicosNikolaiLobachevski,ValdimirSteklov, AlexandrMikhailovichLyapunov,SergeiBershtein,LevElsgoltz,IvnVinogradov,Andrei Nikolaevich Kolmogrov, Alexandr Mordkvich, Sergei Vasilivich Fomn, Segei Mikhailovich Nikolski,YaglomBugrov,AlexanderSamarskii,SeminTarg,LevKudrivtsev,Valentn Voevodin,NikolaiPskunov,KonstantnRbnikov,AlexeiIvnovichKostrikin,Vctor Litvinenko,AlexandrGennadievichKurosh,BorisZeldovich,DavidLevLandau,Evgenni Lifshitz, y Andrei Tikhonov, todos distinguidos miembros de la Academia de Ciencias de Rusia. Agradecimientos Debo primeramente darle gracias a Dios, por haberme dado el privilegio de la vida, a mis padres,pormiformacinyamifamiliaquemehaapoyadoentodomomento.Agradezcoy reconozcoinfinitamenteatodosaquellosmatemticosyhombresdecienciaquedieronsuvida enarasdelconocimiento.LesestoymuyagradecidoalosDoctoresJohnOConnoryEdmund RobertsondelaUniversidaddeSanAndrews,Escocia,porhabermepermitidodisponerdesu estupendacoleccindeimgenesyfotografasde cientficos, algunas de las cuales, presento en estaobra.QuieroexpresarmimssinceroagradecimientoaDenissedelCarmenValladares Garca,estudiantedeIngenieraenSistemasComputacionalesyArturoMedinaCuautle, estudiantedeIngenieraenElectrnica,ambosdelInstitutodeEstudiosSuperioresde Tamaulipas, por su contribucin en la revisin ortogrfica de la obra y por haber participado en la construccin de algunos problemas aplicados. Mtro. David Macias Ferrer viiContenido Captulo 1Conceptos Preliminares 1.1Aspectos Lgico y Epistemolgico de las Matemticas1 1.1.1Definicin de Matemticas1 1.1.2La Matemtica, Ciencia Formal (Eidtica)3 1.1.3Las Disciplinas Matemticas3 1.1.4Historia de las Matemticas5 1.1.5Investigacin7 1.2Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales7 1.2.1Resea Histrica7 1.3Modelos Matemticos11 1.3.1El Nacimiento de la Ciencia11 1.3.2La Naturaleza Fsica como Generadora del Conocimiento Matemtico12 1.3.3Modelacin Matemtica13 1.3.4Aplicacin de las Matemticas al Mundo Real13 1.3.5Algunos Tipos de Ecuaciones en las Matemticas16 1.4Definiciones y Terminologa Bsicas18 1.4.1Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales19 1.4.2Solucin de una Ecuacin Diferencial Ordinaria20 1.4.3Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy22 1.4.4Comprobacin de una Solucin23 1.4.5Ejercicios Suplementarios24 1.5Referencias Bibliogrficas del Captulo 125 Captulo 2Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 2.1Ecuaciones de Primer Orden27 2.1.1Resea Histrica27 2.1.2Definiciones Bsicas28 2.2Ecuaciones Diferenciales de Variables Separadas y Separables29 2.2.1Ecuaciones Diferenciales de Variables Separadas29 2.2.2Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables29 2.2.3Resolucin de Ecuaciones de Variables Separadas y Separables30 2.2.4Ejercicios Suplementarios33 2.3Ecuaciones Diferenciales Homogneas de Primer Orden33 2.3.1Definiciones Bsicas33 2.3.2Solucin de una Ecuacin Diferencial Homognea de Primer Orden34 2.3.3EcuacionesDiferencialesqueseReducenaEcuacionesDiferenciales Homogneas de Primer Orden 35 2.3.4Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Homogneas de Primer Orden36 2.3.5Ejercicios Suplementarios41 2.4Ecuaciones Diferenciales en Diferenciales Totales42 2.4.1Definiciones Bsicas42 2.4.2Integracin de las Ecuaciones Diferenciales Exactas42 2.4.3Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Exactas44 viii2.4.4Ejercicios Suplementarios47 2.5Ecuaciones que se Reducen a Ecuaciones en Diferenciales en Diferenciales Totales47 2.5.1Factor Integrante47 2.5.2ResolucindeEcuacionesqueseReducenaEcuacionesenDiferencialesen Diferenciales Totales 48 2.5.3Ejercicios Suplementarios52 2.6Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden52 2.6.1Definiciones Bsicas52 2.6.2Integracin de una Ecuacin Diferencial Lineal de Primer Orden53 2.6.3Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden54 2.6.4Ejercicios Suplementarios58 2.7Ecuaciones Diferencialesde Bernoulli 59 2.7.1Definiciones Bsicas59 2.7.2Resolucin de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli60 2.7.3Ejercicios Suplementarios63 2.8Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden64 2.8.1Introduccin64 2.8.2Cmo se modela un fenmeno de la Naturaleza?64 2.8.3Enfriamiento de los Cuerpos66 2.8.4Concentracin en Tanques Agitados71 2.8.5Vaciado de un Tanque76 2.8.6Cada Libre de los Cuerpos81 2.8.7Segunda Ley de Kirchhoff87 2.8.8Crecimiento Demogrfico91 2.8.9Modificaciones de la Ecuacin Logstica97 2.8.9Ejercicios Suplementarios98 2.9Referencias Bibliogrficas del Captulo 2101 Captulo 3Ecuaciones Diferenciales de Orden n 3.1Ecuaciones Diferenciales de Orden n1033.1.1Resea Histrica1033.1.2Definiciones Bsicas1053.2Dependencia e Independencia Lineal de Funciones1053.2.1Criterio del Cociente1063.2.2Criterio de Wronski1063.2.3Criterio de Gram1083.2.4Ejercicios Suplementarios1093.3Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneas de Orden n1103.3.1ConjuntoFundamentaldeSolucionesdeunaEcuacinDiferencialLineal Homognea de Orden n 1103.3.1.1Principio de Superposicin1103.3.2Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy1113.3.3InterpretacinGeomtricadelasSolucionesParticularesdeunaEcuacin Diferencial Lineal Homognea de Orden n 1113.3.4EcuacionesDiferencialesLinealesHomogneasdeOrdennconCoeficientes Constantes 1123.3.4.1Caso I. Races Reales y Distintas1123.3.4.2Caso II. Races Reales Mltiples1123.3.4.3Caso III. Races Complejas1133.3.4.4Caso IV. Races Complejas Mltiples1133.3.5Ejercicios Suplementarios1183.4Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogneas de Orden n1203.4.1EcuacionesDiferencialesLinealesNoHomogneasdeOrdenncon Coeficientes Constantes 120 ix3.4.2Ejercicios Suplementarios1313.5MtododeVariacindeParmetrosparaEcuacionesDiferencialesLinealesNo Homogneas de Orden n con Coeficientes Constantes 1323.5.1Mtodo de Variacin de Parmetros1323.5.2Ecuacin Diferencial Lineal No Homognea de Orden n1323.5.3Ecuacin Diferencial Lineal No Homognea de Segundo Orden1343.5.4Ecuacin Diferencial Lineal No Homognea de Tercer Orden1343.5.5Ejercicios Suplementarios1413.6Ecuaciones Diferenciales Lineales de Cauchy-Euler1423.6.1 Ecuacin de Cauchy-Euler Lineal Homognea de Segundo Orden1423.6.1.1 Mtodo de Solucin1423.6.1.2Caso I. Races Reales y Distintas1433.6.1.3Caso II. Races Reales Mltiples1433.6.1.4Caso III. Races Complejas1433.6.2Ecuacin de Cauchy-Euler Lineal No Homognea de Segundo Orden1453.6.2.1 Mtodo de Solucin1453.6.3Ejercicios Suplementarios1473.7 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 1483.7.1Resea Histrica1483.7.2Sistema Masa-Resorte1493.7.2.1 Movimiento Armnico Libre No Amortiguado1523.7.2.2 Movimiento Armnico LibreAmortiguado1563.7.2.2.1Caso I: Movimiento Sobreamortiguado1573.7.2.2.2Caso II: Movimiento Crticamente Amortiguado1573.7.2.2.3Caso III: Movimiento Subamortiguado1573.7.2.3 Movimiento Forzado1653.7.2.3.1Movimiento Forzado sin Amortiguamiento1653.7.2.3.2Movimiento Forzado Amortiguado1653.7.2.4 Resonancia Pura1663.7.2.5 Ms Informacin Acerca de la Resonancia Pura1713.7.3Ejercicios Suplementarios1733.8Referencias Bibliogrficas del Captulo 3175 Captulo 4Transformadas de Laplace 4.1Transformadas de Laplace1774.1.1Orgenes de la Transformada de Laplace1774.1.2Definiciones Bsicas1794.1.3Transformadas de Laplace de Algunas Funciones Elementales1804.1.4Algunas Propiedades Importantes de la Transformada de Laplace1804.1.5Mtodos para Calcular la Transformada de Laplace1824.1.6Clculo de la Transformada de Laplace de Funciones 1834.1.7Funcin Escaln Unitario Funcin de Heaviside1874.1.8Ejercicios Suplementarios1894.2Transformada Inversa de Laplace1914.2.1Resea Histrica 1914.2.2Definicin de la Transformada Inversa de Laplace1924.2.3Algunas Transformadas Inversas de Laplace1924.2.4Algunas Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace1934.2.5Mtodos para Encontrar la Transformada Inversa de Laplace1944.2.6 Clculo de la Transformada de Laplace de Funciones1954.2.7Ejercicios Suplementarios2014.3 Solucin de Ecuaciones Diferenciales Lineales Mediante la Transformada de Laplace 2024.3.1EcuacinDiferencialesLinealesconCoeficientesConstantes.Problemade Valores Iniciales 202 x 4.3.2Ejercicios Suplementarios2084.4 Aplicacin de la Transformada de Laplace en Fenmenos Fsicos2084.4.1El Enfoque de Procesos2084.4.2Aplicacin de la Transformadas de Laplace en la Concentracin de una Masa Disuelta en Tanques Agitados 2124.4.3AplicacindelaTransformadasdeLaplaceenelSistemaMasa-Resorte. Movimiento Armnico Libre 2134.4.4AplicacindelaTransformadasdeLaplaceenelSistemaMasa-Resorte. Movimiento Libre Crticamente Amortiguado 2174.4.5AplicacindelaTransformadasdeLaplaceenelSistemaMasa-Resorte. Movimiento Forzado 2194.4.6Ejercicios Suplementarios2224.5Referencias Bibliogrficas del Captulo 4223 Captulo 5Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 5.1Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 2255.1.1Resea Histrica2255.1.2Conceptos Preliminares2335.2Sistemas Autnomos2355.2.1Sistemas Autnomos de 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales con 2 Variables Dependientes. Mtodo de Reduccin 2355.2.2SistemasNo-Autnomosde2EcuacionesDiferencialesLinealescon2 Variables Dependientes. Mtodo de Reduccin 2395.2.3 Algoritmo Matricial de Resolucin de Sistemas de n Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes 2415.2.3.1Caso I. Races Reales y Distintas2435.2.3.2Caso II. Races Complejas 2445.2.3.3Caso III. Races Reales Mltiples2445.2.42535.3El plano de Fases2555.3.1Puntos de Reposo 2555.3.2ClasificacindeLosPuntosdeReposoenunSistemadeEcuaciones Diferenciales Lineal Autnomo con 2 Variables Dependientes 2575.3.2.1Caso I. Races Reales y Distintas2575.3.2.2Caso II. Races Complejas 2605.3.2.3Caso III. Races Reales Mltiples2625.3.2.4Caso IV Raz Real Nula2645.3.3Ejercicios Suplementarios 2665.4El Uso del Computador en la Resolucin de Sistemas No linelaes2675.4.1Ejercicios Suplementarios2725.5Teoras de la Estabilidad2735.5.1Teora de la Estabilidad de Liapunov2745.5.1.1Primer Mtodo de Liapunov 2745.5.1.2Segundo Mtodo de Liapunov. 2815.5.1.3Funciones de Liapunov2825.5.1.4Teorema de Chetev Sobre la Inestabilidad2865.5.1.5TeoremadeLiapunov-MalkinSobrelaEstabilidadenPrimera Aproximacin 2895.5.1.6TeoremadeLiapunov-MalkinSobrelaInestabilidadenPrimera Aproximacin 2895.5.2Criterio de Hurwitz2925.5.3Ejercicios Suplementarios2974.5Referencias Bibliogrficas del Captulo 5299 xi Apndice ATablas y Frmulas Matemticas La Derivada de una Funcin de una Variable301 La Integral Indefinida en 2302 Identidades Trigonomtricas, Hiperblicas y Logartmicas304 Nmeros Complejos306 Referencias Bibliogrficas del Apndice A307 Apndice BRegresin Lineal por Mnimos Cuadrados Aproximacin Lineal. Aproximacin Lineal por Mnimos Cuadrados308 Mtodo de Mnimos Cuadrados309 Referencias Bibliogrficas del Apndice B312 Apndice CPolinomios Algebraicos Desarrollo de un Polinomio en Factores Lineales313 Clculo de las Races de un Polinomio315 Regla de Ruffini317 Referencias Bibliogrficas del Apndice C320 Apndice DFunciones Racionales Fracciones Racionales321 Descomposicin de una Fraccin Propia en sus Fracciones Simples322 Referencias Bibliogrficas del Apndice D327 Apndice EFragmentos Leonhard Euler327Gustav Heinrich Adolf Doetsch330Aleksandr Mikhailovich Liapunov332 xii Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Captulo 1 Conceptos Preliminares Antesdecomenzarcualquierestudiodealgunaramadelasmatemticas,espertinente estar seguros con qu se est trabajando, es decir estar plenamente conscientes del significado de las matemticas y sus repercusiones en la vida cotidiana del hombre; por tal motivo, se har un breve estudio filosfico de esta importante ciencia. Seccin Quien carece del sentido del pasado est condenado a vivir en la estrecha oscuridad de su propia generacin. Proverbio Armenio 1.1 ASPECTOS LGICO Y EPISTEMOLGICO1 DE LAS MATEMTICAS DEFINICIN DE MATEMTICAS No es fcil definir de manera clara y concisa cuanto hoy se entiende por matemticas. La tradicionaldefinicindeellaesattulodecienciadelacantidadosucaracterizacin escolstica(dellatn:scholastcus=relativoalaescuela2)amaneradeunadisciplinade segundogradodeabstraccin.Laetimologadeltrminomatemticasprovienedelgriego (mathmatik) (mathema) = estudio de un tema ciencia, a suvezdelverbomatheteoo,quesignificaaprender;loquedenunciala importancia concedida de la enseanza del clculo en la antigedad. Jean Tricot ensuTratadodeLgicaFormal,hapropuestounaconocidadefinicinde matemticas.Elobjetodelalgicaeslacualidad;eldelamatemticaesla cantidad.. Por su parte el profesor Gabriele Lolli3 (1942- ), hace una estupenda recopilacindealgunasdefinicionesdelconceptodeMatemticas.Entreellasse encuentran: G. Lolli 1.BernardBolzano(1781-1848):Lamatemticaeslacienciaquetratadelasleyes generales a las que las cosas se ajustan de acuerdo con sus esencias. 2.HermannHankel(1839-1873):Lalgicaylamatemticatratanlasrelacionesque son que pueden ser, independientes del particular contenido sustancia de los objetos 1 Proveniente del griego: (epistm()) = conocimiento y de (lgos)= discurso 2 Escuelas a las que asistan algunas personas en la poca medieval. 3 Profesor de Lgica Matemtica de la Universidad de Torino, Italia. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer1Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.3.Benjamn Pierce (1809-1880): La matemtica es la ciencia que establece conclusiones necesarias 4.Charles Sanders Pierce (1839-1914): Es el estudio de construcciones ideales 5.JamesJosephSilvester(1814-1897):Lamatemticapuratienecomoobjetoel establecimiento de las leyes de la inteligencia humana 6.GrandeEnciclopediadellaScienzaedellaTecnologa.DeAgostini(1997):Esuna disciplinaqueutilizaunelaboradolenguajesimblicofundadoenlosconceptosde nmeroydefigurageomtrica,unmtododeinvestigacinbasadoenelmodelo hipottico-deductivo y la posibilidad de alcanzar un elevado grado de abstraccin Ch.S. PeirceB. PeirceB. BolzanoJ.J. SylvesterF. EngelsH. Hankel Existeungrancmulodedefiniciones, diversas todas ellas, pero hay una que se destaca porsugeneralidadysimplicidad:FriedrichEngels,(1820-1895)filsofoalemn,defineala matemtica como: la ciencia que estudia las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real. Entendiendoporciencia(dellatn:scientia=conocimiento) segn el filsofo mexicano Francisco Larroyo (1912-1981), como: el conjuntodeconocimientossistematizadosdemanerademostrativa, como consecuencia de ello, el sistema que constituye las matemticas esordenadoysecuencialmentelgico.Elcarctercreativo, constructordelasmatemticasesreconocidoenladefinicindelos intuicionistas.GastonBacherald(1884-1962),loexpresa ingeniosamente.Escurioso,dice,quelasherramientasmatemticasseforjencasisiempre antesdepoderpreversuempleo.Reconocentalcarcteraunqueconmodalidadesdistintas, Flix Klein (1849-1925), Henri Poincar (1854-1912), Emile Borel (1871-1956), Henri Len Lebesgue(1875-1941),RenLouisBaire(1874-1932),FederigoEnriques(1871-1946), Hermann Klaus Weyl, (1885-1955), etc.F. LarroyoG. Bachelard F. KleinH. PoincarF. EnriquesE. BorelH. WeylH. LebesgueR. Baire Todos aceptan, conforme al principio intuicionista, que: la matemtica es una creacindel espritu humano, negando toda existencia trascendentea los entes matemticos. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer2 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Para ellos: El hombre no es un descubridor, sino un creador de la matemtica LA MATEMTICA, CIENCIA FORMAL (EIDTICA) Enlahistoriadelafilosofasehanformuladomuchossistemasdeclasificacindelas ciencias(Aristteles(384-322a.C.),SantoTomsdeAquino(1225-1274),FrancisBacon (1561-1628),AndrMarieAmpre(1775-1836),AugustComte(1798-1857),Herbert Spencer (1820-1903),....). En la actualidad suelen agruparse las ciencias atendiendo a dos clases deobjetosquestasestudian:objetosrealesyobjetosideales.Losprimerossonaquellosque existeneneltiempoyelespacio(comoloscuerpos),osimplementeeneltiempo(comolos hechos psquicos). Lo real en suma, puede ser psquico, corporal a ambos a la vez, esto es psco-fsico,comoenelcasodelosanimalessuperiores.Deahquelascienciasqueestudianestos objetos reciban el nombre de ciencias reales o fcticas. (del latn: factum = hecho). Ejemplo de tales ciencias son la fsica, la qumica, la psicologa, etc. AristtelesF. BaconA. AmpereH. SpencerSt T. AquinoA. Comte Los objetos ideales (del latn: idelis = idea) como lo son las relaciones cuantitativas y las formas espaciales, son portadores de una consistencia tal, que nadie puede dudar que existan, ya que son susceptibles de ser pensados por todo sujeto. No poseen ese carcter espacio-temporal o simplemente temporal que tienen los objetos reales, pero si poseen un carcter temporal en el sentidodesurepresentacinyregistro,porejemplo,lafigurageomtricallamadahiprbola, existe idealmente, a pesar de que se la piense o no, y poco importa que se la presente aqu hoy o maana, ya sea correcta o incorrectamente. El objeto geomtrico existe junto con sus propiedades inherentes.Porotrolado,laexistenciadeunobjetoidealdependedelregistroqueseha establecido de l en la historia, as, aunque es producto del pensamiento humano exclusivamente, u existencia no depende de los fenmenos psquicos, reales, gracias a los cuales son captados.=forma)las iencias ideales como las matemticas o ciencias eidticas, estudian estos objetos. AS DISCIPLINAS MATEMTICAS s La expresin existencia ideal en sentido lgico no quiere indicar una existencia ms alta o msperfectaquelareal.Porello,paraevitarconfusiones,sueledesignrselesobjetoseidticos (delgriego:(eidtiks)=relativoalconocimientode(edos)c LLamatemticaconstadevariadasdisciplinas.Estashanaparecidoydesarrollandoalo largo de su historia. Como toda autntica ciencia, la matemtica ofrece as, un sistema abierto y revisible.AcordeconlaMathematicsSubjectClassification,desarrolladaporlaAmerican SocietyylaZentralblattfrMathematik,existeunaclasificacindelasramasqueconstituyen Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer3Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.las estructuras de las matemticas. En primera instancia se presentan las principales agrupaciones com mtica 3.Geo4.An cluye: relacionados d.Anlisis funcional y tpicos relacionados continuacinsemuestraunalistadelasprincipalessub-ramasrelacionadasalasramas princ de la matemtica cas ordenadas linomios de matrices asociativos y lgebras olgica lculo elemental jas y espacios analticos s funciones trigonomtricas ica ionales sumabilidad es o sigue: 1.Fundamentos de la mate2.lgebra y teora de nmeros metra y Topologa lisis matemtico, que ina.Clculo y anlisis real b.Variable compleja c.Ecuaciones diferenciales y tpicos e.Anlisis numrico y optimizacin Aipales antes descritas: Matemticas elementales Historia y biografas Lgica matemtica y fundamentos Combinatoria y teora de grafos Estructuras algebraiSistemas generales algebraicos Teora de nmeros Teora de campos y poAnillos conmutativos y lgebras Geometra algebraica lgebra lineal y multilineal; teoraAnillos asociativos y lgebras Anillos noTeora de las categoras; lgebra homK-teoras Teora de grupos y generalizaciones Grupos topolgicos; grupos de LieFunciones reales y cTeora de la medida e integracinTeora del potencial Funciones de variable compleja Funciones de varias variables compleFunciones especiales, incluyendo laEcuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales parciales Sistemas dinmicos y teora ergdEcuaciones en diferencias y funcSucesiones y series; Aproximaciones y expansionEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer4 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Anlisis de Fourier Anlisis armnico abstracto ntegrales y clculo operacional ptimo; optimizacin eometra euclidiana y discreta bal y anlisis sobre espacios dades y procesos estocsticos s y sistemas les lectromagntica r uctura de la materia y teora gravitacional ramacin matemtica y ciencias sociales y de la conducta ol Informacin y comunicaciones; circuitos HISTOasdelamatemticatienenqueverconestasrelacionesyformasose istinguenporlasingularidaddesusmtodos.Lacomposicindelasmatemticascomotoda cien 1.arrollo Transformaciones iEcuaciones integrales Anlisis funcional Teora de los operadores Clculo variacional y control Geometra; incluye la gGeometra convexaGeometra diferencial Topologa general Topologa algebraica Espacios y celdas complejas Anlisis gloTeora de probabiliEstadstica Anlisis numrico Ciencia de las computadoras Mecnica de partculaMecnica de los slidos deformabMecnica de fluidos ptica y teora eTermodinmica clsica y transferencia de caloTeora cuntica Mecnica estadstica; estrRelatividadAstronoma y astrofsica Geofsica Investigacin de operaciones y progTeora de juegos, economa Biologa y otras ciencias naturales Teora de sistemas; contrMatemticas educativas RIA DE LAS MATEMTICAS Todaslasramasdelasmatemticaspormuydistintasqueparezcan,estnunidasporsu objeto. Este objeto, lo conformanlasrelaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.Lasdiferentesramdcia, es la siguiente: HECHOS, acumulados en el transcurso de su desEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer5Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.2.HIPTESIS,estoes,suposicionescientficasbasadasenloshechos,quesesometen posteriormente a una verificacin experimental 4. MATEMTICAS, esto es, la interpretacin terica general de la leyesyteorasmatemticas,lasquecaracterizanelenfoquegeneralenelestudiodel iado, onstituyeelobjetodelahistoriadelasmatemticas.Enotraspalabras:Lahistoriadelas e .Gdelde1931representaunparteaguasenlahistoriadelasmatemticas).Atendiendoa inte en 11 periodos: sta 10,000 A.C.): A.C. hasta 2,000 A.C.):0 A.C.):.C.): s.II ): hasta s.XIV) iento y la Reforma (s. XV y s XVI) III 10. Siglo XIX versascategoras,stos onformanlagranestructuradeestaimportanteciencia.Independientementesilosentes matem La validez de los fundamentos de la matemtica, no depende del indudable nexo A diferencia de las ciencias fcticas como la fsica la qumica, la matemtica tiene sus propios ostrar la validez de sus fundamentos. 3.TEORAS Y LEYES MATEMTICAS, cmo la generalizacin de los resultados del material real estudiado LA METODOLOGA DE LASobjeto de las matemticas. Todos estos elementos estn interrelacionados y se encuentran en constante desarrollo. La aclaracin de cmo ocurre y a dnde conduce este desarrollo en un periodo histrico estudcmatemticas es la ciencia acerca de las leyes objetivas del desarrollo de las matemticas. El desarrollo de las ramas de las matemticas, ha evolucionado a travs del tiempo como unaactividadexclusivadelpensamientohumano,ycomotal,stehasidoinfluenciadoporla propia actividad del hombre, esto es, el comercio, la agricultura, la agrimensura, la pesca, la caza, las guerras, etc. y por otras disciplinas como la astronoma, la mecnica, la biologa, entre otras. Lautilidadprcticahasidounfactordecisivoenestesentido.Existenvariasmanerasde visualizar en el tiempo este desarrollo. A este proceso se le llama periodizacin del desarrollo de lamatemticaystepuederealizarseporpases,porformacionessocio-econmicasculturas, pordescubrimientosrelevantesosimplementeporintervalosestrictamenteacotadosquehan caracterizadoeldesarrollosocialyeconmicodelhombre.(porejemplo,losteoremasdKrvalos acotados de tiempo, se puede dividir el desarrollo de las matemticas 1.Era Paleoltica (Edad de Piedra) (2,500,000 A.C. ha2.Era Neoltica (Nueva Edad de Piedra) (10,0003.Periodo Pre-Helnico (2,000 A.C. hasta 604.Periodo Helnico (600 A.C. hasta 300 A5.Periodo Helenstico (300 A.C. hasta6.Periodo Grecorromano (s.II hasta s.V) 7.poca Medieval (s.V 8.El Renacim9.Siglos XVII y XV11. Siglo XX y XXI Enresumen,losejesrectoresdelamatemticasonlosconceptosdecantidadyforma;ellos estnpresentesentodoelconocimientomatemtico.Pertenecienteadicticos son creados o descubiertos, debe quedar claro los siguiente: que en algunos casos tiene sta, con la naturaleza fsica mtodos para demEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer6 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica. Investigacin lasecuaciones iferenciales) para cada uno de los periodos mostrados en el pargrafo anterior. TRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALESclculodiferecuaciones Consulte el sitio MacTutor History of Mathematics (vase las referencias al final del capitulo) e introdzcaseenelapartadoChronologyindexyelaboreunalistamostrandoporlomenos10 eventos(losqueconsideresmsimportantesyqueestnrelacionadoscond Seccin 1.2 Los cientficos estudian la naturaleza no porque sea y encuentran placer porqPoincar Henri til, sino porque encuentran placer en ello ue es hermosa IN Laspalabrasecuaciones(queprovienedellatn:aequti=igualando)ydiferenciales (dellatn:differentia=diferencia)conllevaapensarenlasolucindeecuacionesendonde figurendiferencialesdealgunafuncin;estoseconcibesobrelabasedelosconocimientos anterioresquesetienensobrelgebray rencial.Ascomoenellgebra,seinvirti tiempoenresolve como 26 0 x x = ,enestecursosevanapoderresolver ecuacionescomo: 0 1 2 = + ' y ' ' y ;peroparaellosonnecesarioslospresupuestostericos pertinentesquesedesarrollaranalolargodelcurso.Comoyasepudoobservar,lasecuaciones diferencialessonunaramadelanlisismatemticoyseinterrelacionaconotrasramascomoel clculodiferencial,elclculointegralyconotrascategorascomolageometraanaltica,el lgebra elemental, la geometra euclidiana, la trigonometra, as como con otras ciencias como la fsica, qumica, sociologa, biologa, etc. Para un ptimo desarrollo del estudio de las ecuaciones diferencialesesnecesarioqueelestudiantedomineperfectamenteelconceptodefuncinylas tcnicasdeintegracinparastas,vistasenlosprimeroscursosdematemticasenelnivel cenciatura. RESEA HISTRICA 6-716) en el siglo XVII. Es ms, Edward Lindsay Ince (1891-1941) establece: brede1675,cuandoporprimeravezLeibnitzasentenunpapella ecuacin li Lateoradelasecuacionesdiferencialesseoriginaenlosprincipiosdel clculo,conIsaccNewton(1642-1727)yGottfriedWilhelmLeibnitz(164G.W. Leibnitz 1 Todosnuestrosvagosconocimientossobreelnacimientoydesarrollodela ciencia de las ecuaciones diferenciales se resumen en una fecha importante, el 11 denoviem=221y ydy Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer7Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.noresolviendoconestounasimpleecuacindiferencial,loqueeraenstrivialosecundario, sinoqueconstituyunactodegrantrascendencia,puescreunsmbolomuytil:elsignode integracin. An cuando Newton, realiz relativamente poco trabajo en la teora de las ecuaciones diferenciales, su desarrollo del clculo y la aclaracin de los principios bsicosdelamecnicaproporcionaronunabaseparaeldesarrollodesus aplicaciones, en el siglo XVIII. Newton clasific las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas: I. Newton ( ) ( ) ( ), y , x fdxdyy fdxdy, x = = fdxdy= . Paralaltima,desarrollounmtododesolucin,usandoseriesinfinitas,cuandof(x,y)esun polinomio en x e y. Era muy sensible a la crtica y, como consecuencia, tard bastante en publicar muchos de sus descubrimientos. Leibnitzllegaresultadosfundamentalesdelclculoindependientemente,aunqueun pocomstarde,queNewton.Nuestranotacinmodernaparaladerivada dxdyyelsignode integralsedebenaLeibnitz.Descubrienformaindependientedeloshermanos Bernoulli,elmtododeseparacindevariables,ascomoprocedimientospararesolverlas ecuaciones diferenciales homogneas de primer orden. Sostuvo una prolfica correspondencia con otrosmatemticos,especialmenteconloshermanosBernoulli.Enelcursodeesta correspondenciaseresolvieronmuchosproblemasdeecuacionesdiferenciales,durantelas ltimas dcadas del siglo XVII. ( )dx x f ANewtonyLeibnitz,siguieronloshermanosBernoulli, Jakob(1654-1705)yJohann(1667-1748)y,elhijodeJohann, Daniel(1700-1782).Justamente,stossontresdelosocho miembrosdelafamiliaBernoulli,quienes,ensutiempo,fueron prominentesmatemticosyhombresdeciencia.Conayudadel clculo,formularonyresolvieronlasecuacionesdiferencialesde muchosproblemasdelamecnica.Unproblema(1696-1697)al ermanos,yelcualprovocproblemasentreellos,fueeldela braquistrcona,ladeterminacindelacurvadedescensorpido.Esteproblemaconduceala ecuacin diferencial no lineal de primer orden Jakob Bernoulli Johann Bernoulli cualcontribuyeronambosh ( ) [ ] c ' y y = +21 donde c es una constante. Newton tambin resolvi el problema antes, en 1697. Se dice, tal vez no sea cierto, que Newton supo del problema (como un reto) al final delatardedeunfatigosodaenlaCasadeMoneda,yloresolvienlanoche, despusdelacena.Publiclasolucinenformaannima,peroJohann Bernoulli, al verla, exclam Ah!, conozco el len por su zarpa. Lo es Daniel, cuyonombreestasociadoconlafamosaecuacindeBernoullidelamecnicaD. Bernoulli Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer8 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.delosfluidos.En1690JakobBernoullipubliclasolucindelaecuacindiferencial,queen formadiferencialseescribe:( ) dx a dy a y b23213 2 2= .Actualmenteestaecuacinsetomacomo simpleejercicio,peroenaqueltiempo,pasardelaecuacin 213 2 23=a y ba' y alaforma diferencialy,entonces,afirmarquelasintegralesenambosladosdelaecuacindebanser iguales,exceptoporunaconstante,constituyciertamenteunavancetrascendental.Aspor ejemplo, mientras que Johann Bernoulli saba que +=+11paxd dx axpp no era valido para p = 1, yaquenosabaque(dxd ln x)x = . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuacin axydxdy= , que podemosresolverescribindolacomo xdxydya = ,tienelasolucincxya= dondecesuna constantedeintegracin.EnlaltimadcadadelsigloXVII,loshermanosJacobyJohann introducentrminoscomoeldeintegrarunaecuacindiferencial,ascomoelprocesode separacin de variables (separatio indeterminatarum) de una ecuacin diferencial. AfinalesdelsigloXVII,muchosdelosmtodoselementalesdesolucin para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se conocan y, la atencin sedirigihacialasecuacionesdiferencialesordinariasdeordensuperioryhacia lasecuacionesdiferencialesparciales.JacoboRiccati(1676-1754)matemtico italiano, consider ecuaciones de la forma( ) 0 = ' ' y , ' y , yJ. Riccati f . Tambin consider una importanteecuacinnolineal,conocidacomoecuacindeRiccati, ( ) ( ) ( )22 1 0y x a y x a x adxdy+ + = , aunque no en forma tan general. LeonhardEuler,(1707-1783)matemticosuizoytenientedelaArmada Rusa, uno de los ms grandes matemticos de todos los tiempos, vivi en el siglo XVIII.Fueungranmatemtico;sustrabajosreunidosllenanmasdesetenta volmenes. Aunque qued ciego, durante los ltimos aos de su vida su trabajo no disminuy. De particular inters es su trabajo sobre el planteamiento de problemas delamecnicaysudesarrollodemtodosdesolucinparaestosproblemas matemticos. Refirindose al trabajo de Euler en la mecnica, Lagrange dijo que era el primer trabajo en el que se aplica el anlisis a la ciencia del movimiento. Euler tambin considerlaposibilidaddereducirecuacionesdiferencialesdesegundoordenaecuaciones diferencialesdeprimerorden,medianteuncambioadecuadodevariables;creelconceptode factorintegrante;en1739diountratamientogeneraldelasecuacionesdiferencialeslineales ordinariasconcoeficientesconstantes,contribuyalmtododelassolucionesenseriesde potencias y dio un procedimiento numrico para resolver ecuaciones diferenciales. Tambin hizo contribucionesimportantesalateoradelasseriesdeFourierycrelaprimeradiscusin sistemticadelclculodevariaciones.AEulerseledebelaprimerasistematizacindelos trabajosdesuspredecesores,laqueselepuedeconsiderarlaprimerateoradelasecuaciones diferencialesordinarias;estoapareceensuobraDeIntegrationeAequationum Differentialiumde1755quecontieneloquesepodraencontraractualmenteenunlibrode L. Euler Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer9Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.textoactual,comoelestudiodelasecuacionesdiferencialesdeprimerordenysurespectiva clasificacinenseparables,homogneas,exactas,lineales,etc.,ascomolasecuacionesde segundo orden y las susceptibles de reduccin del orden. Posteriormente, durante el siglo XVIII, el matemtico italiano, astrnomo y profesor de artillera4Giuseppe Lodovico Lagrangia o mejor conocido como JosephLouisLagrange(1736-1813)yelastrnmo,matemtico,profesordela Escuela Militar de Pars y marqus5 Pierre Simn Laplace (1749-1827) hicieron importantesaportacionesalateoradelasecuacionesdiferencialesy,adems, dieronporprimeravezuntratamientoalasecuacionesdiferencialesparciales. PosiblementesealaecuacindeLaplace,laecuacindiferencialparcialms conocidaenlafsica-matemtica,laecuacindelpotencial0xx yyu u + = ,dondelossubndices indicanderivadasparciales.Lagrangedemostrquelasolucingeneraldeunaecuacin diferencialhomogneadeordennconcoeficientesconstantesesdelaforma: 1 1 2 2 n ny c y c y c y = + + +donde 1 2 ny , y ,......, y sonunconjuntodesolucioneslinealmente independienteysonconstantesarbitrarias(loqueseconoce actualmentecomoprincipiodesuperposicin).Tambindescubriensuforma generalelmtododevariacindeparmetros.Eltrabajomonumentalde Lagrange,MecaniqueAnalytique,contienelasecuacionesgeneralesdel movimientodeunsistemadinmico,conocidasactualmentecomoecuacionesde Lagrange.EltrabajodecincovolmenesdeLaplace,TraitdeMecaniqu Cleste,leganelttulodeNewtondeFrancia.Losltimosvolmenesse publicaronenelperodode1789-1825eincluyerontodalamecnicadeesapoca;tambin public Theorie Analytique des Probabilits en donde tuvo su origen su famosa transformada deLaplace.LasposturasdeLagrangeyLaplacecomprendierondosfilosofasdelas matemticas. Para Laplace la naturaleza era esencial y las matemticas eran su herramienta en el aprendizaje de sus secretos. Para Lagrange las matemticas eran un arte que justificaba su propio ser. Sin embargo, ambos hombres realizaron avances de gran alcance, tanto en la teora como en las aplicaciones de las matemticas. 1 2 nc ,c ,.....,cJ. J. Lagrange P.S. Laplace PorsuparteJeanLeRondDAlembert(1717-1783)en1766encontr que la solucin de una ecuacin lineal no homognea, es igual a la suma de una ciertasolucinparticularylasolucingeneraldelacorrespondienteecuacin homognea.Aesteimportantematemticoseleconsideracomounodelos pioneros en el estudio de las ecuaciones diferenciales y fue uno de los primeros en usarlasenfsica,particularmenteenmecnicadefluidos.TambinDAlembert estudilaecuacindeondasunidimensionalyen1747publicasusolucin independientemente de Euler quien tambin la publica en 1748. J. L. DAlembert Elestudiantequeseintereseenlahistoriadelasmatemticas(ydelasecuaciones diferenciales) puede consultar uno de los libros que tratan del desarrollo de las matemticas y que se muestran al final de este captulo. 4 A los 19 aos fue nombrado en 1755, profesor de la Real Escuela de Artillera de Turn. 5 Oriundo de Francia, en 1806 fue nombrado Conde por Napolen Bonaparte y en 1817 Marqus por Luis XVIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer10 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Enlosltimosaos,algunosmatemticosdedicadosalestudiodelasecuaciones diferencialesordinariasyparcialeshantratadodeelaborarunateorasistemtica(perogeneral) rigurosa.Lafinalidadnoestantocrearmtodosdesolucinparaecuacionesdiferenciales particulares,sinodesarrollartcnicasapropiadasparaeltratamientodediferentesclasesde ecuaciones.Enloscaptulosposterioressemostrarnotrosdescubrimientosquealgunos matemticoseminenteshanhechoatravsdelahistoriadeldesarrollodelasecuaciones diferenciales. Seconcluyeestecortoesquemahistricoconunaobservacinqueposiblementele proporcione cierto placer al estudiante que ha observado, con desaliento, la frecuencia con la que aparecen en los textos de matemticas frases como Es obvio que....., o bien, Fcilmente puede demostrarse que ..... Nathaniel Bowditch (1773-1838), matemtico y astrnomo americano, al traducir la Mecanique Celeste de Laplace, a principios del siglo XIX, afirm:N. Bowditch NopuedoencontrarunaafirmacindeLaplaceAs,esevidente,sin tener la seguridad de que deber emplear horas de trabajo intenso, para cubrir el abismo y averiguar y demostrar lo evidente que es Seccin Hay inherentemente en la naturaleza una armona escondida que se refleja en nuestras mentes bajo la imagen de simples leyes matemticasWeyl,Herrmann 1.3 MODELOS MATEMTICOS EL NACIMIENTO DE LA CIENCIA Enlanecesidaddepodercomprenderlosfenmenosqueocurrenenlanaturalezaydel fenmenohumano,elhombre,atravsdesuhistoria,harealizadoestudiosprofundosdetales eventos; trata de explicarse el porqu de las cosas, cuales son las leyes que rigen estos cambios a vecesimpredeciblesoavecesenelmejordeloscasospredecibles.Desdelaantigedadse pensabaquelanicaraznporlaqueocurranlascosaseraporlosDioses,hastaquenacila ideadequelascosasqueocurranenlanaturalezanosedebanaloscaprichosdelosDioses, sinoquehabaunaraznmshumanaymuchomenosdogmtica,queexplicaraconmayor claridad y aceptacin dichos fenmenos. Este perodo importante en la historia del hombre comienza en la Grecia antigua, donde floreci la ciencia; Es la gnesis de una poca en donde germinarn sus principios bsicos, como un conjunto de conocimientos sistematizados, ordenados y con carcter demostrativo. EnlossiglosposterioresconNicolasCoprnico(1473-1543),GalileoGalilei(1564-1642)yotrosms,renacelaciencia,emperounavezmslaavariciadelpoderylaestupidez vuelve a enterrar estas ideas de conocer al mundo, mediante la ciencia. Pero el mrito de algunos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer11Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.no queda olvidado a pesar de haber dado incluso la vida para que el logro de la ciencia fuera una realidad,gentecomoJohanesKepler(1571-1630)en el siglo XVII que a pesar de haber sido perseguido por una turba religiosa, se apoya en la ciencia griega y logra hacerimportantescontribucionesalacienciafundando una de las ramas de sta como lo es la Astrofsica. Es innegablelarepercusinylosalcancesqueestegran cientfico logra en el presente N. CoprnicoG. Galilei J. Kepler LA NATURALEZA FSICA COMO GENERADORA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO A pesar de que la matemtica no es una ciencia fctica, la observacin de los fenmenos queocurrenenlanaturalezahacontribuidoensudesarrollo.Losconocimientosmatemticos, fueroncreadosodescubiertosporelhombrebajolainfluenciadelamsrudimentariae imperfectaactividadproductiva.Conformefuecreciendoencomplejidadestaactividad,fueron incrementndose tambin los factores que influyeron en el desarrollo de las matemticas. Desde lostiemposdelsurgimientodelasmatemticascomocienciaparticularincluyendosupropio objeto,lamayorinfluenciaenlaformacindenuevosconceptosymtodosmatemticos,la ejercieronlascienciasfcticasdecarcterdeterminsticoyalgunasdecarcterestocstico. Entendindoseporcienciasdeterminsticasalcomplejodecienciassobrelanaturaleza,tales comolaastronoma,lafsica,ylamecnicayestocsticasaquellasquesecaracterizanporsu aleatoriedad como la biologa, la sociologa, la sociometra, entre otras. La naturaleza directa de los problemas de las ciencias determinsticas en el desarrollodelasmatemticaspuedeserobservadaalolargodetodasuhistoria. AsporejemploelanlisisquehaceeljesuitaitalianoBonaventuraFrancesco Cavalieri (1598-1647) de los objetos reales lo conlleva en 1635 a la teora de los indivisibles,lacuallesirvidebaseamuchosmatemticosparalacreacindel anlisis infinitesimal moderno. De la observacin de las formas proyectadas en un planodeobjetostridimensionales,naceen1639lageometraproyectivaenlas obrasdelfrancsGirardDesargues(1591-1661).Elclculodiferenciale integral,ensuformamsprimitivadelclculodeflujossurgicomomtodode estudioformaldelateoradelasecuacionesdiferencialescomienzaconlos trabajos de mecnica de Euler de 1736. Las ecuaciones diferenciales parciales se comenzaronaestudiarconlostrabajosde1747sobreelvientoydelascuerdas vibrantesdeDAlembert.En1770nacelateoradegruposconlostrabajosde mecnicadeLagrange.ElanlisisdeFouriernace en1807precisamenteconlostrabajosdeloficialdelaarmada NapolenicaJeanBaptisteJosephFourier(1768-1830)sobre transferencia de calor. De la dinmica de Hamilton de 1834, surge el anlisis vectorial. El mtodo de los mnimos cuadrados (1809) y lageometradiferencial(1828)surgendelostrabajosgeodsicos elaboradosporelclebrematemticoalemnJohannCarl FriedrichGauss(1777-1855).Lateoradelospolinomioscondesviacinmnimadelcerofue elaborada en 1852 por el matemtico y mecnico ruso Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) en relacin con las investigaciones en torno a las mquinas de vapor.B. Cavalieri G. Desargues J.B.J. FourierC.F. Gauss Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer12 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Conlostrabajosenelequilibriodelquidosenrotacinen1881delmatemticoruso AleksandrMikhailovichLiapunov(1857-1918),discpulodeChebyshev,nacelaimportante teoradelaestabilidad6.Delfenmenodelarelatividadsurgeelclculotensorialconlas contribucionesen1884deGregorioRicci-Curbastro(1853-1925)ydeTullioLevi-Civita (1873-1941) en 1887. El estudio de la topologa nace en 1894 de los trabajos en mecnica celeste dePoincar.Actualmente,porexigenciadelasnuevasramasdelascienciasengeneral,seha generadounimpetuosodesarrollode muchasramasdelasmatemticas,tales como: la teora combinatoria, la teora del caos,laslgebrasnoconmutativas,los mtodosaproximadosdeecuaciones diferencialeseintegrales,lateoradelos gruposfinitos,etc.Ejemplosdeeste nconcualquierramadelsabertcnicoy cientfico.Todosellosmuestranquelasmatemticassurgendelaactividadproductivadelos hombresyquelosnuevosconceptosymtodos,enlofundamentalseformulabanbajola influencia de las ciencias fcticas. P. ChebyshevA.M. Liapunov G. Ricci-Curbatro T. Levi-Civita gnerosepodranprolongarilimitadamenteenrelaci

MODELACIN MATEMTICA En las fenomenologas de la naturaleza y la humana, las magnitudes que caracterizan tal o cualfenmeno,puedenvincularsemedianteaparatosmatemticosoriginadosporsupuestosy restriccionestomadossegnlageneralidadconlaqueseabordeelfenmenoencuestin;tales aparatos son conocidos en el ambiente matemtico como modelos matemticos y al proceso que los genera modelacin matemtica. Semejantes modelos son representados segn sea el caso, por ecuacionesosistemasdeecuacionesenlasqueseinvolucranlasmagnitudesvariablesms significativas de dicho fenmeno, as como sus derivadas,diferenciales integrales. Para mayor comodidad matemtica (es decir el camino ms corto y ms sencillo) se busca descartar el mayor nmero posible de magnitudes variables que no afecten significativamente al fenmeno y que al finalquedelafuncindesconocidaylasdemsvariablesindependientes.Talfuncinseren trminosmatemticos,lasolucindelmodelomatemticoydeterminaelcomportamientodel fenmeno. APLICACIN DE LAS MATEMTICAS AL MUNDO REAL A lo largo de la historia han existido numerosas aplicaciones de las matemticas al mundo real. Lamatemticahaestadopresenteenlosgrandeslogrosquehaobtenidoelhombreensu desarrolloevolutivo.DesdelasimponentesconstruccionesEgipciashastalasmodernasnaves espaciales, todas ellas, producto del ingenio humano, de alguna manera han estado ligadasalasmatemticas.Enestepargrafo,solosemencionarnalgunasdelas msimportantesaplicacionesdelamatemticaenbeneficiodelhombre.En cienciasnavales,Euleren1749,fundamentamatemticamenteatravsdel anlisis infinitesimal, las bases para el diseo y construccin de barcos. En ptica, elfsicoymatemticofrancsAgustinJeanFresnel(1788-1827),obtuvo frmulas para explicar la reflexin, refraccin, doble refraccin y polarizacin de A.J. Fresnel 6 que posteriormente aplic al estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales en 1899. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer13Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.la luz reflejada desde una sustancia transparente. En 1818 aplica la geometra y la trigonometra para el diseo de los ahora llamados lentes Fresnel usados comnmente en los faros de puertos y aeropuertos, adems de encontrrseles en los lentes de los retro-proyectores usados en las tpicas aulasacadmicas.Enoftalmologa,HenryCoddington(1799-1845),reputadomatemtico, tutordelTrinityCollegedeCambridge,inventordelmicroscopiomanual, establece en 1829 las primeras ecuaciones matemticas aplicadas al astigmatismo; posteriormente,laresolucindelproblemamatemticodelastigmatismo correspondialsuizoJaquesCharlesFranoisSturm(1803-1855),profesorde matemticasdelaEscuelaPolitcnicadePars,queen1845establece determinados aspectos tericos de la refraccin a travs de superficies asimtricas pero,sobretodo,describeunafigurageomtrica,elconoide,que bre.Enqumica,elcristalgrafoymineralogistarusoEvgraf StepanovicFedorov(1853-1919),sededicalestudiodelacristalografa geomtricaydelateoraestructuraldeloscristales.En1889dedujolos230 grupos de simetra espacial, a partir de los cuales introdujo una nueva clasificacin de los cristales; esto lo logra apoyndose en la teora de grupos.Ch. F. Sturm llevasunom

E.S. Fedorov YaeelsigloXX,enaerodinmica,elmecnicorusoNikolaiEgorovichZhukovsky7 (1847-1921) establece en 1906, a travs de la variable compleja, una expresin matemtica para elperfildelaladeunaeroplano.Enaviacin,elrusoSergeiAlekseevichChaplygin(1869-1942)desarrollmtodosdeaproximacinpararesolverecuacionesdiferencialesyaplicesto en 1910 en el estudio de las alas de aviones. En electrodinmica, el fsico terico suizo Walter Ritz (1878-1909) inventa en 1908 un mtodo8 para calcular los eigenvectores y eigenvalores en unsistemaHamiltonianodepartculas.Dichoseadepaso,enlapropiamatemtica,elruso SergeiNatanovichBernstein(1880-1968)introduceen1911,unospeculiarespolinomiosde aproximacin9 que posteriormente se aplicarn en la graficacin por computadora. En mecnica estructural, el mecnico bielorruso Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) introduce en 1915 elmtododelelementofinitoqueamediadosdelsigloXXsemodernizaatravsdelas computadoras.En1922losmatemticoshngarosLiptFejr(1880-1959)yFrigyesRiesz (1880-1956)publicanunimportantetrabajosobreelmapeoconforme,queformalizalas investigaciones hechas por Zhukovski y Chapligyn aos atrs y que actualmente se aplican con mayor fuerza en aeronutica e hidronutica. S.A. ChaplyginN. ZhukovskyS. BernsteinW. RitzB.G. GalerkinL. FejrF. Riesz En biologa, en 1925, el matemtico estadounidense, especializado en estadstica, Alfred JamesLotka10(1880-1949)yen1926elmatemticoitalianoVitoVolterra(1860-1940) 7 Tambin conocido como Nikolai Egorovich Joukowski 8 Mtodo que lleva su nombre y que en esencia es el mismo que Galerkin propone aos ms tarde en forma independiente 9 Ahora llamados polinomios de Bernstein. 10 Considerado como el fundador de la demografa matemtica. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer14 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.propusieronenformaindependienteelmodelomatemticoatravsdeunsistemanolinealde ecuacionesdiferencialesordinarias,quedescribeelcomportamientodelossistemasde competenciadepredador-presatpicosenlosecosistemasbiolgicos.Eneconoma,los estadounidensesPaulHowardDouglas(1892-1976)economistay WigginsCobb (1875-1949)encontraronen1928unafrmula empricadelaformaP bL KCharles = paradeterminar la produccin en un sistema econmico en funcin de la fuerza laboral y el capital de inversin. Enmeteorologa,elbritnicoLewisFryRichardson(1881-1953)estableceen1922una prediccindelclimamedianteunprocesonumrico.Ensumomento,elclculomanualfue prohibitivo,peroenlaactualidadestodaunarealidad.Endiseoestructural,elmatemtico polaco Richard Courant (1888-1972) utiliza en 1943, el mtodo de Ritz para obtener soluciones deunsistemavibratoriocreandodepasoloqueseconoceactualmentecomoanlisisdel elementofinito.Eneconoma,elmatemticohngaroJohnVonNeumann(1903-1957)aplica en 1944, la teora de juegos en el estudio del comportamiento de una determinada economa. sa transformada rpida de Fourier ampliamente tilizada en el tratamiento de seales digitales.

Enlogsticamilitar,elmatemticoestadounidenseGeorgeDantzig(1914-2005)introduceen 1947 el mtodo simplex de optimizacin y lo aplica en la planeacin de actividades militares en la fuerzaareadelosestadosunidos.Eninformticaycomunicaciones,elmatemtico1948 NorbertWiener(1894-1964)aplicaen1948,laciberntica11enlateoradelcontroldela informacin,particularmenteenlascomputadoras.Enmeteorologa,elmatemticoy meteorlogoestadounidenseEdwardNortonLorenz(1917-)descubreen1961unsimple sistema matemtico con comportamiento catico. Esto lo llev a desarrollar una nueva rama de la matempatica:lateoradelcaos,lacualaplicensistemasdinmicosquesigueneste comportamiento.Engficasporcomputadora,lascurvasBzier12fuerondadasaconoceren 1962 por el ingeniero francs Pierre tienne Bzier (1910-1999), quien las us ampliamente en eldiseodecarrocerasdeautomviles.Finalmenteenelectrnica,losmatemticosJohn WilderTukey(1915-2000)yJamesWilliamCooley(1926-)publicanen1965unartculo introduciendo el algoritmo numrico de la famoR. CourantV. VolterraA.J. LotkaJ. von NeumannL. RicharsonP.H. Douglas u 11 El trmino ciberntica es dado por l en su obra Cybernetics: or, Control and Communication in the Animal and the Machina 12 Aunque stas, fueron desarrolladas antes en 1959, por el fsico y matemtico francs Paul de Casteljau (1930-) G. DantzigN. WienerE.N. LorenzP.. BzierJ.W. TukeyJ. Cooley Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer15Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.A OS TIPOS DE ECUACIONES EN LAS MATEMTICAS En forma breve y sin pretender hacer un estudio extenso sobre las ecuaciones mLGUNatemticas descartandoaquellasdecarctermatricial,vectorial,tensorialetc.Slosemuestranaquellas lar y se pueden clasificar en: simples y de grado superior. el caso la(s) variable(s), pero no se aclara la separacin e las variables en independientes y dependiente; stas se subdividen en: ecuaciones individuales Las ecuaciones individuales simples se caracterizan por contener una sola variable como incgnita y su naturaleza puede ser diversa como se muestra a continuacin: j.: yecuaciones de carcter esca ECUACIONES SIMPLES En esta categora aparecen segndy sistemas de ecuaciones simultaneas. ECUACIONES INDIVIDUALES SIMPLES Algebraicas Polinomiales E00nkkka x== Trascendentes Logartmicas Exponenciales Ej.: ( ) 2 4 7 ln x 0 = Ej.:23 0xe x + = cos xTrigonomtricas Ej.: sen x 0 =Lossistemasdeecuacionessimultneassimplessecaracterizanporcontenervarias variables y pueden ser de diversos tipos: 5 SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS SIMPLES Algebraicas Ej.:2 4 05 6x yx y+ = = Trigonomtricas Ej.:343sen x sen ytan x tan y== Ej.:Exponenciales x22 3464yyx == Logartmicas Ej.:2 225log x log y logx y+ =+ = Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer16 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.E IONES DE GRADO SUPERIOR Enestacategoralasvariablesquedanperfectamentebiendefinidascomolavariable dependiente(funcindesconocida)yla(s)variablesindependienCUACtes,bajoelsignodeloperador erivadaointegralyenalgunasocasioneslosdiferencialesdeestasvariables.Seclasificanen: ultneas. nestacategoralasecuacionespuedencontenerunaomsvariables,algunostiposde ecuac cuaciones Diferenciales Ordinarias decuaciones individuales y sistemas de ecuaciones sim ECUACIONES INDIVIDUALES DE GRADO SUPERIOR Eiones son: E Ej.:0 xdy ydx =Ej.:( )00k nk kkd yf xdx== Ecuaciones Diferenciales arcialesPEj.:2 22x t20y y + =Forma general:cuaciones Integrales de Tipo ciales Ecuaciones Integrales ( ) ( ) ( ) ( ) baY t F t K u,t Y u du = + EConvolutorio Forma general:( ) ( ) ( ) ( )0tY t F t K t u Y u du = + Ecuaciones Integro-Diferen Ej.: ( ) ( ) ( ) ( )0tY'' t Y t sent cos t u Y u du = + +Ecuaciones en Diferencias Ej.: ( ) ( ) ( ) 4 1 3 2 Y t Y t Y t t + =Ecuaciones Diferenciales de Diferencias Ej.: ( ) ( ) 1 2 Y' t Y t t = +Ecuaciones Integro-Diferenciales Deentrelosmuchostiposdesistemassimultneos,sonimportantesparaestecurso,los sistemas de ecuaciones diferenciales, a modo de ejemplo se tienen: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ej.:en Diferencias Ej.:( ) ( ) ( ) ( )02tY' t Y t sen t u Y u du = + SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTNEAS DE GRADO SUPERIOR ( )( )ABdxy xdt Vdyx ydt V= = Sistemas de Ecuaciones Diferenciales No Lineales Ej.: 220 50 3dx. x y xydtdyxy . xdt= = + yEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer17Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.UBICACINDELASECUACIONESDIFERENCIALESENELCONTEXTODELAS ECUACIONES MATEMTICAS. Segn la clasificacin que se hizo anteriormente, las ecuaciones diferenciales estn en la categoradelasecuacionesdegradosuperiortantoensumodalidaddeindividualescomode sistemassimultneos.Enlasiguienteseccinseestudiarlaclasificacindestas,ascomoel significado de sus soluciones. Seccin Educad a los nios y no ser necesario castigar a los hombres Pitgoras 1.4 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA BSICAS Comosehavistoenlareseahistricayenlosmodelosmatemticos,lasmagnitudes variablespuedenvincularsemedianteecuacionesdevariostipos,unodestossonlasllamadas ecuaciones diferenciales. Definicin1.-Engeneralunaecuacindiferencial,esaquellaenlaseinvolucranunavariable dependienteyunaomsvariablesindependientesysusdiferencialesosusderivadashastael orden n inclusive Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales Parciales. A continuacin se darn las definiciones de los dos tipos de ecuaciones diferenciales, a saber: Definicin2.-Sellamaecuacindiferencialordinariaaquellaquevinculalavariable independiente x, la funcin incgnita( ) y y x =y sus derivadas ( ) ny', y'', y''', , y (hasta el orden n inclusive), es decir, una ecuacin de la forma: ( )( ) 0 =ny , ,......... ' ' y , ' y , y , x F Definicin3.-Sellamaecuacindiferencialparcial,aquellaenlaqueaparecelafuncin incgnita( ) y y x = ,dependientedelasvariablesindependientes1 2 3, , ,nx x x xysusderivadas parciales hasta el orden n inclusive. Por ejemplo, supngase que u es la variable dependiente de las variables x e y, entonces la forma general de esta ecuacin diferencial parcial sera: 2 2 22 20u u u u uF x, y,u, , , , ,x y x y x y = Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer18 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.En lo sucesivo solamente se circunscribe a las ecuaciones diferenciales ordinarias hasta el orden n inclusive, ya que el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales se sale del contexto que la presente obra pretende. CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a tres aspectos que las caracterizan, las cuales son: el tipo, el orden y su linealidad. CLASIFICACIN SEGN EL TIPO Siunaecuacinslocontienederivadasordinariasdeunavariabledependientecon respectoaunasolavariableindependiente,entoncessedicequeesunaecuacindiferencial ordinaria. Por ejemplo: (mT T kdtdT = ) (Ley de enfriamiento de Newton) Siunaecuacincontienelasderivadasparcialesdeunaomsvariablesdependientes respectoaunaomsvariablesindependientes,sellamaecuacindiferencialparcialo ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo: 044222=+xybty(Vibraciones transversales de una viga) CLASIFICACIN SEGN EL ORDEN Elordendeunaecuacindiferencial(ordinariaoenderivadasparciales)eseldela derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuacin. Por ejemplo:

0 10 3422= ydxdydxy dordenprimerordensegundo

es una ecuacin de segundo orden CLASIFICACIN SEGN LA LINEALIDAD O NO-LINEALIDAD Se dice que una ecuacin diferencial es lineal cuando tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f y x adxdyx a ......dxy dx adxy dx annnnnn= + + + + 0 1111

o en forma condensada ( ) ( ) ydxy dx fdxy dx ankkkk= ==000dondeEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer19Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.en esta ltima ecuacin, se ven las dos propiedades caractersticas de las ecuaciones diferenciales lineales: 1.La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo trmino en donde aparece y es 1. 2.Cada coeficiente slo depende de x, que es la variable independiente. Las funciones como tan(y) o las funciones de las derivadas de y como ' yeno pueden aparecer en unaecuacinlineal.Cuandounaecuacin diferencial que no posee las caractersticas anteriores se dice que es no-lineal. Las ecuaciones( )xe ydxdydxy dx , y ' y ' ' y xdy dx x y = = + = + 5 0 3 6 , 0 5 2444 son lineales ordinarias de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente. Por otro lado, ( )

0d

d3 11 de distinta433y de linealno222y de dependee coeficient= + = = +PotenciaFuncinxElydxy, senx y cosdxy, e y ' y y

son ecuaciones diferenciales no-lineales de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA Losobjetivosprincipalesenestaobra,esladeresolverecuacionesdiferencialese interpretar geomtricamente los resultados, para ello es necesario analizar el comportamiento de dichas soluciones. Se definir ahora el significado de la solucin de una ecuacin diferencial. Definicin4.-Sellamasolucindeunaecuacindiferencialordinaria,unafuncin determinadaenelintervalo( ) y = x ( ) a,b juntoconsusderivadassucesivashastaelordenn inclusive, tal que al hacer la sustitucin de esta funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial, sta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo I. En otras palabras, una solucin de una ecuacin diferencial de la forma: ( )( ) 0 =ny ,......, ' ' ' y , ' ' y , ' y , y , x F es una funcin con al menos n derivadas y que cumple con la expresin:( ) y = x ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) I x ,....., x ' ' , x ' , x , x Fn = x0 Sediceentoncesquesatisfacelaecuacindiferencial.ElintervaloIpuedeserun intervalo abierto, cerrado, semicerrado o incluso todo .( ) y = x Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer20 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.TIPOS DE SOLUCIONES Alestudiarelcursorelativoalclculodiferencial,elestudiantesefamiliarizaconlos trminos funciones explcitas e implcitas. En algunas simplificaciones que ocurren en el proceso de solucionar una ecuacin diferencial, dichas soluciones pueden aparecer en estas dos formas. SolucinExplcita.-Esunasolucinenlaquelavariabledependienteseexpresatansoloen trminos de la variable independiente y constantes; o sea una relacin de la forma: ( ) x y = Solucin Trivial.- Es una solucin explcita que es idntica a cero en el intervalo I Solucin Implcita.- Es una relacin de la forma( ) 0 = y , x en el intervalo I, siempre y cuando exista al menos una funcinque satisfaga la relacin anterior y a la ecuacin diferencial, en I. En otras palabras, define implcitamente a la funcin ( ) x y =( ) 0 = y , x ( ) x y = . Familias n-Paramtricas Siguiendoconeltemasobrelasolucindeunaecuacindiferencial,aveces,auna solucin se le llama integral de la ecuacin y a su grfica, curva integral o curva de solucin. Enelcursodeclculointegral,alencontrarlafuncinprimitivadeunaintegralindefinida,se utilizaunasolaconstantedeintegracin;lainterpretacingeomtricadetalesintegrales indefinidas es una familia infinita de curvas, cuya diferencia entre dos de ellas es una constante. En forma semejante, en el estudio por ejemplo de las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma, por lo general se obtiene una solucin con una sola constante arbitraria oparmetro.Atendiendoaloanterior,unarelacindelaforma ( ) 0 = ' y , y , x F( ) 0 = c , y , x ,quedefine implcitamente este tipo de soluciones se llama integral general y geomtricamente representa en el plano cartesiano una familia monoparamtrica de soluciones. Anlogamente, al resolver una ecuacin diferencial de la forma ( )( ) 0 =ny ,......, ' ' ' y , ' ' y , ' y , y , x F , que es de orden n, se busca una familia n-paramtrica de soluciones de la forma ( ) 03 2 1= nc ,....., c , c , c , y , x estoquieredecirqueunasolaecuacindiferencial,puedetenerunacantidadinfinitade solucionesquecorrespondenaeleccionesilimitadasdelparmetrooparmetros.Deestose desprende otro tipo de solucin: Solucin Particular.- Es aquella integral general, en la cual se le ha asignado un valor o valores especficos al parmetro o parmetros. Unaspectoimportantedeloanterioresque,geomtricamenteunasolucinparticulares aquella curva integral que pasa por el punto especfico( )0 0, x y . Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer21Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.Observacin.-Esimportanteaclararquelasintegralesgeneralesdeltipo ( 03 2 1) = nc ,....., c , c , c , y , x norepresentangeomtricamenteunacurvadendimensiones,porel contrario,siguesiendounacurvaenelplanocartesianoconciertaspropiedadesgeomtricas como su direccin, su concavidad, etc. Soluciones Singulares En ocasiones una ecuacin diferencial posee una solucin que no puede ser deducida mediante la integral general, es decir que no pertenece a la familia n-paramtrica de soluciones, a este tipo de solucionesseleconocecomosolucinsingularyesdeducidaatravsdelanlisisdelapropia ecuacin diferencial. PROBLEMA DE VALORES INICIALES O PROBLEMA DE CAUCHY Sea una ecuacin diferencialde orden n: ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) (x y x a ' y x a ' ' y x a ........ y x a y x annnn = + + + + + 0 1 211) donde a0,a1, ......an-1,an son funciones del argumento x, y (x) es una funcin de x. A las relaciones:( )0 0y x y = ,,( )1 0y x ' y = ( )2 0y x ' ' y = , ....., ( )( )nny x y =0 se les conoce como condiciones iniciales o condiciones de Cauchy; Al problema de la bsqueda deunasolucindelaecuacindiferencialdeordenn,quesatisfacelascondicionesiniciales anteriores,seledenominaproblemadeCauchy13.Aestetipodesolucionesselesha denominado integrales particulares. INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL PROBLEMA DE CAUCHY ParaelcasodeunaecuacindiferencialdeprimerordenF(x,y,y)=0sujetaalacondicin inicial, la interpretacin geomtrica sera la siguiente:( )0y x y =0( ) 0 x, y =) La integral particular y(x) x x0 0(x0, y0) ( ) 0 x, y =es una curva integral que pasa exactamente por el punto de coordenadas(0 0, x y .Lafiguradeladerechamuestra precisamente esta curva. Para el caso de una ecuacin diferencial de segundo orden: ( ) 0 F x, y, y', y''= 13 En honor al ingeniero militar Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer22 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.sujetaalacondicionesinicialesy(x0)=y0,e( )0y' x y1= ,lainterpretacingeomtricaserala siguiente: La integral particular (x, y) = 0 y(x) x x0 0 (x0, y0) ( ) 0 x, y =m= y1 esunacurvaintegralquepasaexactamenteporelpunto decoordenadas( )0 0, x y ,yademsposeeenesepunto unaderivadanumricamenteiguala 1y .Estosemuestra en la figura de la izquierda La solucin de una ecuacin diferencial de orden n, sujeta a las correspondientes condiciones de Cauchy, es una integral particular de dicha ecuacin y es una curva especfica. COMPROBACIN DE UNA SOLUCIN Ejemplo 1.- Verificar que la funcin es solucin de la ecuacin diferencialxCe y = 0 = y ' y Solucin.- Es evidente que x xCe ' y Ce y = = sustituyendo stas relaciones en la ecuacin diferencial se tiene: 0 = x xCe Ce dedondeseobtienelaidentidad0 0 ,luegoentonces,lafuncinessolucindela ecuacin diferencial dada.xCe y = Ejemplo 2.- Verificar que la funcin 2 0xx t xy e e dt Ce = + es solucin de la ecuacin diferencial 2x xe y ' y+= Solucin.-Derivando la funcin dada se tiene que: 2 2 2 0 0 0 x xxx t x x t t xy e e dt Ce y ' e e dt e dt e Cex = + = + + x2 sustituyendo stas relaciones en la ecuacin diferencial se tiene: 2 2 2 0 0x xx x t x x x t xe e e dt e Ce e e dt Ce e e + + = x x eliminando trminos semejantes se obtiene: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer23Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.2 2x x x xe e e e luego entonces, la funcin 20xx t xy e e dt Ce = + si es solucin de la ecuacin diferencial dada. Ejemplo3.-Verificarquelasecuaciones paramtricas ( )( )==t sen yt cos xson solucin de la ecuacin diferencial0 x yy' + = Solucin.-Aplicando la derivada para funciones en forma paramtrica se tiene: ( )( )( ) t cott sent cosdtdxdtdydxdy == = sustituyendo esta derivada y las ecuaciones paramtricas en la ecuacin diferencial dada: ( ) ( ) ( ) ( )0 cos t sen t cot t + = aplicandoidentidadestrigonomtricassetieneque( ) ( ) 0 = t cos t cos ,llegandoalaidentidad00,luegoentonceslasecuacionesparamtricas ( )( )==t sen yt cos xsisonsolucindelaecuacin diferencial dada. Ejercicios Suplementarios Seccin 1.4 Problemas 1.1 Enlossiguientesejerciciosverificarsilasfuncionesdadassonsolucindelaecuacin diferencial indicada. 1.x y = ,0 2 = ' xy y2.( ) x Bsen x cos A e yx2 22+ =,0 4 4 = + y ' y ' ' y3.,( ) C y x = 3 2 ( ) y ' y x = 34., = =1 22t yt x0 4 = x ' y5.,==t cos ysent x430 9 16 = + ' yy x6. xe y34 = 0 9 = y ' ' yEcuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer24 Captulo 1. Conceptos Preliminares. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Resea Histrica.7.xsenx y = , x cos y ' ' y = +8.x tan y = ,0 2 = ' yy ' ' y9. ( )0xsen tty x d = t ,( ) x xsen y ' xy + =10.,< =0033x xx xy 0 3 = y ' xy Referencias Bibliogrficas del Captulo 1 Obras consultadas: Bell,E.T.,TheDevelopmentofMathematics,FourthEdition,McGrawHillBookCo.ofNew York, 1985 BoyceW.E., DiPrimaR.C.,EcuacionesDiferencialesyProblemasconValoresenlaFrontera,3 Edicin, Editorial Limusa, Mxico, 1980 ElsgoltzL.,EcuacionesDiferencialesyClculoVariacional,3Edicin,EditorialMirMosc, Rusia, 1983 Larroyo F., Filosofa de las Matemticas, 1 Edicin, Editorial Porra, Mxico, 1976 MakarenkoG.I.,KiseliovA.I.,KrasnovM.I.,ProblemasdeEcuacionesDiferenciales Ordinarias, 1 Edicin, Editorial Mir Mosc, Rusia, 1972 Montes de Oca F. Historia de la Filosofa, 8 Edicin, Editorial Porra, Mxico, 1997 Rbnikov K. 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Resea Histrica.Benson,T.ConformalMappingJoukovskiTranformation,RecuperadodesdeGlennResaearch Center, NASA, disponible en: http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html Dictionary.com, Lexico Publishing Group LCC, 2007, disponible en: http://dictionary.reference.com/ Friedman,M,ErnstCassirer,Archivorecuperadoel6dejuniodel2007desdeStanford Encyclopedia of Phylosophy: http://plato.stanford.edu/entries/cassirer/ IEEE, James W. Cooley, Recuperado desde The World's Leading Professional Association for the Advancement of Technology, IEEE, 2007, Disponible en: http://www.ieee.org/portal/pages/about/awards/bios/2002kilby.html Lolli, G., Breve Viaggio Intorno ai Significati e all Insegnamento della Matematica, Consultado el 4 de Mayo del 2007 en: http://www.tiziana1.it/ebooks/Risorse/Matematica.pdf Lolli, G., Pagina Personali, Universit di Torino - Dipartimento di Matematica: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/lolli/ Lorenz, E. N., Deterministic Non-periodic Flows, J. Atmos. 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En esta obra se puede ver en el pargrafo 3 el proceso de la separacin de las variables partiendo de la expresin0 Mdx Ndy + =que segn Eulersiadmitelaseparacindevariables(separationemvariabiliumadmittit) entoncessellegaalaexpresin0 Vdv Zdz + = queesactualmenteunaecuacindevariables separadas,parallegarposteriormentealaintegralgeneral(generalemintegrationem) Vdv Zdz Const. + = dondeelsegundomiembroesparaEulerunaconstantearbitraria (constantemarbitrariam).Enelpargrafo6sepuedeobservarnuevamentelaecuacin 0 Mdx Ndy + =considerando que sta satisface la relacin M Ny x = , que actualmente se le conoce comolacondicinquedebesatisfacerunaecuacindiferencialexacta;despusaparecesu integralgeneralcomo:Mdx Y Ndy X + = + .Enelpargrafo16estableceunteoremaparael casodeecuacionesdelaforma0 Mdx Ndy + = ,quesepuedenreduciraexactasmedianteel factorL,estoessegnEuler:si0 LMdx LNdy + = entonces LM LNy x = ,porlotantosepuede aplicarelmtododelpargrafo6.PosteriormenteEulerproponevariasexpresionesparaLen diversosejemplos,perodesafortunadamentenoquedamuyclarounaexpresingeneralparael factor integrante L. Enelpargrafo34Eulerabordaelproblemageneral0 Pdx Qydx Rdy + + = yutilizandoun razonamientosimilaralpargrafo16llegaa Qdx QdxR RPdxe ye Const.R + =,queessuintegral Seccin Es curioso, que las herramientas matemticas se forjen casi siempre antes de poder prever su empleo Bacherald, Gaston 2.1 Captulo 2 L. Euler Captulo 2.Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer28 general(aequatiointegralis).Luegoabordaelcasoparticular0 Pdx Qydx dy + + = ,paraelcual demanerasimilar,llegaalaexpresin Qdx Qdxe Pdx e y Const. + =,muysimilaralaque actualmente se utiliza para las ecuaciones lineales de primer orden. Despus en el pargrafo 37, Euler estudia el caso de la ecuacin0nPy dx Qydx Rdy + + = , que no es otra cosa que la ecuacin deBernoullqueactualmentesetrabaja.Nuevamenteutilizandoelmtododelpargrafo16y despusdehacerciertassustitucionesllegaa ( ) ( )1 1 11Qdx QdxnR Rn nyPdxn Re e Const. + =,queessu integral general. Hasta el pargrafo 41 aborda las funciones homogneas (functio homogenea) y en el pargrafo 47 reconoce la labor de Johann Bernoulli para reducir una ecuacin diferencial homognea (aequationes differentiales homogeneas) de la forma0 Mdx Ndy + = , a ecuaciones de variablesseparables(adseparabilitatemvariabiliumperduceredocuit)dondeMyNson funciones homogneas, proponiendo ya el cambio de variabley ux = , llevando a la ecuacin a la forma0 Udx Vudx Vxdu + + =que es de variables separables. En el pargrafo 52 aborda Euler la ecuacindeltipo( ) ( ) 0 x y dx x y dy + + + + + = queactualmenteesuncasode reduccindelasecuacioneshomogneas,resolvindolomedianteloscambiosx t f = + y y g u = + conducindolaalaexpresin( ) ( ) 0 t u dt t u du + + + = queesunaecuacin diferencial homognea. DEFINICIONES BSICAS En laseccin 1.4 se mostr la clasificacin de las ecuaciones diferenciales acorde con el orden.Sienunaecuacindiferencialaparecelaprimeraderivadadelavariabley,comola derivadademayororden,entoncessedicequedichaecuacinesunaecuacindiferencialde primer orden. sta puede tener la forma:( )dyf x, ydx =o su forma diferencial: ( ) ( ) 0 M x, y dx N x, y dy + = donde M(x,y) y N(x,y) son funciones de dos variables definidas en algn recinto del plano xy. El problema de Cauchy (vase Pg. 22) para ecuaciones de primer orden, tiene la forma: ( )dyf x, ydx = sujeta a( )0 0y x y = Sureprestacingeomtrica,esunacurvaenelplanoxy,quepasaporelpuntodecoordenadas ( )0 0x , y . Captulo 2.Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer29 ECUACIONESDIFERENCIALESDEVARIABLESSEPARADASYDEVARIABLES SEPARABLES ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS Una ecuacin diferencial de la forma ( ) ( )dx x dy y = (1) se llama ecuacin diferencial con variables separadas. La integral general de esta ecuacin es: ( ) ( ) = C dx x dy y(2.2) donde C es una constante. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Una ecuacin diferencial de la forma ( ) ( ) ( ) ( )dy y x dx y x2 2 1 1 = (2.3) enlaqueloscoeficientesdelasdiferencialessedescomponenenfactoresquedependen solamente de x o de y se llama ecuacin diferencial con variables separables. Dividiendo por el producto( ) ( ) x y2 1 stas se reducen a ecuaciones con variables separadas: ( )( )( )( )dyyydxxx1221= La integral general de esta ecuacin tiene la forma ( )( )( )( )C dyyydxxx= 1221 (2.4) Observacin.-Ladivisinpor( ) ( ) x y2 1 puededarlugaraquesepierdanlassoluciones particularesqueanulanalproducto( ) ( ) x y2 1 .Laecuacindiferencialdelaforma( ) c by ax fdxdy+ + = .dondea,bycsonconstantes,sereduceaunaecuacinconvariables separables mediante la sustitucin c by ax z + + = . Seccin La matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas derazonamientos, todos sencillos y fciles Descartes, Ren 2.2 Captulo 2.Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer30 RESOLUCIN DE ECUACIONES CON VARIABLES SEPARADAS Y SEPARABLES Acontinuacinsemostrarnlosdesarrollosdeproblemasdeecuacindiferencialdeprimer orden con variables separables y separadas Ejemplo 1.- Resolver la siguiente ecuacin diferencial ( ) ( )dy y dx x 1 45 2 = + Solucin.-Laecuacindiferencialdada,esunaecuacindelaforma(2.1),esdeciryaestn separadas las variables, solo resta aplicar la relacin (2.2) obtenindose: ( ) ( ) = + C dy y dx x 1 45 2 calculando las integrales se tieneCyyxx = + +6 346 3 simplificando laanterior expresin se obtiene: C y y x x = + + 6 24 26 3 finalmente sta, es la integral general de la ecuacin diferencial dada. Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuacin diferencial ( ) 0 2 16 32= + + dy xy dx y Solucin.-Laecuacindiferencialdada,tienelaforma(2.3),porloque,sisedivideentreel factor( )216 y x +siendo x 0, se tiene: 0162 32=++ dyyydxx aplicando la relacin (2.4) a esta expresin 12162 3C dyyydxx=++ simplificando las integrales: ( )1216 3 C ln y ln x ln = + +aplicando leyes de logaritmos: ( ) ( )12 316 C ln y x ln = + aplicando antilogaritmos a ambos miembros de la expresin se tiene finalmente: Captulo 2.Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer31 ( ) C y x = +2 316 que representa en forma implcita la integral general de la ecuacin diferencial dada. Ejemplo 3.- Resuelva la siguiente ecuacin diferencial sujeta a la condicin inicial indicada 02= xdy csc ydx cos sujeta a( ) 0 = y Solucin.-Laecuacindiferencialdada,tienelaforma(2.3),porloque,sisedivideentreel factorx csc y cos2, se tiene: 02= y cosdyx cscdx aplicando la relacin (2.4) a la anterior expresin Cy cosdyx cscdx= 2 simplificando las integrales se obtiene: C y tan x cos = + aplicando las condiciones iniciales( ) 0 = y , se tiene: ( ) ( ) C tan cos = + 0 de donde C = 1 , por lo que, la integral particular de la ecuacin diferencial es: 0 1 = + + y tan x cos Ejemplo 4.- Resuelva la siguiente ecuacin diferencial y utilice un software para graficar algunas curvas integrales de la dicha ecuacin. ( ) ( ) 0 4 92 2= dy x xy dx y Solucin.-Laecuacindiferencialdada,tienelaforma(2.3),porloque,sisedivideentreel factor( )( ) 9 42 2 y x xsiendo0 3 2 x x , x , se obtiene la siguiente expresin: ( )09 42 2= yydyx xdx integrando esta expresin: Captulo 2.Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones, por:David Macias Ferrer32 ( )12 29 4Cyydyx xdx= expandiendo el integrando de la primera integraly completando la segunda integral se tiene: ( ) ( ) =++1292212 812 8141Cyydydxx x x integrando: C ln y ln x ln x ln x ln = + 921281281412 dondeC ln C=1 multiplicando por 8 la ecuacin anterior, aplicando leyes de logaritmos y simplificando se tiene: ( )( )C lny xxln = 42 229 4 aplicando antilogaritmos finalmente se tiene la integral general en forma implcita de la ecuacin diferencial indicada ( )( )Cy xx= 42 229 4 La figura 1 muestra algunas curvas integrales particulares en el plano xy. Esta grfica se logr con el software Graphic Calc elaborado por David Tall y Piet Van Blockland de la Faculteit Wiskunde and Informatica, msterdam, Holland. Comopuedeobservarseenlagrficaexistencomportamientosasintticosenalgunascurvas integrales,sobretodoentornoalasrectasverticalesx=2,x=2,x=0yalasrectas horizontales y = 3 e y = 3. Lagraficacindealgunascurvasintegralesdelaecuacindiferencialdadaesmuytilsise quierehacerunanlisiscualitativodelascurvassolucin.Porejemplo,obsrveseel comportamientodelavariableycuandoxseacercaa2porladerecha;esclaroqueytiendea cero pero con mucha mayor rapidez (esto se debe a que la derivada se hace infinita) que cuando y tiendea3oa3altenderxamsinfinito;lomismosucedecuandoxtiendea2porla izquierda. Es fcil darse cuenta de que la velocidad con la que vara la variable y est dada por: ( )2249x xyydxdy=Fig.1Grficasdealgunascurvas i