Libro sobre Matemática Miguel de Guzman

M. DE GUZMN

REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIN. N. 43 (2007), pp. 19-58

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ENSEANZA DE LAS CIENCIASY LA MATEMTICA

Miguel de Guzmn (1936-2004) *

SNTESIS: Este trabajo contiene una serie de observaciones personalessobre algunos aspectos del panorama actual de la educacin matemticaque, por diversas razones que intentar explicar, distan mucho de haberalcanzado una fase de estabilidad. En su conjunto, parece que laeducacin matemtica, por su propia naturaleza, como se indica enla SECCIN 1, deba ser uno de esos temas complicados que haya depermanecer en constante revisin. En la SECCIN 2 se presentan unascuantas reflexiones sobre la situacin de cambio en la que actualmentenos encontramos, sealando las razones profundas que nos mueven ennuestros das para querer salir de algunas vas menos deseables en las quela enseanza matemtica se introdujo en un pasado reciente. LaSECCIN 3 se dedica a apuntar algunas tendencias generales quesealan las lneas de trabajo ms llamativas en la actualidad. De estastendencias, por una parte, se derivan de forma natural algunos cambiosen los principios metodolgicos que deberan guiar la enseanza yaprendizaje de nuestros das, lo que se presenta en la SECCIN 4, y porotra, cambios en los contenidos mismos de nuestra educacin, msacordes con las finalidades que hoy se pretenden, tal como quedaexplicado en la SECCIN 5. Finalmente, la SECCIN 6 presenta unospocos proyectos que, a mi parecer, sera deseable que nuestra comuni-dad matemtica fuese realizando para conseguir una educacin ms sanay eficaz. La bibliografa al final del trabajo remite a unos pocos artculosclave, cuyas bibliografas extensas pueden servir como fuente de informa-cin ms profunda.

SNTESE: Este trabalho contm uma srie de observaes pessoais sobrealguns aspectos do panorama atual da educao matemtica que, pordiversas razes que tentarei explicar, distam muito de ter alcanado umafase de estabilidade. Em seu conjunto, parece que a educao matem-

* Ex catedrtico de Anlisis de la Universidad Complutense de Madrid, miembronumerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales desde 1982,miembro correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de la Repblica Argentinadesde 1985. En la dcada de 1990, desde 1991 hasta 1998, fue presidente de la ComisinInternacional de Instruccin Matemtica (ICMI).

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tica, por sua prpria natureza, como se indica na SEO 1, deve ser umdesses temas complicados que tenha que permanecer em constantereviso. Na SEO 2 apresentam-se algumas reflexes sobre a situao demudana em que atualmente nos encontramos, assinalando as razesprofundas que nos movem, na atualidade, a pretender sair de algumasvias menos desejveis em que o ensino matemtico se introduziu em umpassado recente. A SEO 3 dedica-se a apontar algumas tendnciasgerais que assinalam as linhas de trabalho mais chamativas na atualidade.Destas tendncias, por uma parte, derivam-se, de forma natural, algumasmudanas nos princpios metodolgicos que deveriam guiar o ensino e aaprendizagem de nossos dias, o que se apresenta na SEO 4, e, poroutra, mudanas nos prprios contedos da nossa educao, maisacordes com as finalidades que hoje se pretende alcanar, tal como ficaexplicado na SEO 5. Finalmente, a SEO 6 apresenta alguns projetosque, a meu ver, seria desejvel que nossa comunidade matemtica fosserealizando, a fim de conseguir uma educao mais saudvel e eficaz. Abibliografia ao final do trabalho destaca alguns artigos-chave, cujasbibliografias extensas possam servir como fonte de informao maisprofunda.

ABSTRACT: The following notes contain a series of personal observationson some regards of current mathematics education which, for severalreasons that I will try to explain, are far from reaching a stage of stability.On the whole, it would seem that mathematics education, because of itsvery nature, as stated in SECTION 1, is bound to be one of thosecomplicated subjects that must undergo constant revision. SECTION 2presents several reflections on the transitional phase in which we findourselves today, highlighting the fundamental reasons that drive us awayfrom some of the less desirable channels that instruction in mathematicshad recently entered. SECTION 3 is dedicated to pointing out the generaltrends which highlight the most remarkable work frames of current times.From these trends, on the one hand, are naturally derived some changesin the methodological principles that ought to guide contemporaryteaching and learning, which are presented in SECTION 4, and on theother hand, changes in education content itself, in keeping with todaysdesired goals, as explained in SECTION 5. Finally, SECTION 6 presents afew projects that, in my opinion, would be desirable for our mathematicscommunity to start developing, in order to achieve a healthier and moreeffective education. The bibliography at the end of this work refers to afew key articles whose extended bibliographies can be useful as a deepersource of information.

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1. POR QU LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA ES TAREA DIFCIL?

La matemtica es una actividad vieja y polivalente y a lo largode los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos.Fue un instrumento para la elaboracin de vaticinios entre los sacerdotesde los pueblos mesopotmicos y entre los pitagricos considerada comoun medio de aproximacin a una vida ms profundamente humana ycomo camino de acercamiento a la divinidad. Utilizada como un impor-tante elemento disciplinador del pensamiento en el Medievo, a partir delRenacimiento ha sido la ms verstil e idnea herramienta para laexploracin del universo. Ha constituido una magnfica gua del pensa-miento filosfico entre los pensadores del racionalismo y filsofoscontemporneos y un instrumento de creacin de belleza artstica, uncampo de ejercicio ldico, entre los matemticos de todos los tiempos...

Por otra parte, la matemtica misma es una ciencia intensa-mente dinmica y cambiante: de manera rpida y hasta turbulenta en suspropios contenidos y aun en su propia concepcin profunda, aunque demodo ms lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividadmatemtica no puede ser una realidad de abordaje sencillo.

El otro miembro del binomio educacin-matemtica tampocoes algo simple. La educacin ha de hacer, necesariamente, referencia alo ms profundo de la persona, una persona an por conformar, a lasociedad en evolucin en la que esta persona se ha de integrar, ala cultura en que esta sociedad se desarrolla, a los medios concretospersonales y materiales de los que en el momento se puede o se quieredisponer, a las finalidades prioritarias que a esta educacin se le quieranasignar y que pueden ser extraordinariamente variadas.

La complejidad de la matemtica y de la educacin sugiere quelos tericos de la educacin matemtica, y no menos los agentes de ella,deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambiosprofundos que en muchos aspectos la dinmica rpidamente mutante dela situacin global venga exigiendo.

La educacin, como todo sistema complejo, presenta unafuerte resistencia al cambio, lo cual no necesariamente es malo, puesuna razonable persistencia ante las variaciones es la caracterstica de losorganismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga conuna capacidad de adaptacin ante la mutabilidad de las circunstanciasambientales.

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En la educacin matemtica a nivel internacional apenas sehabran producido cambios de consideracin desde principios de siglohasta los aos sesenta. A comienzos de siglo haba tenido lugar unmovimiento de renovacin en educacin matemtica, gracias al intersinicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemticoalemn Felix Klein, con sus proyectos de renovacin de la EnseanzaMedia y con sus famosas lecciones sobre Matemtica elemental desde unpunto de vista superior (1908), que ejercieron gran influencia en nuestropas a partir de 1927, por el inters de Rey Pastor, quien las tradujo alcastellano y public en su Biblioteca Matemtica.

En la dcada de 1960 surgi un fuerte movimiento de innova-cin y se puede afirmar con razn, que el empuje de renovacin de dichomovimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha trado consigo enel panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud dellamar la atencin sobre la necesidad de alerta constante sobre laevolucin del sistema educativo en matemticas a todos los niveles. Loscambios introducidos en los aos sesenta han provocado mareas ycontramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy da, podemos afirmarcon toda justificacin que seguimos estando en una etapa de profundoscambios.

2. SITUACIN ACTUAL DE CAMBIO EN LA DIDCTICADE LA MATEMTICA

Los ltimos treinta aos han sido escenario de cambios muyprofundos en la enseanza de la matemtica y por los esfuerzos que lacomunidad internacional de expertos en didctica contina realizandopor encontrar moldes adecuados, est claro que vivimos an una situa-cin de experimentacin y cambio.

El movimiento de renovacin hacia la matemtica modernade los aos sesenta y setenta trajo consigo una honda transformacin dela enseanza, tanto en su talante profundo como en los contenidosnuevos con l introducidos. Entre las principales caractersticas de dichomovimiento y sus efectos pueden mencionarse los siguientes:

Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas reas,especialmente en lgebra.

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Se pretendi profundizar en el rigor lgico, en la compren-sin, contraponiendo sta a los aspectos operativos ymanipulativos.

Esto ltimo condujo de forma natural al nfasis en la fun-damentacin a travs de las nociones iniciales de la teora deconjuntos y en el cultivo del lgebra, donde el rigor esfcilmente alcanzable.

La geometra elemental y la intuicin espacial sufrieron ungran detrimento. La geometra es, en efecto, mucho msdifcil de fundamentar rigurosamente.

Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencianatural fue el vaciamiento de problemas interesantes, en losque la geometra elemental tanto abunda, y su sustitucinpor ejercicios muy cercanos a la mera tautologa y reconoci-miento de nombres, que es, en buena parte, lo que el lgebrapuede ofrecer a este nivel elemental.

En la dcada de 1970 se empez a percibir que muchos de loscambios introducidos no haban resultado muy acertados. Como acaba-mos de sealar, con la sustitucin de la geometra por el lgebra lamatemtica elemental se vaci rpidamente de contenidos y de proble-mas interesantes. La patente carencia de intuicin espacial fue otrade las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometra denuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramenteen las personas que realizaron su formacin en aquellos aos. Se puededecir que los inconvenientes surgidos con la introduccin de la llamadamatemtica moderna superaron con mucho las cuestionables ventajasque se haban pensado conseguir, como el rigor en la fundamentacin,la comprensin de las estructuras matemticas, la modernidad y elacercamiento a la matemtica contempornea.

Los aos setenta y ochenta han presentado una discusin, enmuchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravaloresde las tendencias presentes, y luego una bsqueda intensa de formasms adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseanza matemticapor parte de la comunidad matemtica internacional.

A continuacin quisiera dirigir mi atencin sucesivamentesobre los aspectos ms interesantes, a mi parecer, de esta bsqueda y de

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algunas respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educa-tivo de la matemtica.

3. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES

3.1 UNA CONSIDERACIN DE FONDO. QU ES LA ACTIVIDADMATEMTICA?

La filosofa prevalente sobre lo que la actividad matemticarepresenta tiene un fuerte influjo, ms efectivo a veces de lo queaparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseanza mate-mtica. La reforma hacia la matemtica moderna tuvo lugar en plenoauge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemticas. No esaventurado pensar a priori en una relacin causa-efecto y, de hecho,alguna de las personas especialmente influyentes en el movimientodidctico, como Dieudonn, fueron importantes miembros del grupoBourbaki. En los ltimos quince aos, especialmente a partir de lapublicacin de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976) Proofs andRefutations: The Logic of Mathematical Discovery, se han producidocambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo queverdaderamente es el quehacer matemtico.

La actividad cientfica, en general, es una exploracin de ciertasestructuras de la realidad, entendida sta en sentido amplio, comorealidad fsica o mental. La actividad matemtica se enfrenta con uncierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares detratamiento, que incluyen:

Una simbolizacin adecuada, que permite presentar eficaz-mente, desde el punto de vista operativo, las entidades quemaneja.

Una manipulacin racional rigurosa, que compele al asensode aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales departida.

Un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primeroracional, del modelo mental que se construye, y luego, si sepretende, de la realidad exterior modelada.

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La antigua definicin de la matemtica como ciencia delnmero y de la extensin, no es incompatible en absoluto con la aqupropuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemtica en queel enfrentamiento con la realidad se haba plasmado en dos aspectosfundamentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo queda origen al nmero, a la aritmtica) y la complejidad que procede delespacio (lo que da lugar a la geometra, estudio de la extensin). Msadelante, el mismo espritu matemtico se habra de enfrentar con:

La complejidad del smbolo (lgebra).

La complejidad del cambio y de la causalidad determinstica(clculo).

La complejidad proveniente de la incertidumbre en lacausalidad mltiple incontrolable (probabilidad, estads-tica).

Complejidad de la estructura formal del pensamiento (lgi-ca matemtica).

La filosofa de la matemtica actual ha dejado de preocuparsetan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre losproblemas de fundamentacin de la matemtica, especialmente traslos resultados de Gdel a comienzos de los aos treinta, para enfocar suatencin en el carcter cuasi-emprico de la actividad matemtica(I. Lakatos), as como en los aspectos relativos a la historicidad einmersin de la matemtica en la cultura de la sociedad en la que seorigina (R. L. Wilder), considerando la matemtica como un subsistemacultural con caractersticas, en gran parte, comunes a otros sistemassemejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismode los matemticos sobre su propio quehacer vienen provocando, deforma ms o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consi-deraciones sobre lo que la enseanza matemtica debe ser.

3.2 LA EDUCACIN MATEMTICA COMO PROCESO DE INCULTURACIN

La educacin matemtica se debe concebir como un proceso deinmersin en las formas propias de proceder del ambiente matemtico,a la manera en que el aprendiz de artista va siendo imbuido, como porsmosis, en la forma peculiar de ver las cosas caractersticas de la escuela

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en la que se entronca. Como vamos a ver enseguida, esta idea tieneprofundas repercusiones en la manera de enfocar la enseanza y apren-dizaje de la matemtica.

3.3 CONTINUO APOYO EN LA INTUICIN DIRECTA DE LO CONCRETO.APOYO PERMANENTE EN LO REAL

En los aos ochenta hubo un reconocimiento general de que sehaba exagerado considerablemente en las tendencias hacia la matem-tica moderna en lo que respecta al nfasis en la estructura abstracta dela matemtica. Es necesario cuidar y cultivar la intuicin en general, lamanipulacin operativa del espacio y de los mismos smbolos. Es precisono abandonar la comprensin e inteligencia de lo que se hace, porsupuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender dejepasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en suacercamiento a los objetos matemticos. Si la matemtica es una cienciaque participa mucho ms de lo que hasta ahora se pensaba del carcterde emprica, sobre todo en su invencin que es mucho ms interesanteque su construccin formal, es necesario que la inmersin en ella serealice teniendo en cuenta mucho ms intensamente la experiencia y lamanipulacin de los objetos de los que surge. La formalizacin rigurosade las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cadafase de desarrollo mental, como a cada etapa histrica o a cada nivelcientfico, le corresponde su propio rigor.

Para entender esta interaccin fecunda entre la realidad y lamatemtica es necesario acudir, por una parte, a la propia historia de estaltima que nos devela ese proceso de emergencia de nuestra matemticaen el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemtica, quenos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello sehace obvio cmo la matemtica ha procedido de forma muy semejante alas otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, portentativas, unas veces fructuosas, otras estriles, hasta que va alcanzan-do una forma ms madura, aunque siempre perfectible. Nuestra ense-anza ideal debera tratar de reflejar este carcter profundamentehumano de la matemtica, ganando con ello en asequibilidad, dinamis-mo, inters y atractivo.

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3.4 LOS PROCESOS DEL PENSAMIENTO MATEMTICO. EL CENTRODE LA EDUCACIN MATEMTICA

Una de las tendencias generales ms difundida hoy consistems en el hincapi en la transmisin de los procesos de pensamientopropios de la matemtica que en la mera transferencia de contenidos. Lamatemtica es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que elmtodo claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concedeuna gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena partecolindantes con la psicologa cognitiva, que se refieren a los procesosmentales de resolucin de problemas.

Por otra parte, existe la conciencia, cada vez ms acusada, dela rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo necesariotraspasar la prioridad de la enseanza de unos contenidos a otros. En lasituacin de transformacin vertiginosa de la civilizacin en la que nosencontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces depensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo msvalioso que podemos proporcionar a nuestros jvenes. En nuestro mundocientfico e intelectual tan rpidamente mutante vale mucho ms haceracopio de procesos de pensamiento tiles que de contenidos querpidamente se convierten en lo que Whitehead llam ideas inertes,ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarsecon otras para formar constelaciones dinmicas, capaces de abordar losproblemas del presente.

En esta direccin se encauzan los intensos esfuerzos portransmitir estrategias heursticas adecuadas para la resolucin de pro-blemas en general, por estimular la resolucin autnoma de verdaderosproblemas, antes que la mera transmisin de recetas adecuadas en cadamateria.

3.5 LOS IMPACTOS DE LA NUEVA TECNOLOGA

La aparicin de herramientas tan poderosas como la calculado-ra y el ordenador est comenzando a influir fuertemente en los intentospor orientar adecuadamente nuestra educacin matemtica primaria ysecundaria, de forma que se aprovechen al mximo tales instrumentos.Est claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia,novedad, falta de preparacin de profesores, hostilidad de algunos...,an no se han logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. ste

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es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahorase puede presentir que nuestra forma de enseanza y sus mismoscontenidos tienen que experimentar drsticas reformas. El acento habrque ponerlo, tambin por esta razn, en la comprensin de los procesosmatemticos ms bien que en la ejecucin de ciertas rutinas, que ennuestra situacin actual ocupan todava gran parte de la energa de losalumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo queen ello emplean. Lo verdaderamente importante vendr a ser su prepa-racin para el dilogo inteligente con las herramientas que ya existen, delas que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casies presente.

3.6 CONCIENCIA DE LA IMPORTANCIA DE LA MOTIVACIN

Una preocupacin general que se observa en el ambienteconduce a la bsqueda de la motivacin del alumno desde un punto devista ms amplio, que no se limite al posible inters intrnseco de lamatemtica y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes losimpactos mutuos que la evolucin de la cultura, la historia, los desarrollosde la sociedad, por una parte, y la matemtica, por otra, se hanproporcionado.

Cada vez va siendo ms evidente la enorme importancia que loselementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tenertambin en la vida de la mente en su ocupacin con la matemtica. Esclaro que una gran parte de los fracasos matemticos de muchos denuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicialafectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en estecampo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introduc-cin por parte de sus maestros. Por eso se intenta tambin, a travs dediversos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento esttico, elplacer ldico que la matemtica es capaz de proporcionar, a fin deinvolucrarlos en ella de un modo ms hondamente personal y humano.

En nuestro ambiente contemporneo, con una fuerte tendenciahacia la deshumanizacin de la ciencia, a la despersonalizacin produ-cida por nuestra cultura computarizada, es cada vez ms necesario unsaber humanizado en que el hombre y la mquina ocupen cada uno ellugar que le corresponde. La educacin matemtica adecuada puedecontribuir eficazmente en esta importante tarea.

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4. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLGICOS ACONSEJABLES

A la vista de estas tendencias generales apuntadas en la seccinanterior se pueden sealar unos cuantos principios metodolgicos quepodran guiar apropiadamente nuestra enseanza.

4.1 HACIA LA ADQUISICIN DE LOS PROCESOS TPICOS DEL PENSAMIENTOMATEMTICO. LA INCULTURACIN A TRAVS DEL APRENDIZAJE ACTIVO

Cmo debera tener lugar el proceso de aprendizaje matem-tico a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre haseguido en su creacin de las ideas matemticas, de modo parecido alque el matemtico activo utiliza al enfrentarse con el problema dematematizacin de la parcela de la realidad de la que se ocupa.

Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con larealidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemticosque queremos explorar con nuestros alumnos, para lo cual deberamosconocer a fondo el contexto histrico que enmarca estos conceptosadecuadamente. Por qu razones la comunidad matemtica se ocupcon ahnco en un cierto momento de este tema y lo hizo el verdaderocentro de su exploracin tal vez por un perodo de siglos? Es extraordina-riamente til tratar de mirar la situacin con la que ellos se enfrentaroncon la mirada perpleja con que la contemplaron inicialmente. La visindel tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto separece en demasiadas ocasiones a una novela policaca que aparece yadestripada desde el principio por haber comenzado contando el final.Contada de otra forma ms razonable podra ser verdaderamente apasio-nante.

Normalmente la historia nos proporciona una magnfica guapara enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgidolos conceptos importantes de la materia, y nos da luces para entender larazn que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con inters. Siconocemos la evolucin de las ideas de las que pretendemos ocuparnos,sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuen-cias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situa-cin reciente de las teoras que de ellas han derivado...

En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer atravs del intento directo de una modelizacin de la realidad en la que

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el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemticas encuestin. Para ello se puede acudir a las otras ciencias que hacen uso delas matemticas, a circunstancias de la realidad cotidiana, o bien a lapresentacin de juegos tratables matemticamente, de los que en ms deuna ocasin a lo largo de la historia han surgido ideas matemticasde gran profundidad, como veremos ms adelante.

Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestacin de las ideas con las quequeremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su bsqueda aut-noma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemticassencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situacionesque surgen de modo natural.

Est claro que no podemos esperar que nuestros alumnosdescubran en un par de semanas lo que la humanidad elabor tal vez alo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Peroes cierto que la bsqueda con gua, sin aniquilar el placer de descu-brir, es un objetivo alcanzable en la enseanza y aprendizaje de lasmatemticas, as como la deteccin de tcnicas concretas, de estrategiastiles de pensamiento en el campo en cuestin y de su transmisin alos estudiantes.

La teora, as concebida, resulta llena de sentido, plenamentemotivada y mucho ms fcilmente asimilable. Su aplicacin a la resolu-cin de los problemas, que en un principio aparecan como objetivosinalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfaccin yplacer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matem-tico eficaz y de una fuerte atraccin hacia la matemtica.

4.2 SOBRE EL PAPEL DE LA HISTORIA EN EL PROCESO DE FORMACINDEL MATEMTICO

A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de lamatemtica debera formar parte indispensable del bagaje de conoci-mientos del matemtico en general, y del profesor de cualquier nivel,primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de esteltimo, no slo con la intencin de que lo pueda utilizar como instrumen-to en su propia enseanza, sino primariamente porque la historia lepuede proporcionar una visin verdaderamente humana de la ciencia y

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de la matemtica, de lo cual suele estar tambin el matemtico muynecesitado.

La visin histrica transforma meros hechos y destrezas sinalma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente en muchasocasiones con genuina pasin, por hombres de carne y hueso que sealegraron inmensamente cuando dieron con ellas por primera vez.Cuntos de esos teoremas, que en nuestros das de estudiantes se noshan aparecido como verdades que salen de la oscuridad y se dirigen haciala nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfectosentido dentro de la teora, despus de haberla estudiado ms a fondo,incluido su contexto histrico y biogrfico?

La perspectiva histrica nos acerca a la matemtica comociencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y enocasiones falible, pero capaz tambin de corregir sus errores. Nosaproxima a las interesantes personalidades de los hombres que hanayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muydistintas.

Desde el punto de vista del conocimiento ms profundo de lapropia matemtica la historia nos proporciona un cuadro en el que loselementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en ungran enriquecimiento tanto para el matemtico tcnico como para elpedagogo. Si cada porcin de conocimiento matemtico de nuestroslibros de texto llevara escrito el nmero de un siglo al que se le pudieraasignar con alguna aproximacin, veramos saltar locamente los nme-ros, a veces dentro de la misma pgina o del mismo prrafo. Conjuntos,nmeros naturales, sistemas de numeracin, nmeros racionales, reales,complejos..., decenas de siglos de distancia hacia atrs, hacia adelante,otra vez hacia atrs, vertiginosamente. No se trata de que tengamos quehacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El ordenlgico no es necesariamente el orden histrico, ni tampoco el didc-tico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debera saber cmohan ocurrido las cosas, para:

Comprender mejor las dificultades del hombre genrico, dela humanidad, en la elaboracin de las ideas matemticas,y a travs de ello las de sus propios alumnos.

Entender mejor la ilacin de las ideas, de los motivos yvariaciones de la sinfona matemtica.

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Utilizar este saber como una sana gua para su propiapedagoga.

El conocimiento de la historia proporciona una visin dinmicade la evolucin de la matemtica. Se puede barruntar la motivacin delas ideas y desarrollos en el inicio y es ah donde se pueden buscar lasideas originales en toda su sencillez y originalidad, todava con su sentidode aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textossecundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz:

Con respecto a todos los temas bsicos del clculo infinitesimal[...] teorema del valor medio, serie de Taylor [...], nunca se suscitala cuestin por qu as precisamente?, o cmo se lleg a ello? Ysin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algntiempo objetivos de una intensa bsqueda, respuestas a preguntascandentes [...]. Si volviramos a los orgenes de estas ideas,perderan esa apariencia de muerte y de hechos disecados yvolveran a tomar una vida fresca y pujante.

Tal visin dinmica nos capacitara para muchas tareas intere-santes en nuestro trabajo educativo:

Posibilidad de extrapolacin hacia el futuro.

Inmersin creativa en las dificultades del pasado.

Comprobacin de lo tortuoso de los caminos de la invencin,con la percepcin de la ambigedad, oscuridad y confusininiciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos, etc.

Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemticay de la biografa de sus creadores ms importantes nos hace plenamenteconscientes del carcter profundamente histrico, es decir, dependientedel momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios...,as como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, lafilosofa, la matemtica, la tecnologa, las diversas ciencias han ejercidounas sobre otras. Aspecto este ltimo del que los mismos matemticosenfrascados en su quehacer tcnico no suelen ser muy conscientes, porla forma misma en que la matemtica suele ser presentada, como si fuerainmune a los avatares de la historia.

Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumer-girse en la investigacin matemtica como para el que quiere dedicarsea sus aplicaciones o a la enseanza, la historia de la matemtica suele

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estar totalmente ausente de la formacin universitaria. A mi parecer,sera extraordinariamente conveniente que las diversas materias queenseamos se beneficiaran de la visin histrica, como he dicho arriba,y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un brevepanorama global del desarrollo histrico de la ciencia que les va a ocupartoda su vida. Mientras llega una situacin razonable yo me atrevera aaconsejar:

La lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentestratados de historia que van apareciendo en castellano(Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness, etc.).

Acudir, para los temas del inters particular de cada uno, alas fuentes originales, especialmente de los clsicos.

Leer las biografas de los grandes matemticos, al menos enla forma sucinta en que aparecen en el Dictionary ofScientific Biography.

4.3 SOBRE LA UTILIZACIN DE LA HISTORIA EN LA EDUCACINMATEMTICA

El valor del conocimiento histrico no consiste en tener unabatera de historietas y ancdotas curiosas para entretener a nuestrosalumnos a fin de hacer un alto en el camino.

La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, paraentender y hacer comprender un concepto difcil del modo ms adecua-do. Quien no tenga la ms mnima idea de las vueltas y revueltas que elpensamiento matemtico ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, conla nocin rigurosamente formalizada del nmero complejo, se sentir talvez justificado para introducir en su enseanza los nmeros complejoscomo el conjunto de los pares de nmeros reales entre los cuales seestablecen las siguientes operaciones [...]. Quien sepa que ni Euler niGauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los nmeroscomplejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosasrelacionadas con ellos, se preguntar muy seriamente acerca de laconveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructuracristalizada antinatural y difcil de tragar, que slo despus de variossiglos de trabajo llegaron a tener.

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Los diferentes mtodos del pensamiento matemtico, talescomo la induccin, el pensamiento algebraico, la geometra analtica, elclculo infinitesimal, la topologa, la probabilidad..., han surgido encircunstancias histricas muy interesantes y muy peculiares, con fre-cuencia en la mente de pensadores muy singulares, cuyos mritos, no yapor justicia, sino por ejemplaridad, es muy til resaltar.

La historia debera ser un potente auxiliar para objetivos talescomo:

Hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas enmatemticas.

Enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas,problemas, junto con su motivacin, precedentes...

Sealar los problemas abiertos de cada poca, su evolucin,la situacin en la que se encuentran actualmente...

Apuntar las conexiones histricas de la matemtica conotras ciencias, en cuya interaccin han surgido tradicional-mente gran cantidad de ideas importantes.

4.4 LA HEURSTICA (PROBLEM SOLVING) EN LA ENSEANZADE LA MATEMTICA

La enseanza a travs de la resolucin de problemas es actual-mente el mtodo ms invocado para poner en prctica el principiogeneral de aprendizaje activo y de inculturacin mencionado en el punto4.1. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posiblede una manera sistemtica, los procesos de pensamiento eficaces en laresolucin de verdaderos problemas.

Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en unasituacin desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida otrasun tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puedellevar de una a otra. Nuestros libros de texto estn, por lo general, repletosde meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La aparienciaexterior puede ser engaosa. Tambin en un ejercicio se expone unasituacin y se pide que se llegue a otra: escribir el coeficiente de x7 en eldesarrollo de (1+x)32.

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Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para losalgebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de unaseccin sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningn retonotable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz deresolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer esaprenderse la leccin primero.

La enseanza por resolucin de problemas pone el nfasis enlos procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma loscontenidos matemticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a unlado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacersecon formas de pensamiento eficaces.

Se trata de considerar como lo ms importante que el alumno:

Manipule los objetos matemticos.

Active su propia capacidad mental.

Ejercite su creatividad.

Reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin demejorarlo conscientemente.

Haga transferencias de estas actividades a otros aspectos desu trabajo mental, de ser posible.

Adquiera confianza en s mismo.

Se divierta con su propia actividad mental.

Se prepare as para otros problemas de la ciencia y, posible-mente, de su vida cotidiana.

Se prepare para los nuevos retos de la tecnologa y de laciencia.

Cules son las ventajas de este tipo de enseanza? Por quesforzarse para conseguir tales objetivos? He aqu unas cuantas razonesinteresantes:

Porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestrosjvenes: capacidad autnoma para resolver sus propiosproblemas.

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Porque el mundo evoluciona muy rpidamente: los procesosefectivos de adaptacin a los cambios de nuestra ciencia y denuestra cultura no se hacen obsoletos.

Porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satis-factorio, autorrealizador y creativo.

Porque muchos de los hbitos que as se consolidan tienenun valor universal, no limitado al mundo de las matemticas.

Porque es aplicable a todas las edades.

En qu consiste la novedad? No se ha enseado siempre aresolver problemas en nuestras clases de matemticas? Posiblemente losbuenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espont-nea los mtodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmenteha venido haciendo una buena parte de nuestros profesores se puederesumir en las siguientes fases:

Propuesta de la situacin problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...)

Manipulacin autnoma por los estudiantes

Familiarizacin con la situacin y sus dificultades

Elaboracin de estrategias posibles

Exposicin de contenidos

Ejemplos

Ejercicios sencillos

Ejercicios ms complicados

Problema?

La forma de presentacin de un tema matemtico basada en elespritu de la resolucin de problemas debera proceder ms o menos delsiguiente modo:

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En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividaddirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en situacin departicipar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por s mismo lo quelos grandes matemticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas delprocedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad,motivacin contra aburrimiento, adquisicin de procesos vlidos contrargidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.

En mi opinin, el mtodo de enseanza por resolucin deproblemas presenta algunas dificultades que no parecen an satisfacto-riamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos enla forma prctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamen-te las dos componentes que lo integran, la componente heurstica, esdecir la atencin a los procesos de pensamiento y los contenidosespecficos del pensamiento matemtico.

A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidadde obras excelentes cuya atencin primordial se centra en los aspectosheursticos, puestos en prctica sobre contextos diversos, unos mspuramente ldicos, otros con sabor ms matemtico. Algunas de estas

Ensayos diversos por los estudiantes

Herramientas elaboradas a lo largo de la historia(contenidos motivados)

Eleccin de estrategias

Abordaje y resolucin de los problemas

Recorrido crtico(reflexin sobre el proceso)

Afianzamiento formalizado(si conviene)

Generalizacin

Nuevos problemas

Posibles transferencias de resultados, de mtodos, de ideas...

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obras cumplen a la perfeccin, en mi opinin, su cometido de transmitirel espritu propio de la actitud de resolucin de problemas y de confirmaren quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupacincon este tipo de actividad. Sin embargo, creo que an no han surgidointentos serios y sostenidos por producir obras que, efectivamente,apliquen el espritu de la resolucin de problemas a la transmisin deaquellos contenidos de la matemtica de los diversos niveles, quepensamos deben estar presentes en nuestra educacin.

Lo que les suele suceder a aquellos profesores genuinamenteconvencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisin de losprocesos de pensamiento, es que viven una suerte de esquizofrenia, talvez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de losque gira su enseanza: los contenidos y los procesos. Los viernes ponenel nfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones quenada tienen que ver con los programas de su materia, y los dems das dela semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidosque hay que cubrir, sin acordarse para nada de lo que el viernes pasadopracticaron. Sera muy necesario que surgieran modelos, aunque fueranparciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos denuestra educacin matemtica.

De todos modos, probablemente, se puede afirmar que quienest plenamente imbuido en ese espritu de la resolucin de problemasse enfrentar de una manera mucho ms adecuada a la tarea detransmitir competentemente los contenidos de su programa. Por elloconsidero importante trazar, aunque sea someramente, las lneas detrabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparacinen el tema.

4.5 SOBRE LA PREPARACIN NECESARIA PARA LA ENSEANZADE LA MATEMTICA A TRAVS DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

La preparacin para este tipo de enseanza requiere unadedicacin personal, seria y profunda. No se trata meramente de saberunos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir nuevas actitudes quecalen y se vivan profundamente.

A mi parecer, esta tarea se realiza ms efectivamente mediantela formacin de pequeos grupos de trabajo pues el trabajo en grupo eneste tema, tiene una serie de ventajas importantes:

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Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, alpermitirnos percibir las distintas formas de afrontar unamisma situacin-problema.

Se permite aplicar el mtodo desde diferentes perspectivas,unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en elde observador de su dinmica.

Proporciona apoyo y estmulo en una labor que de otramanera puede resultar dura, por su complejidad y por laconstancia que requiere.

Posibilita la contrastacin de los progresos que el mtodo escapaz de producir en uno mismo y en otros.

Brinda la posibilidad de prepararse mejor para ayudar anuestros estudiantes en una labor semejante, con mayorconocimiento de los resortes que funcionan en diferentescircunstancias y personas.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la prcticainicial adecuada son los siguientes:

Exploracin de los diferentes bloqueos que actan en cadauno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana yagradable frente a la tarea de resolucin de problemas.

Prctica de los diferentes mtodos y tcnicas concretas dedesbloqueo.

Exploracin de las aptitudes y defectos propios ms carac-tersticos, con la elaboracin de una especie de autorretratoheurstico.

Ejercicio de diferentes mtodos y alternativas.

Prctica sostenida de resolucin de problemas con la elabo-racin de sus protocolos y su anlisis en profundidad.

4.6 DISEO DE UNA REUNIN DE TRABAJO EN GRUPO

Me parece que puede resultar til en este punto sugerir unposible diseo para una reunin de trabajo en grupo segn un esquema

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que yo mismo he practicado en diferentes ocasiones con provechorazonable.

Un equipo de trabajo puede constar de cinco o seis personas quese podran reunir una vez por semana durante un buen perodo, alrededorde un ao. Una sesin tpica puede durar una hora y media. La sesintiene dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamenteimportante. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panoramade conocimientos terico-prcticos del grupo.

Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo hapreparado mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto denaturaleza terico-prctica, que podra consistir, por ejemplo en elestudio de los bloqueos mentales de naturaleza afectiva. Lo expone en 20minutos y se establece un perodo de discusin, comentarios, preguntas,aclaraciones, de 10 minutos.

Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va aactuar en esta segunda parte como secretario, observador y seleccionadorde problemas y otra de ellas actuar como moderador. Los papeles de loscomponentes del grupo sern desempeados por turno en diferentesreuniones.

El secretario, para esta reunin, ha elegido con anterioridadunos cuatro o cinco problemas que propone al resto. Es conveniente quesean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no excedan lacapacidad del grupo para resolverlos en un tiempo sensato. Es convenien-te que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas deresolver los problemas, pues aunque durante el proceso tendr queactuar meramente como observador, al final deber l mismo iluminar ycomplementar los resultados alcanzados por el grupo.

Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad queel grupo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida aunque losproblemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde elpunto de vista de la motivacin, que los problemas elegidos, por unaparte, constituyan un verdadero reto, pero que al mismo tiempo seansusceptibles de resolucin por el grupo.

La misin del secretario-observador, aparte de la eleccin de losproblemas, consiste en observar e ir anotando los puntos ms importan-tes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solucin del

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problema. l es el encargado de realizar el protocolo del proceso y susobservaciones y notas han de ayudar muy sustancialmente para lareflexin final que ha de seguir a esta etapa de trabajo. En general, ha depermanecer en silencio, cosa nada fcil de llevar a cabo, aunque parececonveniente su intervencin de ser necesario, por ejemplo, preguntarsobre el origen de una nueva idea de algn componente del grupo,interrogante que, probablemente, se alejara de su memoria si esperaraal perodo de reflexin al final del proceso.

Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cincocomponentes del grupo uno acta como moderador para esta reunin detrabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando encada sesin. La forma de proceder del grupo hacia la resolucin delproblema puede ser muy variada y sera conveniente experimentardiferentes esquemas para que cada grupo elija el que mejor se le adapta.

Lo verdaderamente importante es que en el grupo se cree unaatmsfera libre de inhibiciones, libre de competitividad, donde cada unoest deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso, lo que aprimera vista pueda parecer ms estrafalario, colaborando gustosamentepara mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con agrado cmolos otros van perfeccionando las ideas propuestas por l. La tarea esencialdel moderador es, precisamente, mantener permanentemente esteclima, estimulando, si hace falta, la aportacin del que tiende a callardemasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar enexceso, animando cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando deabrir nuevas vas cuando todo parece cerrado...

El esquema concreto de trabajo puede tener lugar segn estascuatro fases que pueden servir como marco muy general, en las que elgrupo:

Se familiariza con el problema.

Busca de estrategias posibles.

Selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen msadecuadas.

Reflexiona sobre el proceso que ha seguido.

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En la bibliografa al final de estas notas se pueden encontrarvarios lugares en los que he tratado de proporcionar una descripcin msdetallada de esta forma de proceder.

4.7 MODELIZACIN Y APLICACIONES EN LA EDUCACIN MATEMTICA

Existe en la actualidad una fuerte corriente en educacinmatemtica que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizajede esta ciencia no se realice explorando las construcciones matemticasen s mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a lo largode los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del mundo realque les dieron, y les siguen dando, su motivacin y vitalidad.

Tal corriente est en plena consonancia con las ideas antesdesarrolladas y parece un corolario natural de ellas. La matemtica, comohemos visto, se origina como un intento por explorar, en su peculiar modo,las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creacin delmatemtico se realiza espontneamente en este intento por dominaraspectos matematizables de la realidad. La educacin matemticadebiera tener por finalidad principal la inculturacin, tratando deincorporar en ese espritu matemtico a los ms jvenes de nuestrasociedad.

Parece obvio que si nos limitramos en nuestra educacin a unamera presentacin de los resultados que constituyen el edificio puramen-te terico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un lado susorgenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicacionespara resolver tales problemas, estaramos ocultando una parte muyinteresante y substancial de lo que la matemtica verdaderamente es.Aparte de que con ello estaramos prescindiendo del gran poder motivadorque la modelizacin y las aplicaciones poseen.

4.8 EL PAPEL DEL JUEGO EN LA EDUCACIN MATEMTICA

La actividad matemtica ha tenido desde siempre una compo-nente ldica que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones msinteresantes que en ella han surgido.

El juego, tal como el socilogo J. Huizinga lo analiza en su obraHomo ludens, presenta unas cuantas caractersticas peculiares:

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Es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, esdecir, una actividad que se ejercita por s misma, no por elprovecho que de ella se pueda derivar.

Tiene una cierta funcin en el desarrollo del hombre; elcachorro humano, como el animal, juega y se prepara conello para la vida. Tambin el hombre adulto juega y al hacerloexperimenta un sentido de liberacin, de evasin, de relaja-cin.

No est relacionado con la broma: el peor revientajuegoses el que no se toma en serio su juego.

Produce placer a travs de su contemplacin y de suejecucin, como la obra de arte.

Se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en elespacio.

Posee ciertos elementos de tensin cuya liberacin y catar-sis causan gran placer.

Origina lazos especiales entre quienes lo practican.

Crea un nuevo orden, una nueva vida llena de ritmo yarmona a travs de sus reglas.

Un breve anlisis de lo que representa la actividad matemticabasta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos estn bienpresentes en ella. La matemtica, por su naturaleza misma, es tambinjuego, si bien este juego implica otros aspectos cientfico, instrumental,filosfico, que juntos hacen de la actividad matemtica uno de losverdaderos ejes de nuestra cultura.

Si el juego y la matemtica, en su propia naturaleza, tienentantos rasgos comunes, no es menos cierto que tambin participan de lasmismas caractersticas en lo que respecta a su propia prctica. Esto esespecialmente interesante cuando nos preguntamos por los mtodosms adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo intersy el entusiasmo que las matemticas pueden generar y para proporcionaruna primera familiarizacin con los procesos usuales de la actividadmatemtica.

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Un juego comienza con la introduccin de una serie de reglas,un cierto nmero de objetos o piezas, cuya funcin en el juego vienedefinida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puedeproceder en el establecimiento de una teora matemtica por definicinimplcita: Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistemalos llamaremos puntos, los del segundo rectas [...]. (Hilbert, Grundlagender Geometrie).

Quien se introduce en la prctica de un juego debe adquirir unacierta familiarizacin con sus reglas, relacionando unas piezas con otras,como el novicio en matemticas compara y hace interactuar los primeroselementos de la teora unos con otros. stos son los ejercicios elementalesde un juego o de una teora matemtica.

Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendounas pocas tcnicas simples que, en circunstancias en que aparecenrepetidas a menudo, conducen al xito. stos son los hechos y lemasbsicos de la teora que se hacen fcilmente accesibles en una primerafamiliarizacin con los problemas sencillos del campo.

Una exploracin ms profunda de un juego con una largahistoria, proporciona el conocimiento de los caminos de proceder pecu-liares de quienes han sido los grandes maestros en el campo. stas sonlas estrategias de un nivel ms profundo y complejo, que han requeridouna intuicin especial puesto que, a veces, se encuentran bien alejadasde los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemticas ala fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamentesuyos los grandes teoremas y mtodos que han sido creados a travs dela historia. Son los procesos de las mentes ms creativas que estn ahoraa su disposicin para que l haga uso de ellas en las situaciones msconfusas y delicadas.

Ms tarde, en los juegos ms sofisticados, donde la reserva deproblemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de formaoriginal situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Enmatemticas esto corresponde al enfrentamiento con los problemasabiertos de la teora.

Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevosjuegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivarestrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creacinde nuevas teoras matemticas, frtiles en ideas y problemas, posible-

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mente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos enmatemticas y para revelar niveles de la realidad ms profundos quehasta ahora haban permanecido en la penumbra.

La matemtica y los juegos han entreverado sus caminos muyfrecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de lasmatemticas la aparicin de una observacin ingeniosa, hecha de formaldica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. De laantigedad se puede citar el I Ching como origen del pensamientocombinatorio, y de tiempos ms modernos se pueden citar en estecontexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, DanielBernoulli...

Acerca del valor de los juegos para despertar el inters de losestudiantes, se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el granexperto de nuestro tiempo en la presentacin ldica, interesante yprofunda de multitud de juegos realizada durante aos a travs de suscolumnas en la revista norteamericana Scientific American:

Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudianteconsiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia,chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemtica o cualquierade entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tiendena evitar porque parecen frvolas (Carnaval matemtico, Prlogo).

El matemtico experto comienza su aproximacin a cualquiercuestin de su campo con el mismo espritu explorador con el que un niocomienza a investigar un juguete recin estrenado, abierto a la sorpresa,con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco esperailuminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. Por qu nousar este mismo espritu en nuestra aproximacin pedaggica a lasmatemticas?

A mi parecer, el gran beneficio de este acercamiento ldicoradica en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta decolocarse en su enfrentamiento con problemas matemticos.

La matemtica es un grande y sofisticado juego que, al mismotiempo, resulta ser una obra de arte intelectual, que proporciona unaintensa luz en la exploracin del universo y tiene grandes repercusionesprcticas. En su aprendizaje se pueden utilizar con gran provecho, comohemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografasde los matemticos ms interesantes, sus relaciones con la filosofa o con

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otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningn otrocamino puede transmitir cul es el espritu correcto para hacer matem-ticas como un juego bien escogido.

4.9 IMPORTANCIA ACTUAL DE LA MOTIVACIN Y PRESENTACIN

Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeadospor tcnicas comunicacionales muy poderosas y atrayentes, fuerte com-petencia con la que nos enfrentamos en la enseanza cuando tratamosde captar una parte substancial de su atencin. Es necesario que latengamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema educativotrate de aprovechar a fondo herramientas tales como el vdeo, la televi-sin, la radio, el peridico, el cmic, la vieta, la participacin directa...

Pienso que estamos an muy lejos de saber aprovechar paranuestra enseanza las posibilidades abiertas a travs de los mediostcnicos de los que disponemos actualmente. Una pequea sugerenciaprctica puede ser una muestra: en nuestro entorno tenemos profesoresexcelentemente preparados para servir de ejemplos sobre cmo realizarcon eficacia la enseanza de diversas materias, que para la mayoraresultan un verdadero rompecabezas por ejemplo la probabilidad, osobre cmo introducir y motivar adecuadamente temas especficos delclculo o de la geometra a diferentes niveles. Estos profesores son amenudo convocados a lugares diferentes para que repitan las mismasideas sobre el tema. No sera mucho ms efectivo y menos costoso quealgn organismo, desligado del provecho econmico, produjera una seriede vdeos con estas experiencias y las hiciera asequibles a un mayornmero de personas?

En algunas regiones de nuestro pas, los profesores de losdiferentes niveles se han percatado de la importancia que puede tener uncambio efectivo en la percepcin de lo que la matemtica es en realidady que puede realizarse paulatinamente en la sociedad a travs de losmedios de comunicacin actuales. Las experiencias son altamentesatisfactorias consiguindose, en muchos casos a travs de interesantesproblemas, y mediante la difusin de parcelas de la historia de lamatemtica o de sus aplicaciones, que familias y poblaciones enteras seinvolucren en actividades que, en principio, tal vez fueron planeadas paralos estudiantes.

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4.10 FOMENTO DEL GUSTO POR LA MATEMTICA

La actividad fsica es un placer para una persona sana. Laactividad intelectual tambin lo es. La matemtica orientada como saberhacer autnomo, bajo una gua adecuada, es un ejercicio atrayente. Dehecho, una gran parte de los nios ms jvenes pueden ser introducidosde forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen elinicio razonable de un conocimiento matemtico. Lo que suele sucederes que un poco ms adelante nuestro sistema no ha sabido mantener esteinters y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollomatemtico del nio. El gusto por el descubrimiento en matemticas esposible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinariosnecesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. Laapreciacin de las posibles aplicaciones del pensamiento matemtico enlas ciencias y en las tecnologas actuales puede llenar de asombro yplacer a muchas personas ms orientadas hacia la prctica. Otros sesentirn ms movidos ante la contemplacin de los impactos que lamatemtica ha ejercido sobre la historia y filosofa del hombre, o antela biografa de tal o cual matemtico famoso.

Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconce-bida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente conprobabilidad de bloqueos iniciales en la niez de muchos, de que lamatemtica es necesariamente aburrida, abstrusa, intil, inhumana ymuy difcil.

5. ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES EN LOS CONTENIDOS

Las mismas tendencias generales apuntadas en la SECCIN 3sugieren de forma natural unas cuantas reformas en los contenidos de losprogramas que, con ms o menos empuje, y en algunos casos de formaexperimental y tentativa, se van introduciendo.

5.1 UN DESPLAZAMIENTO HACIA LA MATEMTICA DISCRETA?

La matemtica del siglo XIX y la del XX ha sido predominante-mente la matemtica del continuo, en la que el anlisis, por su potenciay repercusin en las aplicaciones tcnicas, ha jugado un papel predomi-nante.

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El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidadde clculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representa-cin grfica, posibilidades para la modelizacin sin pasar por la formu-lacin matemtica de corte clsico..., ha abierto multitud de camposdiversos, con origen no ya en la fsica, como los desarrollos de siglosanteriores, sino en otras muchas ciencias tales como la economa, lasciencias de la organizacin, biologa..., cuyos problemas resultabanopacos, en parte por las enormes masas de informacin que haba quetratar hasta llegar a dar con las intuiciones matemticas valiosasque pudieran conducir a procesos de resolucin de los difciles proble-mas propuestos en estos campos.

Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados enlas ciencias de la computacin, en la informtica, as como en lamodelizacin de diversos fenmenos mediante el ordenador, ha dadolugar a un traslado de nfasis en la matemtica actual hacia la matem-tica discreta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementalescomo para poder formar parte con xito de un programa inicial dematemtica. La combinatoria clsica, as como los aspectos modernosde ella, tales como la teora de grafos o la geometra combinatoria,podran ser considerados como candidatos adecuados. La teora elemen-tal de nmeros, que nunca lleg a desaparecer de los programas enalgunos pases, podra ser otro.

Se han realizado intentos por introducir en la enseanzamatemtica inicial estos elementos y otros semejantes pertene-cientes a la matemtica discreta. Sucede que esto parece ser posibleslo a expensas de otras porciones de la matemtica con ms raigambrede las que no se ve bien cmo se puede prescindir. Aunque parecebastante obvio que el sabor de la matemtica del futuro ser bastantediferente del actual por razn de la presencia del ordenador, an no seve bien claro cmo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseanzaprimaria y secundaria.

5.2 IMPACTOS EN LOS CONTENIDOS DE LOS MTODOS MODERNOSDE CLCULO

Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escue-las elementales dedicar una gran energa y largo tiempo a rutinas talescomo la divisin de un nmero de seis cifras por otro de cuatro. O a laextraccin a mano de la raz cuadrada de un nmero de seis cifras con tres

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cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destrezay rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto deinterpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo haconseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energa y esetiempo estn mejor empleados en otros menesteres. Tales operacionesson muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos, perocomo destrezas rutinarias son superfluas.

En la actualidad, ao 1991, en nuestra segunda enseanza ascomo en los primeros aos de nuestra enseanza universitaria, dedica-mos gran energa y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquierandestreza y agilidad en el clculo de derivadas, antiderivadas, resolucinde sistemas lineales, multiplicacin de matrices, representacingrfica de funciones, clculo de la desviacin tpica...

Ya desde hace unos aos existen en el mercado calculadoras debolsillo que son capaces, tan solo con apretar unas pocas teclas, en unos

breves segundos, de hallar la derivada de , de dar su polinomio

de Taylor hasta el trmino de tercer grado, de representar grficamenteesta funcin en un cierto entorno que se pida o bien de hallar el valor desu integral entre 2 y 3 con gran aproximacin. La inversin de una matriz8x8 le ocupa a la mquina unos pocos segundos, una porcin mnima deltiempo que se tarda en darle los datos. El clculo de la desviacin tpicade una gran masa de datos es una operacin inmediata. Las solucionesa una ecuacin de sptimo grado, incluidas las races complejas, sonproporcionadas por la mquina en un abrir y cerrar de ojos.

Siendo as las cosas, es claro que nuestra enseanza delclculo, del lgebra, de la probabilidad y estadstica, ha de transcurrir enel futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habr queponer el acento en la comprensin e interpretacin de lo que se esthaciendo, pero ser superflua la energa dedicada a adquirir agilidad enlas rutinas que la mquina realiza con mucha mayor rapidez y seguridad.En la programacin de nuestra enseanza habremos de preguntarnosconstantemente dnde vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzointeligente y cules son las rutinas que podemos confiar a nuestrasmquinas. El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convir-tiendo en rutinarias aquellas operaciones que en un principio hanrepresentado un verdadero desafo para nuestra mente y, si es posible,entregar la realizacin de tales rutinas a nuestras mquinas. Con ello

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podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolucin delos problemas que todava son demasiado profundos para las herramien-tas de que disponemos. No temamos que tales problemas vayan esca-seando.

La experimentacin en matemticas que se hace posible encampos cada vez ms intrincados gracias a la presencia del ordenador yde la calculadora de bolsillo es otro de los retos para el futuro de nuestraenseanza. Converge la sucesin ? Con la calcula-dora he escrito la frmula que proporciona ax y luego le he pedido quecalcule unos cuantos valores significativos. Responde:

a100 = 0,037421803; a1000 = 0,00594325; a10000 = 0,0008217; ...

Este experimento me da confianza para conjeturar que conver-ge a 0, aunque lentamente, y es bien sabido lo mucho que una conjeturacorrecta facilita la solucin de un problema. Adems, la calculadora meproporciona la grfica de la funcin , que viene a re-forzar nuestra conjetura.

Por otra parte, la capacidad para el clculo infinitesimal, ellgebra, la estadstica, la representacin grfica, la modelizacin, etc., deesta calculadora que realiza clculo simblico adems del numrico, ypor supuesto mucho ms la de los ordenadores actuales, potencianclaramente las posibilidades de la matemtica elemental para lasaplicaciones realistas que hasta ahora estaban vedadas en nuestroscursos por el exceso de tedioso clculo simblico y numrico que habraque efectuar a mano.

5.3 HACIA UNA RECUPERACIN DEL PENSAMIENTO GEOMTRICOY DE LA INTUICIN ESPACIAL

Como reaccin a un abandono injustificado de la geometraintuitiva en nuestros programas, del que fue culpable la corriente haciala matemtica moderna, hoy se considera una necesidad ineludible,desde un punto de vista didctico, cientfico e histrico, recuperar elcontenido espacial e intuitivo en toda la matemtica, no ya slo en lo quese refiere a la geometra.

Es evidente que desde hace unos veinte aos el pensamientogeomtrico viene pasando por una profunda depresin en nuestra ense-

( )1 1+ += xx xxy

( )1 1+ += nnn nna

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anza matemtica inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensa-miento geomtrico no me refiero a la enseanza de la geometra ms omenos fundamentada en Los elementos de Euclides, sino a algo muchoms bsico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de lamatemtica que provienen de, y tratan de, estimular la capacidad delhombre para explorar racionalmente el espacio fsico en que vive, lafigura, la forma fsica.

Esta situacin, que se hace patente sin ms que ojear nuestroslibros de texto y los programas de nuestra educacin primaria y secun-daria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad es un fenmenouniversal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolucinmisma de la matemtica desde comienzos de siglo, ms o menos.

La crisis de los fundamentos de principio de siglo empuj almatemtico hacia el formalismo, hacia el nfasis sobre el rigor, a unacierta huida de la intuicin en la construccin de su ciencia.

Lo que fue bueno para la fundamentacin fue considerado pormuchos bueno tambin para la transmisin de conocimientos. Lasconsecuencias para la enseanza de las matemticas en general fueronmalas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamientogeomtrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente conuna mala interpretacin de los anlisis de algunos psicopedagogos sobrela estructura evolutiva del conocimiento del nio, se basa el nfasissobre la teora de conjuntos y la bsqueda de rigor. La geometra, a nivelelemental es difcil de formalizar adecuadamente y as, en este intento,se nos fue por el mismo agujero el pensamiento geomtrico, la intuicinespacial y la fuente ms importante que por muchos siglos ha tenido lamatemtica de verdaderos problemas y resultados interesantes abordablescon un nmero pequeo de herramientas fcilmente asimilables.

El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometraelemental, del tipo de geometra al que tradicionalmente se dedicaba laenseanza inicial de la matemtica, que viva a la sombra de creacionesmuy interesantes y muy de moda de la matemtica superior tales comola geometra descriptiva, geometra proyectiva, geometra sinttica,geometras no euclidianas... El mismo sentido geomtrico que estimullos desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo tambin hoy encampos tales como la teora de grafos, teora de cuerpos convexos,geometra combinatoria, algunos captulos de la teora de optimizacin,de la topologa... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se

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pueden sealar: una fuerte relacin con la intuicin espacial, una ciertacomponente ldica y tal vez un rechazo tcito de desarrollos analticosexcesivos.

De estas materias, cuya profundidad se va manifestando cadavez ms claramente, no se ha hecho eco en absoluto la enseanzaelemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel superior y a nivel dematemtica recreativa. Pero esta matemtica recreativa, en nuestro pas,no ha encontrado an el camino hacia la escuela.

Paradjicamente, no permitimos jugar a quien ms le gusta y aquien ms se beneficiara con el juego matemtico.

La necesidad de una vuelta del espritu geomtrico a la ense-anza matemtica es algo en lo que ya todo el mundo parece estar deacuerdo. Sin embargo, an no es muy claro cmo se debe llevar a cabo.Es necesario evitar llegar a los extremos en que se incurri, por ejemplo,con la geometra del tringulo, tan en boga a finales del siglo XIX. Tambinhay que evitar una introduccin rigurosamente sostenida de una geome-tra axiomtica. Posiblemente una orientacin sana podra consistir en elestablecimiento de una base de operaciones a travs de unos cuantosprincipios intuitivamente obvios sobre los que se podran levantardesarrollos locales interesantes de la geometra mtrica clsica, elegidospor su belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter puedenser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.

5.4 AUGE DEL PENSAMIENTO ALEATORIO. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

La probabilidad y la estadstica son componentes muy impor-tantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias especficas.Deberan constituir una parte importante del bagaje cultural bsico delciudadano de nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos lossistemas educativos parecen concordar. Y efectivamente son muchoslos pases que incluyen en sus programas de enseanza secundaria estasmaterias, pero en pocos esta enseanza se lleva a cabo con la eficaciadeseada. Este fenmeno, a mi parecer, se debe por una parte a ladificultad misma de las materias en cuestin y, por otra, a una ciertacarencia de preparacin adecuada de los profesores para esta tarea. Talvez nos falten buenos modelos de enseanza de ellas.

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6. DESIDERATA

A continuacin quisiera presentar muy someramente unaspocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que nuestra comunidadmatemtica podra y debera prestar una particular atencin.

6.1 ATENCIN A LA FORMACIN INICIAL Y PERMANENTE DE LOSPROFESORES DE MATEMTICAS

En 1908, Felix Klein escriba en la introduccin de suslecciones sobre Matemtica elemental desde un punto de vista superior:

Durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupabaexclusivamente de sus ciencias, sin conceder atencin alguna alas necesidades de las escuelas, sin cuidarse en absoluto deestablecer conexin alguna con la matemtica de la escuela.Cul era el resultado de esta prctica? El joven estudiante de launiversidad se encontraba a s mismo, al principio, enfrentado conproblemas que no le recordaban en absoluto las cosas que lehaban ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosasrpida y totalmente. Cuando, despus de acabar su carrera seconverta en profesor de enseanza media se encontraba derepente en una situacin en la que se supona que deba ensearlas matemticas elementales tradicionales en el viejo modopedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de percibirconexin alguna entre su tarea y sus matemticas universitarias,pronto recurra a la forma de enseanza garantizada por el tiempoy sus estudios universitarios quedaban solamente como una me-moria ms o menos placentera que no tena influencia algunasobre su enseanza.

Ha pasado cerca de un siglo y, al menos en lo que respecta laformacin inicial que nuestros licenciados reciben no creo que se puedadecir que en nuestro entorno la situacin difiere mucho de estascircunstancias indeseables que Klein describe.

Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la universidad enlo que respecta a la formacin inicial de aquellas personas a las que leva a confiar la educacin matemtica de los ms jvenes se podraconcretar en:

Una componente cientfica adecuada para su tarea espe-cfica.

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Un conocimiento prctico de los medios adecuados detransmisin de las actitudes y saberes que la actividadmatemtica comporta.

Un conocimiento integrado de las repercusiones culturalesdel propio saber especfico.

Cualquiera que estudie atentamente los programas de estudiode la mayor parte de nuestras universidades podr apreciar sus importan-tes carencias en los aspectos que podran conducir a esta formacinadecuada de nuestros enseantes.

A mi parecer, ni los cursos complementarios aadidos al finalde los estudios de licenciatura con el objeto de proporcionar unaformacin pedaggica razonable, ni los cursillos de formacin permanen-te pueden sustituir razonablemente la formacin intensa que se deberarealmente estimular durante los aos de permanencia en la universidad,aos en los que el alumno est mucho ms abierto para recibirla.

Pienso que son raras entre nosotros las universidades que nodescuidan abiertamente esta seria obligacin con respecto a la sociedady que urge poner manos a la obra a fin de remediar esta situacinrpidamente.

6.2 ATENCIN A LA INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMTICA

Como hemos tenido ocasin de ver, la educacin matemtica esuna actividad interdisciplinar extraordinariamente compleja, que ha deabarcar saberes relativos a las ciencias matemticas y a otras cienciasbsicas que hacen uso de ella, a la psicologa, a las ciencias de laeducacin... Slo en tiempos muy recientes se ha ido consolidando comoun campo, con tareas de investigacin propias, difciles y de repercusio-nes profundas en su vertiente prctica. Se puede afirmar que en elsistema universitario un tanto inerte de nuestro pas, la educacinmatemtica an no ha llegado a encontrar una situacin adecuada pormuy diversos motivos, a pesar de que ya van formndose grupos de trabajoen los que se producen resultados importantes.

A mi parecer es muy necesario, por lo que a la sociedad le va enello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos deinvestigacin en educacin matemtica que ayuden a resolver los mu-

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chos problemas que se presentan en el camino para una enseanzamatemtica ms eficaz.

6.3 ATENCIN A LA EDUCACIN MATEMTICA DE LA SOCIEDAD.POPULARIZACIN DE LA MATEMTICA

La sociedad se encuentra, por tradicin de siglos, con unacultura fuertemente escorada hacia sus componentes humansticas. Cul-tura parece ser sinnimo de literatura, pintura, msica... Muchas denuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesarabiertamente su profunda ignorancia respecto de lo elementos msbsicos de la matemtica y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ellosin pesar ninguno. Las pginas de la mayor parte de nuestros peridicosan no se han percatado de que las ciencias, y en particular lasmatemticas, constituyen ya en nuestros das uno de los pilares bsicosde la cultura humana. Es ms, parece claro que, como afirma Whitehead,si la civilizacin contina avanzando, en los prximos dos mil aos, lanovedad predominante en el pensamiento humano ser el seoro dela inteleccin matemtica.

Sera muy deseable que todos los miembros de la comunidadmatemtica y cientfica nos esforzramos muy intensamente por hacerpatente ante la sociedad la presencia influyente de la matemtica y dela ciencia en la cultura. Una sociedad con el conocimiento cabal de lo quela ciencia representa para su desarrollo se har colectivamente mssensible ante los problemas que la educacin de los ms jvenes en estesentido representa.

En la comunidad matemtica internacional se viene prestandorecientemente una gran atencin a los medios convenientes para lograrabrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios detodos los rdenes que puede reportar una cultura que integre, del mododebido, ciencia y matemtica.

6.4 ATENCIN AL TALENTO PRECOZ EN MATEMTICAS

Es seguro que en nuestras comunidades escolares existe uncierto nmero de estudiantes con una dotacin intelectual para lasmatemticas verdaderamente excepcional. Son talentos que pasaran aveces ms o menos inadvertidos y ms bien desatendidos por la impo-

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sibilidad de que los profesores dediquen la atencin personal que senecesitara. Son personas que, en un principio ilusionadas con la escuela,pasan a un estado de aburrimiento, frustracin y desinters que lesconducir probablemente al adocenamiento y a la apata, tras un perodoescolar de posible gran sufrimiento.

Por otra parte, son talentos que, si no se malograran, podranrendir frutos excepcionales para el bien comn de nuestra sociedad,mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultural, cientfico ytecnolgico del pas. Constituye una gran responsabilidad social laindudable prdida de talento que causa su desatencin. En la actualidadningn organismo, ni pblico ni privado, presta atencin continuada a latarea de detectar, estimular y orientar el talento extraordinario y precozen matemticas, as como tampoco en ninguna otra de las ciencias.Existe, y con mucha justificacin, una atencin, apoyo y cuidado especia-les con respecto a la enseanza del infradotado, pero pienso que apenasse ha prestado atencin alguna a los problemas propios de los talentosprecoces en los pases.

Se puede pensar con cierto fundamento que el talento precozen matemticas es ms fcil de detectar y estimular que en otrasciencias. De hecho, existen desde hace mucho tiempo proyectos realiza-dos con xito en un buen nmero de pases. Hay diversos caminos paraencauzar el problema y entre ellos los hay que no son de un coste excesivo,especialmente si se tiene en cuenta el rendimiento a largo plazo de unaactuacin bien llevada.

Es posible, a juzgar por el efecto que en pases de nuestrombito cultural iberoamericano ha tenido la emergencia de unas pocaspersonalidades de extraordinario talento en el desarrollo matemtico delpas, que una accin sostenida de deteccin y estmulo del talentomatemtico precoz podra colocar nuestro pas en tiempo razonable a unaaltura matemtica y cientfica mucho ms elevada.

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Libro sobre Matemática Miguel de Guzman

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