Libro del profesorwmvr.org/libros/matemáticas 1_LIBRO PROFESOR.pdfFinalmente, como parte de la...

MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





Libro del profesor

2

Complemento para Matemáticas 1Pamela Godínez Velázquez

Primera edición, abril 2018

Editor responsable: Víctor Lucio Lázaro HernándezCoordinación editorial: Yazmín E. Talavera CastilloEdición: Juan Carlos Osorio PaulinoCorrección de estilo: Elena Ochoa SalazarDiseño y formación: Angélica A. Sánchez MijangosDiseño de portada: Angélica A. Sánchez Mijangos

© Ediciones Punto Fijo S.A. de C.V.Avenida Huitzilíhuitl, manzana 24, lote 27, colonia Santa Isabel Tola,delegación Gustavo A. Madero, C.P. 07010, México, DF.

Tel: 5781-8401

[email protected]

www.edicionespuntofijo.com

edcpuntofijo

@edcpuntofijo

ISBN: 978-607-476-235-8

Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad exclusiva de Ediciones Punto Fijo, S.A. de C.V., no pudiendo la obra completa o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema, mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del titular de los derechos de la obra.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaReg. Núm. 3476






3

PresentaciónEl cuaderno de trabajo Complemento para Matemáticas 1 es una herramienta diseñada con base en la nueva propuesta curricular, por lo que su organización es flexible y su lenguaje ha sido dispuesto para la comprensión de las distintas estrategias matemáticas. Esto significa que, no obstante el orden de los aprendizajes esperados que sugiere esta obra, existe la posibilidad de organizar los contenidos de acuerdo con el ambiente laboral del docente y las condiciones del aula y del alumnado, por consiguiente, existe y se pone en práctica la autonomía curricular.

Sin embargo, como en todo texto debe existir un orden, se ha sugerido que Complemento para Matemáticas 1 disponga de los contenidos en tres periodos, cada uno apegado a la gradualidad de éstos.

Asimismo, Complemento para Matemáticas 1 es un instrumento que ayudará al alumno a reforzar sus conocimientos adquiridos mediante ejercicios y problemas sencillos que lo encaminen a aplicar métodos estratégicos a situaciones más complejas o contextualizadas. Por eso, en este cuaderno de trabajo, la gama de estrategias que se proponen son fáciles de comprender y aplicar, y además respetan la gradualidad, de modo que los ejercicios podrán ser resueltos por el alumno con un poco de análisis y coherencia sin ayuda del docente.

Las diversas estrategias propuestas en Complemento para Matemáticas 1 están encaminadas a que el alumno se apropie de ellas y sea capaz de reconocer que hay diversas maneras de resolver una misma situación.

Además, Complemento para Matemáticas 1 no perdió de vista la correlación entre los ejercicios y las situaciones del contexto cotidiano, como lo indica la propuesta curricular, por lo que ofrece apartados que acaparan el contexto que rodea al alumno, desde ejemplos sencillos, claros y comprensibles, hasta el planteamiento de situaciones que requieren de las estrategias revisadas, direccionando el pensamiento del alumno y reforzando sus estrategias en la aplicación de su vida cotidiana o académica.

Finalmente, como parte de la evaluación de los aprendizajes, se propone un cuestionario que funja como integrador de los conocimientos de cada alumno y ayude a identificar su desempeño, de forma que también funcione como un recurso para reformular el plan de clase de profesor en caso de ser necesario.






4

Índice

Periodo 1

Lección 1 Conversión de fracciones decimales a números decimales ¿Cómo representar en notación decimal?

Lección 2 Números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos Identificación de números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos

Lección 3 Multiplicación de fracciones y decimales y de división con decimales Multiplicando un número fraccionario por un número entero

Lección 4 Proporcionalidad directa Valores unitarios

Lección 5 Construcción de triángulos Rectas cortadas por una transversal

Lección 6 Gráfica circular Porcentaje y gráfica circular

Periodo 2

Lección 7 Jerarquía de operaciones ¿Qué operación se resuelve primero?

Lección 8 Porcentaje, el tanto por ciento y la cantidad base Tanto por ciento de una cantidad

6

7

25

36

46

55

70

79

80

87






5

Lección 9 Ecuaciones de primer grado Identificación de la incógnita

Lección 10 Variación lineal Representación tabular, gráfica y algebraica

Lección 11 Polígonos, triángulos, cuadriláteros y círculo Perímetro y área de polígonos cuadriláteros y triángulos

Lección 12 Medidas de tendencia central Media aritmética, mediana y moda

Periodo 3

Lección 13 Regularidades Expresiones equivalentes

Lección 14 Prismas rectos Volumen de prismas cuadrangulares y triangulares

Lección 15 Experimentos aleatorios y probabilidad frecuencial El azar

95

110

118

131

141

142

152

162






6

Periodo 1MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





7

Conversión de fracciones decimales a números decimales ¿Cómo representar en notación decimal?

Estrategia 1 Estrategia 2

105 = 0.5 porque

Si el denominador es 10:

106 0.6=

Si el denominador es 100:

1006 0.06=

Si el denominador es 1 000:

10006 0.006=

Son fracciones decimales aquellas en las que su denominador es 10 o una potencia de 10 (100, 1 000, 10 000, 100 000, etcétera.)

Por ejemplo: 102 , 100

4 , 100012 .

◊ Emplea la estrategia 1 y expresa en notación decimal las siguientes fracciones decimales.

a) 107 =

b) 1025 =

c) 1077 =

d) 1009 =

1Lección

e) 10085 =

f) 1000456 =

g) 1012 =

h) 1002 =

0.510 55000

Si el residuo que se obtiene en una división es 0, el cociente tendrá un número finito de cifras llamado decimal exacto.






0.7

2.5

7.7

0.09

0.85

0.456

1.2

0.02

0.710 77000

2.510 2505000

7.710 7707000

0.09100 9

90090

000

1000 456

05600

0.456

4560

060000000

0500

100 850.85

850

000

1.210 12

02020

0.02100 2

20020

000

8

◊ Expresa en notación decimal las siguientes fracciones decimales.

a) 102 =

b) 1021 =

c) 10045 =

d) 10099

=

Representación de fracciones decimales en figuras geométricas.

e) 100232 =

f) 16 =000

g) 1150 =00

h) 1520 =000

105

106

1003

En una fracción, a es el numerador y b es el denominador:

ba

i) 10123 =

j) 10008 =

k) 101234 =

l) 1001587 =






0.2

2.1

0.45

0.99

2.32

0.006

0.015

0.520

12.3

0.008

123.4

15.87

10 123

030

12.3

023

00

10 1234

034023

123.4

04000

100 1587

08700700000

0587

15.871000 8

8008000

0.008

80

0000

9

◊ En las siguientes figuras representa la fracción y decimal que se te indica.

a) 102 0.2=

b) 1 057 0.570 =

c) 105 0.5=

◊ Representa con una fracción decimal y un número decimal el sombreado de las siguientes figuras geométricas.

a) b) c) d)

e)

d) 10 0.1 1=

e) 10029 0.29=






1015 1.5=

10019 0.19= 10

1 0.1= 107 0.7= 10

5 0.5=

10

Hay fracciones decimales que son equivalentes a otras:

42

84 0.5= = porque

◊ Convierte a números decimales las siguientes fracciones y relaciona con una línea aquellas que sean equivalentes.

a) 108 =

b) 1012 =

c) 46 =

d) 42 =

e) 1015 =

41

10025 0.25= = porque

=

f) 10080 =

g) 23 =

h) 84 =

i) 82 =

j) 54 =

4 10.25

2010

0

204 2

50.

0

=






0.8

1.2

1.5

0.5

1.5

0.8

1.5

0.5

0.25

0.8

11

◊ Representa con una fracción decimal, los siguientes números fraccionarios.

a) 54 =

b) 328 =

c) 207 =

d) 5012 =

Para simplificar fracciones se divide el numerador y el denominador entre un mismo número, de manera que dé un número entero. La fracción que resulte es equivalente con la original.

506

50 26 2

253= =

''

506

253=

◊ Simplifica las siguientes fracciones.

a) 208 =

b) 10010 =

c) 305 =

d) 10040 =

e) 20018 =

f) 3006 =

g) 4010 =

h) 255 =

e) 1025 =

f) 1000400 =

g) 84 =

h) 3010 =

Para obtener fracciones equivalentes se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número, de manera que dé un número entero.

74

7 24 2

148= =

##

74

148=

◊ Halla tres fracciones equivalentes a los números fraccionarios que se te dan.

c) 104 =

d) 15 =

a) 42 =

b) 13 =






0.8 108=

0.25 10025=

0.35 10035=

0.24 10024=

104

52=

505

101=

61

5020

2510

52= =

25

500200

250100

12550

2510

52= = = =

42

21=

155

31=

0.09 1009=

0.02 1002=

0.25 10025=

0.2 102=

84

168

3216= =

124

62

3010= =

208

4016

8032= =

102

204

408= =

12

◊ Relaciona cada fracción con la parte sombreada de la figura que la representa.

a) 104 ( )

b) 105 ( )

c) 53 ( )

d) 41 ( )

Dos recipientes tienen la misma capacidad de almacenamiento. Si uno de ellos tiene 87 de agua y el otro 12

9 , ¿cuál de los dos recipientes se encuentra más lleno?

Si convertimos ambas fracciones en otras que tengan igual denominador, se observa qué recipiente está más lleno.

87

8 127 12

9684= =

##

129

12 89 8

9672= =

##

◊ Carmen quiere adquirir una tableta. En un centro comercial tiene que pagar 86

partes del dinero que dispone,

mientras que en una tienda especializada en electrónica tendría que pagar 1411 de su dinero. ¿En cuál de las

dos opciones es más costoso adquirir el producto? Escribe cómo lo determinaste.

I. II. III. IV.

En contextos cotidianos, ¿cómo representar en notación decimal?

Ejercicios contextualizados

e) 41 =

f) 110 =

g) 23 =

h) 56 =






I

IV

II

III

86 0.75=

1411 0.7857=

Es más caro adquirir el producto en una tienda especializada.

123

369

7218= =

202

808

16016= =

46

812

1624= =

1012

2024

4048= =

13

◊ En un centro cultural ponen en marcha diversas actividades los fines de semana para sus visitantes. De todas

las personas que hicieron presencia un sábado, 31

se centró en la danza y el teatro, 52 partes dedicaron su

tiempo al cine, 51

parte a la literatura y el resto de la gente se interesó en escuchar música clásica en vivo.

¿Qué actividad cultural fue más preferida por los asistentes? Verifica tu respuesta.

Algunas fracciones no tienen como denominador a 10 o una potencia de 10 (100, 1 000, 10 000, 100 000, etcétera) y tampoco son equivalentes a éstas. Una manera de averiguarlo es llevando a cabo la siguiente estrategia.

9 8

8080

80

0.8888...

80

8

2425 1.0416... 1.0416= = ya que 24 25

040160160160

100

1.041666...

160

98 0.88888... 0.8= = ya que

En el número decimal resultante, se coloca una barra horizontal sobre la cifra que se repite para hacer la distinción.

◊ Mediante una división averigua si las siguientes fracciones son o no decimales.

a) 89 =

b) 31 =

c) 65 =

Aproximación de fracciones no decimales ¿Cómo representar en notación decimal?

Si el cociente de la división está conformado por cifras indefinidas que están después del punto decimal, se le llama decimal periódico puro.






31 0.333=

52 0.4=

51 0.2=

151 0.06=

El cine fue la actividad preferida por los estudiantes.

1.125

0.3

0.83

Fracción decimal.

Fracción no decimal.


8 9

04020

1.125

10

00

0.8333...6 5

20

2020

50

20

.3 1

1010

0.333..

10

10

.

14

d) 112 =

e) 125 =

f) 97 =

g) 114 =

h) 61 =

Representación de fracciones no decimales en figuras geométricas.

72

64

121

Hay fracciones no decimales que son equivalentes a otras:

Si el periodo no empezara justo después del punto decimal, se tendría un número decimal periódico mixto.

6 1

40

4040

0.1666...

10

40

porque61

122 0.16= =






0. 18


0.416


0.7

0.36

0. 16




11 2

2090

90

20

0.1818...

20

12 5

020

08080

080

0.41666...

50

080

9 7

70

...

70

0.777

70

11 4

4070

7040

0.3636

4

6 1

4040

40

0.1666

10

4

15

=61

122

Las fracciones cuyo decimal no es exacto pueden expresarse mediante una aproximación. Para ello, se retoma el concepto de redondeo. Para redondear las unidades a un número decimal, uno debe fijarse en la cifra que está después del punto decimal. Si tal cifra es menor a 5 (1, 2, 3, 4) no se efectúa nada. Si la cifra es mayor o igual 5 (5, 6, 7, 8, 9) se suma una unidad al número. Observa los siguientes ejemplos.

911 1.2= 6

10 1.6= 712 1.714285= 11

15 1.36=

En el número decimal 1.2 no se hace nada, porque el siguiente decimal después del punto es 2, por tanto, el nú-mero redondeado sería 1. Esto mismo sucede en 1.36 , ya que 3 es menor que 5.

Caso contrario pasa con 1.6 , ya que después del punto hay un 6, por tanto, se sumaría una unidad al número na-tural 1, lo que significa que el número redondeado sería 2. Esta misma situación se presenta con el número decimal 1.714285 , porque después del punto decimal está el 7, por lo que el número redondeado a unidades sería 2.

◊ Redondea a unidades los números decimales.

a) 37 2.3=

b) 911 1.2=

c) 711 1.571428=

d) 67 1. 16=

e) .913 1 4=

f) 1213 1.083=

g) 1325 1.923076=

h) 2458 2.416=

Si se desea redondear a décimas es necesario poner atención en las centésimas, si es a centésimas se enfoca en las milésimas y así sucesivamente. En todos los casos se tiene que seguir la siguiente condición: si la cifra que se desea redondear (centésimas, milésimas, etc.) es menor a 5 (1, 2, 3, 4) no se efectúa nada. En cambio, si ésta es (centési-mas, milésimas, etc.) mayor o igual a 5 (5, 6, 7, 8, 9) se suma 1 a la cifra anterior. Observa los siguientes ejemplos.

Si el número 0.27 113= se redondeará a décimas, entonces nos fijaríamos en las centésimas, en este caso hay 7,

es decir, es una cifra mayor a 5, por lo que el número redondeado sería 0.3.

Si el número 0.883 6053= se redondeará a centésimas, entonces nos fijaríamos en las milésimas, en este caso

hay 3, es decir, es una cifra menor a 5, por lo que el número redondeado sería 0.88.

Si el número 0.16 122= se redondeará a milésimas, entonces nos fijaríamos en las diezmilésimas, en este caso

hay 6, es decir, es una cifra mayor a 5, por lo que el número redondeado sería 0.167.






El número redondeado es 2.








16

◊ Gisela quiere utilizar diferentes medidas de estambre para hacer una manualidad. Para ello necesita 1 metro de estambre color negro y otro más, de color gris. Si el primer metro lo piensa dividir en 3 partes de igual longitud y el segundo en 4 partes del mismo tamaño, ¿qué medida en metros tiene cada pedazo de estambre? Aproxima tu resultado en decimal y represéntalo en fracción.

En contextos cotidianos, ¿cómo representar en notación decimal?

En una oficina preparan diariamente 1 litro de café por la mañana y éste siempre se reparte en igual proporción en 6 tazas, ¿Qué cantidad de líquido contiene cada taza? Aproxima tu resultado en decimal y represéntalo en fracción.

En notación decimal cada taza tiene aproximadamente 0.1666 litros y en fracción queda expresada como 61 de litro.

61 0.1666...=

6 1

40

4040

0.1666...

10

40


◊ Aproxima el resultado de las siguientes fracciones según se te indique.

a) Redondea a décimos: 74 0.571428=

b) Redondea a centésimos: 1112 1.09=

c) Redondea a milésimos: 98 0.8=

d) Redondea a décimos: 2624 0.923076=

e) Redondea a centésimas: 1121 1.90=

f) Redondea a milésimos: 2226 1. 18=

g) Redondea a décimos: 226 0.27=

h) Redondea a centésimos: 125 0.416=






Un metro al dividirse en 3 partes iguales en notación decimal queda expresado como 0.333… metros y como fracción es igual a 3

1 de metro. En el caso de la división del estambre gris en 4 pedazos, la

forma decimal que corresponde a cada parte es 0.25 metros y la fracción que lo representa es un 41

de metro.

El número redondeado es 0.6.








17

◊ Representa con fracciones decimales los siguientes números decimales.

a) 0.14 =

b) 0.85 =

c) 12.4 =

d) 1.356 =

e) 1.9 =

f) 0.165 =

g) 0.009 =

◊ Completa la siguiente tabla.

Conversión de números decimales a fracción decimal ¿Cómo representar en fracción decimal?

La ubicación de las cifras en número decimal respecto a su punto, ayuda a determinar su valor posicional. Por

ejemplo, el número 2.345 indica que está conformado por 2 unidades, 3 décimas ( 103 ), 4 centésimas ( 100

4 ) y

5 milésimas ( 10005 ). Por consiguiente, 2.345 = 1000

2 345

◊ Raúl quiere dividir una barra rectangular de chocolate en 9 partes iguales. Si ésta tiene 70 gramos, ¿qué porción en gramos representa aproximadamente cada pedazo?

h) 2.02 =

i) 0.240 =

j) 1.80 =

k) 0.77 =

l) 0.500 =

m) 7.89 =

n) 2.36 =

Número decimal Fracción decimalFracción

equivalenteNúmero decimal Fracción decimal

Fracción equivalente

0.08 0.12

0.988 1.39

0.9 3.4

5.6






La barra se divide en 9 partes iguales, cada una de éstas representa aproximadamente 7.777 gramos.

10014

10085

10124

10001356

1019

1000165

10009

100202

1000240 Para el inciso “i” otra respuesta que podría

esperarse por parte del alumno es 10024 , dado

que hay 0 milésimas.

100180

1018=

10077

100500

10050

105= =

100789

100236

1008

1000988

109

1056

10012

100139

1034

504

250247

2018

528

506

200278

517

Las fracciones equivalentes pueden variar, ya que hay muchas fracciones equivalentes.

18

◊ Representa con fracciones que no tengan denominador 10 o potencia de 10 los siguientes números decimales.

a) 0.24 =

b) 0.4 =

c) 5.25 =

d) 0.32 =

e) 0.8 =

f) 0.25 =

g) 0.08 =

h) 1.75 =

i) 0.6 =

j) 0.88 =

k) 1.25 =

l) 3.24 =

m) 12.34 =

n) 4.22 =

En contextos cotidianos, ¿cómo representar un número decimal en fracción decimal?

Eugenia acudió al centro comercial y al comprar un producto le dieron de cambio $0.50 centavos, ¿qué fracción decimal de $1.00 recibió de cambio?

Ella recibió 105 de $1.00, esto porque 0.50 = 100

50 = 5025 = 10

5

◊ Patricia tiene almacenados en un recipiente 0.850 litros de agua, ¿qué fracción decimal de 1 litro representa la cantidad de agua guardada?

◊ La velocidad a la que se mantuvo un automóvil fue de 5.35 km/h, ¿qué fracción equivalente a una decimal representan los 0.35 km de 1 kilómetro?







256

41

252

47

53

52

421

258

54

Las respuestas podrían variar, ya que existen varias fracciones equivalentes a los números decimales que se presentan.

Ella tiene 1000850 de 1 litro de agua.

Son 207 de 1 km porque 0.35 = 100

35 = 207

2522

45

2581

50617

50211

19

Orden de fracciones y números decimales Ubicando números fraccionarios y decimales

Estrategia 1

Hay que dividir la unidad en el número de partes que indique el denominador.

La fracción 54 representa 4 partes de las 5 que hay en la unidad.

La fracción 45 representa las 4 partes que hay en una unidad más 1 parte de otra unidad.

Las fracciones propias se ubican en la recta numérica entre el intervalo abierto 0 y 1, y las fracciones impropias quedan representadas por arriba de 1.

◊ En cada caso localiza la fracción en la recta numérica.

a) 106

0 1

b) 43

0 1

c) 65

0 1

540 1

2

45

44

1






106

43

65

20

Las fracciones impropias por ser mayores a la unidad, pueden representarse con números fraccionarios mixtos; es decir, aquellos formados por un número entero y una fracción de un entero.

25 2 2

1= Número mixto

f) 511 2 5

1=

0 1 2 3

g) 68 1 6

2=

0 1 2

h) 1035 3 10

5=

0 1 2 3 4

d) 82

0 1

e) 35 1 3

2=

0 1 2






82

35

511

68

1035

21

Estrategia 2

0.25 10025

205

41= = =

0 1

Estrategia 3

1.3 1013=

0 1 1.3 2

◊ En cada caso localiza el número fraccionario en la recta numérica.

a) 0.2

0 1

b) 0.35

0 1

c) 0.32

0 1

d) 2.40

0 1 2 3

La unidad de la recta no está dividida en 100

La unidad de la recta no está dividida en 20

La unidad de la recta sí está dividida en 4

La unidad de la recta sí está dividida en 10

41

0.25






102

0.2

207

0.35

258

0.32

512

2.40

22

e) 1.5

0 1 2

f) 4.75

0 1 2 3 4 5

Estrategia 4

¿Cuál es mayor 41 o 8

3 ?

41

4 81 8

328= =

##

83

8 43 4

3212= =

##

La fracción 328 es menor que 32

12 y se escribe así: 328 < 32

12 . Por lo que 41 < 8

3 .

◊ Ubica los valores que se te proporcionan en cada caso en la recta numérica correspondiente y anota el símbolo de mayor que (>), menor que (<) o igual que (=) según corresponda.

a) 53 y 3

2

0 1

53 2

3

b) 31 y 7

2

0 1

31 2

7

c) 42 y 5

7

0 1 1.5

42

57

Cada elemento ha sido multiplicado por el denominador de la fracción 83 .

Luego, la fracción 41 es equivalente a 32

8 .

Cada elemento ha sido multiplicado por el denominador de la fracción 41 . Luego,

la fracción 83 es equivalente a 32

12 .






419

4.75

23

1.5

53

159

32

1510

72

42

57

31

216

2010

2028

217

2

1

1

23

d) 103 y 0

62

0 2

103

206

e) 92 y 3

1

0 1

92 3

1

◊ Ubica los valores que se te proporcionan en cada caso en la recta numérica correspondiente y anota el sím-bolo de mayor que (>), menor que (<) o igual que (=) según corresponda.

a) 0.8 y 0.2

0 1

0.2 0.8

b) 0.2 y 0.20

0 1 0.2 0.20

c) 1.10 y 1.7

0 1 2 1.10 1.7

d) 0.450 y 0.550

0 1 0.450 0.550

◊ En las siguientes rectas numéricas ubica una fracción o número decimal, según se te indique, que esté entre los valores representados en la recta numérica.

a) Fracción

32

540






103

206

103=

=

1

1

0.2

1.1 1011=

0.20 100200

102

0= =

0.2 102=

0.8

=

1.7 1017=

1

Dado el espacio que guardan las líneas verticales en la recta numérica, el número puede ser 1511 . Esto no significa

que el alumno no pueda encontrar otros valores.

92

276

31

279

102

108

0.450 209= 0.550 20

11=

1511

1

24

b) Fracción

56

23

c) Decimal

0.1 1

d) Decimal

1.2 1.3

e) Fracción

103

21

g) Decimal

1.55 1.56

En contextos cotidianos, la recta numérica.

Francisco recorrió 43 de km en su auto, ¿cómo se representa esta medida en una recta numérica?

0 43 km

1 km

0 1






Teniendo en cuenta las líneas verticales dadas en la recta numérica, los números pueden ser 1013

o 1014

. A manera de ejemplo, se posicionó el número fraccionario

1013 . Esto no significa que el alumno no pueda encontrar otros valores.

0.7

1.22 1.27

1.557

Los valores pueden ser, de acuerdo a las líneas verticales mostradas en la recta, los siguientes: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 o 0.9. A manera de ejemplo el número que se localizó fue 0.7. Esto no quiere decir que pudiese haber otros números.

A manera de ejemplo se localizaron los valores de 1.22 y 1.27. El alumno puede colocar otros valores como: 1.21, 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.28 o 1.29. El estudiante estará en posibilidades de hallar otros números, ya que no son los únicos.

104

El alumno puede colocar sobre las líneas verticales los valores de 1.551, 1.552, 1.553, 1.554, 1.555, 1.556, 1.557, 1.558 o 1.559. A manera de ejemplo se ha colocado alguno de ellos. Lo anterior no implica que necesariamente deben colocarse estos números, el alumno puede colocar otros números entre el rango que se describe. Corresponde al profesor verificar si las res-puestas son las correctas.

A manera de ejemplo se localizó la fracción 104

. El alumno podría convertir la fracción sugerida a otra equivalente y representar-la de esa manera. O bien, buscar otras fracciones que estén entre una de las fracciones que se conocen y la que se encontró.

1013

25

◊ Por la mañana me tomé 21 litro de agua y en el trascurso de la tarde me tomé otros 2

5 de agua, ¿cuántos litros me tomé en total? Representa el resultado en la recta numérica.

0 1 2 3

◊ Una paleta tiene un precio de $5.90, ¿dónde se ubica dicho valor en la recta?

3 4 5 6

Números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos Identificación de números enteros, fracciones

y decimales positivos y negativos

Los números positivos generalmente son escritos sin el signo más (+), a diferencia de los negativos, en los que se requiere anteponer el signo menos (-).

◊ Coloca en la celda correspondiente el número positivo o negativo, que represente la situación descrita.

Situación Número

La hora de una ciudad con respecto al tiempo universal coordinado (utc) es de menos 2 horas. -2

En un periódico se lee que en la Ciudad de México se registrará hasta temperaturas de 3 °C bajo ceroAlfredo pagó a un banco $385.90 de los ingresos que percibe en la empresa que labora.

El punto de fusión del agua es de 0 °C.

Una persona perdió 12 puntos en un juego.

En el año 1 200 a. n. e. ocurre el apogeo de la cultura olmeca.

El punto de ebullición normal del agua es de 100 °C.

El equipo de futbol en el que juega Ulises tiene 5 goles en contra.

La altura de la Torre Latinoamericana es de aproximadamente 180 metros. 180

Estrategia 1

De dos números (positivo y negativo) que están ubicados en la recta numérica, el que tiene mayor valor es el número que se encuentra ubicado más a la derecha.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2Lección

Ejercicios contextualizadosMATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





26

1059

-3

-385.90

0

-12

-1 200

100

-5

26

Estrategia 2

De dos números positivos que están ubicados en la recta numérica, el que tiene mayor valor es el que se posiciona más alejado del 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Estrategia 3

De dos números negativos que están ubicados en la recta numérica, el que tiene mayor valor es el que se posiciona más cercano a 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

◊ Lleva a cabo lo que se indica en cada caso.

a) Ubica en la recta numérica las temperaturas que se registraron en las siguientes ciudades y responde las preguntas.

Ciudad Temperatura registrada por la noche

Atenas (Grecia) 8 °CBruselas (Bélgica) 1 °C

Hamburgo (Alemania) 3 °CMiami (Estados unidos) 21 °C

Moscú (Rusia) -7 °CPekín (China) -3 °CRoma (Italia) 5 °CZúrich (Suiza) -3 °C

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

• ¿En qué ciudades la temperatura estuvo por debajo de 0 °C?

• ¿En qué ciudad se registró la temperatura más baja?

• ¿En qué ciudad el clima fue más cálido?

• ¿Cuántos grados centígrados de diferencia hay entre las temperaturas registradas en Pekín y Hamburgo?

• ¿Cuántos grados centígrados de diferencia hay entre las temperaturas registradas en Bruselas y Moscú?





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓNHay dos ciudades que registran la misma temperatura.

En Moscú, Pekín y Zúrich.

En Moscú.

En Miami.

Es de 6 ºC.

Es de 8 ºC.

27

b) Ubica los números decimales que se indican a continuación y responde las preguntas.

A = -1.50, B = -0.200, C = -0.8, D = 1.100, E = 1.5, F = 0.55, G = -0.55, H = 0.95, I = -1.05

A E

• De los números que se ubicaron en la recta numérica, ¿cuál es el de mayor valor?

• ¿Qué número ubicado en la recta numérica tiene el menor valor?

• Ubica un número decimal entre los puntos H y D de la recta numérica, con la condición de que sea diferente a 1.

• De los números que ubicaste en la recta numérica, localiza aquellos que estén a igual distancia del 0 y escríbelos.

En una recta numérica, dos números que están a la misma distancia del 0, es decir, que se localizan en direcciones opuestas, se denominan simétricos.

c) Ubica los números fraccionarios que se presentan a continuación en la siguiente recta numérica y contesta las preguntas.

A = 63 , B = 2

3 , C = 41 , D = - 3

1 , E = - 23 , F = 4

2 , G = - 47 , H = 4

5-

-2 -1 0 1 2

• De los números fraccionarios que localizaste en la recta numérica, ¿cuál fue el que tuvo mayor valor?

• ¿Qué otro número fraccionario diferente a los que se mencionaron se localiza entre 1 y 2?

• ¿Qué otro número fraccionario diferente a los que se mencionaron se localiza entre H y D?

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.610

AH






G E D C B

El número 1.5 tiene un valor más grande.

Es -1.50

A forma de ejemplo podría ser 0.99 o 1.05; hay infinidad de números que pueden encajar entre este rango. Corresponde al profesor verificar las respuestas de los alumnos.

Son los números 0.55 y -0.55

DHFBGCI

F

Fue 23 .

El alumno puede escribir, a manera de ejemplo, los siguientes: 45 ,

47 . Sin embargo, no excluye a otros, los

cuales tendrán que ser valorados por el profesor.

Los números podrían ser - 32 , - 10

7 y - 54 . No obstante, el alumno puede hallar otros, los cuales el profesor

tendrá que evaluar dadas las condiciones.

28

◊ Completa la tabla escribiendo los signos > (mayor que) o < (menor que), según corresponda.

Número Signo Número

0.8 123

-0.5 -1

-2109

-

1.7 -1.8

-0.7 -1

56 1.5

-0.5 107

-

54

54

-

Dos números que se encuentran a igual distancia con respecto de 0 son simétricos, porque tienen el mismo valor absoluto. Las líneas verticales indican la característica de valor absoluto.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5 5; ;- =

5 5; ; =

e) 10 =-

f) 2.5 =-

g) 3.2 =

h) 15 =-

◊ Determina el valor absoluto de los siguientes números.

a) 7 =-

b) 11 =

c) 13 =-

d) 6 =






2

2

2

2

1

1

1

7

11

13

6

10

2.5

3.2

15

29

En contextos cotidianos, ¿cómo identificar números enteros, decimales y negativos?

◊ La base de una montaña se encuentra a 5 metros por debajo del nivel del mar y su altitud por encima del nivel del mar es de 7 metros. ¿Cuál es la altura de la montaña?

◊ Una fábrica elabora diferentes clases de pintura, las distribuye en sus tiendas y las pone en venta al público. Para ello la empresa invierte en materia prima, el sueldo de los trabajadores, entre otros aspectos. Si la fábrica en el mes de febrero obtuvo un ingreso de $145 546.30 e invirtió $184 210.30, ¿qué sucedió con las ganancias?

Estrategia 1

Para sumar dos fracciones, se busca que ambas sean equivalentes, pero que tengan el mismo denominador

41

62

2414+ = porque 24

6248

2414+ =

41

4 61 6

246= =

##

62

6 42 4

248= =

##

Suma y resta de números enteros, fraccionarios y decimales Adición y sustracción


Las tortugas deben emerger 4 metros.

Las tortugas marinas nadaron en el nivel del mar, después se sumergieron 2 metros, más tarde descendieron otros 3 metros y finalmente subieron un metro. ¿Cuántos metros deben emerger las tortugas para estar en la superficie del mar?






La altura de la montaña es de 12 metros.

La fábrica tuvo una pérdida de $38 664.00

30

b) 82

174 =-

c) 108

117 =-

d) 123

94+ =

e) 83

71+ =

f) 71

101 =-

g) 1 127

48 =-

h) 153

127+ =

i) 52

83+ =

j) 817

56 =-

k) 71

67+ =

l) 68

92 =-

m) 47

38+ =

n) 812

45 =-

Para sumar o restar números fraccionarios mixtos es conveniente que éstos sean transformados en fracciones impropias.

4 71

77 4 1

729= =# +

◊ Realiza las siguientes operaciones y simplifica tu resultado.

a) 5 51 2 4

8+ =

b) 2 72 1 6

4- =

Estrategia 2

Para restar dos fracciones se retoma la estrategia 1, pero en vez de sumar, se resta.

◊ Emplea las estrategias anteriores y determina el valor de las operaciones. Finalmente, simplifica tu resultado.

a) 61

42+ =

c) 3 108 2 5

3 =-

d) 3 43 3 2

5+ =






13634 32

1362

681= =-

11088 70

11018

559= =-

10827 48

10875

3625+ = =

7010 7

703=-

16898 96

1682

841= =-

526

416

20104 80

20184

1092

546+ = + = = =

716

610

4296 70

4226

2113= = =-

-

1038

513

50190 130

5060

2530

56= = = =-

-

415

211

830 44

874

437+ = + = =

5621 8

5629+ =

244 12

2416

128

64

32+ = = = = 108

36 105180141

6047+ = =

4016 15

4031+ =

40

85 484037=-

426 49

4255+ =

5472 12

5460

2730

910= = =-

1221 32

1253+ =

3248 40

328

41= =-

31

e) 5 83 1 7

1+ =

f) 2 71 1 10

1 =-

g) 5 32 2 4

1+ =

h) 2 43 1 7

1 =-

i) 3 21 4 4

1+ =

j) 6 82 1 10

1 =-

k) 2 101 2 5

1+ =

l) 2 81 1 3

2 =-

m) 1 89 1 3

1+ =

n) 4 21 1 4

3 =-

Estrategia 3

Para efectuar una suma con signos iguales se sumará el valor absoluto de los valores que están en el paréntesis, y el resultado será positivo o negativo dependiendo del signo que los acompaña.

8 9 17+ =^ ^h h porque 8 9 8 9 17+ =; ; ; ;+ =

2.3 2.5 4.8+ =^ ^h h porque 2.3 2.5 2.3 2.5 4.8+ =; ; ; ;+ =

52

21

109+ =a ak k porque 5

221

52

21

104 5

109+ = + =; ; ; ;+ =

8 9 17+ =- - -^ ^h h porque 8 9 8 9 17+ =; ; ; ;- + - =






843

78

56301 64

56365+ = + =

715

1011

70150 77

7073= =-

-

317

49

1268 27

1295+ = + =

411

78

2877 32

2845= =- -

27

417

828 34

862

431+ = + = =

850

1011

80500 88

80412

40206

20103= = = =-

-

1021

511

50105 110

50215

1043+ = + = =

817

35

2451 40

2411= =-

-

817

34

2451 32

2483+ = + =

29

47

836 14

822

411= = =-

-

32

2.3 2.5 4.8+ =- - -^ ^h h porque 2.3 2.5 2.3 2.5 4.8+ =; ; ; ;- + - =

52

21

109+ = -- -a ak k porque 5

221

52

21

104 5

109+ = + =; ; ; ;- + - =

Estrategia 4

Si los sumandos que se encuentran entre los paréntesis tienen signo diferente, se procede a restar del número de mayor valor absoluto el número de menor valor absoluto. El resultado será positivo o negativo en función del sumando que tenga mayor valor absoluto.

7 3 4+ =-^ ^h h porque 7 7; ; = y 3 3; ;- = , luego 7 3 4=-

8 2 6+ =- -^ ^h h porque 8 8; ;- = y 2 2; ; = , luego 8 2 6=-

5.9 1.1 4.8+ =-^ ^h h porque 5.9 5.9; ; = y 1.1 1.1; ;- = , luego 5.9 1.1 4.8=-

35

51

1522+ =-a ak k porque 3

535

; ; = y 51

51

; ;- = , luego 35

51

1525 3

1522= =- -

43

97

361+ =-a ak k porque 4

343=; ;- y 9

797=; ; , luego 9

743

3628 27

361= =- -

◊ Aplica la estrategia 3 y 4 para resolver las siguientes operaciones.

a) 12.3 1+ =-^ ^h h

b) 8 2+ =- -^ ^h h

c) 53

82+ =a ak k

d) 2.5 51+ =^ ah k

e) 43 1.4+ =-a ^k h

f) 62

31+ =- -a ak k

g) 2 8+ =-^ ^h h

h) 21

41+ =-a ak k

i) 2.6 3.4+ =- -^ ^h h

j) 168

42+ =- -a ak k






11.1 10111=- -

10-

2017 0.85=

2.7 1027=

0.65 2013=

32 0.6=- -

6-

41

6-

1-

33

k) 2.5 5+ =-^ ^h h

l) 107 0.3+ =- -a ^k h

m) 2.8 104+ =^ ah k

n) 1.5 2 41+ + =-^ ^h h

Estrategia 5

Para llevar a cabo una resta de dos números con signo, se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo.

11 12 1=- - -^ ^h hya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo:

11 12 1+ =-^ ^h h

9.1 8.2 17.3=-- -^ ^h hya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo:

9.1 8.2 17.3+ =- - -^ ^h h

49

86

23=- - - -a ak k

ya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo:

49

86

23+ =- -a ak k

◊ Utiliza la estrategia 5 y determina el resultado de las siguientes operaciones.

a) 1 5 =- -^ ^h h

b) 12 4 =- --^ ^h h

c) 57

51 =- -a ak k

d) 3 2.5 =- - -^ ^h h

e) 5 8 =- -^ ^h h

f) 105

21 =- - -a ak k

g) 2.5 7 =-^ ^h h

h) 4 10 =-^ ^h h

i) 2.8 2.2+ =-^ ^h h

j) 5 0.5 =-^ ^h h

k) 54 0.2 =- --a ^k h

l) 3.6 8 =-^ ^h h

m) 1.25 108 =- -^ ah k

n) 4 31 =- -^ ah k






2.5-

1-

3.2

0.25-

6

–8

58

–0.5

–13

0

–4.5

–6

–0.6

–4.5

–0.6

– 4.4

–2.05

313

34

Un tinaco contenía 2 450 litros de agua y por la noche fue suministrado por otros 1 250 litros del mismo líquido. ¿De cuántos litros dispone el tinaco ahora?

Al jugar a lanzar dados sobre una ruleta que contiene locaciones negras y blancas se obtienen puntos a favor o en con-tra según el color en el que haya caído el dardo. Si éste cae sobre un espacio color negro, significa que la persona que lo lanzó obtiene un punto; caso contrario se presenta cuando el dardo cae en una superficie blanca, en ella se pierde un punto. Una persona decidió participar y obtuvo los siguientes puntos que se muestran en la tabla.

Puntos a favor

Puntos en contra

¿Cuál fue el puntaje que obtuvo la persona que participó?Su puntaje fue de 0:

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 0+ + + + =- - - - -

◊ Los alumnos de tercer grado de una escuela secundaria diseñaron el prototipo de una calculadora para llevar a cabo exclusivamente operaciones matemáticas con números de distinto signo. Para poner a prueba la calcula-dora, hicieron la siguiente operación: (2.1) + (- 4.1) + (- 6.1) + (10.1) y el resultado que arrojó fue 2. Efectúa las operaciones correspondientes para verificar si el prototipo funciona correctamente y se encuentra listo para ser usado por todos los alumnos de esa escuela.

◊ En Chihuahua se registraron dos temperaturas, la primera se presentó entre 1:00 am y 3:00 am y fue de −4 ºC, mientras que la segunda fue 3 grados más baja que la primera. ¿De cuántos grados fue la segunda temperatu-ra que se registró en Chihuahua?

En contextos cotidianos, operaciones con signos.

El tinaco dispone de 3 700 litros:

2 450 1250 3 700+ =^ ^h h






MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓNEl resultado correcto es 2, lo que implica que el prototipo está diseñado de forma adecuada.

2.1 4.1 2+ =- -^ ^h h 2 6.1 8.1+ =- - -^ ^h h 8.1 10.1 2+ =-^ ^h h

La segunda temperatura que se registró en Chihuahua fue de −7 grados centígrados:

4 3 7+ =- - -^ ^h h

35

◊ Juan y Ana dividieron 2 pliegos de cartulina en cuadrados para construir 2 cubos; uno en 2612 y el otro en 15

12

partes. ¿Qué fracción de cartulina se utilizó para armar los cuerpos geométricos?

◊ Itzel preparó 2 43 de jugo de naranja. Si su hermano se tomó 1 20

5 , ¿cuál es la cantidad de jugo que queda?

◊ Por la mañana, en una ciudad de Rusia se registró una temperatura de -4.5 ºC, más tarde en un programa de televisión se informó de las variaciones de temperatura a partir del registro hecho por la mañana. Éstas fueron -8 ºC, -4.2 ºC, -1.1 ºC, 0 ºC, 4 ºC y 6 ºC. ¿Qué tanto cambió la temperatura respecto a la última registrada?

◊ Completa la siguiente tabla que trata sobre las variaciones en la existencia de mercancía que se da cada día en una bodega de verduras para su venta posterior.

DíaToneladas de

jitomate recibidos

Toneladas de jitomate

despachadosVariación

Lunes ---------- 41 y 4

243

-

Martes21

41

Miércoles 1 42 y 2

1 -----------

Jueves56

35

Viernes 54

123

Sábado ----------- 61 y 12

5127

-

Domingo 1 53

1118

552

-






2612

1512

390180 312

390492

195246

6582 1 65

17+ = + = = = = Se utilizó 1 6517 parte de cartulina.

2 43 1 20

5411

2025

80220 100

80120

812

23= = = = =- - - Quedan 2

3 de jugo.

41

2

157-

2011

La temperatura de esa ciudad de Rusia sufrió un cambio de 10.5 ºC.

6 4.5 10.5=- -^ ^h h

36

Para obtener el perímetro del cuadrado basta con sumar las longitudes de sus lados.

53 u 5

3 u 53 u 5

3512 u+ + + =

Estrategia 1

También se puede multiplicar 4 veces la longitud de uno de sus lados.

4 53 u 5

4 3512 u= =#

#

Para multiplicar dos fracciones mixtas, ambas deben convertirse a fracciones impropias.

5 51 2 4

3526

411

2026 11

20286= = =# #

#

◊ Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) 2 35 =#

b) 1 51 =#

c) 3 41 =#

d) 5 72 =#

e) 8 128 =#

f) 1 94 =#

g) 6 89 =#

h) 4 52 =#

i) 3 65 =#

Multiplicando un número fraccionario por un número entero3 Multiplicación de fracciones y decimales y de división con decimales Lección

j) 7 1510 =#

k) 10 21 =#

l) 9 1210 =#

m) 2 71 =#

n) 2 96 =#

ñ) 1 41

96 =#

o) 1 2 41 =#

p) 3 21 2 5

1 =#

q) 2 31 1 6

1 =#

53 u






32 5

310=#

51 1

51=#

43 1

43=#

75 2

710

=#

128 8

1264=#

91 4

94=#

86 9

854=#

54 2

58=#

63 5

615=#

157 10

1570=#

210 1

210=#

129 10

1290=#

72 1

72=#

92 6

912=#

45

96

365 6

3630= =#

#

1 49

41 9

49= =#

#

27

511

2 57 11

1077= =#

##

37

67

3 67 7

1849= =#

##

37

En contextos cotidianos, ¿cómo se usa la multiplicación de fracciones por la unidad?

◊ Si una persona compra diariamente 2 41 kg de tortillas, ¿cuántos kilogramos de tortillas habrá comprado en

6 días?

◊ Una persona compró en una carnicería 4

13 kg de lomo de cerdo. Si el kilogramo de este producto cuesta $84, ¿cuánto pagó por dicha cantidad de carne?

◊ Para hacer hot cakes, Guadalupe necesita preparar una mezcla con las siguientes cantidades de productos: 6 veces 8

1 gramos de harina, 3 veces 8

1000 mililitros de leche, 5 huevos y 1 margarina y media. ¿Cuántos gramos de harina y cuántos mililitros de leche son necesarios para hacer la mezcla?

Estrategia 1

Para calcular el área de un cuadrado de las siguientes dimensiones, se puede emplear el siguiente modelo geomé-trico que tiene de lado 1 unidad

42

42

Multiplicando un número fraccionario por otro


Un objeto se encuentra 3 veces 45 de metro bajo tierra. ¿A qué distancia de la tierra se encuentra el objeto?

Se encuentra a 415 . 3 4

5 m 43 5 m 4

15 m= =##






Habrá comprado 13.5 kilogramos de tortilla:

6 2 41 6 4

9454

227 13.5= = = =# #

Se pagaron $273:

84 3 41 84 4

134

1092 273= = =# #

Se necesitan 43 gramos de harina y 375 mililitros de leche:

6 81

86

43= =#

3 81000

83 000

41500

2750 375= = = =#

38

El área del cuadrado cuyos lados son números fraccionarios representa 41 de unidad cuadrada, del cuadrado que

tiene de lado 1 unidad y de área 1 unidad cuadrada. Esto porque 42

42

4 42 2

164= =#

## , que también es igual 4

1 ,

dada la equivalencia 164

41= .

◊ Determina el área de las siguientes figuras sombreadas considerando que los lados del cuadrado que contiene a los más pequeños están representados por la unidad.

a)

51

51

Área = 51

51 =#

c)

43

43

Área = 43

43 =#

◊ Resuelve las siguientes operaciones.

a) 41

41 =#

b) 32

32 =#

c) 910

910 =#

d) 54

54 =#

b)

32

32

Área = 32

32 =#

d)

21

21

Área = 21

21 =#

e) 45

45 =#

f) 81

81 =#

g) 23

23 =#

h) 46

46 =#






251 de unidad cuadrada 9

4 de unidad cuadrada


1 de unidad cuadrada

161

94

81100

2516

1625

641

49

1636

39

El área del rectángulo se expresa como 42

41

4 42 1

162= =#

## unidades cuadradas, que representan 8

1 parte del

cuadrado, ya que 162

81= .

◊ Representa el área, en unidades cuadradas, de las figuras que están sombreadas.

a)

31

Área = 52

31 =#

c)

52

21

Área = 52

21 =#

b)

62

74

Área = 62

74 =#

d)

36

86

Área = 63

86 =#

Estrategia 2

Cuando se requiere calcular el área de un rectángulo, por ejemplo, de 42

41

# de unidad de dimensiones, se puede emplear el siguiente modelo geométrico, tomando en cuenta que la figura total (todos los cuadrados pequeños) tie-nen un área de 1 unidad cuadrada.

42

14

52







8214 de unidad cuadrada=

102

51 de unidad cuadrada= 48

18249

83 de unidad cuadrada= =

40

El lado de un terreno cuadrangular mide 71 de hectómetro. Si el dueño ocupará la superficie de su propiedad para

construir un local y ponerlo en renta. ¿Qué área destinaría para la construcción?

Se multiplica 71 hm por 7

1 hm, que da como resultado 491 de hm2.

71 hm 7

1 hm 7 71 1 hm 49

1 hm2 2= =###

◊ José vende alimento para diferentes mascotas en su negocio. Si de las croquetas para perro adulto marca “Puri-dog” sólo dispone de 4

3 del contenido de un costal y pretende venderlo a mitad de precio, ¿qué fracción de las croquetas estaría pagando el comprador?

◊ Carmen tiene una bolsa con 65 de cacahuate, pasas y arándanos. Si con dicho contenido ha hecho 12 2

1 bolsitas de 5

1 gramos, ¿cuántos kilogramos de semillas había en la bolsa antes de llevar a cabo el reparto?


En contextos cotidianos, ¿cómo se usa la multiplicación de fracciones?

◊ Resuelve las siguientes operaciones.

a) 101

21 =#

b) 42

23 =#

c) 72

43 =#

d) 104

81 =#

e) 53

32 =#

f) 67

98 =#

g) 2 481 =#

h) 108

109 =#





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN43

21

83=#

El comprador estaría pagando 83 partes del total de croquetas.

Se efectúa una multiplicación y se obtiene el contenido total; que son 2.5 kilogramos:

12 21

51

25=#

201

86

286

804

156

5456

322

10072

41

Multiplicación de números decimales

◊ Un automóvil que mantiene una velocidad constante de 7 51 km/h, ¿qué distancia habrá recorrido en 6

1 de hora?

Estrategia 1

Multiplicar por 10 o por una de potencia de 10 (10, 100, 1 000, …).

0.1 10 1=# 1.2 10 12=# 31.4 10 314=# 2.55 10 25.5=#

0.1 100 10=# 1.2 100 120=# 31.4 100 3140=# 2.55 100 255=#

0.1 1000 100=# 1.2 1000 1200=# 31.4 1000 31400=# 2.55 1000 2 550=#

Estrategia 2

Cuando el factor no es potencia de 10, se multiplica a los factores como si se estuviera llevando a cabo una multipli-cación con números naturales, solamente que en el resultado se recorrerá el punto decimal de derecha a izquierda tantos espacios como cifras decimales hayan aparecido en los factores.

118.3024

4 732023 660

2 839.20

#

90.273.6

5416227 081

324.972

#

En el producto o resultado se recorre el punto dos cifras.

En el producto o resultado se recorre el punto decimal tres cifras. Dos dadas por el primer factor y una por el segundo

En el primer factor decimal hay dos cifras después del punto decimal. En cambio, en el segundo hay una cifra.

En el factor decimal hay dos cifras después del punto decimal.

◊ Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.

a) 0.55 10 =#

b) 3.23 100 =#

c) 0.09 10 =#

d) 1.111 1000 =#

e) 8.1 100 =#

f) 0.12 10 =#

g) 1.6 1000 =#

h) 3.5 10 =#

i) 0.02 100 =#

j) 0.5 1000 =#

k) 1.34 10 =#

l) 3.74 100 =#

m) 5.89 10 =#

n) 2.7 1000 =#






Llevará 56 km recorridos.

5.5

323

0.9

1 111

810

1.2

1 600

35

2

500

13.4

374

58.9

2 700

42

◊ Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.

a) 2.5 5 =#

b) 1.5 1.5 =#

c) .4 8 5 =#

d) 12.3 0.2 =#

e) 1.8 2 =#

f) 12 3.5 =#

g) 1.2 1.8 =#

Una editorial necesita comprar equipo nuevo: 4 impresoras, 3 teléfonos inalámbricos y 2 paquetes de baterías recargables. ¿Cuál es la cantidad total que pagará la editorial si una impresora cuesta $3 259.90, un teléfono $599.45 y cada paquete de baterías $215.25?

Precio por 4 impresoras

3 259.904

13 039.60

#

Precio por 3 teléfonos

599.453

1798.35

#

Precio por 2 paquetes

215.253

430.50

#

Costo total

13 039.601798.35430.50

15 268.45

+

La editorial va a pagar $15 268.45.

◊ En un puesto de frutas y verduras están acostumbrados a comprar a través de internet las bolsas de plástico que utilizan para despachar su mercancía. Si el costo de un rollo de bolsas para 2 kilogramos está en $74.45 y un pa-quete con 25 rollos está en $1 724.81, ¿qué le conviene adquirir a la tienda, cuando ésta necesita 100 rollos?

◊ Rodolfo necesita 2.5 millares de tabique para terminar una construcción. Si una tienda de materiales de construcción le vende el millar de tabique a $1 250.40, ¿cuál es el precio que pagará Rodolfo si adquiere el material en la tienda?

En contextos cotidianos, ¿cómo se usa la multiplicación decimal?


h) 3.5 2.5 =#

i) 12.5 4.8 =#

j) 10.2 6.1 =#

k) 4.5 6.9 =#

l) 32.4 3 =#

m) 7.86 3.12 =#

n) 85.2 2.5 =#





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN74.45 100 7 445=# 1724.81

4

6 899.24

#

A la tienda le conviene comprar los 4 paquetes de 25 rollos.

250080

1250.402.5

625200

3126.000

#

12.5

2.25

34

2.46

3.6

42

2.16

8.75

60

62.22

31.05

97.2

24.5232

213

El precio que pagará Rodolfo será de $3 126.00

43

◊ Una banda elástica de 2.5 metros puede expandirse hasta 2.8 veces su longitud. ¿Cuál es la máxima longitud que puede alcanzar dicha banda sin que se rompa?

División de números decimales

Sin importar con qué tipo de división estés tratando, los elementos que componen la división con números deci-males son los mismos. La diferencia radica en el procedimiento cuando uno (el dividendo o el divisor) o los dos elementos son números decimales.

2464

0Divisor

CocienteDividendoResiduo

Estrategia 1

Si el dividendo es un número decimal y el divisor un número natural, la división se ejecuta de manera normal, pero el punto decimal se coloca a la misma altura de la casilla cuando se tome la parte decimal del dividendo que está junto al punto.

2.5021.25

0 5100

Estrategia 2

En caso de que el dividendo sea un número natural y el divisor un número decimal, se quitarán los decimales; para tal acción, se multiplicará el divisor y el dividendo por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. Considerando que el dividendo es 25 y el divisor 2.5, ambos números se multiplican por 10, ya que 2.5 tiene sólo décimos. Por lo que la división ahora a efectuar es 250 entre 25.

2502510

000

Estrategia 3

Hay ocasiones en el que el dividendo y el divisor son números decimales, para tal efecto se optará por multipli-car el divisor y dividendo por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. Asume que quie-res dividir 1.75 entre 2.5, por lo que hay que multiplicar ambos elementos por 10, ya que 2.5 tiene sólo décimos. Por lo que la división a llevar a cabo es 17.5 entre 25; que es un tipo de división que fue revisada en la primera estrategia.

17.5250.7

17 50 0






2.52.8

20050

7.00

#

La banda elástica puede alcanzar 7 metros de longitud.

44

◊ Resuelve las siguientes divisiones.

a) 756.25 5 ='

b) 32 40 ='

c) 45 2.5 ='

d) 10.5 3.5 ='

e) 22 4 ='

f) 324 2.4 ='

Enrique recorrió en su auto, desde la Ciudad de México hasta la ciudad de Teziutlán, Puebla, 75 kilómetros cada hora. ¿Cuánto tiempo tardó Enrique en llegar a Teziutlán, si su recorrido fue de 247.5 kilómetros? ¿En cuántas horas con minutos hizo su recorrido Enrique?

3.375 247.5

22500

El recorrido lo hizo en 3.3 horas.

Luego, 101 de hora = 6 minutos, por lo que 0.3 décimos de hora es igual

a 18 minutos.

g) 12.5 5 ='

h) 3.75 2 ='

i) 8 2.5 ='

j) 10.2 8.5 ='

k) 26.46 4.2 ='

l) 24 10 ='

En contextos cotidianos, ¿cómo se aplica la división de decimales?






13.7555 756.25

412752

206

00

0.8040 32.00

000320

000

25 45018

20000

335 105

000

04 22.5.5

200

24 3240

120084

135

00

13.75

0.80

18

3

5.5

135

5 12.52.5

2 50

2 3.75

1510

1.875

17

0

3.225 800500

851.2

10217000

42 264.6126

6.3

00

10 2440

2.4

0

2.5

1.875

3.2

1.2

6.3

2.4

45


◊ Si se colocan 18 pelotas de tenis sobre una báscula digital y ésta marca 1 069.2 gramos, ¿cuántas pelotas hay que colocar para que marque 475.2 gramos?

◊ Una persona adquirió, para vender en su tienda, una caja con sobres de acondicionador para el cabello, gas-tando un total de $125. ¿Cuántos sobres de acondicionador trae la caja si cada sobre lo vendió en $3? Ten en cuenta que cada artículo individual que puso a la venta aumentó 50 centavos.

◊ Una furgoneta tiene una capacidad para transportar 8.4 m3 de paquetes con hojas de color. ¿Cuántos paquetes de 0.0025 m3 caben en este medio de transporte?

◊ Edgar descargó en su celular un juego llamado “Tiro con arco”. Por cada nivel que completó, obtuvo un pro-medio. Si al sumar el promedio de los 8 niveles obtuvo 68.8 y en cada fase obtuvo el mismo puntaje, ¿qué promedio consiguió Edgar en cada nivel?






8.68 68.804 80

El promedio que alcanzó en cada nivel fue de 8.6.

18 1069.2

072169

59.4

00

8

59.4 475.2000

Se deben poner 8 pelotas en la báscula.

Se divide 125 entre 2.5, pero aplicando las estrategias revisadas se tiene lo siguiente:

5025 1250

00000

La caja trae un total de 50 sobres.

Hay que tener en cuenta que al aplicar las estrategias revisadas, se divide 84000 entre 25.

0.0025 8.4

150000

090

00

3360

En una furgoneta caben 3 360 paquetes de hojas.

46

Proporcionalidad directa Valores unitarios 4

Estrategia 1

Si 1 es a 8, 4 es a:

Para averiguarlo, se puede hacer uso de tablas de variación.

8 16 24 32 40 481 2 3 4 5 6

◊ Completa las siguientes tablas.

a) Si 1 es a 3, 3 es a:

31 2 3 4 5 6

b) Si 1 es a 2.3, 5 es a:

2.31 2 3 4 5 6

c) Si 1 es a 21 , 6 es a:

21

1 2 3 4 5 6

d) Si 1 es a 9, 6 es a:

91 2 3 4 5 6

e) Si 1 es a 12, 12 es a:

121 2 4 8 10 12

f) Si 1 es a 7, 10 es a:

71 3 5 7 9 10

LecciónMATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





6 9 12 15 18

4.6 6.9 9.2 11.5 13.8

18 27 36 45 54

24 48 96 120 144

21 35 49 63 70

1 2 25 32

3

47

g) Si 1 es a 4.2, 7 es a:

4.21 3 5 7 9 10

Estrategia 2

12 ¿? 24 302 3 4 5

El valor unitario es 6 porque 212

424

530 6= = = . Por tanto, el valor que completa la tabla es 18: 6 3 18=# .

Además porque 318 6=

◊ Completa las siguientes tablas.

a)1 1.5 22 3 4 5

b)

6 9 10.5

4 5 6 7

Para dividir fracciones recuerda aplicar esta estrategia:

c)

43 1 4

5

3 4 5 6

21410

420 5=

##

d)

2 4 6

21 1 1 2

1 2

e)

21

23 2

31

32 1

34

.






2.5

7.5

12.6 21 29.4 37.8 42

23

8

1

48

f)

2.4 3.84 6.72

5 8 11 14

g)

0.8 4 4.8

43

45

46

Estrategia 3

El valor unitario se calcularía de dos maneras: 15 1 6 2.5=# ' o 17.5 1 7 2.5=# '

1 ¿?7 156 17.5

1 ¿?6 15

1 ¿?7 17.5

#

#'

a)1 ¿?8 159 16.875

b)1 ¿?5 46 4.8

c)1 ¿?

4 51

6103

d)1 ¿?

10 5012 60

e)1 ¿?7 428 48

f)1 ¿?2 7.210 36

g)1 ¿?

353

7 57

◊ Calcula el valor unitario de las siguientes tablas aplicando la estrategia 3.

41

'






5.28

2.4

15 1 8 1.875 o16.875 1 9 1.875= =# ' # ' 42 1 7 6 o 48 1 8 6= =# ' # '

7.2 1 2 3.6 o 36 1 10 3.6= =# ' # '4 1 5 0.8 o 4.8 1 6 0.8= =# ' # '

51 1 4 20

1 o 103 1 6 20

1= =# ' # '

50 1 10 5 o 60 1 12 5= =# ' # '

53 1 7 5

1 o 57 1 7 5

1= =# ' # '

49

En contextos cotidianos, el valor unitario.

Dante paga cada bimestre $78 por el consumo de agua mientras que Israel, por el mismo periodo, paga $65. ¿Cuánto habrán pagado los primeros 5 bimestres los dos?

DanteCosto 0 78 156 234 312 390 468 546 624

Bimestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8

IsraelCosto 0 65 130 195 260 325 390 455 520

Bimestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8

◊ Un automóvil avanza a una velocidad constante, ¿qué distancia recorre en 1 hora? Completa la tabla.

Distancia(km) 120 180 300

Tiempo(h) 1 2 3 4 5 6

◊ Mayra pagó $225 por 5 boletos para entrar a una función del cine, ¿cuánto costó cada boleto? Completa la tabla.

Costo($) 90 135 225

Boletos 1 2 3 4 5 6

◊ Nadia ha entrado a trabajar en una panadería y, para no equivocarse al momento de cobrar el producto, pien-sa hacer una tabla. Ayúdale a completarla.

Precio($) 2.5

Bolillos 1 2 3 4 5 6 7 8

◊ Las personas que reparten gas a diferentes domicilios tienen que entregar una cuenta respecto al número de cilindros vendidos. ¿Qué cantidad obtuvieron por haber vendido 12 cilindros? Usa la siguiente tabla.

Precio($) 1 826 2 285.5

Tanquesvendidos 4 5 12







180

5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

5 478

45

240 360

270

60

50

b) La señora Valeria atiende un negocio de semillas, ¿cuál es el costo de cada kilogramo de frijol? Ayúdate de la siguiente tabla.

Precio ($) 92 138 184 230 276Kilogramos (kg) 4 6 8 10 12

c) En una cremería, el encargado envasa el producto en contenedores del mismo tamaño para distribuirlos. ¿Cuánta crema contiene cada uno?

Cantidad (g) 45

23

25

411 3

Vasos 5 6 10 11 12

d) Una papelería vende paquetes de ciento de hojas, ¿cuál es el precio de cada paquete?

Costo ($) 24 36 60 120 240

Paquetes 2 3 5 10 20

Proporcionalidad directaFactor de proporcionalidad y valores faltantes

Estrategia 1

María Luisa compró 3 libretas por la cantidad $48.90, ¿cuál fue el precio de cada libreta?

Costo ($) 16.30 32.60 48.90 65.20 97.80 130.4 163 195.60Libretas 1 2 3 4 6 8 10 12

16.30 116.30

232.60

348.90

465.20 ... 12

195.60= = = =...

En todos los casos al dividir el costo entre las libretas se obtiene un número igual que se denomina factor o cons-tante de proporcionalidad.

◊ Usa la estrategia 1 y halla el factor de proporcionalidad en las siguientes situaciones.

a) Un atleta ha recorrido de forma constante varios metros, ¿qué velocidad ha mantenido durante su trayecto?

Distancia (m) 600 800 1 400 1 600 1 800Tiempo (min) 15 20 35 40 45






El precio de kilogramo de frijol es de $23: 492

6138

8184

10230

12276= = = = .

Cada vaso contiene 41 g de crema: 4

5 5 23 6 2

5 10 411 11 12

3= = = =' ' ' ' .

El precio por ciento de hojas es de $12: 224

336

560

10120

20240= = = = .

Ha sido de 40 km/h: 15600 = 20

800 = 351400 = 40

1600 = 451800 .

51

Estrategia 2

El señor Abel acudió a una gasolinera y pidió que le suministraran a su auto 20 litros del mismo combustible que le dieron a la persona que estaba delante de ella. ¿Cuánto tiene que pagar, si a dicha persona le cobraron $99.84 por 6 litros?

El precio que pagaría sería de: $332.80:99.84 20 6 332.80=# '

Cantidad(I)

Costo($)

20 ¿?6 99.84

#'

e) El señor Jorge desea cambiar varios dólares a pesos mexicanos, ¿cuánto le van a pagar por cada uno?

Precio ($) 56.25 112.5 168.75 225 281.25

Cantidad de dólares 3 6 9 12 15

Para hallar el resultado se aplicó la regla de tres, porque se trata de una situación de proporcionalidad en la que hay tres valores conocidos y una incógnita.

Recuerda que para multiplicar fracciones se aplica el siguiente procedimiento:

21

53

2 51 3

103= =#

##

a) Si una editorial vendió 20 libros del mismo título por un total de $3 310, ¿cuánto dinero recibirá por vender 35 libros?

Libros Costo

20 $ 3 310

35

b) José regresó de viaje y quiere cambiar los dólares que le sobraron a pesos mexicanos. Si por 50 dólares puede recibir 947.50 pesos, ¿cuántos pesos mexicanos podrá recibir por 30 dólares?

Dólares Pesos mexicanos

W50 $947.50

W30






La cantidad que le van a pagar a Jorge por dólar es de 18.75: 356.25

6112.5

9168.75

12225

15281.25= = = = .

El precio que pagaría sería de $5 792.50: 3 3310 35 20 5 792.50=# ' .

El precio que pagaría sería de $568.50: 947.50 30 50 568.50=# ' .

$5 792.50

$568.50

52

c) Si por 5 kilogramos de tortilla se pagan $90.00, ¿cuánto se pagará por 3 21 kilogramos?

Cantidad (kg) Costo ($)

3 21

5 90

d) Si por 4 jugos de a litro en un supermercado se pagan $47.60, ¿cuánto se pagarán por 9 jugos?

Jugos Costo ($)

4 47.60

9

e) Por 100 gramos de queso oaxaca se pagan $11.50, ¿cuánto se pagaría por 450 gramos?

Quesos (g) Costo ($)

100 11.50

450

En contextos cotidianos, la proporcionalidad.

Si una papelería cobra $12.75 por sacar 15 fotocopias, ¿cuál es el factor de proporcionalidad que ayuda a determi-nar el precio de cualquier número de copias?

El factor de proporcionalidad es 0.85: 1512.75 0.85= .






63

107.1

51.75

El precio que se pagará es $63: 3 21 90 5 63=# ' .

El precio que se pagaría es de $107.1: 9 47.60 4 107.1=# ' .

El precio que se pagaría es de $51.75: 450 11.50 100 51.75=# ' .

53

Alumno:

TREJOZARATECITLALLI

Matricula: 163131206060167

Carrera: SOPORTE Y MANTENIMIENTO

Turno: MATUTINO

Vigencia: FEB. 2017 - JUL. 2017

Grupo: 2-D

8.5 cm

5.6 cm

Alumno:

TREJOZARATECITLALLI

Matricula: 163131206060167

Carrera: SOPORTE Y MANTENIMIENTO

Turno: MATUTINO

Vigencia: FEB. 2017 - JUL. 2017

Grupo: 2-D

◊ Citlalli fue a una papelería y pidió una ampliación de su credencial de estudiante. Si el factor de proporcionali-dad que se aplicó a las dimensiones del documento fue de 2

5 , ¿cuáles serán las dimensiones de la copia?


◊ Si una avioneta gasta 208 litros de combustible durante un recorrido de 480 minutos, ¿cuántos minutos podrá recorrer con 182 litros de combustible?

Tiempo(min)

Combustible(I)

480 208

182

◊ Si una máquina empaca paquetes de 6 botellas con 43 de litro de agua cada una, ¿en cuántas botellas y cuán-

tos paquetes se almacenarán 54 litros? Completa las tablas.

Botellas Litros

1 43

6

Botellas Paquetes Litros por paquete

6 129

54






21.25 cm

El factor de proporcionalidad es 25 , pero dicho

número también puede ser representado como 2.5, entonces dicho valor se multiplica por cada una de las dimensiones de la credencial.

Se calcula multiplicando 480 por 182 y el resultado se divide entre 208.

72 12

420

29

14 cm

54

◊ Dependiendo de la fuerza que se aplique a un resorte, éste presenta un alargamiento. Supón que al aplicar una fuerza de 180 gramos el resorte se alarga 5 centímetros, ¿cuál es el alargamiento correspondiente a las diferentes fuerzas que describe la siguiente tabla?

Fuerza(g) 180

Alargamiento(cm) 3 5 7 9 11 13

41.76 cm

41.76 cm

◊ Dalia trabaja en un estudio fotográfico. Si necesita reducir una de las fotografías aplicando el factor de propor-cionalidad 3

1 , ¿cuáles serán las dimensiones de la foto?MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





13.92 cm

13.92 cm

A las medidas se le aplica el factor de proporcionalidad de 31

teniendo en cuenta que 41.76 cm = 1004176

251044= .

Multiplicando 251044 por 3

1 se obtienen las medidas: 251044

31

751044 13.92= =# .

Los lados de la foto serán de 13.92 centímetros.

108 252 324 396 468

55

Construcción de triángulosRectas cortadas por una transversal5

Lección

Dos rectas son paralelas cuando todos los puntos de una están a la misma distancia de los de la otra; en otras palabras, son equidistantes.

Dos rectas son perpendiculares cuando al intersecar-se forman ángulos rectos; es decir, ángulos de 90º.

90º

90º90º

90º

En los siguientes trazos se observa que, si se intersecan dos rectas paralelas con una transversal, se obtienen 8 ángulos: a b c d e f g h1 1 1 1 1 1 1 1 .

a

de

hg

fc

b

Los pares de ángulos opuestos por el vértice se caracterizan porque los lados de uno son la prolongación de los lados del otro y conservan una misma medida. En estos ejemplos, los ángulos f1 y h1 son opuestos e iguales; tales como a1 y c1 , sólo por describir algunos.

Los dos ángulos que se encuentran en lados opuestos de la recta transversal y dentro de las rectas paralelas se llaman ángulos alternos internos. En la figura anterior los pares de ángulos c1 y e1 o d1 y f1 son alternos internos. Además, son iguales.

Por otra parte, los pares de ángulos a1 y g1 o b1 y h1 se denominan ángulos alternos externos porque se encuentran en lados opuestos de la recta trasversal y en distinto lado, fuera de las rectas paralelas, además tienen la misma medida.

Finalmente, los ángulos que están del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las paralelas reci-ben el nombre de ángulos correspondientes. Los ángulos correspondientes revisados en la figura anterior son

y ; y ; y ; ya e b f c g d h1 1 1 1 1 1 1 1 los pares de ángulos descritos son iguales.






56

◊ Determina la medida de los ángulos considerando los siguientes trazos y responde las preguntas.

Medida del ángulo 21 :






a) ¿Cuál es la suma de los ángulos 21 y 31 ?

b) ¿Cuál es la suma de los ángulos 31 y 41 ?

c) ¿Cuál es la suma de los ángulos 51 y 61 ?

d) ¿Cuál es la suma de los ángulos 51 y 81 ?

◊ En la siguiente figura están trazadas dos rectas paralelas y dos rectas transversales que concurran en un mis-mo punto sobre una de las paralelas. Además, se obtienen 14 ángulos, de los cuales 3 son ángulos interiores del triángulo que se forma. Completa la siguiente información.

2

87

109

3 16

1112

1314

54

12 =1 por ser ángulos correspondientes.5 2=1 1 por ser ángulos opuestos por el vértice.

= 11 por ser ángulos correspondientes.

Luego, 3 2 180º1+ + =1 1 1 . Pero 3 2 1 12 7+ + = + +1 1 1 1 1 , por lo que 12 5 7 180º+ + =1 1 1

De lo anterior se concluye que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a .

2 51º

43

6 5

851º






129º

51º

129º

51º

129º

129º

Es igual a 180º.

Es igual a 180º.

Es igual a 180º.

Es igual a 180º.

31

71

180º

51

57

◊ Emplea tu transportador para medir los ángulos interiores de los siguientes triángulos, suma las medidas y trata de construir otros dos triángulos más, cuyos ángulos sumen más (o menos) de 180º.

a)

b)

◊ Escoge seis medidas angulares que sumen 180º de tal forma que con ellas puedas construir dos triángulos diferentes.

a) ¿Cómo son los triángulos que construiste respecto a los de tus compañeros?

b) ¿Qué características tienen en común todos los triángulos que construyeron?






Es imposible construir un triángulo cuya suma sea mayor o menor a 180º.

La suma de los ángulos interiores del triángulos es de 180º.

Es imposible construir un triángulo cuya suma sea mayor o menor a 180º.

La suma de los ángulos interiores del triángulos es de 180º.

El alumno puede trazar diferentes triángulos, pero todos deben de tener la misma característica; la suma de los ángulos interiores miden 180°.

45º

10.5º

158.24º

45º 65º

75º

40º

100º35º

11.26º

45º

90º

Son diferentes en tamaño y medidas de sus lados.

Que la suma de los ángulos interiores de los triángulos construidos es la misma.

58

Unicidad y existencia de triángulos y cuadriláteros

Estrategia 1

Para dibujar un triángulo con medidas 10, 6 y 8 cm respectivamente, sigue las siguientes instrucciones.

Primero, se traza un segmento empleando una de las medidas que se conocen, por ejemplo, 10 cm.

Segundo, se abre el compás utilizando cualquiera de las otras dos medidas y apoyando el compás sobre uno de los extremos del segmento, se traza un arco.

Enseguida se apoya el compás sobre el otro extremo del segmento para trazar un nuevo arco con la tercera medi-da de tal manera que cruce con el anterior.

Finalmente, se unen los extremos del segmento con el punto de intersección que hay entre los arcos para formar el triángulo con las medidas proporcionadas.

10 cm

8 cm6 cm






59

◊ Con las tres medidas que se te proporcionan en cada caso, trata de construir un triángulo.

a) Longitudes de los segmentos: 3.5 cm, 4.5 cm y 6 cm.

b) Longitud de los segmentos: 6.5 cm, 5.5 cm y 2.5 cm.

c) Longitud de los segmentos: 11 cm, 8 cm y 5 cm.






6 cm

6.5 cm

5.5 cm

2.5 cm

4.5 cm

Fue posible construirlo.

3.5 cm

Fue posible construirlo.

Fue posible construirlo.11 cm

8 cm 5 cm

60

No siempre es posible construir un triángulo cuando se dan tres medidas de segmentos. Por ejemplo, con 9 cm, 4 cm y 3 cm es imposible hacerlo.

◊ Con las dos medidas que se te proporcionan en cada inciso, construye un triángulo y escribe cuál es la medida del tercer lado.

a) Longitudes de los segmentos: 4.5 y 4 cm.

b) Longitudes de los segmentos: 6 y 5 cm

c) Longitudes de los segmentos 4.5 y 6.8 cm.

9 cm

4 cm 3 cm






El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar.

No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los dos segmentos dados. 50º


No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los dos segmentos dados.


No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los dos segmentos dados.

20º

6.8 cm

4.5 cm45º

61

5 cm5 cm

30º 45º

7 cm 7 cm

Dados solamente dos segmentos no es posible obtener un único triángulo debido a que la medida del tercer lado dependerá del ángulo que formen los dos segmentos proporcionados. Por ejemplo, con 5 y 7 cm se pueden tener los siguientes dos triángulos.

◊ Propón en cada caso tres números enteros con los que se pueda formar un triángulo y trázalo en los siguientes espacios.

a)

c)

b)

d)






Para los cuatro casos, las medidas que se propongan uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos lados.

62

Un triángulo existe si la suma de dos de los lados, cualesquiera que lo forman, es superior a un tercer lado. Por ejemplo, el triángulo de lados 4 cm, 10 cm y 8 cm sí existe, porque:

Por otra parte, si los tres segmentos cumplen con la condición anterior, se forma un triángulo único, que conserva sus medidas de los lados al igual que de los ángulos.

◊ Varios triángulos de la misma magnitud han sido colocados para formar dos modelos geométricos diferentes, como se observa a continuación.

a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de uno de los triángulos para cada uno de los modelos presentados?

c) ¿Cómo determinarías la suma de los ángulos interiores de un rectángulo?

d) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un rectángulo?

4 10 8

4 8 10

10 8 4

+

+

+

2

2

2

50º

90º40º

50º

90º

40º

Primer modelo

Segundo modelo






La suma es igual a 180º.

Se dividiría el rectángulo en dos triángulos y se sumarían los ángulos interiores de ambos triángulos.

Es igual a 360º.

63

◊ Divide cada figura en dos triángulos y contesta la pregunta.

a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros presentados?

◊ El siguiente modelo geométrico está formado por cuadriláteros de iguales dimensiones que convergen en un mismo punto.

a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de uno de los cuadriláteros?

Para trazar un rectángulo ABCD, primero se dibuja un segmento de longitud AB (ver figura 1), luego se apoya una escuadra sobre el borde de una regla para trazar dos semirrectas perpendiculares al segmento AB desde A y des-pués desde B (ver figura 2).






Es igual a 360º.

La suma es igual a 360º.

64

Posteriormente, se traza una semirrecta paralela al segmento AB y a las intersecciones que tiene ésta con las semi-rrectas perpendiculares se les conocerá como D y C. Por último, se unen todos los puntos A, B, C y D para obtener el rectángulo (ver figura 3).

Para trazar un rombo conociendo uno de sus ángulos ( a1 ) y uno de los lados que lo forman, primero se traza un segmento AB . Después, se sitúa el centro del trasportador sobre –en este caso– el punto A, para trazar una semi-rrecta con origen en dicho punto, generado a partir de la medida de un ángulo a1 (ver figura 4). Posteriormente, apoyando el compás sobre el punto A, se traza un arco igual al segmento AB de tal manera que éste haga su corte (denotado con la letra D) con la semirrecta (ver figura 5).

Haciendo centro en el punto B, con la misma abertura AB, se traza un nuevo arco. Luego se coloca la punta del compás sobre el punto D y, de nuevo, con la misma abertura AB, se traza otro arco que corte al anterior. A esta in-tersección de los arcos le asignaremos la letra C. Por último, sólo hay que unir los vértices A, B, D y C (ver figura 6).

A B A B

A

D

B

C

Figura 3

Figura 2Figura 1

Figura 6

Figura 4A B

Figura 5

aB

D

aA

Ba

A AB

CD






65

b) 1.3 cm

◊ Construye un rectángulo cuya base sea de la medida que se te proporciona.

a) 5 cm

Para construir un trapecio isósceles, se lleva un segmento AB sobre una recta k. Se obtiene el punto medio (H) del segmento y sobre éste se hace pasar una recta perpendicular (g). Después, se traza una paralela a la recta k, obte-niendo entonces la recta h. La intersección entre la recta h y g, generan un punto de intersección (D). Con centro en D y radio la mitad de la base menor, se traza una circunferencia que corta a la paralela h en E y F. Finalmente, se unen los puntos A, B, F y E para definir el trapecio isósceles.

g

hE D F

BH

Ak

◊ Construye un rectángulo cuya altura sea de la medida que se te proporciona.

a) 1.5 cm b) 4 cm






No se puede obtener un rectángulo úni-co debido a que la medida de la altura dependerá de la que se haya elegido.

No se puede obtener un rectángulo único debido a que la medida de la altura depen-derá de la que se haya elegido.

El rectángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. No se puede obtener un rectángulo único debido a que la me-dida de la base dependerá de la que se haya elegido.

El rectángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. No se puede obtener un rectángulo único debido a que la me-dida de la base dependerá de la que se haya elegido.

66

Teniendo en cuenta un segmento que representa la base o la altura de un rectángulo, es imposible obtener un único rectángulo. Por ejemplo, en el siguiente caso, la base tiene una longitud de 3.8 cm, por lo que los posibles cuadriláteros serían los siguientes.

◊ Con la medida del segmento que se te proporciona, construye un rombo y escribe cuál sería la medida de uno de los ángulos interiores obtuso.

a) 2.8 cm

b) 4.5 cm

c) 5 cm

3.8 cm 3.8 cm






No se puede obtener un rombo único debido a que la medida del ángulo obtuso dependerá del que se haya elegido.



67

Dado solamente un segmento, no es posible obtener un único rombo. Por ejemplo, con un segmento de 5 cm se pueden trazar las siguientes figuras.

◊ Con los dos segmentos que se te proporcionan en cada caso construye un trapecio isósceles.

a)

b)

c)

5 cm

5 cm

5 cm5 cm

55º

5 cm

5 cm 5 cm

5 cm

80º






Éste es un ejemplo de figura que se puede obtener, ya que la altura puede variar.



68

Al proporcionar sólo las medidas de dos segmentos, es imposible formar un único trapecio isósceles. Ejemplo de ello se observa en los siguientes casos, donde los segmentos proporcionados miden 1 y 5 cm.

Para obtener un único rombo se necesita conocer la medida de un ángulo y de un lado. Para un único rectángulo es indispensable conocer su altura y base. Finalmente, para obtener un único trapecio isósceles es necesario cono-cer las longitudes de sus bases y su altura. En todos los casos se debe cumplir que sus ángulos internos miden 360°.

Construye un triángulo isósceles considerando que uno de sus ángulos desiguales mide 46.4º.

◊ Construye un triángulo rectángulo teniendo en cuenta que uno de los sus ángulos agudos mide 35º.

1 cm

5 cm

1 cm

5 cm

En contextos cotidianos, construyendo triángulos y cuadriláteros.

46.4º=a

66.8º=c66.8º=c






MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN90º=a

35º=b

55º=c

69

◊ Construye un trapecio regular cuyos lados paralelos midan 3.26 y 5 centímetros y en su interior se forme un ángulo de 80.

◊ A Miriam le han permitido que emplee un área triangular para construir su local. La condición es que cumpla con las siguientes características: los lados deben medir 5, 8 y 3 metros. Verifica si es posible llevar a cabo esto trazando un triángulo a escala en el siguiente espacio.

◊ Don Genaro es carpintero y le han pedido varias bases de madera en forma rectangular. ¿Qué información necesita para que dichas bases de madera tengan las mismas características?






80º=c 80º=a

No es posible por que no cumple con la condición de los triángulos: la suma de dos de los lados cualesquiera es superior a un tercero lado.

La persona tiene que darle las longitudes de la altura y base del rectángulo.

70

◊ Roberto trabaja en una vidriería y le han pedido que elabore varios pisapapeles con determinadas medidas y en forma de rombo para poder hacerlos consideró un ángulo. ¿Esta información es suficiente para elaborar-los? Explica tu respuesta.

Se sabe que el 100% de una gráfica circular representa los 360°.

100% = 360º

Estrategia 1

Aplicando la regla de tres, se puede calcular cuál es el ángulo que corresponde a un sector de la gráfica dado su porcentaje.

10 360 100 36º='^ ^h h 5 360 100 18º='^ ^h h

Porcentaje y gráfica circular6 Gráfica circularLección

360º 100%¿? 10%

360º 100%¿? 5%

5 %

54 %90 %

10 %

Estrategia 2

Aplicando la regla de tres, se puede calcular cuál es el porcentaje que corresponde a un sector de la gráfica dado su ángulo.

90 100 360 25%='^ ^h h 54 100 360 15%='^ ^h h

360º 100%90º ¿?

360º 100%54º ¿?






No, porque requiere la medida de uno de los lados como de los ángulos.

71

Estrategia 3

Identificando el factor de proporcionalidad para calcular el ángulo.

100360 3.6=

3.6 10 36º=# 3.6 5 18º=#

◊ Lee y completa las actividades que se te indican.

a) Fernando preguntó en su salón de clase cuál red social era su favorita y obtuvo los siguientes datos. Completa la tabla.

Red socialFrecuencia (alumnos)

Porcentaje Ángulo

WhatsApp 12Facebook 3 36º

Twitter 9Snapchat 6

Total 30 100% 360º

b) Lucía administra su sueldo de la siguiente manera: 40% de su dinero está destinado para su alimentación, 30% para la renta de su casa, 10% para el pago de la luz y el resto para las cuentas de los otros servicios. Completa la tabla.

Mes Porcentaje Ángulo

Alimentación 40%Casa 30% 108ºLuz 10%

OtrosTotal 100% 360º

Alimentación40%

Luz10%

Otros

Casa30%

360º 100%¿? 10%

360º 100%¿? 5%

c) En una encuesta realizada a 100 personas se descubrió que éstas, cuando utilizan el internet, se dedican a buscar contenido relacionado con deportes, cultura, sociedad, tecnología y otros. ¿Qué porcentaje corresponde a cada sector de la gráfica? Completa la tabla.

ContenidoFrecuencia (alumnos)

Porcentaje Ángulo

Deportes 15 54ºCultura 45 162º

Sociedad 5 18ºTecnología 20 72º

Otros 15 54ºTotal 100% 360º

Deportes Cultura Sociedad Tecnología

Otros

Personas






40%10%30%20%

20%

144º

36º72º

144º

108º72º

100

15%45%5%20%15%

72

Estrategia 4Se necesita identificar el factor de proporcionalidad para calcular el porcentaje, tras conocer la frecuencia de un solo dato:

100100 1=

1 87 87%=# 1 13 13%=#

DatoFrecuencia(Personas)

Porcentaje

Portan celular 87 87%No tiene celular 13 13%

Total 100 100%

Estrategia 5

Aplicando la regla de tres, se puede calcular cuál es el porcentaje que corresponde a un sector de la gráfica dado un solo dato.

87 100 100 87%='^ ^h h 13 100 100 13%='^ ^h h

87%

13%

100 100%87 ¿?

100 100%13 ¿?

◊ Lee y completa los ejercicios que se indican.

a) En una ferretería tienen un historial sobre la venta de martillos de enero a julio con respecto a un total de 68 que tenían en una bodega. Completa la siguiente tabla.

Productos vendidos

MesFrecuencia(productos vendidos)

Porcentaje

Enero 8Febrero 6Marzo 4Abril 10Mayo 12Junio 8Julio 20Total 68 100%

Julio

Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN11.76%8.82%5.88%14.70%17.65%11.76%29.41%

Los porcentajes pueden variar ligeramente y corresponde al profesor explicar la razón.

73

b) Osvaldo trabajó en un restaurante durante una semana, ¿qué cantidad de cada alimento vendió? Completa la tabla.

ComidaFrecuencia(venta de comida)

Porcentaje

Postres 15%Bebidas 9%

Sopa 30 15%Ensaladas 21%

Sándwiches 40%Total 200 100%

c) A un grupo de sexto grado de primaria se les preguntó acerca de cuál era su fruta preferida y se obtuvieron los siguientes datos. ¿Qué porcentaje le corresponde a cada dato?

FrutaFrecuencia(venta de comida)

Porcentaje

Mango 12Fresa 6Uva 7

Manzana 5Total 100%

Sándwiches

Ensalada

Sopa

Bebidas

Postres

Ventas de comida

Fruta preferida

40%

21%

15%

15%

9%

Mango

Fresa

Uva

Manzana

12

6

7

5

En contextos cotidianos, el uso de gráfica circulares.

Un banco hizo diferentes cuestionarios sobre la calidad del servicio que ofrece a algunos de sus usuarios. Una de las preguntas que se hicieron fue: ¿cómo se siente con la atención al cliente?

RespuestaFrecuencia(personas)

Porcentaje

Insatisfecho 35 35%Indiferente 23 23%Satisfecho 42 42%

Total 100 100%Satisfecho

42%

Indiferente23% Insatisfecho

35%






3018

4280

40%20%

23.33%16.66%

30

74

◊ Una carnicería trabaja solamente de lunes a sábado. ¿Qué cantidad de carne vendió durante los 6 días?

DíaFrecuencia

(kilogramos decarne)

Porcentaje

1 22%2 12%3 13%4 3.6 6%5 39%6 8%

Total 100%

◊ La biblioteca de una universidad registra las visitas semanales de todos los asistentes según su especialidad. Construye una gráfica circular que represente el porcentaje de los datos.

EspecialidadFrecuencia(personas)

Porcentaje Ángulo

Ciencias de la tierra

25

Literatura 20Matemáticas 40

Otros 15Total 100% 360º

Kilogramos de carne vendida

39%

8%

6%

22%

12%

Día 1

Día 2

Día 3

Día 4

Día 5

Día 6

◊ En un departamento de una tienda especializada en electrónica, se registra semestralmente las ventas que se tienen de determinados artículos. Halla el porcentaje que representan dichas ventas.

ArtículoFrecuencia

(cantidad de artículos)

Porcentaje Ángulo

Software 38 19%Laptops 30Tabletas electróni-

casImpresoras 16 28.8º

Tinta 54Total 200 100% 360º

Tabletas electrónicas

Laptops

Software

Tinta

Impresoras


13%






13.27.27.8

23.44.860

90º

72º144º54º

100

25%

20%40%15%

Personas que acuden a la biblioteca

Matemática

Literatura

Otros

Ciencias de la tierra

62

15%68.4º54º

111.6º

97.2º

31%

8%27%

75

◊ Resuelve los siguientes planteamientos y subraya la respuesta cuando se solicite.

1. Elige el número decimal que representa la fracción 108 :

a) 0.8

b) 0.8

2. El profesor Héctor indicó a Nancy, su alumna, que buscara un número fraccionario que esté entre las fracciones

85 y 7

6 . ¿Cuál podría ser?

3. Considerando el cruce que hacen las rectas y el ángulo dado, ¿cuál es la medida del ángulo a1 ? Subraya la respuesta correcta.

a) 12.5º

b) 22.5º

c) 44.45º

d) 135.55º

Cuestionario: Periodo 1

c) 54

d) 98

a

135.55º

4. De acuerdo con la colocación de las figuras, ¿cuál sería la suma de los ángulos interiores de uno de los triángu-los? Subraya la respuesta correcta.

a) 120º

b) 270º

c) 180º

d) 150º






Los valores podrían ser: 5636 , 56

38 , 5640 , entre otros más.

76

5. Escribe la fracción decimal equivalente al número fraccionario 27 .

6. Subraya la fracción que representa al número decimal 0.003.

a) 103

b) 1003

7. ¿Qué fracción representa el segmento indicado con la flecha en la recta numérica?

01

8. Raúl atiende una relojería y necesita comprar paquetes de pilas pequeñas y redondas. Si de un paquete que contiene 150 piezas 15

1 no dispone de energía y 301 tiene una carga mínima, ¿cuántas pilas defectuosas hay

en total? Elige la opción más adecuada.

a) 30 pilas

b) 18 pilas

9. En una ciudad (A) se registró una temperatura de −12 °C, mientras que en otra ciudad (B) el termómetro marcó −18 °C. ¿En qué ciudad se registró la menor temperatura?

10. ¿Con cuál de las siguientes medidas de tres segmentos proporcionadas no se puede construir un triángulo? Subraya la respuesta correcta.

c) 10003

d) 100030

c) 45 pilas

d) 15 pilas

c) 5 cm, 7 cm y 9 cm

d) 9 cm, 10 cm, 12 cm

c) 5 cm, 7 cm y 8 cm

d) 7 cm, 1 cm y 6 cm

a) 6 cm, 3 cm y 2 cm

b) 8 cm, 9 cm y 12 cm

11. ¿Con cuál de las siguientes medidas de tres segmentos proporcionadas se puede construir un triángulo?

a) 8 cm, 2 cm y 4 cm

b) 7 cm, 4cm y 11 cm






Es 1211 .

Es 1035 .

En la ciudad B.

77

12. El gasto cardíaco es el volumen de sangre bombeado por un ventrículo (cavidad del corazón) en un minuto. Considerando el gasto cardíaco de una persona que permanece sentada y que lleva a cabo la misma actividad registra los siguientes datos:

Volumen total de sangre (l) 10.6 21.2 31.8 42.4 53 63.6 74.2

Tiempo (min) 2 4 6 8 10 12 14

a) Representa en el siguiente plano cartesiano la variación que se registra entre los elementos de la tabla y contesta las preguntas.

47.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

74.2

68.9

63.6

58.3

53

42.4

37.1

31.8

26.5

21.2

15.9

10.6

5.30

Volu

men

tota

l de

sang

re

Tiempo

b) Si el gasto cardíaco sigue incrementando la misma cantidad de sangre cada minuto, ¿la gráfica seguirá siendo una recta? Explica tu respuesta.

c) ¿Qué par coordenado representará al volumen de sangre bombeado en 18 minutos?

x

y





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓNSí, ya que el volumen aumenta la misma cantidad en el mismo tiempo.

El par coordenado sería (18,95.4).

78

14. ¿Cuál de las siguientes operaciones no está desarrollada de forma correcta?

a) 8 4 4+ =- -^ ^h h

b) 8 4 21+ =- - -^ ^h h

15. ¿Cuál es el precio que se pagará por 6 piezas de pan, dadas las condiciones que se identifican en la siguiente tabla?

Costo ($) 26 65 91 104 130 195

Piezas de pan 4 10 14 16 20 30

c) 8 4 4=- - -^ ^h h

d) 8 4 12=--^ ^h h

13. En una escuela secundaria llevaron a cabo elecciones para determinar qué sociedad de alumnos será su repre-sentante en los distintos ámbitos estudiantiles. Participaron tres planillas y del total de la votación, los porcentajes que los representaron fueron 25% de votos para la planilla azul, 35% para la planilla amarilla y el resto para la planilla roja. Representa la información en una gráfica circular.






El costo por 6 piezas de pan es de $39.

25% = 90°; 35% = 126°; 40% = 144°.Planilla azul

Planilla roja

Planilla amarilla

79

Periodo 2

- 3 + 4 + 3 + 3 = x






80

Jerarquía de operaciones¿Qué operación se resuelve primero?

Estrategia 1

1. Primero se llevan a cabo las potencias y raíces.2. Después se efectúan las multiplicaciones y divisiones.3. Finalmente se ejecutan las sumas y restas.

5 2 2 5 4 9+ = + =#

2 2 7 3 1 4 2 14 3 4 19 4 15+ + = + + = =# ' - - -

21

41

21 2.5 4 2 2

181 2.5 2 16

10 2.5 2 0.625 2.5 2 2.625 2.5 0.125 1.875+ + = + + = + = + = = =# '- - - - -

36 4.2 8.5 21

108 36 35.7 10

3 0.3 103 0.6+ + = + = =#- - - - - - -

Todas las operaciones aritméticas fundamentales tienen su inverso, por ejemplo, la operación inversa de la suma es la resta, de la multiplicación es la división y de la potenciación es la radicación.

◊ Aplica la estrategia 1 y averigua cuál es el resultado de las siguientes operaciones.

a) 2 4 3 1 =# '-

b) 15 3 3 1+ =' #

c) 18 12 3+ =-

d) 5.2 1.1 3 2 2+ + =# -

e) 2.5 0.4 1 5 2.5+ + =# '-

f) 7.7 1.1 65

611 1+ + =' -

g) 31

41

42 1+ + =#

7Lección

h)0.4 101

201 6.3 1+ =# - -

i) 51

101 5 2.5+ + =#-

j) 8 6 7.2 1+ =- -

k) 41

42 7.2 3.3+ =- -

l) 3.2 5 8 1+ =#- -

m) 21 6 4 1 =# - -

n) 56

21 4 1+ =#- -






8 3 5=-

5 3 8+ =

30 3 7=-

5.72 1 2 8.72+ + =

2.5 0.4 2 0.1+ + =- -

7 1 1 6 1 7+ + = + =-

121

42 1 12

7 1 1219+ + = + =

51

101 12.5 10

1 12.5 0.1 12.5 12.4+ + = + = + =- - -

14 8.2 5.8=-

43 10.5 0.75 10.5 9.75= =- - -

3.2 40 1 36.8 1 35.8+ = =- - -

26 5 3 5 2= =- - -

106 3 0.6 3 3.6+ = + =

251

201 6.3 1 0.04 0.05 6.3 1 5.29+ = + =- - - -

81

◊ Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora científica. Describe en el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo.

Cálculo Descripción

3 5 2 17+ =#

3 4 3 3 12+ + =#-

9 3 1 3=' #

72

85

53

14059=# - -

84

83

58

101+ =#-

7.2 3.6 2 23.92=# -

8 2.5 5.1 2 13.4+ =' #

Estrategia 2

Si dos operadores son de la misma jerarquía se resuelve en el mismo orden en que aparecen; de izquierda a derecha.

8 4 3 2 3 6= =' # #

9 5 3 45 153= =# ' '

◊ Reflexiona a partir de la estrategia 2 y resuelve las siguientes operaciones.

a) 10 5 8+ =-

b) 10 2 4+ =- -

c) 41

81

21+ =-

d) 81

161

41+ =-

e) 0.5 2.5 3.7+ =-

f) 7.1 7.5 0.1+ =-

g) 7 6 42 =# '

h) 6 3 7 =' #

i) 86

21

11 =# '

j) 8.7 10 3 =' #






Primero se multiplicó el 3 por el 5, después se sumó al resultado obtenido al sumando 2.

Primero se multiplicó el 4 por el 3, después se sumó el resultado obtenido al primer y último sumando.

Primero se dividió 9 entre 3 y el resultado se multiplicó por 1.

Primero se multiplicó 72

por 85

, seguido de ello se restó del resultado obtenido el número

fraccionario 53

.

Primero se multiplicó 83

por 58

, seguido de ello se restó del resultado obtenido el número fraccionario 8

4.

Primero se multiplicó 7.2 por 3.6, seguido de ello se restó del resultado obtenido el valor 2.

5 8 13+ =

12-

3212

21

648

81= =- - -

161

41

6420

3210

165+ = = =

2 3.7 1.7+ =-

0.4 0.1 0.3+ =- -

42 42 1='

Primero se efectúa la división y la multiplicación, e inmediatamente se suman ambos cálculos.

2 7 14=#

166

11

166

83= ='

0.87 3 2.61=#

82

En contextos cotidianos, ¿cómo se usa la jerarquía de operaciones?

k) 9.2 3.8 4 =# '

l) 8.5 4 5 =# '

◊ Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora científica. Describe en el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo.

Cálculo Descripción

2 2 2 2=# '

3 2 2 3=' #

10 2 3 15=' #

2.2 3 10 0.66=# '

9.1 2 5 22.75=' #

53 5 4 0.75=# '

21 2 3

1121=' #

0.7 4 47 0.30625=' #

Paola tiene 54 manzanas y las quiere distribuir en bolsas que contengan 6 manzanas cada una. Por otro lado, Mayra tiene 70 manzanas y quiere guardarlas en bolsas que contengan 7 manza-

nas. Si se juntan todas las bolsas de Paola y de Mayra, ¿cuantas bolsas se tendrán en total?

Empleando la jerarquización de operaciones se tiene que por las dos bolsas se tendrán 19 manzanas.

54 6 70 7 9 10 19= + =' '+

m) 21

21 1 =# '-

n) 0.4 2 5.5 =' #






Primero se multiplicó el 2 por el 2 y el resultado se dividió entre 2.

Primero se dividió el 3 entre el 2 y el resultado se multiplicó por 2.

Primero se dividió el 10 entre el 2, luego se multiplicó el resultado por 3.

Primero se multiplicó 2.2 por 3 y el resultado se dividió entre 10.

Primero se dividió 9.1 entre 2 y el resultado se multiplicó por 5.

Primero se multiplicó 53 por 5 y el resultado se dividió entre 4.

Primero se dividió 21 entre 2 y el resultado se multiplicó por 3

1 .

Primero se dividió 0.7 entre 4 y el resultado se multiplicó por 47 .

34.96 4 8.74='

34 5 6.8='

41 1 4

1='- -

0.2 5.5 1.1=#

83

◊ Raúl vende rosas en un local del mercado de su colonia. A media jornada de trabajo tiene a su disposición 72 rosas color rojo, 96 rosas de color amarillo y 132 rosas color blanco. Si pretende vender cualquier tipo de rosa por docena y cada una en $60. ¿Cuántas docenas tiene en su local? ¿Cuánto cobraría en total si vende todas las docenas?

◊ Felipe fue a una papelería y compró 2 lápices, 3 plumas y 1 goma. Si cada lápiz cuesta $2.30, cada pluma $5.70 y cada goma $3.50, ¿cuál fue la cantidad que pagó en total?

◊ Valeria fue al supermercado y compró 2 kilogramos de sandía, 2.5 de mango y 21

de mamey, ¿qué cantidad pagó? Considera que el kilogramo de sandía vale $8.60, el de mango $12.30 y el de mamey cuesta $28.






Raúl tiene en su local 25 docenas de rosas:

72 96 132 12 25+ + ='^ ^h h6 @Y por todas ellas cobraría $1 500:

25 60 1500=#

Recordar que el alumno todavía no tiene manejo de signos de agrupa-ción, pero se emplean aquí para dar a conocer cómo fue el proceso.

2.30 2 5.70 3 3.50 4.6 11.4 3.5 19.50+ + = + + =# #

Pagó $19.50.

8.60 2 12.30 2.5 28 2 17.2 30.75 14 61.95+ + = + + =# # '

Pagó $61.95.

84

Signos de agrupaciónUso de paréntesis, corchetes o llaves

Estrategia 1

1. Primero se resuelven las operaciones que están entre los paréntesis. ( )2. Después, se resuelve todo lo que aparezca dentro de los corchetes. [ ]3. Finalmente se resuelven las operaciones dentro de las llaves.

8 9 3 5 4 17 15 4 32 4 36+ + + = + + = + =#^ ^h h6 6@ @" " ", , ,

52

101 25 0.2 16 50

2 12.5 16 12.54 16 3.46+ = + = =# ' - - --a ^k h9 9C C% % "/ / ,2.1 10 0.5 1.2 4 21 0.7 4 21.7 4 17.7= + = =# - -- - -^ ^ ^h h h6 6@ @" " ", , ,

73

41

31

102

4201

2819

302

4201

420313

4201

420312

210156

10578

3526+ + = + = = = = =# -- -a ak k9 9C C% % %/ / /

◊ Efectúa las siguientes operaciones considerando la estrategia 1.

a) 8 1 6 2+ + =-^ h6 @" ,

b) 5 6 9 12 10 1+ + =# - -^ ^h h6 @" ,

c) 41

122 2 2 3 1+ + + =# - -a ^k h9 6C @% /

d) 2 1 23

21 3 5 2+ =#- - - - -^ a ^h k h9 6C @% /

e) 2.3 1 5.1 10.2 3.1+ + =' #^ h6 6@ @" ,

f) 2.4 1 9 0.1 5.4 3.5 2+ + =# # '-^ ^ ^h h h6 6@ @" ,

g) 1 4 12 8 3 1.2 25+ + + + =#-6 @" ,

h) 12 2.5 3 1.6 5 5 25 20+ =# ' # # - -^ ^ ^ ^h h h h6 @" ,






9 6 2 15 2 13+ = =--6 @" ", ,

20 2 1 40 1 39= =# - -6 @" ", ,

482 2 1 1 24

47 2 241+ + = + =- -9 6C @% %/ /

1 1 2 2 1 0 1= =# - --6 6@ @" ", ,

2.3 5.1 31.62 7.4 31.62 39.02+ + = + =6 6@ @" ", ,

2.4 9 5.5 1.75 11.4 3.75 42.75+ + = =# #6 6@ @" ", ,

1 4 7.6 25 5 7.6 25 37.6+ + + = + + =6 @" ", ,

30 4.8 10 5 6.25 5 31.25= =' # #-6 6@ @" ", ,

85

En contextos cotidianos, ¿cómo se hace uso de la jerarquía de operaciones?

En una calculadora de prueba se presionaron las teclas que se presentan a continuación y se obtuvo un resultado que no es correcto. Determina cuál fue el fallo que registró la calculadora al efectuar las operaciones.

El fallo se registró al no respetar el orden en que se deben resolver las operaciones. Se empezó con la multiplicación y luego, a ese resultado, se le sumó lo que está en el segundo paréntesis para finalmente dividir el resultado entre lo que está en el último paréntesis. Lo correcto es dividir todo lo que está en el segundo paréntesis por lo que está en el tercero. Después, habrá que sumar al resultado, la operación del primer paréntesis.

2 3 12 8 1 2 1 2 2.75+ + + =# ' '-^ ^ ^h h h6 @

◊ Verifica si el resultado de las siguientes operaciones es correcto.

a) 5 3 2 1 15=# ' -^ ^h h

b) 2 3 3 1.5 4 12+ + =# '^ ^h h6 @" ,

c) 12 5 4 25 16 20+ + =- -6 @" ,

d) 21

215 2.5 0.5 2 4

27+ =# ' -a ^k h9 C% /

e) 11 2 4 1 20 10 16 1+ =# # ' '-^ ^ ^h h h6 6@ @" ,

f) 0.3 0.1 1 2 1 5 4 1 1.6+ + + + + =- - - - - -^ ^ ^ ^h h h h6 6@ @" ,

g) 21 2 3.2 4.5 2 4 23 1.3 2 4 26.3 4 30.3+ + + = + + + = + =- -^ ^h h6 6@ @" " ", , ,






Es correcto

Es correcto

Es correcto

Es correcto

Es correcto

Es correcto

No es correcto

86

◊ Eugenia da servicio a la comunidad con la distribución de agua purificada. Para ello, emplea una motocicleta equipada para transportar 16 garrafones, todos ellos con 20 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua transporta si en su primera parada dejó 5 garrafones y en la segunda 4?

◊ Graciela ha comprado 7 cajas de jitomate para la venta de su local. Cada caja que adquirió tiene 30 kilogramos y por cada uno de ellos pagó $25, pero se dio cuenta de que tenía demasiado jitomate para su local y por tanto, se dispuso a ofrecer las cajas a dos tiendas cercanas a su colonia. A la primera tienda le vendió 2 cajas a $30 el kilogramo y a la otra el resto de las cajas a $20 el kilogramo. ¿Recuperó la inversión que hizo?

◊ En una papelería se adquiere constantemente material para ponerse a la venta. Entre los artículos que adqui-rieron hay una caja con 10 paquetes de 500 hojas cada uno por un precio total de $620. Si el cliente decide comprar por paquete, al precio se le suman $10 más $2 por la bolsa en la que le colocarán el producto. Pero si el cliente prefiere comprar un ciento, al precio de cada uno le suman $2.10. ¿Qué conviene comprar a las personas, un paquete 500 hojas o 5 cientos?






Se llevan a cabo las siguientes operaciones:

20 16 20 5 4 140+ =# #-^ ^ ^h hh6 @Eugenia transporta 140 litros de agua.

Las operaciones que se efectuaron para llegar al resultado fueron las siguientes:

7 30 25 2 30 30 5 30 20 450=# # # # # #- -^ ^ ^h h h6 @Con base en los resultados se observa que Graciela no recuperó en su totalidad el dinero que invirtió porque le hicieron falta $450.

Para obtener el precio del paquete de 500 hojas se procede de la si-guiente manera

620 10 10 2 74+ + ='^ ^h hEs decir, por cada 500 hojas o paquete el cliente pagará $74.

Por otra parte, si el comprador adquiere las hojas por ciento pagará $72.5, observe por qué:

62 5 2.10 5 72.5+ =' #^ h6 @" ,Por tanto, le conviene comprar paquetes de 100 hojas.

87

Porcentaje, el tanto por ciento y la cantidad baseTanto por ciento de una cantidad 8

Lección

La expresión tanto por ciento hace referencia a por cada cien o de cada cien.

1050 significa 5 de o por cada 100



Estrategia 1

1001 0.01 1%= =

10023 0.23 23%= =

10014 0.14 14%= =

El símbolo % se emplea para representar el tanto por ciento.

Estrategia 2

51 0.20 20%= = que es lo mismo que 20 de cada 100.



En el resultado de la división, se recorre el punto decimal dos lugares a la derecha seguido del símbolo %.






88

◊ Completa las siguientes igualdades.

a) 100116 =

b) 10056 =

c) 10012 =

Estrategia 3

¿Cuál es el 20% de 15?

15 10020

100300 3= =#

Por tanto, el 20% de 15 es 3.

Estrategia 4

¿Cuál es el 15% de 400?

400 0.15 60=#


◊ Emplea de manera alternada las estrategias 3 y 4 para responder las preguntas.

a) ¿Cuál es el 40% de 200?

b) ¿A cuánto equivale el 12% de 120?

d) 1003 =

e) 1.5% =

f) 3.5% =

c) ¿Cuál es el 25% de 125?

d) ¿A cuánto equivale el 18% de 150?






116%

56%

12%

3%

100015

100035

10040 200 100

8 000 80= =#


120 0.12 14.4=#

Por tanto, el 12% de 120 es 14.4

10025 125 100

3125 31.25= =#

Por tanto, el 25% de 125 es 31.25.

150 0.18 27=#


89

En contextos cotidianos, tanto por ciento.

e) ¿Cuánto es el 124% de 45?

f) ¿Cuánto es el 35% de 50?

g) ¿Cuánto es el 10% de 80?

h) ¿Cuánto es el 16% de 350?

En una tienda de ropa, un pantalón para niño tiene el 20% de descuento. Si el precio de la prenda de vestir es de $240.00, ¿cuánto dinero se descontará?

240 0.20 48=#

Por tanto, el 20% de 240 es 48, lo que significa que la persona que adquiera este pantalón, recibirá un descuento de $48.00.

i) ¿Cuánto es el 300% de 5?

j) ¿Cuánto es el 1% de 500?

k) ¿Cuánto es el 20% de 1 800?

l) ¿Cuánto es el 70% de 6 200?






100124 45 100

5 580 55.8= =#


5 100300

1001500 15= =#

Por tanto, el 300% de 5 es 15

1800 10020

10036 000 360= =#

Por tanto, el 20% de 1 800 es 360

6 200 0.70 4 340=#

Por tanto, el 70% de 6 800 es 4 340

500 0.01 5=#


50 0.35 17.5=#


80 10010

100800 8= =#


350 0.16 56=#


90

◊ Un teléfono celular tiene un precio de $2 485.00. Si éste tiene un descuento del 10%, ¿cuál es la cantidad que le restarán?

◊ En el supermercado el litro de leche vale $19.00, pero si un cliente decide llevarse 2 litros obtendrá el 10% de descuento. ¿Qué cantidad representará el descuento?

◊ Un anuncio publicitario de una tienda informa que, al adquirir 2 kilogramos de azúcar de la marca “R”, se bonifi-cará el 5% del precio del producto a un monedero electrónico propio del supermercado para compras posterio-res. ¿Cuánto dinero se bonificará a los clientes que adquieran 2 kilogramos? Ten en cuenta que cada uno tiene un precio de $27.50.

◊ Al entregar 8 pilas AA en las taquillas de un cine, éste otorga un descuento del 25% en la compra de 2 boletos para cualquier función. ¿Cuál será el precio que pagará una persona si compra 2 boletos y ha llevado las 8 baterías? El costo de cada boleto es de $85.00.






10010 2 485 100

24 850 248.50= =#

Por tanto, el 10% de 2 485 es 248.50. Lo que significa que la persona que adquiera dicho teléfono tendrá un descuento de $248.50.

La condición afirma que deben ser 2 litros para que proceda el descuento, por lo que se debe determinar el 10% de 38.

38 0.10 3.80=#

Significa que al cliente le harán un descuento de $3.80.

La condición afirma que deben ser 2 kg para que proceda la bonificación, por lo que se tendría que determinar el 5% de 55.

1005 55 100

275 2.75= =#

Por tanto, el 5% de 55 es 2.75. Lo que significa que a la persona que adquiera los 2 kg de azúcar recibirá una bonificación de $2.75.

Se necesitan 2 boletos para recibir el precio de oferta, por lo que se necesita determinar el 25% de 170.

170 0.25 42.50=#

Por lo tanto, el cliente conseguirá un descuento de $42.50, de manera que se llevaría a cabo una resta para saber la cantidad que pagará la persona: $170 – $ 42.50 = $ 127.50.

91

◊ Las dimensiones de una fotografía fueron reducidas al 50% de su tamaño, ¿cuáles son las nuevas dimensio-nes de la foto?

◊ El iva es un impuesto que se añade a los productos adquiridos en los diferentes supermercados o en otros establecimientos y éste representa el 16% del precio. Es decir, que cuando tú adquieres un producto, ya se le ha agregado dicho impuesto. Si el precio de la mercancía sin iva fuera de $120, ¿cuánto pagarías en tienda al aplicarle el 16% de iva?

Estrategia 1

¿Qué porcentaje es 8 respecto a 64?

8 ¿?64 100%

Es el 12.5%:8 100 64 12.5=# '

◊ Emplea la estrategia que revisaste anteriormente y resuelve los siguientes planteamientos.

a) ¿Qué porcentaje es 12 respecto a 80?

12 ¿?80 100%

¿Qué porcentaje representa?

25 cm

19 cm

#'

b) ¿Qué porcentaje es 21 respecto a 75?

21 ¿?75 100%






12.5 cm

9.5 cm

10050 25 100

1250 12.5= =#

10050 19 100

950 9.5= =#

Por tanto, las dimensiones de la fotografía reducida son de 12 y 9.5 cm respectivamente.

10016 120 100

1920 19.20= =#

Por tanto, se sumarían a los $120.00 los $19.20 y se pagaría por tal producto: $139.20.

Es el 15%: 12 × 100 ÷ 80 = 15 Es el 28%: 21 × 100 ÷ 75 = 28

92

Estrategia 2

¿Qué porcentaje es 10 de 50?

5010 0.20 20%= =

◊ Utiliza la estrategia 2 para resolver los siguientes ejercicios.

a) ¿Qué porcentajes es 5 de 200?

b) ¿Qué porcentaje es 120 de 50?

c) ¿Qué porcentaje es 30 de 80?

d) ¿Qué porcentaje es 12 de 60?

c) ¿Qué porcentaje es 100 respecto a 20?

100 ¿?20 100%

d) ¿Qué porcentaje es 100 respecto a 500?

100 ¿?500 100%

f) ¿Qué porcentaje es 130 respecto a 400?

130 ¿?400 100%

g) ¿Qué porcentaje es 120 respecto a 10?

120 ¿?10 100%

e) ¿Qué porcentaje es 19.5 respecto a 78?

19.5 ¿?78 100%

e) ¿Qué porcentaje es 18 de 160?

f) ¿Qué porcentaje es 8 de 50?

g) ¿Qué porcentaje es 90 de 15?






Es el 500%: 100 × 100 ÷ 20 = 500 Es el 32.5%: 130 × 100 ÷ 400 = 32.5

Es el 1 200%: 120 × 100 ÷ 10 = 1 200Es el 20%: 100 × 100 ÷ 500 = 20

Es el 25%: 19.5 × 100 ÷ 78 = 25

2005 0.025 2.5%= =

50120 2.4 240%= =

8030 0.375 37.5%= =

6012 0.2 20%= =

16018 0.1125 11.25%= =

508 0.16 16%= =

1590 6 600%= =

93

Si el descuento por comprar un producto es del 20%, significa entonces que se pagará el 80% del precio del pro-ducto, por lo tanto, para determinar qué cantidad se va a pagar se multiplica la cantidad o costo del artículo por el porcentaje a pagar.

Por su aniversario, una taquería ofrece un descuento a la cuenta total del consumo por familia, ¿qué porcentaje le descontaron a una familia que debía pagar $225, pero que, gracias al descuento, pagó $180?

180 ¿?225 100%

Es el 80%:180 100 225 80=# '

El resultado representa el 80% que se pagó, por lo que el descuento fue del 20%.

◊ En un aula, 12 personas decidieron tomar clases de guitarra, 5 optaron por practicar karate, 8 eligieron jugar futbol y 15 decidieron entrar al equipo de natación. ¿Qué porcentaje del total de los estudiantes optó por prac-ticar karate?

5 ¿?40 100%

◊ Gabriel ha solicitado un préstamo a un banco por la cantidad de $5 000.00 bajo la condición de que deposite cada mes $150.00, que representa un porcentaje de la cantidad total. ¿Qué porcentaje pagará Gabriel por mes?

150 ¿?5 000 100%

En contextos cotidianos, porcentajes.







405 0.125 12.5%= =

El 12.5% representa a las personas que practican karate.

Es el 3%: 150 100 5 000 3=# '

Gabriel tiene que pagar el 3% cada mes.

94

◊ Dentro de un salón de clases, 18 alumnos son zurdos y constituyen el 6% del total del alumnado de todos los grupos de primer grado de secundaria. ¿Cuántos estudiantes de primer grado hay en total?

18 6%¿? 100%

◊ Érica está pagando su casa, por lo que cada mes abona una cantidad al banco del salario que recibe, ¿qué porcentaje de su salario le descuentan, si al mes recibe $7 000, pero sólo se queda con $5 950?

5 950 ¿?7 000 100%

◊ Unos audífonos con descuento cuestan $603.20, ¿qué porcentaje se descontó del precio real de $754.00?

603.20 ¿?754.00 100%

◊ En diferentes localidades del país, los periódicos anuncian que el precio de la leche ha subido el 10% del cos-to de los últimos meses, ¿qué precio tiene la leche si antes del aumento valía $21?

¿? 110%21 100%






Son 300: 100 18 6 300=# '

Hay 300 alumnos en primer grado de secundaria.

Es el 85%: 5 950 100 7 000 85=# '

Érica recibe el 85% de su salario, por lo que la cantidad que abona es del 15%.

754.00603.20 0.80 80%= =

El 80% representa la cantidad que se pagó por los audífonos, por lo que el 20% es el tanto por ciento descontado.

Es de $23.10: 21 110 100 23.10=# '

La leche ahora cuesta $23.10.

95

Ecuaciones de primer gradoIdentificación de la incógnita 9

Lección

Una ecuación es una igualdad que contiene uno o varios valores desconocidos.

4 10x + = 2 8 3 2x x+ = +

Son las incógnitas y se representan por una literal

Una igualdad será verdadera cuando el valor de la incógnita satisface la ecuación.

3 6x + =

En este caso el único valor de la incógnita (x) debe ser 3, porque 3 3 6+ = .

En la siguiente igualdad el valor sería 4, porque 2(4) 2 10+ = .

2 4 10x + =

◊ Determina el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones.

a) 10 16x + = x =

Verificando se tiene + 10 = 16

b) 7 15y+ = y =

Verificando se tiene 7 + = 15

c) 2.5 8x + = x =

Verificando se tiene + 2.5 = 8

d) 5 5r =- r =

Verificando se tiene – 5 = 5

e) 2 20f = f =

Verificando se tiene 2( ) = 20

f) 10 10a =

a =

Verificando se tiene 10000 = 10

g) 35

37j+ =

j =

Verificando se tiene 35

37+ =

h) 52

542t+ =

t =

Verificando se tiene 52 + = 5

42

i) 3 23g =

g =

Verificando se tiene 3( ) = 23

j) 8 10 26m + = m =

Verificando se tiene 8( ) + 10 = 26






6

6

8

5.5

5.5

10

10

10

10

8

100

100

32

32

8

8

63

63

2

2

96

k) 52 5.5 9.5d + =

d =

Verificando se tiene 52 ( ) + 5.5 = 9.5

Pienso en un número, cuando lo multiplico por 2 el resultado es 18, ¿en qué número pensé?

2 18x =

9x =

Verificando se tiene 2(9) 18=

◊ Karina tenía ahorrada una cantidad y a ésta le sumó $30 que le dio su papá, ¿cuánto dinero tenía ahorrado si ahora tiene $150?

◊ Brenda fue al mercado y compró 3 kilogramos de avena, si pagó con un billete de $50 y le regresaron $5 de cambio, ¿cuánto costó cada kilogramo?

En contextos cotidianos, ¿cómo identificó la incógnita?

l) 120 0.125w =

w =

Verificando se tiene 120 = 0.125


¿?






30 150120

xx

+ ==

Verificando se tiene 120 + 30 = 150

3 4515

xx==

Verificando se tiene 3(15) = 45

10 15

10 15

97

Aplicación de propiedades de la igualdad

Estrategia 1

La propiedad simétrica se observa cuando, al cambiar la posición de los miembros de una igualdad, ésta no se altera:

Si 5 10x + = , entonces 10 5x= + Si 2 18x = , entonces 18 2x=

Si 2 7 14x + = , entonces14 2 7x= +

◊ Aplica la estrategia 1 en las siguientes igualdades.

a) 3 2 12m + =

b) 2 4 12c + =

c) 21 4r+ =

d) 2.5 12t =-

e) 3 3 0p =-

f) 5b8 =

g) 32 2 1v + =

h) 5 51 12c =-

i) 24 43 2.5s= +

j) 12 8n=

k) 83

15p=

l) 78 41r =






12 = 3m + 2

12 = 2c + 4

4 = 21 r+

12 = 2.5 – t

0 = 3 – 3p

5 = 8b

1 32 2v= +

12 5 51c= -

43 2.5 24s + =

8 12n =

15 83p

=

41 78r=

98

Estrategia 2

Si a dos miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica o divide (a excepción del cero) una misma canti-dad, la igualdad se conserva. Recibe el nombre de propiedad uniforme.

Si sumamos 3 a ambos miembros de la ecuación 3 10x =- , la igualdad subsiste y no se altera:

3 3 10 3x + = +-

13x =

Si la ecuación fuera 2 6 12v + = , se procedería así:

2 6 6 12 6v + =- - 2 6v =

2 262v =

3v =

Si la ecuación fuera 8 2n = , se procedería de la siguiente manera:

8 8 2 8n =` ^ ^ ^j h h h

◊ Aplica la estrategia 2 y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes casos.

a) 12 20h + =

b) 5 4d =

c) 5 14x + =

Ambos miembros se dividieron entre 2.

A ambos miembros se les restó 6.

Ambos miembros se multiplicaron por 8.

d) 2 2 4k + =

e) 2 8s =

f) 21

41x =-

16n =






h +12 ‒12 = 20 ‒12 h = 8

55

54d =

54d =

5 5 14 5x + =- - 9x =

2 2 2 4 2k + =- - 2 2k =

2 222k =

1k =

2 2 8 2s =` ^ ^ ^j h h h 16s =

21

21

41

21x + = +-

43x =

99

Un punto en un plano cartesiano está conformado por pares coordenados (x, y). En el siguiente caso el punto que señala tiene coordenadas (3,14).

Determinando el valor de la abscisa usando ecuaciones de primer grado

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5x

Ordenada: 14

Abscisa: 3

(x,14)

g) 2.4 2 9.2f + =

h) 25 100 200b + =

i) 20 45h =-

j) 2 41

2037k + =

k) 12 7.5z =

l) 6 4y =

y






2.4 2 2 9.2 22.4 7.2

2.42.4

2.47.2

3

ff

f

f

+ ==

==

- -

25 100 100 200 10025 100

2525

25100

4

bbb

b

+ ==

==

- -

20 20 45 2065

hh

+ = +=

-

2 41

41

2037

41

2 58

22

258

54

k

k

k

k

+ =

=

=

=

- -

12 12 7.5 1290

z

z==

` ^ ^ ^j h h h

66

64

32

y

y

=

=

100

◊ Identifica el par de coordenadas que representa a cada punto de la recta.

a) Gráfica 1

b) Gráfica 2

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

6 7 8

-2

-3

-4

c) Gráfica 3

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

6 7 8

-2

-3

-4

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

6 7

Ordenada:

Abscisa:

Ordenada:

Abscisa:

Ordenada:

Abscisa:

(x,12)

(x,9)

(x,1)






12

4

9

5

1

1

101

La expresión que caracteriza la siguiente representación tabular es 3 5y x= + porque al sustituir cualquiera de los valores de x en la expresión se conoce el valor de y. Por ejemplo, si consideramos que 2x = entonces 11y = :3(2) 5 6 5 11+ = + = .

Ordenada(y) 5 8 11 14 17 20 23 26 29

Abscisa(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Gráficamente la expresión algebraica es una recta formada por puntos con sus respectivas coordenadas.

Estrategia 1

Para conocer el valor de x (abscisa) dado el valor de y (ordenada) en la ecuación de la recta 5 1y x= + que pasa por el punto (x, 26) se procede así:

26 5 1x= + 26 1 5 1 1x= +- -

25 5x=

525

55x=

5 x=

La variable es igual a 5 y representa gráficamente la ordenada.

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4140393837363534333231302928272625242322212019181716151413121110987654321

y






102

◊ Resuelve las operaciones correspondientes para determinar el valor de la variable x respecto a la información que se proporciona en cada inciso. El eje horizontal tiene una escala diferente.

a) Recta que pasa por el punto A. Expresión algebraica: 4 1y x= - Abscisa: Ordenada: 7

b) Recta que pasa por el punto B. Expresión algebraica: 4 1y x= + Abscisa: Ordenada: 13

c) Recta que pasa por el punto D. Expresión algebraica: 4 5y x= + Abscisa: Ordenada: 9

d) Recta que pasa por el punto C. Expresión algebraica: 4 3y x= + Abscisa: Ordenada: 19

2423222120191817161514131211109876543210

−1−2−3−4−5

A

(x,7)

(x,9)

(x,13)

(x,19)

B

C

D

y

x






7 = 4x −17+1= 4x −1+1 8 = 4x

48

44x=

2 = x

2

3 1

4

13 4 113 1 4 1 1

12 4

412

44

3

xxxx

x

= += +=

=

=

- -9 4 5

9 5 4 5 54 4

44

44

1

xxxx

x

= += +=

=

=

- -

19 4 319 3 4 3 3

16 4

416

44

4

xxxx

x

= += +=

=

=

- -

103

◊ Determina el valor de la abscisa de las siguientes ecuaciones de la recta.

a) La ecuación de la recta es 2 6y x= + y pasa por el punto (x, 10).

b) La ecuación de la recta es 3y x= + y pasa por el punto (x, 11).

Estrategia 1

5 2 3 35 3 3 2

2 1

21

x xx x

x

x

+ = +==

=

--

Al verificar, se comprueba que:

5 21 2 3 2

1 3

25 2 2

3 3

29

29

+ = +

+ = +

=

` `j j

◊ Determina el valor de la incógnita de las siguientes expresiones.

a) 2 1 3x x+ = +

Ecuaciones de la forma Ax + B = Cx + D

b) 3 1 2 3x x+ = +






10 2 610 6 2 6 6

4 2

24

22

xxx2x

x

= += +=

=

=

- -

11 311 3 3 3

8

xxx

= += +=

- -

La variable es igual a 2.

La variable es igual a 8.

2 3 12

x xx==

-- Verificando se tiene:

2 2 1 2 34 1 2 3

5 5

+ = ++ = +

=

^ h

3 2 3 12

x xx==

-- Verificando se tiene

3 2 1 2(2) 36 1 4 3

7 7

+ = ++ = +

=

^ h

104

c) 1.2 1 4x x+ = +

d) 2 1 2x x= +-

e) 31 1 6

1 2x x= +-

El proceso de utilizar expresiones algebraicas para representar diversas situaciones es llamado modelar matemá-ticamente.

Estrategia 1

El doble de un número menos 35 es igual a 27. Traducción: 2 35 27x - =

Modelos matemáticos

Resolución

2 35 272 35 35 27 35

2 62

22

262

31

xx

xx

x

=+ = +

=

=

=

--

f) 2.5 4 5x x= +-

g) 5 8 4 10x x+ = +

h) 21 1 4

1 5x x+ = +






Verificando se tiene

1.2 15 1 15 418 1 15 4

19 19

+ = ++ = +

=

^ hVerificando se tiene

2.5 6 4 6 515 4 6 5

11 11

= += +=

--^ h


2 3 1 3 26 1 3 2

5 5

= += +=

--^ h


31 18 1 6

1 18 2

318 1 6

18 2

5 5

= +

= +

=

-

-` ^ ` ^j h j h

1.2 4 10.2 3

0.23

15

x xx

x

x

==

=

=

- -

2 2 13

x xx= +=

-

31

61 2 1

61 3

613

18

x x

x

x

x

= +

=

=

=

-

2.5 5 41.5 9

1.59

6

x xx

x

x

= +=

=

=

-


5 2 8 4 2 1010 8 8 10

18 18

+ = ++ = +

=

^ ^h h

5 4 10 82

x xx==

--


21 16 1 4

1 16 5

216 1 4

16 5

9 9

+ = +

+ = +

=

` ^ ` ^j h j h

21

41 5 1

41 4

4141

414

16

x x

x

x

x

=

=

=

=

--

105

◊ Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados y resuelve las ecuaciones resultantes.

a) La mitad de un número menos 4 es igual a 28.

Traducción: Resolución:

b) Un número más 12 es igual a 42.


c) Un número multiplicado por 7 menos 2 es igual a 33.


d) Un número sumado a 8 es igual al doble del mismo número más 1.


e) Si a un número se le restan 4 unidades equivale a multiplicar ese número por 2 y sumarle 1 unidad.







21 4 28r =- 2

1 4 28

21 4 4 28 4

21 32

2121

2132

164 64

r

r

r

r

r

=

+ = +

=

=

= =

-

-

12 42p + = 12 4212 12 42 12

30

pp

p

+ =+ =

=- -

7 2 33k =-7 2 33

7 2 2 33 27 35

77

735

5

kk

kk

k

=+ = +

=

=

=

--

8 2 1x x+ = + 8 2 18 1 2

7

x xx

xx

+ = +==

- -

4 2 1nn = +- 4 2 14 1 2

5

n nn n

n

= +==

- --

--

106

f) La mitad de un número menos 4 es igual a 2 veces ese número menos 1.


Nancy compró tres boletos para ver una película en un cine, todos los boletos del mismo costo, sin embargo, la persona que atiende la taquilla comentó que, por promoción, cada boleto tiene un descuento de $12. Si Nancy pagó en total $132.00, ¿cuál sería el costo de un boleto sin el descuento?

La ecuación que representa al problema es: 3 36 132x =- .

Al resolverla nos queda: 3 36 132

3 132 363 168

3 3168

56

xxx

x

x

== +=

=

=

-

El valor de la incógnita representa el precio del boleto sin descuento.

Al comprar 2 sacapuntas por un determinado precio y sumar $3 es lo mismo que comprar 5 sacapuntas y restar $9. ¿Qué expresión resuelve la situación planteada? ¿Cuál es el precio de cada sacapuntas?

La ecuación que representa al problema es: 2 3 5 9x x+ = -

Al resolverla nos queda:

2 3 5 93 9 5 212 3

312

4

x xx xx

x

x

+ =+ =

=

=

=

--

El valor de la incógnita representa el precio del sacapuntas.

En contextos cotidianos, el empleo de ecuaciones lineales o de primer grado.






21 4 2 1b b=- -

21 4 2 1

4 1 2 21

3 23

233

36

2

b b

b b

b

b

b

b

=

+ =

=

=

=

=

-

-

-

-

-

-

-

-

107

◊ Ernesto obtuvo 5 veces más puntos que su hermano Enrique al participar en un juego. Si Ernesto logró 90 pun-tos, ¿cuántos puntos de diferencia hay entre el puntaje de los dos hermanos? ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la situación?

◊ Una empresa repartió entre sus 4 empleados, de acuerdo con los años que lleva laborando cada uno, un bono de $5 000. ¿Qué cantidad le tocó a la cuarta persona si las primeras 3 personas acumulan un total de $4 375? ¿Cuál es la ecuación que representa la situación?

◊ Un tinaco contiene 450 litros, cantidad que representa 22.5 veces más del agua que contiene un garrafón. ¿Cuál es la capacidad del garrafón? ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la situación?






La ecuación que representa al problema es: 5 90t = .


5 90

55

590

18

tt

t

=

=

=

La diferencia entre los puntos que obtuvieron los dos hermanos es 72, dado que 90 − 18 = 72.

La ecuación que representa al problema es: 4 375 5 000x + =


4 375 5 0005 000 4 375625

xxx

+ ===

-

La ecuación que representa al problema es: 22.5 450r =

Al resolver la ecuación el resultado es:

22.5 450

22.522.5

22.5450

20

r

rr

r

=

=

=

El valor de r representa los litros de agua que contiene el garrafón.

108

◊ Un número multiplicado por 4 menos 2 es igual a 16. ¿Cuál es la ecuación que representa dicha situación? ¿Qué número representa la literal?

19

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

65

4

3

2

1

0

◊ La suma de 5 más el doble de un número es igual a 15. ¿Cuál es la ecuación que representa la situación? ¿Cuál es ese número faltante?

19

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

65

4

3

2

1

0

y

x

y

x






Ecuación: 4 2 16g =-Operaciones matemáticas:

4 2 164 2 2 16 2

4 18

44

418

4.5

gg

gg

g

=+ = +

=

=

=

--

La solución del planteamiento presentado es 4.5, por ello se traza una recta paralela al eje y que si se observa, puede coincidir con algún valor del eje vertical, pero en este caso sólo corresponde con el valor 16, que es el valor de g en la expresión4g − 2 = 16.

Ecuación: 5 2 15f+ =Operaciones matemáticas:

5 2 152 5 5 15 5

2 10

22

210

5

ff

ff

f

+ =+ =

=

=

=

- -

La solución del planteamiento presentado es 5, por ello se traza una recta paralela al eje y. Ésta spuede coincidir con algún valor del eje vertical, pero en este caso sólo se hace corresponder con el valor 15, que es el valor de f en la expresión 5 + 2f = 15.

109

◊ El séxtuplo de un número menos 6 es igual a 12. ¿Cuál es la ecuación que representa la situación? ¿Qué nú-mero resuelve la incógnita?

19

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

65

4

3

2

1

0

◊ Tres veces los ahorros de Gabriel más $15 que le dio su papá hacen lo mismo que 2 veces los ahorros más $115. ¿Cuál es la ecuación que representa la situación? ¿Cuánto dinero tiene Gabriel?

◊ En el platillo de una balanza hay 2 veces una cantidad de kilogramos de lentejas más 2 kilogramos del mismo producto y en el otro hay x kilogramos de lentejas más 5.5 kilogramos de la misma semilla. ¿Cuántos kilogra-mos debe haber en cada platillo para que la balanza esté equilibrada?

y

x






La ecuación que representa al problema es: 3 15 2 115s s+ = +Al resolverla nos queda:

3 15 2 1153 2 115 15

100

s ss s

s

+ = +==

--

Gabriel tiene $100.

La ecuación que representa al problema es: 2x + 2 = x + 5.5Al resolverla nos queda:

2 2 5.52 1 5.5 2

3.5

x xx x

x

+ = +==

--

En cada platillo deben haber 3.5 kg de lentejas.

Ecuación: 6 6 12w =-Operaciones matemáticas:

6 6 126 6 6 12 6

6 18

66

618

3

ww

ww

w

=+ = +

=

=

=

--

La solución del planteamiento presentado es 3, por ello se traza una recta paralela al eje y que si se observa, puede coincidir con algún valor del eje vertical, pero en este caso sólo se hace corresponder con el valor 12, que es el valor de w en la expresión6w - 6 = 12.

110

Variación linealRepresentación tabular, gráfica y algebraica 10

Lección

Un tinaco se llena de agua gracias a una llave que le surte la misma cantidad cada minuto, dicha relación puede representarse de tres maneras:

Estrategia1

Tiempo de llenado en minutos

(x)

0 10 15 20 25 30 35 40

Litros de agua en el

tinaco (y)

0 12.5 18.75 25 31.25 37.50 43.75 50

Estrategia 2

En esta situación, el aumento es constante y además mantiene una relación de proporcionalidad. La relación que hay entre los litros y el tiempo de llenado es 1.25; por tanto, la expresión es y = 1.25x y ésta ayuda a predecir los litros que tendrá el tinaco en determinado tiempo.

y = 1.2.5 (10) = 12.5 y = 1.25 (15) = 18.75

y = 1.25 (20) = 25 y = 1.25 (25) = 31.25 y = 1.25 (30) = 37.50 y = 1.25 (35) = 43.75

y = 1.25 (40) = 50

La variable dependiente es la cantidad de agua, ya que depende del tiempo trascurrido. En tanto que la variable independiente es el tiempo.

Estrategia 3

Los primeros valores están representados en la gráfica.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11.25

10

8.75

7.5

6.25

5

3.75

2.5

1.25

0

El par de coordenadas a través del que una gráfica pasará, siempre y cuando represente una situación de propor-cionalidad, será (0,0).

Cap

acid

ad

Tiempo

x

y






111

Resuelve los siguientes planteamientos con sus respectivas preguntas.

◊ La expresión algebraica p = 6l permite conocer el perímetro de un hexágono regular conforme las longitudes de sus lados incrementan su valor. Representa dicha relación en siguiente tabla. Posteriormente, represéntala gráficamente.

Perímetro (y) 24

Medida del lado (x) 1 2 3 4 5 6 7

• ¿Qué coordenadas asocian el hexágono que tiene 42 cm de perímetro?

• ¿Cuál será el perímetro de un hexágono que tiene de lado 8 cm?

• A Rocío, una alumna de segundo grado de secundaria, opina sobre este mismo ejercicio que un hexágono, cuyo perímetro es de 192 cm, tiene de lado 28 cm, ¿es cierta la opinión de Rocío? Explica tu respuesta.

• Dispón de la expresión algebraica para hallar el perímetro de un hexágono que tiene de lado 18 cm.

◊ En la tienda de la esquina de la colonia donde vive Valeria el costo por kilogramo de huevo es de $24.

• Emplea una gráfica para representar la variación ubicando las parejas de valores que corresponden a 7, 12 y 15 kilogramos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

60

54

48

42

3630

24

18

12

6

0

Per

ímet

ro

Medida del lado

x

y






Las coordenadas son (7,42).

El perímetro será de 48 cm.

Rocío no está en lo correcto. Al emplear la expresión que modela la situación no arroja el valor que se describe.

El perímetro del hexágono con esas características es de 108 cm.

6 12 18 30 36 42

112

• Usa la gráfica para predecir el importe que se pagaría al comprar 4, 8 y 10 kilogramos de huevo.

0 1 2 3 4 5 x6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

360

336

312

288

264

240

216

192

168

144

120

96

72

48

24

• Completa la tabla para observar cómo va variando el precio conforme se adquieren más kilogramos.

Costo (y) 120

Kilogramos (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

•¿Qué expresión algebraica ayudaría a predecir el costo por cualquier kilogramo de huevo adquirido?

◊ La siguiente gráfica relaciona el número de litros o gasto de combustible (eje de las abscisas) con el kilometraje que recorre una motocicleta (eje de las ordenadas).

0 1 2 3 4 5 x

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

675

720

765

630

585

540

495

450

405

360

315

270

225

180

135

90

45

Pre

cio

Kilogramos

Litros

Kiló

met

ros

A

B

C

D

y

y






24 48 72 96 144 168 192 216

La expresión sería y = 24x

Las parejas de valores son:A (1,24)B (7,168)C (12,288)D (15,360)

Por 4 kilogramos de huevo se pagarían $96, por 8, $192 y por 10 son $240.

A

B

C

D

113

• ¿Qué expresión algebraica representa el comportamiento de la situación presentada?

• Si la motocicleta tiene un tanque para almacenar un total de 3 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros puede reco-

rrer si dicho tanque contiene 2.5 litros de combustible?

No todas las situaciones varían de forma proporcional, ni tampoco son rectas que parten de las coordenadas (0,0) en la gráfica, aunque seguramente identificarás que el incremento es constante.

En una situación de proporcionalidad se presenta lo siguiente.

Representación algebraica: 2y x= .

Representación tabular: Representación gráfica:

x y

2 44 86 128 1610 2012 24

01234

789

1011

14

18

12

15

19

13

1716

20

65

1 2 3 4 7 8 9 1065

y

x






y = 45x

La motocicleta puede recorrer 112.5 kilómetros.

114

En una situación que no es de proporcionalidad, se observa lo siguiente:

x y

0 41 62 83 104 125 16

Representación algebraica:

y = 2x + 4

La constante es 2 y este incremento se observa dentro de la gráfica, en los valores que va asumiendo y. Asimis-mo, cuando x = 0, y = 4. Por tanto, el valor 4 de la expresión algebraica significa que representa ese valor cuando x = 0 y en la gráfica representa el punto de intersección con el eje de las ordenadas.

◊ Observa la expresión algebraica, completa la tabla y representa la variación en una gráfica.

1234

789

1011

14

18

12

15

19

13

1716

20

65

0 1 2 3 4 7 8 9 1065x

Representación gráfica:

01234

789

1011

14

18

12

15

19

13

1716

20

65

1 2 3 4 7 8 9 1065

y

x

Representación algebraica:

y = 3x + 2

Representación tabular:

x y

24681012

y





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN8

1420

2632

38

115

En contextos cotidianos, ¿en qué casos se observa la variación?

◊ Valentín adquirió 20 bolígrafos con las mismas características que representan un total de 6.6 mililitros de tinta. Completa la tabla para averiguar cuantos mililitros de tinta hay por determinado número de bolígrafos. Además, representa gráfica y algebraicamente dicha situación.

Número de bolígrafos

(x)1 2 4 16 32 64 100

Mililitros de tinta que contienen

los bolígra-fos

(y)

0.33 0.66 1.32 5.28 10.56 21.12 33

0.330.66

2.31

0.99

2.64

2.97

1.32

3.3

1.65

3.63

1.98

3.964.29

0 1 2 3 4 7 8 9 1065 x

Una cisterna recibe 20 litros agua por minuto. Si el llenado de la cisterna está representado por la expresión20 100y x= + , ¿qué gráfica representa a dicha situación? Dibújala en el siguiente plano cartesiano y completa la tabla.

y

28026024022020018016014012010080604020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16x

x y

0123456

Mili

litro

s de

tint

a

Bolígrafos

0

Litro

s

Minutos

y





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN100120 140 160 180 200 220

116

◊ El metro de la Ciudad de México cobra a sus pasajeros cierto monto por transportarlos de un sitio a otro. Lee la siguiente gráfica y completa la tabla. Además, determina la expresión algebraica que ayudará a las perso-nas a saber el costo por boleto adquirido.

302520

151050

1 2 3 4 5 6 x

◊ Elisa tenía $100 en su alcancía, pero a partir del primero de enero ha ido depositando cada día la cantidad de $8. Por otra parte, Uriel no disponía de nada en su alcancía, pero también empezó a depositar la misma canti-dad desde la fecha en que comenzó Elisa.

• ¿Qué cantidad tiene ahorrada cada persona cuando ambas no han aportado dinero a la alcancía?

• Representa ambas situaciones en el siguiente plano y responde las preguntas.

112120

128

144

136

152

1049688807264484032241680

1 2 3 4 5 6 x

Cos

to

Cantidad de boletos

x y

12345678

¿Qué tipos de gráficas se trazaron en el plano cartesiano?

¿Qué características tienen las gráficas que representan una situación de proporcionalidad?

¿Cómo son las rectas entre sí?

¿Qué par de coordenadas representa la cantidad que Uriel tiene en la alcancía antes de empezar a poner dinero?

¿Qué par de coordenadas representa la cantidad que Elisa tiene en la alcancía antes de hacer algún depósito?

¿Qué par de coordenadas se forma cuando x es igual a 12 para la se-gunda situación?

Ejercicios contextualizadosA

horr

os

Días

y

y






510 15 20 25 30 35 40

Elisa tiene $100 y Uriel $0.

Son dos rectas.

Son rectas paralelas.

El par de coordenadas es (0,0).


Las coordenadas son (12,96).

Las rectas parten del origen (intersección entre el eje de abscisas y las ordenadas).

La expresión algebraica es: y = 5x

117

◊ En la siguiente gráfica aparece el peso promedio (en gramos) de un cachorro que, a partir de sus 18 meses de vida, ha sido puesto a dieta durante 20 semanas. El peso al inicio de la dieta del animal fue de 908 gramos y la gráfica originada por dicha situación corresponde a una función lineal.

0

227454681908

1 5891 816

1 3621 135

1 2 3 4 7 8 9 1065x

◊ Completa la siguiente tabla para averiguar el peso final del cachorro a las 20 semanas.

Semana 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Peso

promedio 1188 1328

• Suponiendo que el peso del perro siempre aumenta de forma lineal como se ha observado en la gráfica, ¿cuál es la función que te ayudaría a saber los gramos que pesa el animal?

• Emplea la función lineal que hallaste y determina el peso que tendrá el perro a las 21 semanas.

(1, 936)(2,964)

(3,992)

(4,1020)

(5,1048)(6,1076)

(7,1104)(8,1132)

(9,1160)

(10,1188)

Semanas

Pes

o

y






1 216 1 244 1 272 1 300 1 356 1 384 1 412 1 440 1 468

El peso promedio del cachorro a las 20 semanas es de 1 468 gramos.

La función es y = 28x + 908.

El perro pesará 1 496 gramos.

118

◊ La siguiente gráfica representa el enganche y los abonos semanales que ha dado Alan al adquirir un juguete para su hijo.

280

500

300

520

320

540

340360

560

380

260

480

240

460

220

440

200

420

180

400

140160

12010080604020

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

• ¿Qué cantidad dio Alan para el enganche?

• ¿Qué par de coordenadas representan el enganche que hizo Alan?

• ¿Cuál es el abono que hace Alan semanalmente?

• ¿Qué par de coordenadas representan el primer y segundo abono que hizo Alan?

• ¿El caso expuesto refiere a una situación de proporcionalidad? Explica tu respuesta.

Estrategia 1

Perímetro del cuadrado: P = l + l + l + l

2.5 cm

2.5 cm

P = 2.5 cm + 2.5 cm + 2.5 cm + 2.5 cm = 10 cm

Estrategia 2

Perímetro del cuadrado: P = 4l

2.5 cm

2.5 cmP = 4(2.5 cm) = 10 cm

Polígonos, triángulos, cuadriláteros y círculoPerímetro y área de polígonos, cuadriláteros y triángulos11

Lección

Can

tidad

apo

rtada

Semana

A

B

Cy






Pagó $20.

Es de $110.


Para el caso del primer abono es (1,130).Para el caso del segundo abono es (2,240). .

No, ya que el punto de partida de la recta no tiene coordenadas (0,0).

119

Estrategia 3

Área del cuadrado: A = l 2

2.5 cm

2.5 cmP = (2.5 cm)2 = (2.5 cm)(2.5 cm) = 6.25 cm2

Estrategia 4

Área del cuadrado: A = l × l

P = (2.5 cm)(2.5 cm) = 6.25 cm2 2.5 cm

2.5 cm

◊ En el siguiente plano cartesiano están situados varios puntos que ocuparás para determinar el perímetro o área de las figuras que se te pedirán. Ten presente que la distancia entre dos puntos verticales u horizontales es la misma (2.5 cm).

a) ¿Cuál es el perímetro y área del cuadrilátero IGPR?

b) ¿Qué perímetro y área tiene el polígono regular AEZT?

A B C D E

J I H G F

K L M N Ñ

S R Q P O

T U V W Z






El perímetro es igual a 20 cm y el área es igual a 25 cm2.

El perímetro es igual a 40 cm y el área equivale a 100 cm2.

120

c) ¿Cuál es el área del triángulo AET?

d) ¿Cuál es área del cuadrado CIMG?

e) ¿Cuál es el área del triángulo CIM?

◊ Calcula el perímetro o área según se te solicite de acuerdo con la estrategia que se te pida.

a) Perímetro aplicando estrategia 1.

b) Perímetro aplicando estrategia 2.

c) Área aplicando estrategia 3.

4 cm

4 cm

1.3 cm

1.8 cm

1.8 cm

1.3 cm






Es igual a 50 cm2.

Es igual a 12.5 cm2.

Es igual a 6.25 cm2.

P = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 16 cm

P = 4(1.3 cm) = 5.2 cm

A = (1.8 cm)2 = (1.8 cm)(1.8 cm) = 3.24 cm2

121

d) Área aplicando estrategia 4.

1019 cm

1019 cm

Estrategia 1

Perímetro del rectángulo: P = a + a + b + b

Estrategia 2

Perímetro del rectángulo: P = 2 (a + b)

Estrategia 3

Área del rectángulo: A = ab

◊ Calcula el perímetro y área de los siguientes rectángulos.

a)

4 cm

8 cm

P = 8 cm + 8 cm + 4 cm + 4 cm = 24 cm

P = 2 (8 cm + 4 cm) = 2 (12 cm) = 24 cm

A = (8 cm) (4 cm) = 32 cm2

4 cm

8 cm

4 cm

3 cm

8 cm

7.1cm

b) 2.7 cm

12.15 cm






A = 1019 cm 10

19 cm 100361 3.61cm2= =a ak k

P 2 7.1cm 3 cm 2 10.1cm 20.2 cm

A 7.1cm 3 cm 21.3 cm2

= + = =

= =^^

^^

h hh h P 2 12.15 cm 2.7 cm 2 14.85 cm 29.7 cm

A 12.15 cm 2.7 cm 32.805 cm2

= + = =

= =^^

^^

h hh h

122

Estrategia 1

Perímetro del triángulo: P = a + b + c

Triángulo A: P = 4 cm + 7 cm + 7 cm = 18 cmTriángulo B: P = 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cmTriángulo C: P = 4 cm + 4 cm + 4 cm = 12 cm

Estrategia 2

Área del triángulo: 2A b h= #

Triángulo A: 28 cm 16 cm

2128 cm 64 cmA 2= = =#

Triángulo B: 28 cm 16 cm

2128 cm 64 cmA 2= = =#

c) d)

5 cm

12 cm

4 cm

7 cm

4 cm

4 cm4 cm

4 cm

5 cm3 cm

7 cm

16 cm

8 cm 8 cm

A B C

7 cm

4 cm

A B16 c

m






P 2 5 cm 12 cm 2 17 cm 34 cm

A 12 cm 5 cm 60 cm2

= + = =

= =^^

^^

h hh h P 2 7 cm 4 cm 2 11cm 22 cm

A 7 cm 4 cm 28 cm2

= + = =

= =^^

^^

h hh h

123

◊ Calcula el área y el perímetro de los siguientes triángulos.

a)

b)

c)

5.10 cm

5 cm

5.10 cm

2 cm

2 cm

2 cm

6 cm

4.5 cm7.5 cm

2 cm

1.73 cm

El perímetro y área de un cuadrado, rectángulo o triángulo representado de forma algebraica está dado por la literal que represente a cada uno de los lados que lo conforman.

y

y

y

y

El perímetro es y + y + y + y = 4y El área es (y)(y) = y2

Ambas expresiones son equivalentes Ambas expresiones son equivalentes






Triángulo: P = 2 cm 5.10 cm 5.10 cm 12.2 cm+ + =

Triángulo: A = 22 cm 5 cm

210 cm 5 cm

22= =#

Triángulo: P = 2 cm 2 cm 2 cm 6 cm+ + =

Triángulo: A = 22 cm 1.75 cm

23.5 cm 1.75 cm

22= =#

Triángulo: P = 4.5 cm 6 cm 7.5 cm 18 cm+ + =

Triángulo: A = 26 cm 4.5 cm

227 cm 13.5 cm

22= =#

124

y y

x x

El perímetro es x + y + x + y = 2x + 2y El área es(x)(y)=xy

Ambas expresiones son equivalentes

El perímetro es x + x + y = 2x + y

El área es 2 2y z yz

=^ ^h h

Ambas expresiones son equivalentes

y y

zx x

◊ Representa el perímetro de las siguientes figuras.

a)

P =

b)

P =

c)

P =

d)

P =

a

m m

n

c

b

x z

y

s

t





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓNa + b + c

m + n + m = 2m + n

x + y + z

s + s + t + t = 2s + 2t

125

e)

P =

2g

2g

◊ Representa el área de las siguientes figuras.

a)

A =

b)

A =

c)

A =

b

h

5c

2n

2b m

2f

2f

d)

A =

e)

A =

s

s

El perímetro y área de un cuadrado, que es un polígono regular de cuatro lados, puede calcularse, apoyados gráfi-camente, a partir de su división en cuatro triángulos iguales a partir de los ángulos centrales que se forman en él y su desarme.

l l l l l

Apotema






2g + 2g + 2g + 2g = 8g

bh

(5c) (2b) = 10cb

(2f) (2f) = 4f2

(s)(s)=s2

22

22n m nm nm= =

^ ^h h

126

El perímetro del polígono equivale a cuatro veces el valor de l, que traducido al lenguaje algebraico se lee: 4l. Por otra parte, el área del cuadrado puede calcularse multiplicando el área de uno de los triángulos congruentes por los cuatro que hay. Para efectos de lo anterior, primero se debe calcular la medida de la superficie de un triángulo,

teniendo en consideración que su base es l y la línea punteada es su altura (h): A 2l h

t =: , pero, h es igual a la

apotema (a) del polígono, por lo que la expresión que resulta es: A 2al

t =: . Después, la expresión que representa el

área del triángulo debe multiplicarse por cuatro, para simbolizar el área del cuadrado: 4 2Al a

4p =:` j . Sin embargo,

4l es el perímetro (P) del polígono, por lo que la expresión para calcular su área es la que se observa a continuación:

2A Pa4p = a k

La expresión encontrada también es de utilidad para el resto de los polígonos regulares, porque al dividir alguna figu-ra en triángulos, dados sus ángulos centrales, se obtiene el mismo número de triángulos que de lados del polígono. De este modo, la expresión para calcular el área de cualquier polígono será:

A 2Pa

pn = a k

l l l l l l l l l l l l

Determina el área del conjunto de rectángulos que unen a los dos polígonos regulares. El perímetro de uno de los eneágonos mide 31.5 cm. Además, la base del rectángulo es igual a 8 cm.

8 cm

Para iniciar se considera el valor del perímetro del polígono regular y a partir de él se halla uno de los lados del rectángulo más pequeño.

En contextos cotidianos, polígonos regulares.

931.5

99

3.5

l

l

=

=

31.5 9P nl

l==

La igualdad indica que el lado del polígono es igual a 3.5 cm, medida que es igual a uno de los rectángulos.






127

El valor de 3.5 se multiplica por 3 (que es 10.5 cm), para que enseguida el resultado se multiplique por 8 y se determine el área que se busca.

(8 cm)(10.5 cm) = 84 cm2

◊ Los balones de futbol están formados de varios pentágonos que han sido cosidos para que el objeto sea compacto y manipulable. Para la fabricación de un balón y su posterior venta, una tienda ha decidido colocar su logo en 5 de los diversos pentágonos que conforman la cubierta del balón. ¿Qué área abarcarían dichos logos, si éstos ocupan toda el área de un pentágono? Considera que el lado del pentágono mide 4 cm y la apotema 2.75 cm.

◊ A un carpintero debe hacer una mesa de madera como la que se observa a continuación, por lo que para las partes superior e inferior ocupó la misma cantidad de madera. Si quiere colocar un protector blando en el con-torno de ambas partes, ¿qué precio pagará por dicho protector, si el costo por metro es de $35? Asume que las áreas de los polígonos de madera miden 5.85 m2 y su apotema es de 1.3 m.

◊ En una comunidad, el presidente de la colonia contrató a un arquitecto para hacer la remodelación de la plaza central. Entre los cambios recientes, se decidió construir un quiosco. ¿Qué área tendrá la plataforma de la cons-trucción, si los lados del octágono que tendrá como base miden 2.5 m y la distancia entre el centro del polígono base hacia el punto medio de uno de sus lados es de 3.02 m?







Se aplica la fórmula 2A Papn = para encontrar el área que se busca.

25 4 cm 2.75 cm

220 cm 2.75 cm

255 cm 27.5 cmA

22

p5 = = = =^ ^ ^ ^ ^h h h h h

Lo obtenido representa el área de uno de los polígonos, pero como son 5 logos que se harán sobre 5 polígonos, se tiene que multiplicar por 5.

27.5 cm 5 137.5 cm2 2=^ ^h h

Primeramente, se debe calcular la medida de uno de los lados de los polígonos de madera.

2A Phpn =

5.85 21.3

5.85 2 21.3 2

P

P

=

=^ ^ a

^ ^

^h h

h

k

h

hLa igualdad indica que el perímetro de la mesa es de 9 m.

En segunda, el perímetro se multiplica por dos (que es 18 cm), ya que son dos piezas que se piensan cubrir. Finalmente, el resultado se multiplica por el precio

del protector blando. (18) (35) = $630

El precio que tendrá que pagar es de $630.

11.7 1.3

1.311.7

1.31.3

9

PP

P

=

=

=

Para determinar el resultado se emplea la expresión 2APh

pn = y se sustituyen los valores que se conocen.

A 28 2.5m 3.02m

260.4m 30.2m

22

p8 = = =b ^ ^ ^h h h lEl área de la plataforma del quiosco es de 30.2 m2.

128

Perímetro y área del círculo

Para calcular la longitud de la circunferencia se emplea la expresión P = πD o P = 2πr, en donde π asume un valor de 3.14 y D es el diámetro de la circunferencia y r es el radio.

Diámetro

Radio

Por ejemplo, si el diámetro vale 2 cm, entonces el radio es igual a 1 cm, por tanto, para calcular la longitud del perí-metro, se procederá de la siguiente manera:

Aplicando P = πD se tiene: P = (3.14)(2 cm) = 6.28 cm

Aplicando P = 2π r se tiene: P = (2)(3.14)(1 cm) = (6.28 )(1 cm) = 6.28 cm

Sin embargo, si se requiere conocer el área de la superficie que encierra a la circunferencia se usa la expresión π r2. Para tener una idea sobre el uso de esta expresión, se trazan varios polígonos inscritos en diferentes circun-ferencias de igual diámetro. Así, observarás que conforme el número de lados de un polígono aumenta, su área incrementa y ésta se va acercando a lo que es el espacio limitado por la circunferencia (círculo). De este modo se deduce que la apotema de un polígono se aproxima más al radio de la circunferencia.

Con base en lo anterior, puedes emplear la expresión 2A Papn = , en la que el perímetro es la longitud de la

circunferencia y la apotema su radio, de modo que en este análisis se sustituyen las expresiones conocidas y se obtiene la fórmula para calcular el área de un círculo.

2 22

22A Pa A

r r r r2

2c c= = = = =

P PP

^ ^h h

Centro de la circunferencia






129

En contextos cotidianos, cálculo de perímetro y área del círculo.

Se necesita conocer el área del rectángulo que forma la cara lateral curva del cilindro, para ello Javier ha repre-sentado dicho cuerpo geométrico en su desarrollo plano. ¿Qué cálculos debe hacer Javier, si sabe que el radio de la circunferencia es de 4.5 cm y la altura del rectángulo es de 8 cm? Ten en cuenta que 3.14 es el valor de π.

Primero se calcula el perímetro de la circunferencia; que es la longitud o base del rectángulo.

2 2 3.14 4.5 cm 28.26 cmP rc = = =P ^ ^ ^h h h

La medida de la base se multiplica por 8 cm y el resultado arrojado es el área de la figura en cuestión.

28.26 cm 8 cm 226.08 cmAr 2= =^ ^h h

◊ Una fábrica se dedica a fabricar charolas para los cines. Al momento de diseñarlas, en específico las partes circulares inferiores donde se colocan las bebidas, es necesaria tomar en cuenta la longitud de la circunferencia de la parte superior de un vaso. ¿Cuál es el diámetro que deben tener las bases inferiores circulares donde se colocarán los vasos, si tal medida debe ser 1 cm menor que del diámetro de las bases superiores de un recipiente? Considera que el área que abarca la parte superior del vaso es igual a 50.24 cm2 y que 3.14 es la cantidad que determina a π.






MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓNComo se conoce el área de la base superior del vaso, su diámetro puede determinarse con la expresión: .

50.24 cm 3.14

3.1450.24 cm

16 cm

r

r

r

2 2

22

2 2

=

=

=

^ ^h h

16 cm

4 cm

r

r

2 2=

=

El radio del círculo es igual a 4 cm, por lo que su diámetro mide 8 cm.

Del valor del diámetro se resta 1 cm, el resultado representará la medida del diámetro de uno de los espacios para colocar los vasos.

8 cm – 1 cm = 7 cm

130

◊ El radio de la llanta de una bicicleta para niño mide 12 cm, ¿cuántos metros avanzará una de ellas sobre el pavimento al haber girado 4 veces? Asume que 3.14 es el valor de π.

◊ Las cuatro circunferencias que se observan a continuación son tangentes pues ambas tienen un punto en co-mún. Calcula el perímetro del cuadrado que forman los radios de las circunferencias, si se sabe que el perímetro de una de éstas tiene un valor de 18.84 cm. Ten presente que 3.14 es un número equivalente a π






Se calcula el perímetro de la circunferencia con la expresión 2P rc = P para hallar la longitud de la llanta de la bicicleta.

2 3.14 12 cm 6.28 12 cm 75.36 cmPc = = =^ ^ ^ ^h h h hEl avance completo de la llanta es equivalente a la longitud de la misma, por lo que su valor debe multiplicarse por 4.

75.36 cm 4 301.44 cm=#

Parte del problema se resuelve considerando la expresión 2P rc = P que ayudará a determinar el perímetro del cuadrado:

2 18.84

22

218.84 cm

9.42 cm

3.143.14

3.149.42 cm

3 cm

rr

rr

r

=

=

=

=

=

P

P

P

^ ^h h

El radio del círculo es igual a 3 cm.

Si el radio del círculo es de 3 cm, entonces la suma de dos radios, que es lo mismo que el lado del cuadrado, es igual a 6 cm. Dado lo anterior, el perímetro del cuadrado mide 24 cm.

(6 cm) (4) = 24 cm

131

La media aritmética, también llamada promedio, es una medida de tendencia central que se define como la suma de todos los valores entre el número total de valores que intervienen.

5, 10, 12, 3, 6, 8

65 10 12 3 6 8

644 7.3+ + + + + = =

◊ Determina el promedio o la media aritmética de los siguientes datos.

a) 4, 8, 5, 10, 12.

b) 10, 12, 11, 12, 11, 10, 11.

c) 7, 8, 10, 8, 8, 10, 9, 8, 8.

Media aritmética, mediana y moda12 Medidas de tendencia centralLección

d) 12, 15, 12, 13, 12, 15, 12, 14, 15.

e) 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 5, 6.

f) 10, 9, 7, 10, 9, 8, 10.

En contextos cotidianos, la media aritmética.

Los siguientes valores son las puntuaciones que obtuvo Juan al jugar ajedrez desde una aplicación que descargó para su celular.

250, 450, 245, 298, 256, 233, 310, 298, 600, 321

a) ¿Cuál es el promedio de estos datos?

10250 450 245 298 256 233 310 298 600 321

103 261 326.10+ + + + + + + + + = =

b) Si su amigo obtuvo las puntuaciones 245, 298, 410, 345, 365, 398, 180, 462 y 321. ¿Quién de los dos consiguió un mejor desempeño?

9245 298 410 345 365 398 180 462 321

93 024 336+ + + + + + + + = =

El amigo de Juan obtuvo mejor desempeño.






54 8 5 10 12

539 7.8+ + + + = =

710 12 11 12 11 10 11

777 11+ + + + + + = =

97 8 10 8 8 10 9 8 8

976 8.44+ + + + + + + + = =

912 15 12 13 12 15 12 14 15 13.3+ + + + + + + + =

94 5 4 5 6 4 5 5 6

944 4.88+ + + + + + + + = =

710 9 7 10 9 8 10

763 9+ + + + + + = =

132


◊ Martha ha obtenido las siguientes calificaciones en 8 bimestres de un curso de inglés al que acude los fines de semana.

1 bimestre

2 bimestre

3bimestre

4 bimestre

5 bimestre

6 bimestre

7 bimestre

8 bimestre

80 85 91 90 76 94 98 89

a) ¿Qué puntuación en promedio ha obtenido Martha en cada bimestre?

b) Considerando que la hermana de Martha dispone de las puntuaciones de únicamente 7 bimestres: 90, 89, 88, 80, 91, 96 y 85. ¿Quién de las dos personas ha tenido un mejor desempeño?

◊ En la secundaria de José hay tres equipos de futbol. Si José quiere pertenecer a uno de los equipos que mejor des-empeño lleva hasta el momento en el torneo. ¿A qué equipo debe inscribirse? Considera la información de la tabla.

Puntos conseguidos

EquipoPrimer partido

Segundo partido

Tercer partido

Cuartopartido

Quinto partido

Sexto partido

Los halcones 3 1 3 3 1 1

Azul celeste 1 1 3 3 1 1

Atlético escolar

3 3 3 1 1






880 85 91 90 76 94 98 89

8703 87.875+ + + + + + + = =

790 89 88 80 91 96 85

7619 88.43+ + + + + + = =

Al comparar los dos promedios, se determina que la hermana de Martha tuvo mejor desempeño.

Equipo de Los halcones: 63 1 3 3 1 1

612 2x = + + + + + = =

Equipo de Azul celeste: 61 1 3 3 1 1

610 1.6x = + + + + + = =

Equipo Atlético escolar: 63 3 3 1 1

511 2.2x = + + + + = =

Jose debe inscribirse al equipo Atlético escolar.

133

◊ Carlos ahorro durante 7 días una cantidad determinada. ¿Qué cantidad ahorró en promedio cada día?

Día Ahorro ($)

Lunes 20Martes 25

Miércoles 20Jueves 25Viernes 24Sábado 24Domingo 20

La mediana es una medida de tendencia central que se obtiene ordenando todos los datos observados de menor a mayor a pesar de que éstos se encuentren repetidos. La mediana de esos datos será el valor que esté en medio o centro de la distribución, siempre y cuando el número de valores que intervengan represente un número impar.

Por ejemplo, si se organizan los valores de menor a mayor, la mediana de los siguientes datos es 8: 10, 8, 7, 8, 7, 7, 8, 12, 12, 10, 9.

7 7 7 8 8 8 9 10 10 12 12

Me = 8

Si se tuvieran 12 datos en lugar de 11, la mediana tendría 2 valores centrales, por lo que ésta será la media aritmé-tica de esos 2 datos, ya que el número de valores que intervienen es par.

7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 12 12

Me = 28 9

217 8.5+ = =

◊ Halla la mediana de los siguientes datos.

a) 8, 9, 9, 10, 8, 9, 10.

b) 7, 4, 5, 6, 4, 5, 5, 7.

c) 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 3, 5.

d) 12, 13, 14, 12, 15, 12.

e) 45, 46, 48, 45, 46, 47, 48.

f) 100, 105, 103, 104, 103, 103, 105, 103.





MATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN8 8 9 9 9 10 10

Me = 9

4 4 5 5 5 6 7 7

Me = 25 5

210 5+ = =

1 1 1 2 2 3 3 3 5

Me = 2

720 25 20 25 24 24 20

7158 22.57+ + + + + + = =

Ahorró $22.57 en promedio.

12 12 12 13 14 15

212 13

225 12.5Me = + = =

45 45 46 46 47 48 48

Me = 46

100 103 103 103 103 104 105 105

2103 103

2206 103Me = + = =

134

Calcula la mediana del conjunto de datos que se proporciona para estimar el número de televisores que dispone una familia.

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4

22 2

24 2Me = + = =

◊ Camelia consiguió varios puntos durante su participación en los partidos de básquetbol que se presentan a continuación

Primer partido

Segundo partido

Tercer partido

Cuarto partido

Quinto partido

Sexto partido

Séptimo partido

Octavo partido

Noveno partido

Décimo partido

5 5 6 6 6 5 6 5 6 5

Calcula la media aritmética y la mediana y determina cuál es la medida de tendencia central más adecuada para determinar el desempeño que ha tenido Camelia. Explica tu respuesta.

◊ El grupo de principiantes de la clase de esgrima está formado por 12 integrantes, los cuales tienen las siguien-

tes edades: 12, 10, 12, 8, 15, 10, 9, 9, 10, 15, 11 y 8 años. ¿Qué medida de tendencia central (media aritmética o mediana) es más representativa para estimar la edad de los alumnos? Explica tu respuesta.

8 8 9 9 10 10 10 11 12 12 15 15

En la colonia donde vive, Fausto aplicó una encuesta sobre el número de televisores que tiene cada familia en su casa y se recabaron los siguientes datos.

3 3 1 2 3 2 2 1 4 2 2 2 3 4 1 3 2 3 3 2

En contextos cotidianos, la mediana.







105 5 6 6 6 5 6 5 6 5 5.5x = + + + + + + + + + = 2

5 6 5.5Me = + =

La distribución es simétrica, por lo que ambas medidas son adecuadas para verificar el desempeño de Camelia.

128 8 9 9 10 10 10 11 12 12 15 15 10.75x = + + + + + + + + + + + = 2

10 10 10Me = + =

La medida de tendencia más representativa para el conjunto de datos revisado es la mediana.

135

◊ En una sala de conferencias hay 10 integrantes que forman parte de una misma agrupación musical. Las edades de las personas son 27, 24, 25, 27, 28, 27, 21, 22, 27 y 29. Emplea la mediana y determina cuál es la edad que representa a la agrupación.

21 22 24 25 27 27 27 27 28 29

Moda es el dato que aparece más a menudo en un conjunto de datos.

4, 6, 8, 4, 8, 2, 8, 2

El número que más se repite es 8. ◊ Identifica qué dato se repite más en el siguiente conjunto de números.

a) 1, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 1, 2

b) 6, 7, 6, 8, 7, 8, 6, 6

c) 12, 23, 12, 3, 12, 23, 12, 3.

Los siguientes números hacen referencia a la cantidad de diferentes libros prestados por día por una biblioteca. ¿Cuál es la moda?

10, 13, 14, 5, 14, 14, 10, 14

La moda es 14.

En contextos cotidianos, la moda.

d) 8, 10, 12, 10, 12, 8, 10.

e) 4, 8, 5, 7, 8, 6, 8, 6, 7, 5.

f) 58, 60, 56, 57, 58, 56, 58, 55, 58, 57.






227 27

254 27Me = + = =

El número que más se repite es 1.






136

◊ En un terreno se sembraron varias plantas de una misma clase. Al término de 4 semanas se decidió medir su altura y éstos son los valores que se registraron en centímetros: 38, 42, 31, 39, 40, 42, 35, 32, 41, 28 y 33. ¿Cuál es la moda de estos datos?

◊ El número de goles de un equipo en diferentes partidos fue: 1, 2, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 3, 1. ¿Cuál es la moda de

los datos?

◊ En diferentes sucursales de la panadería “El Pan Rico” se han vendido las siguientes cantidades de pasteles de tamaño pequeño, ¿cuál es la moda de los datos?

45, 54, 23, 45, 24, 54, 45, 48, 50, 50, 48.

El rango se define como la diferencia entre el mayor y menor de los datos. Por ejemplo, de los siguientes números el rango es 3: 8, 10, 7, 9, 8.

Rango = 10 – 7 = 3

◊ Calcula el rango de los datos que se dan en cada caso.

a) 8, 9, 10, 4, 2.

Rango = b) 12, 20, 14, 10.

Rango =

c) 4, 3, 5, 1, 6.

Rango =

Analiza los siguientes conjuntos de datos.

A: 1, 3, 10, 2, 4 B: 1, 3, 6, 8, 10

Rango para conjunto A 10 1 9= =-Rango para conjunto B 10 1 9= =-

Rango

En contextos cotidianos, el rango.


d) 4, 10, 8, 8, 9.

Rango =

e) 12, 13, 15, 11, 16.

Rango =

f) 71, 75, 70, 74, 74, 70.

Rango =






10 2 8=-

20 10 10=-

6 1 5=-

La moda es 42.

La moda es 2.

La moda es 45.

10 4 6=-

16 11 5=-

75 70 5=-

137

¿Qué conjunto de datos está más disperso?

Conjunto A Conjunto B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A pesar de que ambos conjuntos de datos tienen el mismo rango, el conjunto B está más disperso; es decir, los valores están más alejados.

◊ Durante la semana, dos panaderías distintas venden las siguientes cantidades de telera. A simple vista, ¿qué rango de ventas es mayor?

A: 25, 30, 30, 24, 27 B: 30, 20, 26, 28, 25

◊ La señora Belén vende tacos de canasta. Durante la semana pasada, vendió las siguientes cantidades:

120, 125, 125, 124, 125, 124, 130.

a) ¿En promedio, cuántos tacos vendió?

b) Calcula la mediana de los datos.

c) Uno de los datos se presentó con mayor frecuencia, es decir, ¿cuál es la moda?

d) Determina el rango de los datos y escribe cuál es el rango entre ellos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10







El conjunto B.

x 7120 125 125 124 125 124 130

7873 124.71= + + + + + + = =

124 124 125 125 125 130

2125 125

2250 125Me = + = =

El dato que se presentó con mayor frecuencia es 125.

Rango =130 120 10=-

138


1. Elige el resultado de la operación matemática (6) + (−4) − (−2):

a) 12

b) 0

2. Subraya el resultado de la operación matemática (4) + (−2) − (2) − (−1).

a) 1

b) 5

3. Selecciona el resultado de la operación matemática 10 + 4 × 2 −1.

a) 27

b) 14

4. Escoge la opción que represente el 25% de $790.00?

a) $592.50

b) $197.50

5. Una cisterna tiene una capacidad para almacenar 20 000 litros de agua, ¿qué porcentaje de agua tiene la cister-na si sólo contiene 800 litros de líquido?

a) 4%

b) 18%

6. Por el consumo que hizo Sandra en un restaurante le cobraron $377.00, incluida el iva del 16%, ¿cuál es la canti-dad que representa el importe a pagar sin el iva?

a) $285.00

b) $437.32

7. Dulce compró 5 prendas de ropa del mismo estilo y un collar de $125.00 por $1 350.00. ¿Qué expresión alge-braica representa la situación descrita?

a) 125 1350x + =

b) 5 1350 125x = +


c) −4

d) 4

c) −1

d) −5

c) 17

d) 9

c) $987.50

d) $135.50

c) 12%

d) 6%

c) $325.00

d) $345.00

c) 5 1350x y+ =

d) 5 125 1350x + =






139

8. Una recta está representada por la expresión 5 3y x= + , ¿qué valor asume la variable y cuando la variable x es igual a 5?

a) 8

b) 15

9. Halla el valor de la incógnita de la siguiente ecuación: 5 2 17r + = .

10. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad y la expresión algebraica que representan los datos contenidos de la siguiente tabla?

Distancia (y) 80 160 240 320 400 480 560 640Tiempo (x) 1 2 3 4 5 6 7 8

a) El factor de proporcionalidad es 8 y la expresión algebraica es 8y x=

b) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es 80y x=

c) El factor de proporcionalidad es 1 y la expresión algebraica es 1y x=

d) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es 80x y=

11. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa a la gráfica contenida en el siguiente plano? Subraya la opción correcta.

a) 6 6y x= +

b) 6 6y x= - -

c) 0.5 6y x= -

d) 0.5 6y x= +-

12. ¿Cuál es la medida de la apotema del siguiente polígono regular, si se sabe que tiene un área de 6.9 cm2 y sus lados miden 2 cm?

c) 3

d) 28

7 6543210

2 4 6 8 10 12

y

x

2 cm

Apotema






5 2 175 2 2 17 2

5 15

55

515

3

rr

rr

r

+ =+ =

===

- -

6.9 22 5

6.9 210

6.9 2 10

a

aa

=

==^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

13.8 10

1013.8

1.38

aaa

===

140

14. Una señora vendió agua a las afueras de su casa 6 días a la semana. ¿En promedio cuántos litros de agua vendió? Considera que cada día vendió a público las siguientes cantidades: 15, 16, 20, 15, 15, 14. Escribe el procedimiento que empleaste.

a) 15.83 litros

b) 14.24 litros

13. Dalia ha obtenido las siguientes calificaciones en las 5 etapas de un curso de música: 7, 9, 10, 9 y 8; mientras que su hermano Joel carece de su quinta puntuación debido a que su profesor todavía no se la proporciona. ¿Quién de las dos personas muestra un mejor desempeño si se comparan todas sus puntuaciones? Considé-rese que Joel ha obtenido 10, 9, 8 y 8. Selecciona la afirmación que sea correcta.

a) Ambos hermanos muestran el mismo desempeño

b) Dalia muestra un mejor desempeño

c) Joel muestra un mejor desempeño

d) La información con la que se cuenta es insuficiente

c) 13.28 litros

d) 12.87 litros

15. Determina el valor de x, en la siguiente ecuación: 2 4 3 2x x+ = +

16. Analiza la siguiente gráfica y responde las preguntas.

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la regularidad que presenta la gráfica, si está se sigue comportando matemáticamente de la misma forma?

a) y = 2x + 4

b) y = −2x + 4

c) y = 2x − 4

d) y = −2x − 4

x

20

22

18

16

14

12

10

8

6

4

20

2 4 6 8 10 12 14

Utiliza la expresión que representa a la gráfica contenida en el plano y completa la siguiente tabla.

Valorespara (y)Valores para (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y24






4 2 3 2

2

x x

x

= -

=

-

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

141

Periodo 3

2 cm

6 cm 3 cm






142

Estrategia1Serán equivalentes, o representarán lo mismo, dos expresiones algebraicas si se cumple la igualdad entre ambas y si, al sustituir sus variables por valores, siempre dan el mismo resultado. Por ejemplo, 2( ) 2 2y r y r+ = + , además porque al sustituir 3y = y 2r = en las expresiones, se tiene:

2 3 2 2 3 2 2+ = +^ ^ ^ ^ ^h h h h h 2 5 6 4

10 10= +=

^ ^h h

◊ Verifica si las siguientes expresiones son equivalentes al sustituir los valores correspondientes.

a) 2m = y 8n = en la igualdad 3 3 3m n m n=- -^ h

b) 1a = y 6b = en la igualdad 3 7 21 7a b a b+ = +^ h

Estrategia 2Mediante arreglos geométricos, también se puede observar si dos expresiones son equivalentes.

3 1a +^ h 3 3a+

Estrategia 34 por 2

4 (c + 2) = 4c + 8

4 por c

a a1 1

=

3 33

RegularidadesExpresiones equivalentes 13

Lección

c) 2i = en la igualdad 3 4 7 12i i i i2+ + = + +^ ^h h

d) 6a = ; 8b = y 1c = en la igualdad

8 8 8 8a b c a b c+ + = + +^ h






3 2 8 3 2 3 83 6 6 24

18 18

===

--- -

--^

^^

^^^^^ ^

hhh

hhhhh h

Las expresiones son equivalentes.

3 1 6 7 21 1 7 63 6 7 21 429 7 63

63 63

+ = ++ = +

==

^^ ^^^

^

^

^^^^^ ^h h

h

hhhh

hhhhh h




2 3 2 4 2 7 2 125 6 4 14 12

30 30

2+ + = + += + +=

^^^^

^^ ^

^ ^hhhh

hh

hhh

8 6 8 1 8 6 8 8 8 18 15 48 64 8120 120

+ + = + += + +=

^^

^^^^^ ^^^ ^h

hhhhhh hhh h

143

◊ Con base en los siguientes arreglos geométricos, encuentra expresiones algebraicas equivalentes.

a)

3 2b +^ hb)

c)

a c

5

5 a c+^ h

d)

1

4

x

4 1x +^ h

b 2

3

7b3 4

b






b

3

1 1

3 3

3 3 3b + +

1

b

1

b

1

b b

4

1 1 1 4b b b b+ + +

a

5 5

c

5 5a c+

1

4

x

4

4 4x +

144

Sucesión de números y expresiones que las representan

Estrategia 1La sucesión 3, 4, 5, 6, … puede ser representada en una tabla

Término de la sucesión 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Posición que ocupa el término

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Estrategia 2

La misma sucesión puede ser expresada en lenguaje común, que no es más que la regla de regularidad que siguen los números.

“Para obtener los subsecuentes términos se suma 1 a cada término.”

Estrategia 3

De igual manera, dicha progresión aritmética la rige una regla general (expresada en lenguaje común) que considera la posición de los términos.

“Se multiplica la posición del término por 1 y se le suma 2.”

Estrategia 4

Finalmente, la sucesión que has revisado, tiene una regla general, pero expresada en lenguaje algebraico y ésta te ayudará a predecir el valor de cada término dada su posición.

1 2t nn = + o bien 2t nn = +

Como puedes observar, ambas expresiones son equivalentes y se verifica al sustituir n por la posición de un término:

1 5 2 5 2 7 o bien 5 2 7t t5 5= + = + = = + =^ h

◊ Describe la regla de regularidad y la regla general (expresada en lenguaje común y algebraico) para cada una de las sucesiones que se presentan.

a)


Posición que ocupa el

término (n)1 2 3 4 5 6 7 8 9






145

• Regla de regularidad:

• Regla general (en lenguaje común):

• Regla general (en lenguaje algebraico):

b)



término (n)1 2 3 4 5 6 7 8 9




c)



término (n)1 2 3 4 5 6 7 8 9




d)



término (n)1 2 3 4 5 6 7 8 9









se multiplica la posición del término por 2 y se suman 2.

2 2t nn = +

para obtener el subsecuente término se suman 4 a cada término.

se multiplica la posición del término por 4 y se resta 1.

4 1t nn = -


se multiplica la posición del término por 3 y se suman 2.

3 2t nn = +


se multiplica la posición del término por 3 y se suma 4.

3 4t nn = +


146

◊ Determina para cada una de las sucesiones dos expresiones algebraicas equivalentes que las represente.

a) 4, 5, 6, 7, 8,…

b) 3, 8, 13, 18, 23,…

c) 8, 10, 12, 14, 16,…

d) 2, 8, 14, 20, 26,…

e) 6, 10, 14, 18, 22,…

◊ Utiliza las siguientes expresiones algebraicas de algunas sucesiones y escribe los primeros cinco términos de cada una.

a) 2 1t nn = +

Término de la sucesión

Posición que ocupa el término (n) 1 2 3 4 5

b) 3 1t nn = -



c) 0.5 1t nn = +



d) 31t nn =








1 3 o 1 3t n t nn n= + = +^ h

5 2 o 2t n t n n n n nn n= - = + + + + -

2 6 o 2 3t n t nn n= + = +^ h

6 4 o 2 3 2t n t nn n= =- -^ h

4 2 o 2 2 1t n t nn n= + = +^ h

3 5 7 9 11

2 5 8 11 14

1.5 2 2.5 3 3.5

31 3

2 33 o1 3

4 35

147

e) 10t nn = +



◊ Completa las siguientes sucesiones numéricas.

a) 0.4, , 1.2, , 2, 2,4, , 3.2,…

b) , 7, 9, 11, 13, 15, , ,…

c) 0, 1, 2, 3, 4, , , ,…

Una sucesión en un plano cartesiano se representaría de la siguiente forma:

A continuación se muestra una sucesión de figuras. Su comportamiento puede ser evaluado de la siguiente manera.

Estrategia 1

Identificar una particularidad en su crecimiento, por ejemplo, se observa que la figura aumenta 3 cuadrados cada vez.

Posición que ocupa el término

(n)

Termino de la sucesión

A 1 2B 2 3C 3 4D 4 5E 5 6F 6 7G 7 8

012

7

3

8

9

456

1 2 3 4 7 8 9 1065 x

Sucesión de figuras

d) 4, 11, 18, , , 39, 46, ,…

e) 21 , 1, 2

3 , , 25 , 3, , 4 ,...

f) 10, , 18, 22, , …

AB

CD

EF

GH

y






14 17 20 30 110

0.8 1.6 2.8

5 17 19

5 6 7 14 26

25 32 53

2 27

148

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Estrategia 2

Contabilizar los cuadrados que conforman a cada figura y utilizar una tabla.


Número de cuadrados de la figura 2 5 8 11

Posición de la figura 1 2 3 4

Como podrás observar, una sucesión de figuras arroja una sucesión de números. Por tanto, también está definida por reglas de regularidad y generales (expresadas en lenguaje común y algebraico). La expresión que modela la sucesión analizada es: 3 1t nn = - , porque al reemplazar el valor de su posición se obtiene el número de elemen-tos que tiene la figura.

3 3 1 9 1 8t3 = - = - =^ h

◊ Observa las siguientes sucesiones de figuras e identifica el crecimiento de los dos primeros casos mediante la estrategia 1. Para las siguientes dos sucesiones emplea una tabla o la estrategia 2 para reconocer su variación.

a) Sucesión 1.






Va aumentado de 1 en 1.

149

b) Sucesión 2.


c) Sucesión 3.


Número de círculos de la figura


d) Sucesión 4.


Número de cuadrados de la figura


◊ Determina la regla general (en lenguaje común y algebraico) que defina cada sucesión de figuras con ayuda del análisis sobre su comportamiento matemático que se encuentra en las tablas, debajo de cada sucesión. Además, encuentra una expresión algebraica equivalente a la regla general en lenguaje algebraico.

a)

Figura 1 Figura 2 Figura 3






La sucesión va de 2 en 2.

1 4 9 16

6 9 12 15

150

Número de círculos

de la figura2 4 6 8 10 12 14 16 18

Posición de la figura 1 2 3 4 5 6 7 8 10



• Expresión equivalente:

b)

Número de cuadrados

de la figura1 3 5 7 9 11 13 15 17





c)

Número de cuadrados

de la figura3 4 5 6 7 8 9 10 12












multiplicar la posición de la figura por 2.

2t nn =

t n nn = +

multiplicar la posición de la figura por 2 y restar 1.

2 1t nn = -

1 2 1t nn = -^ h

multiplicar la posición de la figura por 1 y sumar 2.

1 2t nn = +

1 1t nn = + +

151

d)

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Número de cuadrados de la figura

(ambos colores) 6 9 12 15 18 21

Posición de la figura 1 2 3 4 5 6




En una panadería, se vende el litro de leche a $16. Completa la tabla para averiguar el costo de los diferentes litros de leche que se piden.

Costo ($) 16 32 48 64 80 96

Cantidad (l) 1 2 3 4 5 6

a) ¿Cuál es la sucesión que representa a la situación?

16, 32, 48, 64, 80, 96,…

b) ¿Cuál es regla general algebraica que la define?

16t nn =

◊ El litro de gasolina vale $16.64. Completa la tabla para averiguar el costo de los diferentes litros de combustible que se piden.

Costo ($)

Cantidad (l) 1 2 3 4 5 6

En contextos cotidianos, ¿dónde se identifican las sucesiones?


16.64






multiplicar la posición de la figura por 3 y sumar 3.

3 3t nn = +

1t n n nn = + + +

33.28 49.92 66.56 83.20 99.84

152

a) ¿Cuál es la sucesión que representa a la situación?

b) ¿Cuál es regla general algebraica que la define?

◊ Conforme el diámetro de una circunferencia aumenta, su perímetro también lo hace. En la siguiente tabla se observa su incremento. Complétala.

Perímetro (cm)

Medida del diámetro (cm) 1 2 3 4 5 6

a) ¿Cuál es la sucesión que representa la situación?

b) ¿Qué regla general algebraica la define?

◊ Maricela ha comprado una TV en pagos semanales, pero también ha dado un enganche. La sucesión que representa el enganche junto con los abonos semanales es: 150 200t nn = +

a) Escribe los primeros seis términos de la sucesión que se genera en esta situación.

b) ¿Qué otra expresión algebraica equivalente representa esta sucesión?

En la Ciudad de México, los taxis cobran el banderazo (cantidad que se cobra por el simple hecho de abordarlo) más lo que éste recorra por kilómetro. Esta situación genera una sucesión que se representa con la expresión

5.79 13.10t nn = + . Completa la tabla.

Precio ($)

Distancia (km) 1 2 3 4 5 6

Volumen de prismas cuadrangulares y triangulares14 Prismas rectosLección

Estrategia 1

Volumen de un cubo V l l l= # # o bien, V l 3=

4 cm 4 cm 4 cm 64 cmV 3= =^ ^ ^h h h o

4 4 cm 4 cm 4 cm 64 cmV 3 3= = =^ ^ ^ ^h h h h4 cm

4 cm

4 cm

3.14






16.64, 33.28, 49.92, 66.56, 83.20, 99.84,…

3.14, 6.28, 9.42, 12.56, 15.7, 18.84,…

16.64t nn =

6.28 9.42 12.56 15.7 18.84

3.14t nn =

350, 500, 650, 800, 950, 1 100,…

10 15 20t nn = +^ h

18.89 24.68 30.47 36.26 42.05 47.84

153

Estrategia 2.

Cuando se conoce el área de la base de dicho hexaedro regular, se multiplica el área de su base (B) por su altura (h): V = Bh. Por ejemplo, la medida de la superficie del cubo revisado es 16 cm2, se multiplicaría dicha medida por la altura del cuerpo geométrico.

16 cm 4 cm 64 cmV 2 3= =^ ^h h◊ Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos dadas las condiciones que se señalan.

a) Un cubo tiene de dimensiones de 3 3 3 cm# # .

b) Un cubo tiene de dimensiones de 5.5 5.5 5.5 cm# # .

c) Un cubo tiene una base que mide 6.25 cm2 y una altura de 2.5 cm.

d) Un cubo tiene una base que mide 36 cm2 y una altura de 6 cm.

e) Un cubo tiene una base de 5.29 cm2 y una altura de 2.3 cm.

f) Un cubo tiene dimensiones de 3.5 × 3.5 × 3.5 cm.

Estrategia 1

Para representar el volumen de un prisma recto rectangular del que se conocen todos sus lados, se emplea la expresión V a b h= # #

6 cm 3 cm 2 cm 36 cmV 3= =^ ^ ^h h h

Estrategia 2 Para calcular el volumen de un prisma recto cuando se conoce el área de su base (B) y su altura (h), se utiliza la fórmula: V B h= # . Por ejemplo, el área de la base del prisma que se revisó es 18 cm2 y su altura es 2 cm.

18 cm 2 cm 36 cmV 2 3= =^ ^h h

2 cm

6 cm 3 cm






Su volumen es de 27 cm3.

Su volumen es de 166.375 cm3.

Su volumen es de 15.625 cm3.

Su volumen es de 216 cm3.

Su volumen es de 12.167 cm2

Su volumen es de 42.875 cm3

154

◊ Une con una línea los cuerpos geométricos de la primera columna con las descripciones correspondientes de la segunda.

a)

b)

c)

d)

Se necesitan 21 cubos para que ambos cuerpos geométricos tengan el mismo volumen.

Los dos cuerpos geométricos tienen diferente volumen.

Se necesitan quitar 11 cubos para que ambos cuerpos geométricos tengan igual volumen.

Ambos cuerpos geométricos tienen el mismo volumen ya que cuentan con el mismo número de cubos.

Se necesitan 16 cubos para que ambos cuerpos geométricos tengan el mismo volumen.






155

◊ Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos dadas las condiciones que se señalan.

a) Los lados de la base cuadrada son equivalentes a 46 de cm y la altura mide 3.6 cm.

b) Las diagonales de un rombo miden 2 y 4 cm respectivamente y la altura del cuerpo geométrico mide 5 cm.

c) La base mayor del trapecio mide 4.2 cm y la menor 3.6 cm. Por otro lado, la altura del cuadrilátero es de 3.8 cm. Por último, la altura del prisma es de 12 cm. Ten en cuenta que para calcular el área de un trapecio se aplica la

expresión: 2AB b

h=+^ h

en la que B es la base mayor, b la base menor y h la altura.






De inicio se determina el área de la base con la expresión: l 2.

46 cm 4

6 cm 1636 cm 8

18 cm 49 cml 2 2 2 2= = = =a ak k

El resultado se multiplica por la altura del prisma para hallar el volumen.

49 cm 3.6 cm 4

9 cm 1036 cm 40

324 cm 8.1cmV 2 2 3 3= = =a ^ a ak h k k

Inicialmente se calcula el área del rombo con la expresión 2A D d= # .

A 24 cm 2 cm

28 cm 4 cm

22= = =

^ ^h h

Posteriormente, se define el volumen. Para ello se multiplica el valor obtenido por la altura del prisma.

V 4 cm 5 cm 20 cm2 3= =^ ^h h

De antemano, se halla el área de la superficie trapezoidal con la fórmula 2AB b

h=+^ h

A 24.2 cm 3.6 cm

3.8 cm 27.8 cm 3.8 cm 3.9 cm 3.8 cm 14.82 cm2=

+= = =

^ ^ ^ a ^ ^ ^h h h k h h hDespués se determina el volumen del cuerpo geométrico:

14.82 cm 12 cm 177.84 cm2 3=^ ^h h

156

Una caja almacena un tubo con pasta dental. ¿Cuál es la longitud más larga de la caja, si ésta tiene un volumen de 612 cm3, el ancho y altura 6 cm respectivamente?

El resultado representa la medida de la longitud más larga.

◊ El tablero del juego de ajedrez es armable, de manera que al doblarlo a la mitad forma un prisma cuadrangular. ¿Cuál es la altura de dicho objeto geométrico, si su volumen es de 900 cm3, el ancho de 15 cm y el largo de 30 cm?

◊ ¿Cuánto espacio medido ocupa una bocina en forma de prisma trapezoidal? Se sabe que el lado mayor de las bases es igual a 80 cm, el lado menor mide 30 cm y la altura es de 45 cm? Ten en cuenta que la altura de la bocina tiene una longitud de 120 centímetros.

En contextos cotidianos, ¿para qué se calcula el volumen?

612 cm 6 cm 6 cm

612 cm 36 cm

36 cm612 cm

x

x

x

3

2

3

3

2

=

=

=

^^^ ^hhh h

17 cm = x







Para determinar el volumen del prisma se emplea la expresión:V a b c= : : , pero a través de ella se obtiene la altura.

900 cm 30 cm 15 cm

900 cm 450 cm

450 cm900 cm

2 cm

c

c

c

c

3

3 2

2

3

=

=

=

=

^^

^^

^hh h

h h

La altura es igual a 2 cm.

Área de la base:

280 cm 30 cm 45 cm

2110 cm 45 cm

2475 cm

A

2

= +

=

=

a^

^kh

h99 C

C

Volumen: 2475 cm 120 cm

297 000 cm

V 2

3

=

=

^ ^h h

157

◊ Determina el área total y el volumen de una caja que tiene las siguientes dimensiones.

Estrategia 1

Si un prisma cuadrangular o rectangular recto ha sido dividido a la mitad por un plano que pasa por la diagonal de una de las caras. Se obtiene un prisma triangular y esa mitad (que es el prisma triangular) su volumen se calcula así

2V bl l= # # y 2V a b c= # # . Observa el ejemplo.

El volumen del prisma triangular se determina de la siguiente manera:

26 cm 8 cm 6 cm

248 cm 6 cm

2288 cm 144 cmV

2 33= = = =

^ ^ ^ ^ ^h h h h h

◊ Determina el volumen de los siguientes prismas triangulares dadas las condiciones que se describen.

a) El prisma triangular fue el resultado de haber dividido a un prisma de base cuadrada.

4 cm4 cm

9 cm

Prismas con base triangular

6 cm

6 cm6 cm

8 cm

2 cm 2 cm

6.5 cm






Área de la base: A 4 cm 4 cm 16 cm2= =^ ^h h

Área de las bases: 16 cm 2 32 cmA 2 2b = =^ ^h hÁrea lateral: 9 cm 4 cm 4 144 cmA 2

l = =^ ^ ^h h hÁrea total: 32 cm 144 cm 176 cmA A A 2 2 2

t b l= + = + =

Volumen: 16 cm 9 cm 144 cmV 32= =^ ^h h

Para el volumen del prisma se emplea la expresión 2V l b l= # #

22 cm 6.5 cm 2 cm

213 cm 2 cm

226 cm 13 cmV

2 33= = = =

^ ^ ^ ^ ^h h h h h

158

b) El prisma triangular fue resultado de haber dividido a un prisma que tiene base rectangular.

c) La base del prisma mide 50.41 cm2 y su altura 12 cm.

Cuando se conoce el área de la base del prisma triangular, se relaciona ésta con su altura mediante el producto de la medida de la superficie de la base (B) por la altura (h): V Bh= .

La siguiente imagen se refiere a una caja de regalo que contiene chocolates, ¿cuál será su volumen si las bases tienen un área de 6 centímetros cuadrados y su altura es de 10 centímetros?

22.5 cm

50.41 cm2

12 cm

30 cm

45 cm

En contextos cotidianos, ¿en qué situaciones de calcula el volumen de prismas triangulares?

El área de una de las bases de la caja se multiplica por la altura con el fin de calcular el volumen de la caja.

6 cm 10 cm 60 cm2 3=#






El prisma triangular se origina de un prisma rectangular, por ello, se emplea la expresión 2V a b c= # #

222.5 cm 30 cm 45 cm

2675 cm 45 cm

230 375 cm 15187.5 cmV

2 33= = = =

^ ^ ^ ^ ^h h h h h

La base (B) del prisma se multiplica por su altura(h) y resultado se divide entre 2 para obtener el volumen.

50.41cm 12 cm 604.92 cmV 2 3= =^ ^h hEl volumen del prisma triangular es de 604.92 cm3.

159

◊ Una empresa que produce jugos determinó emplear cajas como la que se muestra a continuación para alma-cenar su producto. ¿Cuánto cartón se empleará? ¿Qué volumen tendrá el envase?

El volumen y la capacidad son dos magnitudes que están estrechamente ligadas. El primero refiere al espacio que ocupa un objeto y su unidad principal es el metro cúbico (m3). Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos; el decímetro cúbico (dm3) y centímetro cúbico (cm3). En cambio, la capacidad se refiere al espacio vacío de algún objeto que puede contener otra cosa, o bien, es la que indica cuánto puede contener un recipiente; para ello se utilizan las unidades de capacidad, principalmente el litro (l) y el mililitro (ml).

Entre las unidades de volumen y las de capacidad hay una relación:

1 litro = 1 decímetro cúbico 1 mililitro = 1 centímetro cúbico

4 cm

6 cm

3.5 cm

Volumen y unidades de capacidad






Área de la base: 24 cm 3.5 cm

214 cm 7 cmA

22= = =

^ ^h h

Área de las bases: 7 cm 2 14 cmA 2 2b = =^ ^h hÁrea lateral: 6 cm 4 cm 3 72 cmA 2

l = =^ ^ ^h h hÁrea total: 14 cm 72 cm 86 cmA A A 2 2 2

t b l= + = + =

Volumen: 7 cm 6 cm 42 cmV 2 3= =^ ^h hEl cartón equivale a un área de 86 cm2 y dicho envase tendrá un volumen de 42 cm3.

160

Unidad de volumen

Múltiplos Unidad principal

Submúltiplos

Unidad Kilómetro cúbico Hectómetro cúbico

Decá-metro cúbico

Metro cúbico

Decí-metro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

Equivalencia 1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1 m3 0. 001 m3 0.000001 m3 0.000000001 m3

Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Observa que toda unidad aumenta o disminuye de 1 000 en 1 000. Por ejemplo, un hectómetro cúbico es 1 000 veces mayor que la unidad decámetro cúbico.

◊ Lleva a cabo las siguientes acciones.

a) Convierte 4 m3 a hm3.

b) Convierte 12 000 km3 a m3.

c) Convierte 100 km3 a dam3.

d) Convierte 10 cm3 a m3.

e) Convierte 250 ml a dm3.

f) Convierte 9 l a ml.

g) Convierte 1 metro cúbico a litros.

h) Convertir 10 000 ml a decímetros cúbicos.






4m 1000 1000 0.000004hm3 3=' '

12 000 km 1000 1000 1000

12 000 000 000 000m

3

3=

# # #

100 km 1000 1000 100 000 000 dam3 3=# #

10 cm 1000 1000 0.00001m3 3=' '

250ml 250 cm3=

Luego, 250 cm 1000 0.25 dm3 3='

9 litros equivalen a 9 000 mililitros.

Primero, 1 m3 = 1 000 dm3, luego 1 000 dm3 equi-valen a 1 000 litros. Porque 1 l = 1 dm3.

1 000 ml = 1 litro = 1 dm3, por lo que 10 000 ml = 10 litros = 10 dm3.

161

En contextos cotidianos, ¿cómo se emplean las unidades de capacidad?

Una alberca tiene las siguientes dimensiones 10 5 12m# # . ¿Cuántos litros de agua puede contener la piscina?

◊ En la siguiente ilustración se proporcionan las medidas de una pecera, ¿cuál es la capacidad de litros de agua que puede contener la pecera?

◊ El siguiente dibujo es de una pecera en forma de prisma rectangular, ¿cuál será el volumen de la pecera si cada centímetro de las medidas de la ilustración equivalen a 100 centímetros en el contexto real?

60 c

m

80 cm

6 cm

20 c

m

3 cm

2 cm

10m 5m 12m 600mV 3= =# #

Luego, 600m 1000 600 000 dm33 =#Finalmente,600 000 dm3 = 600 000 litros, que es lacantidad de litros que puede contener la piscina.







El volumen de la pecera es de 96 000 cm3

20 cm 80 cm 60 cm 96 000 cmV 3= =# # Luego, 1 cm3 es igual a 1 ml. Por lo que la capacidad de alma-cenaje de la alberca es de 96 000 mililitros, o bien, 96 litros.

Las medidas del dibujo hay que multiplicarlas por 100 para conocer las longitudes de la pecera y, asimismo, obtener su volumen.

3 x 100 cm = 300 cm

2 x 100 cm = 200 cm

6 x 100 cm = 600 cm

El volumen de la pecera es de 36 000 000 cm3: 600 cm 200 cm 300 cmV = # #

162

◊ Una fábrica tiene pensado distribuir su producto (leche) en envases semejantes a los que se muestran a conti-nuación. ¿Qué capacidad almacenaría dicho contenedor?

5 cm

8 cm

30 cm

Una experiencia aleatoria es un caso de fenómenos aleatorios, en el que, bajo las mismas condiciones, no se puede asegurar el resultado que se presentará, es posible repetir y se describe al conjunto de todos los posibles resultados; si al menos unas de estas cosas no se cumplieran se estaría tratando entonces con un fenómeno alea-torio. Un ejemplo de una experiencia aleatoria es lanzar un dado de 6 caras, todas ellas etiquetadas con los números del 1 al 6. En este experimento no es posible predecir qué cara se obtendrá; no obstante, se sabe que el espacio muestral o, dicho de otra manera, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y la cara que saldrá está dentro de ese rango. Además, el experimento se puede repetir bajo las mismas condiciones.

Estrategia 1

Para ejemplificar los posibles resultados se puede emplear un diagrama de árbol.

Por otra parte, un fenómeno determinista se caracteriza porque en él no hay presencia del azar, y de forma inevita-ble se llega a un resultado fijo. En este tipo de experimentos se conoce qué resultado se obtendrá. Por ejemplo, al lanzar un dado de 6 caras, se sabe con seguridad que caerá en una de las caras que lo componen.

◊ Escribe cinco ejemplos que refieran a experiencias aleatorias y otros cinco que aludan a fenómenos deterministas.

El azar15 Experimentos aleatorios y probabilidad frecuencialLección

1

2

3

4

5

6






Experiencias aleatorias: el lanzamiento de una moneda fijando nuestro interés en la cara que saldrá; el lanzamien-to de un dado donde el objetivo de interés esté en cuál cara se obtendrá; el lanzamiento de una pirinola enfocando nuestro interés en la cara que se conseguirá; la extracción de una bola de una urna que contiene 2 bolas negras y 2 bolas blancas, observado como característica de interés el color de la bola; tomar una ficha de dominó obser-vando como característica de interés el número de puntos que se obtienen.

Fenómenos deterministas: lanzar una pelota hacia arriba y saber que caerá de nuevo; mezclar agua con un sa-borizante y tener idea de qué color será la mezcla, poner las manos en el fuego y saber que quemará; al usar una pluma de tinta color azul y escribir con ella se consiguen letras de ese color; dos rectas paralelas jamás se intersecarán.

Área de la base: 25 cm 8 cm 20 cm2=#

Volumen: (20 cm2)(30 cm) = 600 cm3

Capacidad: 600 cm3 = 0.6 dm3, pero 1 dm3 = 1 litro, por lo que 0.6 dm3 = 0.6 litros; que es la capacidad que puede almacenar el recipiente.

163

◊ Escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente con base en los fenómenos que se describen.

a) Fenómenos deterministas b) Fenómenos aleatorios

( ) Dos rectas perpendiculares al cruzarse forman ángulos de 90º.

( ) Los primeros 5 números primos son 2, 3, 5, 7, 11.

( ) La próxima vez que llegue a mi casa, el radio estará sintonizado en las noticias.

( ) Al terminar el mes de mayo, comenzará junio.

( ) La próxima vez que juegue lotería mexicana con mi familia, ganaré.

( ) El miércoles iré al mercado con uno de los integrantes de mi familia.

( ) Si tiro un dado, la cara superior mostrará 6 puntos.

( ) Mañana, mi compañero vendrá en su motocicleta.

En un experimento aleatorio, como ya se describió, no se sabe cuál será el resultado, pero indiscutiblemente se tiene idea de cuáles son las posibles soluciones o eventos que se presentan al llevarlo a cabo. Estos eventos representan el espacio muestral y, para designarlo, se emplea la mayúscula de la letra griega omega (Ω). Por ejemplo, considérese que el experimento consiste en lanzar una moneda de $10, su espacio muestral queda expresado como sigue.

Ω = (águila, sol)

◊ Determina el espacio muestral que resulta al poner en práctica los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar una pirinola.

b) Extraer de una tómbola una esfera de 5 que hay que se distinguen por estar marcadas con los primeros 5 nú-meros múltiplos de 3.

c) Extraer una bola de una urna que contiene bolas negras o blancas.

d) Girar una ficha marcada con una cruz o con una cara.






a

a

b

a

b

b

b

b

Ω = Toma 1, Toma 2, Toma todo, Pon 1, Pon 2, Todos ponen

Ω = 3,6,9,12,15

Ω = bolas negras, bolas blancas

Ω = cruz, cara

164

e) Lanzar dos monedas: una de $1 y la otra de $2.

f) Obtener una goma de mascar de forma esférica color verde de una máquina expendedora que tiene otras más de color rosa, amarillo, verde, rojo, azul y naranja.

◊ Julia y Tania decidieron jugar en un tablero. El juego consiste en que cada una debe avanzar su ficha desde el punto A al punto B en forma de espiral, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

I. Se lanza un dado de 6 caras marcadas con 1, 2, 3, 4, 5 y 6 puntos. Si sale una cara marcada con un número de puntos par, Julia o Tania hará avanzar su ficha 2 casillas.

II. Si se obtiene una cara marcada con un número de puntos impar, Julia o Tania retrocederán su ficha una casilla.II. Gana aquella persona que coloque su ficha primero en la letra “B”.

A

B

a) ¿Cuál es el espacio muestral que le corresponde a cada uno de los participantes al lanzar el dado?

b) ¿Qué eventos (subconjunto del espacio muestral) del espacio muestral son lo que tiene que obtener Julia o Tania para hacer avanzar su ficha?

c) De qué depende que gane Julia o Tania?






Ω = (águila, águila), (sol, sol),(águila, sol), (sol, águila)

Ω = rosa, amarillo, verde, rojo, azul, naranja

Es espacio muestral es Ω = 1,2,3,4,5,6

Las caras del dado que tengan 2, 4 o 6 puntos: A= 2,4,6.

De lo que se obtenga en los dos dados, es un juego de azar.

165

d) ¿Qué pueden hacer Julia y Tania para obtener siempre un número par al tirar el dado, sin olvidar que en el juego se tienen que respetar las reglas?

e) Suponiendo que Tania ganó la primera vez, ¿será Tania quien gane la próxima vez que juegue con Julia? Explica tu respuesta.

◊ Para jugar con la ruleta de colores, trabaja junto a un compañero y construyan una ruleta con una manecilla como se observa a continuación. La mitad de la ruleta debe estar pintada de azul y la otra de color amarillo. Para efectos del juego, cada participante debe considerar lo siguiente:

Giro Resultado Giro Resultado Giro Resultado Giro Resultado

1 6 11 162 7 12 173 8 13 184 9 14 195 10 15 20

a) ¿Qué color se obtuvo con más frecuencia?

b) ¿Cuántos posibles resultados se pueden presentar?

c) ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde a esta situación?

I. Cada persona, de manera alternada, debe hacer girar la aguja de la ruleta.

II. Después de hacer girar la aguja, se anotará el resultado en la columna correspondiente.






No se puede hacer nada, ya que es un juego de azar y se avanza en función de lo que se obtenga en el dado.

Es posible, ya que Tania y Julia se enfrentan en un juego azaroso.

Las respuestas dependerán de los resultados del alumno.

La respuesta depende de los resultados que obtuvo el alumno.

Son dos.

Es espacio muestral es Ω = azul, amarillo

166

◊ En una bolsa que no sea transparente coloca tres papelitos hechos bolita. En cada papelito escribe los siguien-tes textos.

Texto 1: BlancoTexto 2: RojoTexto 3: Verde

I. Extrae de la bolsa un papelito sin ver.II. Registra el resultado (texto) en las tablas.III. Regresa el papelito.IV. Repite los pasos I, II y III para cada extracción.

Extracción Resultado Extracción Resultado Extracción Resultado Extracción Resultado

1 6 11 162 7 12 173 8 13 184 9 14 195 10 15 20


21 26 31 3622 27 32 3723 28 33 3824 29 34 3925 30 35 40


41 46 51 5642 47 52 5743 48 53 5844 49 54 5945 50 55 60

a) ¿Qué papelito se obtuvo con más frecuencia?

b) ¿Cuántos posibles resultados se pueden presentar?

c) ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde a esta situación?






Las respuestas dependerán de los resultados del alumno.

La respuesta depende de los resultados que obtuvo el alumno.

Son tres

Es espacio muestral es Ω = blanco, rojo, verde

167

En un experimento aleatorio que se repite muchas veces puede observarse que, cada vez que se ejecute bajo las mismas condiciones, el espacio muestral siempre será el mismo a pesar de no tener certeza de qué resultado se obtendrá, sin embargo, uno de los eventos se puede o no presentar. Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras –de las que cada una se distingue por tener puntos que representan a los primeros seis números naturales– se sabe con seguridad que el dado caerá en una cara marcada con cierto número de puntos; por ello es un evento seguro.

Si se esperara obtener la cara marcada con 7 puntos al lanzar el dado esto no sucedería, puesto que el máximo número de puntos que tiene una cara son 6. Un evento con estas características recibe el nombre de evento imposible.

◊ Responde las preguntas para cada una de las situaciones planteadas.

a) En una bolsa no trasparente hay 25 pelotas, 12 son de color rojo y 13 de color amarillo.

• ¿Cuál es el espacio muestral que se presentaría si decides sacar una pelota de la bolsa sin ver?

• ¿Qué tan posible o imposible es que se presente el evento “obtener una pelota color rojo”? Explica tu respuesta.

• ¿Cuál es el subconjunto del espacio muestral “obtener una pelota color rojo”?

• ¿Qué tan seguro o imposible es que se presente el evento “obtener una pelota color rosa”? Explica tu respuesta.

b) En una caja hay boletos numerados con los primeros 15 números naturales.

• ¿Cuál es el espacio muestral que se presentaría si decides sacar sin ver un boleto?

• ¿Qué tan posible o imposible es que se presente el evento “obtener un número par”? Explica tu respuesta.

• ¿Cuál es el subconjunto del espacio muestral “obtener un número par”?

• ¿Qué tan posible o imposible es que se presente el evento “obtener un número mayor a 15 pero menor a 17”? Explica tu respuesta.






El espacio muestral es: Ω= rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo, amarillo.

Es un evento seguro, ya que en la bolsa hay pelotas de ese color.

A= rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo, rojo.

Es un evento imposible, ya que en la bolsa no hay pelotas color rosa.

El espacio muestral es: Ω = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

Es un evento seguro, ya que en la caja hay números que cumplen con la condición.

A= 2,4,6,8,10,12,14

Es un evento imposible, ya que en la bolsa no hay boletos que estén distinguidos por esos números.

168

Un experimento aleatorio puede repetirse el número de veces que se desee, pero para determinar la probabilidad frecuencial de un evento, el experimento se repite un número determinado de veces. Para ello se divide el número de veces que se obtuvo el resultado que interesa entre el número de veces que se efectúo el experimento.

Una persona hizo girar 200 veces una pirinola, ¿cuál es la probabilidad frecuencial que representa al evento obtener “Toma todo”?

EventoFrecuencia absoluta

(número de veces que se obtuvo el evento)

Probabilidad frecuencial

Toma 1 40 20040

Toma 2 30 20030

Toma todo 37 20037

Pon 1 36 20036

Pon 2 32 20032

Pon todo 25 20025

Total 200 1

En resumen, se puede distinguir, dada la probabilidad frecuencial expresada como fracción, que por cada 8 lanza-mientos se obtuvo el evento “Pon todo”:

20025

405

81= =

◊ Resuelve los siguientes planteamientos.

a) En una urna hay 3 pelotas, una verde, una amarilla y otra roja, ¿cuál es la probabilidad frecuencial que represen-ta a cada evento si el experimento se llevó a cabo 100 veces?




Pelota verde 30

Pelota amarilla 38

Pelota roja 32

Total 1






10030

10038

10032

100

169

b) En una tienda comercial llevaron a cabo una encuesta a 100 personas sobre el pago con tarjeta de crédito. Completa la tabla.




Paga con tarjeta de crédito 20

No paga con tarjeta de crédito

80

Total 1

c) Hugo determinó, antes de lanzar dos monedas 400 veces, el espacio muestral. Después organizó los datos de los lanzamientos en otra tabla. Ayúdale a completarla

Espacio muestralEvento Águila Sol

Águila Águila, águila Águila, sol

Sol Sol, águila Sol, sol

Una tómbola está repleta de boletos numerados del 1 al 10.

a) ¿Qué es más posible obtener si se saca un boleto, un número par o un número primo? Explica tu respuesta.

Es más posible obtener un número par, puesto que del 1 al 10 hay más números pares (2, 4, 6, 8, 10) que primos (2, 3, 5, 7).

Evento

Frecuencia absoluta (número de veces que se obtuvo el

evento)


Águila, águila 89

Águila, sol 111

Sol, águila 90

Sol, sol 110

Total 1

En contextos cotidianos, ¿cómo se usa la probabilidad frecuencial?






100

400

10020

10080

40089

400111

40090

400110

170

b) ¿Cuál será la probabilidad frecuencial para cada evento, si sacar un boleto de la tómbola y regresarlo se lleva a cabo 100 veces?




Número par 48 10048

Número primo 35 10035

c) ¿Qué elegirías para tener más posibilidades de ganar, un número par o un número primo?

Un número par.

◊ En una urna hay 20 pelotas etiquetadas con los números del 1 al 20.

a) ¿Qué es más posible obtener si se saca una pelota sin ver, una etiquetada con un múltiplo de 3 o una con un múltiplo de 4? Explica tu respuesta.

b) ¿Cuántas veces se obtuvo un múltiplo de 3, si la probabilidad frecuencial para cada evento se conoce? Completa la tabla.




Múltiplo de 3 500160

Múltiplo de 4 500120

c) Se puede afirmar que por cada 25 extracciones que se hicieron de la urna, se obtuvieron 6 pelotas con números referentes a número múltiplos de 4. Explica tu respuesta.

◊ En una caja que contiene 200 focos, 101 son rojos, 8

1 son azules y el resto amarillos.

a) ¿Qué es más posible obtener si se saca un foco al azar, uno azul o uno rojo? Explica tu respuesta.







Es más posible obtener una pelota marcada con un múltiplo de 3 que de 4, ya que en la urna hay más pelotas etiquetadas con múltiplos de 3.

160

120

Sí, porque 500120

256=

Hay más posibilidades de obtener focos azules que de rojos, puesto que hay más focos azules (25) que rojos (20).

171

b) ¿Qué tan posible es que se obtenga un foco verde?

◊ Javier y Karina se disponen a jugar en un tablero bajo las siguientes condiciones:

I. Ambas personas, en su respectivo turno y sin ver, deben extraer de una urna una bola de 5 que hay disponibles (2 negras, 1 blanca, 1 rosa y 1 verde) y luego devolverla a la urna.

II. Si el participante en turno extrae una bola negra, hará avanzar su ficha 2 casillas.III. Si el participante en turno extrae una bola blanca, hará avanzar su ficha 3 casillas.IV. Si el participante en turno extrae una bola rosa, hará retroceder su ficha 1 casilla.V. Si el participante en turno extrae una bola verde, hará retroceder su ficha 2 casillas.VI. En caso de que se haya extraído una bola rosa o verde y sea la primera tirada, el jugador no avanzará ni retroce-

derá alguna casilla, sólo cederá el turno a su compañero.

a) ¿Cuál es el espacio muestral que se le presenta a cada participante en este juego?

b) Suponiendo que Karina es la primera persona en extraer de la urna una bola, ¿qué posibilidad existe de que no haga avanzar su ficha?

c) Suponiendo que Karina perdió en el primer juego que disputó con su amigo Javier, ¿qué sucederá con ella si ambos vuelven a jugar?






Es un evento imposible.

Ω= bola negra, bola negra. bola blanca, bola rosa, bola verde

Es poco posible, ya que sólo 2 bolas de 5 que hay representan un retroceso.

Karina puede perder o ganar.

172


1. Subraya la expresión equivalente a 8h + 8 − 2n.

a) 8 (h + 1 − n)

b) 2 (4h + 4 − n)

2. Multiplicar la posición por 4 y sumar 0.5 es la regla general, expresada en lenguaje natural, que define a la sucesión. Elige la respuesta correcta:

a) 4.5, 9, 13.5, 18, 22.5, …

b) 4n + 0.5

3. La expresión algebraica 4 1t nn = + , genera una sucesión, escribe los primeros 6 términos.

4. El área de la base de un prisma recto rectangular es igual a 50 cm2. ¿Cuál será la altura de este mismo prisma si su volumen es de 900 cm3? Escoge la respuesta correcta.

a) 21 cm

b) 18 cm

5. Escribe la medida de uno de los lados de la base de un prisma cuadrangular cuya altura es de 12 cm y su volu-men de 192 cm3?

6. Escribe el espacio muestral del siguiente experimento aleatorio: “Lanzar un dado de cuatro caras”. Cada una de caras del dado está etiquetada con los textos: Uno, Dos, Tres y Cuatro respectivamente.

7. ¿Cuál de los siguientes eventos que se describen a continuación es un evento seguro? Subraya los adecuados.

a) Lanzar un dado cuyas caras están etiquetadas con una de las siguientes leyendas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y obtener el evento 4.

b) Hacer girar una pirinola y que ésta caiga con la cara que señala “Toma casi todo”.

c) Lanzar una moneda de $5 y saber que está caiga águila o sol.

d) Lanzar una moneda de $10 y saber que al caer ésta mostrará en la cara que marca $5.


c) 4 (2h + 2 − n)

d) 21 8 8 2h n+ -^ h

c) 14 cm

d) 23 cm

c) 4.5, 8.5, 12.5, 16.5, 20.5,…

d) 3.5, 7.5, 11.5, 15.5, 19.5,…






La sucesión es: 5, 9, 13, 17, 21, 25, …

192 12

12192

16

b

bb

=

==

^ ^h h El resultado representa la longitud de uno de los lados de un cuadrado, por lo que uno

de sus lados mide 4 cm.

El espacio muestral es: Ω = uno, dos, tres, cuatro

173

8. ¿Cuál de las siguientes sucesiones es generada por la expresión 8 2t nn = + ?

a) 8, 16, 24, 32, 40, …

b) 0, 8, 16, 24, 32, 40, …

9. Identifica de los siguientes casos, cuáles de ellos hacen referencia a un evento no seguro. a) Lanzar una moneda y saber que caerá sol o águila.

b) De una urna que contiene dos bolas, una negra y una blanca, obtener una bola azul.

c) Lanzar una pirinola y obtener el evento “Toma la mayoría”.

d) Lanzar un dado de seis caras que tienen los números 1, 2, 3, 4, 5, y 6, y obtener el evento “número par”.

10. ¿Cuál es la altura de un prisma, cuya área de la base es de 28 cm2 y volumen es de 84 cm3? Explica tu respuesta.

11. Completa la siguiente tabla para averiguar la probabilidad frecuencial que corresponde a cada evento que resultó de haber lanzado un dado tetráedrico, cuyas caras tienen los números 1, 2, 3 o 4.

EventoFrecuencia absoluta (número de veces

que se obtuvo el evento)Probabilidad frecuencial

1 58

2 42

3 55

4 45

Total 200

12. Escribe cuál es el subconjunto del espacio muestral que corresponde al evento “salir un número menor o igual 4” y ~“salir un número mayor a 5” al lanzar un dado con la caras numeradas del 1 al 6.

c) 10, 18, 26, 34, 42, …

d) 6, 14, 22, 30, 38, …






84 cm 28 cm

28 cm84 cm

3 cm

h

h

h

3 2

2

3=

=

=

^ ^h h

La altura mide 3 cm.

Número menor o igual a 4: Ω= 1,2,3,4

Número mayor a 5: Ω= 6

20058

20042

20055

20045

1

174

Notas del alumnoMATERIAL DE PROMOCIÓN PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN





175

Examen de diagnóstico Complemento para Matemáticas 1Secundaria: Aciertos: Grupo:

Nombre del alumno:

Nombre del profesor:

◊ Subraya la respuesta de cada planteamiento presentado.

1. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 53 ?

a) 23

b) 42

a) 211

b) 23

a) – 4

b) – 12

a) La bola roja

b) La bola verde

a) Va aumentando 3 unidades

b) Va disminuyendo 3 unidades

c) 65

d) 21

c) 101

d) 43

c) –1

d) – 6

c) La bola azul

d) Todas tienen la misma posibilidad de salir

c) A cada número se disminuyen 2 unidades

d) A cada número se aumentan 2 unidades

2. En la siguiente recta numérica se representan dos números fraccionarios, ¿qué fracción se encuentra entre los dos?

81

87

3. En una urna hay tres pelotas, una es de color rojo, otra de color verde y la última de color azul. Si se decide ex-traer sólo una, ¿cuál es más posible obtener?

4. ¿Cuál de los siguientes números es mayor?

– 4 – 12 – 6 – 1

5. En la siguiente sucesión de números se observa un patrón numérico, ¿cuál es?

4, 7, 10, 13, 16, ….






Libro

del p

rofes

or

Libro del profesor






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