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Libro del docente
Matemáticas
Viceministra de Gestión EducativaMónica Franco Pombo
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pág.Advertencia 7Presentación 9Objetivosgeneralesdelcurso 11Plandesesiones 13Criteriosdeevaluación 19
UNIDAD1:NÚMEROSRACIONALES
Sesión1:Conceptoyrepresentacióndelosnúmerosracionales 21 Lectura:UtilizacióndeMaterialConcretoparaunaComprensión MatemáticaEfectiva 22 Elementosdelafracción 25 Ubicacióndefraccionariosenlarectanumérica 26
Sesión2:Ejerciciosyproblemassobreconceptosyrepresentacióndelosnúmeros racionales 29 Descubriendolasfracciones 30 Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales 33 SignificadodelasFracciones 36 Lafraccióncomorazón 37 Lectura:ComentarioSamuelVillarealSuárez 39 Lectura:LanocióndeordenenMatemática 40
Sesión3:Reducciones:amplificaciónysimplificación 45 Amplificaciónysimplificacióndefracciones 46 Fracciónirreducible 47
Sesión4:Reducciones:Formadecimaldelosnúmerosracionalesydecimales quesepuedenexpresarcomoracionales 51 Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzaporresoluciónde problemas.“LaHeurísticaProblemSolving” 57 Lectura:Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomo fracción 62
Sesión5:Reducciones:conversiónadecimal,conversiónamixtoyviceversa 67 Lectura:Fraccionespropiaseimpropias 68
INDICE
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UNIDAD2:CONGRUENCIANUMÉRICAYDIVISIBILIDAD
Sesión6:Congruencianumérica 71 Lectura:“Laaritméticadelrelojysistemasmodulares” 72
Sesión7:Aplicacionesdelacongruencianumérica 77
Sesión8:Criteriosdedivisibilidad 81 Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelas demostracionesmatemáticas(parte1) 82 Criteriosdedivisibilidad 84 Divisibilidadparados 85 Divisibilidadparatres 85 Divisibilidadparacuatro 86 Divisibilidadparacinco 86 Divisibilidadparaseis 87 Divisibilidadparasiete 87 Divisibilidadparaocho 87 Divisibilidadparanueve 88 Divisibilidadparadiez 88 Divisibilidadparaonce 89 Divisibilidadparatrece 89 Matrizparaautoevaluación 91 Demostracionesdelasdivisibilidadespropuestas 92
Sesión9:Problemasdeaplicacióndedivisibilidad 99 Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelas demostracionesmatemáticas(parte2) 101
UNIDAD3:PROPIEDADESDELASOPERACIONESYSUSAPLICACIONES
Sesión10:Propiedadesdelasumayresta:operacionesyproblemas 107 Denominadorcomúnsemasyrestasconsustitucióndepiezas 107 Lectura:Fraccioneshomogéneasyheterogéneas 108 Sumaorestadefracciones 109 Cálculodelmáximocomúndivisorpordiferenciasucesivas 112 Mínimocomúnmúltiplo 112 Lectura:ElojodeHorus 115
Sesión11:Propiedadesdelamultiplicaciónydivisión:operacionesyproblemas 125
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Sesión12:Propiedadesdelapotenciaciónyradicación:operacionesy problemas 129 Propiedadesdelapotenciaciónyradicación 132
UNIDAD4:PROPORCIONALIDAD
Sesión13:Proporcionalidad:datosestadísticosyrepresentacionesenelplano cartesiano 133
Sesión14:Equivalenciasgeométricas 139
Sesión15:Regladetres 145
Sesión16:Porcentajeeinterés 151 Lectura:Lacrisisinternacionalysugestiónglobal 151 Lectura:Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales 154
Sesión17:Repartoproporcional 159
UNIDAD5:PROBLEMASINTEGRADORES
Sesión18:ProblemasIntegradores 163 Desarrolloconceptualdelnúmerobase10 164 Problema1:Proporciónáurea 166 Problema2:Fondosdereserva 168 Problema3:Desechossólidos 168 Problema4:Fraccionesyporcentajes 169 Problema5:Lasposicionesdelosnúmerosdel0a10 171
Sesión19:Problemasintegradores 175
ANEXOS
Anexos1:Característicasdelasmejoresprácticasparaenseñar matemáticas 179
Anexos2:Laeducaciónmatemática.Elpapeldelaresolucióndeproblemas enelaprendizaje 184
Anexos3:Constructivismoymatemáticas 189
Anexos4:LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemas 195
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Anexos5:ConsejosprácticosparalaenseñanzadelasMatemáticas 202
Anexos6:Recomendacionesmetodológicasendoscontenidosespecíficos: Elcuadradodel100yDominoparalastablasdemultiplicación 208
Anexos7:Plandeclase 215
Anexos8:Fichadeobservaciónenelaula 216
BIBLIOGRAFÍA
BibliografíaConsultada 219BibliografíaSugerida 221
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UnobjetivomanifiestodelMinisteriodeEducaciónescombatirelsexismoyladiscriminacióndegéneroenlasociedadecuatorianaypromover,atravésdelsistemaeducativo,laequidadentremujeresyhombres.Paraalcanzaresteobjetivo,promovemoselusodeunlenguajequenoreproduzcaesquemassexistas,ydeconformidadconestaprácticapreferimosemplearennuestrosdocumentosoficialespalabrasneutrastalescomo“laspersonas”(enlugarde“loshombres”)o“elprofesorado”(enlugarde“losprofesores”),etc.Soloencasosenquetalesexpresionesnoexistan,seusarálaformamasculinacomogenéricaparahacerreferenciatantoapersonasdelsexofemeninocomodelmasculino.Estaprácticacomunicativa,queesrecomendadaporlaRealAcademiaEspañolaensuDiccionarioPanhispánicodeDudas,obedeceadosrazones:(a)enespañolesposible“referirseacolectivosmixtosatravésdelgénerogramaticalmasculino”,y(b)espreferibleaplicar“laleylingüísticadelaeconomíaexpresiva”,paraasíevitarelabultamientográficoylaconsiguienteilegibilidadqueocurriríaenelcasodeutilizarexpresionestalescomo“lasylos”,“os/as”,yotrasfórmulasquebuscanvisibilizarlapresenciadeambossexos.
ADVERTENCIA
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Este cursodeDidácticade lasMatemáti-cas tiene la valiosamisióndedesarrollar elpensamiento matemático de los niños conalegría y confianza en el futuro y para ellopresentaunarecopilacióndeactividadesquesonresultadodelabúsquedapermanentedeclarificar conceptos en los que los docentespresentanmayor dificultad en la transferen-ciaalosestudiantesdeprimeroaséptimodeEducaciónGeneralBásica.
Para asumir este reto pensamos que esimportante primero hacer un recorrido por elconjuntonuméricoquemásapareceennues-travidacotidiana,enlosfenómenosnaturales,sociales,etc.yquesinembargoeselmenosco-nocido,imbuirlodecotidianidadyvincularloaloconcreto:eldelosnúmerosracionalesnone-gativos,utilizandosiemprecomometodologíalaresolucióndeproblemasycomoherramientafundamentaleldesarrolloconceptualasociado.
Como saben, el conjunto numérico queencierra a todos los números se denomina“delosnúmerosreales”,dentrodeésteexis-tendosgrandesconjuntosnuméricos:losra-cionalesylosirracionales.
En el interior de los números racionalesse encuentran los números enteros, los car-dinales y los naturales. Hay otros númerosllamados irracionalesquenopueden repre-sentarsedemaneraexactacomoelcocientedeenteros.
Estelibroabordalosnúmerosracionales,considerandosólo losracionalespositivos,ylosnúmerosenterospositivos,yaquedebidoalosgradosdeescolaridadporlosquepa-san sus estudiantes, todavíano conocen losnúmeros negativos, principalmente desde elpuntodevistaconceptual.
Lasfraccionespresentanlaparticularidad:dequelaUnidadpuedepresentarseendife-rentesformasytamañosyelreferentecam-biacontinuamente.Estoincrementaunejerci-
cioadicional,delnormalconteoenlosenterosparalashabilidadesdelpensamiento,porestarazón cuidaremos del desarrollo conceptualparallegaralosniñosytrabajaremosconéstasoperacionesypropiedades:suma, resta,mul-tiplicación,división,potenciaciónyradicación.
Los decimales y los porcentajes tendránunaespecialatenciónconelfindecompren-derelorigendeestaparticularrepresentaciónnumérica.
Conoceremos la congruencianumérica yladivisibilidaddesdeelmarcodelasdemos-tracionesmatemáticas comounaporte a laformacióndelpensamientomatemático.
Laproporcionalidadseráabordadacomoconceptomatemáticoque cruza los diferen-tes sistemasdel currículoparapromoverunaprendizajeglobalizadoyquea la vezper-mitaprofundizar conceptosdesdediferentesenfoques: trataremos la regla de tres, reglade interés, tanto por ciento, repartimientosproporcionales; todos los temas serán estu-diadosmediantelaresolucióndeproblemasconaplicacionesdelaGeometría.
En todos los temasseleccionadosenestelibrocuidaremossiempredelaetapadelde-sarrolloconceptualporqueenocasionesatro-pelladamente queremos devorar contenidossinafianzarlasbasesquevanadarsoportealaespiraldeaprendizaje.Porello,noduda-remosenreforzarconactividadesdiferentesydesdedistintosánguloslaconstrucciónylainstalacióndelosconceptosenelpensamien-todelosestudiantes.
Tomemos como ejemplo, el origen del0. Es conocido que no apareció junto conlos otros conceptos numéricos, sino hastaque sepercibió lanecesidaddeun símbolopararepresentarla“faltadealgo”,“vacíoovacante”. Si la humanidad tardómucho enreconoceresteconceptocomoexistente,¿porqué nosotros pretenderíamos comenzar por
PRESENTACIÓN
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élparaestudiarelconjuntonuméricodeloscardinales? El docente de educación inicialconoce que para construir el concepto decerohayunprocesodeadaptacióndelpen-samientodondeseenseñaalosniñosyniñasareconocerlanada,elconjuntovacío,antesdedaraconocerelcódigoquelorepresenta.
Delamismaforma,todotrabajodecon-tenidos,requiereunprocesopreviodedesa-rrolloconceptualquenopuedeserobviado.Sólo así se convertirá luego en un eslabónfuerteenlacadenadelaprendizaje.
Siempre escuchamos decir “los estudian-tesnotienenbases”…pensamosqueloqueenrealidadsucedeesque“losestudiantesnoconocen losconceptos”…mecanizanproce-sosperonoentiendenlaverdaderarazóndesuaplicación.
Nopiensedeningunamaneraqueparasupreparación comodocentedematemáti-
cassussaberesestáncompletosconestelibroylosconceptostrabajadosaquí.Laintencióndeestecursoesdejarlelapuertaabiertaparaqueustedsigainvestigando,sigatrabajandoen otros desarrollos conceptuales que con-siderenecesariosy fomenteunaactitud res-ponsable,deustedcomoeducador,frenteal“otro”.
Siestetrabajo,ayudaacambiarlaformadeconcebirytratarlostemasaquíabordadosydesarrollarotrosconceptosdesdeunavisiónactual,a tan sóloundocente,nosdaremosporsatisfechos.
LosAutores
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Estecursode40horasdeduraciónestáorientadoalosdocentesdeprimeroaséptimoañodeEducaciónGeneralBásica,quequierenprofundizarenlaasignaturadeMatemáticas.
Altérminodelcursoseesperaquelosparticipantesesténencapacidadde:
Encontenidos:
• Conceptualizaryrepresentarlosnúmerosracionalesenformaordenadaparacomparardis-tintascantidades.
• Representar cantidades y situaciones que no se pueden expresar utilizando únicamentenúmerosenteros.
• Reconocerlautilizacióndelasfraccionesenlocotidianoysuaplicaciónenlaresolucióndeproblemasquecontienenoperaciones,propiedades,ampliacióny reducción,conversionesnosólodesdeelpuntodevistaalgorítmico,sinotambiénconsurespectivarepresentacióngeométrica.
• Relacionarlosenterospositivosylosnúmerosracionalespositivos.
• Conocerel concepto y laspropiedadesde la congruencianuméricaparaaplicarlasen laresolucióndeproblemas.
• Revisarloscriteriosdedivisibilidad,algunosdeéstosoriginalesdelautor,ysusdemostracio-nesparautilizarlosenlaresolucióndeproblemas.
• Analizar el conceptodeproporcionalidaddesdeel puntode vista estadístico,gráfico,nu-mérico,consusaplicacionesdeporcentajeeinterés,repartoproporcional,ygeométricoconlaproporcionalidaddesegmentosyelTeoremadeThales.
Endidáctica:
• Utilizarelmaterialconcretocomouncomplementopara lacomprensiónde losconceptosbásicos.
• Lograrundesarrolloconceptualadecuadoenlosniñosconelfindeafianzarelaprendizaje,reflexionandosobreuncontenidomatemáticoyademáspermitiendoalosniñosdarexplica-ciones,exponerrazones,argumentar,etc.
• Verificarlatransversalidaddelosconceptosatravésdelosdiferentessistemas.Estoayudaráalosdocentesaentenderlasmatemáticascomountodocoherente,enlugardeunacolec-cióndetécnicasaisladasydereglasarbitrarias.
OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO
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• Utilizar lasdemostracionescomomedionosólodecomprobaciónyconvencimiento,sinotambiénparaentenderunalgoritmo, concluir conunprocesodebúsqueda, exponerunmétodo,mostrarelsignificadodeunadefinición,manteneractitudcríticafrenteaunaideaydesarrollarautonomíaintelectual.
• Desarrollar,desde lasmatemáticas,habilidadescomunicativasy ladestrezadeestablecerrelacionesconotrasciencias.Estolespermitirá,conunaideaobtenidaenuncontexto,apli-carlaaotro,haciendolasconexionesnosóloconotrasasignaturas,sinotambiénconsusinteresesparticularesycotidianos.
• Practicarelmétododeresolucióndeproblemascomomedioparaqueelestudianteactivesucapacidadmental,ejercitesucreatividad,reflexioneacercadesupropioprocesodepensam-ientoyaprendizaje(mejorándoloenformaconsciente/metacognición),hagatransferenciasaotrasáreasdesutrabajomental,preparesupensamientoparaotrosproblemasdelaciencia,yparalosnuevosretosdelatecnología.
• Aplicartodoloantesmencionadoenlaprácticaparamejorarelejerciciodocente,reflexion-andoapartirdenuestrasexperienciasactuales.
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Capítulosdellibro
Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Evaluarlosconocimien-tospreviosenformaobjetiva,deopciónmúl-tiple,dondesolamenteunadelasopcionesserácorrecta.
•Considerarestaeva-luacióncomoelprimerescalónentuautoeva-luacióndeconocimien-tosenlaasignatura.
•Representarcantida-desysituacionesquenosepuedenexpresarutilizandoúnicamentenúmerosenteros.
•Evaluarcuándounnúmeroracionalposi-tivoesmayorqueotro,relacionándolosconlarepresentacióndelosnúmerosenlarectanuméricapermitiendocomparardistintascan-tidades.
•Lecturayreflexiónsobrelautilizacióndelmaterialconcretoparaunacompren-siónmatemáticaefectiva.
•Tallersobreforma-cióndelconceptodefracción.
•Elementosdelafracción.
•Ubicacióndefraccio-nesenlarectanumé-ricaparacompararcantidades.
EvaluaciónDiag-nóstica(1hora).
ConceptoyRepresentacióndelosNúmerosRacionales(1hora)
Capítulo1:LosNúmerosRacionales
1
•Determinarquelasfraccionespermitenencontrarelresultadodedividirunnúmeroenteroentrecualquierotro.
•Resolveryelaborarproblemasconceptualesyderepresentaciónenlarectanumérica.
•Descubriendolasfracciones.
•Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales.
•Dóndeaparecenlasfracciones.
•Significadodelasfracciones.
•Ordenenlasfracciones.
•Lectura:Lanocióndeordenenlasfracciones.
Ejerciciosyproblemassobreconceptoyrepre-sentacióndelosnúmerosracio-nales(2horas).
Capítulo12
PLAN DE SESIONES
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Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Hallarlarelaciónqueexisteentrelosenterospositivosqueexisteen-trelosenterospositivosylosnúmerosraciona-lespositivos.
•Encontrarfraccionesequivalentesaunnú-merofraccionariodado.
•Descubrirelconceptodefraccionesirreducibles.
•Fraccionesequivalentes.
•Amplificaciónysim-plificacióndefracciones.
•Fracciónirreducible.
Reducciones:amplificación,simplificación,conversiónadeci-mal(2horas).
Capítulo13
•Representarunracionalpormediodeexpresio-nesdecimales.
•Formadecimaldelosnúmerosracionales.
•Losdecimalesensituacionesdemedi-ción.
•Fraccionesdecimales.
•Losnúmerosracio-nalesyelenfoquedelaenseñanzadelasmatemáticasenlaescuelaprimaria.
•Lectura:Métodoparti-cipativodeenseñanzaporresolucióndepro-blemas.LaheurísticaProblemSolving.
•¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpre-sarsecomofracción?
Reducciones:De-cimalesquesepuedenexpresarcomoracionales.(2horas).
Capítulo14
•Utilizarlaamplifica-ción,simplificación,conversiónadecimal,conversiónamixtoenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.
•Clasificacióndelasfracciones.
•Fraccionespropiaseimpropias.
•Fraccionesdecimales.
•Conexiónconlaciencia.
Reducciones:Con-versiónadecimal,conversiónamixtoyviceversa.(2horas).
Capítulo15
•Conocerelconceptoylaspropiedadesdelacongruencia.
•Laaritméticadelrelojydelossistemasmodulares.
•Criteriodecongruen-cianumérica.
•Propiedadesdelacongruencia.
Congruencianu-mérica(2horas).
Capítulo2:CongruenciaNuméricayDivisibilidad
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Capítulosdellibro
Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Aplicarlaspropiedadesdelacongruencia.
•Problemasdeaplica-ciónqueseresuelvenconcongruencianumérica.
•Actividadmultidisci-plinaria.
Aplicacionesdelacongruencianu-mérica(2horas).
Capítulo27
•Reconocerfácilmentecuándounnúmeroesmúltiplodeotro.
•Criteriosdedivisibilidad.
•Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemos-tracionesma-temáticas(parte1).
•Divisibilidadpara2.
•Divisibilidadpara3.
•Divisibilidadpara4.
•Divisibilidadpara5.
•Divisibilidadpara6.
•Divisibilidadpara7.
•Divisibilidadpara8.
•Divisibilidadpara9.
•Divisibilidadpara10.
•Divisibilidadpara11.
•Divisibilidadpara13.
•Númerosprimos.
•Matrizdeautoevaluación.
Criteriosdedivisi-bilidad(2horas).
Capítulo28
•Utilizarladivisibilidadylacongruencianuméri-caenlasolución.
•Demostrarlanecesidaddelautilizacióndeloscriteriosdedivisibilidadenlaresolucióndeproblemas.
•Aplicarestoscriteriosenlasolucióndeproblemas.
•Resolverproblemasdondeseaplicaladivisibilidad.
•Resolverproblemasdondeseaplicalacongruencianumérica.
•Lecturasobrealgu-nasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesma-temáticas(parte2).
•ViñetasconMafaldapararefleción.
Problemasdeaplicacióndedivisibilidadycon-gruencianumérica(2horas).
Capítulo29
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Capítulosdellibro
Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Reconocerqueestasoperacionessóloserealizanconfraccioneshomogéneas.
•Aplicarlaspropiedadesdelasuma.
•Utilizarlasumayrestaenlasoluciónyelabo-racióndeproblemas.
•Denominadorco-mún,sumasyrestasconsustitucióndepiezas.
•Fraccioneshomogé-neasyheterogéas.
•Sumaorestadefrac-ciones.
•Máximocomúndivisor.
•Mínimocomúnmúltiplo.
•LasmatemáticasenelantiguoEgipto.
Propiedadesdelasumayres-ta:operacionesyproblemas(2horas).
Capítulo3:Propiedadesdelaopera-cionesysusaplicaciones
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•Verificarelsentidoquetieneconsiderar,noso-lamentepartesdeunaunidad,sinounaomáspartesdeunafracción.
•Descubrirelsignificadodelinversomultipli-cativodeunnúmerofraccionario.
•Aplicarlaspropiedadesdelamultiplicaciónydivisión.
•Conocerlarelacióndeestasoperacionesconlamultiplicaciónydivisióndenúmerosenteros.
•Utilizarlamultiplica-ciónyladivisiónenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.
•Lasfraccionesensi-tuacionesderepartoymedición.
•Multiplicaciónodivi-sióndefracciones.
•Propiedadesdelamultiplicación.
•Lafraccióncomoope-radormultiplicativo.
Propiedadesdelamultiplicaciónydivisión:opera-cionesyproble-mas(2horas).
Capítulo311
•Aplicarlaspropiedadesdelapotenciaciónyradicación.
•Utilizarlapotenciaciónyradicaciónenlasolu-ciónyelaboracióndeproblemas.
•Conceptualizacióndelapotenciaciónatravésderesolucióndeproblemas.
•Propiedadesdelapotenciaciónyradi-cación.
Propiedadesdelapotenciaciónyradicación:ope-racionesyproble-mas(2horas).
Capítulo312
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Capítulosdellibro
Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Aprenderareconocereltipoderelacionesllamadasproporcionali-daddirectaoinversa,apartirdeacontecimien-toscotidianos.
•Aplicaralgunaspropieda-desdelasproporciones.
•Utilizarlaproporcionali-dadenlasoluciónyela-boracióndeproblemas.
•Lafraccióncomorazón.
•Conceptodeproporcionalidad.
•Proporcionalidaddirecta.
•Proporcionalidadinversa.
Proporcionalidad:datosestadísticosyrepresentacionesenplanocartesia-no(2horas)
Capítulo4:Proporciona-lidad.
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•Aplicarlaproporciona-lidadenlosproblemasdelallamadaregladetres.
•Regladetressimple:directaeinversa.
•Regladetrescom-puesta:directa,inversaymixta.
Regladetres.(2horas).
Capítulo415
•Aplicarlaproporcionali-dadenlosproblemasderepartoproporcional.
•Lasfraccionesensi-tuacionesdereparto.
•Problemasdeapli-caciónsobrerepartoproporcional.
Repartopropor-cional.(2horas).
Capítulo417
•Aprenderquelade-mostracióndelTeoremadePitágorassepuedehacerutilizandodiferen-tesfiguras.
•TeoremadePitágoras.
•TeoremadePitágo-rasgeneralizado.
•Rompecabezaspita-góricos.
Equivalenciasgeométricas(2horas).
Capítulo414
•Aplicarlaproporciona-lidadenlosproblemasdeporcentajeeinterés.
•Losporcentajesenlavidacotidiana.
•Fraccionesdecimales.
•Relaciónentrepor-centajes,fraccionesydecimales.
•ElTangramylosporcentajes.
•Interés.
Porcentajeeinte-rés.(2horas).
Capítulo416
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Capítulosdellibro
Sesión Objetivo Contenidos Tema
•Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndepro-blemasqueinvolucrentodosloscontenidos.
•Problemasobrepro-porciónáurea.
•Problemasobrefon-dosdereserva.
•Problemasobredese-chossólidos.
•Problemassobrepor-centajesyfracciones:ensaladadefrutas,representacionesgráficas.
Problemasintegra-dores(2horas).
Capítulo5:Problemasintegradores
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•Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndepro-blemasqueinvolucrentodosloscontenidos.
•Planificaryevaluarunaclaseprácticautilizandounaplanificacióncons-tructivistayevaluarlaconindicadorespre-establecidos.
•Problemassobrepotenciación.
•ProblemassobreRegladeTres.
•Problemassobrera-zonesyproporciones.
•Problemassobrepor-centajes,fraccionesydecimales.
•Planificarunaclasedesdeelpuntodevistaconstructivistayevaluarlaconunafichadeobservaciónáulica.
Problemasintegra-dores(2horas).
Capítulo519
•Evaluarelprocesoylosresultadosdeestecursode40horas.
•Trabajosrealizadosenclase.
•Clasegrabada.
•Evaluaciónfinal.
Conclusionesyevaluaciónfinal(2horas).
EvaluaciónFinal.
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Paralaevaluacióndelpresentecursosetomaráencuenta:
1.Evaluaciónescrita:
•60%Pruebadesalida.
2.Evaluacióndelproceso:
2.1Laasistencianoformapartedelacalificacióndelcursosinembargoparaaprobarlodebeasistiral90%delashorastotalesdelcurso.
2.210%Participación1(basadaenlostrabajosrecogidosdurantelasclases).-Tienequeverconeldominiodelossaberesmatemáticosimpartidosenelcurso:
•Clasificacióndelosconjuntosnuméricos.
•Sistemadelosnúmerosracionales.
•Congruencianumérica.
•Criteriosdedivisibilidad.
•Proporcionalidad.
•Nocióndeordencomoconceptoindispensablenosóloparacontarsinoparaentendercasicualquierconceptodematemáticas.
2.310%Paticipación2(basadaenelperfil).
2.3.1Dominiodehabilidades,estrategiasymetodologías:
•Resolucióndeproblemas.
•Utilizacióndellenguajematemático.
•Utilizacióndematerialconcreto.
•Aprendizajebasadoenproblemas.
•Aplicacióndedemostraciones.
•Implementacióndenuevasmetodologías.
2.3.2Profundizaciónteórica.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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•Dominiodeconceptos.
•Investigación.
•Metacognición.
•Culturamatemática.
•Pedagogíadelasmatemáticas.
2.3.3Actitudesyhabilidadesycomunicaciónfluida.
•Calidadexpositivaycomunicaciónfluida.
•Trabajoenequipo.
•Actitudcrítica.
2.420%Evaluacióndelaplanificación.
2.4.15%Planificacióndelaclase.
2.4.25%Presentacióndelaclase.
2.4.310%Videodelaclasedictada.
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Concepto y representación delos números racionales1
SESIÓN1 Duración:1hora
• Reflexionaracercadecómoplanteartrabajosdeinvestigación.
• Reconocer la importanciadeutilizarmate-rialconcretoenelaula.
• Representar cantidades y situacionesquenosepuedenexpresarutilizandoúnicamentenú-merosenteros.
• Evaluarcuándounnúmeroracionalpositivoesmayorqueotro, relacionándoloscon larepresentaciónde los números en la rectanuméricaypermitiendocomparardistintascantidades.
• Conoceralosprincipalesautoresdeladis-ciplina.
• Lectura y reflexión sobre la utilización delmaterial concreto para una comprensiónmatemáticaefectiva.
• Tallersobreformacióndelconceptodefrac-ción.
• Elementosdelafracción.
• Ubicacióndefraccionesenlarectanuméri-caparacompararcantidades.
Objetivos Contenidos
1.Realicenenparejas la lectura“Utilizacióndelmaterial concretoparaunacomprensiónmatemáticaefectiva”.
2.Identifiqueneneltexto,segúnsujuicio,tresideasconlasqueesténdeacuerdoytresideasconlasqueesténendesacuerdoconlalectura.Indiquenlasrazones.
3.¿Cuálcreenustedesqueeslaideacentraldelalectura?
4.¿Conocenalgunosdelosautoresmencionadosenlalectura?¿Quéhaescuchadosobreellos?
5.Compartanlasrespuestasanterioresconunadelasparejasqueestájuntoaustedesparaintercambiaropiniones.
Compartansutrabajoconlosdemásparticipantesdelcurso.
Actividadenparejas:materialconcreto
Actividadplenaria
UNIDAD 1 números racionales
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Hoyendía,escomúnestardeacuerdoenqueparaunacomprensiónmatemáticaefectivaenlosprime-rosgradosocuandoseintroduceunnuevoconcepto,esadecuadoelusodematerialesmanipulables.Elusodematerialesconcretos,comounprimeracercamiento,seasumeenformaincuestionable.Laaparicióndelosmaterialesconcretossurgieronenladécadadelos60’s,conlapublicacióndelasbasesteóricaspropuestasporZoltanDienes(1960)yporJeromeBruner(1961).
Losestudiantes, con lamanipulaciónde laspiezasgeométricas,hicieronde lamatemáticaunadisciplinaexperimentaldondeelestudianteobservayestudiapatronesgeométricos.
Lectura:UtilizacióndelMaterialConcretoparaunaComprensiónMatemáticaEfectiva
Ventajas Desventajas
Siempre tendremosa lamano la intuicióncomomecanismodecomprensión.
Tieneunfuertecarácterexploratorio,loquepermiteelusodelrazonamientoylasdiscu-siones como sólida referenciapara juzgarlavalidezdelasafirmaciones.
Sirve como marco para la resolución deproblemas, discusión, comunicación, co-rreccióndeerrores.
Las limitaciones del modelo manipulativogenerandiscusionesinteresantesenelaula.
Sedesarrollamuchomáselentendimientoconceptual,queamedidaqueavanzaper-mite ir dejando de lado las herramientasconcretas y se vuelven unpuente hacia elentendimientodeideasabstractas.
Aportaenlosestudiantesmuchosentidodeindependenciaypor tantoseguridadensímismos.
Laspiezas concretasno tienen la “soluciónmágica”alosproblemasenelterrenoma-temático que algunos profesores le suelenasignar.
El poder de las piezas manipulativas nopuedeserusadoefectivamentesinunaade-cuadapreparacióndel docente. Laspiezasmanipulables no hacen “fácil” a lasmate-máticas,ylosprofesoresnecesitanaprendercómousarlas.
Cuando los estudiantes alcanzan un nivelsofisticado de manipulación de las piezas,pueden dar la imagen de que entiendenbienlosconceptosmatemáticospero,nosedebeolvidarquelaspiezassólosonunpre-textoparallegaralaetapasimbólica.
Laatencióndebeponerseenayudaratrans-ferir lo que los estudiantes descubren conlaspiezasmanipulables,aotrasrepresenta-ciones,incluidalasimbólica,numérica,etc.Recuerdeque la transferencianosedaes-pontáneamente.
Existe el peligro de que el uso de piezasgeométricas “fije” al estudiante solamentealmomentoconcreto.Esdecir,sinoseem-pleanadecuadamente laspiezasgeométri-casoseabusadeellas,elusodemodelosconcretospuedeocultar loquesepretendeenseñar. Los modelos con piezas geomé-tricaspuedenanclara losestudiantesauncontexto concreto progresando dentro deéste, demorando la construcciónde la sin-taxismatemática.
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Elmaterialdidácticomanipulableesuncomplemento,nounsustitutodeotrasrepresentaciones.Enparticular,lasrepresentacionesgráficas,lalistasistemática,laestimaciónysobretodolaalgebrai-casonotrasrepresentacionesextremadamenteimportantes.
Lafuncióndelaspiezasmanipulablesenelplandeestudiosesenseñarmatemáticaparaquesirvadepuenteparaotrasrepresentaciones.
Uncomponentecríticodelusodematerialdidácticoconcretoesestarseguroquelosestudian-teshaganlaconexiónentreeltrabajoconceptualhechoyelconocimientoquesupuestamentesoporta.Parahacerestavinculación,latransferenciadesdeuntópicoAhastauntópicoBsuce-derásolamentebajociertascondiciones.
Dentrodelascondicionesmásimportantestenemos:
a.Debenexistirelementoscomunesentredostópicos.
b.Elestudiantedebeestarconscientedelaexistenciadedichoselementoscomunes1.
1Tomadoyadaptadode:ElUsodeMaterialConcretoparalaEnseñanzadelaMatemática.Báez,MaríadeJesús,Hernández,Salvador(2002).http://www.google.com.ec/search?q=utilizaci%C3%B3n+material+concreto+en+pedagog%ADa&ie=utf&&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-ES:official&client=firefox-a
Actividadindividual:reflexionesadicionales
Actividadengrupo:motivación.Plantillasdefracciones
Respondaenformaindividual:
1.¿Conquéfrecuenciaustedutilizamaterialconcretoenelaula?
2.¿Quépuedehacerustedparaincrementarelusodematerialconcretoenelaula?
3.¿Enquétemasdesuclasepodríautilizarmaterialconcreto?
Aunqueelnombrede lasdistintasetapasvaría, los
defensoresdel
usodelaspiezasconcretas,conloscualesestamos
deacuerdo,su-
gierenquelosestudiantesdebenprogresaratravésde
diferenteseta-
pas.Nosotroslasllamaremosaestasetapas:concr
eta,geométrica
ysimbólica.
Compartansusideasconlosdemásparticipantes.
1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2.Trabajenconeltablerocuadradodefracciones:dibujenenunacartulinauncuadradode23x23cm.yrecórtenlo.Dividanelcuadradodelasiguienteforma:
ActividadPlenaria
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Las FraccionesCirculares y el TableroCuadradode Fracciones, le permitiránmostrar cómo sedividen loscírculosy lasbarrasensecciones iguales;muestreprimero lasfigurascompletas, loquerepresentaunenteroyposteriormentelosdemásfraccionadasendos,tres,cuatro,seisyochorespectivamente.
3.Ahoratrabajenconlasfraccionescirculares:Dibujenenunacartulina6círculosde10cm.deradioyrecórtenlos.Dividanloscículosdelasiguienteforma:
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Elementosdelafracción
PROCEDIMIENTO
Comprendanquelapalabraquebradoprovienede“quebrar”unenteroenfraccionesiguales,in-dependientementedelaformaquetengaelentero,detalmaneraquesíhablamosde2/2quieredecirqueesunentero,yaseaunabarradelatabladefraccionesoelcírculodefracciones,ocual-quierotracosaqueseaconsideradacomounentero,sedivideendospartesiguales.
Tomenencuentaquelosnúmerosenterosnopermitendescribirtodaslassituacionesquesomoscapacesdeimaginar.Porejemplo,nopodemosexpresarconunnúmeroenterolashorasconte-nidasen30minutos.Estosucedeporque30minutossonsólopartedeunahora.Ademásenelconjuntodelosnúmerosnaturaleshayoperacionesquenosepuedenrealizar,comoladivisiónde5entre2,porejemplo;repartir5unidadesentre2, implicapartirunaunidad.Tambiénhayecuacionesquenosepuedenresolverenlosnaturales;nohayunnúmeroenteroquemultiplicadocomopor7decómoresultado20.Esdecir,laecuación7a=20notienesoluciónenelconjuntodelosnúmerosenteros.
Losnúmeros fraccionariosnospermitensolucionarestasdificultades.Utilizamos fraccionespararepresentarpartesdeunaunidad.
4.Observenelcírculoqueformaunentero(elprimero)ycompáreloconlaTabladefracciones,quetambiénformaunentero.
5.Mencionenalgunoselementosdelavidacotidianaquepuedenserconsideradoscomoen-terosparafraccionarlos,porejemplo:unpastelcircular,unpastelenformadebarra,unabarradeplastilina,etc.
6.Verifiquenelconceptodefracciónutilizandoloscírculosylasbarrasfraccionadassobrelasplantillas,queforman2/2,3/3…hasta9/9.
1.Tomandounafraccióncomoelemplo,hacernotarquenosindicaqueunenterosehafraccionadoen2,yqueestoloindicaelnúmero2queaparecedebajodelalíneadelquebrado,poresoselallamadenominador,porqueindicaencuántaspartesfraccionaremoselentero.Elnúmero1nosindicacuántasfraccionestomaremosencuentayporesoselallamanumerador.
Note,conayudadeltablerocuadradodefraccionesylasfraccionescirculares,quelosen-terossoncadacírculocompletoycadabarracompleta,mientrasque las fraccionesestánrepresentadasporloscírculosylasbarrasdivididas.
2.Tomenlabarrayelcírculofraccionadosen2partesyseñalenunadeesaspartes.Escribansufraccióncorrespondiente1/2,“asísemuestraunmedio”.Analicenlaformaenqueseescribelafracción;notenqueelnumeradoresel1yeldenominadoresel2(pueselenterosehadivididoen2partesysólotomaremosencuenta1deéstas).
3.Delamismamanera,haganparticiparalosestudiantesparaquecoloquenenlasPlantillasdeFracciones:
a.1/3;esdecirquedelcírculoobarrafraccionadaen3secolocaráunapieza,ysedirá“untercio”,identificandoal1comonumeradoryal3comodenominador.
b.4/6;esdecirdelcírculoobarrafraccionadaen6secolocarán4piezas,sedirá“cuatrosextos”,identificandoal4comonumeradoryal6comodenominador.
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NumeradorDenominador
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c.7/8;esdecirdelcírculoobarrafraccionadaen8secolocarán7piezas,sedirá“sieteoc-tavos”,identificandoal7comonumeradoryal8comodenominador.
4.Trabajenlossiguientesejemplos.Expresenlassiguientescantidadesutilizandonúmerosfrac-cionariosyrepreséntenlasluegoconlasfraccionescircularesyeltablerocuadradodefrac-ciones:
a.Elnúmerodehorasquehayen30minutos.
b.Elnúmerodemetrosquehayen75centímetros.
c.Elnúmerodeminutosquehayen15segundos.
Lasgráficascircularespermitenrepresentardiversassituaciones.
1.Busquelasiguienteinformación:
a.¿Quéfracciónrepresentanennuestropaíslaspersonasderazablanca? b.¿Quéfracciónrepresentanennuestropaíslaspersonasindígenas? c.¿Quéfraccióndelapoblacióndenuestropaísesmestiza?
d.¿Quéfraccióndelapoblacióndenuestropaíssonlosafroecuatorianos?
2.Representelosítemsanterioresenundiagramacircular.3.Sugieraotrasáreasdeaplicacióndondeseutilizanfraccionesycreeunproblema,comoelan-terior,paraalgunadelasáreassugeridas.
Deber:Investigaciónindividual
Ubicacióndefraccionariosenlarectanumérica
Enmuchas situacionesde la vidadiaria resultaútil representar losnúmeros fraccionariosenla recta numérica. Por ejemplo, para leer nuestra temperatura corporal en un termómetro,necesitamossaberubicarenlarectaunnúmerofraccionariomayorque37,peromenorque38.
Paraubicarlosnúmerosfraccionariosenlarecta,consideramosqueelsegmentoderectacom-prendidoentredosnúmerosnaturalesconsecutivosesunaunidad.Así,laprimeraunidadqueconsideramoseselsegmentocomprendidoentre0y1,lasegundaunidadeselsegmentocom-prendidoentre1y2,etc.
Dividiendoelsegmentocomprendidoentre0y1endossegmentoscongruentesencontramoselpuntoquecorrespondealfraccionario1/2;ytomandocomoreferenciaelsegmentocomprendidoentre0y1/2,podemosubicarsobrelarectatodoslosfraccionariosdedenominadoriguala2,dividiendocadaunidadendossegmentoscongruentesycontando,apartirdelprimersegmento,hastallegaralnumeradordelafracciónquesebusca.
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TomadodeNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemáticaenconstrucción7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002.
Cantidad(millonesdebarriles) Años Lugar
6/5 1878 Bretaña3 1979 GolfodeCampeche8/5 1979 MarCaribe8/5 1983 CaboBuenaEsperanza9/10 1989 IslasCanarias5 1991 GolfoPérsico
Paraubicarelfraccionarioc/denlarecta,aplicamoseloperador(c/dx)alnúmero1.Geomé-tricamenteestosignificadividirelsegmento0a1endsegmentoscongruentesytomarapartirde0,cdeestossegmentos(numerador).Porejemplo,silafracciónes1/4,sedivideelsegmentode0a1en4partesysetoma,apartirde0,1deestossegmentos.
Silafracciónes11/4,noalcanzacondividirsóloelsegmentode0a1,porloquesecontinúandividiendolossegmentossiguientes(de1a2,de2a3)en4partesigualeshastaque,contandoapartirde0,selleguealnúmero11,queeselnumeradordelafracción.
Actividadindividual:practicandoenlarectanumérica
1. Realiceelsiguienteejercicio:
a. Dibujeenunahojaunsegmentode10cm.de longitudydivídaloen5segmentoscongruentes.
b. Luegodibujeotrosegmentode10cm.ydivídaloen3segmentoscongruentes.
c. Ahoradibujeotrosegmentode10cm.de longitudydivídaloen7segmentoscon-gruentes.
d. Ubiquesobrealgunadelasrectasnuméricaslosfraccionarios3/5y7/4.
2. Reflexioneyescribasusideassobrelasestrategiasquepuedenusarseparaubicarlasfraccio-nesenlarectanumérica.
Deber:Investigación
Enlaactualidadtodoslosmaresdelmundoestánafectadosporlosderramesdepetróleo.Casicadaañosederramanenelmar7/2demillonesdebarriles,deliberadamenteoporaccidente.Lasiguientetablaresumelosmayoresderramesdepetróleoenelmundohasta1991.
• Investigueapartirdeesafechahastalaactualidadcuáleshansidolosmayoresderramesycompletelatablaconlosdatos.
• Utiliceunarectanuméricaparaubicarlascantidadesquesederramaroncadavez.
Ubicartodoslosfraccionariosdecualquierdenominador
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Ejercicios y problemas sobreconceptos y representación de los números racionales
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SESIÓN2 Duración:2horas
• Relacionar temas de matemáticas con lavidacotidiana.
• Repensarlamaneradeenseñarfracciones.
• Comprender que concentrar en una cua-drolainformacióndeunproblemaayudaaaclararcómoresolverlo.
• Determinarquelasfraccionespermitenen-contrar el resultado de dividir un númeroenteroentrecualquierotro.
• Resolveryelaborarproblemasconceptualesyderepresentaciónenlarectanumérica.
• Reflexionar acercadel usode juegosparaafianzarconceptosmatemáticos.
• Descubriendolasfracciones.
• Lectura:Densidad de los números racionales.
• Dóndeaparecenlasfracciones.
• Significadodelasfracciones.
• Ordenenlasfracciones.
• Lectura:La noción de orden en las fracciones.
1.Juego:“Jugandoconlarectanumérica”
a. Eljuegoserealizaporparejas.
b. Tomandocomobaseunarectanumérica,eljugador“A”escogeunnúmeroentre100y200.
c. Eljugador“B”escogeunnúmeroentre800y900.
d. Eljugador“A”sumaunnúmerocualquieraalqueescogióoriginalmente.
e. Eljugador“B”restaunnúmerocualquieraalqueseleccionó.
f. Serepitenlasmismaaccionescuidandonoalcanzarorebasarelnúmerodelcontrario.
g.Pierdeeljugadorquealcanceorebaseasucompañero.
Objetivos Contenidos
Actividadenparejas:Juego
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2.Conlamismaparejaquetrabajaroneneljuegoanterior,comentenenrelaciónalostemassiguientes:
a. Contenidosmatemáticosquesetrabajaronduranteeldesarrollodeljuego.
b. Propiedaddedensidaddelosnúmerosracionales.
3.Entreguenalinstructorsusreflexionesindividualesporescrito.
Actividaddegrupo:Descubriendofracciones
1.Formengruposde4personasyleaneltexto“Descubriendolasfracciones”.
2.Propongan,consuscompañerosdegrupo,cómoexplicaríanestetemaasusestudiantes.
Actividadplenaria
Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes.
Descubriendolasfracciones
El solohechode leer lapalabra fracción crea, amenudo, inquietuden losdocentes ya seaporquerecuerdansupropioaprendizaje(seguramentelaborioso)oporquetienenpresenteslasdificultadesdidácticasparaenseñaresapartedelprogramadematemáticas.
Enloslibrosyprogramasestetemageneralmenteapareceasí:
Ylededicanmuchotiempoypapelaltemadelasoperacionesporquees“elmásdifícil”.Todoslosdocentessabemoscuántolecuestaalestudiantenomezclarlasreglaspararesolverlasope-raciones:
Porejemplo,pararesolver: Quesecalculacorrectamenteasí:
Losestudiantesrealizanmuchasvecesoperacionesincorrectascomo:
Nopretendemosdarsolucionesmágicasa losproblemasdecálculoconfraccionesymuchomenosplantearqueconnuestrassugerenciasesosproblemasnosepresentarán.LaintenciónesseñalaralgunosaspectosquedeberíansercontempladosenlaEducaciónGeneralBásica.
Lasfraccionesformanunconjuntodenúmerosconprop
iedadesespecí-
ficas,distintasdelaspropiedadesdelosnúmerosenteros
.Muchosdelos
problemasseoriginanpornotenerclarasesasdiferenci
as.
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1. Enlosnúmerosenterossabemosque3esmenorque5yloescribimosasí:3<5pero¿quépasaconlasfracciones1/3y1/5?.Podemospensarque,comolosnumeradosdelasdosfraccionessonigualesy3<5,entonces:
1/3<1/5
Sabemosqueestonoescierto,comopuedeverseenundibujooenlarectanumérica:
2. Lamayoríadelosniñosqueingresanalaescuelapueden“recitar”losprimerosnúmeros:
1,2,3,4,5,6...
Mostramosasíque:1/3>1/5
¿Porquédecimosquelasfraccionessonnúmerosdistintosquelosenteros?
Veamosdosejemplosquemuestranalgunasdelasdiferencias:
Habitualmentedecimos:“yasabecontarhastaelseis”.Saber“contar”seasociaconlanociónde“siguiente”o“sucesor”esdecir,nombrarelnúmeroquetieneunaunidadmásqueelanterior.
¿Quésonlasfracciones?
“Sonnúmerospequeñitosquedividenaunoomás
enteros”.
(Pepe)
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Yenlasfracciones¿cuáleselsiguientede1/2?
Si1/3esmenorque1/2,entoncesnopuedeserelnúmeroquesiguea1/2,¿ylosdemásnúmeros?Sonmayoresque1/2pero¿cuáleselnúmeroquesigueinmediatamentea1/2?,¿seráel2/3?Representemosenunarectanuméricalasfraccionesanterioresparapoderanalizarmejor:
Estenúmerosecalculasumandolosextremosdelsegmento(1/2y2/3)ydividiéndoloentre2,así:
Parasumar1/2más2/3transformamosestasfraccionesafraccionesdeigualdenominador,esdecirafraccioneshomogéneas.
Recordemosqueparadividirunafracciónporunenteroseescribeelmismonumeradorycomodenominadorelproductodelenteroporeldenominadordelafraccióninicial.Sihaycomosimpli-ficar,sesimplifica.
¿Nohabráotrasfraccionesentre1/2y2/3?
Sí,siconsideramoselsegmentocuyosextremosson1/2y2/3,podemosencontrarelpuntomediodeélyverquénúmerolecorresponde.
* Nota: Por razones tipográficas algunas veces las
fracciones se
indicarán con la líneaoblícua1/2aunque creemo
squeen la
escuelaprimariasedebeusarelformato.12
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¿Nohabráotrospuntosentre1/2y7/12?
Puessí,siemprepodemosencontrarelpuntomediodelsegmentoyasíobtenemosotrafracciónmáscercanaa1/2.Nuncapodremosdecircuáleslafracciónquesiguea1/2.
Esolepasaatodoslosnúmerosfraccionariosysabemosquealosenterosno.
Todoslosnúmerosenterostienenunúniconúmeroquelessigue,quesellama“siguiente”o“su-cesor”deesenúmero,unsolonúmeroanterior,asícomoentredosnúmerosenterosconsecutivosnohayningúnnúmeroentero;mientrasqueentredosnúmerosracionalesexisteuninfinitonúmerodefracciones.
1. Realicenlalectura:Densidad de los números racionales.
2. ¿Cuálcreenustedesqueeslaideacentraldelalectura?
3. ¿Quétrascendenciacreenquetieneelconceptodedensidaddelosnúmerosracionalesenlaasignatura?
4. Identifiquencómosellamaesteconjuntonuméricoquelosmatemáticosyfilósofosgriegosdescubrieronquenosonelcocienteentredosenteros.RepreséntenloenundiagramadeVennconrespectoalosotrosconjuntosnuméricos.
5. Compartansusrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedesparaintercam-biaropiniones.
Actividadenparejas:Densidaddelosnúmerosracionales
Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales
Elconjuntodelosnúmerosnaturalesconlasumaylamultiplicaciónusualsatisfacenlasleyesasociativas,conmutativas,distributivasydecancelación.Sinembargo,lasoperacionesinver-sas,sustracciónydivisión,nosonsiempreposiblesenestesistemanumérico;porejemplo,larespuestadedividir3para2noestáenelconjuntodelosnaturales.Parapoderrealizarestasoperacionessinningunarestriccióndebemosextenderelsistemaconlosnaturalesnegativosylosquebrados,osea,losnúmerosenteros,ylasfracciones.Launióndeestosdosnuevoscon-juntosdaorigenalconjuntodenúmerosracionales,debidoaqueseobtienenporoperacionesracionalesdearitmética,comosustracción,adición,multiplicaciónydivisión.Esteconjuntomásampliodenúmerosseextiendealosnaturales,nosóloporelhechodecontenerlossinoquelasleyesdescritasenlosnaturalesrigenenlosracionales,exceptoladivisiónporcero.
Losnúmerosracionalesserepresentangráficamenteporpuntosenunalínearecta(rectareal).Tomandounpunto0comoelorigenyunaunidaddemedidaquellamaremos1.Lospuntoscorrespondientesalosnúmerosenterossubdividenesteejenuméricoenintervalosdelongitud1.Luego,cualquierpuntodeesteejeoesunenterooestáentredosenteros.Sisubdividimoscadaintervaloenqpartesiguales,entonceshemosconstruidounasubdivisióndelarectaenintervalosdelongitud1/qdondelosextremosdeestosintervalossondelaformap/q.Demodoque,cualquierpuntodeestarectaoesunracionaldeestaformaoestáentredosdeellos.
Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes.
ActividadPlenaria
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Elhechoesquecualquierpuntodelarectarealestátancercacomounoquieradeunracional;
estoseexpresadiciendoquelosracionalessondensosenlarectareal,loqueimplicaqueentre
dosracionalessiempreexisteninfinitospuntosdelarectareal.
Comodatoadicionalpodemosdecirqueaunquelosracionalestienenestaparticularcaracterís-
ticaantesdescrita,yadesdeépocasremotasenlossiglosVoVIa.C.losmatemáticosyfilósofos
griegosdescubrieronquehaycantidadesquenosonelcocienteentredosenteros,porejemplo,
ladiagonaldeuncuadradodelado1,queactualmentesabemosqueesraízde2.
Tomado deStewartJamesyotros,RodrigoHernándezyConstanzaSanmiguel.Introducción al cálculo.
EditorialThompson.2007.
Actividadindividual:Reflexión
Actividadplenaria
Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes.
Actividadplenaria
1. ¿Habíaescuchadoantessobreesteconceptode“densidaddelosnúmerosracionales”?
2.Mencione en qué otro contenido de las matemáticas posteriores será de utilidad
esteconcepto.
3. ComodocentedelaasignaturadeMatemáticas,¿cuálconsideraustedqueeslaimpor-
tanciadediferenciarlosnúmerosracionalesdelosenterosydelosnaturales?
1. Formengruposde4participantes.
2. Leaneltexto:“Enterosyfracciones”queseencuentraacontinuación.
3. Proponganestrategiasquepodríanusarparaexplicarestetemaasusestudiantes.
Respondalassiguientespreguntasenformaindividual:
Compartansusideasconlosdemásparticipantes:
Actividadengrupo:LasFracciones
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Esdecir,elconjuntodelosenterosestáincluidoenelconjuntodelasfracciones.
¿Quésonlasfracciones?
“Lasfraccionessonlamitadodistintacantidaddeu
nentero.Estosirve
cuandorepartesunacosa,lapartesyaparecenlasfr
acciones”.
(Jacobo)
Actividadengrupo:Fraccionesenlavidacotidiana
1. Reúnanseengruposde4docentes.
2. Resuelvanlassiguientesactividadessugeridas,parareforzarlosconceptosarribamencionados.
3. Escribansusrespuestasenunahoja,individualmente,yentréguelaalinstructor.
a. Rayen2/3enlasiguientefigura:
b. Indiquenquépartedelasiguientefiguraestárayada:
Todossabemosque3/3,16/8,15/5y8/2sonnúm
erosenteros,porquesonformas
diferentesdeescribir1,2,3y4.
Ytambiénsabemosquetodonúmeroenteropuedee
scribirseenformadefracción,así:
7=14/2=7/1=28/4=49/7=...
Esverdadquetodoslosnúmerosenterossonfraccio
nes,peronolainversa.Existen
infinitasfraccionesquenosonequivalentesanúmero
senteros,porejemplo,7/3o2/5.
Lectura: Enterosyfracciones
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¿Quésonlasfracciones?
“Soncosasquesedividenenpartesiguales”.
(Clemencia)
“Sonlaspartesquequedaniguales”. (Lucía)
SignificadodelasFracciones
c.Enlafiguraanterior¿Cuáleslarelaciónentrelapartepintadaylablanca?
d.Lacuartapartedelgrupode2do.gradosonniñas.Losniñosson24,¿Quécantidaddeestudianteshayentodoelgrupo?¿Quéporcentajedelgruposonniños?
e.Altirarundadolosposiblesresultadosson:1-2-3-4-5-6,¿Cuáleslaprobabilidaddeobtenercomoresultadounnúmeropar?
f.Sequierenrepartirochochocolatesentrecuatroniños¿Cuántoletocaacadauno?,ysisólotienencincochocolates,¿cuántoletocaacadauno?
g.Enlaferiamedancuatrodulcespor$9.¿Cuántosdulcesmedanpor$18?¿cuántodineronecesitopara28dulces?Completalatabla:
dulces
4
____
28
____
9
18
____
1836
dólares
Alcomparardoscantidadesenteraspormediodelad
ivisiónseoriginanlasfracciones,
lasmismasquenosonotracosaqueladivisiónde
lnumerador(dividendo),parael
denominador(divisor).
Sielnumeradoresunmúltiplodeldenominadorob
tendremoscomoresultadounen-
tero.
Ejemplos: 12/3=4; 42/7=6; 119/17=7; 45/9=5
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1.Leanenparejas,elsiguienteproblema:
Lafraccióncomorazón
EnlaEscuela“Francisco”haycuatrogruposdeprimeraño.Enlasección“A”haysietehombresysietemujeres;enlasección“B”,treintahombresyveinticincomujeres;enlasección“C”,veintehombresydiecinuevemujeresyenlasección“D”,dieciochohombresyquincemujeres.Alpresentarelexamendematemáticas,enlasección“A”reprobarontreshombresycuatromujeres;enlasección“B”,seishombresyseismujeres;enlasección“C”,ochohombresysietemujeresyenlasección“D”,treshombresydosmujeres.
GrupoNúmerodeestudiantes
Númerodereprobados
Partedeestudiantesreprobados
A
B
C
D
Hombres Hombres HombresMujeres Mujeres MujeresTotal Total Total
2. Concentrenlainformaciónqueserequiereenelsiguientecuadro:
Actividadenparejas:Lafraccióncomorazón
3. Contestenlassiguientespreguntas:
a. ¿Quégrupotienemásestudiantes?
b. ¿Quégrupotienemenosestudiantes?
c. ¿Enquégruporeprobaronmásestudiantes?
d. ¿Enquégruporeprobaronmenosestudiantes?
e. ¿Enquégrupoesmáselevadoelíndicedereprobación?
f. Delosgrupos“A“y“C”¿cuáltienemayoríndicedeaprobación?
g. ¿Quépartedeltotaldeestudiantesdelosgrupos“B”y“D”reprobaron?
h. Del total de estudiantes del grado, ¿cuál es el índice de aprobación de hombresymujeres?
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i. Enlasfraccionesanteriores,¿quérepresentaelnumerador?
j. ¿Quérepresentaeldenominador?
Compartansuconceptoconstruidoconlosotrosgrupos.
4. Representenencadacírculoeltotaldereprobados.
Grupo“A” Grupo“C”Grupo“B” Grupo“D”
5.¿Quéesunarazón?
6. ¿Paraquésirveconcentrarlainformacióndeunproblemaenuncuadro?
¿Quéesmás?
¿LainactividaddelChimborazodurante3/4desigl
oolasemanacionesde
materiaincandescenterealizadasdurante3/4deun
día?.
Actividadplenaria
Actividadenparejas:Ordenenlafracciones
1.Recortenlas3/5partesdeunahojadepapeltamañoA4ylas7/8partesdeotrahojadepapeldeigualtamaño.
2. Comparenlostrozosobtenidosycontesten:¿encuáldelosdoscasosseutilizamáspapel?
3. Representenenunamismarectanuméricalosnúmeros3/5y7/8.
4. ¿Cuáldeestosnúmerosseencuentraubicadoaladerechadelotro?
5. Contestenlasiguientepregunta:
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1. Expongan,suspuntosdevistaenrelaciónalosproblemasanteriores.
1. LeaelsiguienteComentariodeSamuelVillarrealSuárez.
2. Escribaunaopiniónindividualdeloleídoyentréguelaalinstructorenunahoja.
Lectura: ComentarioSamuelVillarrealSuárez
Adecirverdad,sonpocoslosestudiantesqueenlaclasedematemáticaslevantanlamanoyafirmanconmarcadapreocupación-profesor,noentiendo-.Estonodebehalagarnos,sinomásbieninquietarnos,especialmentesiestamosconscientesqueelrestodelosestudiantesnohanexternadoestapreocupa-ciónporeltemoralridículoolavergüenza,alponerenevidenciasuaparenteignoranciaobligándoloapermanecerinmóvilesperandoquealgúncompañerocuestioneporél,oensudefecto,queelprofesor,pormeracasualidad,hagaunaexposiciónaclarandosusdudassobreeltematrabajado.
Ojalácadavezseanmenoslosestudiantesquepresentenesasinterrogantesdentrodenuestrasaulas.Estogarantizaquelasclasesconsideranalmenosdoselementossustantivos:laoportunidadquelees-tamosdandoalniñoparaqueconstruyaporsímismoelconocimientomatemático,locualaseguraríaquenuestrosniñoscadaveztendríanmenosdudasrespectoaloqueestáncreandoy,elabandonodelas“exposicionesmagistrales”quepormuchotiempohancaracterizadolasprácticasdeldocente.
Pocasvecesreflexionamossobreestasituaciónpuespensamosqueunplanteamientodeestetipoespro-ductodelamismacuriosidadnaturaldelosestudiantescuandoenlamayoríadelasocasiones,estoesconsecuenciadenuestraspropiasimprecisionesalestartrabajandoconunaasignaturacuyoelementosustantivoesprecisamentelocontrario:laprecisión.Enelplanteamientoinicial,enrelacióna¿Qué es más?esclaroque,sihacemosalusiónaltiempo,evidentementeque3/4deunsigloesmuchomásqueundía,sinembargo,sinosreferimosalnumeralqueesmotivodelacomparación,entoncestendríamosunaequivalencia(3/4=3/4)yfinalmente,sialestablecerlacomparaciónenfocamosnuestraatenciónalvolumendemateriaarrojadoporelvolcán,tendríamosque3/4deundíaesmásqueelsilenciode3/4deunsiglo.Nuestrosestudiantesnoescuchanloqueestamospensandoyloserroresnosiempresonproductodesuincapacidadpararesolverlosplanteamientosquelespresentamos,sinomásbien,delasimprecisionesquehacemosalpresentarlasmatemáticas.
Actividadplenaria
Actividadindividual:¿Quéesmás?
1.RealicenlalecturaLa Noción de orden en matemáticas.
2.Contestenlaspreguntasqueestánacontinuación:
a. ¿Cuálcreenqueeslaideacentralentornoalacualgiralalectura?
b. ¿Quétrascendenciatienelanocióndeordenenlaasignatura?
c. ¿CuálessonlosprincipiosquefundamentanlanocióndeordenenMatemáticas?
d. ¿Cuálconsideranqueeselprincipiomásimportante?
e. Compartansusrespuestasconlaparejaqueestájuntoaustedesparaintercambiaropiniones.
Actividadenparejas:NocióndeordenenMatemáticas
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Lectura:LanocióndeordenenMatemáticas
Losniñosylasniñasaprendenmuyprontoadecirlosnúmerosenvozaltaydehechoadecirlosenelordencorrecto.Alprincipioúnicamentepodrándecirlosdel1al5,porejemplo,peroconformevancreciendosoncapacesderepetirsecuenciascadavezmáslargas.
¿Quiereestodecirquesabencontar?
Piagetnosdicequeestahabilidadquedesarrollanlosniñosde“repetirnúmeros”puedefácilmenteengañaralosadultosquienespiensanquesushijosoestudiantes,desdemuytempranaedadyasabencontar.Perolarealidadnoesesa, losniñospequeñosquesabendecir losnúmerosmuydifícilmenteentiendenloquesignificacontarymenosaúnloquesignificaelconceptodenúmero.
Recitar los nombres de los números en ausencia de objetos reales es una actividad sin sentido. Reci-tar los nombres de números en orden es a la matemática lo que una repetición exacta del alfabeto es a la lectura... (Evelyn Sharp, Thinking is child´s play. Ed. Dutton, Nueva York, 1986).
Asípuesesfácilcomprobarqueunniñopequeñoaúncuandopuedapronunciarlosnombresdelos números en orden correcto tienemuchas dificultades para asignarlos adecuadamente a unconjuntodeobjetosquesedeseecontar.Porejemplo,cuandoaunniñooniñade4ó5añosselepidequecuenteunacoleccióndeobjetos,esmuyposiblequecuentemásdeunavezvariosdelosobjetosyquedejesincontarotros.
Losniñospequeños,deentre4y7años,noreconocen,ynotienenporquéhacerlo,lanecesidadlógicadeordenarlosobjetosparacontarlosyporelloelresultadoesincorrecto;sinunordenade-cuado,elconteoocurrealazarynosepuedeevitarsaltaroduplicarlosnúmerosalcontar.
Finalmenteesfácilconcluirqueunrequisitoindispensableparasabercontaressaberordenar,peronoeselúnico.
“...Cuandolosniñosylasniñasempiezanacontarcosasnosólotienenquevérselasconlaactivi-dadmismadecontar,deben,además,recordarlaspalabrasnuméricas,contarcadaobjetoenunconjunto-siestáncontandounconjunto-unasolavez,yentenderqueelnúmerodeobjetosestárepresentadoporelúltimonúmeroquepronunciancuandocuentanelconjunto.Enotraspalabras,tienenqueaprenderacontaradecuadamente.
Existen tres principios para aprender a contar, pero debe añadirse aquí que sería más preciso denominar-los principios para contar un solo conjunto de objetos...
El primer principioeseldecorrespondencia biunívoca.Alcontar,debencontarsetodoslosobjetos,ycadaunodebecontarseunavezysolounavez.Sicontáramosunobjetodosveces,sinossaltára-mosunobjetoosicontáramoslosespaciosentreobjetosenelgrupo,obtendríamosunresultadototalmenteequivocado.
El segundo principioeseldeorden constante.Cadavezquecontamosdebemospronunciarpalabrasnuméricasenelmismoorden.Sicambiáramoselordendelosnúmeros(1,2,3,4,5,6,enunaocasión,1,3,6,5,4,2enotra),obtendríamosunnúmerototaldistintocadavezquecontáramoselmismoconjuntodeobjetos.
El tercer principioparacontarserelacionaconlamaneradedecidirlacantidadrealdeobjetosenelconjuntoqueseestácontando,esdecir,cómosabersieltotaldeobjetoscorrespondealaúltimapalabranuméricapronunciadaalcontar...”
ActividadplenariaExpongansutrabajoalosdemásparticipantes.
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(TomadodeTerezinhaNunesyPeterBryant,Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño.Ed.sigloXXI.México,1997.pp.36-37).
Hoyendíasonvarioslospedagogosylosmatemáticosqueapuntanlanecesidadderealizarac-tividadesquepermitanalosniñosaprenderaordenaryaentenderelconceptodeordenytodoscoincidenenqueesindispensablequeestasactividadessepropongannosóloenlosprimerosañossinoalolargodetodalaEducaciónGeneralBásicaydeserposibletambiénenlasecundaria.Conformeseavanceenelgradodedificultaddeestasactividades,lanociónde ordenseirácon-solidandoylosestudiantesiránentendiendoqueeste concepto es indispensable no sólo para contar sino para entender casi cualquier concepto de matemáticas.
Tomado y adaptado de Redescolar. La noción de orden en las matemáticas.http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/matecl1.htmFechadeacceso16-11-2009.
Respondaalasiguientespreguntas:
1. Formengruposde3docentes.
2. Resuelvanlossiguientesproblemassobreelordendelosracionalespositivos:
Asícomoresultaútilordenarlosnúmerosenteros,esconvenientedeterminarunordenenelconjuntodelosnúmerosracionalespositivos.Imagina,porejemplo,quetúhasleídolas4/5partesdeunlibroyunodetuscompañerosleyólas2/3partesdelmismolibro.Parasaberquiénhaleídomás,necesitassabercuáldelosnúmerosesmayor(4/5ó2/3).
1. ¿Habíaescuchadoantessobreesteconceptode“nocióndeordenenlasmatemáticas”?
2.Mencioneenquéotroscontenidosposterioresdelasmatemáticasserádeutilidadesteconcepto.
3. ¿Cómoasociaríaustedla“nocióndeorden”conlosvaloreshumanos?
4. Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.
Actividadindividual:Reflexiónnocióndelorden
Actividadengrupo:Racionalespositivos
Expongasusreflexionesalosdemásparticipantes.
Actividadplenaria
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Recordemosqueelnúmeroa/besmenorqueelnúmeroc/dsi,enlarectanumérica,elpuntoquerepresentaa/bestáalaizquierdadelpuntoquerepresentaalnúmeroc/d.Enestecasoescribiremosa/b<c/d.
a. Ayudadosconlarectanuméricadeterminencuáldelosnúmeroseselmenor:4/5ó2/3.
b. Imaginenahoraquedos fraccionarios tienenelmismodenominador.Cuando losrepresentamos sobre la recta numérica, el que tenga elmenor numerador estaráubicadoalaizquierda(y,portanto,serámenor).Porejemplo,5/4esmenorque7/4.Sidosfraccionariostienenelmismodenominador,elmenordeelloseseldemenornumerador.
3. Preparen,engrupo,cómoharíanparaexplicarasusestudianteseltemaanterior,Orden en los Racionales Positivos.Escribanlospasosqueseguiránparadesarrollarlaclase.
a. PetitayEduardopracticanciclismoenelParqueLaCarolinaydespuésde20minutosderecorridoPetitaharecorridolas7/12partesdelcaminoyRobertolas6/11partes.¿Quiénvaganandolacarrera?
b. LasempresasRefrescosS.A.yJugosCía.Ltda.producenbebidasquevendenalmismoprecio.SicadabotellaproducidaporRefrescosS.A.contienen4/5delitrodeproductoycadabotellaproducidaporJugosCía.Ltda.contiene8/10delitro.¿Cuáleselrefrescomáseconómico?
c. Inventeyresuelvaunproblemacuyasoluciónrequieradeterminarcuáldelosfraccionarios3/7y5/9eselmayor.
d. Ordenedemenoramayorlassiguientesfracciones:3/25;7/11;9/16y14/101.
e. Delasiguientelista,encuentretodoslosracionalespositivosmayoresque1/3yademásmenoresque6/5:3/4,2/5,9/3,5/8,4/6,3/7,2/4,26/100,78/92,14/31,12/7,15/9,11/63,1/4,15/152,4/23.
Comparaciónentredosfracciones
1. Engruposdetres,yutilizandolaspiezasdelasplantillasdefracciones,comparelasfrac-ciones1/2y1/3yverifiquecuáldeellasesmayor.Observequemientrasmásgrandeeselvalordeldenominadormenoresunafracción.
1/2>1/3
2. Delamismaforma,acomodandolaspiezassobrelasplantillasdefracciones,comparediciendocuálfracciónesmayor:
1/3 y1/4 5/6 y7/9 3/8 y1/2 6/7 y4/5
Actividadengrupo:Comparaciónentre2fracciones
Deber:Practicandoconfracciones
Actividadplenaria
Expongansutrabajoalosdemásparticipantes.
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1.Resuelvanlossiguientesproblemas:
Endosfraccionesequivalentes,simultiplicamoselnumeradordelaprimerafracciónporeldenominadordelasegundafracción,elproductodebeserigual,alproductodeldeno-minadordelaprimerafracciónporelnumeradordelasegundafracción.
Esterecursotambiénnossirveparareconocersiunafracciónesmenor,igualomayorqueotra;loquedependedequeelprimerproductoseamenor,igualomayorqueelsegundo.
Ejemplos:
3/8 esiguala 15/40 porque3x40esiguala 8x15
7/11 esmayorque 8/13 porque7x13esmayorque 11x8
5/8 esmenorque 9/14 porque5x14esmenorque 8x9
Recordemos también las propiedades de los quebrados:
• Devariosquebradosquetienenigualdenominadoresmayorelquetienemayornu-merador.
• Devariosquebradosquetienenigualnumeradoresmenorelquetienemayordeno-minador.
Siaunacantidadlefaltamenosqueaotra,parallegaraunamismacantidad,laprimeraesmayorquelasegunda.
Siaunapersonalefaltan$20parallegara$100,esporquetiene$80;siaunasegun-dapersonalefalta$40parallegara$100,esporquetiene$60.Entonceslaprimerapersonatienemásquelasegunda,puestoqueaquellatiene$80ylasegundasolamente$60.Notemosquealaprimeralefaltabamenosquealasegunda,parallegara$100.
Igualcosaocurresicomparamos19/21con23/25,alprimerolefaltan2/21,yalsegun-do2/25;entoncesalprimerole falta másquealsegundo,porlotantoes menorqueelsegundo.Observemosque2/21esmayorque2/25,porque“devariosquebradosquetienenigualnumeradormayoreselquetienemenordenominador”.
ElbuquedeguerraBovercraft,delaMarinadeEstadosUnidos,avanzaunavelocidadde919/10nudos.EldestructormásrápidoeselfrancésLeTerriblequeenelañode1935al-canzóunavelocidadde181/40nudos.¿Cuáldelasdosembarcacionesalcanzólamayorvelocidad?
(InformacióntomadadeNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemática en construcción 7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002)
2. Leanelsiguientetexto:
3. Proponganestrategiasquepodríanusarparaexplicarlesloanteriorasusestudiantes.
Actividadenparejas:Embarcacionesveloces
Actividadplenaria
Expongansutrabajotalcomoharíaparaexplicarlesloanteriorasusestudiantes.
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Reducciones: amplificación,simplificación3
SESIÓN3 Duración:2horas
• Hallarlarelaciónqueexisteentrelosenterospositivosylosnúmerosracionalespositivos.
• Encontrar fraccionesequivalentesaunnú-merofraccionariodado.
• Descubrirelconceptodefraccionesirreduc-tibles.
• Reconocerlaimportanciadeutilizardemos-traciones con los estudiantes en las clasesdematemáticas.
• Fraccionesequivalentes.
• Amplificaciónysimplificacióndefracciones.
• Fracciónirreducible.
Objetivos Contenidos
Actividadengrupo:Fraccionesequivalentes
FraccionesEquivalentes
1. Formengruposdetresdocentes.
2. Contestenlassiguientespreguntasyanoten,individualmente,lasrespuestasalosítems2y4enunahoja:
a. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformarunaunidad?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?
b. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformar2unidades?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?
c. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformar3unidades?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?
Haciendo las demostraciones con las plantillas de Fracciones y mostrando la escritura de 8/8, 6/6 y 3/3 note que siempre que el numerador es igual que el denominador estamos hablando de la unidad.
d. ¿Cuántoscuartosnecesitoparaformar1/2?
e. ¿Concuántosoctavosseformarán3/6?
f. ¿Concuántosoctavosseformarán3/4?
3. Leanelsiguientetexto:
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Actividadenparejas:Amplificaciónysimplificacióndefracciones
1.Leaneltexto:“Amplificaciónysimplificacióndefracciones”.
2.Escribanenunahojalosmétodosqueustedesconocenparaamplificarysimplificarfracciones.Amplificaciónysimplificacióndefracciones
Los fraccionariosequivalentes representan lamismacantidad,esdecirqueparaexpresarunnúmerofraccionarioa/bpodemosutilizarcualquieradesusfraccionesequivalentes.
Asíporejemplo,paraexpresarenmetroslaalturadeunedificiode3pisospodemosutilizar45/10,90/20,135/30,ócualquierotrafracciónequivalenteaéstas.
Observaqueesposibleobtenerelfraccionario90/20apartirde45/10,multiplicandoelnume-radoryeldenominadorde45/10por2/2.
Enestecasodecimosquehemosamplificadoelnúmeroracionalpositivo45/10X2/2,loqueequivaleamultiplicarpor1alafracción.
Si multiplicamos o dividimos ambos términos de
la fracción por un mismo número el valor de la
fracciónnosealtera.
Dosfraccionessonequivalentessiladivisiónentreambasequivaleaunafracciónaparente(unaunidad),esdecir,si la multiplicación del denominador de la primera por el numerador de la se-gunda es igual a la multiplicación del numerador de la primera por el denominador de la segunda.
Porejemplo:
4.Enrelaciónasusrespuestasanteriores,contesten:a. ¿Quéestrategiasusaronparacontestarlaspreguntas?
b. ¿Enquérespuestasacertaron?
c. ¿Encuálesnoacertaron?
5. Compruebenconelusodelasplantillasdefraccioneslosiguiente:
a. 2/3y4/6sonequivalentesporque3x4=12y2x6=12.
b. 2/4y4/8sonequivalentesporque4x4=16y2x8=16.
c. 4/8y2/3nosonequivalentesporque8x2=16y4x3=12;16noesiguala12.
6. Demuestrenmediante la Plantilla de Fracciones ymediante la escrituramatemática si lassiguientesfraccionessonequivalentes:
a. 1/2y4/8
b. 3/6y2/4
c. 2/2y4/4
7. Entreguen,individualmente,sushojasconlasrespuestasalinstructor.
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Actividadplenaria
Actividadindividual:Fracciónirreducible
Compartaconlosdemásparticipantes:
a.Sumétodoparalaamplificaciónysimplificacióndefracciones,utilizandolasplantillasdefracciones.
b.Lasestrategiasqueusaríaparaexplicarestetemaasusestudiantes.
1. Utilizando lasplantillasde fracciones, responda¿cómo reconocecuándouna fracciónesirreducible?
2. Leaeltexto:“fracciónirreducible”ycompáreloconsurespuestaanterior.
3. Responda,¿quésimilitudesencontróentrelasideasdeltextoylassuyas?
4. Escribaesassimilitudesenunahojayentréguelasalinstructor.
Ejemplo:
9/15=3/5;hemosdivididoambostérminosdelafracciónpor3.
Aldividirambostérminosdeunafracciónporunmismonúmerosedicequehemossimplificadolafracción.
Simultiplicamosambostérminosporunmismonúmerosedicequehemosamplificadolafracción;
Enelejemploanterior,¿simplificamosoamplificamoslafracción?Siamplificamososimplificamosunafracción,encontramosotrafracciónquetieneelmismo valor quelaprimera,porestarazónsellaman fracciones equivalentes.
2/9=14/63=18/81
Lasmatemáticasnosenseñanquedebemosserobservadores,quelasoperacionesserealizanporunarazón,yquedebenjustificarse.Observeconatenciónlassiguientesfraccionesequivalentes:
1/2=4/8=7/14=11/22; 1/3=2/6=4/12=7/21
En el primer grupotodaslasfraccionessonigualesaunmedio,esdecir,alamitad,observequeelnumeradoressiemprelamitaddeldenominador,oloqueeslomismo,eldenominadoreseldobledelnumerador.
En el segundo grupotodaslasfraccionessonigualesauntercio,porloqueelnumeradoressiemprelatercerapartedeldenominador,oloqueeslomismo,eldenominadoreseltripledelnumerador.
Fracciónirreducible
Sia/besunnúmerofraccionariopositivoyelmáximocomúndivisorentreaybes1,noespo-sibleencontrarunaexpresiónmássencillaparaa/b.Decimosquea/besirreducible.
Cuandoyanopodemossimplificarlafracciónesporqueelnumeradorydenominadordelafracciónson primos entre sí,puestoqueentreelloselmáximocomúndivisor,eslaunidad,en-toncestenemosunafracción irreducible,enelejemploanterior3/5esunafracciónirreducible,porquenoselapuedesimplificar,elmáximocomúndivisorentreelloses1.
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Actividadenparejas:Propiedadesdelasfraccionesequivalentes
Actividadplenaria
Actividadengrupo:Ejercicios
1. Leanlassiguientesaseveracionesquesepuedenrealizarconfraccionesequivalentes:
Si a = cb d entonces podemos afirmar que =a+b
bc+dd ; y también que =a-b c-d
b d
Tambiénpodemoscomprobarquesi= = = =ka
bef
cd
gh ,entonces
a+c-e+gb+d-f+h
=k
2. Encuentrenustedeselporquédeestasaseveraciones.
Observequeexistennúmerosracionalespositivosqu
esonequivalentesanúmeros
enterospositivos.Enrealidadcadaenteropositivoes
unnúmeroracionalpositivo.
Enotraspalabras,elconjuntodelosnúmerosentero
spositivosesunsubconjunto
delosnúmerosracionalespositivos.
5. Expresecomounfraccionarioirreduciblelossiguientesracionalespositivosyescríbalostam-biénenlahojaqueentregaráalinstructor
a.24/32
b.150/30
Compartanconlosdemásparticipanteslodesarrolladoenlaactividadanterior.
1.Reúnanseengruposdetresparticipantes.
2. Aplicandolosprincipiosantesdemostradosresuelvanlossiguientesproblemas:
a.Encuentrelosdosquintosde30.
b.Despuésdegastarse lossieteonceavosdesudinero,Gabrielsehaquedadocon$12.¿CuántodineroteníaGabrielalprincipio?
c.Dosnúmerosestánenrelaciónde3a5;sielmayores75,¿cuáleselmenor?
d.Lasumadedosnúmeroses105,silarelacióndelosnúmerosesde7a8,encuentrelosnúmeros.
e.Unnúmeroeslosochoonceavosdeotro,siladiferenciadelosnúmeroses27,¿cuálessonlosnúmeros?
f.Expresecomounfraccionarioirreducibleelsiguienteracionalpositivo:150/30.
3.Cadaintegrantedelgrupodebeentregaralinstructorsutrabajoindividualmente.
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1. Investiguecuáleselaportemásimportantealaenseñanzadelasmatemáticasdelossiguien-tesautores:GeorgePólya,MiguelDeGuzmán,JuanGarcíaCruz.
2. Traigacalculadoraparalapróximasesión.
Deberindividual
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Reducciones: forma decimal de los números racionales y decimales que se pueden expresar comoracionales
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SESIÓN4 Duración:2horas
• Descubrir la importancia de enseñar a losestudiantesacrearestrategiasantesdeso-lucionarunproblema.
• Valorar el uso del aprendizaje basado enproblemas para desarrollar habilidadescognitivas.
• Reflexionar sobre el uso de “casos” comootraformadepresentarunproblemaalosestudiantes.
• Comprender cuándo puede utilizarse unacalculadoracomorecursoenclases.
• Representar un racional pormedio de ex-presionesdecimales.
• Formadecimaldelosnúmerosracionales.
• Losdecimalesensituacionesdemedición.
• Fraccionesdecimales.
• Los números racionales y el enfoque dela enseñanza de lasmatemáticas en Edu-caciónGeneralBásica.
• Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzapor resolucióndeproblemas.LaheurísticaProblemSolving.
• ¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpre-sarsecomofracción?
Objetivos Contenidos
Actividadengrupo:Formadecimaldelosnúmerosracionales
1.Formengruposdetresintegrantes,yrealicenlassiguientesactividadesutilizandocalculadora:
a.¿Quénúmeromultiplicadopor0.5seencuentraentreel0.5y0.51?
b.¿Cuántosnúmerospuedencontestarcorrectamenteaestapregunta?
c.Sinutilizarlafunciónraízcuadrada,encuentrenlamedidamásaproximadaquequedadelladodeuncuadradocuyasuperficieesde11cm2.
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d. Utilizandounacalculadorarepresenten3/8enformadecimal,dividiendo3para8.Larespuestaserá0.375.
e. Representen1/4enformadecimal,dividiendo1para4.Larespuestaserá0.25.
f. Dividanahora7para10.
g. Respondan:¿quétienenencomúnestosdecimales?
h. Hastaahorahemosestudiadolosnúmerosracionalesenformadecocientesdeenteros.Losnúmerosracionalestambiénsepuedenexpresarcomodecimales.
i. Utilizandounacalculadorarepresenten4/11enformadecimal,dividiendo4para11.
Aunqueaquíhemosdistinguidoentredecimalesque terminanydecimalesqueserepiten,algunosmatemáticosprefierenconsiderartodoslosnúmerosracionalescomodecimalesqueserepiten.
j. ¿Cómojustificaustedestaafirmación?
k. ¿Cuándolesparecequeesbeneficiosoycuándoperjudicialpermitirelusodelacalcula-doraenelaula?
Actividadenparejas:Usandoelgraduador
1. Reúnanseparejasyrealicenlosiguiente:
a.Enelgraduadorcircularmarqueunagraduacióndel0al100,enquelos90ºequiva-lena25unidades,180ºa50,270ºa75y360ºa100unidades.
b.Notenquetomandolacircunferenciacomounidadsepuedefraccionaren100/100(ciencentésimas),queequivalena1.00.
c.Tomandocomoejemplo1/2decircunferenciaobservenque1/2equivalea50/100yestoasuvezequivalea0.50.
2.Observenahoraque:
1/2esiguala0.5yseleecincodécimas.
Que1/2esigualque0.50yseleecincuentacentécimas.
3. Concluyanqueporlaposicióndel5sepodríanleer5décimasyporlaposicióndel50queestáocupando2lugaresselee50centésimasyasísucesivamentesepodríaaumentarotroceroyleer500milésimas;siendotodasestasfraccionesequivalentes.
Loúnicoquenosindicanconelnúmerodecifrasescritaseseldenominadorqueestamosusando,recordandoqueeldenominadornosindicaencuántaspartesestamosfraccionan-doelentero,entonces:0.50nosindicaqueestamosfraccionandoalenteroencentésimasyqueestamostomando50partesdedichascentésimas.
Podemosdecirentoncesquenotodoslosnúmerosracionalespuedenrepresentarsepormediodedecimalesterminales.
Actividadplenaria
Discutaconlosdemásparticipantesacercadelusodelacalculadoraenelaula.
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4.Manejandolasfraccionescircularessobreelgraduadordivididodel1al100digancuáleslafracciónequivalenteconpuntodecimaltomandolecturadelaspropiasplantillas:
a.5/6=
b.5/8=
c.3/4=
d.2/3=
e.1/8=
f.1/4=
5. Escribaindividualmenteestosresultadosenunahojayentréguelaalinstructor.
Actividadengrupo:Losdecimalesensituacionesdemedición
1. Formengruposde4personas.
2.Midanlasrectasqueaparecenenlasiguientepágina,utilizandoprocedimientosnocon-vencionales(sinutilizarunareglaoescuadragraduadaysindoblarelpapel).
3. Enequipo,ordenenlasrectasdemenoramayorconsiderandosulongitud.
4. Registrenycomparensusresultadosconlosdelosotrosgrupos.
5. Analicenycomentenenrelaciónalprocedimientoutilizadoporlosdiferentesgrupos.
6. Verifiquenlosresultadosutilizandola“tiraunidad”queapareceráacontinuación.
7. Utilizandocomobasela“tiraunidad”midancadaunadelasrectas.
8. Representenconnúmerosdecimaleslamedidadecadarectayconcentrenlainformaciónenelcuadroqueapareceacontinuación.
9. Elcontenidodelcuadroylasconclusionesdelgrupo,entréguenlasalinstructorescritasenunahoja.
Concentracióndelainformación
Grupo
Tira
Grupo1 Grupo2 Grupo3 Grupo4 Grupo5
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Orden Orden Orden Orden OrdenMedida Medida Medida Medida Medida
Actividadplenaria
Compartanconlosdemásparticipanteslodesarrolladoenlaactividadanterior.
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Actividadindividual:Fraccionesdecimales
1.Leaeltextodelrecuadroescritoacontinuaciónquerefuerzalorealizadoenlaactividadanterior.
2.Muestreasuscompañeros¿Cómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes?
Unnúmeroracionalpositivoesunafraccióndeci-
malsisudenominadoresunapotenciade10.
3. Escribacomounnúmerodecimallassiguientesfraccionesdecimales.
a. 3215/1000=3000/1000+200/1000+10/1000+5/1000
=3+2/10+1/100+5/1000
=3,215
b. 25/4
25/4esequivalentea625/100
625/100 =600/100+20/100+5/100
=6+2/10+5/100
=6,25
Actividadenparejas:LosnúmerosracionalesyelenfoquedelaenseñanzadelasmatemáticasenlaEducaciónGeneralBásica
¿Cuántohilohabíaenuncarretesiprimerosequitalamitaddelhilo,despuéslamitaddeloquequeda,luegosetomanuevamentelamitaddelrestoy,finalmente,los2/5deloquequeda,equivalena0,30m.dehilo?
1. Diseñenindividualmenteunaestrategiadesoluciónalproblemaanterior.
2. Reúnanseporparejasycomentenalinteriorlaestrategiaquediseñaronpararesolverelpro-blema.
3. Describansuestrategiaenunahoja.
4. ¿Cuálestrategiacontienemásclaridadyprecisióndetalmaneraquepermitellegaralresul-tadocorrectoconmayorrapidez?
5. ¿Quérelaciónexisteentrelasactividadesrealizadasanteriormenteyelenfoquedelaense-ñanzadelasmatemáticasenlaescuelaprimaria?
6.Exponganenlaplenarialaestrategiaconrespectoalafuncióndelosproblemasenelaula.
Actividadplenaria
Actividadplenaria
Compartanconlosdemásparticipantescómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes.
Compartanconlosdemásparticipanteslaestrategiaqueutilizaronpararesolverelproblema.
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Continuamentenosenfrentamosconunaseriedegr
andesoportunidades
brillantementedisfrazadasdeproblemasinsolubles.
(JohnW.Gardner)
Actividadindividual:Reflexión
Tomandoencuentaloqueescuchóenlaactividadplenariaconteste:
1. ¿Cuálde lasestrategiascontienemásclaridadyprecisiónypermite llegaralresultadocorrectoconmayorrapidez?
2. ¿Quérelaciónexisteentrelasactividadesrealizadasanteriormenteyelenfoquedelaen-señanzadelasmatemáticasenlaeducacióngeneralbásica?
3. Expongasupuntodevistaconrespectoalafuncióndelosproblemasenelaula.
4. ¿Paraquésirveplantearseunaestrategiaantesderesolverunproblemaycómopodríaestoayudarasusestudiantes?
5. Escríbaloenunahojayentréguelaalinstructor.
Actividadenparejas:“Laheurísticaproblemsolving”
Realicen la lectura “Método Participativo de enseñanza por resolución de problemas” (LaHeurísticaProblemSolving).(Abarca,SadithP.)yluegocontesten:
a. ¿Cuáleslaideacentraldelalectura?
b. ¿Quétrascendenciacreenustedesquetieneelaprendizajebasadoenproblemasenlaasignatura?
c. ¿Cuáles son losprincipiospedagógicosen losquese fundamentaelABP (AprendizajeBasadoenProblemas).
d.¿Cuálconsideranustedesqueeselmásimportante?
e.¿CuálessonlasventajasparaelestudianteyeldocentedeltrabajoenABP?
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Actividadindividual:Enseñanzaporresolucióndeproblemas
Escribasuopiniónsobrelalectura:MétodoParticipativodeEnseñanzaporResolucióndeProble-mas“LaHeurísticaProblemSolving”enunahojayentréguelaalinstructor.
f.¿QuéactitudesyvaloreshumanosconsideraqueestánasociadosalAprendizaje Basado en Problemas?
g.Compartanlasrespuestasanterioresconotraparejadelcurso,paraintercambiaropiniones.
Actividadplenaria
Expongasusrespuestasacadaunadelaspreguntas,delaactividadenparejas,comounaex-posicióndesusconclusionesenformaoral.
Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzaporresolucióndeproblemas“LaHeurísticaProblemSolvin” (Abarca,SadithP.)
El consejo nacional de docentes dematemáticas (National Council of Teachers of MathematicNCTM),propusoparaladécadadelos80laresolucióndeproblemascomoesloganeducativodelamatemáticaescolar;en la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.
Laenseñanzaporresolucióndeproblemasteníaporobjetoelestudiodelasreglasydelosmétodosdedescubrimientoydelainvención.Laheurísticamoderna,inauguradaporGeorgePolyaconlapublicacióndesuobra“Cómoresolverlo”(Howtosolveit),tratadecomprenderelmétodoquecon-ducealasolucióndeproblemas,enparticularlasoperacionestípicamenteútilesenesteproceso.
MigueldeGuzmánpartiendodelaideasdeGeorgePólya,Mason,BurtonyStaceyen1988ydelostrabajosdeSchoenfeld,haelaboradounmodeloparaeltrabajoenclaseconproblemas,dondeseincluyentantolasdecisionesejecutivasydecontrolcomolasheurísticas.Lafinalidaddetalmodeloesquelapersonaexamineyremodelesuspropiosmétodosdepensamientodeformasistemáticaafindeeliminarobstáculosydellegaraestablecerhábitosmentaleseficaces,enotraspalabrasloquePólyadenominócomopensamientoproductivo.
Enlaresolucióndeproblemashayoperacionesmentalestípicamenteútilescomolaheurísticaqueescomoreglasomodosdecomportamientoquefavoreceneléxitoenelprocesoderesolución,sugerenciasgeneralesqueayudanalindividuoogrupoacomprendermejorelproblemayahacerprogresoshaciasusolución.
Laenseñanzaporresolucióndeproblemasponeelénfasisenlosprocesosdepensamiento,enlosprocesosdeaprendizajey tomaloscontenidosmatemáticos,cuyovalornosedebeenabsolutodejaraunlado,comocampodeoperacionesprivilegiadoparalatareadehacerseconformadepensamientoseficaces.
LaenseñanzapararesolverproblemastienealmenostresinterpretacionessegúnGarcíaCruz,JuanA.,(2001):
1. Proponeralosestudiantesmásproblemas.2. Emplearaplicacionesdelosproblemasalavidadiariayalasciencias.3. Proponernosóloejerciciossinotambiénproblemasgenuinosquepromuevanlabúsqueda,lainvestigaciónporpartedelosestudiantes.
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• Elcontextodelproblema,lasituaciónenlacualseenmarcaelproblemamismo.• Laformulacióndelproblema,definiciónexplicitadelatareaarealizar.• Elconjuntodesolucionesquepuedenconsiderarsecomoaceptablesparaelproblema.• Elmétododeaproximaciónquepodríausarseparaalcanzarlasolución.
Loquesepersigueenelfondoconestemétodoestransmitirenloposibledeunamanerasistemá-ticalosprocesosdepensamientoeficacesenlaresolucióndeverdaderosproblemas.
Haexistidounaciertapolémicasobreladiferenciaquehayentreunejercicioyunauténticoproble-ma.Loqueparaalgunosesunproblemaporfaltadeconocimientosespecíficossobreeldominiodemétodosoalgoritmosdesolución,paralosquesílostienenesunejercicio.
SegúnelplanteamientodeR.Borasi(1986)enunodesusprimerosintentosenclarificarlanocióndeproblemaoriginadaporsuinterésenmejorarlaenseñanzadelaresolucióndeproblemas,uti-lizalossiguienteselementosestructuralesparaunatipologíadeproblemas:
Tenerunproblemasignificabuscardeformaconcienteunaacciónapropiadaparalograrunob-jetivoclaramenteconcebidoperonoalcanzabledeformainmediata.(Pólya,enGarcíaCruz,JuanA.2001).
OtradefiniciónparecidaaladePólyaesladeKrulikyRudnik,(1980)paraellosunproblemaesunasituación,cuantitativaodeotraclase,alaqueseenfrentaunindividuooungrupo,quere-quieresoluciónyparalacualnosevislumbraunmedioocaminoaparenteyobvioqueconduzcaalamisma.
SegúnJuanGarcíaCruz,unproblemadebesatisfacerlostresrequisitossiguientes:
SegúnelMinisteriodeEducacióndeMéxico:resolverproblemasimplicaencontraruncaminoquenoseconocedeantemano,esdecirunaestrategiaparaencontrarunasolución.Paraellosere-quiereconocimientospreviosycapacidades.Atravésdeellomuchasvecesseconstruyennuevosconocimientosmatemáticos.
Apartirdelaresolucióndeproblemas,secreanambientesdeaprendizajequepermitenlaforma-cióndesujetosautónomos,críticos,ademásadquierenformasdepensar,hábitosdeperseverancia,curiosidadyconfianzaensituacionesnofamiliaresquelessirvanfueradelaclase.
ElconceptoqueplanteaMiguelGuzmán(1991)sobrelosverdaderos problemasenmatemáticas:
¿Quéesunproblema?
1. Aceptación:Elindividuoogrupodebeaceptarelproblema,debeexistiruncompromisofor-mal,quepuedeserdebidoamotivacionestantoexternascomointernas.
2. Bloqueo:Losintentosinicialesnodanfruto,lastécnicashabitualesdeabordarelproblemanofuncionan.
3. Exploración:Elcompromisopersonalodelgrupofuerzalaexploracióndenuevosmétodosparaatacarelproblema.
Unproblemamatemáticoescuandomeencuentroe
nunasituacióndesdelaquequierolle-
garaotra,unasvecesbienconocida,otrasuntantoc
onfusamenteperfiladas,ynoconozco
elcaminoquemepuedellevardeunaaotrasituació
n.
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Laenseñanzapor resolucióndeproblemasponeénfasisenconsiderarcomo lomásimportantelosiguiente:
• Queelestudiantemanipulelosobjetosmatemáticos.
• Queactivesupropiacapacidadmental.
• Queejercitesucreatividad.
• Quereflexionesobresupropioprocesodepensamientoafindemejorarloconcientemente.
• Que,de serposible,haga transferenciasdeestasactividadesaotrosaspectosdesu trabajomental.
• Queadquieraconfianzaensímismo.
• Quesediviertaconsupropiaactividadmental.
• Queseprepareasímismoparaotrosproblemasdelacienciay,posiblemente,desuvidacotidiana.
• Queseprepareparalosnuevosretosdelatecnologíaydelaciencia.
• Eslomejorquepodemosproporcionaranuestrosjóvenes:capacidadautónomapararesol-versuspropiosproblemas.
• Elmundoevolucionamuyrápidamente:losprocesosefectivosdeadaptaciónaloscambiosdenuestracienciaydenuestraculturanosehacenobsoletos.
• Eltrabajosepuedehaceratrayente,divertido,satisfactorio,autorrealizadorycreativo.
• Muchosdeloshábitosqueasíseconsolidantienenunvaloruniversal,nolimitadoalmundodelasmatemáticas.
• Esaplicableatodaslasedades.
Lasventajasdeestetipodeenseñanza
Sunovedad
Estáenlaformadepresentacióndeuntemamatemáticobasadaenelespíritudelaresolucióndeproblemas.Procedimientoquedebeseguirseenestemétodo:
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• Proporcionalaposibilidaddeungranenriquecimientoalpermitirnospercibirlasdistintasfor-masdeafrontarunamismasituación–problema.
• Sepuedeaplicarelmétododesdediferentesperspectivas,unasvecesenelpapeldemoderadordelgrupoyotraseneldeobservadordesudinámica.
• Elgrupoproporcionaapoyoyestimuloenunalabor,quedeotramanerapuederesultardura,porsucomplejidadyporlaconstanciaquerequiere.
• Eltrabajoconotrosnosdalaposibilidaddecontrastarlosprogresosqueelmétodoescapazdeproducirenunomismoyenotros.
•Propuestadelasituaciónproblemadelaquesurgeeltema(basadaenlahistoria,aplicaciones,modelos,juegos...).
• Manipulaciónautónomadelproblemadematemáticaporlosestudiantes.
• Familiarizaciónconlasituaciónysusdificultades.
• Elaboracióndeestrategiasposiblesparalaresolucióndelproblemamatemático.
• Ensayosdiversosparalaresolucióndeproblemasmatemáticosporlosestudiantes.
• Herramientaselaboradosalolargodelahistoria(contenidosdeltemamatemático,motivados).
• Eleccióndeestrategias.
• Ataqueyresolucióndelosproblemas.
• Recorridocriticodeloresueltodelproblemamatemático(reflexiónsobreelproceso).
• Afianzamientoformalizado(siconviene).
•Generalización.
•Nuevosproblemas.
•Posiblestransferenciasderesultados,demétodos,deideas.
Entodoelprocesoelejeprincipalhadeserlapropiaactividaddirigidaconeltinoporelprofesor,colocandoalestudianteensituacióndeparticipar,sinaniquilarelplacerdeirdescubriendoporsímismoloquelosgrandesmatemáticoshanlogradocontantoesfuerzo.
Setratadearmonizaradecuadamentelosdoscomponentesquelointegran:
•Elcomponenteheurísticoesdecir,laatenciónalosprocesosdepensamiento.•Loscontenidosespecíficosdelpensamientomatemático.
Miguel De Guzmánenunciaalgunaslíneasdetrabajosobrelapreparaciónnecesariaparalaense-ñanzadelamatemáticaatravésdelaresolucióndeproblemas:
• Primerorequieredeunainmersiónpersonal,seriayprofundaparaadquirirnuevasactitudesquecalenysevivanprofundamente.
• Elmétododeenseñanzaporresolucióndeproblemas,serealizamásefectivamentemediantelaformacióndepequeñosgruposdetrabajo.
Eltrabajoengrupoenestetematieneunaseriedeventajasimportantes
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• El trabajoengrupoproporciona laposibilidaddeprepararsemejorparaayudaranuestrosestudiantesenunalaborsemejanteconmayorconocimientodelosresortesquefuncionanendiferentescircunstanciasypersonas.
Algunosdelosaspectosqueesprecisoatenderenlaprácticainicialadecuadadeestemétodosonlossiguientes:
• Exploracióndelosdiferentesbloqueosqueactúanencadaunodenosotros,losdocentes,afindeconseguirunaactitudsanayagradablefrentealatareaderesolucióndeproblemas.
• Prácticadelosdiferentesmétodosytécnicasconcretasdedesbloqueo.
• Explorarlasaptitudesydefectospropiosmáscaracterísticos,conlaelaboracióndeunaespeciedeautorretratoheurístico.
• Ejerciciosdediferentesmétodosyalternativas.
• Prácticasometidaderesolucióndeproblemasconlaelaboracióndesusprotocolosysuanálisisenprofundidad.
TomadodeAbarca,SadithP.Métodoparticipativodeenseñanzaporresolucióndeproblemas“LaHeurística.Pro-blem solving”. http://www.utchvirtual.net/recursos_didacticos/documentos/matematicas/metodo-matematicas.pdfFechadeacceso5-11-2009.
Actividadindividual:reflexión
1. ¿Habíaescuchadoantesacercadelaaplicacióndeesteconceptodeaprendizajebasadoenproblemasenlasmatemáticas?
2.Mencioneenquéotrocontenidodelasmatemáticas,queustedconozca,puedeserledeutilidadesteconcepto.
Actividadindividual:enelsalóndeclase(Autor:SamuelVillareal)
1. Realicelasiguientelectura.
Actividadplenaria
Compartansusideasconlosdemásparticipantes.
¿Es1/3=3/10?
Aracelisedirigióasudocentede6ºgradoparapedirleunaexplicaciónsobreporquéeraincorrectalaequivalenciaquehabíapresentadoensutareayseñaló:“Si al convertir 1/3 a decimal obtuve como resultado 0.3 y, 0.3 es igual a 3/10 entonces 1/3 es igual a 3/10 ¿En dónde está mi error?”.
Mario,quienescuchabamuyatentolaconversaciónsobreeltemadefraccionesaprovechólaoportunidadypreguntó:“maestra, usted nos dijo que los números que tienen enteros y deci-males como el 3.5 los podemos representar como fracción mixta, y escribió en el pizarrón 3.5 = 3 5/10 = 3 1/2, entonces ¿cómo podemos representar el número “π“ como fracción mixta si usted nos dijo que ese número tiene muchísimos decimales?”.
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Lectura:Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción
Siunnúmeroracionalpodráserrepresentadoporundecimalterminaloporundecimalqueserepite¿quéhaydelprocesoinverso?Estoes,¿Acasoundecimalterminaloundecimalqueserepitedeberepresentarunnúmeroracional?
Larespuestaessí.Porejemplo,eldecimalterminal0.6representaunnúmeroracional6/10,3/5.
Sin embargo, los decimales que se repitennopueden convertirse en cocientes de enterosdeformatanrápida.Lospasospararealizarestaconversiónutilizanelementosdeálgebrabásicaydebemostomarciertasprecauciones,yaque:
Actividadengrupo:¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción?
Actividadplenaria
Contesteenformaoral,cuandoelinstructorselopida,cuálseríasurespuestaaAracely,aMa-rioyaGloriaydiscutasobreestoconlosotrosdocentes.
Gloria,quenoquisoquedarseatrás,intervinoconacentoorgulloso:“Mi hermano que está en la secundaria dice que los números como los que escribieron Araceli y Mario en realidad se llaman números racionales, ¿es esto cierto?”.
Ladocente,unadetantaspersonasquedesdesuinfanciahabíansentidociertaaversiónporlasmatemáticasy,enconsecuencia,éstanoeraunadesusasignaturas favoritas,mostróciertasdudasantelaspreguntasydecidióanalizarsusrespuestasantesdecontestaralosestudiantes.
2. ¿Quécontestaríaustedacadaunodeestosestudiantes?
AAracely
AMario
AGloria
3. Reúnaseenparejasydiscutasusrespuestas.
• Formengruposde4participantes.
• Apartirdelalecturadeltexto¿cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción?muestreconsuscompañerosdegrupo¿cómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes?Pararealizarestetrabajoconsiderelosrecursosdidácticosquehemosrevisadohastaahora.
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Comoúltimocomentariolafracciónquevamosaobtenerdecadanúmerodecimalnovaaserengeneralunafracciónirreducible,esdecir,cuandoyatengamoslafracciónasociadaalnúmerodecimalpodremosencontrarunafracciónequivalentealaobtenidaqueseráirreducibledividiendonumeradorydenominadorporelmáximocomúndivisordeambos.Veremosejemploseneldesa-rrollodelasiguienteactividad.
Parahacerlasconversionesvamosadistinguirtrescasos:
R Q28
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Losnúmerosdecimalesquepodemosexpresarcomofracciónsonlosnúmerosdecimalesexactos,como7,3ó0.527,ylosnúmerosdecimalesencuyaexpresióndecimalserepiteapartirdeunciertomomentounamismacantidaddecifras,denominadaperíodo,como23,4o5,4378.Losnúmerosdecimalesquenopodemosexpresarcomofracciónsonlosnúmerosirracionales,quesuelendenotarsecomo=-.Algunosejemplosdeestosnúmerosson:elnúmero,elnúmerooelnúmero.
1. Númerodecimalexacto:
Ésteeselcasomássencillodetodos.Lafracciónbuscadaes:
Numerador:Número completo sin coma.
Denominador:Un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial.
Silafracciónobtenidanoesirreduciblepodemossimplificarlacomocomentamosantesdivi-diendoporelmáximocomúndivisordenumeradorydenominador.Expliquemoselporquéconunejemplo:
Seax=4,1347,Multiplicamosxpor10000yqueda:
10000x=41347
Despejandoxobtenemoslobuscado
x=4,1347=41347/10000
Alserunafracciónirreduciblenosquedamosconella.
Porelmismoprocedimiento,paraesteotronúmerollegamosalasiguientefracción:
0,18=18/100=9/50
Comoenestecasolafracciónobtenidanoesirreduciblelasimplificamosdividiendoentre2numeradorydenominador.
2. Númerodecimalperiódicopuro:
Enestecasolafracciónbuscadaeslasiguiente:
Numerador:Parte entera del número inicial junto con el período.
Denominador:Tantos nueves como cifras tenga el período.
Laexpresióndecimaldeestosnúmeros(comolade
todoslosirracionales)
es infinita y no periódica.Porellonopuedenexpresarsecomounafracción.
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3.Númerodecimalperiódicomixto:
Enestecasolafracciónquedaríadelasiguientemanera:
Numerador:Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica.
Denominador:Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como de-cimales no periódicos teníamos.
Vamosaexplicarestecasotambiénmedianteunejemplo:
Silafracciónobtenidanoesirreducibletambiénpodemossimplificarla.Explicamoseltemaconunejemplo:
Seax=1,8Multiplicamosxpor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastieneelpe-ríodo)ydespuésrestamosxalresultado.Queda:
10x-x=18,8-1,8=17
Tenemosentonces9x=17.Despejamosxyllegamosalresultadoesperado:
x=1,8=17/9
Comoloqueobtenemosesunafracciónirreduciblenoslaquedamos.
Delamismaforma,paraesteotronúmerollegamosalosiguiente:
13,273=(13273-13)/999=13260/999=4420/333
Comoenestecasoobtenemosunafracciónnoirreduciblelasimplificamosdividiendopor3numeradorydenominador.
Seax=0,34.Multiplicamosxpor10(ununoseguidode tantosceroscomocifras tiene lapartedecimalnoperiódica)yrestamosx:
10x-x=3,4-0,34=3,1
Tenemosentoncesque9x=3,1.Volvemosamultiplicarpor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalquehaquedado):
90x=31
Despejandoxobtenemoslobuscado:x=0,34=31/90
Comolafracciónobtenidaesirreduciblenoslaquedamos.
Veamosotroejemplo:
Seax=12,237.Multiplicamosxpor100(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalnoperiódica)obteniendo100x=1223,7.Multiplicamosahorapor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelaparteperiódicaquenosqueda)llegandoa1000x=12237,7.Ahoratomamoselnúmeroporelquemultiplicamosaxenelprimerpaso,queenestecasoes100,lomultiplicamosporxyselorestamosaloquehabíamosobtenido:
1000x-100x=12237,7-1223,7=11014
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Nosquedaentonces:
900x=11014
Dedondeobtenemoselresultadodespejandox:
x=12,237=11014/900=5507/450
Comolafracciónobtenidanoerairreduciblelasimplificamosdividiendopor2numeradorydenominador.
Yunomás:
Seax=31,7755692.Multiplicamosxpor1000(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalnoperiódica)ynosqueda1000x=31775,5692.Ahoramultiplicamospor10000(ununoseguidodetantosceroscomocifrastieneelperíodoquenoshaquedado)yobtenemos10000000x=317755692,5692.Tomamosahoraelnúmeroporelquemul-tiplicamosenelprimerpaso,1000enestecaso,lomultiplicamosporxyselorestamosaloquehabíamosobtenido:
10000000x-1000x=317755692,5692-31775,5692=317723917
Obtenemos:
9999000x=317723917
Despejandox:
x=31,7755692=317723917/9999000
Comolafracciónobtenidaesirreduciblenosquedamosconella.
Pornormageneral,esmuchomáscomplicadooperarconvariosnúmerosdecimalesdedis-tintostipos,condistintoperíodos,etc.,quehacerloconfracciones.Conestosprocedimientosconseguimosprecisamenteexpresarcualquiernúmerodecimal(racional)enformadefrac-ción,esdecir,pasarcualquiertipodenumerodecimal(racional)aunúnicotipodenúmero,unafracción,paraasísimplificarelmanejoylasoperacionesentrelosmismos.
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Reducciones: conversión adecimal, conversión a mixto yviceversa
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SESIÓN5 Duración:2horas
• Utilizar la amplificación, simplificación, con-versiónadecimal, conversiónamixto en lasoluciónyelaboracióndeproblemas.
• Clasificacióndelasfracciones.
• Fraccionespropiaseimpropias.
• Conexióndelasmatemáticasconotrasciencias.
Objetivos Contenidos
Actividadenparejas:Clasificacióndelasfracciones
1. FormenconlasPlantillasdeFraccioneslosiguiente:1/2,2/5,3/7,3/4,1/3.
Reconozcaqueestasfraccionesquenollenanelcírculoounabarraenteraselesdeno-mina“FraccionesPropias”,yenlaescrituradelasfraccionespropiaselnumeradorserásiempremenorqueeldenominador.Porlotanto,aaquellasfraccionesdondeelnumera-doresmayorqueeldenominadorselasllamará“FraccionesImpropias”.
2. Formenahoraenlasplantillasdefraccioneslassiguientesfraccionesimpropias:9/4,7/6,16/7,5/2,5/3.
3.ObservenqueconlasfraccionesimpropiassiempresellenóunoomásveceselcírculoolabarradelasPlantillasdeFracciones;esdecirquetenemosmásdeunentero,porejemplo:
7/6lopodemosescribircomo11/6yseleeunentero,unsexto.
9/4lopodemosescribircomo21/4yseleedosenteros,uncuarto.
Aestasfraccionesselasllama“fraccionesmixtas”yestánformadasporunnúmeroexpre-sadocomounenteroyunaFracciónPropia.
4. FormenconlasPlantillasdeFraccioneslosiguiente:
1/2,15/8,32/3,3/8,5/9,9/7,8/6,5/4,6/3,3/6,7/4.
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Actividadindividual:Ordenefraccionespropiaseimpropias
Actividadplenaria
Actividadengrupo:Fraccionespropiaseimpropias
Lectura:fraccionespropiaseimpropias
1. Determinecuálesdelossiguientesnúmerossonmenoresycuálesmayoresque1:2/5,11/4,5/8,7/7,44/95,32/25,16/16,1/34,11/931,13/31.
2. Escribaahora3númerosracionalespositivosmayoresque6peromenoresque7yrepresen-teestosnúmerosenunarectanumérica.
3. Entreguesutrabajoalinstructor.
Cadagrupoexponesuplanificación.
1. Formengruposde4docentesyleaneltexto“fraccionespropiaseimpropias”.
2. Apartirdelalecturaanterior,elaborenpasoapasolaplanificacióndeunaclaseenlaqueexplicaríanestetemaasusestudiantes.
3. Escríbanloenunpapelógrafo.Recuerdenhacerloconbuenaortografíayexpresandoclara-mentelasideas.
5. Indiquen¿dequétipodefracciónsetrata:propia,impropiaomixta?
6. Deestasfracciones,conviertanlasquesonimpropiasenmixtasylasmixtasenimpropias.
7. Conservenensucuadernodeapuntesestetrabajoyguardenelmaterialparatrabajarconéstemásadelante.
Losnúmerosracionalespositivosmenoresque1,losqueenlarectanuméricaestánubicadosalaizquierdade1.
Tienenunaparticularidadespecial:sunumeradoresmenorquesudenominador.Estosucedecon1/2,3/5,2/7y150/151.
Estosnúmeros fraccionariosmenoresque1,esdeciraquelloscuyonumeradoresmenorqueeldenominadorsellamanfraccionariospropios.
Unfraccionariopropiorepresentaunapartedelaunidad.
Noocurrelomismosirepresentamoselnúmero4/3o22/5.Enlosdoscasoselnumeradoresmayorqueeldenominadoryporestarazóncadaunodelosfraccionariosrepresentamásdeunaunidad.Esdecirqueesmayorque1.
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Sielnumeradordelafracciónesmayorqueeldenominador,peronoesmúltiplodeéste,entoncesaldividirobtendremosunnúmeromixto,formadoporelcocienteenteroyelresiduo,alquelees-cribimoscomonumeradorycomodenominadorelmismodelafracción.
Engeneral,cualquierfraccionarioimpropioeslasumadeunnúmeroenteropositivoyunfraccio-nariopropioysepuedeescribircomounnúmeromixto.
Ejemplo: 26/7=35/7puestoquealdividir26para7,dacomocociente3ycomoresiduo5.
1.Leaelsiguienteproblema:
LadistanciadesdeelSolalaestrellamáscercana,CentauroPróxima,ubicadaenlaconste-laciónCentauroesde21/5deañoluz;mientrasqueladistanciaentreelSolyelcentrodenuestragalaxiaes125000/21desudistanciaalaestrellaCentauro.AdemásladistanciaentreelSolyelcentrodelaVíaLáctea,es1/80deladistanciaentreelSolylagalaxiaAn-drómeda.
2. Exprese los fraccionarios impropios que aparecen en esta información como expresionesmixtasycalcule,enañosluz,lasdistanciasdelSolalcentrodenuestragalaxiayalagalaxiaAndrómeda.
Tomado de MatemáticaNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemática en construcción 7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002.
DeberIndividual
Lafracciónsedenominapropia o impropia,segúnseamenor o mayorque
launidadrespectivamente.Sereconocesilafracció
nespropiacuandoel
numeradoresmenorqueeldenominador,y,seráimp
ropiasielnumerador
esmayorqueeldenominador.
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Congruencia numérica6SESIÓN6 Duración:2horas
• Reconocerlasventajasdeutilizarmatricesdeautoevaluaciónconlosestudiantes.
• Conocer el concepto y las propiedades dela congruencia numérica como herramientaparalasolucióndeproblemas.
• Laaritméticadelrelojysistemasmodulares.
• Criteriodecongruencianumérica.
• Propiedadesdelacongruencianumérica.
• Untrucoconlosnaipes.
Objetivos Contenidos
1.RealicenlalecturaLa aritmética del reloj y sistemas modulares.
2.Identifiqueneneltextolastresideasenlasqueustedesestándeacuerdoconlalectura.Indiquenlasrazones.
3.¿Cuáleslaideacentraldelalectura?
4.¿Consideranimportanteelconceptodesistemamatemático?Expliquenlasrazones.
5.¿Nuestrosistemanuméricopuedeserconsideradofinito?¿Porqué?
6.Compartanlasrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedes.
Compartasutrabajoconlosdemásparticipantes.
Actividadenparejas:Sistemasmodulares
Actividadplenaria
UNIDAD 2 congruencia numérica ydivisibilidad
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Anteriormente,hemosestudiadoelconceptodeconjuntooreunióndeelementos.Unconjuntoensímismopuedenotenerunaestructuraparticular,perocuandointroducimosformasdecombinarloselementos(llamadosoperaciones)yformasdecompararloselementos(denominadosrelaciones)obtenemosunsistemamatemático.
Unsistemamatemáticoconstadetrespartes:a)Unconjuntodeelementos;b)unaomásoperacionesparacombinarloselementos;c)unaomásrelacionesparacompararloselementos.
Unejemplodesistemamatemático,conocidoportodos,eselconjuntodelosenterosnonegativos{0,1,2,3…},juntoconlaoperacióndesumaylarelacióndeigualdad.
Elsistemamatemáticomásprimitivoincluíaelconjuntodelosnúmerosnaturales,oinicialmenteunsubconjuntoconstituidoporlosnúmeros“máspequeños”utilizadosparacontar.Eldesarrollodeestesistemafueelmásbásico,asícomounodelosmásútilesdetodaslasideasmatemáticas.
Ahorabien,existensistemasno tanconocidos,constituidosprincipalmenteporconjuntosfinitos,comoelsistemallamadodelrelojde12horas,basadoenlacarátuladeunrelojordinario,conladiferenciadequeel12esreemplazadoporel0yseexcluyeelminutero:
Lacarátuladelrelojdalugaralconjuntofinito{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.Comoopera-ciónparaestesistemadelreloj,definalasumacomosigue:sumedesplazandolamanecilladelashorasenelsentidodelasmanecillasdelreloj.Porejemplo,parasumar5y2enunreloj,primeromuevalamanecilladelashorasal5,luegoparasumar2,desplacelamanecilla2horasmásenelsentidodelasmanecillasdelreloj.
Lamanecillasedetieneenel7,porlotanto,5+2=7
Sin embargo, si sumamos 8+ 9,movemos lamanecilla de las horas al 8, luego avanzamoslamanecillaensentidodelasmanecillasdelreloj9horasmás.Sedetieneenel5,por loque8+9=5;11+3=2.
Puestoqueelsistemadelrelojestáconstituidoporunconjuntofinito,sellamasistemamatemáticofinito.
Ahoraextendamoslasideasdelaaritméticadelrelojalossistemasmodularesengeneral.
Lasumatradicional,11+3=14,reflejaelhechoquemoverlamanecilladelreloj11horasha-ciaadelante,desdeel0,ydespués3horashaciaadelante,equivaleamoverlahaciaadelante14horasentotal.Pero,dadoquelaposiciónfinaldelamanecilladelrelojesenel2,vemosque14y2son,enciertosentido,equivalentes.Formalmentedecimosque14y2soncongruentesmódulo12,locualseescribeasí: 142(mód12)
Lectura:“Laaritméticadelrelojysistemasmoduales”
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Actividadindividual:Reflexión
1.¿Hautilizadoelconceptodecongruencianuméricaenelaula?
2.¿Enquétemascreequepuedeaplicarelconceptodecongruencianumérica?
Compartansusrespuestasconlosdemásparticipantes.
Actividadplenaria
Observandoelmovimientodelamanecilladelreloj,tambiénpuedeverseque,porejemplo:
262(mód12), 382(mód12),yasísucesivamente.
Encadacaso, lacongruenciaescierta,porqueladiferenciadedosnúmeroscongruentesesunmúltiplode12: 14-2=12=1x12 26-2=24=2X12 38-2=36=3X12
Estosugierelasiguientedefinición:
ab(módm)si,ysolosiseobtieneelmismoresiduoaldividiraybentrem.
Losenterosaybsoncongruentes módulo m(dondemesunnúmeronaturalmayorque1llamadomódulo)si,ysólosiladiferenciaa–besdivisibleentrem.Simbólicamente,estacongruenciaseescribe: a b (módulo m)
Porejemplo,sabemosque279(mód6),porque27–9=18,queesdivisibleentre6.Ahora,si27sedivideentre6,elcocienteesiguala4yelresiduoes3.Tambiénsi9sedivideentre6,elcocienteesiguala1yelresiduoes3.Deacuerdoconelcriterioanterior,279(mód6)yaqueelresiduoeselmismoencadacaso.
Lectura y ejemplos tomados de:Miller,HeerenyHornsby.Matemática: razonamiento y aplicaciones.EditorialPear-son.Octavaedición.1999.
Muchosdelosproblemasqueinvolucranenterosmuy
grandespuedensim-
plificarseconaritmética modular, en laque seutilizacongruencia en vez
de ecuaciones.Laideabásicaeselegirundeterminadoenterom,
llamado
móduloysustituircualquierenteroporelrestodesudivisió
nentrem.
Engeneral,losrestossonpequeñosy,portanto,má
sfácildetrabajarcon
ellos.
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232(módulo3);431(módulo3);lasumadelosprimerosmiembrosdelacongruencia23+432+1(módulo3)0(módulo3),esdecirlasuma66esmúltiplode3.
311(módulo5);183(módulo5);ladiferenciadelosprimerosmiembrosdelacon-gruenciaescongruenteconladiferenciadelossegundosmiembros,esdecir,
31–181–3(módulo5)-2(módulo5)3(módulo5),porlotanto133(mód.5)
2.Reviseelsiguientetexto:
Elproblemaresueltosefundamentaenlosiguiente:
Dosnúmerossoncongruentessialdividirlosparaelmismodivisor,queenestecasoseloconoceconelnombredemódulo,yqueserepresentaconuna m,dejanelmismoresto.
Porejemplosia=qm+r;dondeqesunenteroyeselcocientedeladivisión,mientrasquereselresiduo;siendo0≤r<m,porloqueresunenteropositivo.
Ejemplos:
422(módulo8)porquealdividir42para8nosquedacomoresiduo2.
742(módulo8)porquealdividir74para8dejacomoresiduo2.
Sediceentoncesque7442(módulo8)
Sirestamosmiembroamiembroobtenemos:
422(módulo8)
742(módulo8)
74–420(módulo8),
320(módulo8)
Estosignificaqueladiferenciadedosnúmeroscongruentesesmúltiplodelmódulo.Deestamaneratambiénsepuedecomprobarsidosnúmerossoncongruentes.
1.Reviseelsiguienteproblemaresueltodondeseaplicalacongruencianumérica:
Asínuestromes7.
Portanto:9378=1339·7+5,elrestoresultaser5,esasíqueen9378díasmás,eldíaseráMartes.
¿Sicontamos9378díasapartirdehoy(suponerquehoyesjueves),¿enquédíadelasemanacaerá?
Podemosresolverlo tomandouncalendarioycomenzaracontar,peroestoresultamuytedioso.Sinosdamoscuentalosdíasdelasemanaserepitencada7días.
Actividadindividual:Problemasobrecongruencianumérica
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Tomadodematemática:Miller,HeerenyHornsby.Matemática,razonamientoyaplicaciones.Edi-torialPearson,octavaedición.1999.Ejemplos:
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Enelejercicioanteriorseexpresóque-2(módulo5)3(módulo5),sepuedeleerel-2comoloquelefalta,cuántoledeboañadiraunnúmeroparasermúltiplodelmódulo,enestecasoa3lefaltan2parasermúltiplode5.
Sielmóduloes3,unnúmerocualquieraserádelaforma3k,3k+1,3k+2;peroestaúltimaformapuedeescribirsecomo3k–1.Porloquesiunnúmeronoesmúltiplode3,serádeforma3k±1.Estotambiénsignificaquesiunnúmeronoesmúltiplode3,bastaráunadelasdosopciones,peronoambas,sumarleorestarle1,paraquelosea.
Entredosnúmeros,múltiplosconsecutivosde3,haysolamentedosenterosquenoloson,porloqueentresenterosconsecutivosexisteporlomenosunnúmeropar,yunnúmeromúltiplode3.
n-1;n;n+1,sontresnúmerosconsecutivosporestarazónobligatoriamente,porlomenos,unodelostresespar,ytambiénunodeellosesmúltiplode3.
3.Escribasuscomentariosenunahojayentrégueselaalinstructor.
Expongasuscomentariossobrelorevisado.
Actividadplenaria
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Sesión 6: Congruencia numérica
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Aplicación de la congruencianumérica7
SESIÓN7 Duración:2horas
• Aplicar las propiedades de la congruencianuméricaenlaresolucióndeproblemasqueimplicancambioscíclicos.
• Problemas de aplicación que se resuelvenconcongruencianumérica.
• Actividadmultidisciplinaria.
Objetivos Contenidos
1.Resuelvanlossiguientesproblemas:
a. JavierquierearreglarsucoleccióndeDVDengruposdelmismotamaño.Intentógru-posde4,de5yde6,perosedacuentaquesiemprelequedaundiscofuera.Supo-niendoqueJaviertienemásdeunDVD,¿Cuáleselmenornúmeroposibledediscosensucolección?
Entérminosdecongruencianumérica,podemosrepresentarlodelasiguienteforma:
Gruposde4:x=1(mód4)=>40(mód4) Gruposde5:x=1(mód5)=>51(mód4) Gruposde6:x=1(mód6)=>62(mód4)
Actividadenparejas:Problemassobrecongruencianumérica
Lacongruencianuméricanospermiteresolvermuchostiposdeproblemasqueantesnoestabanalalcancedelaeducacióngeneralbásica,puestoquerequeríanconocimientosdeálgebraoutiliza-bannúmerosdemasiadograndesparacalcular.Ademásesmuyútilcuandotenemosproblemasqueimplicancambioscíclicos.
Realizaremosalgunosproblemasquesepuedenresolverutilizandolacongruencianumérica.
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Actividadplenaria
Expongan,alosdemásparticipantes,susrespuestasycómollegaronaesassoluciones.
1.Intercambienconsuparejadetrabajo,eldíadelasemanaenqueustedesnacieron.
2.Determineneldíadelasemanaenqueocurrieronlossiguienteshechoshistóricos:
a.24demayode1822
b.9deoctubrede1820
c.10deagostode1809
Actividadenparejas:Preguntasparadiscusión
b. LauraencuentraquesiclasificalostalonariosdesusentradasparaelconciertodeJuanFernandoVelascoengruposde10,gruposde15ogruposde20,siempresobran2.¿Cuáleselnúmeromínimodetalonariosquepodríatener?(Suponganquetienenmásde2talonarios).
Entérminosdecongruencianumérica,podemosrepresentarlodelasiguienteforma:
x=2(mód10)yenformadeconjuntosx={2,12,22,32,42,52,62,...}
x=2(mód15)yenformadeconjuntosx={2,17,32,47,62,...}
x=2(mód20)yenformadeconjuntosx={2,22,42,62,...}
c. Sihoyesjueves12dediciembreyelañopróximoesañobisiesto,¿Quédíadelase-manaserádentrodeunaño?¿Quédíaserá12dediciembreenelpróximoaño?
2.Unavezresueltoslosproblemas,reúnanseconlaparejaqueestéasuladoycomparensussolucionesylosmétodosutilizadosparatrabajar.
Tomado de Matemática:Miller,HeerenyHornsby.Matemática: razonamiento y aplicaciones.EditorialPear-son.Octavaedición.1999.
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3.¿Recuerdanustedesaquéhechoshistóricosdenuestropaíscorrespondenlasfechasantesmencionadasyquérelaciónexisteentreellas?
4.¿Quéconceptomatemáticocreenqueestádetrásdelalgoritmorevisado?
Actividadplenaria
Expongansusrespuestasalaspreguntasdelaactividadanterior.
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Criterios de divisibilidad8SESIÓN8 Duración:2horas
• Reconocer fácilmente cuándounnúmero esmúltiplodeotro.
• Conocerelvalordelusodedemostracionesenelaulacomoherramientadetrabajo.
• Criteriosdedivisibilidad.
• Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(parteI).
• Divisibilidadpara2.
• Divisibilidadpara3.
• Divisibilidadpara4.
• Divisibilidadpara5.
• Divisibilidadpara6.
• Divisibilidadpara7.
• Divisibilidadpara8.
• Divisibilidadpara9.
• Divisibilidadpara10.
• Divisibilidadpara11.
• Divisibilidadpara13.
• Númerosprimos.
• Matrizdeautoevaluación.
Objetivos Contenidos
Criteriosdedivisibilidad
Decimosqueunnúmeroaesdivisordeb,sialdividirbparaaobtenemosunvalorc,quemultipli-cadopora,nosdacomoresultadob,serepresentaa|b,dondebeseldividendoyaeseldivisor;siendoa,b,cZ.
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Sedicetambiénqueaestácontenidoenbunnúmeroexactodevecessielresiduoescero.Silee-mosdederechaaizquierdadiremosquebcontieneaa,unnúmeroexactodeveces,oquebesmúltiplodea.
Loscriteriosquesederivandeladivisibilidadsonampliamenteconocidosportodoslosdocentesdematemáticas,pero¿algunavezhaintentadodemostrarlos?
Anteestapreguntahaysólodosrespuestas,quevamosacompartirluegoderealizarlalecturaenparejas.
Actividadenparejas:Demostracionesenmatemáticas
Apartirdelalectura“Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemá-ticas(Parte1)”trabajenlosiguiente:
1.Realicenuncuadrodedobleentradaquecrucelasdiferentesfuncionesdelasdemos-tracionesmatemáticasconlosautoresquelassostienen.
2.¿Cuáleslaideacentraldelartículo?
3.¿Quéfunciónseleccionaríaustedcomolamásimportanteyporqué?
4.¿Cuálessonlasventajasparaelestudianteyeldocentealtrabajarcondemostracionesmatemáticasenelaula?
5.¿Paraquépuedeservirelutilizarcuadrosdedobleentradaconlosestudiantes?
6.Compartanlasrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedes.
Actividadplenaria
Exponganalosdemásparticipantes,laactividadquerealizaronenparejas.
Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(ParteI)
María de Lourdes Bravo Estévez, UniversidaddeCienfuegos,Cuba. José Joaquín Arrieta Gallastegui, UniversidaddeOviedo,España.
Sinosdetenemosapensarquéaportaunademostraciónalaformaciónintelectualdeunindividuo,asuformadepensaryactuar,entoncesestamosvalorandosufuncióncomoparteintegrantedelcurrículodelaMatemática.
Cuandosehabladelasfuncionesdelademostración,siemprenosvienealamenteladeveri-ficación,laquetradicionalmentesehaconsideradoenprimerlugar.Losdocentesnoasumensuverdaderopapelcuandopiensandeestaformaestricta,sincuestionarsecómolaenseñanzayelaprendizajedelasdemostraciones,puedenaportaralaformaciónintegraldelosestudiantes.Sinembargo,variasinvestigacionessehandesarrolladoentornoaltema,detalformaquesehaam-pliadolalistadesusfunciones.
Sedescribenacontinuaciónalgunosdelostrabajosdeinvestigaciónquesehandedicadoalestudiodelasfuncionesquetienenlasdemostracionesyenunasegundapartenuestrapropiareflexión
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incorporando la función formativa que pueden tener intrínsecamente las demostracionesmatemáticas.
ContinúaconestasideasDeVilliers(1993),quiencriticaalosquesóloleadjudicanalademos-traciónlafuncióntradicionaldeverificación,inclusosospechaquelamayoríadelosdocentesdeMatemáticas en secundariamantienen exclusivamente esta visión formalista. Este autor destacaademáslafunciónde explicación delasdemostraciones(demanerasimilaracomohacíaBellconlade iluminación),puesnoessólocuestióndeasegurarse,sinodeexplicarporquélaproposiciónescierta,dehacerlaactividadsignificativa,sinoquealavezconstituyeunamotivación.Enco-rrespondenciaconBelltomatambiénlafunciónde sistematización,pueslademostraciónintegraconceptos,afirmacionesyteoremasensí,exponiendosuestructuraaxiomáticayayudandoalasaplicacionestantodentrocomofueradelasMatemáticas.
Incluyeensulistadefunciones ladedescubrimiento,puesamenudoesunmétododeexplora-ción,análisis, inventivaqueenocasionesllevaanuevosresultados;yladecomunicación,comounamaneradeexpresarlosresultadosanteotrosprofesionales,alprofesoradoyantelospropiosestudiantes,esunforoparaelanálisiscríticodeaciertosydesaciertos.Enfin,esunreto intelectualentrelodesconocidoyconocido.
SiguiendoelmodelodeDeVilliers,(Ibañes,2001)desdoblalafuncióndeverificaciónendosdife-rentes:comprobaciónyconvencimiento.Además,juntoalasconsideracionesrealizadasporante-rioresinvestigadores,proponeunejemplodelafuncióndescubrimientoyobtieneungrannúmerodeteoremasderivadosdeunoinicialaplicandolasestrategiasdedescubrimientodePólya.
Hanna(2000),siguiendoaBellyDeVilliersincorporaademáslafuncióndeconstruccióndeunateoríaempírica,ladeexploración delsignificadodeunadefiniciónolaconsecuenciadeunasupo-siciónyla incorporacióndeunnuevoconocimientohechoaunanuevaestructuración.
Otros investigadoresanalizanlasfuncionesdelademostracióndesdesuexperienciaenelaula;comoenelcasodeHersh(citadoporIbañes,2001)quediferenciaentrelafuncióndeconvencer aexpertosenunamateriayladeexplicarunresultadoatravésdelademostraciónenelaula.
Porsuparte,Reid(citadoporIbañes,2001)pretendeconciliarlospuntosdevistadelosestudian-tesydelosdocentesacercadelasdemostraciones.Másadelanteelautor(2002)propusocincodimensionesdeunademostración,entrelasquedestacaremoslanecesidadyel rol quejueganenlacomunidadmatemáticaporsu importancia reconocidacomounacaracterísticadefinidayunelementocentraldelasMatemáticas.Lanecesidadladefinecomoelpropósitoolafuncióndelademostracióny lavaloracomoexplicación(coincideconDeVilliersenqueestopuedeconstituirunelementodemotivación),exploraciónyverificaciónfundamentalmente,aunquecitatambiénlailuminaciónylacomprensión.
VanAsch(citadopor Ibañes,2001)haceunadistinciónentre losestudiantesquehacen demos-tracionesylosquesólolesdanlautilidadinstrumental,yportantonoladesarrollan,limitándoseaconocerelsignificadodelasmismasparautilizarlasenlaresolucióndeposterioresproblemas.Aportaademásunconjuntodefuncionessegúnlarespuestaalaprimerapartedelasiguientepre-gunta:¿quéargumentospuedehaberparapresentaruomitirdemostraciones?,funcionesquecita-
Alafuncióndeverificacióndeunademostración,queeslaqueto-doscomúnmenteleatribuimos,yaqueconellasebuscalacertezaoverdaddeunaproposición,Bell(citadoporIbañes,2001),leotorgaotrascomoladeiluminación(seesperaqueunabuenademostraciónproporcioneideasdelporquéescierta)yladesistematización(orga-nizacióndeunsistemadeductivodelateoría:axiomas,definicionesyteoremasyademostradosconanterioridad).
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mosacontinuación:convencer, entender, memorizar, contener un algoritmo, finalizar un proceso de búsqueda, exponer un método, mostrar el significado de una definición.Expone,también,lasfun-cionesdelaenseñanzadelademostraciónconrespectoalosestudiantes,quesonlassiguientes:aprender, entender, comprender, desarrollar habilidades comunicativas, obtener los conceptos de generalización, particularización y analogía.
Enestesentido,Recio(2001)seplanteadiferenciarentreelpapeldela:
•Demostraciónenlaenseñanza(loqueocurreconlademostraciónenelquehacerdocente).•Enseñanzadelademostración(loquehabríaquehacerparaenseñarademostrar).
Distingueademáselautor,paralademostraciónenlaenseñanzauniversitaria,dosfuncionesquepodríanincorporarsealasyacitadas:
1)ComoparteesencialdelcontratodidácticoenMatemáticas:porunaparteelprofesoradoseveobligadoademostrarenclasesylosestudiantesdebenestaratentosadescubrircualquiererrorenlapruebaquelepresentan.
2)Unafuenteinsustituibledeentretenimiento:consideraelanálisisylacomprensióndelasmismasporlosestudiantescomoformaspeculiaresderazonaryusarloshechosbásicosdelateoríaqueexplica.
Tomado deBravoEstevez,Ma.DeLourdes;ArrietaGallástegui,JoséJoaquín.Reflexiones sobre lasfunciones de las demostraciones matemáticas.RevistaIberoamericanadeEducación.
http://www.rieoei.org/deloslectores/838Bravo.Fechadeacceso25-10-2009.
Recio(2001)destacaunacitadeVilliersdondeéstesepronunciaenelsentidodequesiqueremosquelosdocentesdeMatemáticasaprove-chenlasfuncionesdelademostraciónparaconvertirlasenunaactividadsignificativa,entoncesdeberíanhaberseformadoensituacionessimila-resdurantesupropioprocesodeformaciónprofesionaldocente.
Actividadindividual:Lasdemostraciones
1.¿Cuálcreeustedqueseráelbeneficiofuturoparalosestudiantesquehanrealizadode-mostracionesdesdeedadestempranas?
2.¿Algunavezhautilizadolasdemostracionesmatemáticasensuprocesodeclase?¿Quérespuestaobtuvodelosestudiantes?
3.¿Quépuedehacerparaincrementarlacomprensióndelasdemostracionesporpartedesusestudiantesenelaula?
4.Escribaenunpapelsusrespuestasycompártalasconelgrupo.
5.Entreguelahojaderespuestasalinstructor.
Criteriosdedivisibilidad
Unaformadequeestoscriteriosseancomprendidosensutotalidad,esdemostrarlosalosestudian-tesafindeevitarqueellosrepitanlasreglasenformamemorísticaypuedanutilizarlaconceptua-lizaciónpararesolverproblemas.
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1.Leaelsiguienteenunciado:
2.Escribaenunpapelcómoharíaustedparademostrarestecriterio.
1.Leaelsiguienteenunciado:
2.¿Cómoharíaustedparademostrarestecriterio?Socialíceloconsuscompañeros.
3.Contesteahoralosiguiente:
a.¿Esverdadque12esiguala10+2;oque12esiguala11+1;etc?
b.¿Entonces1000esiguala990+10;otambién1008esiguala99veces10más18?
4.Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.
Ejemplo:
741=100(7)+10(4)+1=99(7)+9(4)+(7+4+1)
Sidividoestaúltimaexpresiónpara3puedodarmecuentaque,99(7)esunmúltiplodetresporqueelfactor99contieneexactamentea3,igualcosaocurrecon9(4)puestoqueelfactor9contieneexactamentea3,entoncessólomerestaverificarsieltercersumando,esdecir,
1.Formenparejasydiscutanlasdemostracionesquehicieron.
2.Respondanalasiguientepregunta:¿Podemos,contodacerteza,afirmarquetodadecenaesmúltiplode2?
1.Comparensusrespuestasconlaexplicacióndelinstructoryexplique¿quédiferenciasoquésimilitudesencontraron?
2.Exponganatodoelgruposusresultados.
Comparesusrespuestasindividualesconlapropuestadelinstructor.¿Quésimilitudesyquédiferenciasencuentra?
Actividadindividual:Divisibilidadparados
Actividadindividual:Divisibilidadparatres
Actividadenparejas:Demostraciones
Actividadplenaria
Actividadplenaria
DivisibilidadparadosUnnúmeroesdivisibleparadossiespar,esdecir,siterminaen:0,2,4,6,8.
DivisibilidadparatresUnnúmeroesdivisibleparatressilasumadesuscifrasesmúltiplodetres.
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1.Leanelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparacuatroUnnúmeroesdivisibleparacuatrosisusdosúltimascifrasformanunnúmeromúltiplodecuatro.
2.Contestelassiguientespreguntasyluegodiscútanlasenunaplenaria.
a.¿Enquéforma“demuestra”ustedasusestudiantes?
b.¿Podemosasegurarquecualquierdecenaesmúltiplode4?¿Porqué?
c.¿Quédecenassípodemosaseverarquesonmúltiplosde4?
3.Entreguenalinstructoreltrabajoquerealizaronenparejas.
Actividadindividual:Análisis
Analicelademostracióndelinstructoryexpliquequédiferenciasencuentraconsudemostra-ción.Entreguealinstructorsuanálisis.
Actividadplenaria
Expongaeltrabajoquerealizó.
Actividadenparejas:Divisibilidadparacinco
1.Leanelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparacincoUnnúmeroesdivisibleparacincositerminaen0oen5.
2.Revisenlasiguientedemostraciónyjustifíquenla,luegodiscútanlaenunaactividadplenaria.
Demostración:Sisumamosunnúmeroimpardeveceselnúmero5,lasumasiempreterminaen5,deloqueseconcluyequetodonúmeroimparmultiplicadopor5,terminaen5;ytodonúmeroparmultiplicadopor5terminaencero.
Actividadplenaria
Discutanconlosdemásparticipanteslademostraciónqueleyeron.
Actividadenparejas:Divisibilidadparacuatro
lasumadelascifrasdelnúmeroesdivisiblepara3,queenestecasosíloes.Comolodelosdosprimerossumandossiempreocurre,bastaconcomprobarsilassumasdelascifrassondivisiblespara3,paraqueelnúmeroseadivisiblepara3.
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Actividadengrupo:Divisibilidadparaseis
1.Leanelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparaseisUnnúmeroesdivisibleparaseissialmismotiempoloesparadosyparatres.
2.Engruposde4personasexpliquen¿porquésecumple?,escribanlarespuestaenunahoja.Entreguenalinstructor.
Actividadplenaria
Compartasutrabajoconlosdemásparticipantes.
Actividadindividual:Divisibilidadparasiete
1.Enformaindividual,leaelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparasieteUnnúmeroesdivisibleparasietesialsepararlaúltimacifradeladerecha,restamoseldobledeesacifradelacantidadquenoshayaquedadoalquitarlaúltimacifra,asísucesivamentehastatenerunnúmeropequeñodelcualpo-damosafirmarsiesmúltiplodesieteono;siloes,elnúmeroinicialtambiénloes,encasocontrarionoserámúltiplode7.
2.¿Porquécreeustedquesecumpleestecriterio?
3.Multipliqueahora40por12.
4.¿Porcuántotengoquemultiplicar80paraobtenerelmismoproducto?
5.¿Porquérazón?
6.Basándoseenesterazonamiento,justifiqueelprocedimientoydemostraciónqueestánalfinaldelaunidad.
7.¿Quéconclusionespuedesacarusteddeloanterior?
8.Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.
Actividadplenaria
Reviselademostraciónconelinstructorylosdemásparticipantes.
Actividadenparejas:Divisibilidadparaocho
1.Reúnanseyleanelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparaochoUnnúmeroesdivisibleparaochosisustresúltimascifrasformanunnúmeromúltiplodeocho.
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2.Contestenlassiguientespreguntas:
a.¿Hanpensadoenqueunnúmeroqueterminaentrescerosesobligatoriamentemúltiplode8?¿Porqué?
b.¿Sabríanfácilmentedecirustedes,si682esmúltiplode8?¿Cómoharíaparasaber larespuesta?
c.¿CreenqueestaoperaciónesfácilparaunestudiantedeEGB?¿Porqué?
3.Realicenunademostracióndeestecriteriodedivisibilidadycompárenlacon lade laotrapareja.
4.Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
5.Observenlademostraciónqueproponeelinstructoracontinuaciónycompárenlaconlasuya.
Actividadindividual:Divisibilidadparanueve
1.Leaenformaindividualelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparanueveUnnúmeroesdivisibleparanuevesilasumadesuscifrasesunmúltiplodenueve.
2.Efectúeunademostraciónbasándoseenlaquehicimosenladivisibilidadpara3,tomandoencuentaquelademostracióndeladivisibilidadpara9esidénticaalaquerealizamosparademostrarladivisibilidadpara3.
3.Anotesudemostraciónenunahojayentrégueselaalinstructor.
4.Compárelaconlaquepresentaelinstructor.
Actividadindividual:Divisibilidadparadiez
1.Leaenformaindividualelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparadiezUnnúmeroesdivisibleparadiezsiterminaenunoomásceros.
2.¿Conquéotrocriteriosepuederelacionar?Demuéstrelo.
3.Escríbaloenunahojayentréguelaalinstructor.
4.Comparesusrespuestasconlasdelinstructor.
Ejemplo:
3750;todadecenaesmúltiplode10,puestoquetambiénesmúltiplode2porserpar,yde5porquealsumarunpardevecesel5,siempreobtengounaomásdecenas,yademáscomolasunidadessoncero,recordemosqueelceroesmúltiplodetodoslosnúmerosconexcepcióndeélmismo.
Observemostambiénenestecasoquelaúnicacifradelasunidadesqueesmúltiplode10escero.
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Sesi
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Actividadenparejas:Divisibilidadparaonce
1.Leanelsiguienteenunciado:
DivisibilidadparaonceUnnúmeroesdivisibleparaoncecuandoladiferenciaentrelasumadelascifrasdeordenparconlasumadelascifrasdeordenimparresultaunmúltiplode11.
2.Contestenlassiguientespreguntas:
a.¿Conocenustedeslademostracióndeestecriterio?¿Porquésecumpleelenunciadodearriba?
b.Sitienenunasolaunidadyladividenentre11,¿cuántolessobra?
c.Sitienenunadecena¿cuántolesfalta?
d.Sitienenunacentena¿lessobraolesfalta?¿Cuánto?
e.Escribanapartirdeestolademostracióndelenunciadoenunahojayentréguenselaalinstructor.
Actividadengrupo:Divisibilidadparatrece
1.Formengruposde4personasyleanelsiguientecriterio:
DivisibilidadparatreceParareconocersiunnúmeromayordetrescifrasesdivisiblepara13,separa-moslascifrasdelnúmeroengruposde3dederechaaizquierda;luegores-tamoselprimergrupomenoselsegundo,siempretomandoencuentaqueelresultadoseapositivo,máseltercergrupomenoselcuarto;etc.Siladiferenciaquenosquedaesmúltiplode13elnúmeroinicialtambiénesmúltiplode13.
2.Sigan lademostraciónquehemoshechocon ladivisibilidadparaonceyconstruyaunademostracióndelcriteriodedivisibilidadparatrece.
3.Comiencenporpreguntase:sitenemosunasolaunidad,¿cuántonossobra?
4.Sitenemosunadecena,¿cuántonosfalta?.
5.Entreguenlademostraciónenhojaindividualalinstructor.
Actividadenparejas:Múltiplosydivisores
Contestenlassiguientespreguntas:
1.¿Cuántosmúltiplostieneunnúmero?
2.¿Cuántosdivisorescomomínimo?¿Ycomomáximo?
3.¿Quénúmeroesdivisordetodoslosnúmeros?
4.¿Quénúmeronoesdivisordeningúnotronúmero?
5.Escribasusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
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1.Encuentrenlosnúmerosprimosmenoresque100.
2.Revisenlasrespuestasenelpizarrónconeldocente.
Actividadenparejas:Númerosprimosmenoresque100
Actividadplenaria
Discutanconlosdemásparticipanteslasrespuestasalaactividadanterior.
Parareflexionar:
Noolvidemosqueel1,eselúniconúmeroquetieneunsolodivisor;todoslosdemástienen
porlomenosdosdivisores,el1yelmismonúmero.
Tomandoencuentaestecriterio,(elnúmerodedivisores),losnúmerosenterosseclasifican
enprimosycompuestos;denominándoseprimosalosquetienendosdivisoresycompuestos
alosquetienenmásdedosdivisores.
Porloantesexpuestointroducimoselsiguienteconcepto.
NúmerosPrimos
Toman este nombre aquellos números que solamente tienen dos divisores,ellosmismosylaunidad.Recuerdequehayunúnicoparprimoqueesel2,todoslosdemásnúmerosprimossonimpares.
1.Reviselamatrizdeautoevaluaciónyaplíqueselaustedmismo.
2.Detalletresventajasytresdesventajassobreestaformadeevaluarse.
3.¿Creeustedquepodríautilizarmatricesdeevaluaciónenlaclasequeimparteasusestudiantes?.
4.Déunejemplodeuntemaenelquepodríaaplicarestaherramienta.
5.Coméntelofrentealgrupoenlapróximasesión.
TareaIndividual
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Sesi
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Actividadindividual
Matrizparaautoevaluación
2,5-2,0 1,9-1,4 1,3-0,8 0,8-0,3
3-2,4 2,3-1,7 1,6-1,0 0,9-0,3
EXPERIENCIASPREVIAS25%(2,5/10)
PROCESO30%(3/10)
Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasenriquecenmisconceptos;misrespuestassonpertinentesypar-ticipoactivamenteenplenaria.
Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonsiemprepertinen-tesynoparticipoactivamenteenplenarias.
Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasnoenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonpertinentesynoparticipoactiva-menteenplenarias.
Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañeros,peronolovalo-ro;mispropiasexperienciasnoenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonpertinentesynoparticipoactiva-menteenplenarias.
Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático;utilizolainfor-maciónpropor-porcionadaeneltexto,porelinstructor,yotrasfuentes;justificolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemostraciones,cumpliendocontodoslosplantea-mientospropuestos.
Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático;utili-zolainformaciónproporcionadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes;justificolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemostraciones,peronocumplocontodoslosplanteamientospropuestos.
Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático,utili-zolainformaciónproporcionadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes,nojusti-ficolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemos-traciones,ynocumplocontodoslosplanteamien-tospropuestos.
Conozcoellen-guajematemático,peronoloempleoadecuadamente,noutilizolainfor-maciónproporcio-nadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes,nojustificolaaplica-cióndelasimbolo-gíaenlasdemos-tracionesynocumplocontodoslosplanteamientospropuestos.
4,5-3,4 3,3-2,2 2,1-1,0 0,9-0
APLICACIÓN45%(4,5/10)
Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,logrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrascienciasydemuestracreatividad.
Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,logrodiscernirytrasferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,peronodemuestrocreatividad.
Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,nologrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,ynodemuestrocreatividad.
Misdemostracio-nesnosiemprepresentanunasecuencialógica,nologrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,ynodemuestrocreatividad.
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Demostracionesdelasdivisibilidadespropuestas
Divisibilidadpara2
Seaelnúmero abcd unacantidadde4cifras,entonces d seránlasunidades,clasdecenas,blascentenasya lasunidadesdemil,pudiendoexpresarseestenúmerocomoabc decenas,másdunidades.Comotodadecenaesmúltiplode2paraquetodoelnúmeroseamúltiplode2esobli-gatorioquedtambiénseaunmúltiplode2.
Divisibilidadpara3
Seabcdunnúmerodetrescifras,entonces:
bcd=100b+10c+dexpresandoelnúmeroennotacióncanónica
110b+10c+d=99b+9c+(b+c+d)descomponiendoconvenientemente,
Sidetressumandos,dosdeellossonmúltiplosde3,enestecasopodemosasegurarquecadaunodelosdosprimerossumandosesmúltiplode3,porquecadasumandoasuvezesunproductodeunfactormúltiplode3,ydeundígitocualquiera;enconsecuencia,eltercersumando,(queeslasumadelascifrasdelnúmero),tambiéndebeserloparaquelasumaseamúltiplode3.Quedaentoncesdemostradalareglaarribaenunciada.
Ejemplos:
741=100(7)+10(4)+1=99(7)+9(4)+(7+4+1)
Sidividoestaúltimaexpresiónpara3,puedodarmecuentaque99(7)esunmúltiplode3porqueelfactor99contieneexactamentea3,igualcosaocurrecon9(4)puestoqueelfactor9contieneexactamentea3,entoncessólomerestaverificarsieltercersumando,esdecirlasumadelascifrasdelnúmeroesdivisiblepara3,queenestecasosíloes.Comolodelosdosprimerossumandossiempreocurre,bastaconcomprobarsilasumadelascifrasesdivisiblepara3paraqueelnúmeroseadivisiblepara3.
Divisibilidadpara4
Escorrectoelenunciadopropuesto,porquealsepararlasdosúltimascifrasdeunnúmero,elrestodecifrasquequedan,constituyenlascentenasdelnúmeroyporcierto,todacentenaesmúltiplode4;porloquelasdosúltimascifrasdebenformarunmúltiplode4,paraquetodoelnúmeroseamúltiplode4.
Conozcamos una forma de demostrar cuándo un número es divisible para 4.
Buscandounaformaqueseamásfácildecomprenderporpartedelestudiante,mehepermitidocambiarelenunciadoanterior,porelsiguiente:
Unnúmeroserámúltiplode4enlossiguientescasos:
Primero: Silacifrasdelasdecenasesimpar,lacifradelasunidadesdeberáser:2,6;
Segundo: Silacifradelasdecenasespar,lasunidadesserán:0,4,8.
Ejemplos:
2796,siobservamosestenúmeronosdaremoscuentaquelacifradelasdecenasesimpar,comolaregladicequesiendoimpardebeterminaren2oen6parasermúltiplode4,enestecasolareglasecumpleporloque2796síesmúltiplode4.
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Sesi
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37582,enestecasolareglanosecumple,porquelacifradelasdecenasespar,ylasunidadesdebenser0,4,8;yno2comoenelpresentecaso.Podemosafirmarque37582noesdivisiblepara4.
Divisibilidadpara5
Sisumamosunnúmeroimpardeveceselnúmero5,lasumasiempreterminaen5,deloqueseconcluyequetodonúmeroimparmultiplicadopor5,terminaen5;ytodonúmeroparmultiplicadopor5terminaencero.
Divisibilidadpara6
Sidosnúmerosay b,primosentresíocoprimos,sondivisoresdeotronúmeroc,entonceselpro-ductoab,tambiénserádivisordec.
Ejemplos:
2y3sonprimosentresí,ocoprimos,pornotenerningúnfactorcomúndistintodelaunidad;18esmúltiplode2porserpar,ytambiénesmúltiplode3porquelasumadesuscifrases9,porlotanto18estambiénmúltiplode6,comoenefectoloes,porcontenerloexactamentetresveces.
4y6nosoncoprimos,12esmúltiplode4,tambiénesmúltiplode6;sinembargo,12noesmúl-tiplode24,queeselproductode4por6.
Unnúmeroqueseamúltiplode2yde5almismotiempo,obligatoriamenteterminaráencero,yporlotantoserámúltiplode10,elproductode2y5,quesoncoprimos.Sepuedepensarerrónea-mentequeesnecesarioquelosnúmerosseanprimos,estonoesverdad,puestoqueporejemplo72esmúltiplode4,ytambiénesmúltiplode9,perotambién72esmúltiplode36,elproductode4y9.Comovemosenesteejemploniel4,niel9sonprimos,perolosdossoncoprimos.
Divisibilidadpara7
Regla para encontrar el producto de un número por siete:
• Tomolatercerapartedelnúmero,obteniendoasílasunidadesdelproducto.
• Duplicolacantidaddeunidadesqueobtuve,siendoestacantidadlasdecenasdelproducto.
• Silacantidaddeunidadesobtenidas,esmayorque9,tengoquesumarlacifradelasdecenasalasdecenasobtenidasporelduplodelasunidades.
Ejemplos:
18x7=
•Latercerapartede18es6(unidades).
•Duplico6x2=12(decenas).
•Enestecasolacantidaddeunidadesesmenorque9,porlotantoelproductode18x7es126.
45x7=
•Latercerapartede45es15unidades(15esmayorque9,porloquetendréquesumar1alasdecenasdelduplo).
•Elduplode15es30.30+1=31(decenas),porloqueelproductode45x7es315.
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Multiplicar por siete equivale a multiplicar la tercera parte del número por 21.
Alrestarelduplodelaúltimacifraestoyrestandounnúmeromúltiplode21;siladiferenciaesmúltiplode7,entoncesestenúmeroserátambiénmúltiplode7,puestoque21eselproductode3x7,númerosquesoncoprimos.
Ejemplo:
Deseosabersi3948esmúltiplode7,separandolaúltimacifrayrestandoelduplodeestacifrade394,obtengo378;separandolaúltimacifra(8),yrestandoelduplodeestacifra,de37,obtengo21,porloque3948siesmúltiplode7.
Observemoselnúmero112,separamoslaúltimacifra,restandoelduplodeestacifraobtenemos:11–4=7,porloque112síesmúltiplode7.
Conestemismocriteriosepuedeaveriguarsiunnúmeroesmúltiplode17,separandolaúltimacifra,multiplicándolapor5,restandoesteproductodelacantidadquenosquedaalquitarlaúlti-macifra,asísucesivamente,hastatenerunnúmeropequeñodelcualpuedaafirmarqueesonomúltiplode17.
¿Porquésecumpleesto?Puessimplementeporquemultiplicarpor17eslomismoquemultiplicarlatercerapartedelnúmeropor51.
Ejemplo:
Deseosabersi1972esmúltiplode17:
197|2 separolaúltimacifradelnúmero1972,quees2,
-10 multiplicandoel2por5
18|7; vuelvoasepararlaúltimacifraquees7
-35 vuelvoamultiplicar7x5
17 comoel35esmayorque18,alrestarmeda17;entonces1972síesmúl- tiplode17.
Divisibilidadpara8
Siaunnúmeroseleseparansustresúltimascifras,lasquequedanseránlosmilesdelnúmero,comocualquiercantidaddemilesesmúltiplode8,lastresúltimascifras,quefueronseparadas,debenformarunmúltiplode8,paraquetodoelnúmeroseamúltiplode8.
Seríamásfácildereconocersiunnúmeroesmúltiplodeocho,cuandolamitaddelnúmeroqueformenlascifrasseparadascumplalaregladeladivisibilidadpara4.
Ejemplos:
1472esunmúltiplode8porquelamitadde472,esdecir,236esunmúltiplode4,porcuantolacifradelasdecenasesimparyladelasunidadeses6.
3579244noesdivisiblepara8porquelamitadde244,esdecir,122noesmúltiplode4,puestoquelasdecenassonparylasunidadeses2.
Divisibilidadpara9
Lademostracióndeladivisibilidadpara9esidénticaalaquerealizamosparademostrarladivisi-bilidadpara3,recordemosque:
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Sesi
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bcd esunnúmerodetrescifras,
Expresándoloennotacióncanónica:bcd=100b+10c+d
Descomponiendoestaúltimaexpresión:100b+10c+d=99b+9c+(b+c+d)
Observamosque losdosprimerossumandossonmúltiplosde9,por loqueel tercersumando,esdecirb+c+d,debetambiénsermúltiplode9paraquelasumaseamúltiplode9.
Ejemplos:
Veamossi2346813esdivisiblepara9;sumandosuscifrasseobtiene27,queesmúltiplode9,porloque2346813síesmúltiplode9.
Divisibilidadpor10
Loindicamosenunejemploanteriorquesiunnúmeroesmúltiplode2yde5almismotiempo,debeterminarencero,yporlotantoserámúltiplode10.
Divisibilidadpor11
a.Observenconatenciónelsiguientecuadroconelquelesproponemosunademostración.
Sepuedeobservarquelaspotenciasparesdediezdejanresto1positivo,mientrasquelasimparesdejanresto1negativo,cadaunodeestosrestossemultiplicaporeldígitocorrespondienteacadapotencia,porloquelareglaarribaenunciadasecumple.
Ejemplos:
Sielnúmeroesdedoscifrasobviamenteéstasdebenseriguales,puestoqueladiferenciaserácero,queesmúltiplode11,noexisteotraposibilidad.
Sielnúmeroesdetresomáscifrasyasepudeaplicarlaregladeladivisibilidadpara11,veamos:
Deseosabersielnúmero435678esmúltiplode11.
Sumolacifrasdeordenpar:8+6+3=17
Sumolascifrasdeordenimpar:7+5+4=16
Establezcoladiferenciadelassumas:17–16=1
Como1noesmúltiplode11seconcluyequeelnúmero435678noesmúltiplode11;paraquetengamosunnúmeromúltiplode11bastarestar1acualesquieradelascifrasdeordenpar,osumar1acualesquieradelascifrasdeordenimpar,entoncespodemosafirmarqueelnúmero425678síesmúltiplode11.Encuentrerápidamentecinconúmerosqueseanmúltiplosde11.
Divisibilidadpor13
Escribanunnúmerodetrescifras,mejorsi lascifrassondistintas;aladerechadeestenúmerorepitanlascifrasenelmismoorden;dividanestenúmerodeseiscifraspara13,ahoradividanelre-sultadopara11yestenuevococientedivídanlopara7.¿Verdadqueelresultadoessorprendente?
CANTIDAD 105 104 103 102 101 100
RESTOS -1 1 -1 1 -1 1
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Estonoesningúntruco,simplementealrepetirlastrescifras,multiplicaronelnúmeroinicialdetrescifraspor1001,queesunmúltiplode13.
Alestablecerladiferenciaentrelosgruposdetrescifras,loqueestamoshaciendoesrestandounmúltiplode1001,queasuvezesmúltiplode13,porloquesielrestoesdivisiblepara13,tambiénelnúmeroinicialserámúltiplode13.
Ejemplos:
Establezcasilossiguientesnúmerossondivisiblespara13:
426829;restamos829–426=403queesmúltiplode13puestoqueobservamosque403=390+13,ambossumandossonmúltiplosde13.Deestosededuceque426829esdivisiblepara13.
57356;restamos356–57=299,quesíesmúltiplode13,puestoque299=260+39,ambossumandosmúltiplode13.Deducimosque57356esdivisiblepara13.
Estemismocriteriosepuedeaplicarparareconocersielnúmeroesdivisiblepara7,opara11;paraelloladiferenciaentrelosgruposdetrescifrasdebesermúltiplode7,ode11.
835247;restamos835–247=588,aestenúmeropodemostomarlelaséptimayconstatarqueesmúltiplode7,porloquededucimosque835247tambiénesdivisiblepara7.
28622;restamos622–28=594,comolacifradelmedioeslasumadelasotrasdoscifrasdelnúmero,afirmamosque594esmúltiplode11,porloquededucimosque28622tambiénesmúltiplode11.
Algunasdemostracionesdedivisibilidadesporcongruencianumérica
A.Divisibilidadpor2
Tenemosque10k0(mód.2)parak=1,2,…..n,porCorolariodelLema1
Porlotanto,ak•10k0(mód.2),porlapropiedad4)delLema3
Sia00(mód.2)(esdecir,sia0esnúmeropar),entonces
a00(mód.2)
a1•100(mód.2)
a2•1020(mód.2)
………………………
an•10n0(mód.2)
Sumandoestascongruenciassetiene
z0(mód.2)
locualsignificaquezesdivisiblepor2.
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Deaquíseobtienelaregla:
A) Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2
B.Divisibilidadpara3
Tenemosque10k1(mód.3)parak=1,2,3,…….,n
Ademása0a0(mód.3)
a1•10a1(mód.3)porlapropiedad4)dellema3
……………………..
an•10nan(mód.3)
Sumandoestascongruencias,resulta
za0+a1+a2+..........+an(mód.3)
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Problemas de aplicación dedivisibilidad9
SESIÓN9 Duración:2horas
• Comprenderlaimportanciadereflexionaracercadecómosehizoundeterminadoejercicio.
• Reflexionaracercadelusodemateriales“alternativos”enlaclasedematemáticas.
• Utilizarladivisibilidadylacongruencianu-méricaenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.
• Demostrarlanecesidaddelautilizacióndeloscriteriosdedivisibilidadenlaresolucióndeproblemas.
• Aplicarestoscriteriosenlasolucióndeproblemas.
• Resolverproblemadondeseaplicaladivisi-bilidad.
• Resolverproblemadondeseaplicalacon-gruencianumérica.
• Lectura Algunas reflexiones sobre las fun-ciones de las demostraciones matemáticas (parteII).
• ViñetasconMafaldaparareflexión.
Objetivos Contenidos
1.Resuelvanelsiguienteproblema.Mientraslohacen,anotenlospasosquevansiguiendopararesolverlo.(Noesnecesarioelusodecalculadoras).
Problema:
EnlaciudaddeQuitohay716a5bvotantesquedebenregresarasushogares,aquienessehaofrecidotransportarlosenbusesconcapacidadpara36personas.¿Cuálessonlosvaloresdelasumadea+bafindequetodoslosbusesvayanllenos,ynoquedeningunapersonasinesteservicio?
Actividadenparejas:Problemadeaplicación
Actividadplenaria
Compartasusrespuestasdeldeberconlosdemásparticipantesyluegoentréguelo.
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1.LeaahoraelsiguienteprocesoderesolucióndeproblemaspalanteadoporPólya.
2.¿EncuentraalgunasimilitudodiferenciaentreelprocedimientoplanteadoporPólyayelsuyo?
3.Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.
Actividadindividual:Reflexiónacercadelproceso
1.Leaneltexto:Algunas reflexiones sobre las funciones de las demostraciones matemáticas(ParteII).
2.Tomandoencuentalascuatrolecturasrealizadascontestenyrecordandocómoaprendenaresolversusestudiantesproblemasenelaula,contestenlassiguientespreguntas:
a.Describanlasdiferenciasconrespectoaloquesehaplanteadoenlascuatrolecturasanteriores.
b.Relacionenlascuatrolecturasanterioresconlorealizadopararesolverelúltimopro-blema.
¿Creenustedesquetieneventajasestanuevaformadeplantearlaresolucióndepro-blemas?Deserasí,¿cuálesson?
c.¿Quéindicadoreslessirvieronparaestablecerlascomparaciones?
d.ReplanifiquenunaclasedeMatemáticasdondeseapliqueelmétodoproblémicopro-puestoporPólya.(verAnexo4:“LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemas”).
Actividadenparejas:Demostracionesenmatemáticas(ParteII)
Actividadplenaria
Compartanconlosdemásparticipantescómoresolvieronelproblemaycuálessonlospasosquesiguieron.
Pasospararesolverunproblema(Pólya)
1. Leaelproblema.
2. ¿Tieneunplanpararesolverlo?Discútaloconsucompañero.
3. ¿Haresueltoalgúnproblemaparecido,oquetengaalgunarelaciónconestepro-blema?
4. ¿Cuándounnúmeroesdivisibleparaseis?
5. ¿Tieneelproblemaalgunaconexiónorelaciónconlapreguntaanterior?
6. ¿Puedeexpresaresarelación?
7. Reviselasreglasparallegaralasolución.
NOTAACLARATORIA:Éstaesunaversiónampliada.Pólyatiene4pasosbásicos.
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Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(ParteII)
María de Lourdes Bravo Estévez, UniversidaddeCienfuegos,Cuba José Joaquín Arrieta Gallastegui, UniversidaddeOviedo,España
(…)Estaposiciónimplicaentregarlademostracióndemanerayadecodificada,locualentendemosquesuponeplantearunaactividadconpocosignificado,queseolvidahabitualmentealcruzarlasfronterasdelaula.CompartimoslaideadeRecio(2001)cuandoafirmaquelo que arroja compren-sión es la acción de intentar demostrar personalmente o al menos intentar descifrar personalmente una demostración de otro.
Tradicionalmentesehaintentadodesarrollarlahabilidad“demostrar”enMatemáticas,ademásdeintentarconcretarlasfuncionesaportadaspordichosautores,pretendemoscontribuiraldesarrollodeunafunciónformativa,deformamásintegradora,comoexplicamosacontinuación.
Esindispensablesignificarelvalordequelosestudiantesapliquenenlaprácticaelsaberyelpoderadquiridos,paracomprenderdeformamásexactacómopormediodesusconocimientosespo-sibledescribirprocesosdelarealidadobjetiva,alanecesidaddelporquévincularlateoríaconlavidaparafundamentary/odemostrarlosfenómenosqueocurren.Todoestocontribuyealaconso-lidaciónmásduraderadelosconocimientos,asícomoalaformación de una concepción científicadelmundo.Poresolarelaciónentrelateoríaylaprácticadebetenerseencuentatambiéncomounprincipiodidácticoencadaclase,buscandosiemprequeseaposible,losnexosentrelasdemostra-cionesdeteoremasyconceptosconsusaplicacionesyhechosdelavidadiaria.
Porotraparte,debeevitarsequeconlaadquisicióndeconocimientosquesetransmitenenlasau-las,losestudiantestenganlaideadequelaasignaturadematemáticasessóloelsistemadecono-cimientosqueellosreciben,unanocióndeteoríasacabadas,quetieneunavalidezabsoluta,paraque,ensulugar,aceptensindificultadesnuevasyvariadasteoríasquenieguendialécticamente,completenyabarquenalasanteriores.Sinembargo,losconocimientosrecibidospreviamentesonciertos,reflejandeformaobjetivalapartedelarealidadestudiada,perolosestudiantes,conlosescasosrecursosdequedisponedebenverificarlosporsuspropiosmedios,comprobandoyconven-ciéndoseasímismosyalrestodelaspersonasqueinteractúanconellos.
Deestaformalosestudiantesvanvinculandolosentesmatemáticosconlosobjetosdelmundorealylaspropie-dadesdeellosdadasporlasdefiniciones,teoremasysusdemostracionesconsusrelacionesyleyes.
Poniéndosedemanifiestoladialécticadelaverdadab-soluta y la verdad relativa.Esdecir, ladialécticaentrelosconocimientosrelativos,queencierranuncontenidoobjetivamenteverdaderoqueseconservaenelprocesodeadquisicióndelosconocimientos,ylosconocimientosincompletos,nodefinitivosensureflejodelanaturaleza,lasociedadyelpensamiento.Secontribuyeasí,atravésdelaenseñanzadelasdemostracionesaampliarsufor-mación filosófico-ideológica.
Enesteprocesose llegaapropiedadesquesonparaelestudiantedescubrimientos,pueshastaelmomento leerandesconocidas,a lavezquevaexplicandoelporquéde lanecesidaddesudemostración.
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Puntodesumocuidadotambiéneseldenocaerenelformalismoconlaelaboracióndelosteore-masysusdemostraciones,evitarquesereproduzcandemostracionesfijandounpatrón,yqueseancapacesde interpretar, valorar o comprenderlasmismascuandosevaríanalgunasdelascondi-cionesiniciales.Porello,debedarsepasoalarealizacióndeunaampliaejercitaciónyaplicacióndelosteoremasysusdemostracionesdeformagradualysistemática,alaexplicación detodaslasposiblesvariantesmediante la reflexión individualy/ocolectivadecadaposiblevíadesolución,dondelosestudiantesbuscan, discuten y analizandiferentesformasdeproceder,diversasvíasdesoluciónymúltiplesposibilidadesdemodelarsituacionesbajolasistematización y actualización delosconocimientos.Asíesposiblequesepongademanifiestoelpensamiento creativo y la fantasía, el pensamiento lateral o divergente, el pensamiento especulativo, el pensamiento heurístico y el pen-samiento lógico-deductivo.
Almodelar lasituaciónatravésdeunafigurageométricadeanálisisdebetenerseencuenta laestética,reflejadaenlalimpieza,elcuidado,elesmeroylacuriosidadenlostrazosenfuncióndequelasrepresentacionesdelasfigurastridimensionalestiendenadesfigurarseenelplano,porloquedebenserlomáslegibleposible.Estacualidadesademásunrasgodelaética pedagógicaporlaqueserigelaformacióndedocentesenMatemáticas.Tambiénsedapasoaldesarrollo del pensamiento geométrico espacial,comounreflejogeneralizadodelespacio físico tridimensionalbasadoenmodelos,elcualsemanifiestacuandolosestudiantesformanunsistemadeconceptosyrelacionesmedianteabstraccióndelespacioreal,enquepuedenrepresentar,mediantedibujosomodelosreflejosdelespacioeimaginarnuevoscuerposyrelacionesgeométrico-espaciales.
Precisamenteeneldebatedelasvíasdesolución,delasfiguraspertinentes,enlosaportesdelademostración,debeexigirseunacorrectaexpresiónoral,noconsideradasólocomounmediodecomunicación,sinotambiéncomounamanifestacióndelpensamiento.Estosedebeaqueelhechodeexigirunaexpresiónadecuadacontribuyealaformación lingüística,aldesarrollodellenguajepropiamentematemáticocon lautilizacióncorrectadel vocabulario técnicode ladisciplinay seponendemanifiestorasgosdelaconductacomosonel rigor de sus razonamientos, la exigencia y el carácter reflexivo.
Alosefectosdelaformaciónmultilateraldelosestudiantes,deldesarrollodesupensamientoydesulenguaje,tienetambiéneltrabajoconteoremasmatemáticosysusdemostracionesunapodero-sainfluenciasobreeldesarrollodecapacidadesgeneralesparaargumentar, fundamentar, inferir, refutar y deducir.
Lasdemostraciones también contribuyenaldesarrollodeoperacionesmentalesgenerales, talescomoabstraer, concretar, analizar, sintetizar, comparar, clasificar, particularizar y generalizar.
Sedestacalaimportanciadelprocesoseguidoporencimadelresultado,porloquebrindamétodos y procedimientosdetrabajo,nosóloeslaproposicióndelademostraciónparaelenriquecimientodelcuerpo teóricoqueampliaráelestudianteparasímismo/a,sinoelprocedimientoymétodoempleadoqueconstituyeunmodeloparaotrasdemostraciones.
Al tratar lasdemostraciones, losdocentesdebenpropiciarundominiodeacciones,deprocedi-mientosheurísticosymétodosdedemostración,desolidezdelosconocimientosparasuaplicaciónsegura,deformaquecontribuyanatrabajardemodo racional, planificado y orientado.Alplantearexigenciasalosestudiantesparaevaluarelrendimientodesuscompañerosenlasdemostraciones,paradiscutirsolucionesverdaderasyfalsas,parajuzgarpropuestasyasumirposiciones,semani-fiestancualidadescomolasinceridad, la crítica y la autocrítica.
Portodosesconocidoquelasdemostracionesdeproposicionesmatemáticassonunpuntoneurál-gicoparalosestudiantesenelestudiodelasMatemáticas,porloquehayqueincentivarlatena-cidad, perseverancia, esfuerzo, disciplina y constanciaalolargodelprocesoderesolucióndeunproblemadedemostración,paraasíllegaralograrlaindependenciaenlarealizacióndeéstas,seconvierteenunreto intelectual anteeldeseodeadquirirnuevosconocimientos,métodosdetrabajoydesarrollodelpensamientoensentidoamplio.
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Noolvidarquelosdocentespuedenrealizarvaloracionesdelcomportamientodesusestudiantesenelprocesodedemostraciónanteelcolectivo,estimulandolasactitudespositivasyseñalandolasqueaúndebensermejoradas,laatenciónpersonalizadayelrespetoaladiversidad.Deestamanera,sepropiciael compañerismo, la complacencia y la conducta colectiva.
Siintegramosloquereportaelprocesodedemostrar desdeloinstructivoyloeducativo,concluimos,alavezqueampliamos,elconjuntodefuncionesdescritasenelapartadoanteriorconlafunciónformativa.
Sitrabajamosconlasdemostracioneshastaconvertirlasenunaactividadsignificativaynecesaria;entonces,desdenuestropuntodevista,perduraránenlaformaciónprofesionaldelosestudiantes,detalmaneraquepodrántransmitirsussignificadosaotrosindividuos,lograndoasíelverdaderopapeldelosproblemasdedemostraciónenelcurrículodelasMatemáticas,enlasdiferentesense-ñanzassegúncorrespondaasuposterioractividadprofesional.
Por tanto, es indiscutible el destacadoaporte del tratamiento de las demostraciones al procesodocenteeducativodesdelastresdimensionescitadasporÁlvarez(1999),asaber,lasdimensionesinstructiva,educativaydesarrolladora,puespermitenfijarelsistemadeconocimientos,elsistemadehabilidadesydevaloresdeunadeterminadaasignaturay/odisciplina,entreotrosaspectos.Esunrecursodidácticouniversalparadesarrollarconocimientos,habilidadesyvalores;deaquísuim-portanciaenlaformacióndedocentesy,porende,enlaenseñanzaengeneral.Luegodeabordaryfundamentarlasfuncionesdelademostración,reflexionamosanteelinteresanteinterrogantedeRecio(2001:1)cuandosepregunta:“¿Esposible,esconveniente,esnecesarioenseñarademostrarenlaGeometríaqueseimparteenunsistemaeducativogeneralizado?”
Encorrespondenciaconlosestudiosdeinvestigacionesrealizados,lapropiaexperienciaprofesio-nal,lasopinioneshastaelmomentoexpresadasyrespetandoloscriteriosdevocesautorizadasquepuedanseropuestosalosargumentosqueexponemos,nuestrarespuestaeslasiguiente:
· Síesposibleenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,teniendoencuentalosdiferentesnivelesdedemostración,encorrespondenciaconlosobjetivosdecadaense-ñanzaylascaracterísticastantoindividualescomocolectivasdelosestudiantes,delcontextoydelmomento.
· Síesconvenienteenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,dadalariquezadelasdistintasfuncionesdelademostración,comohemosvisto,porsucarácterformativoeintegral;esdecir,porintegrarlocognitivoenloeducativoensentidogeneral.
· Síesnecesarioenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,comolopuedesersabercontar,apartirdesuutilidadprácticacomoelementoquecontribuye,entreotros,aldesarrollodelpensamiento,deoperacionesmentalesgenerales,dehabilidadesgeneralesyespecíficas,asícomoalaformaciónlingüística,aspectossontodosellosdegranutilidadparaprepararalaspersonasaenfrentarsedeunaformamásracionalalasolucióndelosproblemasqueselespuedenpresentarensuquehacerdiario.
Lastresrespuestasserelacionanentresí,unanorespondelasinterrogantesqueencierralapregun-ta,porquecadaunadeellastienesusatenuantesquelafundamentandesdeelprocesodocenteeducativogeneralizado,ysuconsecuenteimportanciaparaquelosdocentesenformaciónapren-danademostrarparaluegopoderenseñarlas.
Enresumen,defendemosenestetrabajoquelasdemostracionesvanmuchomásalládeloqueaenseñanzayaprendizajeserefiere,llegandoalosmarcoseducativos.Así,concluimosquelaense-ñanzadelasdemostracionesgeométricastieneunsignificativovaloreducativo,puescumplenconunafunciónformativaesencial.
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Observelasiguientesecuencia,relaciónelaconlasdosúltimaslecturasyrespondalaspre-guntasdeMafalda.
1. ¿CómointerpretaustedlaexpresiónenelrostrodeMafal-da?
2. ¿Cuálhabríansidosusrespuestasa laspreguntasde ladocente?
3. De acuerdo con todas las lecturas anteriores, ¿por quécreequeLibertadproporcionaesasrespuestas?
4. ¿Esellenguajematemáticounidiomauniversal?
5. ¿Quécaracterísticasleatribuyeustedalpensamientomate-mático?.
6. ¿Quéhaceustedcomodocenteparaquesusestudiantesdesarrollenesepensamientoenelaula?
7. Realiceunanuevasecuenciadecómolegustaríaquesu-cedaensuaula.
8. ¿Cómosesintióustedtrabajandocontirascómicasenestaactividad?
Actividadindividual:“Libertadylasmatemáticas”
Enlaenseñanzadelasdemostracionesgeométricasseconcatenanlocognoscitivoconloeducativo.Potenciarloúltimoconllevaaunaeducaciónmásintegral,dondesebuscanlosmodosdeactua-ción,enelcasodelascarreraspedagógicasconlaformacióndelprofesorado.
BravoEstevez,Ma.DeLourdes;ArrietaGallástegui,JoséJoaquín.“Reflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas”.Revista Iberoamericana de Educación.
En:http://www.rieoei.org/deloslectores/838Bravo.PDF.Enlínea:25-10-2009.
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Compartansusrespuestasalaactividadanterior.Debatanalrespectoybusquenunacuerdoentretodos.
Actividadplenaria
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Propiedades de la suma y resta:operaciones y problemas10
SESIÓN10Duración:2horas
• Reforzarelconceptodemínimocomúnmúlti-plo,atravésdelaprendizajebasadoenpro-blemas.
• Reflexionarsobreelroldeldocentefrentealprocesodeenseñanza-aprendizaje.
• Incentivarelusodelasplantillasdefracciones,pararealizardemostracionessimbólicas,pre-vioalaabstracciónalgebraica.
• Reconocerqueestasoperacionessóloserea-lizanconfraccioneshomogéneas.
• Aplicarlaspropiedadesdelasuma.
• Utilizarlasumaylarestaenlasoluciónyela-boracióndeproblemas.
• Denominador común, sumas y restas consustitucióndepiezas.
• Fraccioneshomogéneasyheterogéneas.
• Sumaorestadefracciones.
• Máximocomúndivisor(mcd).
• Mínimocomúnmúltiplo(mcm).
• LasmatemáticasenelantiguoEgipto.
Objetivos Contenidos
1.LeaeltextoDenominador común, sumas y restas con sustitución de piezas.
2.Sigalasinstruccionesdeltextoeinteractúeconelmaterialconcreto,realizandosumasyrestasconlasplantillasdefracciones.
Actividadindividual:leyendosumasyrestas
UNIDAD 3 Propiedades de las operaciones ysus aplicaciones
Denominadorcomún,sumasyrestasconsustitucióndepiezas
Unavezcomprendidoelconceptodefraccionesequivalentes,revisadoenlasesión3delaprimeraunidad,ustedpodráexplicarqueparasumaresnecesariohacerloconelmismotipodeelementos,paraobtenerunresultadoadecuad;,esdecir,sedebensumarelementosdelamismanaturaleza.Porejemplo,sisumamos:
2peras+3peras=5perasanálogamente:1/3+2/3=3/3
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Podemosverquesisumamostercioscontercios,sesumansólolosnumeradoresyelresultadofinalserántercios;perosisumamoscuartosconmedios,elresultadofinaldebensercuartosomedios,paralocualesnecesariousarfraccionesequivalentes.
Utilizandolasplantillasdefracciones,podemosvisualizarque:2/4+1/4=3/4
Enlaformamatemáticanotamosquesólosesumanlosnumeradores,porquelasdosfraccionestienendedenominadorcomúnel4.
Sisumamosenlasplantillasdefracciones1/4+1/2,obtenemosunresultadoquedebemosexpre-sarencuartos,porqueseríaimposibledeterminarloenmedios.Entonces,hayqueconvertir1/2ensufracciónequivalenteexpresadaencuartos:
1/2=2/4,luegosumamos1/2+1/4=2/4+1/4=3/4
Sepuedecomprobaryentenderclarayobjetivamenteestasustituciónsiseutilizalasplantillasdefracciones.
Demaneraidénticaseprocedeenlaresta.Porejemplo,pararealizarlaoperación7/8-1/4,ubi-que,enlaplantilladefracciones,los7/8yluegolapartecorrespondientea1/4.Paracontinuarconlaoperación,esnecesarioqueseigualenlosdenominadoresdeambasfracciones;esdecirquelosdoscasosseexpresenenoctavos.Entonces,deberáencontrarlafracciónequivalentede1/4,quesería2/8.Así,laoperaciónquedaría:7/8–2/8=5/8.
1.Sume2/8+3/8enlasplantillasdefracciones.
2.Sumeconlasplantillasdefraccionesyconlaformaexpresiónmatemática.
1/6+1/3;1/2+3/8;2/3+1/2
3.Resteconlasplantillasdefraccionesyconlaescrituramatemática.
7/8-1/2;1/2-1/3;5/6-2/3;7/8-1/4
4.LeaeltextoFracciones homogéneas y heterogéneas.
Lectura:Fraccioneshomogéneasyheterogéneas
Paraestablecersilasfraccionessonhomogéneasoheterogéneasdebemostener,porlomenos,dosfraccionesparapodercompararsusdenominadores.Sellamanfraccioneshomogéneasaaquellasquetienenelmismodenominadorentresíyheterogéneasalasqueposeendistintodenominador.Observe:
Homogéneas: 26/7y5/7;3/5y11/5 Heterogéneas: 6/13y9/2;3/8y3/10,ytodasentresí.
Para transformar las fraccionesheterogéneas en fraccioneshomogéneas, busque las fraccionesequivalentesparaigualarlosdenominadores;porejemplo:
6/11y2/5sonfraccionesheterogéneasportenerdistintodenominador.
Actividadindividual:Sumandoyrestandoconlasplantillas
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• Sicompra1/2cartulinadedibujoyluegocompraotro1/2deunacartulinadeigualtamañoquelaanterior,eslógicoquehacomprado:1/2+1/2=2/2=1;esdecirquehaadquiridolacartulinacompleta.
• Parasumarfracciones,sesumalosnumeradoresyseescribeelmismodenominador.
• Pararestarfracciones,alnumeradordelminuendoresteelnumeradordelsustraendoyescribaelmismodenominadordelasfracciones.
• Porejemplo,paracalcular5/8+13/6debeencontrarfraccionesqueseanequivalentesacadaunadelasfraccionesanterioresyqueademástenganigualdenominador.
• Paraquedosfraccionesconigualdenominadorseanequivalentesa5/8y13/6,susdenomina-doresdebensermúltiplostantode8comode6.Esdecirquesedebeobtenerelmínimocomúnmúltiploentre8y6mparasacareldenominadorcomún.Enestecasoes24.
• Entonces,obtengaunafracciónequivalentea5/8quetengael24dedenominadorporloqueamplifiquelafracciónpor3,así:
5/8x3/3=15/24
• Delamismaforma,paraobtenerunafracciónequivalentede13/6quetenga24dedenomi-nador,amplifiqueestafracciónpor4,así:
13/6x4/4=52/24
Entonces:
5/8+13/6=15/24+52/24=67/24
perosimultiplicapor5tantoelnumeradorcomoeldenominadordelaprimerafracción,ypor11alostérminosdelasegundafracción,ambassetransformanenfraccioneshomogéneasportenerelmismodenominador:
6/11X5/5=30/55;2/5x11/11=22/5530/50y22/55sonfraccioneshomogéneas.
Solamentepodemossumarorestarfraccioneshom
ogéneas.
Parapodersumarorestarfraccionesheterogéneas,
obligatoriamentedebe-
mostransformarlasenhomogéneas.
Sumaorestadefracciones
1.Elaborentresejemplosquedemuestrenmatemáticamenteloexplicadoenlalecturaante-rior,sobresumayrestadefracciones.
Actividadenparejas:Construyendoejemplospropios
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as Compartan su trabajo con losdemásparticipantes.Muestren losejemplosque realizarontantoconsuexpresiónmatemáticacomoconlasplantillasdefracciones.
Actividadplenaria
1.Contestenlassiguientespreguntas:
a. ¿Funcionaelmétododeamplificaciónparalasumasielresultadoesmayorque1?
b. ¿Funcionaconfraccionesimpropias?
c. ¿Enquésituacióneldenominadorcomúnesigualaldeunodelossumandos?
d. ¿Enquésituacioneshayquemultiplicarlosdenominadoresdelossumandos?
e.¿Porquétenemosquesumarconelmétododeamplificaciónynopodemossimple-mentesumarlosnumeradoresylosdenominadoresentresí?
f. Registrenlasrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
g. Comentenlasrespuestasconsuscompañeros.
2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesdetalladasacontinuación.
Losestudiantesdeuninstitutosepuedenrepartirenunnúmeroexactodegruposde36,de30ytambiénde16personas.¿Cuáleselnúmerodeestudiantesdeesteinstitutosiseconocequeelnúmerototaldematriculadosnollegaa1000?
Contesten:
a.¿Tienenunplanpararesolverelproblema?
b.¿Hanresueltoalgúnproblemaparecidooquetengaalgunarelaciónconéste?
c.Resuelvanelproblemayanotenlospasosrealizadoshastaalcanzarsusolución.
d.¿Cuándoseutilizaelmínimocomúnmúltiplo?
e.Analicen:¿tieneesteproblemaalgunarelaciónconlapreguntaanterior?Porqué?
3. Reflexionen acerca del problema y de su procedimiento para resolverlo. Registren susconclusiones.
a. ¿Cómoharíanparaquesusestudiantesresuelvanesteproblema?
b.¿Dequémaneralohicieronustedes?
c.¿Cómodiseñaríansuclaseparagenerarespaciosnuevosquepermitanexplorardife-rentesformasderesoluciónparaestetipodeproblemas?
d.Creenunnuevoproblemaapartirdeéste.
e.¿Quéventajasobservanquetieneestaformadetrabajarconlosestudiantes?
f. ¿Cuáleselroldeldocentefrentealprocesodeenseñanza-aprendizaje?(Leeranexo1)
Actividadenparejas:Análisisdeproblemasyreflexióndidáctica
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a.Losmétodosypasosqueusaronpararesolverelproblema.
b.Lasestrategiasquediseñaronparatrabajarestetipodeproblemasensusclases.
c.Elnuevoproblemaquepropusieron.
d.Lasreflexionesdidácticasquesurgierondeestaactividad.
1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesdetalladasacontinuación:
ElcaminoqueuneelPalaciodeJusticia,queseencuentraenlascoordenadas(0,0)enlanuevanomenclaturadelMunicipiodeGuayaquil,yelGobiernodelLitoral,queestáenlascoordenadas(120,84),serecorreráentramoshorizontalesoverticales,todosdeiguallongitud,yencuyosextremosexistencoordenadasenteras.¿Cuáleselmínimonúmerodetramosquepuedetenerelcamino?
a.Contesten:¿tienenunplanpararesolverlo?¿Enquéconsiste?
b.Resuelvanelproblemayanotenlospasosqueaplicaronhastaalcanzarsusolución.
c.Analicen:¿tieneelproblemaalgunarelaciónconlapreguntaanterior?¿Porqué?
3.Leanelsiguiente textoycomparen las ideasdelmismoconlasestrategiasqueustedesusaronpararesolverelproblema.
Lanotacióndelmáximocomúndivisor(mcd),es(a:b)ysetratadelmayornúmeroenteropositivoqueesdivisordelosnúmerosayb.
Elmáximocomúndivisornosóloeselmayordetodoslosdivisorescomunes,sinoqueademásesmúltiplodetodosellos.
Porconsiguientea|bsiysólosi(a:b)=a.O,loqueeslomismo,paraqueaseaelmáxi-mocomúndivisordeayb,esnecesarioqueaseadivisordeb.
Ejemplo:
(12:48)=12porque12|48
Diremosentoncesqueelmcddebecumplirconlasdoscondicionessiguientes:
•(a:b)=d;portantodesdivisordeaydeb.
•desmúltiplodetodoslosdivisorescomunesdeaydeb.
Estadefiniciónpodemosextenderlaacualquiercantidaddenúmeros.
(a:b:c:d:e)=((a:b:c:d):e)=(((a:b:c):d):e)=((((a:b):c):d):e)
Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes,teniendoencuenta:
Actividadplenaria
Actividadengrupo:Usandoelmáximocomúndivisor
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Ejemplo:
(18:36:54:42)=((18:36:54):42)=(((18:36):54):42)=((18:54):42)=(18:42)=6
Sid=(a:b)entoncesa/dyb/dsoncoprimos.
Elmáximocomúndivisorentre84yunnúmerones14.¿Cuálpuedeserelrestodedividirnpor84?
Sabemosquen=84k+r 0<r<84
Entonceslosdivisorescomunesentreny84sonlosmismosqueentrery84,porloque(n:84)=(r:84)=14;porestarazónrdebesermúltiplode14;digamosquer=14t,contmenorque6,porquesiesmayorseríamayorque84.
Sidespejamost=r/14y84/14=6,sededucequety6debensercoprimos,porloquelasúnicasposibilidadesparatson1y5,quesoncoprimoscon6;mientrasqueelvalorder=14or=70.
Mínimocomúnmúltiplo
Recuerdequesellamamúltiploaunnúmeroquealdividirloporotro,ladivisiónesexacta.
Porejemplo,10esmúltiplode2,porqueelprimerocontienealsegundoexactamente5veces.
Deacuerdoconladefiniciónanterior,elmínimocomúnmúltiplo(mcm)eselmenornúmeropositivoquecontiene,unacantidadexactadeveces,todoslosnúmerosdados,unnúmeroexactodeveces.
Hayvariosmétodosparadeterminarlo:
Cálculodelmáximocomúndivisorpordiferenciassucesivas
Ejemplo:
Paracalcularelmcdde360y220: (360:220)=(140:220)=(140:80)=(60:80)=(60:20)=20
Sinnecesidaddeconocerlosdivisoresdeayb,ysimplemente restando,apareceelmáximocomúndivisordeayb.
Aplicandoelalgoritmo de Euclides,sistematiceconvenientementeelmétodoanteriordediferenciassucesivas.
Ejemplo:
Paracalcularelmcdde1580y255: 1380=5x255+105 255=2x105+45 105=2x45+15 45=3x15 (1380:255)=15
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•Porinterseccióndeconjuntos.A={múltiplosde8} B={múltiplosde18} D={múltiplosde24}A={0,8,16,24,…} B={0,18,36,54,72,…} D={0,24,48,72,…}ABD={0,72,144,…}
Deaquísededucequeelmcmes72,porserelmenornúmeropositivoquecontienea8,18y24,unnúmeroexactodeveces.Así,8estácontenido9veces;18,4veces;y24,3veces.
U U
1226233131
4929191311
24188 2
8 242221
18 293331
24 212262331
8=23 18=2(3)2 24=23(3)
Parahallarelmcm,tomelosfactorescomunesquemásaparecenaldescomponercadanúmero.Elévelosalapotenciasegúnlacantidaddevecesqueserepiten.Así,aldescomponerel8yel18,tenemosqueenelprimercasoel2eslacifraquemásserepiteyseloelevaalatercerapotencia(23);mientrasqueenelsegundo,eltressereiteradosveces,porloquequedaríaelevadoalcuadra-do(32).Luego,multipliquelosfactoresconsusrespectivaspotencias.Elproductoseráelmcm.Así:
mcm=23x32=8x9=72
Métodoabreviado:
ELmcmeselproductodetodoslosfactoresencontrados,enestecaso:mcm=2x2x2x3x3=23x32=8x9=72Cuandolosnúmerosdadosnosontangrandes,comoenelpresentecaso,puedeencontrarloporrazonamiento:
•Observequeel8estácontenidoporel24;entonces,notomaencuentaelmenor;esdecir,8;
•Trabajeconel24yel18;observequeeldoblede24(48)nocontieneexactamenteel18,pues48solamenteselopuededividirexactamenteunavezpor3o,loqueeslomismo,noesdivisiblepara9;18síesmúltiplode9,yaqueelprimerocontienedosvecesalsegundo.
•Eltriplede24(72)sícontieneexactamenteel18;porlotantoeselmcm.
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Cuandoelinstructorlessolicite,expongancómodemostraronlaspropiedadesatravésdelasplantillasdefracciones.
1.LeaeltextoEl ojo de Horus.
2.Escribasuopiniónpersonalsobrelalectura.
Actividadplenaria
Actividadindividual:LasmatemáticasenelantiguoEgipto
1. Formengruposdecuatrodocentes.
2. Demuestren,conlasplantillasdefracciones,lassiguientespropiedadesdelasumanúme-rosderacionales.
Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
Conmutativa: a+b=b+a
Elementoneutro: elceroesunnúmeroracionalquehacedeelementoneutroenla suma;porejemplo:a+0=a.
Elementoopuesto: elopuestodeunnúmeroracionalaesotronúmeroracional-a: a+(-a)=0
Actividadengrupo:Usandolasplantillasdefracciones
tropezóysequebraronalgunoshuevos.“Unachicaseacercóaayudarlaylepreguntócuántoshuevostraía.Laseñoralerespondió:¡Nosé!Solamentemeacuerdoqueeranentre50y100;siloscontabadedosendos,mesobrabauno;siloscontabadetresentres,mesobrabandos;silohacíadecuatroencuatro,mesobrabantres;silohacíadecincoencinco,quedabancuatro;ysiloscontabade6en6,tenía5.¿Cuáleralacantidadmínimadehuevosquepodíallevarlaseñora?
2.Escribaelprocedimientoqueutilizópararesolverelproblema.
3.¿Quépreguntasmetacognitivaspodríaustedhacerasusestudiantesenrelaciónalareso-lucióndeproblemascomoéste?Escríbalas.
Cuandoelinstructorselopida,compartalasrespuestasalaspreguntas3y4conlosdemásparticipantes.
Actividadplenaria
1.Resuelvaesteproblema:
Unaseñorasalióconuncanastodehuevosparavenderenelmercado.Albajardelbus
Actividadindividual:Resolviendoproblemas
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3.Responda:
a. ¿Qué sabe de las matemáticas en el antiguo Egipto?
b.¿Le parece importante el tema? ¿Por qué?
5.Entregue al instructor sus respuestas.
Lectura:ElojodeHorus
Horus,hijopóstumodeOsirisyeducadoconseddevenganzaporsumadreIsis,desafióasutíoSeth,porelasesinatodesupadre,yentablóconélunterriblecombate.Enlarefriega,SethlearrancóunojoaHorus,locortóenseispedazosyloesparcióportodoEgipto.LaasambleadelosdiosesdecidióintervenirenfavordeHorusyleencargóaToth,maestrosupremodelaaritmética,lapalabra,laescrituraylosescribas,reunirlaspartesdelojomutiladoyreconstruirconellas,graciasasuspotentessortilegios,unojosanoycompleto.(EnelhimnoXXdelLibrodelosmuertossediceque“EstohizoTothconsumismodedo”,loquealgunosinterpretancomoelusodelosdedosparacalcular).
Poreso,elOjodeHorus,alavezojohumanoydehalcón,mutiladoyrestaurado,eraunodelosamuletosmásimportantesparalosegipcios,puesseconvirtióensímbolodelaintegridadfísica,elconocimiento,lavisióntotalylafertilidad.Yparaqueestesímbolomantuviesetodossussentidos,losescribasutilizabansusdistintaspartespararepresentarlasfraccionesdel héqat,unidaddecapacidadquecorrespondíaaproximadamentea4.784litros.
Si sumamos las seis fraccionesdelhéqat,obtenemos63/64.¿Quépasaría conel1/64quefalta?
Latradiciónnosdaunarespuesta:cuandounaprendizdeescribaleplanteólacuestiónasumaestro,éstelerespondióqueel1/64quefaltabaseríasiempreproporcionadoporTothalcal-culadorquesecoloquebajosuprotección,locualpodemosinterpretarcomounapruebadefeocomoelpagoestipuladoparaloscalculadoresporsusservicios.
(Puedes encontrar respuestas y actividades de este tipo muy interesantes en:RodríguezSantos,Alberto.El Ojo de Horus.
http://www.epsilones.com/paginas/t-historias1.html#historias-ojohorus.Últimaactualización:25-10-2008.
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Elinstructorlesolicitaráaalgunosdocentesexpongansusrespuestasalaspreguntasplan-teadas
Traigaparalapróximasesión,unabarradechocolate.Póngasedeunavezdeacuerdoconelgrupodecuatropersonasquetrabajaránlapróximasesiónyaquetodoslosdelgrupodebentraerlamismamarcayelmismotamañodechocolateparapoderrealizarelejercicio.
Actividadplenaria
Tareaindividual
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Propiedades de la multiplicacióny división: operaciones yproblemas
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SESIÓN11Duración:2horas
• Verificar el sentido que tiene considerar laspartes de una unidad y las partes de unafracción.
• Descubrirelsignificadodelinversomultiplica-tivodeunnúmerofraccionario.
• Aplicarlaspropiedadesdelamultiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios.
• Conocerlarelacióndeestasoperacionesconlamultiplicaciónydivisióndenúmerosenteros.
• Utilizarlamultiplicaciónyladivisiónenlaso-luciónyelaboracióndeproblemas.
• Lasfraccionesensituacionesderepartoymedición.
• Multiplicaciónodivisióndefracciones.
• Propiedadesdelamultiplicación.
• Lafraccióncomooperadormultiplicativo.
ObjetivosContenidos
1.Formengruposdecuatropersonas.
2.Leanelsiguienteplanteamiento:
Unadocentedeberepartircuatrobarrasdechocolateenpartesigualesentrecincoestu-diantes.Comosolucióndecidepartircadabarraencincopartesiguales,delascualesdacuatroacadauno.
3.¿Cómohubierasidomásprácticalarepartición?Demuéstrenloconlasbarrasdechoco-latequetrajeronalasesión.
4.Construyanunamejorestrategiapararesolverelproblemaplanteado.
Actividadengrupo:Lasfraccionesensituacionesderepartoymedición
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Elinstructorsolicitaráadosgruposqueindiquenantesuscompañeroscómoresolvieronelproblema.
Expongansusejemplosanteelcursoyexpliquencuáleselalgoritmodelamultiplicacióndelosnúmerosracionalesquehanusado.
Actividadplenaria
Actividadplenaria
1.Encuentrelas2/3partesdelamitaddeunaunidad.
Esto equivale a dividir en la recta numérica el segmento comprendido entre 0 y 1/2 en tres partes iguales y tomar las dos primeras partes; es decir, que debe aplicar, de manera con-secutiva al número 1, los operadores (1/2x) y (2/3x).
2.Verifiquequelatercerapartedelsegmentocomprendidoentre0y1/2eslasextapartedelsegmentocomprendidoentre0y1.Estoequivaleadecirque2/3X1/2=2/6.
1.Elaborentresejemplosqueilustrenmatemáticamenteloexplicadoenlaactividadanterior.
2.Demuéstrenlosutilizandolasplantillasdefracciones.
1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2. Verifiquen si cada una de las propiedades de la suma trabajadas en la sesión 10 secumplenparaelproductoqueexpusieronenparejas.
3.Respondan:¿silaspropiedadessecumplenparaelproducto,tambiénsecumplenparaladivisión?¿Porqué?
4.Enelcasodenocumplirse,¿quédebemoscorregirparaqueseden?
Acontinuación,sedescribenlaspropiedadesdelproductodenúmerosracionales.
Elproductodedosnúmerosracionalesesotronúmeroracional,ycumpleconlassiguientespropiedades:
Asociativa: (a•b)•c=a•(b•c)
Conmutativa: a•b=b•a
Distributiva respecto a la suma: a•(b+c)=a•b+a•c
Elemento neutro: el1esunnúmeroracionalquehacedeelemento neutrodelproducto:a•1=a
Actividadindividual:Trabajoenlarectanumérica
Actividadenparejas:Construyendoejemplospropios
Actividadengrupo:Verificacióndepropiedades
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1.Construyan un rompecabezas como el que está a continuación, peromás grande, demaneraquelapartequemide4cuadradoseneldibujo,mida9cuadradosenelnuevorompecabezas.
2.Registrenelprocedimientoqueutilizaronparalaconstruccióndelnuevorompecabezas.
Recuerden queparadividirdosnúmerosracionalespositivos,sedebemultiplicareldividendoporelinversomultiplicativodeldivisor.
Elcocientededosnúmerosfraccionariosesigualalproductoentreeldividendoyelinversodeldivisor.
Ejemplo:
2/5:4/3=2/5
2/5•3/4=6/20=3/10
Elemento inverso: elinversodeunnúmeroracionala≠0esotro númeroracionalquemultiplicadoporada1: 1/a•a=1
5.Piensencuáleslaimportanciadelapropiedaddelinversomultiplicativoenladivisióndenúmerosracionales.Discutansusideasenelgrupo.
Actividadenparejas:Lafraccióncomooperadormultiplicativo
Expongansutrabajo:expliquenelprocedimientoqueusaronparaconstruirelrompecabezas,lasdificultadesqueencontraronenelprocesoycomolasuperaron.
Actividadplenaria
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Sesión 11: Propiedades de la multiplicación y división: operaciones y problemas
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Sesión 12: Propiedades de la potenciación y radicación: operaciones y problemas
Propiedades de la potenciación yradicación: operaciones yproblemas
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SESIÓN12Duración:2horas
• Aplicarlaspropiedadesdelapotenciaciónyradicación.
• Utilizarlapotenciaciónylaradicaciónenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.
• Conceptualizacióndelapotenciaciónatravésdelaresolucióndeproblemas.
• Propiedadesdelapotenciaciónyradicación.
Objetivos Contenidos
1. Formenunapareja.
2. Discutanconsucompañerosobrelasrazonesdelaseleccionesquehicieron,lleguenaunaconclusiónconrespectoaéstasyregístrenlasporescrito.
3. Lean,acontinuación,eltextosobrelamultiplicaciónabreviada.
Seguramentesurespuestasebasaenelsiguientedesarrolloconceptual:
Lapotenciaciónesunamultiplicaciónabreviadaqueseutilizacuandohayquemultiplicarporelmismofactorvariasveces.
1.Resuelvaelsiguienteproblema:
Siaustedlepropusieranqueescojaunadelasdosopcionessiguientes:
a. Recibirunmillónymediodedólarescadadíaduranteunmes(30días).
b. Recibir10centavoselprimerdía,20centavoselsegundodía,40centavoseltercerdía,80centavoselcuartodíayasísucesivamentehastacompletarlos30días.
¿Cuáldelasdosopcionesaceptaría?¿Porqué?
Actividadenparejas:Reflexión
Actividadindividual:Reflexiónsobreganancias
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Ejemplo
Sitengoquemultiplicar2x2x2x2x2x2,estoeslomismoque26=64.Enestaopera-ción,elfactorqueserepitetomaelnombredebase;elnúmeropequeñoqueseescribeenlapartesuperiorderechadelabasesellamaexponenteeindicalasvecesquelabaseserepitecomofactor.Porsulado,alresultado,enestecaso64,seconoceconelnombredepotencia.Así,lasextapotenciade2es64.
Ejemplos
Calculenmentalmentelassiguientesoperacionesyescribanelresultadoensuscuadernos:
•105+103+101+1=
•104x102x10=
1.Observenelprocedimientoutilizadopararesolveresteproblema:
Lamayoríadelasbacteriassereproducedemaneraasexuada,pormediodeunasimpledivisióncelularllamadafisiónbinaria,queproducecopiasgenéticamenteidénticasalaformadelacélulaoriginal.
Bajocondicionesideales,unabacteriasepuededividirunavezcada20minutos;esdecir,1/3deunahora.
1.Formengruposdecuatropersonas.2.Leanelsiguientetexto: EljuegodelastorresdeHanoiseresuelveconunmínimodeunpaso,cuandohayunsoloanillo;trespasos,cuandohaydosanillos;sietepasos,cuan-dohaytresanillos;15pasos,concuatroanillos;treintayunpasosconcincoanillos;etc.
3.Expresenestasecuenciaconsímbolosmatemáticosyentreguensusrespuestasalinstructor.
Actividadenparejas:Análisisdeproblemas
Actividadengrupo:“LasTorresdeHanoi”(busqueninformaciónenes.wikipedia.org/wiki/torresdehanoi)
Esdecirquesitenemosunabacteria:
en20minutostendremos2,21=1/31
en40minutostendremos4,22=1/32
en60minutostendremos8,23=1/33
en80minutostendremos16,24=1/34
en100minutostendremos32,25=1/35
.
.
.
¿En6horas?...
Expliquenasuscompañeroscómoharíanparatrabajaresteconceptoconsusestudiantes.
Actividadplenaria
Célula
CromosomaReproducción del ADN
Separación del cromosoma
Citocinesis
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1.Formengruposdetresparticipantes.
2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesquesedetallanacontinuación.
Se tienencuatropesas,con lasquesepuedemedirdesde1kghasta40kg inclusive,(siempresepesankilogramosenteros,nofraccionesdekilogramo),¿dequévalordebesercadaunadelaspesas?
a. Contesten:¿tienenalgúnplanpararesolverelproblema?¿Cuál?
b. ¿Hanresueltoalgúnproblemaparecidooquetengaalgunarelaciónconelexpuestoproblema?¿Cuál?
c. Resuelvanelproblema.
d. ¿Cuándoseutilizaelconceptodepotenciación?
e. Analicensiesteproblematienealgunarelaciónconlapreguntaanterior?
f. Revisenyescribanlospasosqueaplicaronparasolucionarelproblema.
3.Reflexionenyregistrensusconclusiones.Guíenseporlaspreguntas.
a. ¿Quéharíanparacontribuiraquesusestudiantesresuelvanesteproblema?
b. ¿Cómodiseñaríansuclaseparagenerarespaciosnuevosquepermitanexplorardife-rentesformasderesolucióndeestetipodeproblemas?
c. ¿Enquéotrocontenidodelasmatemáticasvaaserútilesteconceptodepotenciación?
d. ¿Enquétipodeproblemassepuedepresentarlapotenciación?
e. ¿Quéventajasobservanustedesenestaformadetrabajarconlosestudiantes?
2.Respondan:¿Encuentranustedesalgúnerrorenlaformaderesolverelproblema?¿Cuál?
3.Resuelvan:sielcultivoenunlaboratoriocomienzaconunabacteria,¿cuántasbacteriastendráelcultivoenseishoras?
Actividadengrupo:Análisisdeproblemasyreflexióndidáctica
Elinstructorlepediráaunadelasparejasqueexpongasusconclusiones.
Actividadplenaria
Cuandoelinstructorselossolicite,compartansustrabajosconlosdemásparticipantes.
Actividadplenaria
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1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2.Ensayencómodemostraríanasusestudianteslassiguientespropiedadesdelapotencia-ciónyradicación,atravésdelusodematerialconcreto.
Actividadengrupo:Usodematerialconcreto
Propiedadesdelapotenciaciónyradicación
a.Elproductodepotenciasdelamismabaseesigualalabaseelevadaalasumadelosexponentes.
75•72=7•7•7•7•7•7•7=77
b.Elcocientedepotenciasdelamismabaseesigualalabaseelevadaaladiferenciadelosexpo-nentesdeldividendomenoseldivisor.
54:53=54-3=51=5
c.Unaconsecuenciadelapropiedadanterioreselexponentecero.
70=493/493=(72)3/(72)3=76/76=76-6=70;pero493/493=1;porloque70=1
d.Potenciadeunapotencia:enestecasoseescribelamismabaseysemultiplicanlosexponentes.
(a3)2=a3•2=a6
e.Potenciadeunaraízoviceversa:enestecaso,elíndicedelaraízdividealexponente.
b6=b6/2=b3;pongamosunejemplo:
26=26/2=23=8.
Otramaneraes:26=64=8
Cuandoelinstructorlosolicite,compartansustrabajosconlosdemásparticipantes.
Cuandoelinstructorloindique,intervenganconsusanálisisfrentealoplanteado.
1.Exponga,porescrito,sucriteriosobreelsiguienteprocedimiento:
Actividadplenaria
Actividadplenaria
Actividadindividual:Análisis
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=
Paralapróximasesión,traigalasfacturasdeenergíaeléctricadesuresidenciadelosúltimosseismeses.
Tareaindividual:Facturaseléctricas
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Proporcionalidad: datosestadísticos y representacionesen el plano cartesiano
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SESIÓN13Duración:2horas
• Reconocerlasventajasdetrabajarproporcio-nalidadapartirdeunatabladedatosygráfi-casenelplanocartesiano.
• Aprenderareconocereltipoderelacioneslla-madasproporcionalidaddirectaoinversa,apartirdeacontecimientoscotidianos.
• Aplicar algunas propiedades de las propor-ciones.
• Utilizar laproporcionalidaden la solución yelaboracióndeproblemas.
• Lafraccióncomorazón.
• Conceptodeproporcionalidad.
• Proporcionalidaddirecta.
• Proporcionalidadinversa.
Objetivos Contenidos
1.Leanlosiguiente:
Actividadenparejas:Conceptoderazón
UNIDAD 4 Proporcionalidad
Lectura:Lafraccióncomorazón
EnlaEscuela“Francisco”haycuatrogruposdeprimeraño.Enlasección“A”haysietehombresysietemujeres;enlasección“B”,treintahombresyveinticincomujeres;enlasección“C”,veintehombresydiecinuevemujeres,yenlasección“D”,dieciochohombresyquincemujeres.Alpresentarelexamendematemáticas,enlasección“A”reprobarontreshombresycuatromujeres;enlasección“B”,seishombresyseismujeres;enlasección“C”,ochohombresysietemujeres,yenlasección“D”,treshombresydosmujeres.
En este capítulo sepuede verificar conmayor claridad la transversalidad de los conceptos a través de los diferentes sistemas,queayudaránaentenderlasmatemáticascomountodocohe-rente,enlugardeunacoleccióndetécnicasaisladasydereglasarbitrarias.
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2.Apuntenlainformaciónqueserequiereenelsiguientecuadro.
Grupo Númerodeestudiantes Númerodereprobados Partedeestudiantesreprobados
A
B
C
D
HombresMujeresTotal HombresMujeresTotal HombresMujeresTotal
3.Conteste:
a.¿Quégrupotienemásestudiantes?
b.¿Quéparalelotienemenosestudiantes?
c.¿Enquégruporeprobaronmásestudiantes?
d.¿Encuálreprobaronmenosestudiantes?
e.¿Enquéparaleloesmáselevadoelíndicedereprobación?
f.Delosgrupos“A”y“C”,¿cuáltienemayoríndicedeaprobación?
g.¿Quépartedeltotaldeestudiantesdelosgrupos“B”y“D”reprobaron?
h.Del total de estudiantes del grado, ¿cuál es el índice de aprobación de hombres ymujeres?
i.Enlasfraccionesanteriores,¿quérepresentaelnumerador?
j.¿Quérepresentaeldenominador?
k.Representeneltotaldereprobadosencadacírculo:
Grupo“A” Grupo“B” Grupo“C” Grupo“D”
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l.¿Quéesunarazón?
Actividadindividual:Razonesenlavidacotidiana
Actividadindividual:Razonesyfracciones
1.Resuelvaelsiguienteplanteamiento:
Enlasinstruccionesdelusodeunsuavizantederopaseindicaquecada8medidasdeaguahayqueusar2medidasdelproducto.¿Cuántasmedidasdelsuavizantesenecesitaránparamezclarlascon24medidasdeagua?
Ladivisiónindicadaquerepresentelarazóndelacantidaddeaguaalacantidaddesuavi-zantees:
Cantidaddeagua 8Cantidaddesuavizante 2
Paradeterminareldatorequeridodebeencontrarelnúmeroporelcualdividirálas24paraobtenerelmismocociente.
Cuandodosrazonestienenelmismocociente,laspuedeigualardandolugaraunaproporciónquesimbólicamenteserepresentanasí: a/b=c/d,seleeaesabcomocesad.
Todafracciónesunarazón,peronotodarazónesunafracción.
1.Lealosiguiente:
2.Contestelaspreguntas:
a.¿Quécomentariospuedehaceracercadelafraseanterior?
b.¿Cómojustificaesoscomentarios?
Realicensuscomentariossobrelasdosactividadesrevisadas.
Actividadplenaria
Difundansuconceptoderazónconsuscompañerosyconstruyanunconceptoentretodos.
Actividadplenaria
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1. Paralastresactividadessiguientes,formengruposdetrespersonas.
2. Considerencincorectángulosde3cmdebaseyalturasdiferentesyluego:
a. Determineneláreadecadaunoenunidadescuadradas.
b. Elaborenunatabladedatosenqueseasignenalvalordelasabscisaslaalturadelrectánguloyalasordenadaselárea.
c. Grafiquenenunplanocartesianolasdosmagnitudes:laalturadelrectánguloyelárea.
d. Indiquensilasmagnitudesestáncorrelacionadas,sisondirectamenteproporcionalesoningunadelasdos.
e. ¿Porquépodemosasegurarqueelladodeunrectánguloyeláreacorrespondienteestándirectamentecorrelacionados?
f. ¿Podemosafirmarqueexisteproporcionalidaddirectaentrelasdosmagnitudes?
g. ¿Dequétipoeslagráficadeunaproporcióndirecta?
h. Siconocencuáleslarelaciónqueexisteentrelafórmuladeláreadeunrectánguloyelresultadodelagráfica,menciónela.
3. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenlaalinstructor.
1. Reunanlasfacturasdeenergíaeléctricadesuresidenciadelosúltimosseismeses.
2. Ubiquenordenadamente,enunatabla,losdatosdeenergíaconsumidadadaenKWporhoraenrelaciónconelvalorfacturado(antesdeimpuestos).
3. Conunplanocartesiano,grafiquenestosdatosydeterminen: a.¿Cuáleslarazónentrelasdosmagnitudes? b.¿Essiemprelamisma? c.¿Quérepresentaestarazón?
4. Encuentranalgunarelaciónentreelconceptoderazónyotroconceptoqueseráanalizadoenlasecundaria?¿Cuál?
5. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
Actividadengrupo:Proporcionalidaddirecta
Actividadengrupo:Proporcionalidadenlavidacotidiana
Discutansusrespuestasconlosdemásdocentes.
Actividadplenaria
Cuandoelcocienteentredosmagnitudesesconstante,decimosquelasmagni-tudessondirectamente proporcionales.Estecocientesedenominaconstante de proporcionalidad.
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1. Encuentrencincoejemplosdiferentesderectángulosquetenganlamismaárea.
2. Registren,enunatabla,elanchoyellargodecadaunodeellos.
3. ¿Quésucedeconellargocuandoelanchoaumenta?
4. ¿Podemosafirmarquesonmagnitudesinversamentecorrelacionadas?¿Porqué?
5. ¿Podemosasegurartambiénquesoninversamenteproporcionales?¿Porqué?
6. ¿Cuáleselhechoqueratificalaproporcionalidadenelcasodedosmagnitudesinversas?
7. Revisenlosconceptosenunaactividadplenariaconelinstructor.
8. Entreguenunahojaconsusrespuestasalinstructor.
Actividadengrupo:Proporcionalidadinversa
Ungruposeleccionadoporelinstructorpresentaráalrestodelaclaselaprimeraactividad;otrogrupo,lasegundaylatercera.
Luego,conayudadelinstructor,obtendránconclusionesrespectodeloplanteado.
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Equivalencias geométricas14SESIÓN14Duración:2horas
• AprenderquelademostracióndelteoremadePitágorassepuedehacerutilizandodiferentesfiguras.
• TeoremadePitágoras.
• TeoremadePitágorasgeneralizado.
• Rompecabezaspitagóricos.
Objetivos Contenidos
Actividadenparejas:TeoremadePitágoras
Seguramente,todossabendequéhablamossisenombraelteoremadePitágoras.Elsiguien-teejerciciolosayudaráarefrescarsuconocimientosobreeltema.
1.Enparejas,realicenlalecturasobreelteoremadePitágoras.
Parauntriángulorectángulo,cuyoscatetosllamaremosaybycuyahipotenusadenomi-naremosh,elteoremadePitágorasindicaque:
Elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadeloscuadradosdeloscatetos;esdecir:h2=a2+b2
Paraunamentalidadalgebraicacomolaactualmenteimperanteenlasmatemáticassuinterpretaciónesclara:enuntriángulorectánguloloquemidelahipotenusaelevadoalcuadradoessiempreigualquelasumadeloscatetoselevadosalcuadrado.
Sinembargo,paraunestudiantedematemáticasdelaGreciaClásica,lainterpretacióndea2noeraladeelnúmeroaelevadoalcuadrado,sinoqueeraladeláreadeuncua-dradodeladoaa2porloquelainterpretacióndelteoremadePitágorasparaunantiguohelenosería:“Enun triángulorectángulosiempreseverificaqueeláreadelcuadradoconstruidosobrelahipotenusaesigualalasumadelasáreasdeloscuadradosconstrui-dossobreloscatetos”.
2.Contestenlassiguientespreguntas:
a.¿CreenqueelteoremadePitágorasfuedemostradoensutiempoenlaformaalge-braicacomoloconocemosahora?¿Porqué?
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Actividadengrupo:TeoremadePitágoras
b.ComparelainterpretacióndelaGreciaClásicadelteoremadePitágorasconlaactual.¿Enquéfavorecealpensamientomatemático?
c. ¿Quéconclusionespuedensacarsobrelaevolucióndelasmatemáticasenlahistoriadelahumanidad?
d. Compareelpensamientodeesaépocadelahumanidadconeldenuestrosniños.
Actividadplenaria
Elinstructorlepreguntaráaalgunasdelasparejassusrespuestasalaspreguntasparadiscutirlasenelgrupo.
1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2.Leanelsiguientetexto:
Apartir de la interpretacióngeométricadel teoremadePitágoras,podríamospreguntarquéocurriríasienvezdeconstruircuadrados(polígonoregulardecuatrolados)sobreloscatetosylahipotenusadeltriángulorectángulohubiéramosconstruidotriángulosequiláteros(polígonoregularde tres lados). ¿Seguirá siendo ciertoqueel áreadel triánguloequilátero construidosobrelahipotenusadeuntriángulorectánguloessiempreigualalasumadelasáreasdelostriángulosequiláterosconstruidossobreloscatetosdeltriángulorectángulo?
Laspreguntasacontinuación,entonces,seríaconsecuentes:¿quéocurriríasiconstruyásemospentágonos regulares (polígonoregulardecinco lados) sobre loscatetosy lahipotenusadeltriángulorectángulo?¿Seguirásiendociertoqueeláreadelpentágonoregularconstruidosobrelahipotenusadeuntriángulorectánguloessiempreigualalasumadelasáreasdelospentá-gonosregularesconstruidossobreloscatetosdeltriángulorectángulo?
EstasinterrogantesnosllevanalteoremadePitágorasgeneralizado.
Sienlugardeconstruiruncuadrado,sobrecadaunodelosladosdeuntriángulorectángulo,seelaboraotrafigura,¿seguirásiendociertoqueeláreadelafiguraconstruidasobrelahipotenusaesigualalasumadelasáreasdelasfigurassemejantesconformadassobreloscatetos?
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Acontinuación,sepresentanalgunasdemostracionesvisualesdelteoremadePitágorasenformaderompecabezas.Entodosellas,laspiezasenlasquesehadivididoloscuadradosconstruidossobreloscatetoscompletanelcuadradoconstruidosobrelahipotenusa.
Lassiguientesdiseccionessonválidasparacualquiertriángulorectángulo.
1.Formengruposdecuatropersonas.
2.Concartulina,formencualquieradelosrompecabezasmostradosacontinuación:
Debatanconlosdemássobrelasrespuestasplanteadasduranteeltrabajoengrupo.
Actividadengrupo:Rompecabezaspitagóricos
Actividadplenaria
3. Compruebenmatemáticamente,conlatercerafigura,siloexpuestoeneltextoesposible.
4. Expliquen,demaneraargumentada,surespuestaalapreguntaanterior.
5. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
6. EscojanunodelospolígonosyapliquenelteoremadePitágorasparacomprobarlodemane-ragráfica.Paraesto,recortenpiezasconlasfigurasqueconformanelpolígonoseleccionado.Cuandoesténsegurosdesurespuestayqueconfirmasuanteriorexplicación,péguenlasenunpapelógrafo.
7. Cuélguenloenlasparedesdelaclaseparaquetodoslovean.
Losrompecabezasquesiguensólosonválidosenelcasodequeeltriángulorectánguloini-cialseaelqueseindica.
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3.Unavezconcluidalaactividad,acérquesealosotrosgruposparaquearmenloscuatrorompecabezasqueestánenlasdiferentesmesas.
4.Escribanlosnombresdelosmiembrosdelgrupoenelrompecabezasyentréguenselosalinstructor.
1.Respondanlosiguiente:
a.Quécondicióndebencumplirdossegmentosparaquesurazónsea: k=3 k=1 k=1/2
b. Si dos razones son iguales, ¿significa que los segmentos tienen las mismasdimensiones?
c.Grafiquecuatrosegmentosquecumplanconlassiguientescondiciones: c1:LarazónentrelossegmentosCDyEFesk=4/5 c2:LarazónentrelossegmentosGHyJLesk=4/5 c3:LarazónentrelossegmentosEFyMNesk=1
2.Escribansusrespuestasenunahojayentréguenlaalinstructor.
Actividadenparejas:Razonesdesegmentos
Actividadenparejas:Segmentosproporcionales
1. Calculenlasrazonesdeloscuatrosegmentosacontinuación:
CD=2cm;EF=6yGH=3;JL=9
2. ¿Quéinterpretansegúnlosresultadosobtenidos?
3. ¿Cómoseconocealossegmentosquecumplenconlacaracterísticadelliteraladeac-tividad1?
4. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.
Triángulorectánguloisósceles Triángulo3,4,5
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4Actividadplenaria
Suinstructorlepediráaungrupoqueexpongaelteoremaparadebatiracercadelconceptoproporcionado.
Actividadplenaria
Discutan,conlosdemásparticipantes,susrespuestasalasdosactividadesanteriores.
1.Reúnanseengruposdecuatroparticipantesyobservenelgráficodescrito,asícomolasproporcionalidadesrespectivasquesecumplenbasadasenelteoremadeThales.
2.Apartirdeloobservado,deuzcanelconceptodelteoremadeThales.3.Escríbanloensucuadernodeanotaciones.
Actividadengrupo:TeoremadeThales
• AB/BC=DE/EF=GH/HI• FI/EH=EH/FIóFI/CF=EH/EB=DG/DA• OI/OG=FI/DG=CI/AG
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Regla de tres15SESIÓN15Duración:2horas
• Reflexionarsobrelaimportanciadeutilizarconceptosmatemáticospararesolverproblemasdelavidacotidiana.
• Aplicarlaproporcionalidadenlosproblemasqueameritanlaaplicacióndelaregladetres.
• Regladetressimple:directaeinversa.
• Regladetrescompuesta:directa,inversaymixta.
Objetivos Contenidos
1.Formengruposdecuatrodocentes.
2.Realicenlosiguiente:
a.Tomenunresorteydosdiferentesobjetosquehayansidopreviamentepesados.
b. Cuelguen el de menor peso de un extremo del resorte y midan el alargamientoprovocado.
c.Relacionenelpesodelprimerobjetoconelalargamiento.
d.Pregúntense:sielsegundoobjetopesamás,¿elalargamientoqueprovocaráenelre-sorteserámayoromenorqueelanterior?
e.¿Cuántomás?
f.Sustentensurespuestaenformaanalítica.
g.Anótenlasensuscuadernos.
h.Participenenlaplenariasobreeltema.
1.Leaneltextoqueconstaacontinuación:
Actividadengrupo:Regladetressimple(directa)
Actividadengrupo:Regladetressimple(inversa)
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2.Compárenloconsusrespuestasalaactividadanterior.
Laregladetressimplerelacionatresmagnitudes
paraobtenerunacuarta.
Siemprelosdatosquecorrespondenalamismamagnituddebenquedarenlamismaco-lumna:$sobre$,kgsobrekg,horassobrehoras,obrerossobreobreros,etc.
Ejemplos:
a.Si12naranjascuestan$72,¿cuálseráelpreciode20naranjas? •Larelaciónentre12y72determinarálarelaciónentre20yelvalordesconocido.
b.Si6obrerostardan12díasenrealizaruntrabajo,¿cuántotardarán8obreros?
•Larelaciónentre6y12nospermitiráaveriguarlarelaciónentre8yelvalordesconocido.
Pero¡cuidado!...Vuelvaaleerlosdosejemplos.Notequeambosseparecen,peronosoniguales;esmás,unotieneuningredienteopuestoaldelotro.
En el primer caso:
Másnaranjascuestanmásdinero.Menosnaranjascuestanmenosdinero.
Amás corresponde más, a menos corresponde menos Sondirectamenteproporcionales.
Esteproblemaseresolveráaplicandolaregla de tres simple directa.
Naranjas $ 12 72 20 x dondex=72•20 12
En el segundo caso:
Másobrerostardaránmenostiempo.Menosobrerostardaránmástiempo.
Amás corresponde menos, a menos corresponde másSoninversamenteproporcionales.
Elproblemaseresolveráatravésdelaregla de tres simple inversa.
Semultiplicanlosvaloresqueestánenladiagonalquenocontieneaxysedivideeseresultadoporelvalorqueestáenladiagonalquecontienealaincognita.
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Obreros días 6 12 8 x dondex=12•6 8
Esdecirquesemultiplicanentresílosdosvaloresdelaprimeralíneahorizontalquenocontieneaxysedivideelresultadoporelvalordelasegundalíneahorizontalqueimplicaalaincognita.
1.Analicenloscasosdelasiguientelistaydeterminensisonmagnitudesdirectasoinversa-menteproporcionalesentresí.EscribasobrelalíneaMDoIPsegúncorresponda.
• Elcostodeunamercaderíaylaantidaddelamisma.
• Elsueldodeunobreroyeltiempodesutrabajo.
• Ellargoyelanchoderectángulosdeigualárea.
• Eltiempoempleadoyeltrabajorealizado.
• Lavelocidaddeunautoyeltiemponecesariopararecorrerunadistancia.
• Elnúmerodeobrerosyeltrabajorealizado.
• Elpesodecuerposdelmismomaterialyelvolumenocupadoporlosmismos.
• Eltiempoempleadoenhaceruntrabajoylacantidaddeobreros.
• Ladistanciarecorridaporunautoyeltiempoempleado.
Actividadenparejas:Magnitudesdirectasoinversas
Elinstructorsolicitaráacadapersonasusrespuestas,paraque,desernecesario,lascorrijan.
El instructor solicitará a algunos grupos que presenten las actividades a los otros partici-pantes,parasometerlasluegoadiscusión.
Actividadplenaria
Actividadplenaria
1.Leanelplanteamientoydesarrollodelossiguientesproblemas.
2.Escribancomentariosalrespectoensucuaderno.
Primero:Se compraron 8 paquetes de materia prima de 150 kg, cada uno. En total se pagó $ 480. ¿Cuánto costarán 20 paquetes de 80 kg, cada uno?
Actividadenparejas:Regladetrescompuesta
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Pero,¿existelaregladetresentrecinco,siete,nueveomásmagnitudes?Porsupuestoqueno.Entalescasosdeberíallamarse“regladecinco”,“regladesiete”,etc.Enrealidadsonvariasreglasdetressimpleaplicadassucesivamente.Ycadaunadeéstaspuedeserdirectaoinversa,conloquelasoperacionesdeproductoococientedependerándeeso.
Análisis:8paquetescostaránmenosque20ylosde150kg,costaránmásquelosde80kg.Sisefijanconcuidado,ambasrelacionessondirectamenteproporcionales(acantidad,mayorseráelcosto).
Varias reglas de tres simple directas y sucesivas formarán una regla de tres compuesta directa. 8 480 20 x
x=480•20 8Nuevamente: 150
80 y
y=480•20•80 8•150
Enlaregladetrescompuestaintervienenmásdetresmagnitudesovaloresylarelaciónestablecidaentrelasconocidaspermiteobtenerunadesconocida.
Ejemplos:
a. Un automovilista sabe que para cubrir cierta distancia en 10 días, a razón de 12 horas diarias de marcha, debe andar un promedio de 42 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad deberá ir para realizar ese mismo trayecto en 8 días, viajando 9 horas diarias?
Análisis:Paracubrirel trayectoenmenosdíasdeberáviajaramásvelocidadysiviajamáshoraspordíapodráhacerloamenorvelocidad.Ambasrelacionessoninversamenteproporcionales.
Variasreglasdetressimpleinversasysucesivasformaránunaregla de tres compuesta inversa.
Lasdosreglasdetressimpleinversasserían:
10 42 8 x
x=42•10 8
Nuevamente:12
9 y
y=42•10•12 8•9
480•208
42•108
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OBSERVACIÓNIMPORTANTE:
Cadadatodirectamenteproporcionalquedaráenelnumerador.Cadadato inversamenteproporcionalquedaráeneldenominador.
b. El dueño de una tejeduría ha calculado que para elaborar 630 m de tela, 8 operarios tar-dan 7 días. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan sólo 6), ¿cuántos días tardarán para hacer 810 m de tela?
Paratejermástelatardaránmásdías(relacióndirecta),peromenosobrerosdemoraránmásdías(relacióninversa).Es,portanto,unaregla de tres compuesta mixta.
Variasreglasdetressimplesucesivas,unasdirectasyotrasinversas,formaránunaregla de tres compuesta mixta.
Ladossucesivasreglasdetressimpleserían:
630 7 810 x
x=7•810 630
Luego: 8
6 y
y=7•810•8 630•6
Cuandoelinstructorlorequiera,comentenconlosdemásdocentesacercadecómolesre-sultamásfáciltrabajar:condosreglasdetressimplesoconunaregladetrescompuesta.
Actividadplenaria
7•810630
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Porcentaje e interés16SESIÓN16Duración:2horas
• Reflexionaracercadelaimportanciadetra-bajarcontemasdelavidacotidiana.
• Aplicarlaproporcionalidadenlosproblemassobreporcentajeeinterés.
• Losporcentajesenlavidacotidiana.
• Fraccionesdecimales.
• Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales.
• Eltangramylosporcentajes.
• Interés.
Objetivos Contenidos
1.LeaelartículoLa crisis internacional y su gestión global.
Actividadindividual:Losporcentajesenlavidacotidiana
Respectoalcomerciointernacional,elBancoMundialylaOrganizaciónparalaCooperaciónyelDesarrolloEconómicos (OCDE)prevén–31demarzode2009–unacaída“sinprecedentes”de6,1%delvolumendelcomerciomundialdebienesyserviciosen2009,impactadosobretodoporunacontracciónaúnmásdrásticadelosintercambiosdeproductosmanufacturados.Asuvez,laOrganizacióndePaísesExportadoresdePetróleo(OPEP)considera–14deabrilde2009–quelademandamundialdecrudosereduciráen1,6%paraesteaño2009.Otrocapítuloaparteeselimpactoenlascuentaspúblicasdelospaísesindustrializados.
Elporcentajeesunadelasexpresionesmatemáticasquemásusamosenlavidacotidiana.Porotraparte,lainformaciónqueapareceenlosmediosdecomunicaciónestárepletadedatosexpresadosenporcentajes.Porejemplo:“Rebajasdel10%entodoslosartículosdelhogar”o“Lademandamundialdecrudosereduciráen1,6%paraesteaño2009”.
Unporcentajeeslaproporcióndeunacantidadrespectodeotrayrepresentaelnúmerodepartesquenosinteresandeuntotalde100.
Lectura:Lacrisisinternacionalysugestiónglobal
Alfredo Acosta, profesoreinvestigadordelaFLACSO Alfredo Serrano, profesorvisitantedelaFLACSO
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Despuésdehaberabogadoporeldogmadelequilibriopresupuestario–tantoenlaUniónEuropeaconsuPactodeEstabilidadyenlosEstadosUnidos–,lamayoríadelospaíseshanincumplidosuspropiascondicionesimpuestas,quesonlasmismasquehanexigidoalamayoríadelospaísesmáspobresalahoradeconcederlespréstamos.EstadosUnidospuedeterminarsuañocon1,5billonesdedólaresdedéficit,equivalenteal12%delPIB.EuropatambiénrompeloslímitesestablecidosenelcitadoPactodeEstabilidad(del3%comomáximo),dondeeldéficitpúblicosetriplicóconrelacióna2007.ElpaísconmásdéficitdelazonadeleuroesIrlanda(7,1%delPIB),seguidodeGrecia(5%)yMalta(4,7%),mientrasqueEspaña,conundéficitdel3,4%(elGobiernohaelevadoyaestacifraal3,8%)sesitúaenelcuartolugar.EnelconjuntodelaUniónEuropea,elsaldopresupues-tariotambiénempeorósignificativamente,yaquepasódel0,8%al2,3%delPIB.SegúnlosdatosdifundidosporEu-rostat,laoficinaestadísticacomunitaria,tambiéncambiólatendenciadecorreccióndeladeudapública,quepasódel66%al69,3%delPIB.
Eldesempleoesotravariablequetambiénhasufridounfuertedescalabroen lospaíses industrializados.EnEsta-dosUnidosllegóal8,5%enelmesdemarzo.EnlospaísesdelaOCDEfuedel7,3%,mientrasqueenlazonaeuroalcanzóel8,5%.Franciatuvoenfebreropasadoel8,6%.ElcasomásllamativoesEspaña,conun15,5%enlatasade desempleo dandomuestras de la sensibilidad de sutejidolaboralalosvaivenesdelPIB,másaúncuandosetratadeunmodeloproductivoquehacrecidoenbaseaunaburbujainmobiliariaqueahorasehadeshinchado.
Recordemos que un porcentaje no es otra cosa que una fracción de denominador 100, que se escribe de otra manera. Enlosdiariospodemosleer:“Lainflacióncrecióen0,3%enelmesquetermina”,“Enlaligadefútbol,el35%delospartidosterminaenempate”,“AmericanAirLinesplanteare-cortessalarialesdel15%parasalvarsuempresa”,“LaUNESCOcomprobóquequedansolo2,7%delapoblaciónsinsaberleeryescribir”.
Comove,noticiasrelacionadascontrabajo,economía,deportes,política,educación,etc.,utilizanlosporcentajes.
Fíjeseenestafrase:“ElimpuestodelIVAesdel12%”,significaqueporcada$100decomprasenartículosquepaganesteimpuestodeberápagaradicionalmente$12.SiunartículocargadoconIVAcuestaentotal$10;estoquieredecirqueelimpuestocausadoserá$1.20.Sicomprauntelevisorquecuesta$5000,tendráquepagar$600porelIVA.
Unadelasventajasdeutilizarlosporcentajeseslafacilidaddecompararlos:enlugardedecir“los13/20”o“los16/25”,“el65%”o“el64%”.Asífácilmentesepuededarcuentaquelaprimarafracciónesmayorquelasegunda.
Cuandodigo1/2olamitadde...,estoytratandodeencontrarcuántovaleunapartedelacantidadquemehandadosiladividoendospartesiguales.Porejemplo:el1/2de40esiguala20;el1/5de18es3,6.
2.Deacuerdoconeltextoanterior,escribasuscomentariossobre: a.¿Cuáleselusoqueseledaalosporcentajeseneltexto? b.¿Enquéotroscontextossepresentanlosporcentajes? c.¿QuémanejoseledanalosporcentajesenlaEducaciónGeneralBásica?
3. Leaeltextoacontinuación.
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Cuandoelinstructorlosolicite,expongansuscriteriossobrelaslecturasprecedentes.
NOTAIMPORTANTE:Cuandocomparadoscantidadesdeunamagnitud,estáusandolasfraccionescomorazones.
Así,cuandodicequelaproporciónentrehombresymujeresenelinstitutoesde3a2respectivamente,estádiciendoqueporcada3chicoshay2chicas;esdecirquedecadacincoestudiantes,3sonchicosy2sonchicas.
Uncasoparticulardeaplicacióndelas fraccionescomo razónsonlosporcen-tajes,yaqueéstos indican larelacióndeproporcionalidadqueseestableceentreunnúmeroy100(tantoporciento),unnúmeroymil(tantopormil)ounnúmeroyuno(tantoporuno).
1.Conelgraduadorcircular,marquenunaescaladel0al100,enquelos90ºequivalgana25unidades,180ºa50,270ºa75y360ºa100unidades.
2.Notenquealtomarlacircunferenciacomounidadsepuedefraccionaren100/100(ciencentésimas),queequivalena1,00.
1.Formengruposdetrespersonasypiensenenlosiguiente:
a.¿Quésignificalaexpresión.“El50%delasfichasdeunjuegodeajedrezsonblancas”.
b.¿Cómoexpresaríanconelsímbolo%laexpresión.“EnelconciertodeJuanLuisGuerradecada100asistentes,57eranmujeres”.
Actividadenparejas:Fraccionesdecimales
Actividadplenaria
Actividadengrupo:¿Quésignificaeltantoporcientode...?
Tomandocomoejemplo1/2decircunferenciaveanque1/2equivalea50/100yésto,asuvez,correspondea0,50.
1/2esiguala0,5yselee“cincodécimas”.
Que1/2esigualque0,50yselee“cincuentacentésimas”.
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2.Conde lasplantillasde fracciones, formencantidadesdadasenporcentaje,comoporejemplo25%,50%,100%.
3.Representen,conlasplantillasdefracciones,lossiguientesporcentajes:33,33%,66,66%,25%,75%.
4.LeaneltextoRelación entre porcentajes, fracciones y decimales.
5.Escribanensuscuadernoquéconclusionesinteresantesobtuvierondeltexto.
Lectura:Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales
Cuandodigo1/2olamitadde...,estoytratandodeencontrarcuántovaleunapartedelacan-tidadquemehandadosiladividoendospartesiguales.
Porejemplo:el1/2de40esiguala20;el1/5de18es3.6.
Siemprequedeseoencontrar1/2,1/3,1/4,…,etc.,deunacantidad,bastadividirdichacanti-dadpor:2,3,4,…,etc.
Elcálculo mental debeserunaconstanteentodaslasclasesdematemáticas;estoayudaráadesarrollarlaagilidadmentalyelrazonamientoenlosestudiantes.
Esperamosqueestoayudealosniñosacomprenderlasfraccionesylosporcentajes.
CálculomentalEl10%de200= El5%de500=El20%de35= El25%de32=El50%de6= El331/3%de12=
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Actividadenparejas:Construccióndeuntangram
¿Quéesuntangram?
Esunjuegochinoquetienemuchísimosañosdehabersidoinventado.Setratadeuncuadra-dodivididoencincotriángulos isóscelesdedistintos tamaños,uncuadradopequeñoyunparalelogramo.Elcuadradooriginalsehadivididoensietepiezas,quepuedenserubicadasendiferentes formasparaobtener distintas figuras, ya seadepersonas, animales, letras,cosas,etc.
Procedimiento:
1. Dibujenuncuadradode20cmdelado.
2. DenominenA,B,CyDacadavérticedelcuadrado,ensentidoantihorario,comenzandoporelvérticeinferiorizquierdo.
3.Marquenelpuntomediodecadalado.
4. Nombrenlospuntosmedios:E,F,G,H.ComiencenporelladoABensentidoantihorario.
5. TracenladiagonalAC.
6. DibujenelsegmentoEF.
7. TracenladiagonalDBhastalaintersecciónconelsegmentoEF.
8. RealicenelsegmentoEHhastalaintersecciónconladiagolnalAC.
9.Marquen el puntode interseccióndel segmento FG con ladiagonalAC.No tracen elsegmento.
10.UnanesteúltimopuntoconeldelainterseccióndeladiagonalDByelsegmentoEF.
1.Encuentrenquépartedelcuadradooriginalescadaunadelasfiguras.
TriángulograndeTriángulomedianoTriángulopequeñoCuadradoParalelogramo
# Figura Partedelcuadradooriginal
1.Expongansusideasantelosdemásdocentes.
2.Sinoformanpartedelgrupoqueexpone,realicepreguntasparadebatir,como:
a.¿Quérelaciónexisteentrelosdecimales,lasfraccionesylosporcentajes?
b.¿Cómoharíaustedparaexplicarleestarelaciónasusestudiantes?
Actividadplenaria
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Actividadindividual:Aplicacióndelaregladetresydelcálculodeinterés
1.Analicelasiguientesituación:
Unbancoparticularprestadineroycadames,exigequeporcada$100prestadosselepaguedeinterés$2,50.
a.¿Cuántodeberíaustedpagarentotalporunpréstamode$100enunmes? b.¿Cuántodeberíaustedpagarentotalporunpréstamode$1000enunmes?
2.Observeelcasoacontinuación:
Debidoaqueporcada$100debedevolver$2,50adicionalesenunmes,entoncestienequedevolver$102,50.
Enelcasodelpréstamode$1000,calculecuántosgruposde$100estáncontenidosenlos$1000…larespuestaes10grupos;porlotanto,siporcada100personasdebendevolver$2,50;almultiplicar10por$2,50seobtieneunvalorde$25porconceptode intereses.Debepuessumarlos$1000ylos$25.Así,eltotalapagares$1025.
1.Leanlosiguiente:
¿Cuáleselvalordelos3/8de40?Estoeslomismoque3/8=?/40.Notequesehaquintuplicadoelvalordel8paraobtener40;entonces:
3/8=15/40,porloqueelvalorbuscadoes15.
Recuerdelapropiedad:
2. Reúnanse enparejas y respondan las diferentes preguntasbasadas en el conceptodeporcentaje:
a.¿Dequénúmero15esel37,5%? b.Side40tomo15,¿cuántodebocogerde100parahabertomadoelmismoporcentaje? c.Yde8,¿cuántodebotomar? d.¿Quéporcentajees3de8? e.Si3representael37,5%deunnúmero,¿cuáleséste?,etc.
Actividadenparejas:Fraccionesyporcentajes
2.Justifiquensusrespuestas.
3.Recortenlasfigurasycompruebesusaciertos.
4.Anotensusresultadosensucuaderno.
Revisen,conlosdemásdocentes,sustrabajosrealizadosenlaactividadanterior.
Actividadplenaria
Siambostérminosdeunafracciónsemultiplicanodividenporelmismonúmero,elvalordelafracciónno se altera.
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3.¿Cómoexplicaríaloanteriorasusestudiantes?
Losinteresessonelresultadodeaplicarlatasadeinterésalcapital.Estatasadeinterésesunoperadormultiplicativoqueseaplicaaunacantidaddedineroqueseladenominacapital,paraobtenercomoresultadoelprecioportenereldineroduranteuntiempodeterminadodeduración.
Actividadenparejas:Cálculodeinterés
1.Reflexionensobrelosiguiente:
¿Podríamosdecirqueelinterésesuncasodeproporcionalidad?Siesasí,¿selopuederesolverutilizandolaregladetres?
2.Apliquenlocomentadoenelnumeralprecedenteparalaresolucióndelsiguienteproblema.
Lorenarecibeunpréstamode$5000aunatasadeinteréssimpledel12%anual.a. ¿Cuántodebepagarentotalalosseismeses?b. ¿Quéprecaucióndebenteneralrealizarestecálculoencuantoalatasadeinterés?c. Planteenunproblemadeinterésatravésdelqueexpliquensurazonamientoyrespues-tasanterior.
1.Cuandoelinstructorlosolicite,respondanlaspreguntasplanteadasenlaactividadanterior.
2.Expongansupropuestadidácticadeclasesdelaprimeraactividadyelproblemasobreinteresescreadoenlasegundaactividad.
1.Averigüesilosbancoseinstitucionesfinancierascobraninteréssimpleocompuestoycuálesladiferenciaentrelosdos.
2.Reflexionesobrelosiguiente:
¿Quéotraformaconocepararesolverlaproporcionalidadademásdelaregladetres?
Actividadplenaria
Tareaindividual
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Reparto proporcional17SESIÓN17Duración:2horas
• Aplicarlaproporcionalidadenproblemasdelavidareal.
• Lasfraccionesensituacionesdereparto.
• Problemasdeaplicaciónsobrerepartoproporcional.
Objetivos Contenidos
1.Formengruposdecuatropersonasyresuelvancadaunodelosplanteamientosquesepresentanyregistrelainformaciónqueserequiereenelcuadro.
Reparton.º1
Cuatroniñosserepartierontresbarrasigualesdechocolate.Acadaunoletocólamismacantidad,sinquesobrenada.¿Dequétamañoeranlasbarrasqueserepartieron,siloqueletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación?
Reparton.º2
Enotraocasión,tresniñosserepartieroncuatrobarrasdechocolate.Lapartequeletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación:
¿Dequétamañoeranlasbarrasqueserepartieron?
Actividadengrupo:Lasfraccionesensituacionesdereparto
Converseconelinstructorylosdemásparticipantesacercadecómoresolviólatareayporquélohizodeesaforma.
Actividadplenaria
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Reparton.º3
Unosniñosserepartieronvariasbarrasdechocolate.Acadaunoletocólamismacanti-dadsinquesobraranada.Lasbarrasylaporciónquerecibiócadaniñosoncomolasquesedibujanacontinuación:
¿Cuántosniñoseranycuántasbarritasserepartieron?
Reparton.º4
Armandorepartióentresustreshermanosochobarrasdechocolateynolesobrónada.Lapartequeletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación:
¿Dequétamañoeracadabarritadechocolate?
Reparton.º5
Variosniñosserepartieronalgunasbarrasdechocolate.Cadaunorecibió5/3debarra.¿Cuántasbarrasserepartieronycuántosniñoseran?
Barraentera. Porciónqueletocóacadaniño.
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Reparto Númerodebarras
Númerodeniños
Tamañodelabarraentera
Porciónqueletocóacadaniño
Cuadrodesíntesisdelainformación
2.Contestenlassiguientespreguntas:
a. ¿Encuál(es)reparto(s)eltamañodelabarraenteradechocolateesmásgrandequelapartequeletocóacadaniño?
b. ¿Encuálesmáspequeña?
c. ¿Encuál(es)reparto(s)seconocíantresdelosdatosdelproblema?
d. ¿Cuálessonesosdatos?
e. ¿Encuál(es)reparto(s)seconocíansólodosdatosdelproblema?
f. ¿Cuálesson?
g. ¿Hayalgúnproblemaquepuedatenermúltiplesrespuestas?
h. Silarespuestaalanteriorliteralesafirmativa,¿cuálesyporquésucedeeso?
i. ¿Cuálesladiferenciaentreelrepartonúmerocincoylosdemás?
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Comenteconlosdemásparticipantessobre:
1.¿Cuálessonlosrepartosmássencillosycuáleslosmáscomplejos?¿Porqué?
2.¿Conquétipodeactividadesconvieneintroducirelconceptodefracciónenlaeducacióngeneralbásica?
3.¿Quéventajas tienen losestudiantesalmanipularelmaterial concretoalmomentoderealizaractividadesdeestetipo?
1.Observenesteproblema:
Dosnúmerosestánenrelaciónde3a7.Sielmayores119,¿cuáleselmenor?
menor/mayor=3/7=x/119
2.Contestenlasinterrogantes:
a.¿Quérelaciónhayentreelproductodedosnúmerosyunodeellos?
b.¿Quérelaciónguardanlosdosfactoresentresícuandoelproductopermanececonstante?
3.Indiquencuántasvecessehamultiplicadoel7hastaconvertirseen119.El3debeincre-mentarseelmismonúmerodeveces.¿Cuáleselvalordelaincógnita?
4.Relacionenloanteriorconelsiguienteproblemayresuélvanlo:
Dosamigosseasocianparaemprenderunnegocio.Elprimeroaportacon$3500yelsegundocon$28000.¿Enquéproporciónserepartiránlasgananciasolaspérdidasdelnegocio?
5.Entreguensutrabajoalinstructor.
Actividadplenaria
Actividadenparejas:Aplicaciónrealderepartoproporcional
Aestaformaderepartirselaconoceconelnombrederepartimientos propor-cionales directos;porqueamayorcapital,mayorgananciaopérdidasegúnelcaso.
Encambio,cuandosereparteunaherencia,sinquehayauntestamento, laparte que corresponde repartir entre los hijos no puede hacerse en partesiguales,sobretodosihaymenoresdeedad,sinoqueselarepartiráenformainversamenteproporcionalalasedadesdelosbeneficiarios.
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Problemas integradores18SESIÓN18Duración:2horas
• Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndeproblemasqueinvolucrentodosloscontenidos.
• Problemasobreproporciónáurea.
• Problemasobrefondosdereserva.
• Problemasobredesechossólidos.
• Problemassobreporcentajesyfracciones:ensaladadefrutas,representacionesgráficas.
• Micropráctica.
Objetivos Contenidos
UNIDAD 5 Problemasintegradores
Enestecapítulosepresentanpropuestasdiferentesdeproblemasaplicadosenunavariedaddecontextos,conelfindemotivarlosaencontrarlasconexionesdelasmatemáticasconotrascienciasyáreas.
Estosproblemaspuedenserreplanteadosporusted,detalformaqueseconviertanenproyectosdeinvestigaciónyaplicaciónalaciencia.
Lapropuestayaincluye,enelmarcoteórico,losdatosnecesariospararesolverlosproblemas,peroqueremosqueustedesgenerenunanuevapropuestaque,apartirdelainvestigacióncon-ceptual,permitaalosestudiantesaplicarloscontenidosmatemáticosenelmomentooportuno.
¡Adelante!
1.Formengruposdecuatrodocentesyexponganquématerialsuelenutilizarycómoloapli-caránenlaenseñanzadeoperacionesaritméticasbásicasalosestudiantes
2.Respondan:¿quéotroscontenidospodríaenseñarconestematerial?
Actividadengrupo:Operacionesaritméticasbásicas
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Desarrolloconceptualdelnúmerobase10
Objetivos:
•Utilizarmaterialconcretoparaobservarlasunidades,decenasycentenas.
•Reconocerelconocimientoancestraldelosincasylastécnicasqueutilizabanparacalcularyre-solverproblemas.
Sumasinreagrupación
EnlosprimerosañosdelaEducaciónGeneralBásicaserecomiendaverbalizarlosejercicios,porejemplo:Marthatiene25borregosysuhermanaleregala13borregos.¿CuántosborregostieneMarthaentotal?
25+13=38
Parasolucionaresteproblemautilizandolatoptana nikichik,coloquelasfichasoeltipodemaízquecorrespondanalprimersumando,enestecaso25,delasiguientemanera:5motesenlacolumnadelasunidadesydosmaícesenladelasdecenas.Luego,hagalomismoconelsegun-dotérminodelasuma:3motesenlacolumnadelasunidadesyunmaízenladelasdecenas.Acontinuación,cuentelacantidaddemaícesencadacolumna.Elresultadoserá8motesenelordendelasunidadesy3maíceseneldelasdecenas;esdecir:38.
Sumaconreagrupación
Observeelejemplo:
238+125=363
Enestecaso,seutilizaráelhoyomásgrandepararegistrarlascantidadesquenoentrenenlacolumna.
Característicasdelmaterial
Latoptana nikichik,términokichwaquesignifica“ordenadordenúmeros”,esuncontadordemaderadeformarectangular.Po-seecuatrocolumnasconnuevehoyosporcadauna.Enlapartesuperior tiene un hoyomás grande que los anteriores, deno-minado0.Aquíesdondesecolocarálacantidaddeunidades,decenasounidadesdemilquenoalcanzanacontarseen lacolumnaquelecorresponda.Deestamanera,setransformarán10unidadesporunadecena,10decenasporunacentena,etc.
Paracomenzaraoperarconestatabla,senecesitacontarconvarias fichaspara identificar las unidades,decenas, centenas,etc..Losincas,porsuparte,usabanvariostiposdemaíz,comoelmote y el choclo, o cerealespara reconocer los valoresdecadasumando.
Elordendelascolumnas,dederechaaizquierda,es:
• Laprimeracolumna(colorverde)correspondealasunidades.• Lasegundacolumna(colorazul)indicalasdecenas.• Laterceracolumna(colorrojo)señalalascentenas.• La cuarta columna (color amarillo) pertenece a las unidadesdemil.
U D C UM
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Coloque las fichasomaícesque correspondanal primer sumando:8 en la columnade lasunidades,3enladelasdecenasy2enladelascentenas.Hagalomismoconeldelsegundosumando:5maícesenlasunidades,2enlasdecenasy1enlascentenas.Comienceasumarporlasunidades;obtendrá13maíces;9enlacolumnay4quelosubicaráenelhoyomayor.
Paraproseguirconlascifrasqueconstanenlacolumnadelasdecenas,reagrupelasunidadesenunadecena,incluyendolas4quecolocóenelhoyomayor.Éstapasaráaconformarunanuevadecenaen lacolumnacorrespondienteyen lasunidadessobrarán3motes;así,enelpresenteejemplo,quedaránseisdecenasytresunidades.
Luego,cuentecuántosmaícesofichastieneenlascentenas;esdecir,3.
Elresultadofinalserá:tresmotesenlasunidades,seismaícesenlasdecenasytresenlascen-tenas:363.
Restasinreagrupación
Carlostenía9trompos,peroluegodeunjuegoperdió4.¿Cuántostromposlequedaron?
9-4=5
Paraoperarconlatoptana,coloque9motesenlacolumnadelasunidades(minuendo).Luegodesdearribahaciaabajo,quite4motes(sustrayendo).Loquequedaeslarespuesta;enestecaso5(diferencia).
Restaconreagrupación
80-35=45
Ubique8maícesen lacolumnade lasdecenasynocoloqueningúnmoteen lasunidades.Paraquitarlas5unidades,procedadelasiguienteforma:cambie1decenapor10unidadesycolóquelasenlacolumnadelasunidades.Quite5motesy3maíces.Elresultadoes4decenasy5unidades;esdecir,45.
Multiplicación
Lamultiplicaciónesunasumaabreviada.Paramultiplicar4x3enlatoptana,sigaestospasos:
1. Realiceagrupacionesdecuatrosemillasomullosydiga“1vez4,2veces4y3veces4”.Fi-nalmente,agrupeycuenteeltotaldesemillasomullos;enestecasoesiguala12unidades.
2. Delas12unidadesqueobtuvo,cambie10unidadespor1decenaytendrá1decenay2unida-Delas12unidadesqueobtuvo,cambie10unidadespor1decenaytendrá1decenay2unida-des;larespuestaes12.
División
Ladivisiónesunareparticiónenpartesiguales.
a. Paradividir15por3,siganlossiguientespasos:
b. Enlatoptana,representeelnúmerocolocando5motesenlacolumnadelasunidadesyunmaízenlacolumnadelasdecenas.
c.Repartalas5unidadespara3(Juan,PedroyCarmen)deunaenuna.Lesobran2unidades.
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1.Formengruposdecuatropersonas.
2.Leanlosanexos2y3,queseencuentranalfinaldellibro.
3.Escojanunodelosproblemasplanteadosacontinuaciónenestasesión.
4.Planifiquenunaclasedeacuerdoconladidácticaplanteadaenestelibro.
5.Paradiseñarsuunidad,remítansealanexo7sobreelplandeclase.
1.Ponganenprácticalaclasequeprepararon:ustedesseránlosdocentesysuscompañeroslosestudiantes.
2.Luego,preguntenasuscompañeroscuálescreenquefueronlosobjetivosdelaclase.
3.¿Coincidenesosobjetivosconlossuyos?,¿porqué?
4.Recojanlasimpresionesycomentariosdesuscompañerosydelinstructorsobrelaplani-ficaciónyeldesarrollodesuclase,deacuerdocon lafichadeobservaciónenelaulaproporcionadaenelanexo8.
Actividadengrupo:Construirnuevasclases
Actividadplenaria
Actividadenparejas:Resolucióndeproblemas
PROBLEMA1.Proporciónáurea
Objetivos:
•Conocerlasrelacionesentrelasmatemáticasyelarte.
•Encontrarrelacionesentrenuestrasmedidasyelconceptoestéticodeloarmónico.
Marcoteórico:
EnlapelículaDonald en el país de las Matemáticassededicavariosminutosdelapelículaalarazónáurea.Éstaseencuentraenlaarquitectura,enlanaturalezayelcuerpohumano.
Su origen se remonta a los antiguos griegos, quienes pensabanque el rectángulo áureomostrabalaproporciónmásestética.
Unrectánguloáureosedefinecomounrectángulocuyasdimensionessatisfacenlaecuación:
Longitud/ancho=(longitud+ancho)/longitud
Larazónaúreaestádadapor:
d. Comofalta1unidadparacontinuarrepartiendo,cambienladecenapor10unidades.Ahorapuedenseguirconelreparto.
e. Finalmentecuentenelnúmerodemotesqueletocóacadaniño,estoes5unidades.
f. Investiguecómodebesereltrabajoconlatoptanaennúmerosdecimales.Entréguenlaalinstructor.
Adaptación, tomado de AvilésLópez,LuisMario.Taptana Nikichik.http://www.educarecuador.ec/_upload/Taptana%20nikichil.pdf.Fechadeacceso04-11-2009.
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Ennuestropropiocuerpoexistenrelacionesentrelamatemáticaylanaturaleza:
2.Formenparejas.
3.Midanlaslongitudesquesepidenenlatabla.
a.Alturadecadaintegrante(h).
b.Distanciaentrelaplantadelospiesyelombligo(n).
c.Distanciaentrelacimadelcráneoyelombligo(m).
d.Conlosdatosanteriores,completenlatablacomolasiguiente:
Anotensusconclusionesdeacuerdoconlosvaloresobtenidosparah/nyn/m.
4.Busquenlasproporcionesentreesasmedidasydeterminenlasqueseacercanalnúmeroáureo.
5.¿Quécuerpossonmásarmónicos?
DurantelaépocadelRenacimiento,lascomposicionespictóricasdebíanserregidasporlaproporciónáureayartistascomoLeonardoDaVincipintarontodassusobrasbasándoseenestarelación.
6.Contesten:¿quéopinanustedesalrespecto?¿porqué?
7.Realicentresmedicionescomparativasentre:
a.Ellargoyelanchodesumano.
b.Ellargoyanchodesupie.
c.Ellargoyanchodesutronco.
8.Determinenlasproporcionesentreestasmagnitudes.
9. Comparenlasproporcionesobtenidasconlasdelgrupoqueestátrabajandojuntoaustedes.
nh m h/n n/m
Cuadrodeconcentracióndelainformación
(1+5)/2=8/5=1,61818181....
Amenudosesimbolizaporlaletragriegaπ(Pi).
Película:Donald en el país de las Matemáticas
1.ObservarenelfilmeDonald en el país de las Matemáticas.
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10.Verifiquencuálrespuestaseajustamásalarazónáurea.
11.Busquenhojasdeárboles,frutasoanimalespequeñosyencuentrenlarelaciónentresuanchoylargoydescubranlaproporciónáurea.
12.Dividansuestaturaentrelaalturaalaqueseencuentrasuombligo.Encuentrenelpro-mediodelgrupoenlaclase.¿Aquévalorseaproximaestepromedio?
13.Creentresactividadesnuevasparasusestudiantesapartirdelconceptoderazónáurea.
PROBLEMA2.Fondosdereserva
Objetivos:
•Aplicarelconceptomatemáticodeporcentajeenelcontextoactual.
Marcoteórico:
Retrasarelcomienzodelosdepósitosparalosfondosdereservatieneunmarcadoefectoenlacantidaddedineroqueunindividuoacumulahastalos65añosdeedad.
1.Resuelvanelsiguienteproblema:
Laura empezó a ahorrar a los 20 años. Ahorró $2000 en su fondo de reserva cadaaño desde los 21 años de edad hasta los 30. Después de esta edad no hizo máscontribuciones.
Sara,encambio,esperéhastalos30añosdeedadparaempezaraahorraryguardó$2000cadaañoentrelos31y65añosdeedad.
Sielfondoderetiropaga12%deinterés,¿quiénrecibirámayorcantidaddedineroacu-mulada?
2.Creenunnuevoproblemaqueutilicecomocontextolosfondosdereserva.
PROBLEMA3.Desechossólidos
Objetivos:
•Aplicarelporcentajeauncontextorealyactual.
•Desarrollarlahabilidadparalalecturadegráficastipopie.
Marcoteórico:
Enelaño2008serealizóunestudiosobrelacomposiciónfísicadelosresiduosenunaciu-daddeAméricaLatina.
El12%correspondearesiduosdeplástico,comoseobservaenlagráficaacontinuación,ensumayoríaenvasesdeunsólousoytodotipodeenvoltoriosyembalajes,asícomoelPVC,unodelosplásticosdeusomásgeneralizado.
Nota: los datos de este problema son ficticios, sólo tienen el objetivo de ilustrar una situación que puede ser real.
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1.Contestenlassiguientespreguntasdeacuerdoconelgráfico:
a. Sielestudioserealizósobrelos5000000kgdebasurarecopiladosenunaño,¿acuántoskilogramoscorrespondecadaunadelascategoríasmostradas?
b. ¿Cómoclasificaríanustedesestosresiduosenresiduosorgánicosynobiodegra-dables?c. ¿Quéporcentajerepresentanlosresiduosorgánicosdel100%?d. ¿Quéporcentajerepresentanlosnodegradablesdel100%?e. Silosimpuestosmunicipalesdelaciudadsonde0,15%porcadagramodebasura,¿cuántosdólaresrecaudóelmunicipioporesteservicio?
f. Enlosplanesmunicipalesestádisminuireldesperdiciodeplásticosen5kgporañoydebotellasyvidrioen2kgporaño.¿Cómoquedaríalanuevadistribucióndelgráficoparaelpróximoaño?
g. ¿Quépodríanproponerustedesparadisminuirlosdesperdiciosantesmencionados?h. Investiguenpropuestasparaaprovechar los residuosorgánicosaquímencionadosyquepuedanaplicar.
2.Inventenunnuevoproblemaenelqueutilicenelconceptodeproporción.Solicitenleeryconstruirgráficos.
PROBLEMA4.Fraccionesyporcentajes
Objetivos:
•Aplicarconceptosdefraccionesyporcentajes.
•Utilizarmaterialconcreto.
Fracción
Escribanlafracciónmássimpleposiblequerepresentelaregiónespecificadaencadanumeral.
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1.Lospuntosdentrodelrectángulocomounapartedelospuntosentodalafigura.2.Lospuntosdentrodeltriángulocomopartedelospuntosentodalafigura.3.Lospuntosdentrodelrectángulocomounapartedelospuntosenlaunióndeltriánguloyelrectángulo.
4.Lospuntosenlainterseccióndeltriánguloydelrectángulocomounapartedelospuntosenlaunióndeltriánguloyelrectángulo.
5.Señalelaregiónqueestárepresentadaporlafracción1/12.
4.2Ensaladadefrutas
Preparenalaire libre,encompañíadel instructorydesuscompañeros,unadeliciosaen-saladadefrutasconlossiguientesingredientes:-1/2papaya-31/2bananos-1/4libradequesorallado-4/3manzana-2/4delibradeguanábana-1/4delibradeuvas
1.Realiceyresponda:
a. Dividalaporcióndepapayaen12partesiguales.¿Cómosedenominaacadatrozodepapaya?
b. Dividacadabananoenoctavos.¿Cuántosoctavosreunióentotal?c. Divida cada terciodemanzanaen4partes iguales. ¿Cuántos tercios resultaronentotal?
d. Cuentecuántasuvashayenuncuartodelibra.¿Aquéfraccióndelibracorrespondecadauva?
Luegodeesteanálisis,distribuyalostrozosdepapaya,bananoymanzanaenlabandeja.
Coloque los trocitos de guanábana encima, espolvoree el queso rallado sobre la fruta ydecoreconuvas.Añadaunasgotasdemielalgusto.
¡Buenprovecho!
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4.3Relaciónentrefraccionesyporcentajes
Lamultiplicacióndefraccionespermitecalcularporcentajes,yaqueéstossonfraccionesdedenominador100.Además,eneste tipodesituacionesseutilizaensuexpresióndecimalparaexpresarresultados.
Problema:
1.Observenlasfigurasydeterminenlafracciónquecorrespondealaszonassombreadasencadauna:
2.Determinenlosporcentajesencadacaso.
4.4Nuevoproblema
1. Creen ustedes un nuevo problema donde se combinen los conceptos de fracciónyporcentaje.
PROBLEMA5.Lasposicionesdelosnúmerosdel0al10
Objetivo:
•Conocerycomprenderlosnúmerosdel0al10.
AñodeEducaciónGeneralBásica:
Segundo(ytercer)añodeEducaciónGeneralBásica.
Figura1 Figura2
Figura3 Figura4
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Materialporestudianteparausopersonal:
• ElesquemadeparticióndetamañoA4.
• Unafundacon10canicas(uotrotipodematerial,porejemplotapasdebotellasdeplásticoodevidrio,frijoles,fideos,habas...).
Materialporeldocenteparausoenelpizarrón:
• ElesquemadeparticióndetamañoA3.
• Unafunditacon10canicas(uotrotipodematerial,porejemplotapitasdebotellasdeplásticoodevidrio,frijoles,fideos,habas...).
• Espreferibleusarvelcroparapegarelmaterialquesepueda trabajarverticalmenteenelpizarrón.
Procesodeaprendizaje:•Lafase concretaconmaterialconcreto(porejemplo,losestudiantesmismos,útilesescolares,frutasyverduras,juguetes,...):
- Unamamátiene8carritosyquiererepartirlosentresusdoshijos.Siellada4carritosasuhijomayor,¿cuántosledaráasuhijomenor?Lamamáda4carritosasuhijomenor.
-Seescribe8ysedice“8lorepartoen4y4”.
Materialdidáctico:
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• La fase semi-concretaconmaterialsemi-concreto (elesquemadeparticióny la funditadecanicas):
-Tengo7canicasylasdividoen2grupos.Enelprimeropongo3canicas.¿Cuántascanicasdebocolocarenelsegundogrupo?Hay4canicas.
-Seescribe7ysedice“7lorepartoen3y4”.
•Lafase gráficacondibujos:
-Hay9círculosylosrepartoen2grupos.Enelprimergrupohay6círculos.¿Cuántoshayenelsegundogrupo?Hay3círculosenelsegundogrupo.
-Seescribe9ysedice“9lorepartoen6y3”.
•Lafase abstractaconnúmeros:
-Losestudiantescompletanlastablasdeparticiones.
-Sedice:0lopartoen0y0;1lopartoen0y1;1lopartoen1y0;2lopartoen0y2;...
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Hojadeevaluación:Esteesunejemplodeunahojadeevaluación.Esimportantequelosestudiantesdibujenlosgruposantesdesolucionarelejercicio,tantoenlosdibujoscomoenloscírculos.Cuandolosestudiantestodavíatienendificultadesconelejercicionúmero3,siemprepuedenusarmate-rialconcreto(lascanicas).
Secuenciadeclases:Noesrecomendableenseñartodaslasparticionesdetodoslosnúmerosdel0al10enunaclase.Hayquedividirloscontenidosentrediferentessesiones.
1.Lasparticionesdelosnúmerosdel0al5.
2.Laparticióndelnúmero6.
3.Laparticióndelnúmero7.
4.Laparticióndelnúmero8.
5.Laparticióndelnúmero9.
6.Laparticióndelnúmero10.
7.Lasparticionesdelosnúmerosdel0al10.
Colaboración Annelenn JolieConsultora en Matemáticas de la VVOB.Programa Escuelas Gestoras del Cambio
Para más ejercicios como éstos, consulte el Anexo 6.
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Problemas integradores19SESIÓN19Duración:2horas
• Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndeproblemasqueinvolucrentodosloscontenidos.
• Problemassobrepotenciación.
• Problemassobreregladetres.
• Problemassobrerazonesyproporciones.
• Problemassobreporcentajes,fraccionesydecimales.
Objetivos Contenidos
Enestaocasiónlesproponemosalgunosproblemasparaprofundizarlosconceptosquehemosestudiado.
Esmuy,importanteparalosdocentesdeMatemáticasaumentarelpensamientomatemático,loquesóloseconsigueatravésdelaresolucióndeproblemas.
Siemprequetengaunaduda,reviselosconceptostrabajadosenestelibro.Elmarcoconceptualalquenoestamosacostumbradosareferirnos,enlamayoríadeloscasos,reorientayordenanuestropensamiento.
¡Adelante!
1.Formengruposdecuatroparticipantes.
2.Resuelvanlossiguientesproblemasyregistrensusrespuestas.
3.Alfinalizar,entreguensushojasderespuestasalinstructor.
Actividadengrupo:Resolverproblemas
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1.Potenciación
a.EncuentrenelvalordeM,siesiguala2129+2130+2132+2134
b.Calculen:(-243)-0.6
c.Encuentrenelvalorde: 128(5128) 128
60
3
a. ¿Quénúmerodevasoscompró?b. ¿Quérelaciónhayentrelagananciaylacompra?¿Yentrelagananciaylaventa?c. ¿Cómoobtenemoselvalordelagananciaenunnegocio?d. ¿Quédebemoshacerparaencontrarelvalordelacompra?e. ¿Cuáleselvalorunitariodelatercerapartedelacompra?f. ¿Puedeaplicarestoenlosotrosdatos?g. ¿Cuáleselvalortotaldelacompra?h. ¿Puedenhallarelvalortotaldelaventa?¿Cómo?Pruebensuestrategia.i. ¿Hayotroscaminospararesolveresteproblema?
a.Unjugadorenuncasinopierde,encadajugada,lamitaddeloquetienemásundólar.Alcabodesietejugadassehaquedadosinuncentavo.¿Cuántoteníaaliniciareljuego?
• Panchitocompravasos:latercerapartea4por$6,lamitada6por$7,yelrestoa3por$4.Vendelosdosterciosa3por$5ylosdemása6por$9.Sientotalgana$143,...
• Undomingoapareciólasiguientenoticiaenlaportadadeunperiódico:
• ¿Quépreguntasseharíaustedpararesolveresteproblema?
4.Porcentajes,fraccionesydecimales
2.Regladetres
3.Razonesyproporciones
a.El80%de laspersonas sonbuenas;el80%,guapas;el80%, inteligentesyel80%,educadas.¿Quéporcentajepodemosasegurarquesonbuenas,guapas,inteligentesyeducadasalavez?
“ConelpapeldelperiódicodehoysepodríaunirlaTierraylaLuna”.Lanoticiadecíaasí: “Cadaejemplarconstade324páginas.Elpapelutilizadoesde710225kgyequivalea:
• Unabandadepapelde1mdeanchoy12400kmdelargo.
• Unabandade31cmdeanchoy40000kmdelargoquedaríalavueltaalaTierra.
• Unacintade32,5mmdeanchoy381540kmdelargoqueuniríalaTierraconlaLuna.
Queremosestudiarestacuriosanoticiaparacomprobarsuveracidadytambiénparaanalizarsíesunabuenamaneradeexplicarqueelperiódicodeaqueldíaeramuyvoluminoso.Paraestohemostomadounejemplaryhemosmedidolasdimensionesdeunapágina:49cmdelargoy32cmdeancho.Conestosdatosyapodemosanalizarlanoticia.
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b.Unladrillopesamedioladrillomásuncuartodekilogramo.¿Cuántosgramospesaelladrillo?
c.Descubracuálesmiedad,sabiendoquetengolamitaddemiedadmás20años.
d.MiamigoJuanestáconvencidodehaberresueltoelproblemadeloscombustibles,porlomenosparalosautomóviles.Haconstruidotresdispositivosdistintosquepermitendisminuirelconsumodegasolina:elprimeroahorraun45%degasolina;elsegundo,un30%yeltercero,un25%.Juanargumentaquesicolocalostresdispositivosensuauto,lograráahorrartantocomoel100%,porque45%+30%+25%=100%.Seríafantásticosifueraverdad,porquelosautosfuncionaríansingastargasolina,perolam-entablementehayunpequeñoerrorenelrazonamientodeJuan.¿Cuálseráelahorroquenosproporcionaránlostresdispositivosjuntos?
e.Tenemosunvasoconaguayotroconalcohol,conlamismacantidaddelíquidoencadavaso.Sillenamosunacucharaconaguadelprimervasoylaechamosenelalco-hol;yllenamosdenuevolacucharaconlíquidodelsegundovasoylavertemosenelprimero,¿haymásalcoholenelvasodeaguaoaguaenelvasodealcohol?
f.Unrelojtarda12segundosendarlascampanadasqueindicanlasseis.Suponiendoqueelritmoconqueelrelojtocalascampanasessiempreelmismoyquecadahoratocatantascampanadascomoindicaelnúmerodelahora,¿cuántotiempotardaráentocarlascampanadasdelastres?¿Ydelasdoce?
g.Dibujenuntablerocuadradoformadopor16casillascuadradas,esdecir,untablerode4x4.Divídanloendospartesquetenganlamismaáreasiguiendolaslíneasqueseparanlascasillas.Encuentrentodaslasmanerasposiblesdehacerlo.¿Esposibledi-vidirelmismotableroentrespartesdelamismaáreasincortarningunacasilla?¿Porqué?¿Yencuatropartes?
h.Seisestacionesdetrenestánsituadasenunalíneayseencuentrantodasalamismadistanciadelaanterior.¿Cuántasvecesmáslejosestálasextadelaprimeraquelaterceradelaprimera?
i.Conlascifrasdel1al9formadosnúmeros,utilizándolastodasysinrepetirninguna.¿Cómoloharíanustedesdemaneraquesiunodeelloseselnumeradoryelotroeldenominadordeunafracción,éstaseaequivalentea1/2?Tambiénpuedehacersedeformaquelafracciónseaequivalentea1/3,1/4,...etc.,hasta1/9.
j.Juanitaporfinaprendióasimplificarfracciones;mirecómolohace:16/64=1/4,esdecir,eliminaelsegundodígitodelnumerador(un6)yelprimerdígitodeldenomina-dor(un6),porqueambossoniguales.Esunaauténticabarbaridad,peroresultaqueelresultadoescorrecto.EncuentrenotrasfraccionesformadasporunnumeradordedoscifrasquesepuedansimplificaralestilodeJuanita.
k.Unpastortiene5panesyotrotiene3.Encuentranauncazadorquenollevacomidayentrelostresserepartenlospanesenpartesiguales.Elcazador,almarcharse,lesda8monedasporlacomida.¿Cómodeberánrepartirseeldineroparaquelareparticiónseajusta?
l.Losegipciosteníanunacuriosamaneradehacerrepartosconfracciones,puestoqueéstasúnicamenteseutilizabanconnumerador1.Así,enlugardelafracción5/6,es-cribían1/2+1/3,oenlugarde2/9,escribían1/5+1/45.Deestamanerapodíanexpresarcualquierfracciónmenorquelaunidad.Avecesestemétodopermitíahacerrepartos demaneramuchomás directa que como lo haríamos nosotros. Imaginenquequeremosrepartir4panesentre7personas,demaneraquetodasrecibanigualcantidad.¿Cómoharíanelrepartoconelmínimonúmerodecortes?
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m.Cuandounciclistaharecorrido2/3deuntrayecto,seleestropealabicicletaydecideacabarlaexcursiónapie.Alllegaralfinaldelrecorrido,sedacuentadequehaestadoandandoeldobledetiempoquesipedaleara.¿Cuántasvecesmayorhasidolavelocidadquellevóalirmontadoenlabicicletaquealcaminar?
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Anex
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Anexos
Anexo1:Característicasdelasmejoresprácticasparaenseñarmatemáticas
Lasquesiguensoncaracterísticas importantese interrelacionadasde lasmejoresprácticasparaenseñarmatemáticasincluidasenlosreportesdelConsejoNacionaldeProfesoresdeMatemáticas(NCTM,porsussiglasenInglés).Alfinalpresentamosuncuadroconsugerenciasdeloquesedebeaumentaryloquesedebedisminuirenlaenseñanzaenelauladeclase.
El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen la capacidad matemática.Losestudiantesdebendesarrollarlacomprensióndelosconceptosyprocedimientosmatemáticos.Debenestarencapacidaddeverycreerquelasmatemáticashacensentidoyquesonútilesparaellos.Docenteyestudiantesdebenreconocerquelahabilidadmatemáticaespartenormaldelahabilidadmentaldetodaslaspersonas,nosolamentedeunospocosdotados.
Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los es-tudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación.Sedebealentaralosestudiantesaformularyresolverproblemasrelacionadosconsuentorno,paraquepuedanverestructurasmatemáticasencadaaspectodesusvidas.Experienciasymaterialesconcretosofrecenlasbasesparaentenderconceptosyconstruirsignificados.Losestudiantesdebentratardecrearsupropiaformadeinterpretarunaidea,relacionarlaconsupropiaexperienciadevida,vercómoencajaconloqueellosyasabenyquépiensandeotrasideasrelacionadas.
Que tan bien los estudiantes lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir.Losdocentesqueayudanalosniñosadesarrollarsucapacidadmatemáticadedicanmenostiempoahablarsobrematemáticas,aasignarlestrabajosdeprácticadecómputoyapedirlesquememoricenmecánicamente.Encam-bio,lesotorganmástiempopararealizaractividadesquepromuevenlaparticipaciónactivadesusestudiantesenaplicarlasmatemáticasensituacionesreales.Esosdocentesregularmenteutilizanlamanipulacióndematerialesconcretosparaconstruir lacomprensión.Hacenalosestudiantespreguntasquepromuevenlaexploración,ladiscusión,elcuestionamientoylasexplicaciones.Losniñosaprenden,además,losmejoresmétodosparadeterminarcuándoycómoutilizarunagamaampliadetécnicascomputacionales, talescomoaritméticamental,estimaciones,calculadorasoprocedimientosconlápizypapel.
Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado.Matemáti-cases lacienciadepatronesy relaciones.Entenderyutilizaresospatronesconstituyeunagranpartedelahabilidadocompetenciamatemática.Losestudiantesnecesitanverlasconexionesentreconceptosyaplicacionesdeprincipiosgeneralesenvariasáreas.Amedidaquerelacionanideasmatemáticasconexperienciascotidianasysituacionesdelmundoreal,sevandandocuentaqueesasideassonútilesypoderosas.Elconocimientomatemáticodelosestudiantesaumentaamedidaqueentiendenquevariasrepresentaciones(ej:física,verbal,numérica,pictóricaygráfica)seinter-relacionan.Paralograrlonecesitanexperimentarconcadaunayentendercómoestánconectadas.
La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática.Ampliamentedefinida,lasolucióndeproblemasesparteintegraldetodaactividadma-
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temática.Enlugardeconsiderarseuntópicoseparado,lasolucióndeproblemasdeberíaserunproceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos yhabilidades.Lasolucióndeproblemasrequierequelosestudiantesinvestiguenpreguntas,tareasysituacionesquetantoelloscomoeldocentepodríansugerir.Losestudiantesgeneranyaplicanestrategiasparatrabajarlosyresolverlos.
Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas. Discutir,escribir,leeryescucharideasmatemáticasprofundizaelentendimientoenestaárea.Losestudiantesaprendenacomunicarsedediferentesmanerasrelacionandoactivamentematerialesfísicos,imágenesydiagramasconideasmatemáticas;reflexionandosobreellasyclarificandosupropio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolosmatemáticosydiscutiendoideasmatemáticasconsuscompañeros.
Unodelosmayorescambiosenlaenseñanzamatemáticasehadadoayudandoalosestudiantesatrabajarengrupospequeños,enproyectosderecoleccióndedatos,construccióndegráficasycuadrosconsushallazgosyresolucióndeproblemas.Daralosestudiantesoportunidadespararealizartrabajoreflexivoycolaborativoconotros,constituyepartecríticadelaenseñanzademate-máticas.Lasideasmatemáticaslasconstruyenlaspersonas;losestudiantesnecesitanexperimentarlainteracciónsocialylaconstrucciónderepresentacionesmatemáticasquetengansignificado,consuscompañerosysusdocentes.Enunenfoquedemocrático,eldocentenoeselúnicoqueconoceytransmiteconocimiento,nidebeserelquesiempretiene“larespuesta”.Losestudiantesdebentomarlainiciativaenelplanteamientodepreguntaseinvestigacionesquelesinteresenyllevaracaboinvestigacionesenformaconjuntaconeldocente.
Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que lasmatemáticashacensentido,quenosonsimplementeunconjuntodereglasyprocedimientosquesedebenmemorizar.Poresemotivonecesitanexperienciasenlasquepuedanexplicar,justificaryrefinarsupropiopensamiento,nolimitarsearepetirloquediceunlibrodetexto.Necesitanplan-tear y justificar suspropias conjeturasaplicando variosprocesosde razonamiento y extrayendoconclusioneslógicas.
Ayudaraquelosestudiantessemuevanporetapasentrevariasideasysusrepresentaciones,estareamuyimportantedeldocente;asícomotambiénloes,promoverenlosestudiantesdemaneracreciente,laabstracciónylageneralización,mediantelareflexiónylaexperimentación,enlugardeserélelúnicoqueexpliqueyqueexponga.Partevitaldehacermatemáticasconlleva,quelosestudiantesdiscutan,haganconjeturas,saquenconclusiones,defiendansus ideasyescribansusconceptualizaciones,todoloanterior,conretroalimentacióndeldocente.
Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y aplicados, ampliamente. Losproblemasdelmundorealrequierenunadiversidaddeherramientasparapodermanejarlainformacióncuantitativa.Losestudiantesdebentenerunabuenacantidaddeexperien-ciasparapoderdesarrollarunsentidointuitivodenúmerosyoperaciones;unaformade“sentir”loqueestáocurriendoenlasdistintassituacionesenlasquesepodríanutilizarvariasoperaciones.Paradarunejemplodeloanterior,dosconcepcionesdiferentesdelarestaestáninvolucradassisepregunta(1)“Sitengotrescanicasyentregodos,¿cuántasconservo?”versus(2)”Sitengotrescanicasyotrapersonatienesiete,¿cuántascanicasdemástienelaotrapersona?”Eldocentenodebeeludirladiferenciaentrelasdossituaciones,invocandosimplementeelprocedimientodelaresta,conelfindeencontrarla“respuestacorrecta”.
Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuandolosestudiantesconstruyensupropioconocimientodegeometríaymediciónestánmejorcapacitadosparausarsucomprensióninicialenambientesdelmundoreal.Desarrollansusentidoespacialendosotresdimensionespormediodeexploraciónconobjetosreales.Losconceptosdemediciónseentiendenmejorconexperienciasverdaderasrealizandomedicionesyestimacióndemedidas.Loqueesmásimportanteesqueesasexperienciassonespecialmentevaliosasparaconstruirsentidonuméricoyoperativo.
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La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real. Lanecesidaddetomardecisionesenbaseainformaciónnuméricapermealasociedadymotivatrabajar condatos reales. Laprobabilidad sedesprendede la consideración realistade riesgo,azareincertidumbre.Losestudiantespuedendesarrollarcompetenciamatemáticapormediodelaformulacióndeproblemasysolucionesqueinvolucrendecisionesbasadasenrecoleccióndedatos,organización,representación(gráficas,tablas)yanálisis.
Uno de los mayores propósitos de la evaluación es ayudar a los docentes a entender mejor qué sa-ben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza y aprendizaje. Debeusarseunadiversidaddemétodosdeevaluaciónparavaloraralosestudiantesindividual-mente,incluyendopruebasescritas,oralesydemostraciones,lascualesdebentodasconcordarconelcurrículo.Todoslosaspectosdelconocimientomatemáticoysusrelacionesdebenservaloradosyutilizadosparaayudaraldocenteaplanearactividadesdeenseñanzayaprendizaje.Laspruebasestandarizadascumplenunamejorfunciónenlaevaluacióndeprogramasqueenlaevaluacióndeestudiantesindividuales.
• Usodematerialesmanipulables.• Trabajodegrupocooperativo.• Discusionessobrematemáticas.• Cuestionamientoyrealizacióndeconjeturas.• Justificacióndelpensamiento.• Escrituraacercadelasmatemáticas.• Solución de problemas como enfoque deenseñanza.
• Integracióndecontenidos.• Usodecalculadorasycomputadores.• Facilitadordelaprendizaje.• Evaluacióndelaprendizajecomoparteinte-graldelaenseñanza.
• Prácticamecánica.• Memorizaciónmecánicadereglasyfórmulas.• Respuestas únicas y métodos únicos paraencontrarrespuestas.
• Usodehojasdeejerciciosrutinarios:prácti-casescritasrepetitivas.
• Prácticadelaescriturarepetitiva.• Enseñardiciendo.• Enseñaracalcularfueradecontexto.• Enfatizarlamemorización.• Examinarúnicamenteparalascalificaciones.• Sereldispensadordelconocimiento.
• Discusionesmatemáticas.• Lecturassobrematemáticas.• Escriturasobrematemáticas.• Escuchadeexposicióndeideasmatemáticas.
• Llenarlosespaciosdehojasdetrabajo.• Responderpreguntasquesólonecesitancomorespuestasíono.
• Responderpreguntasquerequierenúnica-menterespuestasnuméricas.
• Conectar lasmatemáticas conotrasmate-riasyconelmundoreal.
• Conectar tópicosdentrodelmismocampomatemático.
• Aplicarlasmatemáticas.
• Aprendertópicosaislados:desarrollarhabi-lidadesfueradecontexto.
AUMENTE DISMINUYA
Prácticasdeenseñanza
Matemáticascomocomunicación
ConexionesMatemáticas
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as • Desarrollarsentidonuméricoydeoperaciones.
• Entenderelsignificadodeconceptosclavescomoposiciónnumérica,fracciones,deci-males,razones,proporcionesyporcentajes.
• Variasestrategiasparaestimar.• Pensarestrategiasparahechosbásicos.• Usodecalculadorasparaoperacionesdecálculocomplejas.
• Usotempranodenotacionessimbólicas.• Cálculos complejos y tediosos con lápiz ypapel.
• Memorización de reglas y procedimientossinentenderlos.
• Desarrollodesentidoespacial.• Medicionesrealesylosconceptosrelaciona-dosconunidadesdemedida.
• Usodegeometríaensolucióndeproblemas.
• Memorizarhechosyrelaciones.• Memorizarequivalenciasentreunidadesdemedida.
• Memorizarfórmulasgeométricas.
• Recolecciónyorganizacióndedatos.• Usar métodos estadísticos para describir,analizar,evaluarytomardecisiones.
• Memorizarfórmulas.
• Reconocimientoydescripcióndepatrones.• Identificaciónyusoderelacionesfuncionales.
• Desarrolloyutilizacióndetablas,gráficasyreglasparadescribirsituaciones.
• Utilizacióndevariablesparaexpresarrelaciones.
• Manipulacióndesímbolos.• Memorizacióndeprocedimientosyejerci-ciosrepetitivos.
• Laevaluación/valoracióncomoparteinte-graldelaenseñanza.
• Enfocarseenunaampliagamadetareasmatemáticasyoptarporunavisiónintegraldelasmatemáticas.
• Desarrollarsituacionesdeproblemasqueparasusoluciónrequieranlaaplicacióndeunnúmerodeideasmatemáticas.
• Hacerusodetécnicasmúltiplesdeevalua-ciónqueincluyanpruebasescritas,oralesydemostraciones.
• Evaluarovalorar,contandosimplementelasrespuestascorrectasdepruebasoexá-menesrealizadosconelúnicopropósitodeotorgarcalificaciones.
• Enfocarseenunamplionúmerodehabili-dadesespecíficasyaisladas.Hacerusodeejerciciosoplanteamientosdeproblemasquerequieranparasusoluciónsolamentedeunaodoshabilidades.
• Utilizarúnicamenteexámenesopruebasescritas.
Números/Operaciones/Cálculos
Geometría/Mediciones
Estadísticas/Probabilidad
Patrones/Funciones/Álgebra
Evaluación
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Créditos
Traducción al español realizada por EDUTEKA de algunos apartes del capítulo cuatro (BestPractice inMathematics) del libroBest Practice: New Standards for Teaching and Learning in America’s Schools,escritoporStevenZemelman,HarveyDanielsyArthurHyde;segundaedición,1998,EditorialHinemann.Estelibro,ensuediciónoriginal(1992),fueelprimeroenresumirlosestándaresparalaenseñanzaenlasescuelasnorteamericanas,ofreciendodescripcionesprác-ticasdeexcelenciaenelcurrículo.Lasegundaediciónfueextensamenterevisadayampliadacondescripcionesactualizadasdeloqueeslaenseñanzadeavanzadaenseisáreas:lectura,escritura,matemáticas, ciencias, estudios sociales yarte. EDUTEKA recomiendaampliamenteestelibro,elcualsepuedecomprarporInternetdirectamentedeleditor:http://www.heinemann.com/shared/products/E00091.asp
Publicación de este documento en EDUTEKA: Septiembre 20 de 2003.
Última modificación de este documento: Septiembre 20 de 2003.
http://www.eduteka.org/MejoresPracticas.php
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Anexo2:LaeducaciónmatemáticaElpapeldelaresolucióndeproblemasenelaprendizaje1
SilviaVilanova,MaríaRocerau,GuillermoValdez,MaríaOliver,SusanaVecinoPerlaMedina,MercedesAstiz,EstellaAlvarez.DepartamentodeMatemática
FacultaddeCienciasExactasyNaturales.UniversidadNacionaldeMardelPlata.Argentina
ApartirdelareformadelsistemaeducativoenlaArgentina,podemosobservarenlosContenidosBásicosComunesparalaEducaciónGeneralBásica(1995)unespecialénfasisenlaresolucióndeproblemascomométodointegralenlaenseñanzadelaMatemática.(…)
EstarecomendacióndescansaenunaconcepciónparticularsobreloquesignificalaMatemática,suenseñanzaysuaprendizaje.
LasiguientecitadeHersh(1986)ilustraestacuestión:“Laconcepciónsobrelamatemáticaafectalapropiaconcepciónsobrecómodebeserenseñada.Lamaneradeenseñaresunindicadorsobreloqueunocreequeesesencialenella...Elpuntoentoncesnoes¿cuáles lamejormaneradeenseñar?sino,¿dequésetratalamatemática?”
Sinembargo,estasconcepciones,aligualqueeltérmino“resolucióndeproblemas”varíanam-pliamente.Thompson(1992)señalaqueexisteunavisióndelamatemáticacomounadisciplinacaracterizadaporresultadosprecisosyprocedimientosinfalibles,cuyoselementosbásicossonlasoperacionesaritméticas,losprocedimientosalgebraicosylostérminosgeométricosyteoremas;sa-bermatemáticaesequivalenteaserhábilendesarrollarprocedimientoseidentificarlosconceptosbásicosdeladisciplina.Laconcepcióndeenseñanzadelamatemáticaquesedesprendedeestavisiónconduceaunaeducaciónqueponeelénfasisenlamanipulacióndesímboloscuyosignifi-cadoraramenteescomprendido.
Unavisiónalternativaacercadelsignificadoylanaturalezadelamatemáticaconsisteenconsi-derarlaunaconstrucción socialque incluyeconjeturas,pruebasy refutaciones, cuyos resultadosdebenserjuzgadosenrelaciónalambientesocialycultural.Laideaquesubyaceaestavisiónesque“sabermatemática”es“hacermatemática”.Loquecaracterizaalamatemáticaesprecisamen-tesuhacer,susprocesoscreativosygenerativos.Laideadelaenseñanzadelamatemáticaquesurgedeestaconcepciónesquelosestudiantesdebencomprometerseenactividadesconsentido,originadasapartirdesituacionesproblemáticas.Estassituacionesrequierendeunpensamientocreativo,quepermitaconjeturaryaplicarinformación,descubrir,inventarycomunicarideas,asícomoprobaresasideasatravésdelareflexióncríticaylaargumentación.Estavisióndelaedu-caciónmatemáticaestáenagudocontrasteconlaanteriorenlacualelconocimientoymanejodeconceptosyprocedimientoseselobjetivoúltimodelainstrucción.
ElénfasisenlaresolucióndeproblemascomométodointegralparalaenseñanzadelamatemáticaobservadoenlosContenidosBásicosComunes,seapoyaenlaconcepciónqueErnest(1988)sin-tetizaasí:“...hayunavisióndelamatemática(conducidaporlaresolucióndeproblemas)comouncampodelacreaciónylainvenciónhumanaencontinuaexpansión,enelcuallospatronessongeneradosyluegoconvertidosenconocimiento.Así,lamatemáticaesunprocesodeconjeturasyacercamientosalconocimiento(...).Lamatemáticanoesunproductoterminado,porquesusresul-tadospermanecenabiertosarevisión”.
1EditadoparaelCurso“DidácticadelasMatemáticas”delMinisteriodeEducacióndelEcuador,2009.
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Laresolucióndeproblemasenlaeducaciónmatemática
Apartirdeloanterior,existeunacuerdogeneralenaceptarlaideadequeelobjetivoprimariodelaeducaciónmatemáticadeberíaserquelosalumnosaprendanmatemáticadesdelaresolucióndeproblemas.Sinembargo,dadaslasmúltiplesinterpretacionesdeltérmino,esteobjetivodifícilmenteesclaro.
Enefecto,el término resolución de problemashasidousadocondiversos significados,quevandesdetrabajarconejerciciosrutinarioshastahacermatemáticaprofesionalmente.(…)
SegúnStanicyKilpatrick (1988), lautilizaciónde los términos“problema”y“resolucióndepro-blemas”hatenidomúltiplesyavecescontradictoriossignificadosatravésdelosaños,comosedescribebrevementeacontinuación:
Primersignificado:resolverproblemascomocontexto
Desdeestaconcepción,losproblemassonutilizadoscomovehículosalserviciodeotrosobjetivoscurriculares,jugandocincorolesprincipales:
• Como una justificación para enseñar matemática: almenosalgunosproblemasrelacionadosconex-perienciasdelavidacotidianasonincluídosenlaenseñanzaparamostrarelvalordelamatemática.
• Para proveer especial motivación a ciertos temas: losproblemassonfrecuentementeusadosparaintroducirtemas,conelconvencimientoimplícitooexplícitodequefavoreceránelaprendizajedeundeterminadocontenido.
• Como actividad recreativa:muestranquelamatemáticapuedeser“divertida”yquehayusosentre-tenidosparalosconocimientosmatemáticos.
• Como medio para desarrollar nuevas habilidades:secreeque,cuidadosamentesecuenciados,losproblemaspuedenproporcionara losestudiantesnuevashabilidadesyproveerelcontextoparadiscusionesrelacionadasconalgúntema.
• Como práctica: lamayoría de las tareasmatemáticas en la escuela caen en esta categoría. Semuestraunatécnicaalosestudiantesyluegosepresentanproblemasdeprácticahastaquesehadominadolatécnica.
Sinembargo,encualquieradeestascincoformas,losproblemassonusadoscomomediosparaalgunasdelasmetasseñaladasarriba.Estoes,laresolucióndeproblemasnoesvistacomounameta en símisma, sino como facilitadordel logrodeotrosobjetivos y tieneuna interpretaciónmínima:resolverlastareasquehansidopropuestas.
Segundosignificado:resolverproblemascomohabilidad
Lamayoríadelosdesarrolloscurricularesquehahabidobajoeltérminoresolución de problemas apartirdeladécadadelos80sondeestetipo.
Laresolucióndeproblemasesfrecuentementevistacomounadetantashabilidadesaserenseña-dasenelcurriculum.Estoes,resolverproblemasnorutinariosescaracterizadocomounahabilidaddenivelsuperior,aseradquiridaluegodehaberresueltoproblemasrutinarios(habilidadque,asuvez,esadquiridaapartirdelaprendizajedeconceptosyhabilidadesmatemáticasbásicas).
Esimportanteseñalarque,aúncuandoenestasegundainterpretacióndeltérminolosproblemassonvistoscomounahabilidadensímisma,lasconcepcionespedagógicasyepistemológicasquesubyacensonprecisamentelasmismasquelasseñaladasenlainterpretaciónanterior:lastécnicasderesolucióndeproblemassonenseñadascomouncontenido,conproblemasdeprácticarelacio-nados,paraquelastécnicaspuedanserdominadas.
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Tercersignificado:resolverproblemases“hacermatemática”
Hayunpuntodevistaparticularmentematemáticoacercadelrolquelosproblemasjueganenlavidadeaquellosquehacenmatemática.Consisteencreerqueeltrabajodelosmatemáticosesresolverproblemasyquelamatemáticarealmenteconsisteenproblemasysoluciones.
ElmatemáticomásconocidoquesostieneestaideadelaactividadmatemáticaesPólya.NoshemosfamiliarizadoconsutrabajoatravésdellibroHow to solve it(1954),enelcualintroduceeltérmino“heurística”paradescribirelartede la resolucióndeproblemas,conceptoquedesarrolla luegoenMatemática y razonamiento plausible(1957)yMathematical Discovery(1981).
LaconceptualizacióndePólyasobrelamatemáticacomounaactividadseevidenciaenlasiguientecita:“Paraunmatemático,queesactivoenlainvestigación,lamatemáticapuedeapareceralgunasvecescomounjuegodeimaginación:hayqueimaginarunteoremamatemáticoantesdeprobarlo;hayqueimaginarlaideadelapruebaantesdeponerlaenpráctica.Losaspectosmatemáticossonprimeroimaginadosyluegoprobados,ycasitodoslospasajesdeestelibroestándestinadosamostrarqueésteeselprocedimientonormal.Sielaprendizajedelamatemáticatienealgoqueverconeldescubrimientoenmatemática,a losestudiantesse lesdebebrindaralgunaoportunidadderesolverproblemasenlosqueprimeroimaginenyluegopruebenalgunacuestiónmatemáticaadecuadaasunivel.”(Pólya,1954).
ParaPólya, lapedagogía y laepistemologíade lamatemáticaestánestrechamente relacionadas yconsideraquelosestudiantestienenqueadquirirelsentidodelamatemáticacomounaactividad;esdecir,susexperienciasconlamatemáticadebenserconsistentesconlaformaenquelamatemáticaeshecha.(…)
Laenseñanzadelamatemáticadesdeunaconcepciónbasadaenlaresolucióndeproblemas
Enseñarapartirdelaresolucióndeproblemas,talcomoloplanteaPólya,sevuelvedifícilparalosdo-centesportresrazonesdiferentes:
1. Matemáticamente, porque los docentes debenpoder percibir las implicaciones de las diferentesaproximacionesquerealizanlosestudiantes,darsecuentasipuedenserfructíferasonoyquépo-dríanhacerenlugardeeso.
2. Pedagógicamente,porqueeldocentedebedecidircuándointervenir,quésugerenciasayudaránalosestudiantes,sinimpedirquelaresoluciónsigaquedandoensusmanos,yrealizaréstoparacadaestudianteogrupodelaclase.
3. Personalmente,porqueeldocenteestaráamenudoenlaposición(inusualeincómodaparamuchosprofesores)denosaber.Trabajarbiensinconocertodaslasrespuestas,requiereexperiencia,confi-anzayautoestima.(…)
Consideracionesfinales
Laeducaciónmatemáticadeberíaproveeralosestudiantesdeunaconcepcióndelamatemática,deunsentidodeladisciplina(sualcance,supoder,sususosysuhistoria),ydeunaaproximaciónalhacermatemático,enelniveladecuadoasusposibilidades.Desdeestaperspectiva, laense-ñanzadeberíaserencaradacomounacomprensiónconceptualmásquecomounmerodesarrollomecánicodehabilidades,quedesarrolleenlosestudianteslahabilidaddeaplicarloscontenidosquehanaprendidoconflexibilidadycriterio.Deberíatambiénproveeralosestudiantesdelaopor-tunidaddeexplicarunampliorangodeproblemasysituacionesproblemáticas,quevayandesdelosejercicioshasta losproblemasabiertosysituacionesdeexploración,ayudandoadesarrollar“unpuntodevistamatemático”(Schoenfeld,1992),caracterizadoporlahabilidaddeanalizarycomprender,depercibirestructurasyrelacionesestructurales,deexpresarseoralmenteyporescritoconargumentosclarosycoherentes.Ensuma,deberíaprepararalosestudiantesparaconvertirse,lomásprontoposible,enaprendicesindependientes,intérpretesyusuariosdelamatemática.
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Paracumplirestosobjetivos,lacomunidaddeprácticaenlacualellosaprendenmatemáticadebereflejarysostenerestasformasdepensar.Estoes,lasaulasdebensercomunidadesenlascualeslamatemáticaadquierasentidoyloquecomodocentesesperamosdelosestudiantes,searealmentepracticado(Schoenfeld,1992).
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Anex
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Introducción
Despuésdelmovimientodelasmatemáticasmodernasomatemáticasnuevasenlaescueladurantelosañossesenta–cuandoseenseñaba,porejemplo, lateoríadeconjuntosdentrodecurrículosbasadosenlaorganizacióndecontenidos–,losañossetentasevieronmarcadosporlaeradelatecnologíaeducativa.Elcurrículosesustentabaentoncesenlapsicologíaconductistaylaeducaciónprogramadayprivilegiabaelaprendizajedealgoritmos.Fuedurantelosochentaquelasideasdeconstructivismosobreelaprendizajehumanocomenzaronainfluirenelcurrículo,bajolainterpre-taciónexageradadequeelniñoaprendesolo.
Durantelosañosnoventasepopularizólacreencia,tambiénalimentadadesdeelconstructivismo,dequeparaquealguienpudieraaprendermatemáticaseranecesarioaplicarlasacontextoscon-cretosqueconstituyeransituacionessignificativas.Sedioentoncesdemasiadoénfasisaéstasylaenseñanzadeprocesosdeabstracciónydelformalismopropiodeladisciplinasealejócadavezmásdelcurrículodematemáticas.Porotrolado,alfinalizarlosañosnoventalosresultadosdelaspruebasinternacionalesTIMSS(TIMSS,1995;TIMSS,1999)mostraronqueenpaísesdondelosniñosalcanzaronaltospuntajescomoJapónyAlemania,lametadelaenseñanzadematemáti-caseraquelosalumnoscomprendieranconceptosmatemáticos,mientrasqueenEstadosUnidos,dondelosniñosobtuvieronbajospuntajes,lametaerautilizarprocedimientosmatemáticosaplica-dosadiversassituacionesreales.
El resultadode esto fue elmovimiento de reformadel año2000 en ese país y otros sitios delmundo,quehatratadodeequilibrarelaprendizajedelasmatemáticascomoherramientaparamodelarfenómenosdelavidarealyelaprendizajedelaabstraccióncomosoportedelaestructuraconceptualyfuentedepoderdelasmatemáticas(Porlán,1995;RAND,2002).Lareformabusca,ademásdelasconexionesentrelasideasmatemáticasysusaplicaciones,unaprendizajedelasmatemáticasquepropicieelrazonamiento,laformulacióndeconjeturasylainvenciónyresolucióndeproblemasconbaseenlabúsquedadeevidencialógica(estándaresdelNCTM,2000).
Enestedocumentopresentaremosevidenciadequelosprincipiosdelconstructivismo,enlaapli-caciónmoderadaqueapareceenlosestándaresdelNCTM,funcionanparaorientarelcurrículoespecífico del área dematemáticas (…). Presentamos en primer lugar una definición del área.Luego,relacionamoslaformaciónenmatemáticasconlosprincipiosconstructivistas(…).
LasMatemáticas
Vemoslasmatemáticascomounaconstruccióndelhombreparamodelaryjustificarsuscomprensio-nesdesímismoydelmedioquelorodea,comounproductodelaculturaligadoavaloressociales,comounaconstrucciónintelectualarmónicaybellaqueretaalainteligenciaadesentrañarsus
CristinaCarulladeRojasMargaritaBoterodeMeza
Anexo3:Constructivismoymatemáticas2
Caro amigo Jorge Amado: pensándolo bien, no hay receta para la tarta de mandioca que yo hago. Algo me dijo doña Alda, la mujer del Renato, el del Museo, pero aprendí haciéndola, rompiéndome la cabeza hasta encontrarle
el punto. (¿No fue amando como aprendí a amar? ¿No fue viviendo como aprendí a vivir?)
Jorge Amado,DoñaFlorysusdosMaridos
2EditadoparaelCurso“DidácticadelasMatemáticas”delMinisteriodeEducacióndelEcuador,2009.
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relacionesycomounapiezafundamentaleneldesarrollocientíficoytecnológicodelahumanidad.Portodoesto,laenseñanzayelaprendizajedelasmatemáticasexigentenerpermanentementepre-sentescuatroaspectos:lasmatemáticascomolenguaje,comosistemaformal,comoherramientaycomonecesidadsocial.
1.Lenguaje
Lasmatemáticas sonun lenguaje;esdecir,un sistemayunaactividaddesarrolladosporel serhumanoparaexpresarnocionesyrelacionesquedancuentadesucomprensióndeluniverso,delmundoodesímismo.Comolenguaje,lasmatemáticasseconviertenenuninstrumentoparaeldesarrollodelconocimientoylainterpretacióndelarealidadsocial.
2.Sistemaformal
Lasmatemáticastambiénsonunsistemaformalconformadoporunareddeabstracciones,gene-ralizacionesyformalizacionessustentadasenlasolidezlógicadesusargumentaciones.Comosis-temaformal,lasmatemáticassustentanlavalidezdelasexplicacionesyprediccionesdelaciencia.
3.Herramienta
Lasmatemáticassonunaherramientaquepermiteavanzarenlacomprensióndelmundoquenosrodea,resolverproblemasdedistintasnaturalezasymodelarsituacionesdelavidareal,delatéc-nica,delascienciasydelasmatemáticasmismas.
4.Necesidadsocial
Creemosquetodoslosestudiantestienenlacapacidadylanecesidaddeaprendermatemáticasyqueportantodebemosofrecerlesatodoslasoportunidadesquelespermitanlograrlo.Enefecto,sinotodoslosestudiantestienelasposibilidadesdeaprendermatemáticas,enfrentamoselpeligrodecrearunaéliteintelectualyunasociedadpolarizada.Laimagendeunasociedadenlaqueunospocostienenelconocimientomatemáticoquesenecesitaparaelcontroldeldesarrolloeconómicoycientíficonoesconsistenteniconlosvaloresdeunsistemademocráticojusto,niconsusnece-sidadeseconómicas(NCTM,1989).Laequidades,pues,unobjetivobásicodenuestrocurrículo.
Alahoradeenseñarmatemáticassedebetenerencuentaqueexisten,ennuestroentornosocio-cultural,numerosassituacionesmásomenoscercanasa lacotidianidadde los individuosy lascomunidadesquenecesitandeconocimientomatemáticoparasucomprensiónymanejo,desdelosnúmerosqueorganizanunafilaenunbancoylastransaccionesmonetariasnecesariasparalaeconomíapersonalyfamiliar,hastaelmovimientodelaeconomíanacional,lasestadísticasquesustentangrandesdecisionesolosprincipiosyherramientasmatemáticasquepermitenlosavancestecnológicos.
Losciudadanoscomunesdebentenerunmínimodeconocimientosmatemáticosquelespermitantomardecisionesyactuar(Skovsmose,1999)socialmente,demodoquepuedanmanejareficien-tementesusasuntospersonalesyparticiparrealmenteenlavidacomunitariaynacional.Enunasociedaddemocráticaesunderechodelosciudadanosteneraccesoalacomprensiónypodercon-tribuiralaconstruccióndelsistemasocialimperante;estorequieredeconocimientosyposibilidaddedesempeñosrealesconlasmatemáticas(Yasukawa,2002;Niss,1983).ComoloseñalaNiss(1983),laeducaciónmatemáticadebetenercomometaformaralosestudiantesparaquepuedanutilizarlasmatemáticasdentrodelasociedadenlaqueviven.DiceNiss(1983)queelestudiantedeberápoderdarsecuentade lassituacionesendonde lasmatemáticassonútiles,comprendercómoyporquéseutilizan,juzgarcuandosonpertinentesyaplicarsusconocimientosmatemáticosensituacionesqueleseansignificativasparasuvidaprivada,socialyprofesional.
Nuestrocurrículopretendequelosestudiantes,alterminarlaescuela,seancapacesdecomprenderyutilizarellenguajematemático,decomprenderlaestructuralógicaquesubyacealaconstruccióndelasmatemáticasenlasolucióndeproblemasydemodelarsituacionesdelasmatemáticas,delascienciasydelavidareal.Peroestonoessólounpropósitoacadémicopropiodelaescuelaydi-
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rigidoaquienestienecapacidadesointerésespecialesenelárea.Aprendermatemáticasesne-cesarioparatodosyparalavidaindividualylasocial.Enunalógicaconstructivista,eslapersonaglobalmenteentendida laqueaprende, y eseaprendizaje repercuteglobalmenteenella, en loquesabe,ensuformadeverseyderelacionarseconlosdemás(SoléyColle,Coll,Martín,Mauri,Miras,Onrubia,Solé&Zabala,1993).Ésteyotrosprincipiosdelconstructivismoorientannuestrocurrículodelárea.
Lasmatemáticasylosprincipiosconstructivistas
1.Procesoconstructivo
Tambiénenmatemáticaselaprendizajeesunprocesoduranteel cual cada individuovacons-truyendosupropiosignificadodelosconceptosmatemáticos.Elaprendizajedeunconceptoma-temáticopuedetomarmuchosaños.Cadacontactoqueelestudiantetengaconeseconceptoledaránuevainformaciónacercadelamaneracomofunciona.Esasícomo,cuandounestudianteresuelvediferentesproblemasendondedebeutilizarelconcepto,cadaunodeellosledaráaccesoaunconocimientocadavezmáscomplejodelmismo.Esporestarazónquecadaindividuoten-dráunconocimientodiferenteyquenopodemoshablardeunconocimientolimitadoyterminado(Moreno,1997;Rico,1997;Tall,1992;Sfard,2001a).Porejemplo,unestudianteengradoceropuede aprender a contar objetos y a clasificarlos.Más adelante podrá hacer representacionespictóricasdelamismasituaciónconcretayentercerodeprimariapodráestablecerunarelaciónentrelarepresentaciónpictórica,lasituaciónconcretayunaexpresiónalgebraicaconformadaporletras,númerosyoperaciones.Perotodavíalequedamuchoporaprenderycadasituaciónqueelestudiantetengaparaaplicarelconceptoleenseñaráalgonuevoacercadelmismoysuconexiónconotrosconceptos.
Elaprendizajetampocosedademaneralineal.Elconocimientoesunaredderelacionesdesig-nificadoquesevamodificandoyalacualseadhierenydelacualdesaparecennuevosyviejosconceptoseideas,cuyasconexionessetransformanpermanentemente.Estaredderelacionessemodificaenlapersonaapartirdelasexperienciasquevivetantoenlaescuelacomoensucon-textosocialcotidiano(Moreno,1997;Rico,1997;Kieran,1992).Porejemplo,esprobablequelasideasqueunniñohaconstruidosobre losnúmerosnaturalesprovengandesusexperienciasenclase,perotambiéndesuexperienciahaciendocomprasenlatiendadelbarriooaloírhablaralosadultos.Tantoelcurrículocomolosdocentesquelodesarrollandebentenerencuentaestasdiversasposibilidadesdeaprendizajeparautilizarlasenelprocesodeayudaralosestudiantesenestaconstruccióndesuaprendizaje.
2.Aprendizajeprevio
Deacuerdoconelprincipioanterior,nadie llegaalsalóndeclasecompletamente ignoranteenmatemáticas.Esprobablequecadaexperienciaquehayatenidoendondeelconceptoquevaaaprenderhayafuncionadodemanera implícitaoexplícita, lehayadadoinformaciónacercadeél(Sfard,2002a;Rico,1997).Estosconocimientosprevios,construidosatravésdesuexperienciadiaria,pueden ser intuitivoso formales yes importanteexplorarlosparaque las situacionesdeaprendizajeescolarenriquezcanlasvisionesquetraenlosestudiantes.
Peroporotrolado,esmuyimportantereconocerqueestosconocimientospreviospuedensererra-doso incompletos.Sfardseñalaque losniñosnecesitandarsignificadoa losconceptosya lasacciones que van realizando y que “es precisamente por razón de su necesidad de acomodarnuevosconocimientosasuconocimientoprevioquesuscomprensionesalgunasvecesdiscrepandelasversionesoficiales”(Sfard,2001a,p.105).Elniñoharáaproximacionesdistintasalacom-prensióndeun concepto y seguirá resignificándoloalmanejarlo endiferentes contextos (Sfard,2001a).Muchosinvestigadorescoincidenenlaideadequeloserroresquecometenlosestudiantesduranteelprocesodeaprendizajeseasemejanalrecorridohistóricodelaconstruccióndeloscon-ceptos(Tall,1991;Sfard,2001a).Sfarddicequealobservarlahistoriadeldesarrollodeuncon-
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ceptomatemático,unosedacuentadequeesigualalamaneracomolosestudiantesaprendenmatemáticas;losmatemáticospensaroninicialmenteelconceptodeacuerdoconsusconocimientospreviosynollegaroninmediatamentealsignificadoquepodemosencontrarennuestrosdías.
Así,elconocimientomatemáticode losestudiantesnonecesariamentesemanifiestademaneracorrectaalosojosdeunobservadorqueposeeunconocimientomásestructurado,peroelerrordebeversecomonecesarioenelprocesodeaprendizaje(Sierpinska;1999).Nosepuedepensarqueporhaberenseñadountema,ésteyaquedaaprendidocomoeldocenteloespera.Avecesparecequesí,porquehayconcepcionesquefuncionanadecuadamenteenalgunassituaciones;peroesasmismasconcepcionesaparentementecorrectaspuedennoresultarcoherentesenotroscontextos(Tall,1991).
3.Desempeñosydesempeñosauténticos
Elestudianteaprendelosconceptosmatemáticosysusignificadoalutilizarlosendiferentescon-textos.Entremássituacionesdiferentes se lepresentenalestudiante,másaprenderá, yaqueelsignificadoquelos individuosdanalosconceptosestárelacionadoconlamaneradecómolosutilizanencontextoyconlavariedaddecontextosenquelohagan.Elprocesodeaprendizajeenmatemáticasesdialéctico:alutilizarelconceptoserefuerzaelconocimientoestructuraloteórico,yalreforzarlateoríasefacilitalautilizacióndelconcepto.Noessuficienteconocerdefinicionesosaberrealizarprocesosyusaralgoritmosparaquelosestudiantespuedandarsignificadoalasideasmatemáticas(Sfard,2001b).
Variosinvestigadoresreconocenlaimportanciadequehacermatemáticasenlaescuelaseacerquealoquesignificasabermatemáticasenladisciplina.(Ritchhart,1999).Algunosinclusoobservanquelosdesempeñosbásicosdequienhacematemáticas,como“lacapacidadparadetectarpa-tronesyexpresargeneralidad”sepuedenidentificar“enelniñodesdesunacimientoy,ciertamente,desde su ingresoa la escuela” (Mason, 1999, p. 232). SegúnRitchhart (1999), las actividadesmatemáticasauténticas,aquellasquesebasanenelquehacerrealdeladisciplina,selocalizanencuatrodimensionesdiferentes:cómosehace,paraquésehace,cómosepresentayquéseestudiaenmatemáticas.
Elcómohacereferenciaaaccionesymétodosutilizadosenlasmatemáticas,comoexperimentar,observar,detectarpatrones,hacerconexionesentreconceptosysusrepresentaciones,organizardatos,inducirodeducir,generarhipótesisogeneralizar.Elpara quéenmatemáticases,porejem-plo,paramodelarfenómenos,hacerpredicciones,buscarordenyregularidades,buscarrelacionesoexperimentarelplacerdejugarconideas.El cómo se presentaremitealasformasenquelosmatemáticosorganizan la informaciónypresentansus ideas:Un lenguaje ideográficouniversalqueseexpresaentablas,fórmulas,ecuaciones,símbolos,variables,modelos,etc.El quésonloscontenidosdelasmatemáticas,comolageometría,laaritmética,laprobabilidad,elálgebra,elcálculo,etc.(Ritchhart,1999,p.35).
Losdesempeñosauténticosenmatemáticasseránentoncesaquellosquecomprometenaquienesaprendenenlasdiferentesactividadesyáreasincluidasenestascuatrodimensiones.Éstosdaránalestudiantelaoportunidaddevivirunambientericoparaconstruirconocimientoygenerarcomp-rensiónenladisciplina.Silosmatemáticosobservanyanalizanpatronesyrealizanestimacionesyprediccionesapartirdeellos(Rithchhart,1999;Mason,1999);si“buscanpatronesenlosnúmeros,enelespacio,enlasciencias,enloscomputadoresyenlaimaginación”(Oteen,citadoenRitch-hart,1999,p.39);si“lasteoríasmatemáticasexplicanlasrelacionesentrelospatrones[y]…lasaplicacionesmatemáticasusan lospatronespara ‘explicar’ ypredecir fenómenosnaturalesquesiguenestospatrones”(Oteen,citadoenRitchhart,1999,p.39),entoncesdeberemosverenclasealosestudiantesdenuestroscolegiosrealizandoactividadessimilares.
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Sfard(2001b)aseguraquenoesfácildiseñarproblemas genuinosqueaportenalaprendizajedelindividuoyqueconduzcanaideasmatemáticasimportantes.Entiendeporproblema genuinoaquelque confronta al estudiante con una dificultad auténtica peromanejable, con preguntas clarasysignificativasperoderespuestasdesconocidas,inmersoenuncontextorealperoestrechamenteconectadoconunaideamatemáticaimportanteyquepermitautilizarunamplioespectrodehabi-lidadesdelosestudiantesysatisfacersusintereses.Sfardtambiénhabladelpeligrodeconvertirloscursosdematemáticasenunacoleccióndepasatiemposyactividadesagradablesperocarentesdesentidomatemático.
4.Lainteracciónsocial
SegúnSfard(2001b),paraunaprendizajerealmenteefectivoenmatemáticas,eltrabajoindividualy las intervenciones sustancialesdelprofesorpuedenser tanvitales comoel trabajoenequipo.Elaprendizajede lasmatemáticases,por tanto,unamezcla intrincadadereflexión individualeinteracciónsocial.Ennuestrocurrículoelaprendizajeencolaboraciónesdesumaimportancia.Es-peramosqueelestudiantetomeporsucuentalaresponsabilidaddedarlesignificadoindividualaloqueestáaprendiendoalavezqueayudaalaconstruccióndeunsignificadocolectivo(Garrison,1993citadoenStacey,1999).
Cadaestudiantequehaceelesfuerzodecomunicar ideasmatemáticasaprendeymuestraasuvez su pensamientomatemático (Sfard, 2000). Esto puede hacerse para otros tanto oralmentecomoporescrito.Variosautoreshan identificado la importanciade la comunicaciónescrita enelaprendizajedelasmatemáticas.Porejemplo,Pegalee(2001),ensuestudioacercadelroldelametacogniciónenelaprendizaje,dicequepareceserdevitalimportanciaescribirenclasedematemáticasparaquelosestudiantespuedanactuarsobresuspropiosprocesosdepensamiento.Indicaquequienescribeestárealizandodeliberadamenteunaacciónanalítica.Laescriturapermiteigualmenteintercambiarestrategiasmásomenosefectivasenlaresolucióndeproblemas.
Almismotiempo,losestudiantesdebenclarificaryvalidarsuscomprensionesapartirdelanego-ciaciónyeldiálogopermanentes(Garrison,1993,citadoporStacey,1999).ParaSfarddebemosverelaprendizajecomounprocesoqueintegraacadaquienaungruposocialdeunadimensiónmayor.Aligualquelohacenloscientíficos,losestudiantestendránquellegaraconsensosmedi-antelaargumentaciónmatemáticaencolaboración(Kasami,2001).
Conclusión
En conclusión, (…) partimos de que el aprendizaje de lasmatemáticas se propicia cuando laspersonasponenenjuegosusideasmatemáticasendiferentestiposdeactividadesauténticamentematemáticasqueserealizanindividualmenteyencolaboración:formularhipótesis,hacerpredic-ciones, realizar experimentos para comprobar lo dicho, generar argumentos para sustentar laspropias ideas, comunicar adecuadamente las ideas usando diversas representaciones y utilizarherramientasyprocedimientosmatemáticospararesolverproblemas.Todoestodebepermitiralosestudiantesentenderyusarelsistemaformaldelasmatemáticasysulenguaje,asícomoutilizarlosentantoherramientasparadesempeñarseefectivamenteensuvidaindividualysocial.
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Anexo4:LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemasCuadernosdeinvestigaciónyformacióneneducaciónmatemática1
2006,Año1,Número1
CristianAlfaroEscueladeMatemáticadelaUniversidadNacional
Resumen
LasprincipalesideasdeGeorgePólyasondescritas:elmétododeloscuatropasos,elpapeldeldocente,lalógicadelrazonamientoplausibleycómoresolverunproblema.
GeorgePólyafueungranmatemáticoquenacióenBudapesten1887ymurióenPaloAlto,Cali-fornia,en1985.Alolargodesuvidageneróunalargalistaderesultadosmatemáticosy,también,trabajosdedicadosalaenseñanzadeestadisciplina,sobretodoeneláreadelaresolucióndeproblemas.
EstostrabajosbásicamentefueronescritosenlosañoscuarentadelsigloXX,perosutraducciónnosereializóhastalosañossesentaysetenta.
Setratadeunpersonajeclaveenlaresolucióndeproblemasyesconsideradoelpioneroogestordelasprimerasetapasdeestatemática.
LaposicióndePólyarespectoalaresolucióndeproblemassebasaenunaperspectivaglobalynorestringidaaunpuntodevistamatemático.Esdecir,esteautorplantealaresolucióndeproblemascomounaseriedeprocedimientosque,enrealidad,utilizamosyaplicamosencualquiercampodelavidadiaria.
Parasermásprecisos,Pólyaexpresa:“Mipuntodevistaesquelapartemásimportantedelaformadepensarquesedesarrollaenmatemáticaeslacorrectaactituddelamaneradecometerytratarlosproblemas,tenemosproblemasenlavidadiaria,enlasciencias,enlapolítica,tenemosprob-lemaspordoquier.Laactitudcorrectaenlaformadepensarpuedeserligeramentediferentedeundominioaotro,perosólotenemosunacabezay,porlotanto,esnaturalqueendefinitivahayasólounmétododeacometertodaclasedeproblemas.Miopiniónpersonalesquelocentralenlaenseñanzadelamatemáticaesdesarrollartácticasenlaresolucióndeproblemas”.2
1 Este texto es una trascripción editada de una conferencia impartida por el Magister Cristian Alfaro, el 25 de marzo de 2006 en un Seminario Teórico. La trascripción y edición preliminar del texto fue realizada por el estudiante de la Universidad Nacional José Romilio Loría. El autor hizo la edición final. En: http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno1/Cuadernos%201%20c%202.pdf
2 Es interesante rescatar que esta idea no nació de la noche a la mañana, Pólya desde joven era una persona muy inquieta por la física y la matemática; le encantaba asistir a conferencias y a clases para observar la demostración de teoremas. En estas charlas o lecciones, a pesar de que la exposición de los conceptos era bastante clara, la inquietud de él siempre era la siguiente: “Sí, yo tengo claro el razonamiento, pero no tengo claro cómo se origina, cómo organizar las ideas, por qué se debe hacer así, por qué se pone de tal orden y no de otro”. Esto lo llevó a cuestionar las estrategias que existían para resolver problemas o cómo se concebiría una sucesión de pasos lógicos para aplicar a la resolución de cualquier tipo de problema.
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Métododeloscuatropasos
Pólyaplantea,ensuprimerlibro,el llamado“ElMétododelosCuatroPasos”,segúnelcualseproponelosiguientepararesolvercualquiertipodeproblema:• Comprenderelproblema• Concebirunplan• Ejecutarelplany• ExaminarlasoluciónParacadaunadeestasetapas,Pólyaplanteaunaseriedepreguntasysugerencias.
1.Comprenderelproblema
Paraestepasosesiguenlassiguientespreguntas:
• ¿Cuáleslaincógnita?• ¿Cuálessonlosdatos?• ¿Cuáleslacondición?• ¿Eslacondiciónsuficienteparadeterminarlaincógnita?• ¿Esinsuficiente?• ¿Esredundante?• ¿Escontradictoria?Esdecir,estaeslaetapaparadeterminarlaincógnita,losdatosylascondicionesyparadecidirsiesascondicionessonsuficientes,noreduntantesocontradictorias.Deestamanerasebuscaqueelproblemaseacomprendidodemejormanera.
2.Concebirunplan
ParaPólya,enestaetapadelplan,elproblemadebeasociarseconproblemassemejantes.Tam-biéndeberelacionarseconresultadosútilesydeterminarsisepuederecurrirproblemassimilaresyasusresultados(aquísesubrayalaimportanciadelosproblemasanálogos).Algunasinterrogantesútilesenestaetapason:• ¿Sehaencontradoconunproblemasemejante?• ¿Havistoelmismoproblemaplanteadoenformaligeramentediferente?• ¿Conoceunproblemarelacionado?• ¿Conocealgúnteoremaquelepuedaserútil?• ¿Podríaenunciarelproblemaenotraforma?• ¿Podríaplantearloenformadiferentenuevamente?Refiérasealasdefiniciones.Estasinterrogantescontribuyenaformularunplanaseguirparalaresolucióndelproblema.
3.Ejecucióndelplan
Duranteestaetapaesprimordialexaminartodoslosdetallesyesparteimportanterecalcarladiferenciaentrepercibirqueunpasoescorrectoy,porotrolado,demostrarqueunpasoescorrecto.Esdecir,esladiferenciaquehayentreunproblemaporresolveryunproblemapordemostrar.Porestarazón,seplanteanaquílossiguientescuestionamientos:• ¿Puedeverclaramentequeelpasoescorrecto?• ¿Puededemostrarlo?
Pólyaplanteaquesedebehacerunusointensivodeestaseriedepreguntasencadamomento.Estasinte-ólyaplanteaquesedebehacerunusointensivodeestaseriedepreguntasencadamomento.Estasinte-rrogantesestándirigidassobretodoaloqueélllama“problemaporresolver”ynotantolosproblemaspordemostrar.Cuandosetienenproblemaspordemostrar,entonces,cambiaunpocoelsentido.Estoesasí
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porqueyanosehabladedatos,sino,másbien,dehipótesis.Enrealidad,eltrabajodePólyaesfundamentalmenteorientadohacialosproblemasporresolver.
Ensíntesis:alejecutarelplandesolucióndebecomprobarsecadaunodelospasosyverificarqueesténcorrectos.
4.Examinarlasolución
Tambiéndenominada“etapadelavisiónretrospectiva”.Enestafasedelprocesoesmuyimportantedetenerseaobservarquéfueloquesehizo;senecesitaverificarelresultadoyelrazonamientoseguido.
Paraesto,pregúntese:
•¿Puedeverificarelresultado?
•¿Puedeverificarelrazonamiento?
•¿Puedeobtenerelresultadoenformadiferente?
•¿Puedeverlodegolpe?
•¿Puedeemplearelresultadooelmétodoenalgúnotroproblema?
Estascuestionesdanunaretroalimentaciónmuyinteresantepararesolverotrosproblemasfuturos:Pólyaplanteaquecuandoseresuelveunproblema(queesensíelobjetivoinmediato),también,seestáncreandohabilidadesposteriorespararesolvercualquiertipodeproblema.Enotraspalabras,cuandoseaplica lavisiónretrospectivadelproblemaqueseresuelve,sepuedeutilizar tanto lasoluciónqueseencuentracomoelmétodoutilizado;esteúltimopodráconvertirseenunanuevaherramientaalahoradeenfrentaracualquierotroproblema.
Dehecho,esmuyválidoverificarsisepuedeobtenerelresultadodeotramanera;sibienesciertoquenohayunaúnicaformaoestrategiapararesolverunproblema,puedehaberotrasalterna-tivas.Precisamente,estavisiónretrospectivatieneporobjetivoqueveamosestaampliagamadeposiblescaminospararesolveralgúntipodeproblema.
ELPAPELDELDOCENTEENELPROCESO
Unaspectomuyrelevanteentodoesteprocesoeslafunciónquetieneeldocente.SegúnPólya,elpapeldelmaestroes“ayudaralalumno”,peroestodebeserentendidoconmuchocuidado.Esdifícilllevarloalapráctica,porqueenrealidadesaayuda,comodiceél,notienequesernimuchanipoca;sinembargo,aveces,esunpocosubjetivodeterminarsielprofesorestáayudandomuchooestáayudandopoco.Laayudaquedéunprofesordebeserlasuficienteylanecesaria.Porejem-plo,nosepuedeplantearunproblemamuydifícilyabandonaralestudianteasupropiasuerte,perotampocoplantearunproblemayqueelmismodocenteloresuelva.Sisehaceloúltimo,noseenseñanadasignificativoalestudiante;enotraspalabras:esimportantequeelalumnoasumaunaparteadecuadadeltrabajo.
Hacerpreguntasqueselehubieranpodidoocurriralalumnoes,también,crucialenelproceso.EsporesoquePólyaplanteaconstantementequeelprofesordebeponerseenloszapatosdelestudiante.
Evidentemente, cuando el docente propone un problema y sabe cómo se resuelve, presenta lasolucióndeformaque todoparecemuynatural.Sinembargo,elmismoestudiantecuestionasirealmenteselepuedeocurriraélesasolución.Allísurgeunaseriedecircunstanciasqueapuntanalprofesorcomolaúnicapersonacapazdeencontrarelmecanismodesoluciónparaelproblema:
• Preguntaryseñalarelcaminodedistintasformas.
• Usarlaspreguntasparaayudaraqueelalumnoresuelvaelproblemaydesarrollarenéllaha-bilidadderesolverproblemas.
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Pólyarecalcaelinterés
SegúnPólya,pararesolverunproblema,loquesetienequetenerfundamentalmentealinicioesinterésporresolverelproblema.Laactitudquepuedematarunproblemaesprecisamenteeldesin-terés;porellosedebebuscarlamaneradeinteresaralalumnoporresolverproblemas.Entonces,esrelevanteeltiempoquesedediqueaexponerelproblema:elprofesordebeatraeralosestudi-anteshaciaelproblemaymotivarsucuriosidad.
Enocasiones,eldocentenoencontraráprogresoenelestudianteyesprobablesedebaaqueéstenotienedeseosderesolverelproblema.
Unmétodoquesueleresultarútileseldelaimitación:elprofesordebeserunmodeloparalaresolucióndeproblemas.Entonces,élmismodebehacerlaspreguntascuandoresuelveunproblemaenlaclase.
Ahorabien,esimportanteprepararconcuidadolosejemplos,nosedebeproponerahíproblemasqueparezcanimposibles,sinoquerealmenteseanadecuadosyqueseencuentrenalniveldeles-tudiante.
Lapresentacióndelosproblemastiene,entonces,muchopesoenelproceso.Noconsisteendarunalistainterminabledeejerciciosparaqueresuelvanypunto;porelcontrario,setratadesembrarlacuriosidadyelinterésporelproblema.
Elmétododeinterrogardelprofesor
Eldocentedebecomenzarconunapreguntageneralounasugerencia,irpocoapocoapreguntasmásprecisashastaobtenerrespuestasdelosalumnos;luego,deberealizarpreguntasysugerenciassimplesynaturales.
Pólyamuestra constantementediálogosentre elprofesor y el estudiante,así comoejemplosdeproblemas.Unomuy interesanteesacercadelcálculode ladiagonaldeunparalelepípedo.EnesteproblemaPólyasugierellevaralestudiantearazonaryverproblemasanálogos(comoeldecalcularunadiagonalenunrectángulo);sinembargoacotóqueseríaincorrectoquelosprofesores,conelafándeayudara losestudiantes,hagansugerenciascomo,porejemplo,preguntarsisepuedeaplicarelteoremadePitágoras.Pólyadicequeunapreguntaenesesentidoseríadeplor-able.ElestudiantequeyatieneclaralaideapordondevalasoluciónvaavermuynaturalquesevaaemplearelteoremadePitágoras;perolapersonaquenohatenidolacomprensiónclaradelproblemaenesemomentovaadecir:“SequéeselteoremadePitágoras,pero¿cómoseaplicaenesteproblema?”.
Esaspreguntasparecensimplesperonoloson,tienenqueserconformadasconmuchocuidado.Pólyainsistemuchoenqueseanpreguntassimples,naturales,queselepuedanhaberocurridoaalgúnestu-diante,queseanaplicablesatodotipodeproblemas.
Estetipodepreguntasmencionanindirectamentelasoperacionestípicamenteintelectualesquesevanautilizarenlaresolucióndeproblemas.
Característicasdelaspreguntasysugerencias
Lageneralidad
Laspreguntasy sugerenciasnoestán restringidasaundeterminado tema.Yaseaunproblemaalgebraicoogeométrico,unaadivinanza,o cualquier tipode situaciónquenosotrosqueramosenfrentar,Pólyaplanteaquelaspreguntassonaplicables.Señalaquecualquiertipodepersonase
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puede interesar en la resolucióndeproblemas.Demaneraespecial, hace la comparación conloscrucigramasenelperiódico,loscuales,enrealidad,suscitanelinterés.Estetipodeacertijos,juegosyenigmasnonecesariamentecontienenunaaplicacióndirectaenlavidareal,peroestimu-lanelpensamiento.Esacuriosidadsedebetrasladaralamatemática,paraquetambiénseaalgonaturaly,por lotanto, laspreguntasdebensergenerales(queserefieranatodotipodetemasosituaciones).
Elsentidocomún
Laspreguntastienenquesernaturales,sencillas.ParaestoPólyarecalcaqueesnecesariovercons-tantementecuálessonlosdatosdelapreguntaycuálessonsusposiciones.
Enrealidad,estetipodepreguntasseaplicanacualquierámbitodelsaberynonecesariamentealamatemática.Sugierenellasunaciertaconductaquedebepresentarseenformanaturalenlamentedecualquieraquetengaunciertosentidocomún.Pólyahacemuchohincapiéenquesinoexisteunverdaderointerésenelproblemaserámuycomplicadopoderresolverlo.
Elobjetivoderealizarunapreguntaosugerenciaesevidentementeayudaralestudiantearesolverelproblemaencuestióny,desdeluego,desarrollarlahabilidaddeéste,detalmodoquepuedaresolverporsímismoproblemasposteriormente.
¿CÓMORESOLVERUNPROBLEMA?
Pólyainsistemuchoenempezarporelenunciado,visualizarelproblemacomountodo.Lonaturalesqueelestudianteseaelprimeroquesefamiliariceconelproblemacomountodo;estoestimulalamemoria.Yavisualizado,setieneclaroquésedeberesolver,y,unavezquesucedaesteproceso,secomprendeelproblema;aquíseaíslansuspartesyselascomienzaaresolverpasoapaso.
Unaideaútil:comienceporloprincipal,veaelproblemadesdediferentesperspectivas,conécteloconconocimientosanteriores,busquealgofamiliaryútilenloquehahechoantes.Sisetieneunaideaincompletahayqueconsiderarlaafondo.Identifiqueenquélaidealepuedeservirlaidea,siloayudaráaconcebirelproblemaenformaglobal.
Ejecucióndelplan:inicieconlaideaquelollevealasolucióncuandoestéconvencidodepodersuplirtodoslosdetalles.Asegúresedequecadapasoescorrecto.Siesposible,dividaelprocesoenpequeñosygrandespasos.
Visiónretrospectiva:unavezqueresuelvaelproblema,esimportantenodejardeladoquesiemprehayunaprendizajeparaanalizarloquehizo;evidentementeseaplicaposteriormente.Elmismoproblemapuedeserútilenotroproblema,nosóloporeltipodeproblemasinoporelmétododesolución.
LASHEURÍSTICAS
Laheurísticamodernabuscacomprenderelmétodoqueconducealasolucióndeproblemas,enparticular,lasoperacionesmentalestípicamenteútilesenelproceso.
Aquídebetenerseencuentauntrasfondológicoypsicológico.Pólyaafirmaquelaseleccióndepreguntasqueseplanteanparacadapasonoseescogenalazar,sinoqueexistenaspectoslógicosypsicológicosrelacionadosentresíparalaformulacióndedichaspreguntas.Ensulibroaclara:téngaseencuentaqueelautortienemuchaexperienciaenlaenseñanzadelasmatemáticasylaresolucióndeproblemas.
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Noesfácilhacerpreguntasenunordenmuydefinido;esclaroquesiestosucedeynoestánalazaresporqueprocedendelaexperienciademuchosañosdeestartrabajandoconeso.
BásicamenteloquePólyaproponeesqueelestudiodelaheurísticabuscaobtenerpuntoscomunesencualquiertipodeproblemas.Loquesequiereobtenersonlascaracterísticasgenerales,estrate-giasderesolución,independientementedelproblema.Elobjetivoescomprenderestasestrategiastípicamenteútilesenlaresolucióndeproblemas.
Algunasdeesasheurísticassonlasqueacontinuaciónsedescriben:
1.Variacióndelproblema
Elproblemaoriginalsepuedevariardescomponiéndolounpocoynonecesariamenteselodebeenfocardirectamente,sinorecurriraunproblemaanálogo.
Separepartes,cambiealgunacondición.Pólyaafirmaqueesteprocedimientogeneralamoviliza-eparepartes,cambiealgunacondición.Pólyaafirmaqueesteprocedimientogeneralamoviliza-ciónylaorganizacióndelosconocimientos:siapelaaeseconocimientoprevioquetenemos,talvez,porahíescondido.Esteúltimononecesariamentesaleafloteamenosqueempecemosahacervariacionesycambios.
2.Generalización
Alanalizaruncasoenparticularsesiente lanecesidaddeprobarelproblemaenuncasomásgeneral:entonces,segeneralizaunpocoelproblemaconelqueseestátrabajando.Elmétodoespasardelexamendeunobjetoalexamendeunconjuntodeobjetos,entreloscualesfiguraelprimero.O,porotrolado,pasardelexamendeunconjuntolimitadodeobjetosaunconjuntomásextensoqueincluyaalconjuntolimitado.
3.Particularización
Eselcasoinversodelageneralización:aapartirunproblemageneralseempiezaaparticularizarenalgunoscasosparaencontraralgunaideaoluzsobreelproblemaporresolver.Consisteenpasardelaconsideracióndeunconjuntodeobjetosdadoalaconsideracióndeunconjuntomáspequeño(oinclusodeunsóloobjeto)contenidoenelconjuntodado.
4.Analogía
Pararesolverunproblemasepuedeutilizarlasolucióndeunproblemaanálogomássencillo,yaseausandosumétodo,suresultadooambos.
LALÓGICADELRAZONAMIENTOPLAUSIBLE
Pólyaaseguraque,enocasiones,altrabajarseplanteaunrazonamientoquenoesprecisamenteelsilogismoquenormalmenteseusa.Setratadeunmétododealumbramientodemuchasideas:elmodus tollens,queplanteaquesiAimplicaByBesfalsa,entoncesAtambiénesfalsa.Estetipoderazonamientoeslógicoytienesuscaracterísticasdeimpersonalidad,entantonodependedelaspersonas.
Todospensamosdistinto,perosiaceptamoslaspremisas,irremediablementeaceptamoslaconclu-sión.Esuniversal.Seaplicaacualquierámbitodelconocimiento.Esautosuficienteynonecesitadeaspectosoelementosexternosparaobtenerlaconclusión.Esdefinitivo.
Sinembargo,Pólyaplanteaun razonamientodiferente:el razonamientoplausible.ConsisteenquesiAimplicaByBescierto,entoncesAesmásdignadecrédito.Hacehincapiéenqueesto,desdeel
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puntodevistalógico,noescorrectoyaceptarloseríaunalocura,perodescartarloseríaaúnunamayorlocura.
Grossomodo,enamboscasoslasdosprimeraspremisassonigualmenteclarasydefinitivas;estánenelmismonivellógico.Perolasconclusionesestánendiferentenivellógico.Enelcasodemos-trativo, laconclusiónestáenelmismonivelque laspremisas,mientrasqueenelrazonamientoplausibleesmenosfuerte.
Ensí,loquequieredeciresquelamatemática,ensuformadeexposicióneuclidiana,tieneunaestructuralógicabastantecoherenteyes“máscientífica”quecualquierotraciencianatural.Sinem-bargo,enrealidadelmatemático,dicePólya,razonadedistintasmaneras,nodeunaúnicaforma:conjeturando,buscandorelaciones.Esaformaderazonarestáactualmenteocultaenlaenseñanzadelamatemáticayesoesloqueélplanteaquedebemostrárselealestudiante.
Lascaracterísticasdelrazonamientoplausible
Es impersonal:laverificacióndeunaconsecuenciafortalecelaconjetura.Peroestaimpersonalidadselograsolamenteporqueestospatronessonrestringidosaunaspectodelainferenciaplausible.Encuantoqueremossabersobrelafuerzaquedaalaconjeturalaverificacióndeunaconsecuen-cia,sepresentanlasdiferenciaspersonales.
Es universal:laverificacióndeunaconsecuenciaesunaevidenciarazonabledeunaconjeturaencualquierdominio.Peroestauniversalidadselograporlaunilateralidaddelpatrón.Otravez,estauniversalidadseveempañadacuandosetratadedeterminarcuáleselpesodelaevidencia.Así,existenlímitesparalauniversalidaddelainferenciaplausible.
Es autosuficiente:laconclusiónplausibleestáapoyadaporlaspremisas.Perocarecededurabili-dad.Dehecho,otravez,elpesodelaevidenciadependedecosasnomencionadasenlaspremi-sas.Ladirecciónestádadaenlaspremisas(másomenosdignadecrédito),perolafuerzano.Nodependedeelementosexternos.
Es provisional (no definitivo):nosepuedesepararlaconclusióndelaspremisas.Conlaspremisaslaconclusióngozadesentido,peropuededisminuirsuvalorconeltiempoaúnconlaspremisasintactas.Suimportanciaestransitoria.Puedeapareceruncontraejemploqueeliminelaconjetura.
En conclusión: undocentedematemáticasdebetenerencuentaqueunrazonamientopresentadoenformacorrecta(loquesellamalaexposicióneuclidiana)conunmétodoriguroso,puedenoserinteligibleniinstructivo.Estosucedeasíentantonosehacecomprenderelpropósitodecadaunadelasetapas;esdecir,sinoseentiendeelmodoporelcualsehaobtenidodichorazonamiento.
Elprofesordematemáticasdebemostrarelrostrohumanodeestadisciplina:dóndeseequivoca,dóndeseconjetura,dóndelasconjeturassedesechanosemantienensihayproblemasabiertosqueaúnnosabemossitienensoluciónono.Seríaimportantequemuchosdeesosaspectospudi-eranincluirseenlaenseñanzadelasmatemáticas.
REFERENCIAS
Pólya,G.(1990).Cómo plantear y resolver problemas.México:Trillas.
Pólya,G.(1966).Matemáticas y razonamiento plausible.Madrid:Tecnos.
Schoenfeld,A.(1985).Mathematical Problem Solving. Orlando:AcademicPress.
Schoenfeld,Alan. (1992).Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sensemaking in Mathematics. Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning.pp.334-370.Enlínea:20demarzode2006.http://gse.berkeley.edu/faculty/AHSchoenfeld/Learning-ToThink/Learning_to_think_Math.html.
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Anexo5:ConsejosprácticosparalaenseñanzadelasMatemáticasResolverproblemas:estrategias.Unidadesparadesarrollarelrazonamientomatemático2001,segundaedición
KareStaceySusieGroves
Narcea,S.A.Ediciones.Madrid.
Enseñararesolverproblemasesparamuchosdocentesdematemáticasunatareanuevaypocofa-miliar.Laestrategiausualdeenseñanza–exposición,ejemplosilustrativos,ejerciciosrutinarios–noesapropiadacuandoelinteréssequieredesplazardesdeaprendercómohacertareasrepetitivashaciaelaprendizajesobreelprocesodeexploraciónyaplicacióndelasmatemáticas.
Estassugerenciasprácticasnopretendenqueseentiendaquesoloexisteunaformadeenseñarconéxitolaresolucióndeproblemas.Losdocentesnecesitanexperimentarparasercapacesdesacarelmáximoprovechodesupropioestilodeenseñanza.
PREPARACIÓN
Eldocentedebeempezarporresolverlosproblemasélmismo.Nadapuedereemplazarlaexpe-rienciapersonalde“hacermatemáticas”.
ELPAPELDELDOCENTE
Conciernealdocente:
• Ayudar a los estudiantes a aceptar los retos. Unproblemanoestalhastaquesequiereresolver.
• Crear un ambiente de confianza en la clasequepreparealosestudiantesaenfrentarseasitua-cionesnofamiliaresyquelosayudeanosentirsedemasiadoangustiadoscuandosebloquean.
• Permitir que los estudiantes desarrollen sus propias ideasparaencontrarunasoluciónyayudar-loscuandoseanecesario,sindarlesdirectamentelarespuesta.
• Proporcionarunmarcoenquelosestudiantes puedan reflexionar acerca de (es decir, pensar, discutir y escribir sobre) los procesos en que están inmersos y, deestaforma,aprenderdelaex-periencia.
• Hablar a los estudiantes sobrelosprocesosinvolucradoscuandosehacenyaplicanlasmatemáti-cas,demaneraquepuedanadquirirunvocabularioquelosayudeapensaryaprender.Loses-tudiantesaprendenmuchomáseficazmentecuandoeldocentedirigeexplícitamentesuatenciónalasestrategiasyprocesosimplicadosenlaresolucióndeproblemas.
DARRESPUESTASYSUGERENCIAS
Aunquenoesimportantequelosestudiantesaprendan“cómoresolver”cualquierproblemacon-creto,síloesquelosproblemasnoquedenplanteadosalaclaseindefinidamente.Sugerimosquela mayoría de los problemas se “agoten” en una discusión en clase, aunqueocasionalmenteestosupongadarlarespuestasóloalamayoría.Endichadiscusiónpodríanmencionarsealgunoscami-nosfallidos.Esimportanteaprendertambiénacercadelastentativasfrustradas.
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Unadelastareasmásdifícilesconlaqueeldocenteseenfrentaesencontrareljustoequilibrioentredeciralosestudiantesdemasiadoydejarlosbloqueadosmuchotiempo.Escontraproducentequelosestudiantessesientan,incapacesdemoverseunápice,perotambiénloesqueotrapersonalesresuelvaelproblema.
Avecestodoloquesenecesitaesdarlesánimos:“¿Estásbloqueado?Notepreocupes,¿quépo-dríasintentar?”Lassugerenciaspuedenconducirindirectaodirectamente,conmenosprovecho,aestrategiasderesolucióndeproblemas:“¿Quéestrategiascreesquepodrías intentarenestasituación?”o“¿Hasbuscadoalgunaregularidadenestosnúmeros?”Lasestrategiasdirectas,rela-cionadasconelcontexto,como:“¿Quéconsiguessiencuentraslasdiferenciasentreestosnúme-ros?”apenasdeberíanusarse;otrascómo:“¿Hasreconocidolosnúmerostriangulares?”,deberíandejarseparacasosextremos.
NOIRDEMASIADODEPRISA
Estanimportantemantenerunarazonablecalma,sinprolongarlasunidadesdemasiadotiempo,comodaralosestudianteslaoportunidaddequeexplorenenprofundidadalgunosproblemaseinformenaotroscompañerosdelaclase.Sepuedeaprendermuchodecadaexperiencia.
RESUMIRCADASESIÓN
Esbuenaideafinalizarlamayoríadelassesionesresumiendolospuntosimportantesquesehandesarrollado.Hemosconstatadoquelosdocentesnosuelenconcedersuficientetiempoaesto,es-pecialmentecuandolosestudiantesestántrabajandobien.
NOBORRAR
Enlahojadeborradornoesnecesariopreocuparseexcesivamentedelorden.Esmejortacharcontrazosfinosyescribirnotasrápidastalescomo“incorrecto,olvidédividirlosnúmerospordos”.
TRABAJOESCRITO
Lamayoríadelosdocentessesientenfrustradosporlapocacalidaddelaexpresiónescritadelosestudiantesysedesalientananteelesfuerzoquelesexige.Apesardeello,esbuenopediralosestudiantesqueelaboreninformesdeunaterceraparteolamitaddelosproblemasqueaborden.Porsuerte,losdocentessedancuentadequelosestudiantessuelenmejorarrápidaysignificativa-menteenesteaspectocuandocomienzanapercatarsedelacantidadderazonamientoqueimplicayempiezanatomardecisionesqueeslomásrelevanteparapresentarunasoluciónclara.
Explicarloquesehahechodeformaquecualquierotrapersonapuedacomprenderloesunaha-bilidadimportantequesedebedesarrollarypropiciatantolacomprobacióncomolareflexión.Losestudiantesaprendenmássiestudianlosproblemascondetenimientoquesipasanrápidamentedeunproblemaaotro.
Paratratardefacilitarlatareadeescribir,incluyendodibujosydiagramasensucaso,sugerimoselsiguienteformato:
Enunciadodelproblema
Todoeltrabajo. Estasesiónnoesparaquelaleanadiemásquesuautor.Sinembargo, los docentes deberían inducir a los estudiantes aescribirtodassusideas.
Copiadodelapizarraentregadoporeldocente
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Enunciadodelproblema
Loquehadescubierto.
Lasideasquemehanayudado.
Explicaciónclaradeloquesehaencontradoydeporquéescierto;resumemásquerepiteeltrabajoprevio.
Breveenunciadodeunaomássugerenciasoestrategiasqueayudaronaresolverelproblema.
Copiadodelapizarraentregadoporeldocente
Amenudo,losestudiantessesientenunpococonfusosalahoradedistinguirentreloquedebenescribirordenadamenteyenborrador,altratardecomentarparaeldocenteenlugarderazonarparasímismos.Avecesesútilsimularunjuegocomo“Hoybuscaremoselmejordiagrama”.
¿Bloqueado?
Inevitablemente,siunproblemaesunverdaderoproblema,elestudiantepuedequedarbloqueadoypedirayudaaldocente.Seríadeseablequelosdocentesofrecieranestaayudademodoquelosestudiantesaprendieranadesarrollarlosrecursosnecesariosparaayudarseasímismosenlugardenecesitarsiemprealdocente.
Existentrespasosparadesbloquearse:
• Reconocerqueseestábloqueandoyaceptarlo.
• Desecharelpánico.
• Haceralgo.
Losdosprimerospasos,aunqueenunsentidotrivial,sonprevios.Sólounestudiantequehadomi-nadolossentimientosdepánicopuederazonarproductivamenteparaencontrarnuevasformasdeabordarlo.
Paratratardehaceralgo,sugerimosquelosestudiantessepregunten:
• ¿QuéSÉsobreelproblema?
• ¿QuéQUIEROencontrar?
• ¿QuépuedoUSARcomoapoyo?
• ¿PuedohacerunaCONJETURA?
• ¿PuedoCOMPROBARloqueheencontrado?
Aunqueestascuestionesnosonútilesensímismas,loseráncuandollenendesignificadograciasalacomprensióndemuchasyricasrelacionessobrecómohansidoútilesenanterioresocasiones.Sóloentoncesplantearselacuestiónseconvertiráenunaalarmaquerecuerdealestudiantecosasquetienequehacer.Porestarazónconfiamosenquelosdocentesempleenconfrecuenciaestascuestiones,indicandoalosestudiantescómosepuedenrelacionarconlasestrategiasysugerenciasqueseesténestudiando.
Sugerenciasútilespararesolverproblemas
1.LÉELOYTRATADECOMPRENDERLO
Nuncaesexcesivoinsistirenquesehagaunalecturacuidadosadelenunciadodelproblema;estosecomtemplanosóloenlasmatemáticassinoenotrascuestiones.Enelfondodemuchosfracasosestáunalecturapocoatenta.
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Estalecturanohadeserpasiva,sinoquedeberíaimplicarescribir,dibujaryexpresarlacuestiónconlaspropiaspalabras.Unalecturainicialcuidadosareducelaprobabilidaddeunacomprensiónincorrectayunarelecturaactivapermiteidentificarinterpretacioneserróneasoinformaciónquesehaolvidado.Hayqueindicaralosestudiantesqueesnormal(yunabuenaidea)leerlacuestiónsiemprequeesténbloqueados,nosóloalempezarelproblema.
Laspreguntas: “¿Qué sé sobre el problema?” y “¿Quéquiero encontrar?” son relevantesparahaceruna lecturacuidadosayse relacionancon losdos tiposdiferentesde informaciónquesepuedeextraerdelenunciadodeunproblema.
2.ESCRIBELOQUEHACES
Esdegranutilidadpedira losestudiantesqueregistrenporescritosuresolución.Amenudoseresistenaescribirunabuenaideayluegolaolvidanohacenlomismodosveces.Escribirquealgosehaintentadoynofunciona,oquees imposible,estanimportantecomoescribiralgoqueescorrectosobretodosieltrabajoseprolongamásdeundía.Elaborarunplanobligaconfrecuenciaaclarificarlo.
Enelcuadernointroducidoofrecemoselconsejoparacomenzar,escribirodibujaralgo.Empezarunproblemaesquizáslapartemásdifícildesuresolución.
Eldocentedebehaceralgoparaevitarquelosestudiantessequedenparadosdelantedeunahojadepapelenblanco.Nodebentemerescribiralgoincorrectoodesordenado.
Pensarsobreloquesesabeysequiereesunasugerenciaparaquelasideasfluyan.Esútilrecon-siderarloquesesabeysequiere(quizásreleyendo)yescribircuandoseestébloqueado.
3.TRABAJASISTEMÁTICAMENTE
Trabajarsistemáticamenteesunhábitosencilloypotentealavez,quepuededarlugaradiferen-ciasnotablesenlaresolucióndeproblemas.Enunnivelsimple,significaabordarlascosasunaauna,exponerlasbien,numerarlaspáginasygeneralmentesaberhaciadóndeseva.Enunnivelmáscomplejo,considerarcasosdeformasistemáticaayudaaencontrarregularidadeseincorporaelensayoyelerrorcomounaherramientadeanálisis.
Hacerdiagramasytablassuponeunaaproximaciónsistemáticaypuedeserunarespuestafrecuen-tementealapregunta:“¿Quépuedousarquemeayude?”
4.USAALGOQUETEAYUDE
Haymuchasayudassencillasyconcretasquefacilitanlaresolucióndeproblemas,nosoloparalosquerazonansobrelocorrecto.Muchassepuedenimprovisardeinmediato,perootrasdebeproporcionarleseldocente.Elpapelcuadriculadoesparticularmenteútilparadiagramasytablas.
Aligualqueconlasherramientasconcretas,sedeberíamotivaralosestudiantesaconsiderarlasherramientasmatemáticasquelespuedenserútiles.Lacantidaddisponiblevaríaengranmedidasegúnelbagajematemáticoprevio,perocomprendelasformasdepresentardatosgráficamenteyelusodesímbolos(cadavezmásalolargodelasecundaria)paraexpresarideas.
Noobstante, el docente debe prestar atención a lo siguiente: normalmente, los estudiantes nosuelenaplicarconocimientosmatemáticosquenolesseantotalmentefamiliaresaunacuestiónnorutinaria.Losdocentespuedenmostrarcómounatécnicamatemáticarecientementeaprendidasepuedeemplearparaobtenerunasolución,peroamenudoesmejorhacerlodespuésdequelosestudianteshayanpresentadosuspropiassoluciones.Sielobjetivoescentrar laatenciónde losestudiantesenlasestrategiasderesolucióndeproblemas,noselesdebepresionarparaqueusenherramientasquenodominan.
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5.BUSCAYEXPLOTAREGULARIDADES
Encontraryexplotarregularidadesesquizáunadelasestrategiasespecíficasdelasmatemáticas.Engeneral losestudiantes llegande laenseñanzaprimariaconunfuertesentidode lasregula-ridades,unagran feenellas.Lo importanteesqueustedconozcamás técnicasparadescubrirregularidadesnuméricasycomprendaqueesprecisocomprobarlasyverificarlasantesdeusarlasindiscriminadamente.
6.USAELENSAYOYERROR
Hemosdecididoincluirelensayoyelerrorcomounaparteimportantedelcursoporvariasrazones.Laprimeraesqueesunaestrategiaempleadadeformanaturalporlosestudiantes:laaplicanalazar,loquesueleserinfructuoso;porello,esfudamentaldepurarlaparaqueloserroresseexami-nenenlugardeabandonarse;loqueproporcionarápidosresultados.Unasegundarazónesquesepuedeaplicaraunaampliavariedaddeproblemasy,conlacrecientecapacidaddelascom-putadoras,seconvertiráenunmétodocadavezmásextendido.Elensayoyelerrorencierraunaactitudextremadamentepotentepararesolverproblemas,quenosesuscitaconeltrabajorutinariodeclase,enconcreto:si no sabes qué hacer, intenta algo, cualquier cosa, u observa qué ocurre. Trabajarsistemáticamenteescrucialparaeléxitodelatécnica.
7.DESARROLLAUNBUENSISTEMADEREGISTRO
Enlaresolucióndeproblemas,losestudiantessuelencodificaryexpresarsituacionesrealesmedian-tesímbolosantesdecontestarlaspreguntas.Porejemplo,envariasunidadesdondehayjuegosdeestrategia,elanálisisdeljuegoexigecasisiempreescribirlainformación;estoes,lasecuenciademovimientosefectuadosyelestadodeljuego.Encontrarunabuenaformaderegistrarestainfor-maciónnoessencillo,sinembargoresultafundamentalparaeléxitodelanálisisdelasituación.Esprecisoquelanotaciónseafácildeescribiryrecordarydebecontenertodalainformaciónesencialenlaformamásconcisaposible.Comotraducirdeunasituaciónrealaunaformasimbólicaesunpasopreliminaresencialenlaresolucióndeproblemas,estaestrategiafiguraenvariasunidades.
8.EXPLICALOQUEHASHECHO
Cuando los estudiantes hanacabadounproblemaohanhecho sumejor esfuerzo, sedeberíainvitararevisareltrabajoyaelaboraruninformeordenadoycoherente,escribiendolasoluciónconlosrazonamientosynosólola respuesta.Unaformadetratardeexplicarestoesdecirles que cualquier otra persona pueda comprenderlo.
Normalmenteesto lespareceuna tareaaburrida,porque retrasael enfrentamiento connuevosproblemas,peromerecelapenainsistirenello.Elprocesodeexplicar,obligaalestudianteare-considerarlasoluciónyledalaoportunidaddereflexionarsobresuexperiencia.Seaprendemásasíquetratandolosproblemasdeformasuperficial.
Ademásdeexplicarqué,sedeberíamotivaralosestudiantesaexplicarel porqué.Estasexplicacio-nessonpruebasinformalesylosdocentesdeberíanbuscarunaprogresióngradualenlaprecisióndeestosargumentos.Laspruebasnotienenporquéestarllenasdesímbolos,esmejorhacerloconpalabras.
9.COMPRUEBATUTRABAJO
Comprobaresunaactividadimportantequesedeberíahacerdevezencuandomientrassetrabajaenunproblema.Sinembargolosestudiantessesorprendenalaprenderquecomprobarnosólosignificarevisarloscálculosaritméticos.Esimportantenorepetirloquesehahechosinoesparahacerlodeformadiferente.
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Existendistintosaspectosdelacomprobación.
10.GENERALIZATUTRABAJO
LafrasePregúntate a ti mismo: ¿Qué ocurriría si…? seusaparaanimaralosestudiantesagenera-lizarsusresultados.Pensamosquesedeberíaponerelénfasisenlageneralizaciónporque:
• Esunprocesobásicodelasmatemáticas.
• Desarrollaunacomprensiónmáscompletadelosresultados.
• Motivaunarevisióndetalladadeloquesehahecho.
• Lapreguntaqueunosehaceasímismoeslaqueprefiereresolver.
Lasgeneralizacionesuotrascuestionesdeltipo¿Qué ocurriría si…?nodeberíanforzarse.Lasmásnaturalessurgendecomprendercómofuncionalaprimerasoluciónodelacuriosidadylacreati-vidaddecadaestudiante.
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Anexo6:Recomendacionesmetodológicasendoscontenidosespecíficos:Elcuadradodel100ydominóparalastablasdemultiplicación
ProporcionadoporAnneleenJolieConsultoraenMatemáticasdelaVVOBProgramaEscuelasGestorasdelCambio
ELCUADRADODEL100
Objetivo:
Conocerycomprenderprofundamentelosnúmerosdel0al100.
Elcuadradodel100esunmaterialmuybuenoparaestructurar losnúmerosdel0al100.Estematerialtieneunarelacióndirectaconelmaterialbase10,esdecir:uncuadraditoesigualaunaunidad,unafilaesigualaunadecenayelcuadradograndeesigualaunacentena.Cuandosevadeizquierdaaderecha,sesumaunaunidad.Cuandosevadederechaaizquierda,serestaunaunidad.Cuandosevadearribahaciaabajo,sesumaunadecena.Cuandosevadeabajohaciaarriba,serestaunadecena.
EducaciónGeneralBásica:
SegundoytercerañosdeEducaciónGeneralBásica.
Materialdidáctico:
Aunquenoesimportantequelosestudiantesaprendan“cómoresolver”cualquierproblemacon-creto,síloesquelosproblemasnoquedenplanteadosalaclaseindefinidamente.Sugerimosquela mayoría de los problemas se “agoten” en una discusión en clase, aunqueocasionalmenteestosupongadarlarespuestasóloalamayoría.Endichadiscusiónpodríanmencionarsealgunoscami-nosfallidos.Esimportanteaprendertambiéndelastentativasfrustradas.
Elcuadradodel100
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Anex
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• Materialporestudianteparausopersonal:
- Elcuadradodel100sinnúmerosdeltamañodeunahojaA4.
- Espreferibleponerelcuadradodel100enunafundadeplásticoparaquelosestudiantespuedanescribirlosnúmerosconunmarcadordepizarrónyborrarlosconunpañuelo.
• Materialparaeldocenteparausoengrupo:
- Unpizarrónblanco conel cuadradodel100 sinnúmerosdeun tamañoaproximadode1mx1m.
- Unpizarrónblancoconelcuadradodel100connúmerosdeuntamañoaproximadode1mx1m.
- Parapegarlosnúmerosenelcuadradodel100,sepuedeusarcintaadhesiva.Perotambiénesrecomendableusarvelcroparaquecoloquenlosnúmerosenelpizarrónsinquesecaigan.
Usodelmaterialdidáctico:
• Enelcuadradodel100faltanalgunosnúmeros.Losestudiantesdeberáncompletarlosnúmerosquefaltanyexplicarsusrespuestas.
Por ejemplo: Aquí se ubica el número 54 porque después del 53 viene el 54; aquí se colocó el 39 porque antes del 40 viene el 39, ...
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• Enelcuadradodel100estánsolamenteel0,lasunidadesylasdecenas.Eldocentediráunnúmero y los estudiantes lo escribirían en el lugar que corresponde. También explicarán elporquédesurespuesta.
Por ejemplo: Para ubicar el número 76 busco primero el 70 y después cuento 71, 72, 73, 74, 75 y 76.
• Enelcuadradodel100nohayningúnnúmero.Eldocentediráunnúmeroylosestudiantesloanotaráensulugar.Tambiénexplicaránelporqué.
Por ejemplo:
- Para ubicar el número 59 cuento primero en decenas hasta 50: 10, 20, 30, 40 y 50. Después cuento 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 y 59.
- Para ubicar el número 59 cuento primero en decenas hasta 60: 10, 20, 30, 40, 50 y 60. Luego, coloco el 59 antes del 60, porque el número 59 viene antes del 60.
Hojadeevaluación:
Estossonalgunosejemplosdehojasdeevaluación:
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Anex
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ELDOMINÓPARALAMEMORIZACIÓNDELASTABLASDEMULTIPLICAR
Objetivo:
Aprenderlastablasdemultiplicardemaneralúdica.
EducaciónGeneralBásica:
TercerycuartoañosdeEducaciónGeneralBásica
Laelaboracióndeljuego:
• Primerohayquedecidir qué tablasdemultiplicar se enseñaran. Segúnesto se elaborará eldominó.Por ejemplo: Si se usan todas las tablas de multiplicación o algunas, solamente las tablas de multiplicación más difíciles (7-8-9), por familias (1-5-10, 2-4-8, 3-6-9), etc.
• Despuéshayquedecidirparacuántosestudiantessequierehacereldominóycuántastarjetasserepartiráporestudiante.Por ejemplo: 4 estudiantes - 6 tarjetas por cada uno; son 24 tarjetas más una para empezar. En total son 25 tarjetas.
• Alladoizquierdodelatarjetaseponeunresultadoyasuladoderechosecolocaunejercicio.
• Esimportantequenosepongandosejerciciosenelmismodominóqueposeaigualresultado,losestudiantespodríanconfundirse.
• Tambiénesimportantequealfinaldeljuegosecierreeldominó;esdecirqueelresultadodelúltimoejercicioestéenlaprimeratarjeta.Lespuedeserviralosestudiantescomounautocontrol,conlafinalidaddesabersihicieronbienloscálculosono.
Lasreglasdeljuego:
Manera1:
• Unestudiantedividetodaslastarjetasentresuscompañeros,menosunatarjeta,lamismaquecolocaráenelcentrodemesa.
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Anex
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• Losestudiantesleenelejercicioqueestáenlatarjetaenlamesa.Elestudiantequetienelatarjetaconelresultadopuedeponerlajuntoalaprimeratarjeta.
• Losestudiantesleenelejerciciodelasegundatarjeta.Elestudiantequeposealatarjetaconelresultadopuedecolocarlaalladodelasegundatarjeta,etc.
• Elestudiantequeterminaprimerotodassustarjetaseselganadordeljuego.
• Eljuegoseterminacuandotodoslosestudiantesterminencontodassustarjetas.
Manera2:
• Cadaestudianterecibetrestarjetas.Elrestodelastarjetasselasubicabocaabajoenlamesa.
• Elestudiantequeempiezaponeunadesustarjetassobrelamesa.
• Quienlosigueleeelejercicioqueestáenlatarjetasobrelamesaymirasustarjetasparaversitieneelresultado.Deserasí,colocalatarjetaenlamesaalladodelaotra.Delocontrario,tomaunatarjetadelmontón.Sielresultadoestáenlatarjetaquetomódelmontón,puedepo-nerlasobrelamesa.Sino,tienequeguardarla.Letocaalestudiantesiguiente.
• Elestudiantequeterminaprimerotodassustarjetaseselganadordeljuego.
• Eljuegoseterminacuandotodoslosestudianteshayanterminadocontodassustarjetas.
Otrasposibilidades:
• Eljuegodedominótambiénsepuedeusarparaotroscontenidosdematemáticas.
Por ejemplo:
- Relación entre número y cantidad: a un lado de la tarjeta se pone un número y al otro se ubica una cantidad de unidades y decenas (53=5 decenas y 3 unidades).
- El reloj: a un lado de la tarjeta se coloca un reloj que indica una hora y al otro se anota la hora en letras (son las cuatro en punto).
• Paralamemorizacióndelastablasdemultiplicacióntambiénsepuedeelaborarotrosjuegosdidácticos,como:bingo, memoria, etc.
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Dominóderelaciónentrenúmeroycantidad.
Bingodelastablasdemultiplicación.
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Anex
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Anexo7:Plandeclase
Plandeclase
Integrantesdelgrupo:
Fecha:
•Meta concepto.- Describaelcontenidoquevaatratarenlaclase.
•Metas de comprensión.- Describalosobjetivosqueplanteaalcanzarconsuclase,incluyendoelniveldepensamientoalqueustedllegará.
•Desempeños de comprensión.- Describa lasactividadesque lo llevaránacumpliresosobjetivos.
•Criterios de evaluación.- Identifiqueloscriteriosdeevaluaciónqueaplicaráparasusestudiantesyelprocesodelaclase.Incluyapreguntasmetacognitivas.
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Anexo8:Fichadeobservaciónenelaula
Fichadeobservaciónenelaula
Grupo: Fecha:
Temadelaclase:
I.Organizacióndelaclase
1.¿Quépropósitoobservóenlaclase?
2.¿Cómocomenzólaclase?(Hubomotivación,indicaciones,comentarios,etc.)
3.¿Serealizólarevisióndeconocimientosprevios?
4.¿Relacionólosconocimientosactualesconlosvistosanteriormente?
5.¿Enquéformaorganizóalosgruposparatrabajar?
6.¿Quématerialesusaronlosestudiantesparadesarrollareltaller?
7.¿Cómorespondióalaspreguntasdelosestudiantes?
8. ¿Las explicaciones se basaron en fundamentos teóricos y/o conocimientoscientíficos?
9.¿Cómopropiciólaparticipaciónenlaspresentacionesdelasactividadersplenariasdurantelostrabajosgrupalesoeneldesarrollodelaclase?
10.¿Quécomprensionescreeustedqueselograronycómoloevidencian?
11.¿Serelacionaronlosconocimientosdelamateriaconotrasasignaturas?¿Cuáles?
12.¿Promueveeldesarrollodehabilidadesdelpensamiento?
13.¿Cuáfueelniveldelpensamientoalquesellegó?
14.¿Realizalametacognicióndelashabilidadesplanteadas?
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Anex
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15.¿Huboaplicacióndeltemaalavidadiaria?
16.¿Selogróuncierrecoherentedelaclase?
II.Actitudesyvalores
Promueveoayudaadesarrollar:
1.Unaautoimagenyautoestimapositivas.
2.Lavaloracióndelotroyelrespetoasusderechos.
3.Latoleranciaanteelfracaso.
4.Eldesarrollodeunaactitudcrítica.
III.Ejerciciodocente
Seobservaeneldocenteque:
1.¿Suvozessuficientementealta,conlasvariacionesdetonoyvelocidadadecuadas?
2.¿Suterminologíaessencillayexplicalostecnicismosqueintroduceasuclase?
3.¿Interactúaindividualygrupalmenteyfomentalainteracciónentrelosestudiantes?
4.¿Proporcionaseguridadalestudianteenunaformaseriaycercana?
5.¿Manifiestaentusiasmoeinterésalimpartirsuclase?
6.¿Muestrapacienciaydisposiciónparaatenderlasnecesidadesdelosestudiantes?
7.¿Suexpresióncorporalescongruente?
8.¿Mantieneunadecuadocontactovisual?
9.¿Sedesplazanaturalmenteporelsalón?
10.¿Lasinstruccionessonclarasyprecisas?
11.¿Corrigeerroresdemaneraadecuada?
12.¿Respondesatisfactoriamentelaspreguntasdelosestudiantesyaclaradudas?
IV.Técnicas
Seobservaqueeldocenteutilizatécnicascomo:
1. Elaboracióndecuadrossinópticos,mapasconceptualesomentales,etc.
2.Motivaciónmedianteretosparasolucionarproblemas.
3. Investigación.
4. Usoadecuadodelpizarrón.
5. Empleodepreguntasadecuadas(parasondeo,reafirmar,variarelestímulo,formu-ladasdirectaoindirectamente,adiferentesestudiantes).
6. Usodetécnicasgrupales.
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V.Evaluación
1.¿Empleacriteriosclarosdeevaluación?
2.¿Hubounaguíadepreguntasparaeltrabajo?
3.¿Huboautoevaluaciónporpartedelosestudiantessobresutrabajo?
4.¿Registraparticipacionesorales?
5.¿Registraparticipacionesescritas?
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Bibl
iogr
afía
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Bibliografía sugerida