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8/13/2019 LIBRO CAPÍTULO3.pdf

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CAPACIDADES Al estudiar este capítulo elalumno será capaz de:Razonamiento y demostración

--Organiza y clasificaexpresiones algebraicas.-Reconoce las característicasde un polinomio y depolinomios especiales-Demuestra productosnotables a través de

modelos gráficosComunicación matemática-Determina el grado relativoy absoluto de polinomios.-Representa expresionesalgebraicas como productode sus factores primos-Identifica y reducetérminos semejantes.-Identifica productos ycocientes notables en

expresiones algebraicas.-Determina las aplicacionesde los productos y cocientesnotables en situacionesespecíficas.-Expresa un polinomio comoun producto de dos o másfactores.Resolución de problemas

-Resuelve problemas

empleando expresiones

algebraicas-Calcula la suma,diferencia y el productode polinomios.-Resuelve problemas de

división de polinomios

empleando el método

clásico, de Horner y Ruffini.

-Resuelve operaciones

algebraicas aplicando

eficientemente cocientesy productos notables

Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe,

nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año

780. Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa

de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun,

tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión

entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra

al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813.

al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había

iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñabanfilósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un

observatorio astronómico.

Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y

astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra,

aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el

pensamiento matemático.

La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez,

en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en lasmatemáticas de la época. La traducción del título de la obra era

complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título,

convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra.

La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un

término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la

simplificación de términos iguales.

La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue

responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa

medieval.

POLINOMIOS 3



50

⏟

⏞

Es una expresión algebraica reducida sin operaciones de adición o

sustracción entre las variables

DEFINICIONES IMPORTANTES:

Grado de un polinomio:"n" Es

el mayor exponente al que

aparece elevada la incógnita

"x". Por lo tanto es un número

natural, o puede ser cero.

Término Principal : Es el

término donde la incógnita

aparece elevada a su máximo

exponente o sea al grado del

polinomio.

Coeficiente Principal : Es el

coeficiente del término

principal, o sea el número realque multiplica a la potencia de

mayor grado de "x".

Término Independiente : Es el

llamado término de grado cero

y es un número real y c

onstante, pues en este término

no aparece la variable "x".

Término Lineal : Es el

término de primer grado delpolinomio. De allí la

expresión "lineal" que hace

referencia a línea recta.

Coeficiente Lineal : Es el

coeficiente del término lineal.

Como todos los coeficientes es

un número real.

Término Cuadrático : Es el

término de segundo grado del

polinomio. De allí la expresión

"cuadrático" que hace

referencia a la parábola.

Coeficiente Cuadrático : Es el

coeficiente del término cuadrático. Como todos los

coeficientes es un número real.

3.1.POLINOMIOSTÉRMINO ALGEBRAICO

Es aquel conjunto de números y letras relacionados por lasoperaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación,división, potenciación y radicación o una combinación de ellas enun número limitado de veces.EJEMPLOS.

IrracionalE.A.2 b)Q(a;

iaFraccionar RacionalE.A.512

);(T

EnteraRacionalEA.182)(P

9

2

24

1

2

42

253

xba

x y

x

y

x y x

x x x x x

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es aquella expresión racional entera, es decir la variable estáafectada de exponentes enteros y positivos

P( x ) a0 x n + a 1 x

n – 1 +... +an-1 x + a n (a0 0)

Donde:

x: variable

a0:Coeficiente Principal

a0 , a1 ,...,an :Coeficientes

an :Término Independiente

POLINOMIO

Es aquel polinomio que tiene un solo coeficiente distinto de cero.Ejemplo:P(x) - 6x 4 es un monomio pues tiene un solo coeficiente no nulo

( -6 ). También se puede decir que P(x) es un polinomio de un solotérmino.

MONOMIO



51

ALGUNAS PROPIEDADES

PROPIEDAD EJEMPLO

TERMINO

INDEPENDIEN

TE

P(0)

Si

P(x+3) 8x+1

i) x+3=0

ii) x=-3

iii)P(0)=-23

SUMA DE

COEFICIENTES

P(1)

Si

P(x+4) 2x-7

i) x+4=1

ii) x=-3

iii)P(1)=-13

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.Ejemplo:

es un binomio pues tiene dos términos que son

,

BINOMIO

TRINOMIO

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.Ejemplo:

es un trinomio pues tiene tres términos que

son

VALOR NUMÉRICO

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al

sustituir sus variables por un número cualquiera.

Ejemplo: Dado EL polinomio

Hallar el valor numérico de R(x,y) para x=-1 ; y= 2

Solución: Remplazando a sus variables x por -1 ; y por 2

32 + 48 + 10 = 90

GRADO DE UN POLINOMIO

Es una característica exclusiva de los polinomios que relaciona sus

exponentes y variables.

GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO

Esta dado por el exponente de la variable indicada.

Ejemplo:

Si entonces GR(x) = 3 ; GR(y) = 4 ; GR(z) = 7

GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO

Esta dado por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:

Si P(x, y, z) = 73x4y7z2

G.A. = 4 + 7 + 2 = 13



52

GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R)

Se da por el mayor exponente de la variable referida.

Ejemplo: P(x; y; z) = 2xy2 z2+ 6x8y5 z9+ 7x7yz

GR(x) = 8 ; GR(y) = 5 GR(Z) = 9

EXPRESIONES NO

ALGEBRAICAS

EXPRESIÓN TRASCENDENTAL

4321 x x x x x A

EXPRESIÓN LOGARÍTMICA

Logx LogZ Y X B Z Y X

,,

EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA

12, CosySenxY X C

EXPRESIÓN EXPONENCIAL

X Y X X Y X D 22,

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A)

Está representado por el término de mayor grado.

P(x) = x7 + x5 + 4

GA = 7

APLICA TUS CONOCIMIENTOS

1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas sonpolinomios

a) 5 x3 +2 x2- 1 d) 3 x3 + 2 x2 -sen(x+1) + 2

b) 3 x5 + 2+x3+6 x2 + 3 e) 4 x4 + 2 x3 +2x + 1

c) 3 x3 + 7 x2 -cos(x + 5 ) f) log (3). x2 -7 x+ 5

2.Colocar verdadero o falso según corresponda:

P(x) = 4x4 – 5x7 + 2x2 + 8

I. El polinomio es de grado 5. ( )

II. El término independiente es 8. ( )

III. La suma de coeficientes es 15 ( )

.¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?I.

4x3 es un monomio de grado 4.

II. P(x) = 5 + 3x2 + x-3 es un polinomio.

III.4

1x5x

2

3P 24

)x( es un polinomio en Q.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) Todas



53

Esta dado por el término de mayor grado absoluto

: G.A del polinomio P(x,y,z) = 7 que corresponde al término de mayorgrado .

¿Sabías qué?EXPRESIÓN

ALGEBRAICA

RACIONAL: Es aquella

expresión cuyas

variables no están

afectadas de radicales o

exponentes

fraccionarios y que

llevadas todas las

variables al numerador,

se ven afectadas deexponentes enteros

EXPRESIÓN ALGEBRAICARACIONAL ENTERA: Esaquella, donde llevadastodas sus variables alnumerador, estas se venafectadas de exponentesenteros no negativos( positivos o cero)

EXPRESIÓN

ALGEBRAICA RACIONAL

FRACCIONARIA: Es

aquella donde llevadas

todas sus variables al

numerador, por lo

menos una de ellas está

afectada de un

exponente entero

negativo.

EXPRESIÓN

ALGEBRÁICA

IRRACIONAL: Es aquella

donde por lo menos una

sus variables está

afectada de un

exponentes fraccionario

o de un signo radical

GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

Grado de una adición o sustracción

Grado de un producto

Está dado por el grado de la base multiplicado por la potencia.

: ( ) G.A del polinomio P(x,y,z) = 4 . 5 = 20(grado de la base que es dos

multiplicado por el exponente cinco

Está dado por la suma de los grados de sus factores

G.A del polinomio P(x,y,z) = 6+4+3 = 13 que corresponde a la suma

de los rados de sus factores

Grado de un cociente

Para hallar el grado de un cociente se resta el grado del dividendomenos el grado del divisor.

Grado de ( ) (grado del numerador menos el grado

del denominador)

Grado de una potencia

Grado de una raiz: Está dado por la división del grado del radicandoentre el índice de la raíz.

:

( )

G.A del polinomio P(x,y,z) = (grado del radicando entre el

índice de la raíz).

Grado de una raíz



54

POLINOMIOS ESPECIALES

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio donde todos sus términos tienen igual gradoabsoluto

( )

Todos los términos del polinomio son de grado 7

PROPIEDADES

En todo polinomio

completo y de una solavariable,

el número de términos es

equivalente al grado

aumentado en la unidad.

Es decir, si P(x) es

completo; entonces:

Número de términos de

P(x) = Grado + 1

Polinomio Completo

Es aquel polinomio de grado n, con respecto a una variable, que tiene

todos sus términos con grados desde 0 hasta n

Este polinomio es de grado 5 y tiene todos los términos desde

grado 0; 1; 2; 3; 4 y 5

Polinomio Ordenado

Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los

exponentes de dicha variable están organizados ascendentemente odescendentemente

Es un polinomio ordenado ascendentemente

Polinomios Idénticos

Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para

cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos

los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Es decir, si: Se cumple que: a=m; b=n; c=p

Polinomios Idénticamente nulos

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todopolinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales acero.

Si:

Se cumple que: a = 0; b = 0; c = 0



55

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)

( )

Es el número que se obtiene como resultado de reemplazar

las letras de una expresión por valores determinados.

Hallar el V.N. de:

Para x= -1; y= 3 ; z= 2

Solución:

3 - 1 + 1 = 3

Sea: P(x) =

a) Hallar: P(4)

Solución: P(4)= 2(4) + 1 = 8+1 = 9

b) Hallar: p(y+1)

Solución: P(y+1))= 2(y+1) + 1 = 2y+2+1 = 2y+3

Sea:

a) Hallar: P(x)

Reemplazando x+2 por y ; x por y-2 en:

Ahora hallamos P(x)

. . Sea: Halla Q(Q(x)) Solución: Por cambio de variable x-1=y ; x= y+1

Ahora hallamos Q(x) = 2x+1( ) Q Q x = 4x + 3

()

RECUERDA

POLINOMIO MÓNICO

O NORMALIZADO

Es el polinomio cuyo coeficienteprincipal es igual a uno.

COEFICIENTE PRINCIPAL

Es el coeficiente del término demayor grado del polinomio

En el polinomio Su coeficiente principal es 7



56

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

⏟

1. Hallar el valor de “a” para que el grado

absoluto del monomio:

(5xay2)3 sea 33.

Solución: El grado de una potencia es

igual al grado de la base multiplicado por

el exponente

Resolviendo: 3a + 6 = 33 Rpta: 9

5. Calcular “√ ”, si el monomio

mn

nm

ba

baba M

63

522

.

.; es de grado 8 y su

grado relativo a “b” es 4. Solución: El grado de un cociente es igual

al grado del dividendo menos al grado del

divisor. Grado del dividendo=m+2n+7

Grado del divisor=m+n+9Restando ambos grados e igualando a 8 tenemos además:El GR(b)=4 2n-m-1=4 Remplazando el valor de “n”

m=15. Ahora calculamos √ =√

2. Siendo A = 5mxm+3 . ym+n ; B = 8nxn-2 . y3m –4

Términos semejantes. Calcular “A + B” Solución: Como A y B son términos

semejantes entonces igualamos los

exponentes de “x” e “y”

m+3=n-2

m+n=3m-4

Resolviendo m=9; n=14

Remplazando valores de m y n en A y B

A = 5mxm+3 . ym+n

B = 8nxn-2 . y3m –4

A+B=

6. Sea

P(x) = 2x90

– 8x88

+ 2x2

– 4xHallar P(2)Solución: Remplazamos el valor de x=2 en:P(x) = 2x90 – 8x88 + 2x2 – 4xP(2) = 2.290 – 8.288 + 2.22 – 4.2P(2) = 291 – 23.288 + 2.22 – 22.2P(2) = 291 –291 + 2.22 – 22.2P(2) = 0

Rpta: 0

3. Hallar el valor de “a” para que la expresión

sea de grado 11

4 3 23.

aa x x x P

Solución: El grado de una raíz es igual al

grado del radicando dividido entre el

índice de la raíz 4 3 23.

aa x x x P

Resolviendo: 12 29 . aa x x x P

Rpta: 12

7. Si Q(x+1) = x2 – 4 Calcule:

210

Q

QQ

Solución: Hacemos el cambio de variable

X+1=y – X=y-1 –

Ahora calculamos:

2

10Q

QQ 1303

4. Hallar el valor de “a” para la expresión.

aa

aa

x x

x x x P

652

3424

.

.

sea de quinto grado

Solución: El grado de una potencia es

igual al grado de la base multiplicado por

el exponente. En

aa

aa

x x

x x x P

652

3424

.

.

– Rpta: 1

8. Si

P(x) = x2 – 6 Calcular

veces

P P P P

2013

......3......

Solución: Primero hallamos P(3) en P(x) = x2 – 6P(3) = 32 – 6 = 3Luego remplazando en

3.....3......

2013

veces

P P P P

Rpta: 3



57

1.Calcula si el monomio:

M(x;y)= Cuyo G.A.= 22 ; GR(y) =8

Rpta: 16

8.Hallar la suma de coeficientes delpolinomio homogéneo:

Rpta: 1

15. Calcule la suma decoeficientes del siguientepolinomio:

6765....

....53 313233

)(

x

x x x F x

Rpta: 1156

2. Si el grado de P(m;n)=√ Hallar:

√

Rpta: 1

9. Si M(x)=25+10x;N(x) = a(x+4)+b(2x+3), son

polinomios idénticos. Hallar: √

Rpta: 4

16. Hallar la suma decoeficientes si se sabe que el

polinomio es mónico desegundo grado.T(x) (4n-11)x2 –3x+(n+4)

Rpta: 5

3.¿Cuántos términos tiene elpolinomio?

P(x)= 12 Si es completo yordenadoRpta: 9 términos

10. Si P(x)=

es completo y

ordenado. Hallar: √ √

Rpta: 2

17. Si la suma de coeficientesdel siguiente polinomio es 24

Calcule el coeficiente principaly el término independiente .

xa xa xa P x

32)1( 23

)(

Rpta: 10; 0

4. Si el polinomioQ(x;y) = 3 es homogéneo

Hallar: √ √

Rpta: 2

√ √

11. Hallar el GR(y) – GR(x) delmonomio:

Rpta: 2

18. Dado el polinomioQ (x) completo y ordenadodecrecientemente:

Q(x)=

Hallar:

Rpta: 15.Si los polinomios:P(x) = + 9 yQ(x) =

Son idénticos. Hallar a+b+c

Rpta: 1

12. Si f(x) = ax+bAdemás: f Hallar: f(-1)

Rpta: 5

19. Hallar: 2m - n + p ,Si elPolinomio R(x) esidénticamentenulo.

Rpta: 3

6.Si el polinomio:

; es idénticamente nulo.

Hallar:

Rpta: 5

13. Si P(x) = 2x+1

P(g(x)) =

Hallar G(3)

Rpta: -5

20. Si el polinomio P(x;y) eshomogéneoCalcular :

Rpta: 1

7. Si Q(x;y) = esun monomio. Hallar x+y.Sabiendo que: ;

Rpta:

√

14. Si el grado relativo de “x” es 9,

en :P(x; y) 21x3yn - 8(xy)3n - xny5

dar el grado relativo de “y” Rpta. 9

21.Si P(x) = ax+bP(2) = 8P(1) = 5Hallar: Rpta: -1

APLICA TUS CONOCIMIENTOS



58

3.2. Operaciones con polinomios

3.2.1. ADICIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar polinomios, hay que tener en cuenta que sólo se puedensumar los términos que tienen igual parte literal (términos

semejantes), o sea iguales letras elevadas al mismo exponente. Se

suman entonces los coeficientes de los términos de la misma parte

literal y se escribe la parte literal.

Hallar

a) P(x) + Q(x) Solución: Ordenando

–

3.2.2. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para restar polinomios, el polinomio minuendo menos el

sustraendo, hay que sumar el primero con el opuesto del

segundo. O sea que la resta de polinomios es un caso particular

de suma, sólo que hay que afectar al segundo polinomio por el signo

menos, lo que implica un cambio de signo para todos los términos

de dicho polinomio.

Hallar

a) P(x) - Q(x) Solución: Ordenando

EL NEWTON DEL PERÚ

Siendo un sencillo profesorde secundaria, con sólo 23años y sin haber estudiadoen una universidad,Villarreal descubre elmétodo para elevar un

polinomio cualquiera a unapotencia cualquiera. Lo másinteresante de su vidacientífica es el hecho de queefectuó contribucionesoriginales al desarrollo delas matemáticas eingeniería, algo pocas vecesvisto en los matemáticos dehabla española. Es por todasestas razones que a

Villarreal se le puede decircon toda justicia: "ElNewton del Perú"En 1873, encontrándose en

su pueblo natal Túcume del

departamento de

Lambayeque (Perú),

Federico Villarreal V. (1850-

1923), descubre un método

para elevar un polinomio

cualquiera a una potenciacualquiera. Este hecho

provocó que otro

matemático peruano

Cristóbal de Losada y

Puga (1894-1961), estudiase

a profundidad este

descubrimiento y bautizase

el desarrollo de la potencia

del polinomio como el

"Polinomio de Villarreal

http://es.wikipedia.org/wiki/Crist%C3%B3bal_de_Losada_y_Puga






59

3.2.3. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

3.2.3.1.-MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

Se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales tambiénentre sí, en este último caso se aplican las propiedades de potenciasde igual base.

Hallar: P(x;y) . Q(x;y) Solución: Multiplicamos los coeficientes y las partes literales entre si

P(x;y) . Q(x;y)

3.2.3.2.-MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO:Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

2xy2 - 6x8y5+ 7x7yHallar: P(x;y) . Q(x;y) Solución: Multiplicamos los coeficientes y las partes literales de

P(x;y) con cada uno de los términos de Q(x;y) entre si

xy2 - 6x8y5+ 7x7y)

= 6y6 - 18x11y9+ 21x10

3.2.3.4.-MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:Se realiza el producto como si se tratara de una multiplicación entre

números, y se van ordenando los términos de modo que queden

alineados verticalmente los que tienen igual parte literal, para luego

sumar estos términos.

5x +6

Hallar: P(x;y) . Q(x;y)

5x +6

¿SABÍAS QUÉ?

Carlos Gutiérrez Vidalón, fue

uno de los matemáticos

peruanos, que en el año 2007

resolvió conjetura matemática

de Markus-Yamabe, siendo una

proeza científica a nivelmundial, en el Perú pocas

personas conocen de sus

logros, ese matemático se forjó

en base al esfuerzo y

dedicación.

Pareciera sencillo decir queresolvió un problema, pero fueuno de esos grandesproblemas numéricos queesperaba por años ser

demostrado. Desde que dosmatemáticos prestigiosos,Markus y Yamabe, enunciaronsu conjetura matemática,pasaron más de 40 años. Hoy,no es más una conjetura,porque fue resuelta y probadapor nuestro desaparecidomatemático peruano quemurió el 2008.Carlos Teobaldo Gutiérrez

Vidalón, nació y creció en

Ayacucho, estudió docencia en

la especialidad de matemática

en la Universidad Nacional de

Educación Enrique Guzmán y

Valle; obtuvo el grado de

doctor en Matemáticas puras y

fue profesor del Instituto

Nacional de Matemática Pura y

Aplicada del Brasil, Universidad

de Sao Paulo, dictó cátedras en

diversas partes del mundo,desarrolló numerosas

investigaciones científicas.



60

Sean polinomios: P( x ) = 5 x 4 + 2 x

2 + 6 x + 5, Q( x ) = –3 x 2 + 2 + 3 x

5 ¸ R( x ) = x 3 – x

5 + 3 x 2 ; S(x) =3 x

2 + 2

T(x) = –2 x 4- 4 x

2 + 3 x + 1 y U(x) = - 3x Calcula:

1)P( x ) + Q( x ) 5) U( x ). S( x )

2) P( x ) + Q( x ) + R( x )= 6) -U( x) .Q(x)

3) P( x ) – R( x ) + Q( x ) 7) Q( x ) . R( x )

4) 2P( x ) + 3Q( x ) - R( x ) 8[ – ] .

APLICA TUS CONOCIMIENTOS EN CLASE



61

TAREA DOMICILIARIA

I. Efectúa las siguientes operaciones:1. (3 x

2 – 2 x -1) – (6 x 2 + 4 x – 6)

2. (3 x 3 – x 2 + 8 x – 1) – ( x 2 + 4 – 3 x )

3. (2 x 4 + 5 x

5 -24 x 2 –7) + ( x

3 – 23 x 2 – 5 + x )

– ( –3 x 4 + 5 – 8 x + 2 x

3)

4.

232

232

2

3

3

2

3

232

4

3

6

1

12316

7

4

1

x x x x x

x x x x

II. Multiplicar los siguientes monomios:

1.(-3a3)(4a

2)

a) -8a6 b) 8a6 c) -12a5

d)6a5

2. (3a2)(5a

3)(-3a

5)

a) -18a10

b) 45a30

c)-45a10

d)27a15

3. 2x3(3x

2) -4x

4(x) - 2x

2(x

3)

a) 4x5 b) -x5 c) 0

d) x5 e) -4x

5

4. -5a2b

3 por 3a

2x

a) -15a4b

3x b) 8a

4b

4x c) 15a

4xb

3d) 3b

2x

3a

4

5.

a) b) c) d)

III. Multiplicar los siguientes monomios por lospolinomios:

1.

2. xy z y x 2352

3. abbba 4353 22

4.(m + 2n) (2m) - (m + n) (3m)

5.2(x2 + x + 1) + (x + 1) 2x

IV. Multiplicar los siguientes polinomios.1. (x + 5) (x – 7) =

2. (3a + 9) (7a – 8) =

3. (x –y) (2x + y+ 11) =

4. (x + y) (x2 – xy + y2) =

5. (0,2 n2 – 0,3 n + 3) (0,5 n – 2) =

6. ( √ ) ( √ )) =

7. (2p + 3q – 4r) (-3p – 4q + 2r) =

V. Resuelve y marca la respuesta correcta:

1) Halla el término independiente de “a”, alefectuar: (2a + 3)4.a) 9 b) 3 c) 81d) 27 e) 243

2) Al multiplicar (x + 2) (2x + 5a) (x + 8).Se obtiene como término independiente – 240. Según esto, cuál es el valor de a?a)2 b) 3 c)4d) 5 e) 6

3) Reduce: (x + y + 1)2 – (x + y – 1)2 a) 4(x + y) b) x(2y + 1)c) 4x(y + 1) d) 4y(x + 1)e) x + y – 1

4) Si: 4x + 2y = 10, entonces, halla el valorde 12x + 6y

a) 20 b) 30 c) 40d) 15 e) 25

5. Hallar (a-b) (a+b) sabiendo que

es un polinomio homogéneoa) 16 b) 32 c) 36

d) 48 e) 60

6.Hallar «a.b» sabiendo que P(x) es ordenado ycompleto

a)20 b) 30 c) 40

d) 10 e) 25

ab2bbab2a yx15yxyxP ),( 8ba

yx2

1xxxxxP 8a1b4 )(



62

PRODUCTOS NOTABLES

Son multiplicaciones abreviadas que tienen unaforma determinada, sin necesidad de efectuar la

operación, directamente se escribe el resultado.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

BINOMIO AL CUADRADO

(a + b) = a + 2ab + b(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b) (a – b) = a2 - b2

IDENTIDADES DE LEGENDRE

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

BINOMIO AL CUBO

=

TRINOMIO AL CUADRADO

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .

.(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc .

TRINOMIO AL CUBO

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

El matemático peruano HaraldAndrés demostró la solución deun problema matemáticoirresuelto desde hace 271 años.Sin embargo, nuestrocompatriota debe esperar aún losescrutinios oficiales paracelebrar. También el Perú.La investigación que desarrolló esla conjetura débil de ChristianGoldbach, quien sugirió en 1742que: "Todo número impar mayorque cinco puede expresarse comosuma de tres números primos".Esta afirmación se convirtió desdeese instante en un dolor de cabezapara los matemáticos de los tresúltimos siglos. Y si bien ahora conla hazaña del matemáticoperuano, dicho enunciado sedemuestra en 133 páginas.

Harald Helfgot nació en Lima en1977. Su padre escribió libros deanálisis y geometría cuyosborradores él leyó. Su madre esestadista. Así creció entre libros.Y así, este matemáticoencaminaba su éxito.Cuando tenía 12 o 13 años,comenzó a ir a grupos de jóvenesque se reunían en la UniversidadNacional Mayor de San Marcos yla Pontificia Universidad Católica.

En esas casas de estudio sereunían para entrenarse para lascompetencias (“olimpiadas de

matemática”) a nivel

latinoamericano.Hoy en día es residente en París,

Francia, y labora como

investigador en el CNRS (Centro

Nacional para la Investigación

Científica. Ha recibido

distinciones como el Premio

Philip Leverhulme, entre otros.



64

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS CON PRODUCTOS NOTABLES

I. Desarrolla por simple inspección empleando los

diferentes casos de productos notables:

1.

Solución: Aplicamos (cuadrado de un binomio) (2x)2 +2(2x)(3)+32

= 4x2+12x+9

2. (3x+2)3

Solución: Aplicamos (cubo de un binomio)

(3x+2)3 = (3x)3 +3(3x)2(2)+3(3x)(2)2 +(2)3

= 27x3+54x2+36x+8

3. (x+2y+z)2

Solución: Aplicamos (cuadrado de un trinomio)

(x+2y+z)2 = x2+(2y)2+z2 +2(x)(2y)+2(2y)(z)+2xz

=x2+4y2+z2+4xy+4yz+2xz

4. (2x+y+4)3

Solución: Aplicamos (cubo de un trinomio)

(2x+y+4)3 =(2x)3+y3+43 +3(2x+y)(y+4)(2x+4)

=8x3+y3+64+ 3(2x+y)(y+4)(2x+4)

5. (4a + b)2 + (4a-b)2

Solución: Aplicamos(identidades de Legendre-1)

(4a + b)2 + (4a-b)2 = 2[(4a)2+b2]=32a2+2b2

6. (2x2 + y3)2 - (2x2 – y3)2

Solución: Aplicamos(identidades de Legendre-2)

(2x2 + y3)2 - (2x2 – y3)2 = 4(2x2)(y3) =8x2y3

7.(3m+5)(3m-5)

Solución: Aplicamos (diferencia de cuadrados)

(3m+5)(3m-5)= (3m)2-(5)2 = 9m2- 25

8.(x+3y)(x2-3xy+9y2)Solución: Aplicamos (suma de cubos)

(x+3y)(x2-3xy+9y2 ) = x3+(3y)3 = x3 + 27y3

9. (2x+3) (2x+4)

Solución: Aplicamos (identidad de Stevin)

(2x+3) (2x+4) =(2x)2 +(3+4)2x+3 . 4 = 4x2+14x+12

10. nnmmnnmm bbaabbaa 2222

Solución: Aplicamos (identidad de Argand)

nnmmnnmm

bbaabbaa 2222

nnmm bbaa 4224

II.1. Si: a + b = 7; ab = 5; calcular a2+b2

Solución: Aplicamos (cuadrado de un binomio)

(a + b)2 = a2+2ab+b2 . Remplazamos valores(a + b)2 = a2+2ab+b2 (7)2 = a2+2(5)+b2

49 = a2+b2 +10 a2+b2 = 39

2. Reducir: Solución: Adecuamos el ejercicio a una diferencia

de cuadrados

3. Simplificar A = (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 – 2(x – 2)2

Solución: Hacemos cambio de variable (x2-4x= a)

efectuamos las operaciones indicadas

x2-4x= a

A = (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 – 2(x – 2)2

A = (a – 1)2 – (a – 2)2 – 2(x2 –4x+4)

A = (a – 1)2 – (a – 2)2 – 2(a+4)

A = a2-2a+1 – (a2-4a+4) – 2a-8

A = a2-2a+1 –a2+4a-4 – 2a-8

A= -11

4. Si a+b=7; ab=8. Hallar : a3

+b3

Solución: Aplicamos cubo de un binomio

(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)

(7)3 = a3+b3+3.8(7)

5. Si: 61

x

x ; hallar3

3 1

x x

Solución: Aplicamos cubo de un binomio

(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)

(6)3 =3

3 1

x

x +3.

x

x 1. (6)

216- 18 =3

3

3

3 1198

1

x x

x x

6. Si a + b + c = 0

Hallar:2

22 2

a

bccb E

Solución: Aplicamos cuadrado de un binomio luego

identidades condicionales

1)()(22

2

2

2

2

22

a

a

a

cb

a

bccb E



65

I. Desarrolla por simple inspección empleandolos diferentes casos de productos notables:1. (8 - x)2

2. (2x4 +3y2)2

3. (x5 - 4x3)2

4. (5x + 11y)(5x – 11y)

5. (x + 5)3

6. (1 - 3y)3

7. (x - 12)(x - 5)

8 (5y2 + 4)(5y2 - 14)

9. (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

10. (x - y) (x2 + xy + y2)

II. Simplifica:

1) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2=

2) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – 9=

3) 3x(x + 1)2 – (2x + 1)(2x – 1)=

4) (x2 – 2)(x2 + 2) – (x2

– 1)2=

5) 3x2 – 2(x + 5) – (x + 3)2 + 19=

6) (x + 3)2 – [x2 + (x – 3)2]=

7) (x – 1/3)(x + 1/3) – 1/3(x2 +1)=

8) (a –1)(a2 + a +1) (a+1) (a2 – a + 1)

9) 22

22 )()(

y x

y x y x

III. Resuelve:

1. Si: x + y = 1

Hallar: A= (x

2

+y) – (x+y

2

)

2. Si a +a

1= 2

Hallar: C= a3 +3

1

a

3. Si x + 1 = 2 ; y – 1 = 2

Hallar el valor deD= (x + y)2 + (x - y)2

4. Reduce: (3x + 1)2 +(4x + 1)(2x-5)

5. Si m2 + n2 = 18

Hallar 22 )()( nmnm E

6. Reducir: 6 64224 bbbaababa

7.Si se cumple:(x + y)3 = x3 + y3

Hallar: y

x

8.

Halla:

9. Si a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac

Halla:

10. x2 + y2 = 8x + 6y - 25, halla (x - y)4

11. Si

(x - 1)2 + y2 = 2y - 1,

hallar x e y.

TAREA DOMICILIARIA



66

OBSERVACIONES

1) El grado del cociente

es igual al grado del

dividendo menos el grado

del divisor.

2) El grado absoluto del

residuo de una división de

polinomios homogéneos

es igual al grado absoluto

del dividendo.

3) El grado relativo de la

letra ordenatriz en el

residuo es como máximo

uno menor que el grado

relativo de la letra

ordenatriz en el divisor.

3.2.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3.2.4.1.-DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Se DIVIDEN los coeficientes entre sí y las partes literales también

entre sí, en este último caso se aplican las propiedades de divisiónde potencias de igual base.

Hallar: P(x;y) Q(x;y) Solución: Dividimos los coeficientes y las partes literales entre si

P(x;y) Q(x;y)

3.2.4.2.-DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO:Se divide cada uno de los términos del polinomio dividendo entre elmonomio divisor.

Si P(x;y)=

Q(x;y) =

Hallar: Hallar: P(x;y) Q(x;y) Solución: Dividimos cada uno de los términos del polinomiodividendo P(x;y) entre el monomio divisor Q(x;y)

3.2.4.3.-DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

a) Se ordenan y completan con ceros los términos de los polinomios

dividendo y divisor.b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer términodel divisor.c) El primer cociente obtenido se multiplica por todos los términosdel divisor.d) El producto obtenido resta al dividendo, obteniendo así el primerresiduo.e) Se divide el primer residuo entre el primer término del divisor,

obteniéndose así el segundo término del cociente.

f)Con este cociente obtenido se repite los pasos anteriores que se

realizó con el primer término del cociente hasta obtener un residuode menor grado que el divisor.



67

RECUERDA

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Teorema:

Dados los polinomios D(x) y

d(x) con d(x) existen y

son únicos dos polinomiosc(x) y r(x) tales que D(x) =

d(x).c(x) + r(x) siempre que

grado r(x) < grado d(x) o

bien r(x) sea igual al

polinomio nulo

DEFINICIÓN Dados los polinomios D(x) y

d(x), d(x) 0 diremos que

d(x) divide a D(x) si y sólo si

existe un polinomio c(x) tal

que: D(x) = d(x) . c(x)

Importante

La división termina cuandoel grado de r(x) es

estrictamente menor que elgrado del divisor d(x) or(x) = 0

Q(x) =

Hallar: P(x) Q(x) Solución:

a) Ordenamos y completamos el dividendo y divisor

Q(x) = b) Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término

del divisor:

c) El primer cociente obtenido ( se multiplica por todos lostérminos del divisor ( )

(

d)El producto obtenido( resta al dividendo, obteniendoasí el primer residuo(

e) Se divide el primer residuo entre el primer término del

divisor, obteniéndose así el segundo término del

cociente

f)Con este cociente obtenido se repite los pasos anteriores

que se realizó con el primer término del cociente hasta obtener un

residuo de menor grado que el divisor.

0 0



68

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS CON DIVISIÓN DE POLINOMIOS

I. Desarrollar las siguientes divisiones:

1. Solución: Dividimos los coeficientes y restamos

los exponentes de variables iguales

2.

Solución: Dividimos los coeficientes y restamos

los exponentes de variables iguales

3.

Solución: Dividimos cada término del

polinomio dividendo entre el monomio divisor

4.



5 .



=

6.

Solución: Disponemos conveniente el dividendo y el

divisor , completamos los términos que faltan y luego

procedemos de acuerdo a las reglas del método clásico.

0 0 0

7.


divisor, completamos los términos si es que faltan y

luego procedemos de acuerdo a las reglas del método

clásico.

+5

8. 2x6 – 3x5y + 5x4y2 + 5x3 y3 – 6x2y4 + 3xy5 + 2y6 x3 – 2x2y + 4xy2 – y3


divisor, completamos los términos si es que faltan y

luego procedemos de acuerdo a las reglas del método

clásico.

2x6 – 3x

5y + 5x

4y

2 + 5x

3 y

3 – 6x

2y

4 + 3xy

5 + 2y

6 x

3 – 2x

2y + 4xy

2 – y

3

-2x6+4x

5y - 8x

4y

2 + 2x

3 y

3 2x

3 + x

2y – xy

2 + y

3

+x5y - 3x

4y

2 + 7x

3y

3- 6x

2 y

4

- x5y + 2x4y2 - 4x3y3 + x2 y4

- x4y

2+ 3x

3y

3 - 5x

2y

4+ 3xy

5

+x4y

2- 2x

3y

3 + 4x

2y

4- xy

5

+ x3y3 - x2y4 + 2xy5 + 2y6

-x3y

3+2x

2y

4 - 4xy

5+ y

6

x

2

y

4

- 2xy

5

+ 3y

6



69

TAREA DOMICILIARIA

I. Desarrollar las siguientes divisiones:

1. 33a5b7 (-3)a2b4

2.

3.

4.

5.

6. x

xy x

8

248 2

7. 2

32223 453

xy

z y x y x xy

8. 3x5 - 3x2 + 6x + 9 3

9. 5x7-15x5+20x4-5x3+40

10.15x6+5

7x5-

3

2x4-

3

7x3 + x2-6

11. x7 – 5

3x6 + 2x4 - x3

12.El cociente entre un polinomio y elmonomio 3x2 es 5x4 - 3x2 + 2x y el resto 2x.¿Cuál es dicho polinomio?

13.¿Cuánto tiene que valer a en el polinomio3x4 – 2x3 + 6x2 + a para que al dividirlo entreel monomio 3x2 el cociente sea exacto?

14. (y 6

+ 5y4 + 3y

2 – 2y) (y

2 − y + 3)

15.( 2 x 4- 4 x

3+3 x 2- x +1 ) : ( x

2+ 2 )

16. 4+2 x 3+6 x

4 : 2 x 3+ 2

17. 2 x 5- 4 x 3+3 x 2-1 : 2- x - x 3

18.

19. 6x6 – 8x5+ 19x4 -29x3 +40x2 + 30x +123x2- 4x +2

20.

2

1xx

4

13x2x

2

3x 354



70

SANTIAGOÁNGEL DELA PAZ

ANTÚNEZDE

MAYOLOGOMERO

Donde: x, a son las bases ; nN n 2

Condiciones que deben cumplira) Deben tener las bases iguales.

b) Deben tener los exponentes iguales.

Así:ax

ax nn

Numéricamente:ax

ax 1010

CASOS DE COCIENTES NOTABLES

Existen cuatro casos de cocientes notables, que sedeterminan combinando convenientemente los signos;las cuales son:

ax

ax nn

;

ax

ax nn

;

ax

ax nn

;

ax

ax nn

PRIMER CASO:

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto.

x-a = 0 x = a

R=an

- an

= 0 R=0

Esto indica que para cualquier valor entero de “n”,

será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

COCIENTES NOTABLES

Ingeniero, físico y matemático peruano.Nació en Huacllán, el 10 de enero de1887de la que fue la hacienda, hoy elcentro poblado Vista Bella, en laprovincia de Aija, en el Departamento deAncash. Elaboró numerosos estudios yproyectos que abarcaron lasespecialidades de física, ingeniería,

historia y arqueología; distinguiéndose enellos su afán por resolver las falencias deenergía e industrialización del Perú. Elprimer proyecto publicado fue su estudiosobre el potencial hidroeléctrico delCañón del Pato, que tituló Proyecto de laInstalación Hidro-Electro-Química delCañón del Pato sobre el río Santa-Perú,elaborado originalmente en 1915 yactualizado en 1940 fue la columnavertebral de sus proyectos de ingeniería,a la cual dedicó gran parte de su vida

hasta verla cristalizada en 1958 con lainauguración de la Hidroeléctrica delCañón del Pato, la primera centralconstruida en una bóveda subterránea.En1920 publicó Las caídas del agua deldepartamento de Áncash, y tres añosdespués presentó El transporte de140,000 HP del Cañón del Pato a Lima y elFerrocarril de Lima a Chimbote, con loscuales complementaba el proyecto inicialde la Central Hidroeléctrica del Cañón del

Pato y la industrialización de esa región.

En octubre de 1923 presentó la TeoríaCinética del Potencial Newtoniano y

algunas aplicaciones a las Ciencias

Físicas la cual a decir del propio Antúnez

de Mayolo "versa sobre un nuevo

aspecto de la teoría del potencial de las

fuerzas newtonianas (...) mediante la

interpretación del significado de la

velocidad de la luz"

Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente

y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo

correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación.La división es exacta (esto es, el resto es nulo).

Estos casos especiales son de la forma general

RECUERDA

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Distrito_de_Huacll%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/10_de_enero

http://es.wikipedia.org/wiki/10_de_enero

http://es.wikipedia.org/wiki/Distrito_de_Huacll%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa



71

B.Cálculo del cociente:

Donde “n” es par o impar

Ejemplo: Calcular el cociente en forma

directa de:

322344

axaaxxax

ax

SEGUNDO CASO:

A. Cálculo del resto: Por el teorema del resto.

x-a=0 x=a R=an+a

n

R=2a

n

0

Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n”

el resto es siempre diferente de cero por lo cual

el cociente que se obtiene será siempre un

cociente completo y nunca un cociente exacto.

B.Cálculo del cociente:

Donde “n” es par o impar.

Importante: Excluiremos el presente caso debido a

que la división no es exacta, en consecuencia no es

un cociente notable

ax

ax nn

ax

a2a....axaxx

ax

ax n1n23n2n1n

nn



72

TERCER CASO:

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto.

x+a=0 x=-a

R=(-a)n+a

n

Si:n=# par R=an+an=2an0 (cociente completo)

Si:n=# impar R= -an+a

n=0 (cociente exacto):

B. Cálculo del cociente.-

Donde “n” es impar.

Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:

43223455

a xaa xa x xa x

a x

CUARTO CASO:

A. Cálculo del resto.- Por el teorema del resto.

x+a=0 x=-a

R=(-a)n-a

n

Si:n = # par =an-a

n=0 (cociente exacto)

Si:n = # imparR=-an-a

n=-2a

n0(cociente completo)

1n2n23n2n1nnn

axa...axaxxax

ax

RECUERDA

PARA DIVIDIR POR EL

Método de Paolo Ru ini



73

B.Cálculo del cociente.-

Donde “n” es par.

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL

Es una fórmula que nos permite encontrar un término

cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables

sin necesidad de conocer los demás:

Sabemos que:

1n2n

t

23n

t

2n

t

1nnn

axa...axaxxax

ax

321

Donde:

t1=xn-1

=xn-1

a°

t2=xn-2

a=xn-1

a1

t3=xn-3

a2=x

n-3a

2

t69=……..=xn-69

a68

En General

Donde: K es el lugar pedido

N es el exponente de las bases en el

numerador

El signo se colocará de acuerdo al

caso que corresponda.

LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE:

tk = xn-k

ak-1

; 1 k n

REGLA PARA EL

SIGNO

A) Cuando el divisor es-



74

I. Si la división tiene la forma que origina un cociente

notable, el exponente que se repite en el dividendo

indica el número de términos del cociente.

a) 100osmintér de#yx

yx 100100

b)64

506504

64

300200

yx

)y()x(

yx

yx

# de términos = 50

II. El cociente se caracteriza por ser completo y ordenado

respecto a sus bases; además de ser homogéneo

respecto a las mismas.

III. El primer término del desarrollo se obtiene dividiendoel primer término del dividendo entre el primero del

divisor.

IV. A partir del segundo término los exponentes de la

primera base disminuyen de uno en uno, mientras

que los de la segunda van aumentando de uno en

uno.

V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los

términos del cociente serán positivos; pero si es unbinomio suma (x+a) los términos del cociente serán

alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar

par negativos).

VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del término

central tendrán igual exponente.

Ejemplo:

654233245677

axaaxaxaxaxxax

ax

VII. Para calcular un término cualquiera contando de

derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las

bases tanto en el numerador como en el denominador,

para luego aplicar la fórmula del término general.

Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir

de derecha a izquierda del desarrollo de:ax

ax 121121

Todos son positivos (+)

K=# impar (positivo +)

K=# par (negativo -)



75

Resolución:

Intercambiando las bases:

xaxa

121121

Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86

III. Si:qp

nm

ax

ax

origina un cociente notable

Entonces se cumple:q

n

p

m

Además: q

n

p

m número de términos

Ejemplo: si42

2001n

yx

yx

origina un

cociente notable, calcular el valor de “n”.

Resolución

* Como origina un cociente notable:

4

200

2

1n

n+1=(50)(2)

n=100-1

n = 99

AHORA TE TOCA PRACTICAR

1. Efectuar:2

8

m

mm

Resolución:

Rpta. m - 2 m +4

2. Hallar el número de términos del

desarrollo de:2

642

12

a

a

Resolución

Rpta: El cociente tendrá 6 términos

3. Hallar el 5to término del desarrollo de:

2

642

12

m

m

Resolución :

Rpta: t5 = 16m2



76

T RE DOMICILI RI4. Calcular el valor de “m” en:

121

322

mm

mm

z y

z y; para que sea un cociente

notable:

Resolución :

Rpta. m = 2

5. Hallar el término 25 en el desarrollo delcociente notable:

23

100150

nm

nm

Resolución:

Rpta. t25 = m75 n48

6. Hallar el número de términos que tiene el

desarrollo del cociente notable:

3

43

22

44

nm

nm

Resolución:

Rpta. El cociente notable tiene 32

términos

1. Hallar el número de términos del

desarrollo de:2

23

515

m

m

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) N.A.

2. ¿Cuántos términos admite el

desarrollo del cociente notable?

1

252525

nn

nn

xm

xm

a) 5 b) 25 c) 50

d) 75 e) N.A.

3. Indicar el valor de verdad:

I.nm

nm

33

, es un C.N. exacto

II.nm

nm

3131

, es un C.N. no exacto

III.nm

nm x

5

, es un C.N. si x = 5

a) VVV b) FFV c) FFF

d) FVV e) N.A.

4. Determina el valor de “k” si la



77

expresión es un C.N.174

35754

y x

y xk

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) N.A.

5. Hallar el 7mo término del C.N.

333

36333

nm

nm

a) m3 n3 b) m12n198 c) m30n31

d) m15 n17 e) N.A.

6. Hallar el 5to término del desarrollo

del C.N.:

32

40

nm

nm p p

a) m4n4 b) m70n12 c) m12n70

d) m10n37 e) N.A.

7. Hallar el 10mo término del desarrollo del

C.N.:

93

604

nm

nm qq

a) –m30 n81 b) –m3 n8

c) m8 n3 d) m28 n82 e) N.A.

8. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo del

C.N?

98

34124

mm

mm

y x

y x

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) N.A.

9. Calcular “m” en: 321

544

mm

mm

ba

ba

Para que sea un C.N

a) 10 b) 2 c) 4

d) 6 e) N.A.

10. Hallar el t6 del desarrollo del C.N.

nm

nm

2

1284

728

a) –32m24 n6 b) 32m4 n4

c) 64m7 n6 d) -32m4 n5

e) N.A.



78

FACTORIZACIÓN

Es la transformación de un polinomio en unamultiplicación indicada de sus factores primos o

sus potencias.

Ejemplo:

ebraicalgasuma

2 22x9x =

primosfactores

)11x)(2x(

NOTA: Factor primo es aquel que es divisible

por la unidad y por si mismo.

POLINOMIO PRIMO O IRREDUCTIBLE.

Análogamente a los números primos, existen

polinomios que no admiten factores. Tales clases de

polinomios, de grado mayor que cero, sólo son

divisibles por sí mismos y una constante no nula;

éstos reciben el nombre de polinomios primos o

irreductibles.

Ejemplos:

x+13

2x

x2+1

x3+9

3x-1

OBSERVACIÓN: La factorización se realiza en

el conjunto de las expresiones algebraicas

racionales enteras respecto a la variable y

respecto a los coeficientes en el conjunto de los

números racionales, aunque en éste último

caso puede existir alguna reconsideración en

abandonar el conjunto racional (Q).

POLINOMIO DEFINIDO SOBRE UN CAMPO

NUMÉRICO

Un polinomio está definido sobre un campo

numérico, si todos sus coeficientes pertenecen adicho campo, sólo vamos a considerar 3 campos

numéricos: Q, R y C.

Ejemplos:

En el polinomio:

P(x)=4x3-

3

x2 2

+5x-7, se tiene:

{4; -3

2; 5; -7} Q

Es decir, todos sus coeficientes son

racionales, por tanto P está definido sobre

Q.

En el polinomio:

F(x,y)=x3+ 2 x

2y+2xy

2+, se tiene:

{1; 2 ;2;} R

En el polinomio:

G(x,y)=-5x2+ 3 ix

3+xy

9 se tiene:

{-5; 3 i;1} C

FACTOR O DIVISOR ALGEBRAICO

Todo polinomio no constante, que divide

exactamente a otro polinomio se llama factor o

divisor algebraico.

Ejemplo: P(x)=x-1 es un factor algebraico de

F(x)=x2-1; pues la división:

1x1x1x

PF 2

)x(

)x( es exacta



79

NÚMERO DE FACTORES PRIMOS (F.P)

El número de factores primos de un polinomio se

obtienen contando el número de factores basales,

es decir los factores que se encuentren como basede una potencia y que contengan a la variable.

Nota: Para realizar el conteo no se debe

considerar el número de veces que actúa un

determinado factor.

Ejemplos:

P(x)=(x+3)2(x

3+2)

7(2x-1)

N° de factores primos es 3

Q(x)=36(x+5)(x

4+1)

3


R (x,y)=x3y3(x+2y)

5(x-3y)

4


NUMERO DE FACTORES TOTALES

Sea: ab

c

donde a, b, c son primos entre sí:

Ejemplo: Determinar el número de factores de:

P(x,y)=(2x-y)2(x+y)

3(a

2+b

2)2

N° Factores = (2+1)(3+1)(2+1)

= 36 factores

NÚMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS O

DIVISORES ALGEBRAICOS

Un polinomio factorizado presenta una cantidad

determinada de factores algebraicos, es decir

expresiones que lo dividen en forma exacta en el

cual no se considera a ninguna constante.

Sea: a

b

c donde a, b, c son primos entre si:

Ejemplo: Determinar el número de factores de:

x

y

xy2 xy Factores algebraicas

y2 totales

xy2

Por fórmula:

N° Factores algebraicos = (1+1)(2+1)-1

= (2)(3)-1

= 5

N° Factores=(+1)(+1)(+1)

N° Factores = (+1)(+1)(+1)-1



80

NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS O

DIVISORES COMPUESTOS

Ejemplo: P(x,y)=x2y

3

Factores primos = 2

Factores totales = 12

Factores algebraicos = (2+1)(3+1)-1=11

Factores compuestos = 11-2=9

METODOS DE FACTORIZACÓN

Son técnicas a utilizar, de acuerdo a la forma que

presente el polinomio.

I. Método del factor común y/o

agrupación de términos.

Para aplicar este método tendremos en

cuenta lo siguiente:

Observar si toda la expresión tiene uno o

más factores comunes, si estuviesen

elevados a exponentes, se extrae el que

está elevado al menor.

Si la expresión no tuviera factores

comunes, éstos se consiguen agrupando

términos y el número de términos que se

reúnen dependen del numero de términos

del polinomio dado.

Se extrae el factor común y el otro factor se

determina dividiendo cada uno de los

términos del polinomio entre el factor

común extraído.

Ejemplo:

1. Factorizar: P(x)=4x4+5x

2

Resolución:

El factor común es: x2

P(x) = x2(4x2+5)

2. Factorizar: P(x,y)=x3(x+y)+5xy(x+y)

Resolución:

El factor común es: x(x+y)

P(x,y)=x(x+y)(x2+5y)

3. Factorizar:

P(x,y) = a

2

x-ax

2

-2a

2

y+2axy+x

3

-2x

2

y

Resolución:

P(x,y)=a2x-ax

2-2a

2y+2axy+x

3 – 2x2y

P(x,y)=a2(x-2)-ax(x-2y)+x

2(x-2y)

P(x,y)=(x-2y)(a2 – ax + x

2)

F.C. = F.A. - F.P

Factores Factores Factores



81

PR CTIC NDO

PRENDO

1. Factorizar:

6m3 n3 – 12m2 n4 + 9m4 n2

Resolución:

Rpta. 3m2 n2 (2mn – 4n2 + 3m2)

2. Factorizar: -m –n + x (m + n)

Resolución :

Rpta. (m + n) (x - 1)

3. Factorizar:x(3m – 2n) – 3m + 2n

Resolución:

Rpta. (3m – 2n) (x-1)

4. Factorizar:

3x (p – q + r) – 2y (q – p - r)

Resolución:

Rpta. (p – q + r) (3x + 2y)

5. Factorizar:

abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1

Resolución:

Rpta. (a+1) (b+1) (c+1)

6. Factorizar:

2m2 + 2mb – 3am – 3ab

Resolución:

Rpta. (m + b) (2m – 3a)



82

T RE DOMICILI RI

1. Factorizar: m2 – 2m + am – 2a e

indicar uno de sus factores

a) (m+2) b) (m2 + a)

c) (m2 - a) d) (m-2) e) N.A.

2. Factorizar: mx – m – x + 1

e indicar la suma de sus términos

independientes de los factores primos

a) 2 b) -2 c) 1

d) -1 e) N.A.

3. Factorizar: 2mn + 7m – 2n – 7 y señala

el mayor de los términos independiente

de sus factores primos

a) 1 b) 3 c) 7

d) 9 e) N.A.

4. Factorizar:

3ax – 3ay – 2bx + 2by y señalar uno de

sus factores primos.

a) x+y b) x+1 c) x-y

d) y+2 e) N.A.

5. Factorizar: a3 + a2 + a + 1 e indicar el

número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

6. Factorizar:

2a2 x + 2ax + 2x – a2 – a – 1

e indicar el mayor de los coeficientes de

sus factores primos

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) N.A.

7. Factorizar:

x2 +3

1x + 3x + 1 y señala el término

independiente entero de uno de sus

factores primos.

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) N.A.

8. Factorizar:

6ax –5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy

e indicar uno de sus factores primos

a) 6a+5b b) 6a+b c) 5b+a

d) 6a-5b e) N.A.

9. Factorizar:

3b2y + a2x – 3b2x – a2y+2aby –2abx

E indicar uno de sus factores primos

a) x+y b) x-y c) 2x+y

d) x+2y e) N.A.

10. Factorizar:

ax2 + 3ax – 3ay – axy + x2z + 3xz – 3yz

– xyz e indcar el número de factores

primos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.



83

II. Método de las Identidades.

En este caso utilizaremos las equivalencias

algebraicas en sentido inverso al de los productos

notables.

Cabe recordar:

a) x2-y

2(x+y)(x-y)

b) x22xy+y

2(xy)

2

c) x3+y3(x+y)(x2-xy+y2)

d) x3-y

3(x-y)(x

2+xy+y

2)

e) x3y

33xy(xy)(xy)

3

f) x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)

g) x4+x

2+1(x

2+x+1)(x

2-x+1)

Ejemplos:

a) Diferencia de cuadrados:

Regla: Para factorizar se extrae la raíz

cuadrada de los cuadrados perfectos y se

forma un producto de la suma de las raíces

multiplicada por la diferencia de las mismas.

m2-n

2=(m+n)(m-n)

a6-b

4=(a

3+b

2)(a

3-b

2)

x10

-4y2=(x

5+2y)(x

5-2y)

b) Trinomio cuadrado perfecto:

Para reconocer si un trinomio es cuadrado

perfecto se hallan las bases de los términos

cuadrados perfectos, los que deben ser

positivos y se multiplican por 2. si el resultado

es igual al tercer término, el trinomio será un

cuadrado perfecto.

Factorizar: a4 - 4a2b2 + 4b4

4a 4

4b

a2

2b2

↘2(a2)(2b2) ↙

a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2

Factorizar: 9b2 - 30a2b + 25a4 29b 425a

3b 5a2

↘2(3b)(5a2)↙

9b2-30a2b+25a4=(3b-5a2)2

Factorizar:4a2m + 12ambn + 9b2n

m

a2

4 n

b2

9

2am 3bn

↘2(2am)(3bn)↙

4a2m+12ambn+9b2n=(2am+3bn)2

a2m

-b2n(a

m+b

n)(a

m-b

n)

a2m

2am

bn+b

2n a

mb

n 2



84

PR CTIC NDO

PRENDO

c) Suma o diferencia de cubos.

i. Suma de cubos.- Se denomina así a

toda expresión de la forma: a3+b

3

Equivalencia:

Factorizar: x9 + y

21

3 9 x 3 21y

x3 y

7

x9+y

21=(x

3+y

7)(x

6-x

3y7+y

14)

ii. Diferencia de cubos.- S denomina así

a toda expresión de la forma: a3-b

3

Equivalencia:

Factorizar: a33 – b45

3 33a 3 45b

a11

b15

a33

-b45

=(a11

-b15

)(a22

+a11

b15

+b30

)

1. Factorizar:

A(x,y) = 9x2 – 24xy + 16y2

Resolución:

Rpta. (3x – 4y)2

2. Factorizar:

B(m,n) = 16m4 – n4

Resolución:

Rpta. (4m2 + n2) (2m + n)(2m - n)

3. Factorizar:

C(x,y) = 125x3 + y3

Resolución:

Rpta. (5x + y) (25x2 – 5xy + y2)

a3+b

3(a+b)(a

2-ab+b

2)

a3-b

3(a-b)(a

2+ab+b

2)



85

T RE DOMICILI RI

4. Factorizar:

D(m) = m3 – 9m2 + 27m - 27

Resolución:

Rpta. (m-3)3

5. Factorizar:

E(n) = n8 + n4 + 1

Resolución:

Rpta. (n2+n+1)(n2 –n+1)(n4 –n2+1)

6. Factorizar:

F(x) = 3x4 – 192x

Resolución:

Rpta. 3x (x - 4) (x2 + 4x + 16)

1. Factorizar:

27m3 + 64n3


a) m+n b) 2m+n c)3m+4n

d) 4m+3n e) N.A.

2. Factorizar: x3 – x-6 e indicar uno de sus

factores primos:

a) x – x-1 b) x-x-2 c) x-x-3

d) x2 – x-1 e) N.A.

3. Factorizar

25a2 – 30ab + 9b2

a) (5a+b)2 b) (5b+a)2 c) 5a+3b

d) (5a-3b)2 e) N.A.

4. Factorizar:

25m2n + 64 + 80mn

a) (5m+4)2 b) (5m2+8)2 c) 5m+2

d) (5m2+8)2 e) N.A.

5. Factorizar:

9

4x2 + 25y2 -

3

20xy

a) (3

2x+y)2 b) (2x+y)2 c) (2x+y)

d) (32 x – 5y)2 e) N.A.



86

6. Factorizar:

b2 + c2- a2 – d2 + 2ad + 2bc

e indicar la suma de sus factores primos

a) a b) b c) a + b

d) 2 (b + c) e) b + c

7. Factorizar:

(a+b)(a+c) – (d+b)(d+c)


a) a b) a - b c) a - d

d) a + c e) a + d

8. Factorizar:

4m2 n2 – (m2 + n2 – p2)2


a) m b) n c) p

d) m + n e) m + n + p

9. Factorizar:

(a-b)2 (c-d)2 + 2ab (c-d)2 + 2cd(a2+b2) e

indicar la suma de los factores

a) a2+b2 b) c2+d2 c) a + b

d) a+b+c+d e) a2 + b2 + c2 + d2

10. Factorizar:

m5 + 2m3 + m - 1

a) m2 b) m2+1 c) m2 +m+1

d) 2m+1 e) m3 – m - 1

REPASANDO

1. Dividir por el método de Horner:

35

1431532

34

x x

x x x y hallar la suma de

coeficientes de su cocienteResolución :

2. Dividir por el método de Ruffini:3x2 + 14x2 + 17x + 11 ÷ x+3 e indicar elresiduo

Resolución :

3. Hallar el valor de “k” para que: 7x2 – 5x + k sea divisible por x - 5

Resolución :

4. Halle el 4º término de:

22

1414

y x

y x

Resolución :



87

5. Factorizar:x4 + x3 + 3x + 3

Resolución :

6. Factorizar:x8 - 1

Resolución :

III. Método del Aspa Simple

I. Es empleado cuando la expresión es de la

forma:

O cualquier otra expresión transformable a

una de las formas anteriores.

Para factorizar a éste tipo de polinomios

deberá tenerse en cuenta las siguientes

reglas:

1. Descomponemos el primer y tercer

término, a las cuales vamos a llamar

términos fijos, en sus factores primos.

2. Efectuamos el producto de los factores

primos en aspa tratando de verificar el

segundo término.

3. Cuando el tercer término tiene signo

(+), sus factores tendrán signos

iguales, dados por el signo del segundotérmino.

4. Cuando el tercer término tiene signo (-)

sus factores tendrán signos diferentes,

colocando el signo del segundo término

al producto mayor que se obtiene al

efectuar en aspa.

5. Los factores se toman sumados en

forma horizontal.Ejemplos:

Factorizar: P(x)=x2+10x+21

Resolución:

x2 + 10x + 21

x + 3 = 3x

x +7 = 7x

10x

P(x)=(x+3)(x+7)

P(x)=Ax2n

+Bxn+C

P(x)=Ax2m

+Bxm

yn+Cy

2n

m,n +

(+)



91

T RE DOMICILI RI

Resolución :

Rpta. (4x+2y+3)(2x+3)

5. Factorizar:x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6

Resolución:

Rpta. (x2+x+3) (x2+x+2)

6. Factorizar:2x4 + 7x3 + 9x2 + 5x + 1

Resolución:

Rpta. (2x2+2x+1) (x2+3x+1)

1. Indique un factor de:8m2 – 2m - 3

a) 4m+3 b) 2m+3 c) 2m-3d) 4m-3 e) 2m-1

2. El número de factores primos de:P(x,y) = 4x4y – 4x3y2 – 24x2y3 ; es:

a) 5 b) 6 c) 2d) 3 e) 4

3. Factorizar:x(x+a+c) + ac

a) (x+a)(x+c) b) (x+a)(x-c)c) (x-a)(x-c) d) (x-a)(x+c)e) xa(x+c)

4. K (x) = 2(x-2)4 – 5(x-2)2 + 3

Factorizado es equivalente a:

a) (2x2 – 8x + 5) (x+1) (x+3)b) (2x2 – 8x + 5) (x-1) (x-3)c) (2x – 7) (x-3)d) (2x2 – 4x + 5) (x-1) (x-3)e) (2x2 – 4x + 1) (x-1) (x-3)

5. Señale un factor de:P(x) = 6x2 +19xy+15y2 –11x –17y + 4

a) 3x-5y-4 b) 3x+5y+4c) 2x-3y+1 d) 2x+3y+1e) 2x+3y-1

6. Marque el divisor binomio delPolinomio:15x2 – 22xy + 8y2 + 24x – 16y

a) 5x - 2y b) 3x+2yc) 3x – 2y d) 2x + 3y

e) 2x – 3y7. La suma de los dos factores primos del

polinomio:



92

x2 + y2 - 4z2 + 2xy + 3yz + 3xzviene dado por:a) 2 (x+y)+3z d) 2(x+y)b) 2(x+y+z) e) 5z

c) 2(x+y)+z

8. ¿En cuánto se diferencian los factoresprimos del polinomio:

x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9. Un factor del polinomio:

2x4 + 3x2 + x + 3; es:

a) x2 + x + 1 d) x2 – x - 1b) x2 – x + 1 e) 2x2 + 2x + 3c) x2 + x - 1

10. Halle la suma de los factores primos de:

x4 + 5x2 + 9

a) 2 (x2+1) d) 2(x2+3)b) 2(x2 - 3) e) 2x2

c) 2(x2+2)

IV. Método de los divisores binomios

Con éste método se busca uno o más

factores binomios primos

Además:

1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor

primo de P(x).

2. Los demás factores se encuentran al

efectuar:

0x x

x P

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden

encontrar:

ceros

Posibles

x P incipal deCoef.Divisores

x de P T. indep.Divisoresx

Pr0

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6

1

6

Divisor de

Divisoreseros Posibles c

Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)

Probando con uno de ellos; para x = 1 por

Ruffini

R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y

luego un factor es (x – 1)

Luego: P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6)

x –3

x –2

P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)

V. Método de sumas y restas

Se inspecciona el dato, comparándolo con algunaidentidad conocida, la mayoría de veces será necesarioaumentar algunos términos para constituir en formacompleta aquella identidad sugerida por el dato,naturalmente que aquellos términos agregados debenser quitados también para así no alterar el origen. Estemétodo conduce la mayoría de las veces a unadiferencia de cuadrados, suma de cubos o diferenciade cubos.

Ejemplo:

Factorizar: x4 + 64y4

x4 + 64y4 + 16x2 y2 – 16x2 y2 x4 + 16x2 y2 + 64y4 – 16x2 y2

(x2 + 8y2)2 – (4xy)2



93

PR CTIC NDO

PRENDO

Donde:

(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)

1. Indique el número de factores primos.

Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11

Rpta.

2. Hallar la suma de factores primos.

A(x) = (x + 2)(x – 1) +

+ (x + 3)(x + 2) + x + 2

Rpta.

3. Factorizar e indicar uno de losfactores primos.

(x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2

Rpta.

4. Indicar un factor primo de:

(x + y2) (x + y) + z (x + y2)

Rpta.

5. Indicar un factor primo:

(x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)

Rpta


(x–3y)(x2+y2)+(x2– y2)

(x-3y)+x–3y

Rpta.

7.Factorizar:

(x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)

Rpta.

8. Dar un factor primo de:

(x2+y2)(xy+2)+(x2+y2)(x2–1)– – (x2+y2)

Rpta.

9. Factorizar:

(x+3x)(xy+2)+(xy+2)z

(x+3y+z)

Rpta.

10. Factorizar:

(x+y)(x– y+z) – (x2 – y2) – x – y

Rpta.

11. Factorizar:

a4 – b4

Señalar un factor primo.

Rpta.

12. Indicar un factor primo al

factorizar:

(a2 + b2) – (c2 + b2)

Rpta.

13. Indicar el número de factores

primos de:

x8 – 44

Rpta.

14. Dar la suma de los factores primos:

x2 – y2 – xz – yz

Rpta.

15. Factorizar

a2 + b2 – c2 + 2ab

Indique un factor primo

Rpta.



94

T RE DOMICILI RI

1. Factorizar: x2 – 49

A) (x + 7)2 B) (x – 7)2

C) (x + 7)(x – 7) D) (x – 7)(x – 1)

E) N.A.

2. Factorizar:

Q(x) = 18x2 – 39x + 20

Indique cual es un factor primo.

A) 6x + 1 B) 3x – 5 C) 3x + 4

D) 6x + 5 E) 3x – 4

3. Dar la suma de factores primos de

(x+7) (x2–6x) = (x+7) (5x–12)

A) 3x + 9 B) 3x + 14 C) 3x+6

D) 3x + 8 E) 3x + 10

4. Dar la suma de factores primos:

(x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5)

A) 3x + 8 B) 3x – 18 C) 2x – 13

D) 2x + 8 E) 3x – 8


3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3)

A) 6x + 4 B) 2x + 3

C) x + 2 D) 3x + 2

E) 3x + 5

6. Dar un factor primo de:

2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)

A) x – 3 B) (x + 3)2

C) 2x – 5 D) 2x + 3

E) 2x – 3

7. Indicar la suma de factores primos de:

6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3)

A) 8x B) 9xC) 8x + 6 D) 9x + 6

E) 7x – 3

8. Indicar la suma de coeficientes de un

factor primo de:

x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20

A) 6 B) 7 C) 8

D) 5 E) 13


x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10

A) x–3y+2 B) x+2y+5

C) x–2y–5 D) x+3y–2

E) x+3y+2

10. Dar la suma de los términos independientes

de los factores primos de:

2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 12

A) 1 B) 4 C) 11D) 7 E) 8

CLAVES

1. C

2. E

3. C

4. C

5. B

6. E

7. B

8. B

9. D

10. A



95

TEMA: M.C.D. – M.C.M. – FRACCIONES

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios

es otro polinomio que tiene la característica de

estar contenido en cada uno de los polinomios.

Se obtiene factorizando los polinomios y viene

expresado por la multiplicación de factores

primos comunes afectado de sus menores

exponentes.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más

polinomios es otro polinomio que tiene la

característica de contener a cada uno de los

polinomios. Se obtiene factorizando los

polinomios y viene expresado por la

multiplicación de los factores primos comunes y

no comunes afectados de sus mayores

exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3

Rpta: como ya están factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2)

M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)6 (x–2)4 (x+3)4 (x+7)6

(x+5)

6

Propiedad:

Solo para dos polinomios: A(x), B(x)

M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)

FRACCIONES ALGEBRAICASFracción Algebraica

Una fracción algebraica, se obtiene como ladivisión indicada de dos polinomios N(x) y D(x)

siendo D(x) polinomios no constante.

Denotado:

x D

x N

Donde:

N(x): polinomio numerador (no nulo).D(x): polinomio denominador (no constante)

Ejemplo:

2

12

x

x ;

2

17

4

x

x ;

4

4822

x

x x

Signos de una Fraccióna) Signo del Numerador: +

b) Signo del Denominador: –

c) Signo de la fracción propiamente dicha: –

y

x F

OBSERVACIONES:

S I INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL

VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR , ES

DECIR :

y

x

y

x

y

x

y

x F

También:B

A

B

A

B

A

Ejemplo: Sumar: x 0

y x

x

y x

x

x y

y

y x

x S

1

y x

y x S

Regla para Simplificar Fracciones

Debemos factorizar el numerados ydenominador para luego eliminar los factores

comunes:

Ejemplo:

Simplificar

6116

1923

2

x x x

x x F

Resolución

Factorizando y Simplificando: 2

3

321

133

x

x

x x x

x x x F



96

PR CTIC NDO

PRENDO

Operaciones con Fracciones

1. Adición o SustracciónEs preciso dar el Mínimo Común Múltiplo

(MCM) de los denominadores. Se presentan

los siguientes casos:

A) Para fracciones homogéneas:

Ejemplo:

2222

x

z y x

x

z

x

y

x

x

B) Para fracciones heterogéneas:

Ejemplo:

bdf

bdebfcadf

f

e

d

c

b

a

C) Para 2 fracciones

Regla practica:

yw

yz wz

w

z

y

x

2. Multiplicación

En este caso se multiplican los numeradoresentre sí y lo mismo se hace con los

denominadores. Debe tenerse en cuenta que

antes de efectuar la operación puede

simplificarse cualquier numerador con

cualquier denominador (siempre que sean

iguales).

Ejemplo:

f d b

eca

f

e

d

c

b

a..

.....

7

7

7

1.

2.

2

7.

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3. DivisiónEn este caso, se invierte la segunda

fracción y luego se efectúa como una

multiplicación. También se puede aplicar el

producto de extremos entre el producto de

medios.

Ejemplo:

cd.badcba ... invirtiendo

bc

ad

d

cb

a

Fracción Independiente

2

112

1

22

,y cxy bx a

cy bxy ax y x F

Es independiente x e y-

k c

c

b

b

a

a

111

k cte.

1. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:

6mn; 12m2n; 9mn2

Rpta.


x: x2 + x

Rpta.


x2 – 1: x2 + x

Rpta.


a2 + ab – 6b2: a2 – ab – 2b2

Rpta.


x2 – 3x – 2: x3 – 3x2 + 4

Rpta.



97

T RE DOMICILI RI

6. Hallar el M.C.M. de:

2mn, 4m2n

Rpta.


12 a3 . 9 a2 . 6a2x2

Rpta.


7m3n4z8; 49m4n2 y5; 21m5 y3z2

Rpta.


3m3: (3m)2 (x– y)2: (3m)3 (x– y)3

Rpta.


2a2x + 4abx + 2b2x: 2a2x2 –

– 4b2x2: 2a2x – 2b2x

Rpta.

11. Reducir:

2

22

aab

bab

ab

babA

Rpta.

12. Efectuar:

22

33

2

23

ba

ba

ba

baaB

Rpta.

13. Reducir:

ab

ba

abab

babaA

2

2

2

2

Rpta.

14. Efectuar:

aba

b

a

b

bab

a

b

aB

2

32

2

32

Rpta.

15. Reducir:

babbaa

abbbaaA

23224

223

Rpta.

1. Hallar el MCD de P(x) S(x)

P(x) = x4(x + 1)2 (x – 2)3

Q(x) = x2 (x - 2)4 (x + 7)2

S(x) = x3 (x + 2)4 (x – 1)3

A) (x – 2)x2 B) x2

C) x3 D) x3 (x – 2)

E) N.A.

2. Hallar el mcm de:

P(x; y; z) = x2 y7 z8

Q(x; y; z) = x4 y3 z9

R(x; y; z) = z5

y2

z10

A) xyz B) x5 y3z9

C) x5 y7z10 D) x2 yz10

E) N.A.

3. Señale el MCD de A(x) B(x)

A(x) = x4 – 1

B(x) = x3 – 3x + 2



98

A) x + 1 B) x2 + 1 C) x – 1

D) x – 2 E) x + 2

4. Hallar el MCM de:

P(x) = x2 – 4x + 3

F(x) = x2 + 4x + 3

R(x) = x4 – 10x2 + 9

S(x) = x3 + x2 – 9x – 9

A) (x2–9)(x4–1) B) (x2–9)(x2–1)

C) (x2–9)(x+1) D) (x2–9)(x2+1)

E) (x2+9)(x2–1)

5. Hallar el MCM de:

(a

2

–b

2

): (a

2

–2ab+b

2

) y (a

2

+2ab+b

2

)

A) (a – b)2 B) (a – b)3

C) (a2 – b2)3 D) (a2 – b2)2

E) (a – b)3

6. Reducir:

22

22

ay ax

y ax a

A) y x

a

B)

y x

a

C) y a

x a

D)

y a

x a

E) y x

7. Efectuar:

nn

n

2

21

E indique como respuesta eldenominador

A) n B) n+1 C) n–1

D) n+2 E) 1

8. Si:

2155

2

xy

N y x

Obtener el valor de “N”

A) xy B) 2xyC) 3xy D) 5xy

E) 6x2 y

9. Cumpliéndose que:

x x

P

x 333

12

Hallar “P”

A) 1 B) x–1 C) 1–x

D) 3x–1 E) 1–3x

10. Luego de reducir:

168

162

2

x x

x

Indique la suma de los elementos de lafracción

A) x B) 2x C) 3x

D) 4x E) –x

CLAVES

1. B

2. C

3. C

4. B

5. A

6. B

7. A

8. C

9. B

10. B



99

Se denomina así, al conjunto de dos o más

ecuaciones que se verifican para el mismo valorde las incógnitas.

Se representa el conjunto con por una llave de

la siguiente manera:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z e

a x b y c z e

a x b y c z e

Un sistema de ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas son dos

ecuaciones en las que las incógnitas

deben tomar el mismo valor en ambas.

Se escribe así:

{ En esta expresión, x e y son las

incógnitas; a, b, a’ y b’ son los

coeficientes de las incógnitas; c y c’ son

los términos independientes.

Ecuación Lineal : Es una ecuación que posee

incógnitas de grado 1.

Sistema de Ecuaciones Lineales: Se denomina

así, al conjunto cuyos elementos son cada una

Ecuación Lineal

1. Conjunto Solución de un Sistema deEcuaciones

Se denomina así al conjunto formado por todas

las soluciones del sistema. Por ejemplo: El

sistema

2x 3y z 2

x 2y 2z 10

3x y 2z 3

tiene un conjunto solución constituido por una

terna de valores CS : 2;1;5

2. Método de Resolución de un

Sistema de Ecuaciones Lineales

2.1 Por Reducción

Consiste en transformar dos ecuaciones

del sistema (a través de multiplicaciones

adecuadas), de tal manera que se logra

reducir el número de incógnitas.

Por ejemplo: El sistema5x 6y 20

4x 3y 23

se resuelve de la siguiente manera:

1.Se iguala los coeficientes de una de las

incógnitas.[Escogemos la incógnita “y”]

2.Se obtiene el mcm de los coeficientes

de “y”. [mcm(6;3) = 6]

3.Luego multiplicamos una ecuación por

una cantidad.[la segunda ecuación por 2]

5x 6y 20

8x 6y 46

4. Luego de igualar los coeficientes se

busca eliminarlos por adición o

sustracción.

5x 6y 20

8x 6y 46

13x 26

5. Finalmente se despeja y calcula el valorde la incógnita no eliminada.

26x

13x 2

2.2 Por Sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las

ecuaciones.

SISTEMA DE ECUACIONES



100

2. Se sustituye la expresión de esta

incógnita en la otra ecuación, obteniendo

un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4.El valor obtenido se sustituye en la

ecuación en la que aparecía la incógnita

despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen

la solución del sistema.

Ejemplo: Resolver

Solución:

1 Despejamos una de las incógnitas enuna de las dos ecuaciones. Elegimos la

incógnita que tenga el coeficiente más

bajo.

2x + 4y = 16

2X= 16-4y

X= 8 – 2y

2. Sustituimos en la otra ecuación la

variable x, por el valor anterior:

3(8-2y)-4y= - 6

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

24-6y-4y=-6

-10y= - 30 y= 3

4. Sustituimos el valor obtenido en la

variable despejada.

X= 8 -2(3) x = 2

C.S ={2; 3}

2.3 Por Igualación

1. Se despeja la misma incógnita en

ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que

obtenemos una ecuación con unaincógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en

cualquiera de las dos expresiones en las

que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen

la solución del sistema.

Ejemplo: Resolver

1.Despejamos, por ejemplo, la

incógnita x de la primera y segunda

ecuación:

2. Igualamos ambas expresiones:

3.Resolvemos la ecuación:

2(-6+4y)=3(16-4y)

-12+8y=48-12y

20y = 60 y= 3

4 Sustituimos el valor de y, en una de las

dos expresiones en las que tenemosdespejada la variable x:

C.S. = {2; 3}

2.4 Por Determinantes

(Regla de Cramer)



101

PR CTIC NDO

PRENDO

Esta regla tiene como propósito

determinar la solución de un sistema de

ecuaciones lineales.

Dada la ecuación

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x by c z d

a x b y c z da x b y c z d

entonces la solución del sistema se

obtiene aplicando las siguientes fórmulas

xAx

A ;

yA y

A ; zA

zA

Donde:1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

A a b c

a b c

Además1 1 1

x 2 2 2

3 3 3

d b c

A d b c

d b c

;

1 1 1

y 2 2 2

3 3 3

a d c

A a d c

a d c

;1 1 1

z 2 2 2

3 3 3

a b d

A a b d

a b d

Observación: Los elementos representados por

las barras paralelas se denominan

determinantes , esto será de información

ampliada en clase por la dimensión de su teoría.

Ejemplo de resolución de un sistema deecuaciones por determinante Sabemos que un determinante se representacomo:

d c

ba

Este se calcula de la siguiente manera: a·d – b·c

Sea el sistema:a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x e

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

Resolvamos el sistema::

41456

62054110

52

34518

322

22

11

22

11

ba

babc

bc

x

214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es{(4, 2)}

Resuelve, por determinantes:

I. Determinar el conjunto solución de los

siguientes sistemas de ecuaciones:

A) Por Reducción

01.x 3y 6

5x 2y 13

02.x 5y 8

7x 8y 25

03.4x 5y 5

10y 4x 7

04.

3x y 11

2 y

x 72



102

PROBLEM S CONECU CIONES

B) Por sustitución

5. 5x 7y 1

3x 4y 24

6. 15x 11y 327y 9x 8

7.

yx 11

8 5 10 yx 59

5 4 40

8.

3yx 15

4

yx 57 3

C) Por igualación

9. {

10. {

12. {

C) Por Determinantes

13.

{

14. {

15. {

16. {

Para resolver un problema mediante un sistema,

hay que traducir al lenguaje algebraico las

condiciones del enunciado y después resolver el

sistema planteado. Comienza por leer

detenidamente el enunciado hasta asegurarte de

que comprendes bien lo que se ha de calcular y

los datos que te dan. Una vez resuelta el sistema

no te olvides de dar la solución al problema.

Resolver los siguientes problemas:

1.-Calcula un número sabiendo que la suma de

sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden

de dichas cifras, el número obtenido es 36

unidades mayor que el inicial.

2.-En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos

sus tres ángulos?

3.-La distancia entre dos ciudades, A y B, es de

255 km. Un coche sale de A hacia B a una

velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro

coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h.

Suponiendo su velocidad constante, calcula el

tiempo que tardan en encontrarse, y la distanciaque ha recorrido cada uno hasta el momento del

encuentro.

4.-Halla un número de dos cifras sabiendo que la

primera cifra es igual a la tercera parte de la

segunda; y que si invertimos el orden de sus

cifras, obtenemos otro número que excede en 54

unidades al inicial.

5.-La base mayor de un trapecio mide el triple

que su base menor. La altura del trapecio es de 4

cm y su área es de 24 cm2 . Calcula la longitud de

sus dos bases.

6.-La razón entre las edades de dos personas es

de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es

la edad de cada una de ellas?

7.-Un número excede en 12 unidades a otro; y si

restáramos 4 unidades a cada uno de ellos,

entonces el primero sería igual al doble del



103

segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para

hallar los dos números.

8.-El perímetro de un triángulo isósceles es de 19

cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales

excede en 2 cm al doble de la longitud del ladodesigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

9.-Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si

Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma

cantidad. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?

10.-La suma de las tres cifras de un número

capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas

excede en 4 unidades al doble de la cifra de las

centenas. Halla dicho número

11. Hallar dos números sabiendo que el mayor

más seis veces el menor es igual a 62 y el menor

más cinco veces el mayor es igual a 78.

12. Dos números suman 241 y su diferencia es 99.

¿Qué números son?

13. Pedro tiene 335 € en billetes de 5€ y de 10€;

si en total tiene 52 billetes, ¿cuántos tiene de

cada clase?.

14. En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles

y sencillas. Si el número total de camas es 92,

¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?

15.-El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y

sabemos que su base es 5 cm más larga que su

altura. Plantea un sistema de ecuaciones y

resuélvelo para hallar las dimensiones del

rectángulo.

16.-Hemos mezclado dos tipos de líquido; el

primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de 0,86

€/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89

€/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada

clase?

17.-El doble de un número más la mitad de otro

suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos,

obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un

sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar

dichos números.

Conocida también como ecuación cuadrática y

que tiene la forma general:

0a;0cbxax2

Ejemplos: 2x2 + x + 1 = 0; x

2 + 2 = 0

PROPIEDADES

I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Se define el discriminante ():

ac4b2 ; a, b, c R

1er CASO

)(

2

0

única solución

múltipleraíz oigualeserealesraíces

Ejemplo: 4x2 – 4x + 1 = 0

= (-4)2 – 4(4)(1) = 0

2

1.S.C

2do CASO

diferenteserealesraíces20

Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0

C.S. = {6 ; -2}

= 16 – 4(1)(-12) > 0

ECUACIONES DE

SEGUNDO GRADO



104

PR CTIC NDO

PRENDO

3er CASO

conjugadas y

simaginaria

complejasraíces ,20

OPERACIONES BÁSICAS CON RAÍCES

Sea: ax2 + bx +c = 0 ; a 0

SUMA DE RAÍCES:

a

bxx 21

PRODUCTO DE RAÍCES:

a

cxx 21

DIFERENCIA DE RAÍCES:

212

212

21 xx4)xx()xx(

Reconstrucción de una ecuación desegundo grado a partir de sus raíces

0xxx)xx(x

raicesdeoductoPr

21

RaicesdeSuma

212

TEOREMA:

Sean las ecuaciones:

ax2 + bx + c = 0 ……… (1) ;

a 0

mx2 + nx + p = 0 ……. (2) ;

m 0

Estas ecuaciones serán equivalentes, es decirtienen el mismo C.S. si se cumple:

p

c

n

b

m

a

Resolver las siguientes ecuaciones:

01) x2 + 6 = 5x

02) 6x2 + 19x + 10 = 0

03) 3)2x)(1x(10

1

04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42

05) (x + 1)2 + (x + 2)

2 = (x + 3)

2

06) (x + a)2 – b

2 = 0

07) (2x – 1)(2x – 3) = 63

08) (3x – 1)2 + (3x – 2)

2 = 9x

2

09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)

10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x – 3)(x – 2)

11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)2

12) 2 – 3y =3

1(y – 4)(y + 4)

13)a4

x2

ax

x

3

ax2

Encuentre la suma y el producto de la

raíces de las siguientes ecuaciones:

14) x2 – 6x – 7 = 0



106

08) 4x2 + 3x = 22

a) {-7 ; 2} b)

2;

2

7

c)

2

1;

4

7 d)

2;

4

11

e)

4;

2

11

* Encontrar la suma y el producto de lasraíces de:

09) 3x2 – 5x + 4 = 0

a) 3

5

S ; 3

4

P

b)2

5S ;

4

3P

c) S = 5 ; P = 3

d) S = 5 ; P = ¾

e) N.A.

10) 2x2 – 6x + 18 = 0

a) S = 3 ; P = 8b) S = 4 ; P = -9c) S = 3 ; P = 9d) S = -3 ; P = -9e) N.A.

* Encontrar la ecuación que dio origen a:

x1 + x2 = 3 ; x1x2 = 4

f) x2 – 3x + 4 = 0g) 2x – 3x + 8 = 0

2

h) x2 + 3x – 4 = 0

i) x2 – 3x – 4 = 0

j) N.A.

11) x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 25

a) x2 – 5x + 25 = 0

b) x2 + 5x + 25 = 0

c) x2 – 3x + 15 = 0

d) x2 – 3x + 25 = 0e) N.A.

12) x1 + x2 = -2 ; x1 – x2 = 4

a) x2 + 2x – 3 = 0

b) 6x2 + 3x – 2 = 0

c) x2 + x – 2 = 0

d) 3x2

+ 5x + 2 = 0e) N.A.

13) x1 + x2 =12

5 ; x1x2 =

6

1

a) 3x2 + 5x + 2 = 0

b) 6x2 + 3x – 2 = 0

c) 12x2 + 5x – 2 = 0

d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) N.A.

14) x1 + x2 =2

13 ; x1x2 =

2

21

a) 2x2 – 13x – 21 = 0

b) 2x

2

– 3x + 1 = 0c) 2x2 – 3x – 21 = 0

d) 2x2 – 13x + 11 = 0

e) N.A.

Es una desigualdad en la que hay una o máscantidades desconocidas (incógnitas) y que solose verifica para determinados valores de lasincógnitas, o tal vez nunca se verifica.

Inecuaciónysenyy

x2x

dDesigualdae3

Conjunto Solución (C.S.)

Ejemplos:

1) 2x + 1 > 7x > 3 C.S. = 3 ; +

2) Sen (x + 1) + 2 > 4 C.S. =

3) x

2

+ (x + 1)

2

+ (x + 2)

2

+ … + (x + 100)

2

+ 3 >0 C.S. = RPunto Crítico

En la inecuación:

0Pó0Pó0Pó0P )x()x()x()x(

P(x) : Polinomios

Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:

0Pcríticopuntoes"" )x(

INECUACIONES



107

+ +

32

+ +

2-5

Ejemplo:

P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0

Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En la inecuación polinomial

a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0

1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; encaso contrario, multiplicar por -1.

2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamosordenados en la recta.

)(POSITIVA

ZONA.S.C

0P

ó

0P:Si

)x(

)x(

)(NEGATIVA

ZONA.S.C

0P

ó

0P:Si

)x(

)x(

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones

1) x2 – 5x + 6 0

(x – 2)(x – 3) 0

Puntos críticos: 2 ; 3

C.S. = 2; 3

2) (2 – x)(x + 5) < 0

Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0

C.S. = - ; -5 2 ; +

INECUACIONES POLINOMIALES

1) INECUACION LINEAL

0a;0bax

Resolución

bax

)b(0)b(bax

0bax

b0

a

bx0aSi*

a

bx0aSi*

Ejemplo:

a2x + b < b

2x +a

Si: 0< a < b a – b < 0

Solución:

ba

1x

1x)ba(

)ba(x)ba)(ba(

)()(

2) INECUACION CUADRATICA

0a;0cbxaxP 2)x(

+ +

xn x3 x2 x1......



108

+ +

4 9

Resolución:

1)

PERFECTOCUADRADOTRINOMIO0

Donde: : discriminante

= b2

– 4ac

Ejemplos:

1. –4x2 – 4x + 1 < 0

= 0

(2x – 1)2 < 0 C.S. =

2. (2x – 3)2 > 0 C.S. = R

2

3

3. (-2x + 4)2 0 C.S. = R

4. (-5x + 20)2 0 C.S. = {4}

2)

CRITICOSPUNTOSLOSDEMETODO0

Ejemplos:

1) x2 – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0

C.S. = 4 ; 9

x -9

x -4

2) x2 – 2x – 2 0

= 12 > 0.

Hallamos los puntos críticos: x2

– 2x – 2 = 0

31

2

122x

C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; +

3) TEOREMASLOS APLICAR0

a) Teorema del Trinomio PositivoSea: P(x) = ax

2 + bx + c ; a 0

< 0 a > 0 P(x) > 0

x R

b) Teorema del Trinomio Negativo

< 0 a < 0 P(x) < 0

x R

c) 0 a > 0 P(x) 0 x R

d) 0 a < 0 P(x) 0

x R

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Resolver : 5x + 2 > x – 6

Solución:

Pasamos “x” al 1er miembro:5x + 2 – x > – 6

4x + 2 > – 6

Ahora, pasamos “2” al segundo miembro:

4x > – 6 – 2

4x > –8

Pasamos “4” al 2do miembro como

está multiplicando, pasará dividiendo. Así:

4

8x

x > -2

x -2 ; +

+ +

3131



109

2) Resolver : 3 – x < 5 + 3x

Solución:

Pasamos “3x” al 1er miembro:3 – x – 3x < 5

3 – 4x < 5

Ahora, pasamos “3” al 2do miembro:

–4x < 5 – 3

–4x < 2

Pasamos “4” al 2do miembro

(Como esta multiplicando, pasara dividiendo)

4

2x

2

1x

Cambia el sentido, ya que esta dividiendo por

una cantidad negativa

x ;2

1

3) Resolver :3

1

2

x32

3

x22x

Solución:

Multiplicamos ambos miembros por “6”(m.c.m. de 3 y 2), tendremos:

6 (x – 2) 6

2

3

x2 < 6

3

1

2

x3

……… (*)

En (*), resolveremos por partes (I) y (II):

6x – 12 4x – 12 < 9x – 2

(I) (II)

Entonces, tendremos:

Si: 6x – 12 4x – 12

)I(.............0

2

10

0

12

12x4x4

x

x22

1x2

12x2

12x4x6

Si: 4x – 12 < 9x – 2

)II(..........2x5

10

5

110

10

122

20

2x9x9

x

)x5(5

1x5

1212x5

12x5

12x9x4

Interceptando (I) y (II)

x -2 ; 0

4) Resolver: x2 – 3x – 4 > 0

Solución:

Factorizando se tiene que: (x – 4)(x + 1) > 0

*).........(

01x04x)ii

ó

01x04x)i

0)1x)(4x(

Sabemos: Si: a . b > a > 0 b > 0

ó a < 0 b < 0

De i): x > 4 x > –1

x > 4 ……… (I)

De ii): x < 4 x < –1

x < –1 ……… (II)

La solución será la unión de (I) y (II):

x - ; -1 4 ; +



110

PR CTIC NDOPRENDO

5) Resolver: x3 + x2 – 2x > 0

Solución:

Factorizando “x”, tenemos:

x(x2

+ x – 2) > 0

Factorizando el trinomio: x(x + 2)(x – 1) > 0

Los puntos críticos son:

x = 0; x + 2 = 0 x = -2

x – 1 = 0 x = 1

Los intervalos serán:

Como el sentido indica “>”, tomaremos losintervalo positivos y consideramos los puntoscríticos como “abiertos” (O)

x -2 ; 0 1 ; +

6) Resolver: (1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1) 0

Solución:

Vemos que el factor (1 – x) no contiene a “x”con coeficiente positivo, por esomultiplicamos por (-1):

(1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1) 0

Luego; obtenemos los puntos críticos:

x = 1 ; x = 3 ; x = -1 ; x = 1/2

Los intervalos serán:

x - ; -1

1;

2

1 3 ; +

7) Resolver: (x2

+ 4)(x + 3)(x – 1)

4

1

x 0Solución:

Simplificamos el factor (x2 + 1);no lo incluimos

en la solución; ya que siempre será positivopara todo x R.

Entonces tenemos: (x + 3)(x – 1)

4

1x 0

Los puntos críticos serán:

x = -3 ; x = 1 ; x = 1/4

x 4

1:3

1 ; +

01) Si a + 3 0.Calcular el mínimo valor de (a + 5)

Rpta.:

02) Si x 3 ; 9 calcular el máximo valor entero

de “x”

Rpta.:

03) Calcular la suma de los números enteros (x),tal que:

2 x 7

Rpta.:

+ +

-2 0 1

+ + +

-1 ½ 1 3

+ +

-3 1/4 1



111

04) Resolver la inecuación:x + 8 < 3x + 4

Rpta.:

05) Resolver la inecuación:2x + 4 > 5x – 8

Rpta.:

06) Resolver la inecuación:

3x + 7x – 5 < 5x + 20

Rpta.:

07) Dar el intervalo de variación de (6x – 5),

si: x 2 ; 8]

Rpta.:

08) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x

2 ; 8]

Rpta.:

09) Dar el intervalo de variación de:2x

3

, si x

2 ; 8

Rpta.:

10) Sean:

A = {x R / -2 < x 15}

B = {x R / -5 x < 10}

Hallar A B

Rpta.:

11) Del problema anterior, hallar A B

Rpta.:

12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9

Rpta.:

13) Determinar el mayor valor entero que verifica:

217

28x

28

17x

Rpta.:

14) Resolver:(x – 2)(x + 3)(x – 4) > 0

Rpta.:

15) Resolver:

(x – 4)(3x – 1)(5 – x) 0

Rpta.:

16) Resolver:

x2 – 3x – 4 < 0

Rpta.:

17) Resolver:

x2

– 2x – 2 0

Rpta.:

TAREA DOMICILIARIA

01) Calcular la suma de los números enteros (x)

tal que: 2 x 7a) 27 b) 22

c) 23 d) 25

e) 29



02) Resolver:5x + 13 16 + 2x

a) x 1 b) x 2

c) x 1 d) x < 2

e) x > 1

03) Hallar el mayor valor de “x” que verifica:

4x – 56 16 – 2x

a) 11 b) 12

c) 14 d) 16 e) 18

04) Si x 2 ; 3, entonces (x + 5) pertenece alintervalo:

a) 1 ; 2] b) [2 ; 8

c) [3 ; 8 d) 7 ; 8 e) [7 ; 8]

05) Si x [2; 5]. Calcular el mínimo valor de(x – 3)

a) 0 b) -1

c) 2 d) 1 e) 3

06) Si (x + 3) [3 ; 7]. Calcular el máximo valorde “x”

a) 4 b) 3

c) 2 d) 1 e) 0

07) Resolver:

4

6

7

x2

2

3

8

4x2

a) x > 13 b) x < 13

c) x > -14 d) x < -14 e) x > 0

08) Si “x” es un número entero y además 5 < x <7, calcular (x + 3)

a) 7 b) 9

c) 11 d) 13 e) 15

09) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lotanto x pertenece al intervalo:

c) R – d) R

+

e) R

11) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2 – 3 x ba) 1 b) 2

c) -1 d) -2

e) 3

12) Resolver:2[x

2 – 7x + 12] < [x

2 – 4x + 3]

a) 7 ; 3 b) 3 ; 5

c) 3 ; 7 d) 10 ; 12

e)

13) Resolver:(x

2 – 3) (x + 1) – (x

2 + 3) (x - 1) < 0

a) R b) 0 ; 3

c) [0 ; 3] d) R –0 ; 3

e)

14) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de lainecuación cuadrática en x:

x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3;1

a) 4 b) -6

c) 6 d) -8

e) 8

15) Resolver:x2 + x + 3 > 0

a) R b) Z

c) N d) Z –

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