Lógica Computacional Estrategias de deducción para la ......Lógica Computacional Tema 4. Ideas...
15
Tema 4 Estrategias de deducción para la lógica proposicional Lógica Computacional
Transcript of Lógica Computacional Estrategias de deducción para la ......Lógica Computacional Tema 4. Ideas...
Tema 4
Estrategias de deducción para la lógica proposicional
Lógica Computacional
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Índice
Esquema 3
Ideas clave 4
4.1. Introducción y objetivos 4
4.2. El razonamiento natural 4
4.3. Leyes y reglas 5
4.4. Deducción axiomática y deducción natural 5
4.5. El cálculo de la deducción natural 7
4.6. Reglas primitivas del cálculo proposicional 10
A fondo 11
Actividades 12
Test 13
Lógica Computacional
Tema 4. Esquema 3
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Esquema
ES
TR
AT
EG
IAS
DE
DE
DU
CC
IÓN
PA
RA
LA
LÓ
GIC
A P
RO
PO
SIC
ION
AL
RA
ZO
NA
MIE
NT
O N
AT
UR
AL
Sist
em
a ax
iom
átic
o d
e en
un
ciad
os
Sist
em
a d
e d
edu
cció
n n
atu
ral d
e en
un
ciad
os
Len
guaj
e fo
rmal
RE
GL
AS
BÁ
SIC
AS
DER
IVA
DA
S
Está
gar
anti
zad
o q
ue
las
regl
as b
ásic
as s
on
su
fici
ente
s
par
a re
aliz
ar c
ual
qu
ier
ded
ucc
ión
.
Solo
sir
ven
par
a fa
cilit
ar la
lab
or
de
ded
ucc
ión
cu
and
o
esta
mo
s an
te r
azo
nam
ien
tos
com
ple
jos.
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 4
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Ideas clave
4.1. Introducción y objetivos
Para estudiar este tema lee el apartado El razonamiento natural de: Deaño, A. (2009).
Introducción a la lógica formal (pp. 131-134). Madrid: Alianza Editorial.
Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual.
En este tema se realiza una presentación general de la deducción en el marco de la
lógica proposicional.
4.2. El razonamiento natural
Cuando los humanos razonamos, pretendemos extraer una conclusión C a
partir de un conjunto de premisas P.
Esta pretensión puede ser más o menos afortunada, debido a que podemos estar más o
menos acertados en dicha extracción. Por otra parte, si el razonamiento buscado es de
tipo deductivo, intentaremos que la conclusión se siga necesariamente de las premisas,
es decir, si las premisas son verdaderas, la conclusión será inevitablemente falsa.
Ahora bien, aun pretendiendo ser deductivos, los humanos podemos cometer errores
en nuestro razonamiento. Podremos creer válidos razonamientos que no lo son. Por este
motivo necesitamos un procedimiento para evaluar si determinado razonamiento es
válido. Las deducciones desempeñan esta labor.
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 5
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Si somos capaces de obtener una deducción de un razonamiento, tendremos la certeza
de que la conclusión del mismo se sigue necesariamente de sus premisas y que, por
consiguiente, el razonamiento es válido.
No se puede decir lo mismo en el caso contrario. Si no somos capaces de obtener una
deducción de un razonamiento, no significa que el razonamiento sea no válido. El no
obtener la deducción puede ser fruto de nuestra torpeza, nuestra falta de destreza en
materias formales o simplemente nuestra falta de inspiración en un momento dado.
4.3. Leyes y reglas
Figura 1. Componentes de una deducción.
Estos pasos intermedios no se pueden establecer de forma errática o arbitraria, sino que
deben realizarse de acuerdo a las reglas del sistema. En nuestro caso las hemos
denominado reglas básicas y derivadas.
4.4. Deducción axiomática y deducción natural
Existen tradicionalmente dos procedimientos para demostrar la validez de un
argumento deductivo.
UNA DEDUCCIÓN CONSTA DE TRES COMPONENTES
Un conjunto
(eventualmente vacío) de
premisas de un
argumento.
La conclusión de dicho
argumento.
Una cadena de
enunciados establecidos a
modo de pasos
intermedios entre las
premisas y la conclusión.
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 6
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Deducción axiomática
El primer procedimiento se basa en la presentación previa de un sistema axiomático y,
mediante el uso de reglas de inferencia, obtener el esquema del razonamiento a partir
de los axiomas. El siguiente esquema intenta aclarar lo dicho:
Figura 2. Deducción axiomática.
Deducción natural
El segundo es el de la deducción natural. Este procedimiento es el que utilizaremos para
realizar las prácticas de este tema y se basa en la presentación previa de un sistema de
deducción natural.
Para deducir (demostrar la validez de un argumento), partiremos de las premisas del
argumento y trataremos de llegar a la conclusión aplicando las reglas de inferencia del
sistema.
RAZONAMIENTO
Sistema axiomático de enunciados
Lenguaje formal
Mecanismo deductivo
Axiomas1 fbf2 fbf………
Reglas de inferencia
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 7
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
El esquema es el siguiente:
Figura 3. Deducción natural.
4.5. El cálculo de la deducción natural
El sistema formal o cálculo de deducción natural de proposiciones, presentado en temas
anteriores, nos servirá ahora para realizar las deducciones.
Como se ha dicho, deducir es llegar a una conclusión de un razonamiento partiendo de
sus premisas mediante el uso de las reglas de transformación del mecanismo deductivo
del sistema.
1. Premisa
2. Premisa
3. …4. …5. …
Conclusión
Deducción
Sistema de deducción natural de enunciados
Lenguaje formal
Mecanismo deductivo
Reglas básicas
Reglas derivadas
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 8
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Figura 4. Reglas básicas y derivadas.
Existe una regla básica de introducción y otra de eliminación para cada una de los
operadores lógicos del sistema. El procedimiento de deducción no es algorítmico, por lo
tanto, no existen una serie de pasos definidos que nos permitan realizar las deducciones.
Lo que sí se puede determinar son una serie de normas generales que nos pueden
facilitar la labor, pero sin que tengamos asegurado nuestro objetivo al seguirlas. Las
normas son las siguientes:
Separar las premisas de la conclusión.
Analizar la conclusión:
• Si la conclusión es una de las premisas resultará fácil deducir. Sin embargo, este
caso trivial no sucede habitualmente.
• Si la conclusión es una parte de una de las premisas, debemos observar dónde
está para ver si se puede obtener fácilmente o no. Por ejemplo, será fácil de
obtener si está:
Doblemente negada: en este caso aplicaremos la regla de eliminación de la
negación y obtendremos la conclusión.
En una de las partes de una conjunción: en este caso aplicaremos la regla de
eliminación de la conjunción y obtendremos la conclusión.
En el consecuente de un condicional: en este caso tendremos que buscar si
existe el antecedente en algún lugar de las premisas. Si lo obtuviésemos
podríamos aplicar la eliminación del condicional y obtendríamos la conclusión.
R E G L A S B Á S I C A SEstá garantizado que las reglas básicas son suficientes
para realizar cualquier deducción.
En los sistemas de deducción natural existen dos tipos de reglas
R E G L A S D E R I VA D A S
Solo sirven para facilitar la labor de deducción cuando
estamos ante razonamientos complejos.
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 9
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
• Si no se dan los casos anteriores y la conclusión tiene operadores, trataremos de
componer tal conclusión introduciendo dichos operadores mediante las reglas de
introducción. Por ejemplo:
Si el operador principal es una negación supondremos la conclusión sin negar y
trataremos de llegar a una contradicción, tal y como indica la regla de
introducción de la negación.
Si el operador principal es una conjunción tendremos que obtener cada una de
las subfórmulas que une dicha conjunción, como indica la regla de introducción
de la conjunción.
Si el operador principal es una disyunción bastará con obtener una de las partes
de esa disyunción, ya que al aplicar la regla de introducción de la disyunción
obtendremos la fórmula completa.
Si el operador principal es un condicional supondremos el antecedente y
trataremos de llegar al consecuente, tal y como indica la regla de introducción
del condicional.
• Si no se dan los casos anteriores y la conclusión no tiene operadores, debemos
proceder por reducción al absurdo. La reducción al absurdo es una estrategia de
deducción que es útil en este caso, pero es importante indicar que cualquier
razonamiento se puede deducir mediante reducción al absurdo.
Reducción al absurdo: consiste en suponer la negación de la conclusión y
tratar de llegar a una contradicción.
Si lo conseguimos podremos introducir una negación sobre la fórmula supuesta (que no
olvidemos que es la negación de la conclusión) por aplicación de la regla de introducción
de la negación. La fórmula resultante es la conclusión doblemente negada. Si aplicamos
la regla de eliminación de la negación, obtendremos la conclusión sin negar.
Lógica Computacional
Tema 4. Ideas clave 10
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
4.6. Reglas primitivas del cálculo proposicional
Para refrescar la memoria, echa un vistazo a las reglas primitivas o básicas del cálculo
proposicional de deducción natural que hemos presentado en temas anteriores.
Lógica Computacional
Tema 4. A fondo 11
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
A fondo
Ejercicio de deducción natural en lógica proposicional
Este documento visual expone con claridad la deducción natural desde una serie de
ejemplos de razonamiento.
Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://youtu.be/d-9vhwLR6fY
Inferencia lógica
En este vídeo se explica cómo realizar deducciones mediante el uso de reglas
derivadas.
Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://youtu.be/k_u5fkzlUBk
Lógica Computacional
Tema 4. Actividades 12
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Actividades
Ejercicios de deducción
Deduce los siguientes argumentos utilizando únicamente las reglas básicas del
cálculo de deducción natural de enunciados. Para la solución de los ejercicios deben
seguirse los pasos del ejemplo explicado en la sesión presencial correspondiente a
este tema.
1
2
3
4
5
6
7 Este ejercicio no tiene
premisas, solo tiene
conclusión. Su resolución es
posible a pesar de esta
peculiaridad.
8
9
10
Lógica Computacional
Tema 4. Test 13
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
Test
1. ¿Qué es una deducción?
A. Un método para demostrar la verdad de un argumento.
B. Un procedimiento para demostrar la verdad de las premisas de un argumento.
C. Un método para demostrar la validez de un argumento.
D. Un mecanismo para demostrar la verdad de la conclusión de un argumento.
2. ¿De qué partes consta una deducción?
A. Premisas y conclusión.
B. Premisas, conclusión y pasos intermedios establecidos arbitrariamente en
función de nuestro raciocinio.
C. Premisas, conclusión y pasos intermedios establecidos por aplicación de las
reglas del cálculo lógico.
D. Conclusión solo.
3. ¿Qué es la reducción al absurdo?
A. Una estrategia de deducción.
B. Un procedimiento para demostrar la validez de un razonamiento.
C. Un procedimiento para demostrar que la conclusión de un razonamiento se
sigue necesariamente de las premisas.
D. Una estrategia inductiva.
4. Si pretendemos establecer una deducción de un razonamiento cuya conclusión es
𝑝 ∨ 𝑞 debemos:
A. Suponer 𝑝 y llegar a una contradicción.
B. Encontrar o bien 𝑝, o bien 𝑞 (basta una de ellas).
C. Encontrar 𝑝 y obligatoriamente también 𝑞.
D. Suponer la 𝑝 y llegar a 𝑞.
Lógica Computacional
Tema 4. Test 14
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
5. Si pretendemos establecer una deducción de un razonamiento cuya conclusión es
𝑝 ∧ 𝑞, debemos:
A. Suponer 𝑝 y llegar a una contradicción.
B. Encontrar o bien 𝑝, o bien 𝑞 (basta una de ellas).
C. Encontrar 𝑝 y obligatoriamente también 𝑞.
D. Suponer la 𝑝 y llegar a 𝑞.
6. Si pretendemos establecer una deducción de un razonamiento cuya conclusión es
𝑝 → 𝑞, debemos:
A. Suponer 𝑝 y llegar a una contradicción.
B. Encontrar o bien 𝑝, o bien 𝑞 (basta una de ellas).
C. Encontrar 𝑝 y obligatoriamente también 𝑞.
D. Suponer la 𝑝 y llegar a 𝑞.
7. Si pretendemos establecer una deducción de un razonamiento cuya conclusión es
¬𝑝, debemos:
A. Suponer 𝑝 y llegar a una contradicción.
B. Encontrar o bien 𝑝, o bien 𝑞 (basta una de ellas).
C. Encontrar 𝑝 y obligatoriamente también 𝑞.
D. Suponer la 𝑝 y llegar a 𝑞.
8. Las reglas derivadas:
A. Son indemostrables.
B. Son esquemas de razonamientos válidos.
C. Sirven para facilitar las deducciones complejas.
D. Son como los axiomas de un sistema axiomático.
9. El procedimiento de reducción al absurdo consiste en:
A. Introducir una negación y después eliminarla.
B. Llegar a cualquier conclusión.
C. No llegar a ninguna conclusión.
D. Suponer la negación de lo que buscamos y llegar a una contradicción.
Lógica Computacional
Tema 4. Test 15
© U
nive
rsid
ad In
tern
acio
nal
de
La R
ioja
(UN
IR)
10. Si un razonamiento es no válido, ¿se puede obtener una deducción de este?
A. No, es imposible.
B. Sí, pero no serviría de nada.
C. Eso dependerá de nuestra destreza.
D. Las respuestas B y C son correctas.
