ÁLGEBRAS GEOMÉTRICAS

Manuel BerrondoBrigham Young University

Provo, UT, 84097berrondo@byu.edu

Aplicaciones físicas:

• Mecánica: péndulo de Foucault• Electro-magnetostática• Dispersión y difracción E.M.• Mecánica Cuántica: precesión spin• Teoría de Campos: ecuación Dirac• (Relatividad General)

Ejemplos de álgebras geométricas

• Números complejos C • Cuaterniones de Hamilton H• Álgebra de Pauli• Álgebra de Dirac

Extensión del espacio vectorial

• inverso de un vector • reflexiones, rotaciones, transf. de Lorentz• integrales: Cauchy (≥ 2 d), Stokes general

Basado en la idea de MULTIVECTORES:

incluyendo métrica: ...321 aaa ∧∧

21 aa ⋅

11 , −− ∇A

Producto geométrico o matricial

abbababaabbababa

≠∧−⋅=∧+⋅=

Propiedades Algebraicas R+

• cerradura• conmutatividad• asociatividad• cero• negativo• y + distributividad

Espacios vectoriales:

•• cerradura• conmutatividad• asociatividad• unidad• recíproco

combin. lineales

Extensión a álgebras

• incluir métrica:• definir producto geométrico

PRIMER PASO: Inverso de un vector a ≠ 0

ba ⋅

aaaaa

aaa ⋅====− 2

221 ,

ˆa

a

a-1

a 1 20

Base ortonormal3d: ê1 ê2 ê3

êi • êk = δi k

êi-1 = êi

Euclidiano

4d: γ0 γ 1 γ 2 γ 3

γ µ • γ ν= gµν (1,-1,-1,-1)

Minkowski

1

Ejemplo: (ê1 + ê2)-1 = (ê1 + ê2)/2

Electrostática: método de imágeneswr

−

+→−

+→

+→+→

2ˆ

ˆ12

2ˆ

ˆ1

ˆ1ˆ 1

1

1

111

eer

eerer

err

•q

•- q

•q

•ql

Plano: carga -q en cê1, imagen (-q) en -cê1

Esfera radio a, carga q en bê1, encontrar imagen (?)

Escalas en r y en w libres

q’ = ??-c

qbc

V = 0a0

cargawr

−

+=

2ˆ

ˆ/12 1

1

eer

wc

aβ

−−

−=

baq

ba

bqV

/ˆˆ41)(

12

10 eweww

πε

SEGUNDO PASO: FÓRMULAS DE EULER

⊥⊥× ×+= AkAk )ˆ sen(cosˆ θθθe

⊥⊥ −=×× AAkk )ˆ(ˆ

1ˆ senhˆcosh1)ˆ( senˆcos

2

2

=+=−=+=

bbaa

b

a

bbeiaiaei

En 3-d:

'ˆ AAk =×θe

dado que

En general, girando A alrededor de θ k:

Ejemplo 1: Ecuación de Lorentz

ˆ :desoluciónes)(ˆ)( :Derivando

)( 0ˆ

vkvvkvvv k

×−=×−=

=−= ×−

qBmtt

ett t

&

& ωωθ ω

q

B = B k

mqB

B ,ˆ == ωBk

⊥⊥= ×−+= 000 )(sen)(cos)( vkvvv)

ttt ωω

Ejemplo 2: Péndulo de Foucault

rωSgr &&& ×−+= mmm 2ρωρρ &&& ×−≅ zmmm 22

0ω

shz

zz

5

22

107242

sen 0

−×≈=−=

=+=

πωωβ

λωωωωα

mlS=0ω

•CoriolisS

mg

l

0)( ρρ k×−=)tti eet βα

TERCER PASO: PRODUCTO ANTISIM.

ab ∧

ba ∧barrido

barrido

a

b

a

b

• anticonmutativo• asociativo• distributivo• valor absoluto = área

Producto geométrico o matricial

21

2

a

aaa

aaaabababababaab

=

=⋅=∧−⋅=∧+⋅=

−

• no conmutativo• asociativo• distributivo• cerradura:

extender espacio vect.• unidad 1• inverso (condicional)

Ejemplos de álgebras de Clifford

2m+nsignatura (m,n)Clm,n

16DiracCl1,3

8PauliCl3

4cuaternionesCl0,2

2complejosCl0,1

4planoCl2

Dim.GeometríaNotación

bivector

vectorescalar1

1e 2e

I==∧ 2121 ˆˆˆˆ eeee

IIIikikkiki

aaeeeeee

−=−=

=+=

1

2ˆˆˆˆˆ,ˆ2

δ R

I R

R2

C = álgebra par = espinores

C isomorfo a R2

1 e1

I e2

• z

• z*⇔

a

z = ê1aê1z = a

Reflexión: z z*

a a’ = ê1z* = ê1a ê1

En general, a’ = n a n, con n2 = 1

Rotaciones en R2

Euler:

e1

e2

a

a’φ

2/2/''

ϕϕ

ϕϕ

II

II

eeeeaa

aaa−

−

===

ϕϕϕ senˆˆcos 21)ˆˆ( 21 eeee +=e

Inverso de un multivector en Cl2

Conjugado:

AAA

AAAA

AAAA

IAIA

~~

~~

escalar ~~

~

1 ==

=

−−=⇔++=

−

βαβα aa

21

aaa =−Generalizando

pseudoescalar

bivector

vector

escalar

ê3ê1 ê1ê2

ê3

1ê1ê2ê3= i331

ê2

ê2ê3

ê1

1

iii

ikikkiki

aaeeeeee=−=

=+=

1

2ˆˆˆˆˆ,ˆ2

δ

RiRR3

H = R + i R3 == álgebra par = espinores

iR3

En Cl3 , el producto geométrico:

babaab ×+⋅= i

babababa ∧−=××=∧ ii ,

ϕϕ

ϕϕ

nn

nn

aa

aaaaaanna

ˆˆ

ˆˆ

21

21

'

'

)ˆ(ˆ

ii

ii

ee

ee−

⊥−

⊥⊥

⊥=

=

==

+==Rotaciones:

e B/2 genera rotaciones respecto al plano B,para el bivector B

EspinoresC x C3-d

C2-d

C∈

→

βαβα

βα

, ,''

con matriz Pauli, σ

i êk pj σk ( )i p ê3j ( )

êk p ê3σk ( )p0 + i p = p( )

Cl3Pauli

Interacción de spin con campo magnético B

• Hamiltoniano cuántico de Pauli:A potencial vectorial

p p – q A, acoplamiento mínimo,

AB

BAp

×∇=

+⋅−−=

2

)(21 2 Vσ

mqq

mH I

momento magnético: µ = γ S = ħγσ/2

Precesión de spin con B uniforme:

En Cl3, espinor (cuaternión) Ψ,

Ψ=Ψ=Ψ Be γγ iiB kk 21

21 ˆ&

)( 021

Ψ=Ψ tiet BγSolución en Cl3El spin precede en el plano i B con frec. angular:

Bγω 21

0 = ¡ independiente de ħ !

γ1γ2 γ3 γ0γ1 γ3γ2 γ3 γ0

γ1γ3γ2 γ3γ1γ2

γ1

4γ0γ1 γ2

γ0γ2 γ0γ3

γ3

1γ0γ1 γ2γ3

6

4

1

γ2

γ0γ1

γ0

1

IIII

gg

µµ

µννµ

γγγγγγ

γγ

−=−==

−−−==

1

)1,1,1,1( diag 2,2

3210

Los 6 bivectores se dividen en: êi = γ i γ 0 e I êk = γ i γ j

Relatividad especial y paravectores en Cl3

• Paravector p = p0 + pEjemplos de paravectores:

ρ + jjφ + AAE + ppγ + uuct + rx

211v−

=γ

Transformaciones de Lorentz

)(senˆ)(cos

)(senhˆ)(cosh

21

21

21

21

21

21

θiθeR

wweBi θ

wθ

w

−==

+==−

transforman el paravectorp = p0 + p = p0 + p= + p en:

B p B = B2 (p0 + p=) + p

R p R† = p0 + p= + R2 p

Cálculo Geométrico

∇ es un operador diferencial vectorialϕ (r) – campo escalarE(r) – campo vectorial

EEEEE

×∇+⋅∇+∇==∧∇+⋅∇+∇=+∇

iϕϕϕ

)(

Funciones de Green de primer orden

21

∇∇=∇ − )(

412 rδπ

=

−∇

r

Para espacios euclidianos:

ngyxyxyx

−−

Ω= 1),( es solución de

)(),( )( yxyx −=∇ ng δ

Inverso de paravectores diferenciales

22

21 ,

∇−∂∂

∇−∂∂

=∂∇+∂∂=∂ −

t

tt

Helmholtz:

( )re

kjkjk

rkj±− −=

+∇+∇=−∇

π41', ,)( 22

1 xxG

onda esférica (saliente o entrante)

Ecuación de Maxwell

• Multivector de Maxwell F = E + i c B• paravector corriente J = (ε0c)-1(cρ + j) La ecuación de Maxwell se escribe como:

JF~

=∂

( ) ( )jBE cictc

−=+

∇+

∂∂ ρ

ε 0

11

Electrostática

∇

∇=

∇==∇ − ρ

ερ

ερ

ε 02

0

1

0

111 1 EE

Ley de Gauss. Solución usando la funciónde Green de primer orden

Explícitamente:

'con ')'(4

1)( 30

xxrrxxE −== ∫ τρεπ

dr

Magnetostática

jjBjB 2020011

∇×∇−=∇

∇==∇ µµµ ii

Ley de Ampère. Solución usando la funciónde Green de primer orden:

Explícitamente:

'con ')'(4

)( 30 xxrrxjxB −=×= ∫ τ

πµ d

r

Teorema Fundamental del Cálculo• Caso Euclidiano:

dX = volumen orientado, p.ej. ê1 ê2 ê3

dS = superficie orientada, p.ej. ê1 ê2 = iê3

F – multivector, ∂V – frontera de V

GGFF ∫ ∫∫ ∫∂∂

=∇=∇V VV V

dSdXdSdX &&&&

Caso general: proyección tangente, )(∇=∂ P

Ejemplo: teorema de Gauss

• dX = d3 x = i dτ , donde dτ = |d3 x| • dS = d2 x = i nda , donde da = |d2 x| • G = v(r)

daddaiidV VV V

ˆ ˆ ∫ ∫∫ ∫∂∂

⋅=⋅∇=∇ vnvvnv ττ

Teorema de Green (caso Euclidiano)

• donde la función de Green de primer orden está dada por:

)'(')',(

)()(

)'('')',()(

)(

1

1

∫

∫

∂

+

+

−−

+∇−=

V

nV

n

dSgI

dXgI

xxxx

xxxx

x

F

F)F(

nn

g''1)',(xxxxxx

−−

Ω=

Teorema de Cauchy en n dimensiones

• Caso particular: F = f y ∇ f = 0

donde f (x) es un campo multivectorialmonogénico

)'('

''1

)()( 1∫

∂

−

−−

Ω−=

V

nn

n

n

fdI

f xxxxxx

xx)(

Difracción electromagnética

• Ecuación de Helmholtz de primer orden:

• Principio de Huygens exacto:

para el caso homogéneo J = 0

para ')'(ˆ)'(∫ +=−−=S

icdaG BExnxxx FF)F(

FJF jk+=∇~

Ecuación de Dirac en Cl1,3

• Vector en espacio de Minkoski:

• Cuantización:

( ) 2200

0 con , pγp −=//⋅−=/ ppppp γ

)( 0 ∇⋅−∂→/ γtjp γh

Propagador – función de Green 1er orden

• El propagador representa la amplitud de probabilidad condicional

• Transformada de Fourier:

)'()'()( )4( xxxxSmp F −=−−/ δ

)0(lim ,1)( →+−/

= εεjmp

pSF

• Incluyendo campo externo A la ecuación de Dirac se escribe como:

• y el propagador:

da origen a la polarización del vacío

)'();'()( )4( xxAxxSmAqp F −=−−/−/ δ

'|1|)',( xjmAqp

xxxSF ε+−/−/=

•• Referencias:

• www.clifford.org

www.mrao.cam.ac.uk/~clifford

• modelingnts.la.asu.edu•