GEOMETRÍA ANALÍTICA

(ÁLGEBRA VECTORIAL EN V2) 1. Considere los vectores a = ( 3.5, 46º) y b = ( 5.6, 148º). a) Obtenga, por trigonometría, la magnitud de a – b. b) Exprese los vectores dados en términos de sus componentes rectangulares.

c) Usando las componentes rectangulares obtenidas en el inciso anterior, calcule a – b y su magnitud.

2. Demuestre que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. 3. Demuestre que la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus diagonales. 4.Sea el vector a = −8,10( ) , obtenga el ángulo que forma con respecto al eje X. Dibuje el vector y

el ángulo obtenido.

5.Para el triángulo definido por los puntos A = −2,5( ) , B = 4,1( ) y C = 10,12( ) , determine el

ángulo interno que se forma en B.

6.Muestre que los puntos A = 2,−5( ) , B = 0,3( ) y C = −3,0( ) son los vértices de un triángulo

rectángulo. Además obtenga su área.

7.Dados los vectores v = −9i − 3 j , ˆ ˆ6 2w i j= - + y ˆ ˆ3 2u i j= - . Halle en forma gráfica y analítica la proyección de w sobre v y la de u sobre v . 8.Los puntos A = −1,2( ) y B = 2,−2( ) son dos vértices contiguos de un rectángulo con un área

de 50u2 . Obtenga las coordenadas de sus otros vértices y dibuje. 9.Dados los vectores v = −3i − 3 j y u = 3i − 4 j , halle en forma analítica la proyección de v sobre u . Grafique los vectores y la proyección en un mismo plano coordenado. 10.Los puntos A = −1,3( ) y B = 4,−5( ) y C = 6,2( ) son los vértices de un triángulo. Obtenga la longitud de su base y la de su altura y representelos gráficamente junto con el triángulo. Las coordenadas están dadas en centimetros. 11.Los puntos A = −1,2( ) y B = 2,−2( ) son dos vértices de un triángulo rectángulo con un área

de 25u2 . Obtenga las coordenadas de su otro vértice y dibuje. Obtenga solamente una de las cuatro soluciones posibles. 12.Los puntos ( )3,10A = - y ( )24,38B = - son dos vértices contiguos de un cuadrado. Obtenga las coordenadas de sus otros vértices.

13.Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a-b. Si a = 2, b = 4 y a i b= 2

3 ,

calcule la longitud del lado a − b . 14.Los vértices de un triangulo son los puntos ( ) ( ) ( )4,1 , 1,5 ,C 4,3A B= - = = . Obtenga el ángulo interno cuyo vértice es B, haga un croquis e indique el ángulo calculado. 15.El área del triangulo definido por los vectores a y b es 20. Determine el valor de •a b si

40a b= = .

16.Los puntos A = −1,2( ) y B = 2,−2( ) son dos vértices contiguos de un rectángulo con un área

de 50u2 . Obtenga las coordenadas de sus otros vértices y dibuje. 17.Dados los vectores ˆ ˆ3v i j= - - , ˆ ˆ6 2w i j= - + y ˆ ˆ3 2u i j= - . Halle en forma gráfica y analítica la proyección de w y u sobre v . 18.Los puntos A = (12,-2) y B = (27,18) son vértices consecutivos de un rectángulo. Determine las coordenadas de los otros vértices si el área del rectángulo debe ser 1250. 19.Dados los vectores: v = −3i − j , w = −6i + 2 j y u = 3i − 2 j , halle en forma gráfica y en forma analítica la proyección de w y u sobre v 20.Los puntos A = (8,4) y B = (16,19) son vértices consecutivos de un rectángulo. Obtenga sus otros vértices C y D si su área debe ser 578 unidades cuadradas.

21.Sean los vectores 2 3 , 5 4 3a i j b i j y c i jÙ Ù Ù Ù Ù Ù

= + = - = - + . Exprese a como una combinación lineal de b y c y haga un croquis ilustrando el resultado. 22.Dados los vectores y 2 3.2 , b=3i+4j y c=-2.8i-1.5ja i j= - .

a) obtenga la magnitud y dirección del vector.... b) calcule el ángulo formado por a y b y el área del triangulo determinado por estos

vectores

23.Los lados de un triangulo son los vectores 2, b y a-b. Si a 2, b 4 y a.b= 3a = = , calcule la

longitud del lado a-b. 24.Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos. El primero, hacia el este con una magnitud de 25m; el segundo, hacia el norte con una magnitud de 42m. Si el desplazamiento resultante de los tres, tiene una magnitud de 38m y esta dirigido formando un Angulo de 30º entre el este y el norte, encuentre la magnitud y la dirección del tercer desplazamiento. 25.Dos vértices contiguos de un rectángulo son los puntos ( ) ( )2,5 y B 6,11 .A = - = Obtenga la ubicación de los otros vértices si se desea que el área del rectángulo sea 50. Haga un croquis del rectángulo.

26.Si 4 1.2i jÙ Ù

= +a y 0.8 3.5i jÙ Ù

= +b , calcule:

a) 2+a b b) el ángulo entre a y b c) el área del triangulo determinado por a y b.

27.El área del triangulo definido por los vectores a y b es 20. Determine el valor de •a b si 40a b= = .

28.Descomponga el vector ( )1,11a = en dos vectores que tengan las direcciones de los vectores

( ) ( )3,1 y 2, 2b c= = - .Haga un croquis.

29.Sean los vectores 3 1.5a i jÙ Ù

= - + y 2.3 4b i jÙ Ù

= - - . Calcule: a) .bProy a b) el área del triangulo definido por los vectores. 30.Sean los vectores ( ) ( )4, 3,2 y b 1,1,1a = - = ,i) obtenga la proyección de a en la dirección de b, ii) obtenga un vector unitario en la dirección del vector a-b y iii) verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz con a y b. 31.Un tetraedro tiene sus vértices en los puntos

( ) ( ) ( ) ( )10,3,8 , 14,3,6 , 2,6,15 y D= 4,6,-4A B C= = = . Obtenga el área de triangulo ABC y el volumen del tetraedro, además con base en los datos anteriores calcula la altura del tetraedro desde el punto D hasta su base ABC. (R2: RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS) 1. Obtenga el ortocentro (punto de intersección de las rectas que contienen a las alturas) del triángulo cuyos vértices son los puntos (-1,1), (5,-3) y (9,0). 2. Una recta pasa por la intersección de las rectas 032 =+- yx y 0155 =+- yx y es ortogonal a la recta 01=++ yx . Obtenga una ecuación vectorial y la cartesiana de la recta. 3. Obtenga el circuncentro (punto de intersección de las mediatrices de los lados) del triángulo cuyos vértices son los puntos (-1,1), (5,-3) y (9,0). 4. Obtenga la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la intersección de las rectas

)}1,2()8,18{(1 -+-= sL y )}1,3()7,19{(2 -+-= tL y es tangente a la recta

)}12,5()61,3{(3 -+-= uL 5. Obtenga la ecuación cartesiana de la circunferencia cuyo centro está en la intersección de las rectas 2x – y = 29 y x + 3y = -3 y es tangente a la recta 15x – 8y = 509. 6. Obtenga las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0,5) y son tangentes a la circunferencia con centro en el origen y radio 2. 7. Encuentre la ecuación del eje radical de las circunferencias C1 = {(x, y) | x2 + y2 = 4} y C2 = {(x, y) | x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0} y pruebe que es perpendicular a la recta que pasa por sus centros. 8. Obtenga la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por los puntos (14,-19) y (21,4) y tiene radio 17. 9. Encuentre unas ecuaciones paramétricas de la circunferencia que pasa por los puntos (0,0), (0,4) y (5,0).

10.Obtenga una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto 3,1( ) y es paralela a la recta

L1 = x, y( ) x, y( ) = 2,1( ) + t

13

,2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

,t ∈!⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

11.Determine la ecuación de la circunferencia que contiene al punto 4,3( ) y cuyo centro se

encuentra sobre la intersección de la recta 3 2 5 0x y+ - = y el eje X. 12.Obtenga una ecuación cartesiana y una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos

A = 2,−3( ) , B = − 1

3, 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13.Obtenga la intersección entre las rectas L1 = 3x + 4y = 10{ } y L2 = P = 1,2( ) + t 3,2( ){ } .

Dibuje. 14.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto Q0 = (4,3) y forma un

ángulo de 60º con respecto a la horizontal positiva. 15.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que es pperpendicular a la recta L1 : 2x + 4y = 7

y que pasa por el punto Q0 = (5,3) . Dibuje ambas rectas. 16.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que es paralela a la recta L1 : 2x + 4y = 7 y que

pasa por el punto Q0 = (4,3) . Dibuje ambas rectas. 17.Encuentre una ecuación vectorial de alguna de las dos rectas que son tangentes a la circunferencia (x + 2)2 + ( y −1)2 = 16 y perpendiculares al eje Y. Dibuje. 18.Obtenga una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A = (1,-2) y es paralela a otra recta que tiene por ecuación 2 3 0x y- + = . 19.Obtenga una ecuación cartesiana y unas paramétricas de la circunferencia que tiene su centro

en el origen y es tangente a la recta L : ( ) ( ) ( ){ }, 2,3 2,1P x y t= = + -

20.Obtenga la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por los puntos A = (2,−3) y

B = (−1,18) y cuyo centro está sobre la recta L : 4x − 6y = −76{ } .

21.Obtenga la ecuación cartesiana de la circunferencia de radio 5 cuyo centro esta sobre la recta 1 : 2 1 L x y- = y es tangente a la recta 2 L :3 4 18x y- = - .

22.Considere las rectas 1 21 1: y L :2 2

L y x y x= = - y la circunferencia 2 2: 16C x y+ = . Si A

es el punto de intersección de ( )1 y x>0L C con y B el punto de intersección , obtenga una

parametrización de la trayectoria cerrada compuesta por el arco de la ( )2 y x>0L C con

circunferencia BA, seguido de los segmentos ,siendo y AO OB , O el origen del sistema coordenado. Haga un croquis de la trayectoria. 23.Obtenga la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por los puntos (5,11) y (-3,15) tiene radio 10. 24.Obtenga el valor de k, de tal modo que la recta : 2 0L x y k- + = , sea tangente a la

circunferencia ( ){ }2 2, 5C x y x y= + = .

25.Dos vértices de un triangulo son los puntos ( ) ( )12, 16 y B 7,-4A= - .bProy a .Obtenga la ecuación cartesiana de la recta paralela al segmento AB en la que debe encontrarse el tercer vértice C, para que el área del triangulo sea 65. 26.Encuentre una ecuación vectorial de la recta tangente a la circunferencia

( ) ( )2 22 1 13x y+ + - = en el punto ( )1, 1 .- 27.Obtenga el circuncentro (punto de intersección de las mediatrices) del triangulo cuyos vértices son los puntos ( ) ( ) ( )2,1 , 5, 4 y 9,-1- - , haga un croquis. 28.Una circunferencia pasa por los puntos ( ) ( )13, 9 y -3,15- y su centro se encuentra sobre la

recta 4 3 5 0x y- - = . Encuentra unas ecuaciones paramétricas de la curva. 29.Obtenga la intersección entre la mediatriz del segmento [ ]AB con ( ) ( )6,2 y B 2,8A= = - y

la recta ( ) ( ){ }: 4,8 2,3L t+ . Haga un croquis del problema. 30.Obtén la ecuación de la circunferencia con centro en ( )3. 1- que es tangente a la

recta 4 4 0x y- + = 31.Obtenga una ecuación y el centro de la circunferencia que pasa por los puntos ( ) ( ) ( )5,2 , 2,4 y 1,0 . 32.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto ( )3,6,4 y es paralela a la

recta ( ){ }1 , , 3 4 5 12;2 2 15L x y z x y z x y z= + + = - + = .

33.Una recta pasa por los puntos ( ) ( )3,1,4 y B= 4,1,-2A = - . Encuentre el punto perteneciente a la recta , que se encuentra a 6 unidades de distancia del punto A. 34.Obtenga la distancia del punto ( )5,-1,4 a la recta { }3 2 10 0 3 5 0L x y z y= - - = Ù + + = . (R2: CÓNICAS Y TRANSFORMACIONES) 1. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a la recta }03|),,{( =+= xyxL es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto )1,1( .

2. Obtenga la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la parábola con vértice en V = )4,6(- , dirección de su eje focal dada por d = )8,15( - y p = 8 3. Obtenga la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la parábola con vértice en V = )3,3( y foco en F = )5,4( . Haga un dibujo de ella. 4. Una parábola tiene por directriz a la recta con ecuación 5x + 12y = 300 y su foco es el punto (2,-4). Obtenga la ecuación cartesiana y una ecuación vectorial de esta curva. 5. Una parábola tiene su foco en el punto )2,3( y su vértice en )2,5( - . a) Obtenga su ecuación vectorial. b) Trace su gráfica. 6. Obtenga una ecuación vectorial, la ecuación cartesiana, los elementos de la curva y haga un dibujo de la parábola cuyo vértice es el origen y su foco es el punto (-8,15). 7. La ecuación de una parábola con respecto a los e jes x’y’ es y’ 2 = 16x’. Obtenga su ecuación con respecto a los ejes xy, si los ejes x’y’ tienen su origen en (3, -2) y el eje x’ está en la dirección del vector (2,1). 8. Una parábola tiene su vértice en (9,-10) y la ecuación de su directriz es 12x + 5y = -111. Obtenga su ecuación cartesiana y trace su gráfica. 9. La ecuación de una elipse con respecto a los ejes '' yx es 12'3' 22 =+ yx . Obtenga su ecuación con respecto a los ejes originales si los ejes '' yx fueron obtenidos al rotar los ejes un ángulo de 30º y trasladarlos al punto )1,1( . 10. Obtenga una transformación de coordenadas que permitan expresar la ecuación 2x + 3y – 6 = 0 como x’ = 0 o y’ = 0. 11. Obtenga la ecuación cartesiana, una ecuación vectorial y los elementos de la elipse con centro en F0 = (4,2), un vértice en V1 = (1,-1). y excentricidad e = 2/3. 12. Una elipse tiene sus ejes mayor y menor de longitudes 12 y 8, eje focal sobre la recta L = {(x,y) | 2x – 3y = 0} y centro en (3,2). Calcule sus vértices y los extremos de su eje menor. 13. Una hipérbola tiene una e = 5/4 y focos (10,22) y (-6,10). Obtenga las coordenadas de los extremos de sus lados rectos. 14. Obtenga las coordenadas de los extremos de los lados rectos de la hipérbola con excentricidad e = 3/2 y focos (0,5) y (-3,0). 15. Encuentre unas ecuaciones paramétricas de una de las asíntotas de la hipérbola con centro en el origen, un foco en (1,2) y longitud del eje conjugado igual a 4. 16. Un vértice y un foco de una hipérbola son V1 = 1/5 (28,84) y F1 = (8,20), con e = 5/3. Obtenga los demás datos de la curva. 17. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es

0308792448632607 22 =+--++ yxyxyx

18. Obtenga los elementos de la curva cuya ecuación es

022134942426190109 22 =++-++ yxyxyx 19. Identifique, encuentre sus elementos y obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva C = {(x, y) | x2 – 2xy + y2 + 11x – 9y + 22 = 0} 20. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es 17x2 + 12xy + 8y2 – 90x – 20y + 105 = 0. 21. Obtenga una ecuación vectorial y los elementos de la curva C = {(x, y) | 5x2 – 6xy + 5y2 + 32x – 32 y + 48 = 0}. 22. Obtenga las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 4x2 - 24xy + 11y2 + 56x - 58 y + 95 = 0 . 23. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es 9x2 - 6xy + 17y2 –48x + 176y + 464 = 0. 24. Identifique y dibuje la curva C = {(x, y) | 2x2 + 4xy + 5y2 + 2x - y - 4 = 0}. 25.Determine la ecuación cartesiana de la circunferencia que tiene su centro en el punto 3,1( ) y es

tangente a la recta 3x − 4y +10 = 0 26.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y bosqueje la gráfica de la elipse cuyos focos son los

puntos −2,0( ) , 1,3( ) y cuya excentricidad es e = 1

2

27.Una elipse tiene sus ejes mayor y menor de longitudes 12 y 8 , eje focal sobre la recta

2 3 0x y- = y centro en ( )0 3,2F = . Haga un bosquejo de la elipse y obtenga unas ecuaciones

paramétricas.

28.Obtenga los elementos de la hipérbola con centro en C = 7,−5( ) , dirección de su eje focal

d = −3,2( ) , semieje transverso a = 4 y semieje conjugado b = 6 y haga un croquis de la misma.

29.Obtenga una ecuación vectorial de la parábola cuyo vértice está en el punto 3,5( ) y su foco en

el punto 0,1( )

30.Parametrice y dibuje la porción de la elipse

x −5( )2

9+

y −1( )2

4= 1 desde el punto (5, 3) hasta

el punto (2, 1)

31.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la hipérbola cuyos focos son los puntos

F1 = (−3,−1) y F2 = (1,3) y cuya excentricidad es 2.

32.Escriba la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la elipse que tiene su centro en el punto

(0,1) , uno de sus extremos del eje mayor en 3,5( ) y uno de sus extremos del eje menor en el

punto

−85

,115

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. Dibuje.

33.Obtenga la ecuación cartesiana de la parábola cuyo foco está en el punto 0,1( ) y vértice en el

punto 3,5( ) . 34.Obtenga la ecuación vectorial de la curva cuya ecuación es

.08922267 22 =-+--+ yxyxyx 35.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y bosqueje la gráfica de la elipse cuyo centro se

localiza en el origen, uno de sus focos es el punto ( )1 2, 2 3F = - y uno de sus vértices es el

punto 15 5 3,2 2

Væ ö-

= ç ÷ç ÷è ø

.

36.Identifique, proporcione unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis

de la superficie cuya ecuación 2 2 2

125 9 25x y z+ - = .

37.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la hipérbola cuyos focos son los puntos

F1 = (−3,−1) y F2 = (1,3) y cuya excentricidad es 2.

38.Obtenga una ecuación vectorial de la elipse con centro en el punto (2, 1)- y uno de sus focos

en (6, 2) , sabiendo que su excentricidad es 35 .Trace la elipse ubicando previamente vértices,

focos y extremos del eje menor. 39.Determine la naturaleza de la cónica de ecuación 2 23 2 3 2 2 6 2 2 0x xy y x- + + - + = .Trace su lugar geométrico y proporcione unas ecuaciones paramétricas con respecto a los dos sistemas de referencia. 40.Obtenga una ecuación vectorial y haga un croquis de la parábola con vértice en ( )4, 6V = - y

directriz : 4 3 23.L x y+ = 41.Obtenga una ecuación vectorial de le elipse cuyo centro es el punto ( )3,2- , uno de sus

vértices es el punto ( )1,-1 y la longitud de su lado recto es 185 .Haga un croquis de la curva.

42.Obtenga la ecuación cartesiana de la parábola cuyos extremos del lado recto están en los puntos ( ) ( )11,12 y -5,0 . 43.Obtenga la ecuación vectorial y la ecuación cartesiana de la parábola cuyos extremos de su lado recto están en los puntos ( ) ( )9,28 y -23,4 .

44.Obtenga la ecuación cartesiana de la hipérbola cuyas asuntotas son

1 2:14 23 82 0 y A : 26 7 62 0A x y x y+ - = + + = y pasa por el punto ( )1,2- . 45.Obtenga una ecuación vectorial de la hipérbola con centro en ( )4,1C = - , dirección de su eje

focal ( )1, 2d = - , semieje transverso 2a = y semieje conjugado 3b = . Dibuje la hipérbola. 46.Una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x . Encuentre unas de

sus ecuaciones paramétricas sabiendo que pasa por los puntos ( ) ( )6, 1 y 2, 2- .

47.Obtén la ecuación cartesiana y la grafica de la hipérbola, que tiene un foco en ( )27.6F = un

vértice en ( )22.2.0.4V = y su excentricidad es53

e =

48.Determine la ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de la parábola cuya directriz es la recta 2 2 0x y+ - = y cuyo vértice es ( )2,1 . Dibuje.

49.Identifique la superficie cuádrica cuya ecuación es2 2 2

125 9 25x y z+ - = y escriba unas ecuaciones

paramétricas de ella. 50.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la traza xz de la superficie cuya ecuación cartesiana

es ( ) ( ) ( )2 2 23 2 5

016 4 9x y z- + +

- + = .

(R2: COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS) 1. Identifique y trace la curva cuya ecuación polar es qcos33-=r 2. Discuta la curva }cos22|),{( qq +==G rr . Obtenga sus intersecciones con el eje polar y el eje a 90º, analizando su simetría y su extensión y haga un dibujo de ella. 3. Trace la curva cuya ecuación es q5cos2=r y dé unas ecuaciones paramétricas de ella. 4. Identifique, haga un croquis y dé unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es r = 5sen3q . 5. Identifique, haga un croquis y dé unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es r = 3 – 2cosq . 6. Discuta y trace la curva cuya ecuación polar es r2 = 9sen2q . 7. Dibuje la curva cuya ecuación es r = 2cos2q y proporcione unas ecuaciones paramétricas de ella. 8. Parametrice la trayectoria cerrada compuesta de las tres partes que se describen a continuación:

a) El arco AB de la circunferencia 1622 =+ yx , si A = )4,0( y B = )0,4(- . b) El segmento rectilíneo BC si C = )0,4( . c) El segmento rectilíneo CA. 9. Identifique, haga un croquis y proporcione unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es r = 4 - 2senq . 10. Identifique la curva definida, en coordenadas polares, por medio de r

2 = 4sen 2θ( ) y haga un

croquis de la misma.

11.Considere dos superficies definidas por 4y2 + 9z2 = 36 y por x = 5 . De unas ecuaciones paramétricas de la curva de intersección entre las mismas.

12.Identifique la superficie cuya ecuación es 225x2 + 400y2 −144z2 = 3600 , de unas ecuaciones paramétricas y realice un croquis de la misma. 13.Realice un croquis y proporcione unas paramétricas de la curva cuya ecuación en coordenadas

polares es 22cos 5senr t t= - 14.Identifique la curva definida, en coordenadas polares, por medio de r = 3− 4senθ y haga un croquis de la misma

15.Considere dos superficies definidas por x2 + y2 = 4 y por 2x + 3y − z = 0 . De unas

ecuaciones paramétricas de la curva de intersección entre las mismas.

16.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y trace la gráfica de la hipérbola cuyos focos son los

puntos F1 = (0,−6) y F2 = (4,0) y cuya excentricidad es 2. Dibuje.

17.Trace la gráfica de la curva polar r 2 = 36sen 2θ + π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y proporcione unas ecuaciones

paramétricas

18.Obtenga una ecuación cartesiana y unas paramétricas de la circunferencia que tiene su centro

en el origen y es tangente a la recta L : ( ) ( ) ( ){ }, 2,3 2,1P x y t= = + -

19.Identifique, haga un croquis y proporcione unas paramétricas y la ecuación cartesiana de la

curva cuya ecuación es r = 4cos 2θ( ) .

20.Obtenga una ecuación cartesiana y unas paramétricas de la circunferencia que tiene su centro en el origen y es tangente a la recta L= ( ) ( ) ( ){ }, 2,3 2,1P x y t= = + -

21.Identifique, haga un croquis y proporcione unas paramétricas de la curva cuya ecuación es

r = 1+ 3sen θ( )

22.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la circunferencia x2 + y2 − x +8y + 45

4= 0 y

dibuje. 23.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y trace la gráfica de la curva en coordenadas polares

r = 2cos 3θ( ) 24.Escriba la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la parábola que tiene su vértice en el punto (0,1) y su foco en 3,5( ) . Dibuje. 25.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y trace la gráfica de la curva en coordenadas polares

r = 1− 2cos θ( ) 26.Escriba la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la parábola que tiene su vértice en el punto (0,0) y su foco en 3,4( ) . Dibuje. 27.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y trace la gráfica de la curva en coordenadas polares

r2 = −25sen 2θ( )

28.Identifique, haga un croquis y proporcione la ecuación cartesiana y unas paramétricas de la curva cuya ecuación es qsenr 86 -=

29.Un cilindro esta definido por la directriz ( ){ }2 2, , 4 9 36; 5x y z y z xG = + = = y el vector

( )2, 1,2a = - .Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie. 30.Identifique, haga un croquis y proporcione unas paramétricas y la ecuación cartesiana de la curva cuya ecuación es 1 3cosr q= + . 31.Identifique, haga un croquis y proporcione unas paramétricas de la curva cuya ecuación es

r = 5sen 2θ( ) 32.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es

2 25 4 8 36 0x xy y+ + - = 33.Para la ecuación 5 2r sen q= trace su grafica y proporcione su ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas, especificando el rango del parámetro. 34.Haga un análisis completo de la ecuación 4 3r sen q= y dibuje la curva correspondiente 35.Haga un croquis y obtenga la ecuación cartesiana de la curva cuya ecuación es ( )5 4cos 10r senq q- = .

36.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la elipse con centro en ( )6,5C = , dirección de su

eje focal ( )3, 1= -d , semieje mayor 4a = y semieje menor 3b = . Asigne tres valores al parámetro y localice los puntos que les corresponden a estos valores en una grafica de la elipse. 37.Trace en un mismo sistema coordenado, la circunferencia 2cosr q= - y la cardioide

( )2 1 cosr q= + y obtenga las coordenadas de sus puntos de intersección.

38.Dibuje la curva cuya ecuación es 29 14

r sen q= + , y proporcione unas ecuaciones

paramétricas de la misma. 39.Haga un croquis, obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la curva cuya ecuación es 2cos 4r senq q= + . 40.Haga un croquis y proporcione unas ecuaciones paramétricas de la curva cuya ecuación es 2 4r senq= - . 41.Haga un croquis y obtenga la ecuación cartesiana de la curva cuya ecuación es

( )2 2 3cosr senq q= - . 42.Dibuja y da unas ecuaciones paramétricas de la curva 2 3cosr q= + 43.Dibuje la curva 3cos5r q= , identificando previamente, los rayos para los cuales 0r = y aquellos para los que r es máxima. 44.Identifique, proporcione unas ecuaciones paramétricas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 2 2 22 4.x y z- + = 45.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la esfera que es concéntrica a la esfera con

ecuación ( ) ( )2 22 1 2 10x y z+ - + + = y que pasa por el punto ( )2,0,3 . (R2: REGIONES)

1. Represente mediante un par de desigualdades, la región encerrada por la recta 02 =+- yx y la parábola 42 -= xy .

2. Trace en un mismo sistema coordenado (cartesiano) la recta 2 3 6 0x y- + = y la

parábola 2 4 0y x+ - = y describa la región encerrada por las dos graficas por medio de un conjunto de desigualdades.

3. Trace en un mismo sistema coordenado (polar) las circunferencias 1 2: 3 y C : 2C r r senq= = y en seguida describa la región encerrada por las dos curvas por medio de un conjunto de desigualdades.

4. Describa por medio de un par de desigualdades, la región encerrada por la parábola y la

recta con ecuaciones ( )21 3y x= - - y 2 3.x y- = -

(ÁLGEBRA VECTORIAL EN V3) 1. Dados los vectores a = kji ˆ6.0ˆ5.3ˆ2 -- , b = kji ˆ6.1ˆ3.2ˆ +-- y c = kji ˆˆˆ +- y suponiendo que el sistema coordenado está graduado en centímetros, calcule: a) El ángulo formado por a y b. b) El área del triángulo definido por b y c. 2. Investigue si existen números reales sr, y t que satisfacen la expresión a = r b + s c + t d donde a = )25,17,9( , b = )8,2,5(- , c = )4,2,1( -- y d = )5,1,3( 3. Calcule el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos V1 = )0,0,3( , V2 = )0,6,0( , V3 = )5,0,0( - y V4 = )8,6,1( . 4. Calcule el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos V1 = (2,3,4), V2 = (1,1,1), V3 = (4,5,6) y V4 = (9,4,5). 5. Determine el volumen del paralelepípedo que tiene unos de sus vértices en los puntos

)2,1,3( -- , )3,2,2( - , )0,2,4( -- y )4,4,5( . 6. Los vértices de un tetraedro son los puntos A = (6,1,2), B = (4,3,5), C = (-6,5,-4) y D. Obtenga la distancia a la que el punto D debe estar del plano que contiene a A, B y C, para que el volumen del tetraedro sea 112. 7. Obtenga el volumen de la región que se encuentra en el primer octante y está limitada por los planos coordenados y por el plano P = {(x,y,z) | 2x + 3y + z = 12} . 8. Calcule el valor de la expresión (a • b)2 + (a x b) • (a x b) sabiendo que | a | = 2 y | b | = 5. 9.Dados los vectores a = −4,−5,3( ) y b = 1,−6,−2( ) , obtenga un vector c que sea

perpendicular tanto a a como a b .

10.Obtenga el área del triángulo cuyos vértices consecutivos son los puntos A = 11,13,10( ) ,

B = 17,15,13( ) y C = 16,11,14( ) . 11.Sean los puntos ( )5, 3,8A = - , ( )14,3, 10B = - dos vértices de un triángulo, obtenga el tercer vértice tal que corresponda al de un triángulo rectángulo. Obtenga su área.

12.Dados a = 6,−4,8( ) y b = −2,5,7( ) , obtenga: a ×b y a i b

13.Obtenga el área del paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos A = 11,13,10( ) ,

B = 17,15,13( ) , C = 16,11,14( ) y D = 22,13,17( ) .

14.Obtenga el volumen del tetraedro si sus vértices son los puntos A = 5,2,0( ) , B = 0,1,0( ) ,

C = 2,−2,1( ) y D = 1,1,5( ) . 15.Calcule el volumen del tetraedro con vértices en los puntos ( )1 3,0,0V = , ( )2 0,6,0V = ,

( )3 0,0,5V = y ( )1 1,6,8V = . Dibuje. 16.Dados v = (1,a,4) y w = (2,b,3) , obtenga los valores de a y b tales que v x w = (10,5, 5)- . 17.Obtenga el área del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos A = 1,2,1( ) ,

B = 6,2,5( ) , C = 3,4,2( ) . Las coordenadas están en metros. Dibuje. 18.Obtenga el volumen del tetraedro cuyos vértices se encuentran en los puntos A = 0,0,0( ) ,

B = 6,0,0( ) , C = 0,9,0( ) y D = 3,2,7( ) . Dibuje. 19.Obtenga el volumen del tetraedro cuyos vértices se encuentran en los puntos A = 0,0,0( ) ,

B = 6,0,0( ) , C = 0,9,0( ) y D = 3,2,7( ) . Dibuje. 20.Calcule el volumen del tetraedro con vértices en los puntos ( )1 3,0,0V = , ( )2 0,6,0V = ,

( )3 0,0,5V = y ( )1 1,6,8V = 21.Calcule el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos V1 = )0,0,3( , V2 = )0,6,0( , V3 = )5,0,0( - y V4 = )8,6,1( . Dibuje el tetraedro. 22.Calcule el volumen del tetraedro con vértices en los puntos ( )1 3,0,0V = , ( )2 0,6,0V = ,

( )3 0,0,5V = y ( )1 1,6,8V = . 23.Dados v = (1,a,4) y w = (2,b,3) , obtenga los valores de a y b tales que v x w = (10,5, 5)- . 24.Determine el área del triangulo cuyos vértices son

( ) ( ) ( )1 2 31, 1,1 , V 3,2,5 y V 3,4,6V = - = = . 25.Dados los vectores 2 1.5 3 , b=3i+2.7k y c=-3.4i-6j+ka i j k= - + ,

a) obtenga el área del paralelogramo por a y b b) calcule cComp a

26.Dados los vectores ( ) ( ) ( )2,4,1 , 2,3, 2 y c 5,4,1a b= - = - = - ,calcule ( ) a b c´ ´ y

( ) a b c´ ´ .

27.Sean 4 5i j kÙ Ù Ù

= - +a , 6 3 2i j kÙ Ù Ù

= + -b y 5 6 3i j kÙ Ù Ù

= - + +c .Verifique que

( )Proy Proy Proy+ = +c a ca b a b . 28.Si los vértices de la base de un tetraedro están en los puntos

( ) ( ) ( )7,2, 8 , 3,2,4 y C= -4,-12,4A B= - = , determine la altura que debe tener el tetraedro para que el volumen sea 196. 29.En un espacio coordenado calibrado en metros, una partícula pasa por el punto ( )15,13,50 a

una velocidad de ( )2,1,2 metros por segundo. Si una partícula similar pasa por el punto ( )3,1,2 en el mismo instante, determine la velocidad a la que debe viajar esta segunda partícula para que haga contacto con la primera 12 segundos después. Suponga que ambas partículas viajan con movimiento rectilíneo uniforme. 30.Encuentre el volumen del tetraedro cuyos vértices son ( ) ( ) ( ) ( )0,2,0 , 4,2,4 , 5,4,1 y 2,-1,2 . 31.Verifique que los puntos ( ) ( ) ( )3,5, 2 , 10,4,7 ,C= 6, 1,1A B= - = - ( )y D= 7,10,4 son los vértices de un rectángulo. 32.Los vértices de un tetraedro son los puntos ( ) ( ) ( )7,6,14 , 3,2,8 , 11,7,11A B C= = = y D. Determine la ecuación del plano en el que debe estar el punto D para que el volumen del tetraedro sea 28. 33.Determine todos los valores de c tales que los vectores ( ) ( )3 ,1, 4 y b= c,4,2a c c= - sean ortogonales (R3: RECTAS Y PLANOS) 1. Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por )5,1,2( - y es perpendicular al plano

)2,5,1()5,2,0()1,1,2(),,( --+-+= rtzyx 2. Obtenga la recta que pasa por el punto Qo = (1,9,7) e intersecta perpendicularmente a la recta L = {(-1,-7,5) + s(3,2,-2)}. 3. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos (0,0,-5) y (-1,5,4) y es perpendicular al plano coordenado xz. 4. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto Q0 = (1,3,-3) y contiene a la recta L = {(x, y, z) | 3x + y – z = 15; x + 3y + z = 13}. 5. Obtenga el ángulo que forman las rectas L1 = {(-2,5,6)+ t(1,-1,4)} y L2 = {(x, y, z) | 2x - y +3 z = 4; x+ 7y -2 z = 0}.

6. Encuentre la ecuación del plano que contiene a la recta de intersección de los planos }023|),,{(1 =-+= zyxzyxP y }033|),,{(2 =+--= zyxzyxP y es ortogonal al plano

xy . 7. Obtenga unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por la intersección de los planos con ecuaciones 2x + 4y - 3z = 0 y 5x + 3y - z = 2 y es ortogonal al plano con ecuación 2y - 3z = 5. 8. Obtenga una ecuación vectorial del plano P que contiene a la recta L = {(2 - 3t,1 + t, -3+2t)} y es ortogonal al plano coordenado PYZ 9. Obtenga la distancia del origen hasta la proyección ortogonal del punto Q = (2,-3,5) sobre el plano P = {(x, y, z) | x + 2y – 3z = 0}. 10. Considere las rectas )6,0,3()3,2,1(),,(:1 -+-= rzyxL y

)4,0,2()2,1,4(),,(:2 -+--= qzyxL , y el plano 30532: =+-P zyx a) Obtenga la intersección entre P y 1L b) Pruebe que las rectas son paralelas y calcule la distancia que las separa. 11. Calcule la distancia del punto )8,1,3( - al plano )1,1,3()4,2,1()1,2,1{( vuP +-+= } 12. Calcule la distancia del punto (6,8,-2) al plano P = {(14,16,1) + u(1,4,3) + v(3,2,4)} y la distancia entre las rectas L1 = {(10,6,5) + s(5,8,1)} y L2 = {(-6,-11,26)+ t(-15,-4,2)}. 13. Calcule la distancia entre las rectas L1 = {(x, y, z)| 2x – y + 3z = 4 ; x + 7y - 2 z = 0} y L2 = {(-2,5,6) + t(1,-1,4)}. 14. Calcule la distancia entre las rectas L1 = {(x, y, z)| x + 2 y - z = 0 ; 2 x + y + 3 z = 1} y L2 = {(x, y, z)| y - z = 0 ; 3 x + y + z = 4}. 15. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta L = { (x, y, z) | 3x + 7y - z = 32 ; x + 5y - 5z = 28} y está a 7 unidades de distancia del punto (4,-2,5). 16. Calcule la distancia que hay del punto Qo = (0,0,-1) a la recta L = {(2 – 3t, 1 + t, -3+2t)} 17.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L = 2x − 3y + 4z = 12 ∧ 3x +5y − 2z = 15{ } . 18.Obtenga una ecuación vectorial y la cartesiana de la recta que pasa por el punto ( )2,1A = - y

es perpendicular a la recta L2 = x − y −5= 0{ } .

19.Obtenga el ángulo entre la recta L = x, y, z( ) / 1− 2x

4= 4y +8

4= z −5

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

y el plano

∏ = x, y, z( ) / −x − 2y + 3z = 2{ }

20.Obtenga la ecuación cartesiana del plano dado por la ecuación

Π = x, y, z( ) / x, y, z( ) = 2,−8,4( ) + s 2,−2,3( ) + t 1,3,−4( ){ }

21.Un plano pasa por el punto 5,2,−1( ) y su traza con el plano XY es la recta

L = x − 2y + 2 = 0∧ z = 0{ } . Obtenga su ecuación cartesiana y una de sus ecuaciones vectoriales.

22.Obtenga una ecuación cartesiana del plano que contiene al punto P0 = 5,3,−2( ) y es

perpendicular a la recta L1 = P = 3,−1,2( ) + t 2,4,2( ){ }

22.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que es paralela a la recta L1 : 2x + 4y = 7 y que

pasa por el punto Q0 = (4,3) . Dibuje ambas rectas. 23.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto Q0 = (1,−3) y es perpendicular a la recta 2x + 6y = 13 . Dibuje. 24.Obtenga la ecuación del plano Ρ que contiene al punto Q0 = (4,−6,2) y que además es

paralelo al plano P1 = 6x − 2y + 3z = 24{ } . 25.Obtenga el plano que contiene al punto 2,−1,5( ) el cuál es perpendicular a la recta

L = P = 1,3,4( ) + t 3,−4− 9( ){ } . Obtenga su ecuación cartesiana y una ecuación vectorial.

26.Obtenga el plano que pasa por el punto 5,2,0( ) el cuál es perpendicular al vector 4,7,−10( ) . Obtenga su ecuación cartesiana y una ecuación vectorial. 27.Calcule la distancia que hay del punto Qo = (0,0,-1) a la recta L = {(2 – 3t, 1 + t, -3+2t)}

28.Encuentre unas ecuaciones paramétricas y la cartesiana de la recta que pasa por los puntos (0,4,1) y (0,5,0). Dibuje la recta.

29.Obtenga el ángulo que forman las rectas L1 = {(-2,5,6)+ t(1,-1,4)} y L2 = {(x, y, z) | 2x - y +3 z = 4; x+ 7y -2 z = 0}.

30.Encuentre la ecuación vectorial y la cartesiana de la recta que pasa por el punto (3,0,−2) y es paralela a la recta L = {x − 2y = 1 ∧ y − z = 0} 31.Obtenga el plano que pasa por los puntos 5,2,0( ) , 0,3,5( ) y 0,0,10( ) . Obtenga su ecuación cartesiana y una ecuación vectorial.

32.Obtenga la recta que pasa por el punto 3,1( ) y es paralela a la recta

L1 = P = x, y( ) = 2,1( ) + t

13

,2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

/ t ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

33.Encuentre una ecuación vectorial de la recta tangente a la circunferencia

( ) ( )2 22 1 13x y+ + - = en el punto ( )1, 1 .-

34.Un plano pasa por el punto 5,2,−1( ) y su traza con el plano xy es la recta

L = x − 2y + 2 = 0∧ z = 0{ } . Obtenga su ecuación cartesiana y una de sus ecuaciones vectoriales. 35.Obtenga el punto de intersección y el ángulo entre las rectas

{ }1 2 4 , 3, 1L x t y z t= = + = = - + , { }2 2 2 , 3 2 , 1L x s y s z s= = + = + = + 36.Una recta pasa por la intersección de las rectas 032 =+- yx y 0155 =+- yx y es ortogonal a la recta 01=++ yx . Obtenga una ecuación vectorial y la cartesiana de la recta. Dibuje la recta. 37.Encuentre unas ecuaciones paramétricas y la cartesiana de la recta que pasa por los puntos (0,4) y (5,0). Dibuje la recta 38.Encuentre la ecuación vectorial y la cartesiana de la recta que pasa por el punto )5,1,2( - y es paralela al vector (−3,6,−4) 39.Determine una ecuación vectorial y la simétrica de la recta que contiene al punto

( )0 4, 1,2P = - , y es perpendicular al Plano ( ){ }, , / 4x y z x y zP = - + = .

40.Obtenga la ecuación vectorial y cartesiana de la recta que pasa por el punto P0 = (−2,7) y es

ortogonal a la recta 3x − y + 8 = 0 .

41.Obtenga la ecuación del plano Ρ que es paralelo al plano P1 : 6x − 2y + 3z = 24{ } y que se

encuentra a una distancia de 5 unidades del punto Q0 = (4,−6,2) .

42.Obtenga la ecuación cartesiana de la recta L que es ortogonal a 1

2 32 23 24 3

x yL

- += =

- y pasa

por el punto medio del segmento[ ]AB , donde ( ) ( )12, 7 y B 8,5 .A = - = - Haga un croquis de

las rectas. 43.Obtenga la ecuación cartesiana del plano P que contiene a la recta L y es ortogonal al plano 1P siguientes:

( ){ }{ }1

, , / 2 3 2; 4 3 1

2 , 2 ,3 2 5 ,

L x y z x y z x y z

P u v u v u v v R

= - + = + - =

= - + - + + Î

44.Obtenga la ecuación cartesiana del plano que contiene al punto ( )0 1,2, 3Q = - y a la

recta 8.z = . 45.Calcule el ángulo formado por la recta ( ){ }, , 1 2 , 3 , 4L x y z x t y t z t= = - + = = - y el

plano : 2 3 6.x y zP - + = 46.Encuentre el valor de k para que la distancia del origen al plano : 3 6 21 0PL x y kz- + + = sea igual a 3. 47.P es un plano cuya ecuación cartesiana es 2 4x y z+ - = y L la recta perpendicular a P ,que pasa por el origen. Encuentre una ecuación vectorial de L y las coordenadas del punto de intersección de P y L. 48.Obtenga la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta ( ) ( ){ }2,0,1 2,1,1L s= + y es

perpendicular al plano { }5x y zP = + + = . 49.Obtenga la distancia de la recta ( ){ }, , 2 3 6 2 2 4x y z x y z x y z+ + = Ù - + = - al origen.

50.Obtenga la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta

{ }: 2 3 6; 2 2 8L x y z x y z+ - = - - = y es perpendicular al plano

( ) ( ) ( ){ }1 : 5, 3,8 2,2,1 1,2, 3PL u v- + - + - . 51.Obtenga una ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto ( )8,5,9 e interseca

perpendicularmente a la recta ( ) ( ){ }1 12,9,4 1,2,2L s= + - . 52.Obtenga la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto ( )2,4,-1 y es ortogonal a las

rectas 3 2 x-1 2 7 y

1 4 2 3 1 1x y z y z- + + -= = = =

- -.

53.Un plano pasa por el punto ( )5,2, 1- y su traza con el plano xy es la recta

: 2 2 0; 0L x y z- + = = . Obtenga su ecuación cartesiana y una de sus ecuaciones vectoriales.

54.Obtenga una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto ( )3,6,4 y es paralela a la

recta ( ){ }1 , , 3 4 5 12;12 2 15L x y z x y z x y z= + + = - + = .

55.Obtenga una ecuación cartesiana del plano P que es paralelo al plano ( ) ( ) ( ){ }1 : 2,3,2 1,3,4 3,3,8PL u v+ + y que se encuentra a una distancia 6d = de éste.

56.Dada la recta ( ){ }, , 4 2 3 2L x y z x y z x y z= + - = Ù - + = y el plano

( ){ }, , 8 2 7 12 0x y z x y zP = - - - = . Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la recta y

encuentre la intersección entre LÙP . 57.Obtén la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos

( ) ( ) ( )10,3,8 , 14,3,6 y 2,6,15A B C= = = y calcula la distancia del plano al punto

( ) D= 4,6,-4 . 58.Obtenga la ecuación cartesiana del plano que es perpendicular a la recta

4 1 22 4 4x y z- + -

= = y esta a 3 unidades de distancia del origen

59.Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos ( ) ( )1,2,3 , 5,1,2 y es perpendicular al plano coordenado yz. (R3: SUPERFICIES CUÁDRICAS) 1. Obtenga la ecuación de la esfera que contiene a la intersección de las esferas con ecuaciones

012684222 =++--++ zyxzyx y 012644222 =--+-++ zyxzyx y que pasa por el origen. 2. Obtenga la ecuación de la esfera con centro en (3,-3,5) que es tangente al plano xz. 3. Obtenga la ecuación cartesiana y una ecuación vectorial de la esfera de radio 3 que es tangente al plano P = {(x, y, z) | x + y – z = 0} en el punto Qo = (1,1,2). 4. Discuta la superficie }03600144225400|),,{( 222 =--+=S xzyzyx . 5. Describa la superficie cuya ecuación es 4410012259001764 222 =-- yyx . 6. Encuentre e identifique el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio de tal manera que el cuadrado de su distancia al eje z, es siempre igual a su distancia al plano coordenado xy. 7. Discuta, haga un croquis y proporcione unas ecuaciones paramétricas de la superficie S = {(x, y, z) | 16y2 + 36z2 – 9x2 - 144 = 0}. 8. Identifique, dé unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 4x2 – 36y2 – 9z2 – 36 = 0. 9. Identifique y analice la superficie }012432|),,{( 222 =+-+=S zyxzyx y dé unas ecuaciones paramétricas de ella. 10. Haga un bosquejo de la superficie cuya ecuación cartesiana es 632 222 =+- zyx y dé un conjunto de ecuaciones paramétricas para la misma.

11. Identifique, determine su simetría, dé unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 144x – 36y2 – 16z2 = 0. 12.Identifique, determine sus simetrías, de unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y

haga un croquis de la superficie cuya ecuación es Σ = x, y, z( ) / −36x2 + 4y2 − 4z2 = 36{ }

13.Identifique, proporcione unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis

de la superficie cuya ecuación es z = x2 + y2 +1 .

14.Reduzca la ecuación Σ = x, y, z( ) 16x2 + 36z2 = 144{ } a su forma estándar, identifique la

superficie, obtenga sus trazas y bosqueje su gráfica.

15.Reduzca la ecuación Σ = x, y, z( ) − 36x2 + 9y2 − 4z2 = 36{ } a su forma estándar,

identifique la superficie, obtenga sus trazas y bosqueje su gráfica.

16.Reduzca la ecuación Σ = x, y, z( ) x2 + 4z2 = y2{ } a su forma estándar, identifique la

superficie, obtenga sus trazas y bosqueje su gráfica. 17.Encuentre una ecuación vectorial de la recta que pasa por el centro de la circunferencia

x2 + y2 + 4x − 2y −11= 0 y es perpendicular al eje Y. Dibuje.

18.Reduzca la ecuación Σ = x, y, z( ) x2 + 4z2 = y{ } a su forma estándar, identifique la

superficie, obtenga sus trazas y bosqueje su gráfica.

19.Reduzca la ecuación Σ = x, y, z( ) 16x2 + 36z2 = 144{ } a su forma estándar, identifique la

superficie, obtenga sus trazas y bosqueje su gráfica. 20.Identifique, determine su simetría, de unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 2 29 4 36x y z+ = . 21.Los puntos ( ) ( )4,0 y F= 2,1V = son el vértice y el foco de una parábola. Obtenga su ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas con respecto al sistema xy. 22.Obtenga la ecuación vectorial y la ecuación cartesiana de la elipse que pasa por el

punto7 ,32

æ öç ÷ç ÷è ø

con centro en el origen y además su eje menor coincide con el eje x y la longitud

de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. 23.Obtenga una ecuación vectorial de la curva cuya ecuación es 2 28 4 5 60 6 81 0x xy y x y+ + - - + = .

24.El centro de la hipérbola es ( )4,5 , uno de sus focos es ( )8,5 , y su excentricidad 2. obtenga su ecuación cartesiana, una de sus ecuaciones vectoriales y haga un dibujo de ella. 25.Obtenga una ecuación vectorial de la hipérbola conjugada a la que tiene por una ecuación

2 227 78 77 186 2 547 0x xy y x y- - - + + = . 26.Una curva tiene ecuación 2 24 4 12 6 0x xy y x y+ + + - = . Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la misma y haga un croquis de la misma. 27.Obtenga una ecuación vectorial de la curva cuya ecuación cartesiana es

2 28 12 17 92 194 497 0x xy y x y+ + - - + = . 29.Identifica, grafica y da unas ecuaciones paramétricas de la curva que tiene por ecuación 2 23 2 3 2 2 6 2 2 0x xy y x y- + + - + = 30.Discuta la ecuación cuádrica 2 2 216 4 4 1 0x y z- - - = .Dibuje la superficie. 31.Haga un análisis completo de la ecuación. 2 2x y z= - y dibuje la superficie correspondiente 32.Identifique, proporcione unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 2 225 400 16 0x y z- + = . 33.Identifique la superficie cuya ecuación es 2 2 29 36 4 144x y z+ + = y obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con 3z = . Haga un croquis de la superficie 34.Identifique, determine su simetría, de unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de loa superficie cuya ecuación es 2 216 144 9 0x y z+ + = . 35.Identifique y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 2 216 144 9 0x y z- + = . Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xz con 4y = . 36.Obtenga la ecuación cartesiana de la superficie que se genera al girar la curva con ecuación 2 24 16x y+ = alrededor del eje y y dibuje la superficie.

37.Identifica la superficie cuya ecuación cartesiana es 2 2 22 3 6x y z- + = , haz un croquis de la misma y da unas ecuaciones paramétricas para la superficie. 38.Identifique la superficie cuya ecuación es 2 2 264 144 36 576x y z+ + = . Proporcione unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con 2z = y haga un croquis de esta sección. (R3: CILINDROS CONOS Y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN) 1. Obtenga unas ecuaciones paramétricas del cilindro cuya directriz es la curva

}cos224|),,{ qq -=Ù== rzzrC y su generador es paralelo al vector a = )5,2,1(- .

2. Obtenga unas ecuaciones paramétricas del cilindro cuya directriz es la curva C = {(r,q, z) | r = 4cos2q ; z = 2} y la dirección de su generatriz es a = (2,-3,1). 3. Un cilindro está definido por la directriz

}121600)7(64)8(25|),,{( 22 =Ù=+--=G xzyzyx y el vector a = )4,1,2( - . Obtenga su ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de su traza con el plano yz 4. Obtenga la ecuación del cilindro cuya directriz es }02cos3|),,{( =Ù==G xyzzyx y generatriz paralela al vector a = )3,2,3( . 5. Obtenga una ecuación vectorial de la proyección ortogonal de la curva C = {(x, y, z) | 4(y+5)2 + 9x2 = 36 Ù z = 5} sobre el plano P = {(x, y, z) | y – x = 0}. 6. Un cilindro está definido por la directriz G = {(x, y, z) | 25(x – 5)2 + 4(z – 3)2 = 100; y = 4} y el vector a = (1,-2,2). Obtenga su ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con z = 5. 7. Un cilindro está definido por la directriz G = {(x, y, z) | 4(y – 3)2 + 9(z + 4)2 = 36; x = 5} y el vector a = (2,-1,2). Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con z = - 4. 8. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono con directriz G = {(x, y, z) | x2 + y2 = 4; z = 8} y vértice V = (1,-1,2). 9. Un cono está definido por la directriz }10900)6(25)6(36|),,{( 22 =Ù=-++=G zyxzyx y el vértice V = )5,3,1( - . Obtenga su ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de su traza con el plano xy 10. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono con directriz

}325|),,( 22 =+Ù=+= zyyxzyxC y vértice V = )2,3,1( --- 11. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono circular recto con directriz }14|),,{( 22 =Ù=+=G zyxzyx y vértice V = )4,0,0( - . Haga un dibujo del cono. 12. Obtenga la ecuación cartesiana y una ecuación vectorial del cono con vértice en el origen y directriz la curva C = {(r,q , z) | z = 4 Ù r = sen2q }. 13. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono con directriz C = {(x, y, z) | x2 + y2 = 25; y + z = 3} y vértice V = (-1,-3 -2). 14. La directriz de un cono es la curva G = {(x, y, z) | 4(x + 3)2 – 16(z – 5)2 = 64; y = 2} y su vértice es el punto V = (1,-1,2). Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xz con y = - 1. 15. Obtenga la ecuación cartesiana y una ecuación vectorial de la superficie generada al hacer girar la curva C = {(x, y, z) | x = 0 Ù z = (y – 4)2, 3£ y£ 5} alrededor del eje z.

16. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono circular que se genera al girar la curva }420|),,{( =-Ù== zyxzyxC alrededor del eje y . Dibuje la superficie. 17. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cono circular que se genera al girar la curva C = {(x, y, z) | x = 0; 2y - z = 4} alrededor del eje y. Dibuje la superficie. 18. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera al girar la curva }002|),,{( =Ù=-=G xzyzyx alrededor del eje y . 19. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera al girar la curva C = {(x, y, z) | x - 4z = 2; y = 0} alrededor del eje z. Dibuje la superficie. 20. Obtenga unas ecuaciones paramétricas del toro elíptico que se genera al girar la elipse C = {(x, y, z) | 9y2 + 4(z–5)2 = 36; x = 0} alrededor del eje y. 21. Obtenga una ecuación vectorial y la ecuación cartesiana de la superficie S generada al girar la curva G = {(x, y, z) | z = 0; y = 2 – cos x; x Î [0,2p]}, en torno al eje x y haga un croquis de ella. 22. Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera al girar la curva C = {(x, y, z) | 2y + 3z = 6; x = 0} alrededor del eje y. Dibuje la superficie.

22.Un cilindro está definido por la directriz Γ = x, y, z( ) 4x2 + 9y2 − 36 = 0 ∧ z = 5{ } y el vector

a = 1,−1,1( ) . Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano XY

con z = 10 23.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica con directriz

9y2 + 4z2 = 36 ∧ x = 8 y dirección de su generatriz a = 3,2,−1( )

24.Un cilindro está definido por la directriz Γ : x2 − z2 = 36 ; y = 10{ } y el vector a = 2,3,1( ) .

Obtenga su ecuación cartesiana y unas paramétricas.

25.Un cilindro está definido por la directriz Γ = (x, y, z){ x2 − 2z2 = 4∧ y = 3} y su generatriz

está dada por el vector a = (1,8,2) Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie. 26.Obtenga la ecuación cartesiana de la superficie generada al girar la curva

Γ = x, y, z( ) / x − 2( )2

+ y − 4( )2= 1 ∧ z = 0{ } alrededor del eje Y. Haga un croquis de la

superficie.

27.Un cilindro está definido por la directriz Γ = (x, y, z){ y2 − z2 = 3∧ x = 10} y su generatriz

está dada por el vector a = (−2,1,3) Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie.

28.Un cilindro está definido por la directriz Γ = (x, y, z){ x2 + 2z2 = 4∧ y = 3} y su generatriz

está dada por el vector a = (−1,−7,2) Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie.

29.Un cilindro está definido por la directriz Γ = (x, y, z){ x2 − 2z2 = 4∧ y = 3} y su generatriz

está dada por el vector a = (1,8,2) Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie. 30.Obtenga la ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución

que se genera al rotar la curva ( ) ( ) ( )2

25, , / 0 1 1

4z

C x y z x yÙ

ì ü-ï ï= = + - =í ýï ïî þ

alrededor del

ejeY. 31.Obtenga la ecuación cartesiana de la superficie generada al girar la curva

( ) ( ){ }2, , / 4 0x y z x y zÙG = = - = alrededor del eje X. Haga un croquis de la superficie.

32.La directriz de un cilindro es la curva Γ = (x, y, z) 4 x −1( )2

+ 9 z − 2( )2= 36 ∧ y = 3{ } y su

generatriz tiene por dirección al vector a = (1,3,−2) . Obtenga la ecuación cartesiana y unas paramétricas de esta superficie 33.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva 2 22 4 5 3 10 0x xy y x+ + - - = . Grafique. 34.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del cilindro parabólico cuya directriz es ( ){ }2, , / 4 ; 10C x y z x z y= = = con generatriz paralela al vector ( )0,1,5a = .Dibuje la

directriz y una parte de su superficie. 35.Sea C la curva de intersección entre las superficies 2 2 22 y 2.y x z x z= + + = Identifique la curva y obtenga un conjunto de ecuaciones paramétricas para la misma 36.Obtenga la ecuación cartesiana de la superficie generada al girar la

curva ( ) ( ){ }2, , 4 ; 0x y z x y zG = = - = alrededor del eje x. Dibuje la superficie.

37.Obtenga la ecuación cartesiana y unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución

que se genera al rotar la curva ( ) ( ) ( )2

25, , 0; 1 1

4z

C x y z x yì ü-ï ï= = + - =í ýï ïî þ

alrededor del eje y.

38.Un cilindro esta definido por la directriz ( ){ }2, , 20 10 75 0; 4x y z y x y zG = - + - = = y el

vector ( )1,1,1a = .Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con

8.z =

39.Proporcione unas ecuaciones paramétricas y haga un croquis del cilindro con directriz

( ) ( ){ }2, , 16 2 ; 3x y z z x yG = = - = - y cuya generatriz tiene la dirección ( )1,1,2- .

40.Un cilindro esta definido por la directriz ( ) ( ) ( ){ }2 2, , 4 3 9 5 36; 4x y z y z xG = - + + = = - y el

vector ( )1, 2,2 .- Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano yz con

4x = .

41.Un cilindro esta definido por la directriz ( ){ }2 2, , 4 9 36; 5x y z y z xG = + = = y el vector

( )2, 1,2a = - .Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie 42.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la superficie que se genera al girar la curva

( ){ }, , 3 2 0; 0C x y z x z y= + = = alrededor del eje x. Haga un croquis de esta superficie.

43.Una esfera tiene su centro en el punto ( )2, 1,2- y es tangente al plano

( ) ( ) ( ) ( ){ }, , 1, 3, 1 1,2,1 0, 2,1P x y z t r= = - - - + + - , encuentre su ecuación cartesiana.

44.Un cilindro esta definido por la directriz ( ){ }2, , 20 10 75 0; 4x y z y x y zG = - + - = = y el

vector ( )1,1,1a = . Obtenga unas ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xy con

8z = 45.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera

al girar la curva ( ){ }2 2, , 4 0; 0C x y z x z x y= + - = = alrededor del eje x . Dibuje la superficie.

46.Obtén unas ecuaciones paramétricas del cilindro definido por la directriz

( ) ( ) ( ){ }2 2, , 4 3 9 2 36; 2x y z x z yG = - + + = = y el vector ( )1, 2,4a = - y obten unas

ecuaciones paramétricas de su sección paralela al plano xz con 8y = . 47.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la cartesiana, de la superficie de revolución que se

genera al girar la curva ( ) [ ]{ }, , 0, ln , con 1;2x y z x y t z t tG = = = = Î alrededor del eje y.

(R3: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS)

1. Exprese la curva C = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 4 Ù y - x = 0} en coordenadas cilíndricas y proporcione unas ecuaciones paramétricas de ella.

2. Una esfera es tangente a los tres planos coordenados y su centro se localiza en el primer

octante. Si el punto de tangencia de la esfera con el plano XY es 3,3,0( ) . ¿Cuál es su

ecuación cartesiana? 3. Identifique, proporcione unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un

croquis de la superficie cuya ecuación −36x2 + 9y2 − 4z 2 = 1 .

4. Identifique, determine su simetría, de unas ecuaciones paramétricas, obtenga sus trazas y haga un croquis de la superficie cuya ecuación es 2 2 22 0x y z- + =

5. Encuentre la ecuación de la superficie esférica cuyo centro esta sobre el eje x y pasa por los puntos ( ) ( )3, 4,2 y 6,2,-1- .Proporcione unas ecuaciones paramétricas de la superficie.

6. Encuentre las ecuaciones de la superficie esférica que es concéntrica a la que tiene por ecuación{ }2 2 2 6 8 2 1 0x y z x y z+ + - + - + = y que es tangente al

plano : 10x y zR + + = .

7. Una esfera es tangente al plano xy en el punto ( )1,2,0 .Sabiendo que(3,4,2) es otro punto de la esfera, encuentre su ecuación.

8. Encuentre la ecuación cartesiana y unas paramétricas del cono con directriz

( ){ }2 2, , 16; 3C x y z x y z= + = = - y vértice en el origen. Proporcione también su

ecuación en coordenadas esféricas y úsela para dar otras ecuaciones paramétricas del cono.

(R3: CURVAS) 1. Obtenga los cilindros proyectantes, unas ecuaciones paramétricas y haga un croquis de la curva

2 2 2 2 2 2{( , , ) | 16 3 3 2 }C x y z x y z x y z= + + = Ù + = . 2. Para las superficies con ecuaciones 42 222 =+- zyx y 02 =- yx , dé un conjunto de ecuaciones paramétricas para la curva de intersección entre ellas. 3. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva C = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 =25; y + z = 3}. 4. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva C = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 =16; y – z = 0}. 5. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva C = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 =25; y - z = 5}.

6.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera

al girar la curva ( ){ }, , / 3 4 12 x 0C x y z y z Ù= + = = alrededor del eje Y . Dibuje la superficie.

7.Obtenga unas ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la superficie que se genera

al girar la curva C = x, y, z( ) / y − 6( )2

+ z2 = 4 ∧ x = 0{ } alrededor del eje Z . Dibuje la

superficie.

8.Determine una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) x2 + z2 = 36 ∧ x+y = 3{ } .

9.Obtenga la ecuación cartesiana de la superficie generada al girar la curva

( ) ( ){ }2, , / 4 0x y z x y zÙG = = - = alrededor del eje X. Haga un croquis de la superficie.

10.Proponga una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) x2 + 2y2 = 6 ∧ z + y = 2{ }

11.Proponga una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) x2 + z2 = 1 ∧ y = ln 2x( ){ }

12.Proponga una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) 4y2 − x2 = 6 ∧ z + x = 1{ }

13. Proponga una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) x2 + 2y2 = 8 ∧ 2z + y = 2{ }

14.Proponga una parametrización de la curva Γ = (x, y, z) x2 + 2y2 = 6 ∧ z + y = 2{ }

15.Parametrice la siguiente curva ( ) ( ){ }2, , 4 ; 0x y z x y zG = = - =

16.Identifique, determine los elementos y proporcione unas ecuaciones paramétricas de la

curva ( ){ }2 2, 5 4 2 2 0C x y x xy y= + + - = .

17.Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la curva

( ){ }2 2 2 2 2 2, , 2 8; 2 4C x y z x y z x y z= + + = - + = .