www.iplacex.cl

ÁLGEBRA UNIDAD Nº I

Función líneal.

2

www.iplacex.cl

SEMANA 1

Introducción

Cuando se tiene un conjunto de datos que describen una situación

cualquiera, podemos establecer una relación entre estos datos. Por ejemplo, si una

costurera necesita comprar cierta cantidad de tela para su trabajo, sabemos que

mientras más metros requiera, más le va a costar la pieza de tela, es decir, podemos

establecer una relación proporcional entre el costo de la pieza de tela y el número

de metros que requiere comprar. Si deseamos tener una imagen que describa cómo

se comportan estos datos, podemos establecer una función lineal, con el fin de

estandarizar esa relación, en donde para una “x” cantidad de metros, podemos

saber inmediatamente cuanto nos costará la pieza de tela y así, simplificar la vida

de la costurera.

En esta primera parte de la Unidad I, se desarrolla el concepto de función

lineal y para ello se comienza por definir y ejemplificar los conceptos de función y

relación proporcional, de manera gráfica y analítica; para luego abordar los puntos

más importantes de la función lineal, tales como su gráfica y pendiente.

Adicionalmente se desarrollan ejemplos de cómo se modela una situación real a

través de este tipo de función, teniendo como enfoque la resolución de problemas,

lo cual implica comprender la situación problemática, plantear las estrategias de

resolución, ejecutar la estrategia planteada y analizar los resultados.

Con este documento se pretende que el estudiante posea herramientas que

le permitan tener un criterio lógico riguroso para establecer que situaciones

cotidianas pueden ser abordadas, utilizando funciones lineales, encontrar la fórmula

de la función y usarla para resolver problemas.

3

www.iplacex.cl

Ideas Fuerza

1. Concepto de función como la correspondencia entre una variable dependiente

y otra independiente, para definir algebraicamente una situación cotidiana

2. Una función lineal, de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 representa una línea recta al

graficarla, en donde la relación entre sus variables puede ser inversa o

directamente proporcional.

4

www.iplacex.cl

Desarrollo

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Retomando el ejemplo de la costurera. Si un metro de tela cuesta $200; el costo

de una pieza de tela dependerá de la cantidad de metros que tenga la pieza, es

decir, si la pieza tiene 5 metros, el costo de la pieza será $1.000; si tiene 8 metros,

el costo será $1.600, etc.

Entonces, al establecer que el costo de la pieza depende del número de metros

que tenga; “el costo de la pieza es función de la cantidad de metros”. Por lo cual,

una función es una relación entre dos conjuntos numéricos que establece una

correspondencia entre ellos.

Denominemos el costo de la pieza como conjunto A y la cantidad de metros

como conjunto B (ver Figura 1). Como A es función de B (el costo de la pieza es

función del número de metros), se establece una regla que asocia cada elemento

del conjunto A, exactamente con un único elemento del conjunto B, por ejemplo; el

elemento “1000” del conjunto A se asocia con el elemento “5” del conjunto B.

Figura 1 - Esquema Costo de la pieza es función de la cantidad de metros

El conjunto B recibe el nombre de dominio de la función y el conjunto A

recibe el nombre de recorrido, rango o imagen. Por lo tanto, cada elemento “x” del

dominio le corresponde un único elemento “y” llamado recorrido.

Conjunto ACosto de la pieza ($)

y =200

y = 1000

y = 1600

Conjunto Bcantidad de metros (m)

x = 1

x = 5

x = 8

5

www.iplacex.cl

En otras palabras, simples, el dominio son todos los valores a los que aplicar

una función, y el recorrido son los valores que resultan de esa función aplicada; es

decir, siempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es función de

esta última. Se dice que “y” es función de “x” cuando a cada valor de la variable

“x”, corresponde un único valor “y”. A cada valor de la variable “cantidad de

metros” corresponde un único valor de la variable “costo de la pieza”.

La notación para expresar que “y” es función de “x” es:

1.1. ANALOGIA DE ENTRADA Y SALIDA

Una función relaciona una entrada con una salida. Lo que sale (el recorrido)

depende de lo que pones (el dominio).

Volvamos al caso de la costurera. La función que relaciona el costo de la pieza

con la cantidad de metros se define como: 𝑓(𝑥) = 200𝑥 , en donde el dominio (lo

que entra) está definido por el conjunto de los números reales {1,2,3… } ya que la

cantidad de metros no puede ser negativa; y el recorrido será entonces el conjunto

{200, 400, 600… } (ver figura 2).

Figura 2 - Esquema explicativo entrada-salida de una función f(x)=200x

En este ejemplo, 𝑓 es la regla: “multiplicar por 200 el número x”, es decir, el costo

de la pieza de tela va a ser doscientas veces la cantidad de metros.

Así 𝑓(1) significa aplicar la regla 𝑓 al número 1: 𝑓(1) = 200 ∙ 1 = 200 → 𝑦 = 200

Así 𝑓(2) significa aplicar la regla 𝑓 al número 1: 𝑓(1) = 200 ∙ 2 = 400 → 𝑦 = 400

Así 𝑓(5) significa aplicar la regla 𝑓 al número 1: 𝑓(1) = 200 ∙ 5 = 1000 → 𝑦 = 1000

=

=

Recorrido = 200,400,600…

Dominio 1,2,3…

6

www.iplacex.cl

Ejemplo 1 Si 𝑓 es la función definida por la ecuación: 𝑦 = 3𝑥, muestre que 6

está en el recorrido

Solución El número 𝑦 = 6 está en el recorrido ya que la ecuación: 6 = 3𝑥

si tiene solución. De hecho esta ecuación es equivalente a: 𝑥 =6

3

cuya solución es 2. Comprobando se tiene:

𝑦 = 3𝑥 𝑜 𝑓(𝑥) = 3𝑥 → 𝑓(2) = 3 ∙ 2 = 6

Ejemplo 2 Sea 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3. Calcule 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3)

Solución Se haya 𝑓(1) sustituyendo x por 1 → 𝑓(1) = 4 ∙ 1 − 3 = 1

Se haya 𝑓(2) sustituyendo x por 2 → 𝑓(2) = 4 ∙ 2 − 3 = 5

Se haya 𝑓(3) sustituyendo x por 3 → 𝑓(3) = 4 ∙ 3 − 3 = 9

Ejemplo 3 ¿Cuál sería la función que relaciona los números de la derecha

con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 → 1

2 → 4

3 → 9

4 → 16

5 → 25

6 → 36

Solución Los números de la derecha son los cuadrados de los números de

la izquierda, por lo tanto la regla 𝑓 es: “elevar el número al

cuadrado”, en términos algebraicos, la función es: 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Así 𝑓(1) significa aplicar la regla 𝑓 al número 1:

𝑓(1) = 12 = 1 → 𝑦 = 1

Así 𝑓(3) significa aplicar la regla 𝑓 al número 3:

𝑓(3) = 32 = 9 → 𝑦 = 9

Nota: Recuerde que 𝑓(𝑥) significa “evaluada en x”, no “por x”. Por lo tanto 𝑓(3) significa” la función evaluada en 3”

7

www.iplacex.cl

1.2. VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

Con esta notación definimos una función, es decir, una relación entre dos variables. Esta relación o correspondencia que define una función se puede dar mediante una ecuación, una formula, una lista, una regla, una tabla o simplemente enumerando los pares ordenados que conforman la función.

Por lo general, a una función, se le denomina con las letras “x” e “y”, pero el uso de otras letras es aceptable, por ejemplo, 𝐴 = 𝑓(𝑏), en donde “A” representa el área de un cuadrado y “b” representa el lado de éste. Por tanto, “el área de un cuadrado es función de los lados de éste”.

Entonces, volviendo a la función representativa: 𝑦 = 𝑓(𝑥), podemos identificar dos tipos de variables:

• Variable Independiente

: A “x” se le denomina variable independiente que es un elemento del dominio. Se emplea la palabra independiente para indicar que se puede elegir cualquier elemento “x” del dominio.

• Variable Dependiente

: A “y” o “𝑓(𝑥)” se le denomina variable dependiente que es un elemento del recorrido. Se emplea la palabra dependiente para indicar que, una vez elegida “x”,” y” está determinada por la función

Siempre que los valores de una variable “y” dependen de los valores de otra variable “x”, “y es función de x”; la palabra función indica dependencia, es decir, a cada valor de la variable independiente “x” le corresponde un único valor de la variable dependiente “y”

1.3. FUNCIONES EN EL LENGUAJE COTIDIANO

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones algebraicas

equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Un conjunto

de datos depende de otro conjunto de datos. Los valores de la variable “y” dependen

de los valores de la variable “x”.

=

8

www.iplacex.cl

Esta dependencia de variables la podemos observar en diferentes situaciones

cotidianas, desde lo más simple hasta lo más complejo, tales como:

− El costo de una llamada telefónica que depende de su duración.

− El salario de un trabajador que depende del tiempo que le dedica a su trabajo

− El costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

− El tiempo que tarda en llenarse un depósito de agua que depende del caudal

de un grifo

− El costo de la factura de luz que depende del consumo efectuado.

− El tiempo que dedica un médico a cada paciente que depende del número

de pacientes que asiste a su consulta médica.

− El precio de un producto que depende de la demanda del mercado

− La distancia recorrida por un cuerpo en caída libre que depende del tiempo

que emplea en caer.

− La resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia

de potencial constante que depende de la intensidad de la corriente

− El peso obtenido en un estudio de los efectos nutricionales en ratas

alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína, que depende

del porcentaje de levadura aplicado en la mezcla de proteína.

− El volumen de un gas ideal sometido a una temperatura constante que

depende de la presión a la que esté sometido

En general, la mayoría de las situaciones cotidianas, como las mencionadas,

pueden establecerse como una función algebraica cuando se conoce la

dependencia, y estas funciones son expresables por formulas o ecuaciones de

diferentes tipos, dependiendo del tipo de función, los cuales se irán analizando

posteriormente (función lineal, función cuadrática, función exponencial, función

logarítmica)

9

www.iplacex.cl

2. CONCEPTO DE RELACION PROPORCIONAL

Es importante entender que el concepto de función implica la dependencia de variables. Pero no basta con saber qué “y” depende de “x”, interesa mucho saber cómo depende “y” de “x”, de qué modo varia “y” cuando varía “x”. La relación que liga a las variables es lo que se llama ley de dependencia entre las variables.

No en todas las funciones se conoce de un modo preciso la relación matemática o analítica que liga a la variable independiente con la variable dependiente. Sin embargo, dentro de las funciones en las que se conoce de un modo preciso la relación analítica entre las variables, podemos distinguir dos tipos de relación:

Relación directa : Se dice que “y” varia directamente a “x” o que “y” es directamente proporcional a “x” cuando multiplicando o dividiendo una de estas dos variables por una cantidad, la otra variable queda multiplicada o dividida por esa misma cantidad.

Ejemplo 4 Sí 𝑓 es la función que representa un tren que se mueve a

velocidad constante, definida por la ecuación: 𝑦 = 3𝑥, en donde

“y” corresponde al recorrido en km y “x” corresponde al tiempo

que tarda.

¿Corresponde a una relación directa de las variables?

Solución Si demora 10 minutos, entonces recorre 30 km

𝑠𝑖 𝑥 = 10 → 𝑦 = 3 ∙ 10 = 30

Si demora 20 minutos, entonces recorre 60 km

𝑠𝑖 𝑥 = 20 → 𝑦 = 3 ∙ 20 = 60

Es una relación directa, ya que al multiplicar la variable “x” por

dos, es decir, pasar de 10 minutos a 20 minutos; la variable “y”

quedó multiplicado por dos, al pasar de 30 km a 60 km.

Nota: En general, si “y” es directamente proporcional a “x”, la relación entre “x” e “y”

es constante 𝑦

𝑥= 𝑘; luego designado esta constante por “𝑘”, tenemos:

𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥

10

www.iplacex.cl

Relación inversa : Se dice que “y” varia inversamente a “x” o que “y” es inversamente proporcional a “x” cuando multiplicando o dividiendo una de estas dos variables por una cantidad, la otra variable queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por la misma cantidad

Ejemplo 5 Sí 𝑓 es la función que representa una obra definida por la

ecuación: 𝑦 =60

𝑥, en donde “y” corresponde al tiempo empleado

en hacer la obra y “x” corresponde a la cantidad de hombres.

¿Corresponde a una relación inversa de las variables?

Solución Si se emplean 10 hombres, entonces demora 6 horas

𝑠𝑖 𝑥 = 10 → 𝑦 = 𝑦 =60

10= 6

Si se emplean 20 hombres, entonces demora 3 horas

𝑠𝑖 𝑥 = 20 → 𝑦 = 𝑦 =60

20= 3

Es una relación inversa, ya que al multiplicar la variable “x” por

dos, es decir, pasar de 10 hombres a 20 hombres; la variable “y”

quedó dividida por dos, al pasar de 6 horas a 3 horas.

Nota: En general, si “y” es inversamente proporcional a “x”, el producto entre “x” e “y” es constante 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘; luego designado esta constante por “𝑘”, tenemos:

𝑦 =𝑘

𝑥

3. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

3.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Dos líneas rectas perpendiculares entre sí, que se cortan, constituyen un

sistema de ejes coordenados llamado sistema de coordenadas cartesianas,

como se puede apreciar en la figura 3.

11

www.iplacex.cl

La línea horizontal se denomina eje de las x o eje de las abscisas y la línea

vertical se denomina eje de las y o eje de las ordenadas. El punto O se llama

origen de las coordenadas.

Cualquier distancia medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha es

positiva y de O hacia la izquierda es negativa.

Cualquier distancia medida sobre el eje de las y de O hacia arriba es positiva

y de O hacia abajo es negativa.

Conociendo las coordenadas “x” e “y” correspondiente a una función, se puede

fijar ese par de coordenadas como punto en el plano

Figura 3 - Sistema de coordenadas cartesianas

3.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥), sabemos que para cada valor de “x” corresponde un valor de

“y”. Tomando los valores de “x” como abscisas y los valores de “y” como ordenadas,

obtendremos una serie de puntos, los cuales pueden ser tabulados a través de una

tabla de valores.

El conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano cartesiano será una línea,

que es el grafico de la función 𝑓 o bien, el grafico de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) que

representa la función.

X X

𝑥,𝑦

Y

Y

𝑥,𝑦

𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦

O

12

www.iplacex.cl

En la práctica basta obtener unos cuantos puntos y unirlos convenientemente

para obtener, con bastante aproximación, el grafico de la función.

Ejemplo 6 Representar gráficamente la función 𝑦 = 2𝑥.

Solución Dando valores a “x” obtendremos una serie de valores

correspondientes de “y”; los cuales suelen disponerse en una

tabla como se indica a continuación, escribiendo debajo de cada

valor de “x” el valor correspondiente de “y”:

Tabla de valores:

Tenemos que para 𝑥 = 0, obtenemos 𝑦 = 0; lo cual nos indica que

el origen es un punto del gráfico.

Representando los valores de “x” como abscisas y los valores

correspondientes de “y” como ordenadas, obtenemos la serie de

puntos que aparecen en el siguiente gráfico, en donde la línea

recta que pasa por el origen es el gráfico de 𝑦 = 2𝑥

Gráfica de la función:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

Y

XXO

13

www.iplacex.cl

Ejemplo 7 Representar gráficamente la función 𝑦 = 𝑥 + 2.

Solución Dando valores a “x” obtendremos una serie de valores

correspondientes de “y”

Tabla de valores:

Representando los valores de “x” como abscisas y los valores

correspondientes de “y” como ordenadas, obtenemos la serie de

puntos que aparecen en el siguiente gráfico, en donde la línea

recta que no pasa por el origen es el gráfico de 𝑦 = 𝑥 + 2

Gráfica de la función:

Observe que el punto , donde la recta corta el eje de las “y”, se

obtiene haciendo 𝑥 = 0, y el punto 𝑄, donde la recta corta el eje

de las “x”, se obtiene haciendo 𝑦 = 0. 𝑂 se llama intercepto

sobre el eje de las “y”, y 𝑂𝑄 intercepto sobre el eje de las “x”.

Observe, además, que 𝑂 = 2, igual que el termino

independiente de la función 𝑦 = 𝑥 + 2

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

Y

XX

P

QO

14

www.iplacex.cl

4. FUNCION LINEAL

Probablemente el tipo de función más simple, y uno de los más útiles, es la

función lineal. Si bien sabemos que, dentro de una función, tenemos variables

(dependientes e independientes) también podemos encontrar constantes, como

pudimos observar en el ejemplo 7.

La función 𝑓 es una función lineal si:

o bien,

Esta ecuación es corresponde a la forma denominada forma pendiente-

intersección. Donde “x” e “y” son números reales que corresponden a las variables

independiente y dependiente, respectivamente. Donde “m” y “n” son números reales

que corresponden a las constantes de una función lineal.

Visto lo anterior, podemos establecer los siguientes principios:

a) Toda función de primer grado, de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 representa una línea

recta al graficarla y por eso se denomina función lineal. Al ser una recta,

podemos determinar un comportamiento lineal de la función, es decir, la

relación entre sus variables puede ser inversa o directamente proporcional

b) Los términos “x” e “y” corresponden a las variables de la ecuación, en donde

“y” depende de “x”. El término “m” es una constante que representa la

pendiente de la recta y el término independiente “n” es una constante que

representa el intercepto con el eje “y”.

c) Si la función carece de término independiente, o sea si la función es de la

forma 𝑦 = 𝑚𝑥, donde “m” es constante, la línea recta que ella representa

pasa por el origen.

d) Si la función tiene término independiente, o sea si la función es de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde “m” y “n” son constantes, la línea recta que ella representa

no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de las “y” es igual al término

dependiente “n”.

= +

= +

15

www.iplacex.cl

Ejemplo 8 Representar gráficamente la función 𝑦 = 2𝑥 − 1.

Solución Tabla de valores:

Gráfica de la función:

Observe que de la forma de la ecuación es: 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑛, por lo

cual corresponde a una función lineal, de la cual podemos

obtener:

• 𝑚 = 2, por lo cual la pendiente de la recta es igual a 2. La

pendiente corresponde a la relación entre la altura y la

base. Aquí vemos que por cada unidad recorrida en “x”, la

recta sube 2 unidades en “y”

• 𝑛 = −1, por lo cual el intercepto de la recta es igual a -1.

Aquí vemos que la recta se cruza con el eje “y” en el punto

𝑦 = −1.

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) -5 -3 -1 1 3 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Y

XX

Intercepto con el eje y

base = 1

altura = 2

pendiente = 2

16

www.iplacex.cl

4.1. FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES

Supongamos que 𝑓 es una función definida en un intervalo de un cierto conjunto

numérico, donde 𝑥1 y 𝑥2 son valores dentro del intervalo, siendo 𝑥1 < 𝑥2

• Entonces es creciente, si 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2), siempre que 𝑥1 < 𝑥2

Por ejemplo: si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 , evaluaremos 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2

Para 𝑥1 = 1 → 𝑓(𝑥1) = 1 + 1 → 𝑓(𝑥1) = 2

Para 𝑥2 = 2 → 𝑓(𝑥2) = 2 + 1 → 𝑓(𝑥2) = 3

Por lo tanto 𝑦 = 𝑥 + 1 es una función creciente ya que 2 < 3

• Entonces es decreciente, si 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2), siempre que 𝑥1 < 𝑥2

Por ejemplo: si 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 , evaluaremos 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2

Para 𝑥1 = 1 → 𝑓(𝑥1) = −1 + 1 → 𝑓(𝑥1) = 0

Para 𝑥2 = 2 → 𝑓(𝑥2) = −2 + 1 → 𝑓(𝑥2) = −1

Por lo tanto 𝑦 = 𝑥 + 1 es una función decreciente ya que 0 > −1

• Entonces es constante, si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), para todo 𝑥1 y 𝑥2

Por ejemplo: si 𝑓(𝑥) = 1 , evaluaremos 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2

Para 𝑥1 = 1 → 𝑓(𝑥1) = 1

Para 𝑥2 = 2 → 𝑓(𝑥2) = 1

Por lo tanto 𝑦 = 𝑥 + 1 es una función constante ya que 1 = 1

Esta definición se refiere a lo que sucede con los valores de la función al avanzar

de izquierda a derecha. Por lo tanto, la representación gráfica de estos tres tipos

de funciones descritas, estará relacionado directamente con la pendiente de la

recta

• Si el valor de la pendiente es positivo, la función es Creciente.

17

www.iplacex.cl

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 donde 𝑚 = 1 (cada vez que “x” se incrementa en 1

unidad, “𝑓(𝑥)” se incrementa 1 unidad)

• Si el valor de la pendiente es negativo, la función es Decreciente.

𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 donde 𝑚 = −1 (cada vez que “x” se incrementa en 1

unidad, “𝑓(𝑥)” disminuye 1 unidad)

• Si el valor de la pendiente es cero, la función es Creciente.

𝑓(𝑥) = 1 donde 𝑚 = 0 (cada vez que “x” se incrementa en 1

unidad, “𝑓(𝑥)” se mantiene constante, no aumenta ni

disminuye). Su gráfica es una recta paralela al eje x

Figura 4 - Tipos de gráficos: Función creciente (m>0), Función decreciente (m 0 m < 0 m = 0

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 1𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1

18

www.iplacex.cl

Sugerencias para graficar:

• Para empezar a graficar, se recomienda elaborar una tabla de

valores, luego ubicar los pares de puntos de la tabla en el plano

cartesiano y finalmente hay que unirlos con una línea recta.

• Los valores de x son asignados arbitrariamente, para esto sería

bueno usar valores pequeños para facilitar las operaciones, luego

en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

Problema 1

En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, cuya medida inicial es

de 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al

tiempo, viendo que en la primera semana ha logrado una altura de 2.5 cm.

Establecer una función que represente la altura de la planta en función del

tiempo y representar gráficamente.

Solución

Para hallar la función que represente la situación planteada, debemos definir los

valores de una función lineal: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛

− Las variables: “y” o “𝑓(𝑥)” representa la variable altura, que depende de la

variable “x” que representa el tiempo.

− La altura inicial es de 2𝑐𝑚, luego el crecimiento semanal es de 2.5 − 2 = 0.5𝑐𝑚

(esto indica que al incrementar “x” en 1 semana, 𝑓(𝑥) se incrementa 0.5 cm de

altura, existe una relación directa entre las variables). Por lo tanto la pendiente

es 𝑚 = 0.5 (pendiente positiva, función creciente)

− El intercepto “n” corresponde a la altura inicial de la planta, ya que, al saber que

la pendiente es 0.5, para un 𝑥 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0.5 ∗ 0 + 2 = 2. (Es decir, para la

semana 0, la altura de la planta debiese corresponder a la altura inicial)

Por tanto la función que representa el problema planteado es: 𝑦 = 0.5𝑥 + 2

19

www.iplacex.cl

Problema 2

Claudia quiere invitar a tres de sus amigas al cine y la entrada al cine más cercano

a su casa tienen un costo de $ 3.500.

a) ¿Cuál es la variable dependiente e independiente?

b) ¿Cuál es el valor que debe cancelar Claudia por 3 entradas?

c) ¿Cuánto pagará Claudia si invita a 5 amigas?

Solución

a) Definiendo los valores de la función lineal, tenemos que la variable

dependiente “y” que se identifica en esta situación es “el valor que cancelará

Claudia por el total de las entradas al cine”, que depende de la variable

independiente “x”, que representa el “número de amigas que Claudia invitará

al cine”.

Por tanto la función que representa el problema planteado es: 𝑦 = 3500𝑥

b) Debemos evaluar la función en 𝑥 = 3, 𝑓(3) = 3500 ∙ 3 = 10.500

Si Claudia invita a 3 amigas al cine debe cancelar $ 10.500 por las entradas.

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

altu

ra (

cm)

semanas

20

www.iplacex.cl

c) Debemos evaluar la función en 𝑥 = 5, 𝑓(5) = 3500 ∙ 5 = 17.500

Si Claudia invita a 5 amigas al cine debe cancelar $ 17.500 por las entradas.

Problema 3

El sueldo de un vendedor está dado por la función lineal 𝑦 = 0.1𝑥 + 300.000,

donde “x” representa el valor de las ventas que el vendedor realizó durante el mes.

Si vendió $ 100.000 durante el mes de julio, ¿Cuál fue el sueldo que recibió ese

mes?

Solución

Debemos evaluar la función en 𝑥 = 100.000

𝑓(100.000) = 0.1 ∙ 100.000 + 300.000 = 310.000

El sueldo del vendedor en el mes de julio fue de: $ 310.000

21

www.iplacex.cl

Conclusión

Este documento fue elaborado con la finalidad de acercar al estudiante al

concepto que conlleva el término función, como una regla que se establece

matemáticamente entre una variable “x” que depende de otra variable “y”. Además,

lograr un mejor entendimiento de esta relación entre las variables, al contextualizar

situaciones cotidianas en ejemplos y desarrollo de ejercicios resueltos.

Se hace relevante entender el concepto de función y relación entre variables,

ya que prácticamente toda situación se relaciona mediante reglas o

correspondencia de un conjunto de datos con otro. He ahí, cuando las funciones

lineales son una herramienta imprescindible de las matemáticas ya que tienen

múltiples usos en el mundo real y las aplicamos de manera inconsciente en nuestra

forma de razonar, para finalmente tomar decisiones cotidianas, sean estas simples

o complejas.

A través de este documento, usted relacionó los parámetros básicos para

entender a grandes rasgos el comportamiento de una función lineal, entendiendo

en primera instancia la dependencia de las variables involucradas “x depende de y”.

Además, la forma en cómo se relacionan estas variables, ya sea de manera directa

o de manera inversa. Luego se desarrolló algebraicamente la función, entendiendo

los conceptos de pendiente e intercepto, con el fin de ligar una regla algebraica con

una gráfica representativa, en donde podemos analizar el comportamiento de la

función para cualquier dato representativo involucrado.

Duplicar una receta de un pastel, determinar la cantidad de bebidas que

puedo comprar para una fiesta con cierto presupuesto, el costo acumulado de una

deuda de alquiler de cinco meses, conocer la cantidad de leña suficiente para una

noche, cuanta pintura se necesita para repintar las habitaciones del piso de arriba

o comprar suficiente gasolina para ir y venir de un determinado lugar. En todas estas

acciones o toma de decisiones estas usando funciones lineales, muchas veces de

manera no consiente, pero las funciones lineales a través de sus ecuaciones

proporcionan respuestas en cualquier aspecto de la vida, están en todas partes, ya

que todo comportamiento puede ser modelado algebraicamente a una función.

22

www.iplacex.cl

Referencias Bibliográficas

• Carreño, X., Cruz, X, (2012). Álgebra, México, Editorial Mc Graw Hill.

• Baldor, A., (2006). Algebra, México, Primera edición: Publicaciones Cultural

• Rees, P., Sparks, F, (1991). Álgebra, México, Décima edición: Mc Graw Hill

23

www.iplacex.cl