COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

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ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

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ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS

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JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA

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Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

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Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira

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Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Matemática e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, primavera de 2019.

João Carlos Moreira

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Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q

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ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem histórica 00

2 Abordagem algébrica 00

2.1 Construção dos números algébricos 00

2.2 Aritmética dos números algébricos 00

2.2.1 Operação de adição 00

2.2.2 Operação de subtração 00

2.2.3 Operação de multiplicação 00

2.2.4 Operação de divisão 00

3 Abordagem geométrica 00

3.1 Representação geométrica dos números algébricos 00

4 Abordagem computacional 00

4.1 Representação dos números algébricos 00

4.2 Algoritmos 00

5 Abordagem prática 00

6 Abordagem avançada 00

7 Referências bibliográficas 00

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1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Fig 1. Biografia de Pitágoras de Samos

Fig 2. Ice Age Tools Hint at 40,000 Years of Bushman Culture

ABORDAGEM HISTÓRICA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

1

Pitágoras de Samos (c. 569 a.C.–475 a.C.), foi um dos principais matemáticos da Grécia antiga. Dentre suas contribuições, destacamos os principios das teorias dos números e da geometria desenvolvida pelos membros de sua escola.

1 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta as origens da humanidade.

2 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o osso de Lebombo, data de aproximadamente 35.000 a.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo ou como uma unidade de medida. Ele foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia. As incisões que aparecem nesse osso, podem ter sido as primeiras representações de números da nossa história.

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2 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

3 De acordo com Euclides, unidade é aquilo segunda a qual cada uma das coisas existentes é dita uma e número é a quantidade composta de unidades.

5 Inicialmente o ser humano usava números apenas para contar coisas da natureza, daí a origem dos números

algébricos naturais.

4 Um número que é solução de uma equação polinomial de grau n com coeficientes inteiros ou em um corpo, é chamado de número algébrico. Se além disso, esse número não for solução de nenhuma equação polinomial do mesmo tipo de grau menor que n, então ele é chamado de número algébrico

de grau n.

6 Durante a idade da pedra, parece não ter sido necessário o uso de números algébricos não naturais para realizar as atividades básicas do cotidiano, ele utilizava unidades suficientemente pequenas.

7 Com o advento de culturas mais avançadas, as atividades do dia-a-dia tornaram-se mais complexas e levaram o homem a desenvolver técnicas para mensuração de grandezas como comprimento, área, volume, tempo, ângulo, dentre outras. Para isso, foi fundamental a criação de outros números algébricos, provavelmente durante a idade do bronze (c. 3300 a.C. – 700 a. C.).

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3 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

8 Entre 1950 a.C. e 1750 a.C., temos algumas evidências arqueológicas (tabletes de argila) que comprovam que os babilônicos já resolviam algumas equações algébricas.

9 Pitágoras de Samos (569 a.C. – 475 a.C.) é considerado por muitos como o primeiro matemático puro. Sua escola tinha como lema que “tudo é número”. Existia uma forte associação das relações numéricas com os objetos que os cercavam. Segundo o filósofo grego Proclus (411-485), a descoberta de números algébricos irracionais se deve a Pitágoras, apesar desses números não se enquadrarem na filosofia de sua escola de que número era a razão entre números algébricos naturais.

11 De acordo com Euclides (c. 325 a.C. – 265 a.C.), razão é a relação de certo tipo concernente as medidas a e b de duas grandezas de mesmo gênero.

10 Por volta de 425 a.C., Teodorus de Cirene (465 a.C. – 398

a.C.) provou que alguns números na forma √𝑎, onde (∄𝑏)(𝑎 = 𝑏2), eram algébricos irracionais. Platão descreve

que ele provou que √2, √3, √5, ⋯ , √17 são algébricos

irracionais, mas por algum motivo, ele parou em √17. Já

existia uma prova disso para √2, mas não sabemos quem a apresentou. Alguns historiadores acreditam que tenha sido o próprio Pitágoras, uma vez que Teodorus era membro da sua sociedade.

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4 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Fig 3. Numerais chineses

13 Algumas evidências arqueológicas apontam que o zero usado como um lugar vazio na representação posicional, pode ter ocorrido c. 700 a.C. na Mesopotâmia, não com a sua notação usual. Não conseguimos estabelecer uma data exata para o surgimento dos números negativos, mas sabemos que um dos registros mais antigos do seu uso data da Dinastia Han (206 a.C. – 220) na China. Eles eram usados em cálculos comerciais e fiscais. Os números negativos eram representados por varetas pretas e os números positivos por varetas vermelhas.

12 Uma razão pode ser expressa de diferentes formas:

• razão de a para b;

• a está para b;

• a: b; • a/b; e

• quociente da divisão de a por b, denotado por a

b.

Os números a e b são os termos da razão, sendo a o

antecedente e b o consequente. Quando a razão for expressa

pela fração a

b, a será chamado de numerador e b de

denominador. Quando o numerador for um número inteiro e

o denominador for um número inteiro não nulo a razão a

b será

um número racional. Quando duas ou mais razões forem iguais a um mesmo valor k, dizemos que os seus termos são proporcionais ou estão em proporção. Neste caso, k será chamada de constante de proporcionalidade.

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5 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

14 Na Índia, o conceito de números negativos foi introduzido por Brahmagupta (598-670), quando ele associou as ideias de 'fortunas' e 'dívidas' com números positivos e negativos. Na sua obra Brahmasphutasiddhanta, publica em 628, ele define o zero como a diferença entre um número e ele mesmo.

15 Além disso, ele estabeleceu as primeiras regras para a aritmética dos números negativos. Destacamos algumas:

• A soma de zero e um número negativo é negativo.

• A soma de um número positivo e zero é positivo.

• A soma de zero e zero é zero.

16 Brahmagupta (598-670) erroneamente afirmou que zero dividido por zero era zero.

17 Nessa época, um novo sistema numérico posicional foi estabelecido, acrescentando-se o zero e os negativos no antigo sistema numérico da Índia.

18 Bhaskara II (1114-1185) utilizou de forma muito eficiente os números negativos, ele deduziu a fórmula

√𝑥 ± √𝑦 = √𝑥+√𝑥2−𝑦

2± √𝑥−√𝑥2−𝑦

2 .

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19 Leonardo Pisano (1170 - 1250) ou Fibonacci, através de sua obra Liber Abaci publicada em 1202, colaborou significativamente com a difusão dos numerais indianos na Europa.

20 Alguns símbolos surgiram quando a álgebra chegou na Eu-ropa durante o período do Renascimento. Em 1360, Nicole de Oresme (1323-1382) introduz o símbolo da soma (+), em subs-tituição a palavra “et”. Em 1489, o alemão Johannes Widmann (1462-1498) publica o livro intitulado Behende und hupsche Rechnung auf allen kauffmanschafft, onde aparece pela pri-meira vez o uso do sinal (-) para a subtração. O sinal da relação de igualdade (=) surgiu algum tempo depois, no livro The Whetstone of Witte do britânico Robert Recorde (1510-1558) publicado em 1557.

21 A compreensão e a aceitação dos algébricos não positivos foi um processo demorado. Grandes matemáticos, como por exemplo Stiefel (1486-1567), Cardano (1501-1576), Descartes (1596-1650) e Viète (1540-1603) renegaram a existência dos nú-meros negativos, daí o porquê os chamamos de números ne-gativos. Outros admitiam a sua existência, mas estabeleceram como regra que durante os cálculos em que eles aparecessem, os mesmos deveriam ser eliminados no final.

22 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da álgebra na Europa.

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23 Albert Girard (1595-1632) utilizou números negativos para conjecturar que uma equação polinomial admite o mesmo nú-mero de raízes que o seu grau.

24 Os matemáticos René Descartes (1596-1650) e John Wallis (1616 - 1703) contribuíram para dar um outro significado para os números negativos inventando a reta numérica.

25 O matemático holandês Simon Stevin (1548-1620) publicou em 1585 um livreto chamado de La Theinde (O Décimo) que ga-nhou grande popularidade na Europa. Ele continha uma des-crição completa das frações decimais, embora elas já fossem utilizadas pelos árabes e chineses há muito tempo antes. O ma-temático escocês John Napier (1550-1617) melhorou a notação de Simon Stevin (1548-1620) para frações, introduzindo o ponto decimal.

26 À partir do ano 1600 os números algébricos negativos pas-saram a ser amplamente utilizados, apesar de muita resistên-cia. Dentre os símbolos que foram utilizados para representar os números algébricos, destacamos os numerais indianos.

27 Os números algébricos da forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números racionais foram estudados sistematicamente por Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e receberam o nome de números gaussianos.

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32 Em 1882, Ferdnand von Lindemann (1852-1939) estabelece um teorema onde prova que 𝜋 e 𝑒𝛼 , 𝛼 algébrico não nulo, são ambos não algébricos. Em 1885, Karl Weiestrass (1815-1897) estabelece uma forma mais geral desse teorema. Decorreu disso, a resolução dos problemas clássicos da duplicação do cubo, da trissecção de um ângulo e da quadratura do cubo.

28 Durante as tentativas de Ernest Eduard Kummer (1810-1893) provar o Teorema de Fermat ele introduziu o conceito de números ideais e alguns dos elementos da teoria dos números algébricos.

29 O desenvolvimento da teoria dos números algébricos se deve em grande parte a Peter Dirichlet (1805-1859), Leopold Kronecker (1823-1891), David Hilbert (1862-1943). Destacamos também alguns matemáticos russos, Egor Ivanovich Zolotarev (1847-1878), Georgy Fedoseevich Voronoy (1868-1908), Andrei Andreyevich Markov (1856-1922), Yulian-Karl Vasilie-vich Sokhotsky (1842-1927).

30 Em 1844, Joseph Liouville (1809-1882) na tentativa de mostrar que o número 𝑒 era não algébrico ele acaba descobrindo e provando que a classe de números da forma ∑ 10−𝑛!+∞

𝑛=1 que não são algébricos. Esses foram os primeiros números não algébricos a serem provados.

31 Em 1874, Georg Cantor (1845-1918) publica um artigo onde mostra que a cardinalidades do conjunto dos números algébricos reais é a mesma dos naturais e a existência de uma quantidade não enumerável (muito grande) e quase desconhecida de números não algébricos reais.

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33 Somente no século XIX, Giuseppe Peano (1858-1932), apresenta um conjunto de axiomas para a formalização da aritmética dos números naturais, em The principles of arithmetic, presented by a new method publicado em 1889, que possibilitou uma construção formal dos números naturais, em seguida os inteiros, os racionais e os algébricos.

34 O conceito de um número algébrico e o conceito relacionado de um corpo numérico algébrico foram muito importantes no desenvolvimento da teoria dos números e da álgebra.

35 O conjunto dos números algébricos formam um subcorpo dos números reais e complexos com propriedades algébricas especiais. O desenvolvimento da teoria dos números algébri-cos influenciou bastante a criação e o desenvolvimento da teo-ria geral dos anéis e corpos.

36 Os números algébricos encontraram inúmeras aplicações na teoria dos números, álgebra e outros áreas da matemática: a te-oria das formas, equações diofantinas, aproximações diofanti-nas, números transcendentais, geometria dos números, geome-tria algébrica, teoria de Galois, etc.

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[2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

[4] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[6] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.

[8] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

[1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover

Publicaitions, 1995.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

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[5] LANG, S. Algebraic numbers. USA: Addison-Wesley, 1964.

[7] Weyl, H. Teoria algébrica dos números. Princeton

Univ. Imprensa,1959.

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Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

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