Lezaun Mikel - Se Puede Mejorar Los Recursos.PDF

Se puede mejorar los recursos?

porMikel Lezaun, Universidad del Pas Vasco-Euskal HerrikoUnibertsitatea

En este artculo se presentan y comentan los tres grandes pilares del mtodoMatemtico e Informtico en su ms amplia acepcin: La modelizacin mate-mtica, el anlisis y la simulacin, el control o intervencin en los sistemas.Se dan muchos ejemplos de aplicaciones de las matemticas en otras cienciaso ingeniera, incidiendo en las situaciones en que conocemos que actualmenteestn contratando a matemticos. Para terminar se presentan dos proyectosde colaboracin con empresas que en ltimo trmino suponen una mejor uti-lizacin de los recursos de la empresa.

1. IntroduccinSe puede considerar que el proceso de matematizacin de la ciencia comienza

en el siglo XVII. Para poder aplicar las matemticas en otras ciencias, primerotuvieron que alcanzar un cierto grado de madurez, que podemos sintetizar en lossiguientes logros: lgebra simblica (Franois Vite (1540-1603)), renacimientode la Teora de Nmeros (Pierre Fermat (1601-1665)), Clculo de Probabilida-des (Blaise Pascal (1623-1662) y Fermat), Geometra Analtica (Ren Descartes(1596-1650)), Clculo Infinitesimal (Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac New-ton (1643-1726)).

Galileo (1564-1642) cree que el mundo acta de acuerdo a leyes matemticassimples e inmutables, y que los principios fundamentales de la fsica se debendescubrir de forma emprica, de la observacin de la naturaleza, de la experimen-tacin. La mecnica es la primera ciencia a la que se aplica el mtodo matemtico

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Se puede mejorar los recursos?

porMikel Lezaun, Universidad del Pas Vasco-Euskal HerrikoUnibertsitatea

En este artculo se presentan y comentan los tres grandes pilares del mtodoMatemtico e Informtico en su ms amplia acepcin: La modelizacin mate-mtica, el anlisis y la simulacin, el control o intervencin en los sistemas.Se dan muchos ejemplos de aplicaciones de las matemticas en otras cienciaso ingeniera, incidiendo en las situaciones en que conocemos que actualmenteestn contratando a matemticos. Para terminar se presentan dos proyectosde colaboracin con empresas que en ltimo trmino suponen una mejor uti-lizacin de los recursos de la empresa.

1. IntroduccinSe puede considerar que el proceso de matematizacin de la ciencia comienza

en el siglo XVII. Para poder aplicar las matemticas en otras ciencias, primerotuvieron que alcanzar un cierto grado de madurez, que podemos sintetizar en lossiguientes logros: lgebra simblica (Franois Vite (1540-1603)), renacimientode la Teora de Nmeros (Pierre Fermat (1601-1665)), Clculo de Probabilida-des (Blaise Pascal (1623-1662) y Fermat), Geometra Analtica (Ren Descartes(1596-1650)), Clculo Infinitesimal (Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac New-ton (1643-1726)).

Galileo (1564-1642) cree que el mundo acta de acuerdo a leyes matemticassimples e inmutables, y que los principios fundamentales de la fsica se debendescubrir de forma emprica, de la observacin de la naturaleza, de la experimen-tacin. La mecnica es la primera ciencia a la que se aplica el mtodo matemtico

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116 Un Paseo por la Geometra

(axiomas, leyes generales, etc.) y durante siglos servir de modelo a imitar. As,las matemticas se aplicarn progresivamente a las diversas ramas de la fsica (laptica, el electromagnetismo,...) luego a la biologa, a la economa, a las cien-cias sociales, etc. y la naturaleza de la actividad cientfica se ver completamentealterada.

Con el tiempo se formula una cuestin de mucho calado: Podrn ser descritos,comprendidos y regulados los mundos del inanimado y del ser vivo gracias allenguaje matemtico e informtico?

Est claro que el objetivo de comprender lo inanimado y el ser vivo hace in-tervenir a todas las ciencias. Fruto de varios siglos de trabajos, las Matemticasy la Informtica han desarrollado un mtodo universal sustentado en tres grandespilares:

La modelizacin matemtica.

El anlisis y la simulacin.

El control o intervencin sobre los sistemas.

2. Modelizacin matemticaDesignaremos por modelo matemtico toda forma de descripcin matemtica

de una clase de fenmenos. Un modelo matemtico es un fragmento de matem-ticas aplicado a un fragmento de realidad. Los modelos permiten clculos, y portanto prever cualitativamente la apariencia de un fenmeno.

2.1 Mecnica

En el largo proceso de matematizacin de la mecnica celeste sobresalen cua-tro grandes personalidades: Nicols Coprnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johanes Kepler (1571-1630) e Isaac Newton (1642-1727).

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas en torno al Sol.Kepler las obtuvo a partir de datos experimentales, principalmente de las observa-ciones de Tycho Brahe. El enunciado de las tres leyes de Kepler es:

Primera ley. Los planetas describen rbitas elpticas estando el Sol en uno desus focos.

Segunda ley. El vector posicin de cualquier planeta respecto del Sol, barrereas iguales de la elipse en tiempos iguales.

Tercera ley. Los cuadrados de los periodos p de revolucin son proporcionalesa los cubos de los semiejes mayores de la elipse.


(axiomas, leyes generales, etc.) y durante siglos servir de modelo a imitar. As,las matemticas se aplicarn progresivamente a las diversas ramas de la fsica (laptica, el electromagnetismo,...) luego a la biologa, a la economa, a las cien-cias sociales, etc. y la naturaleza de la actividad cientfica se ver completamentealterada.

Con el tiempo se formula una cuestin de mucho calado: Podrn ser descritos,comprendidos y regulados los mundos del inanimado y del ser vivo gracias allenguaje matemtico e informtico?

Est claro que el objetivo de comprender lo inanimado y el ser vivo hace in-tervenir a todas las ciencias. Fruto de varios siglos de trabajos, las Matemticasy la Informtica han desarrollado un mtodo universal sustentado en tres grandespilares:

La modelizacin matemtica.

El anlisis y la simulacin.

El control o intervencin sobre los sistemas.

2. Modelizacin matemticaDesignaremos por modelo matemtico toda forma de descripcin matemtica

de una clase de fenmenos. Un modelo matemtico es un fragmento de matem-ticas aplicado a un fragmento de realidad. Los modelos permiten clculos, y portanto prever cualitativamente la apariencia de un fenmeno.

2.1 Mecnica

En el largo proceso de matematizacin de la mecnica celeste sobresalen cua-tro grandes personalidades: Nicols Coprnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johanes Kepler (1571-1630) e Isaac Newton (1642-1727).

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas en torno al Sol.Kepler las obtuvo a partir de datos experimentales, principalmente de las observa-ciones de Tycho Brahe. El enunciado de las tres leyes de Kepler es:

Primera ley. Los planetas describen rbitas elpticas estando el Sol en uno desus focos.

Segunda ley. El vector posicin de cualquier planeta respecto del Sol, barrereas iguales de la elipse en tiempos iguales.

Tercera ley. Los cuadrados de los periodos p de revolucin son proporcionalesa los cubos de los semiejes mayores de la elipse.

Se puede mejorar los recursos? 117

Estas leyes no constituyen un modelo matemtico propiamente dicho, se limi-tan a describir cmo es el movimiento de los planetas alrededor del sol.

Isaac Newton formul Ley de la gravitacin universal y la escribi en formamatemtica:

~F = GMmr3

~r.

Esta formulacin matemtica, combinada con la primera Ley de Newton, fuer-za igual a masa por aceleracin ( ~F = m~a), es un modelo del movimiento de losplanetas alrededor del sol, y a partir de ella se deducen las leyes de Kepler.

Gracias al desarrollo cientfico y tcnico, en el siglo XIX se llega a disponerde un gran nmero de modelos. Como un hito importante citaremos a Urbain LeVerrier (1811-1877) que, basndose en las perturbaciones observadas en la rbitade Urano, predijo la existencia de Neptuno.

Uno de los grandes modelizadores de la historia es James Clerk Maxwell(1831-1879), que formul matemticamente las Leyes de la electricidad y el mag-netismo.

Como ejemplo de gran importancia prctica, me voy a detener en la evolucinde la forma de predecir el tiempo.

- Para la prediccin a corto plazo, uno de los primeros logros fue darse cuentaque determinados fenmenos naturales como el aspecto del cielo, los vientos,la migracin de las aves... son indicativos del tiempo venidero. Estos indiciosmeteorolgicos se expresaron en forma de refranes.

- Astrometeorologa. Durante toda la edad media los astrlogos fueron loshombres del tiempo. La prediccin meteorolgica basada en los movimientos delos astros o de la luna sigue teniendo adeptos, pero carece de toda validez.

- Almanaques. A partir del siglo XVIII se hicieron muy populares en Europay Amrica distintas publicaciones que anunciaban el tiempo para todo el ao.Herencia de esta tradicin todava hoy perdura el Calendario Zaragozano.

- Mapas del tiempo. A mediados del siglo XIX, el advenimiento del telgrafopermiti conocer el tiempo actual en una amplia zona geogrfica. Se pudo ashacer mapas del tiempo de cada da. A partir de ellos, los meteorlogos estimabancomo iban a evolucionar los distintos fenmenos meteorolgicos, de acuerdo conesto conjeturaban cmo tenan que ser los mapas del tiempo del da siguiente, ycon estos mapas hacan el pronstico del tiempo.

- Modelos matemticos. Predicciones numricas. A comienzos del siglo XXse fijaron las ecuaciones de la dinmica atmosfrica:

d~vdt

+ 2~ ~v + ~ (~ ~r) = 1p ~g + 1

~Fv ,

t+ ~v = ~v ,


Estas leyes no constituyen un modelo matemtico propiamente dicho, se limi-tan a describir cmo es el movimiento de los planetas alrededor del sol.

Isaac Newton formul Ley de la gravitacin universal y la escribi en formamatemtica:

~F = GMmr3

~r.

Esta formulacin matemtica, combinada con la primera Ley de Newton, fuer-za igual a masa por aceleracin ( ~F = m~a), es un modelo del movimiento de losplanetas alrededor del sol, y a partir de ella se deducen las leyes de Kepler.

Gracias al desarrollo cientfico y tcnico, en el siglo XIX se llega a disponerde un gran nmero de modelos. Como un hito importante citaremos a Urbain LeVerrier (1811-1877) que, basndose en las perturbaciones observadas en la rbitade Urano, predijo la existencia de Neptuno.

Uno de los grandes modelizadores de la historia es James Clerk Maxwell(1831-1879), que formul matemticamente las Leyes de la electricidad y el mag-netismo.

Como ejemplo de gran importancia prctica, me voy a detener en la evolucinde la forma de predecir el tiempo.

- Para la prediccin a corto plazo, uno de los primeros logros fue darse cuentaque determinados fenmenos naturales como el aspecto del cielo, los vientos,la migracin de las aves... son indicativos del tiempo venidero. Estos indiciosmeteorolgicos se expresaron en forma de refranes.

- Astrometeorologa. Durante toda la edad media los astrlogos fueron loshombres del tiempo. La prediccin meteorolgica basada en los movimientos delos astros o de la luna sigue teniendo adeptos, pero carece de toda validez.

- Almanaques. A partir del siglo XVIII se hicieron muy populares en Europay Amrica distintas publicaciones que anunciaban el tiempo para todo el ao.Herencia de esta tradicin todava hoy perdura el Calendario Zaragozano.

- Mapas del tiempo. A mediados del siglo XIX, el advenimiento del telgrafopermiti conocer el tiempo actual en una amplia zona geogrfica. Se pudo ashacer mapas del tiempo de cada da. A partir de ellos, los meteorlogos estimabancomo iban a evolucionar los distintos fenmenos meteorolgicos, de acuerdo conesto conjeturaban cmo tenan que ser los mapas del tiempo del da siguiente, ycon estos mapas hacan el pronstico del tiempo.

- Modelos matemticos. Predicciones numricas. A comienzos del siglo XXse fijaron las ecuaciones de la dinmica atmosfrica:

d~vdt

+ 2~ ~v + ~ (~ ~r) = 1p ~g + 1

~Fv ,

t+ ~v = ~v ,


qt

+ ~v q = R ,p = RdTv , Tv = T (1 + 0,608q) ,

t+ ~v =

cp,dTvQ ,

que son la base de las predicciones del tiempo que realizan todos los serviciosmeteorolgicos.

La resolucin de este problema matemtico slo es abordable en una formaaproximada, utilizando mtodos numricos con el concurso de ordenadores, talcomo se comentar ms adelante.

2.2 Modelos matemticos de fenmenos biolgicos

Las investigaciones en biologa matemtica se pueden dividir, grosso modo,en cuatro grandes grupos: la dinmica de las poblaciones, la gentica de las po-blaciones, la teora matemtica de las epidemias y la modelizacin matemtica dela fisiologa y de la patologa de rganos o de procesos del cuerpo humano.

La dinmica de las poblaciones

- Modelo de crecimiento exponencial. T.R. Malthus (1766-1834):

dpdt

= ap .

- Ecuacin logstica. P.F. Verhulst (1804-1849):

dpdt

= p p2 .

- Modelo depredador-presa. V. Volterra (1860-1940):

dxdt

= ax bxy ,

dydt

= cy + dxy .Dentro de este contexto, en Euskadi, la fundacin AZTI (http://www.azti.es)

investiga en biologa pesquera, en particular en la dinmica de la poblacin dedistintas especies de peces, como la anchoa, la merluza, el atn y el bacalao. Enlos ltimos cinco aos, al menos tres matemticos han entrado a trabajar en estafundacin.

Los avances de la Gentica Molecular han propiciado la adaptacin de esosmismos mtodos al estudio de las enfermedades infecciosas, en las que los objetos


qt

+ ~v q = R ,p = RdTv , Tv = T (1 + 0,608q) ,

t+ ~v =

cp,dTvQ ,

que son la base de las predicciones del tiempo que realizan todos los serviciosmeteorolgicos.

La resolucin de este problema matemtico slo es abordable en una formaaproximada, utilizando mtodos numricos con el concurso de ordenadores, talcomo se comentar ms adelante.

2.2 Modelos matemticos de fenmenos biolgicos

Las investigaciones en biologa matemtica se pueden dividir, grosso modo,en cuatro grandes grupos: la dinmica de las poblaciones, la gentica de las po-blaciones, la teora matemtica de las epidemias y la modelizacin matemtica dela fisiologa y de la patologa de rganos o de procesos del cuerpo humano.

La dinmica de las poblaciones

- Modelo de crecimiento exponencial. T.R. Malthus (1766-1834):

dpdt

= ap .

- Ecuacin logstica. P.F. Verhulst (1804-1849):

dpdt

= p p2 .

- Modelo depredador-presa. V. Volterra (1860-1940):

dxdt

= ax bxy ,

dydt

= cy + dxy .Dentro de este contexto, en Euskadi, la fundacin AZTI (http://www.azti.es)

investiga en biologa pesquera, en particular en la dinmica de la poblacin dedistintas especies de peces, como la anchoa, la merluza, el atn y el bacalao. Enlos ltimos cinco aos, al menos tres matemticos han entrado a trabajar en estafundacin.

Los avances de la Gentica Molecular han propiciado la adaptacin de esosmismos mtodos al estudio de las enfermedades infecciosas, en las que los objetos


son poblaciones de clulas. En un entorno celular, el depredador es una poblacinde virus, y la presa una poblacin de clulas humanas. Algunos de los resultadosms sorprendentes se han obtenido en el estudio de la enfermedad del SIDA. Otrodominio muy importante es el estudio de la resistencia de los microbios a losmedicamentos.

La difusin de una epidemia

D. Bernouilli (1700-1782) fue el primero que, al intentar resolver si una prcti-ca sistemtica de la inoculacin humana de la viruela en determinadas condicionesresultara beneficiosa o perjudicial para la poblacin, aplic las matemticas a ladifusin de una epidemia.

Modelo matemtico bsico de difusin de una epidemia (W.D. Kermack, A.G.McKendrick, 1920):

dSdt

= rS (t)I(t) ,dIdt

= rS (t)I(t) I(t) ,dRdt

= I(t) ,

donde S es el contingente de los elementos susceptibles de contraer la enferme-dad, I el de los infecciosos y R el de los retirados, ya sea por que son aislados, semueren o por que adquieren la inmunidad.

Este tipo de estudios ha adquirido un gran desarrollo y hoy en da se englobanen lo que se conoce como Epidemiologa. En la epidemiologa, la Estadstica juegaun papel fundamental. Aqu hay que resaltar que tanto el Instituto Nacional deEstadstica como el Eustat en el Pas Vasco son dos instituciones que emplean amatemticos.

La modelizacin matemtica de la fisiologa y la patologa de rganos o deprocesos del cuerpo humano es el sector ms difcil de caracterizar en cuanto alos mtodos y contenidos. Se tienen modelos del crecimiento de los tumores, mo-delos computacionales del rin, del pncreas, odo y otros rganos. Por ltimo,citaremos la modelizacin de la formacin de patrones biolgicos, es decir dela generacin de una estructura compleja de un organismo vivo a partir de unasituacin inicialmente homognea.

2.3 Economa

No podemos terminar estas notas sobre modelizacin matemtica sin mencio-nar los sistemas econmicos y sociales.

Uno de los campos ms fructferos para el empleo de matemticos es el de losmercados financieros. La utilizacin de modelos matemticos aplicados a los mer-


son poblaciones de clulas. En un entorno celular, el depredador es una poblacinde virus, y la presa una poblacin de clulas humanas. Algunos de los resultadosms sorprendentes se han obtenido en el estudio de la enfermedad del SIDA. Otrodominio muy importante es el estudio de la resistencia de los microbios a losmedicamentos.

La difusin de una epidemia

D. Bernouilli (1700-1782) fue el primero que, al intentar resolver si una prcti-ca sistemtica de la inoculacin humana de la viruela en determinadas condicionesresultara beneficiosa o perjudicial para la poblacin, aplic las matemticas a ladifusin de una epidemia.

Modelo matemtico bsico de difusin de una epidemia (W.D. Kermack, A.G.McKendrick, 1920):

dSdt

= rS (t)I(t) ,dIdt

= rS (t)I(t) I(t) ,dRdt

= I(t) ,

donde S es el contingente de los elementos susceptibles de contraer la enferme-dad, I el de los infecciosos y R el de los retirados, ya sea por que son aislados, semueren o por que adquieren la inmunidad.

Este tipo de estudios ha adquirido un gran desarrollo y hoy en da se englobanen lo que se conoce como Epidemiologa. En la epidemiologa, la Estadstica juegaun papel fundamental. Aqu hay que resaltar que tanto el Instituto Nacional deEstadstica como el Eustat en el Pas Vasco son dos instituciones que emplean amatemticos.

La modelizacin matemtica de la fisiologa y la patologa de rganos o deprocesos del cuerpo humano es el sector ms difcil de caracterizar en cuanto alos mtodos y contenidos. Se tienen modelos del crecimiento de los tumores, mo-delos computacionales del rin, del pncreas, odo y otros rganos. Por ltimo,citaremos la modelizacin de la formacin de patrones biolgicos, es decir dela generacin de una estructura compleja de un organismo vivo a partir de unasituacin inicialmente homognea.

2.3 Economa

No podemos terminar estas notas sobre modelizacin matemtica sin mencio-nar los sistemas econmicos y sociales.

Uno de los campos ms fructferos para el empleo de matemticos es el de losmercados financieros. La utilizacin de modelos matemticos aplicados a los mer-


cados financieros ha dado origen a lo que se denomina Matemticas Financieras.Un ejemplo es la valoracin de activos derivados, que en su forma ms simple sereduce a resolver una ecuacin diferencial estocstica de la forma

dR(t)R(t)

= (R, B, t)dt + (R, B, t)dw .

Los pioneros de estos estudios son el matemtico Fisher Black, Myron S.Scholes y Robert Merton (estos dos ltimos P. Nobel de Economa 1997). Hoyen da todos los grandes bancos tienen un Departamento de Nuevos Mercadosen el que la presencia de matemticos es notable. En este orden de cosas, en laFacultad de Econmicas de la UPV-EHU se imparte un Programa de Tercer Ci-clo denominado Finanzas Cuantitativas. En l, cada ao se matriculan dos o tresrecin licenciados en matemticas, y sus resultados suelen ser muy buenos.

Un campo emparentado con el anterior es el del mercado elctrico, el Poolde la energa. Para transitar bien por l, es importante tener buenas prediccionesdel tiempo, ya que tanto en verano por el calor como en invierno por el fro, elconsumo domstico horario de electricidad depende del tiempo que hace. Todossabemos que IBERDROLA, con sede en Bilbao, es una de las grandes empresaselctricas espaolas. IBERDROLA participa, tiene que participar en el mercadodiario de la energa, y en el departamento que se encarga de este cometido recien-temente han contratado a un par de antiguos alumnos de nuestra licenciatura.

3. El anlisis y la simulacinExtraer la informacin de un modelo matemtico no lineal no es tarea fcil.

En el caso de las ecuaciones de Volterradxdt

= ax bxy ,dydt

= cy + dxy ,el estudio cualitativo de las soluciones muestra el comportamiento cclico de lasmismas, y que el valor medio de las dos poblaciones a lo largo de una trayectoriaes

x =cd, y =

ab.

De esto es inmediato deducir el efecto de la pesca en un sistema formado por unapoblacin de depredadores y otra de presas, que fue el problema que dio origen aeste modelo de Volterra.

Un problema muchsimo ms complejo es el de la prediccin meteorolgica,que hay que abordarlo mediante mtodos numricos. Sus cuatro grandes captulosson:


cados financieros ha dado origen a lo que se denomina Matemticas Financieras.Un ejemplo es la valoracin de activos derivados, que en su forma ms simple sereduce a resolver una ecuacin diferencial estocstica de la forma

dR(t)R(t)

= (R, B, t)dt + (R, B, t)dw .

Los pioneros de estos estudios son el matemtico Fisher Black, Myron S.Scholes y Robert Merton (estos dos ltimos P. Nobel de Economa 1997). Hoyen da todos los grandes bancos tienen un Departamento de Nuevos Mercadosen el que la presencia de matemticos es notable. En este orden de cosas, en laFacultad de Econmicas de la UPV-EHU se imparte un Programa de Tercer Ci-clo denominado Finanzas Cuantitativas. En l, cada ao se matriculan dos o tresrecin licenciados en matemticas, y sus resultados suelen ser muy buenos.

Un campo emparentado con el anterior es el del mercado elctrico, el Poolde la energa. Para transitar bien por l, es importante tener buenas prediccionesdel tiempo, ya que tanto en verano por el calor como en invierno por el fro, elconsumo domstico horario de electricidad depende del tiempo que hace. Todossabemos que IBERDROLA, con sede en Bilbao, es una de las grandes empresaselctricas espaolas. IBERDROLA participa, tiene que participar en el mercadodiario de la energa, y en el departamento que se encarga de este cometido recien-temente han contratado a un par de antiguos alumnos de nuestra licenciatura.

3. El anlisis y la simulacinExtraer la informacin de un modelo matemtico no lineal no es tarea fcil.

En el caso de las ecuaciones de Volterradxdt

= ax bxy ,dydt

= cy + dxy ,el estudio cualitativo de las soluciones muestra el comportamiento cclico de lasmismas, y que el valor medio de las dos poblaciones a lo largo de una trayectoriaes

x =cd, y =

ab.

De esto es inmediato deducir el efecto de la pesca en un sistema formado por unapoblacin de depredadores y otra de presas, que fue el problema que dio origen aeste modelo de Volterra.

Un problema muchsimo ms complejo es el de la prediccin meteorolgica,que hay que abordarlo mediante mtodos numricos. Sus cuatro grandes captulosson:


Condiciones iniciales. Asimilacin de los datos de observacin.

Discretizacin del espacio. Por ejemplo, el Modelo ARPEGE de MtoFrance tiene una resolucin de 37 km, lo que supone 4 millones de nodos.

Discretizacin de las ecuaciones.

Resolucin de las ecuaciones.

Figura 1: Discretizacin de la atmsfera

Una predicin del tiempo para ms de 36 horas requiere el tratamiento de toda laatmsfera. Teniendo en cuenta que en los modelos operativos se tiene del orden de5 millones de nodos y seis variables, en cada paso de tiempo se tiene que resolverun problema muy grande. Esto, unido a que las predicciones se tienen que calcularde forma mucho ms rpida que la propia evolucin de la atmsfera, hace que losservicios meteorolgicos se encuentren entre los utilizadores de los ordenadoresms potentes.

En el joven Servicio Vasco de Meteorologa trabajan matemticos, lo mismoque en el Instituto Nacional de Meteorologa.

Ingeniera

El enorme auge de la simulacin numrica en ingeniera durante la segundamitad del siglo XX se debe, sin ninguna duda, a la alianza de dos factores fun-damentales: el mtodo de elementos finitos como mtodo de aproximacin de lasecuaciones del modelo matemtico, y el espectacular aumento de la capacidad declculo de los ordenadores. Hay una razn fundamental para ello: con esta herra-mienta es posible realizar simulaciones en ordenador que, o bien son imposiblesen la prctica (meteorologa, terremotos, centrales nucleares, dispersin de con-taminantes...) o, en caso de ser realizables, su puesta en prctica necesita mucho


Condiciones iniciales. Asimilacin de los datos de observacin.

Discretizacin del espacio. Por ejemplo, el Modelo ARPEGE de MtoFrance tiene una resolucin de 37 km, lo que supone 4 millones de nodos.

Discretizacin de las ecuaciones.

Resolucin de las ecuaciones.

Figura 1: Discretizacin de la atmsfera

Una predicin del tiempo para ms de 36 horas requiere el tratamiento de toda laatmsfera. Teniendo en cuenta que en los modelos operativos se tiene del orden de5 millones de nodos y seis variables, en cada paso de tiempo se tiene que resolverun problema muy grande. Esto, unido a que las predicciones se tienen que calcularde forma mucho ms rpida que la propia evolucin de la atmsfera, hace que losservicios meteorolgicos se encuentren entre los utilizadores de los ordenadoresms potentes.

En el joven Servicio Vasco de Meteorologa trabajan matemticos, lo mismoque en el Instituto Nacional de Meteorologa.

Ingeniera

El enorme auge de la simulacin numrica en ingeniera durante la segundamitad del siglo XX se debe, sin ninguna duda, a la alianza de dos factores fun-damentales: el mtodo de elementos finitos como mtodo de aproximacin de lasecuaciones del modelo matemtico, y el espectacular aumento de la capacidad declculo de los ordenadores. Hay una razn fundamental para ello: con esta herra-mienta es posible realizar simulaciones en ordenador que, o bien son imposiblesen la prctica (meteorologa, terremotos, centrales nucleares, dispersin de con-taminantes...) o, en caso de ser realizables, su puesta en prctica necesita mucho


ms tiempo y dinero (tneles de viento, maquetas de puentes, cpulas, prtesis...).En particular, todo esto est muy presente en la industria del automvil, por ejem-plo en la simulacin de choques. Indicaremos tambin que desde hace ya algunosaos se han diseado herramientas de simulacin de intervenciones quirrgicas(corazn, hgado).

En Euskadi existe una desarrollada Red de Centros Tecnolgicos en la quesuelen contratar a matemticos. Tambin ltimamente GAMESA se ha mostradointeresado en incorporar a su plantilla a algunos matemticos

Validacin del modelo

Los resultados deducidos rigurosamente a partir de los modelos a lo sumopueden dar una aproximacin del fenmeno real. En todos los casos, y esto esmuy importante, la simulacin debe ser validada.

Hemos mostrado algunos ejemplos y algunas ideas para la comprensin delos fenmenos que, gracias a los ordenadores, llegan a plasmarse en resultadoscuantitativos. Qu consecuencias se derivan a la hora de actuar? El papel de lasmatemticas y de la Informtica a la hora de actuar corresponde a la Teora deControl, que abordaremos a continuacin.

4. El control o intervencin sobre los sistemasDe manera general, podra decirse que el objetivo central de la Teora de Con-

trol es proporcionar estrategias para conducir el proceso que nos ocupe hacia unobjetivo propuesto deseado. Refleja el esfuerzo humano para intervenir en el me-dio que le rodea, con vistas a garantizar su supervivencia y obtener una perma-nente mejora en la calidad de vida.

Como primer ejemplo podemos pensar en el complejo problema de enviar unamisin tripulada a Marte.

Figura 2: Barrera del Tmesis


ms tiempo y dinero (tneles de viento, maquetas de puentes, cpulas, prtesis...).En particular, todo esto est muy presente en la industria del automvil, por ejem-plo en la simulacin de choques. Indicaremos tambin que desde hace ya algunosaos se han diseado herramientas de simulacin de intervenciones quirrgicas(corazn, hgado).

En Euskadi existe una desarrollada Red de Centros Tecnolgicos en la quesuelen contratar a matemticos. Tambin ltimamente GAMESA se ha mostradointeresado en incorporar a su plantilla a algunos matemticos

Validacin del modelo

Los resultados deducidos rigurosamente a partir de los modelos a lo sumopueden dar una aproximacin del fenmeno real. En todos los casos, y esto esmuy importante, la simulacin debe ser validada.

Hemos mostrado algunos ejemplos y algunas ideas para la comprensin delos fenmenos que, gracias a los ordenadores, llegan a plasmarse en resultadoscuantitativos. Qu consecuencias se derivan a la hora de actuar? El papel de lasmatemticas y de la Informtica a la hora de actuar corresponde a la Teora deControl, que abordaremos a continuacin.

4. El control o intervencin sobre los sistemasDe manera general, podra decirse que el objetivo central de la Teora de Con-

trol es proporcionar estrategias para conducir el proceso que nos ocupe hacia unobjetivo propuesto deseado. Refleja el esfuerzo humano para intervenir en el me-dio que le rodea, con vistas a garantizar su supervivencia y obtener una perma-nente mejora en la calidad de vida.

Como primer ejemplo podemos pensar en el complejo problema de enviar unamisin tripulada a Marte.

Figura 2: Barrera del Tmesis


Un ejemplo medioambiental: la Barrera del Tmesis para la prevencin deinundaciones en la regin de Londres. Como proyecto en estudio citaremos el quese est llevando a cabo sobre el sistema, muy complejo, de la laguna de Venecia(Proyecto Venecia Nueva).

La cuestin ms general que se puede imaginar en el marco del control es la delcontrol del clima, cuestin que requiere gran audacia. Siempre se puede decir queel control del clima ya ha comenzado al limitar las emisiones de CO2. En este casoel criterio de control es el de mantener al planeta Tierra en un estado aceptable.Ahora bien, para impulsar la puesta en prctica de medidas drsticas dirigidas amodificar la influencia humana sobre el clima, se deber poder demostrar que losmodelos simulan con exactitud los cambios climticos pasados y presentes. Ellorequiere contar con archivos y registros que cubran largos perodos de tiempo.

La gestin del agua de las cuencas hidrolgicas. En este caso, de candenteactualidad en Espaa debido a los problemas derivados de la carencia de agua, elmayor problema consiste en la eleccin de los criterios a optimizar.

La robtica. No resulta difcil imaginar la complejidad del proceso de controlque hace que un robot camine y que lo haga de manera estable, o que sea capazde coger un objeto con sus manos".

La Teora de Control tambin est llamada a jugar un papel muy importanteen el campo de la biomedicina. Como ejemplo se puede mencionar el diseo demecanismos de suministro de insulina equipados con chips"de control.

Control de las epidemias.Unos ltimos ejemplos son el control del trfico areo, el de los sistemas de

distribucin y generacin de energa y el de las redes informticas.

5. Recogida semanal ptima de dos clases de residuos urbanos

UPV: Mikel Lezaun, Gloria Prez, Eduardo Sinz de la Maza.CESPA: Alejandro Martnez

CESPA, S.A. es una empresa del grupo Ferrovial que ofrece servicios de

- Limpieza: urbana, industrial, qumica, playas, descontaminacin de suelos.- Recogida de residuos: slidos urbanos, industriales, selectiva,...- Seleccin, tratamiento, depsito de residuos.- Diseo, construccin y mantenimiento de jardines, de parques infantiles.

CESPA est presente en ms de 260 municipios espaoles, tiene una flota dems de 4.800 vehculos, y su facturacin anual supera los 700 millones de euros.

El proyecto consisti en confeccionar un programa software para la recogidadiaria ptima de dos clases de residuos de una ciudad. Los datos de partida son:


Un ejemplo medioambiental: la Barrera del Tmesis para la prevencin deinundaciones en la regin de Londres. Como proyecto en estudio citaremos el quese est llevando a cabo sobre el sistema, muy complejo, de la laguna de Venecia(Proyecto Venecia Nueva).

La cuestin ms general que se puede imaginar en el marco del control es la delcontrol del clima, cuestin que requiere gran audacia. Siempre se puede decir queel control del clima ya ha comenzado al limitar las emisiones de CO2. En este casoel criterio de control es el de mantener al planeta Tierra en un estado aceptable.Ahora bien, para impulsar la puesta en prctica de medidas drsticas dirigidas amodificar la influencia humana sobre el clima, se deber poder demostrar que losmodelos simulan con exactitud los cambios climticos pasados y presentes. Ellorequiere contar con archivos y registros que cubran largos perodos de tiempo.

La gestin del agua de las cuencas hidrolgicas. En este caso, de candenteactualidad en Espaa debido a los problemas derivados de la carencia de agua, elmayor problema consiste en la eleccin de los criterios a optimizar.

La robtica. No resulta difcil imaginar la complejidad del proceso de controlque hace que un robot camine y que lo haga de manera estable, o que sea capazde coger un objeto con sus manos".

La Teora de Control tambin est llamada a jugar un papel muy importanteen el campo de la biomedicina. Como ejemplo se puede mencionar el diseo demecanismos de suministro de insulina equipados con chips"de control.

Control de las epidemias.Unos ltimos ejemplos son el control del trfico areo, el de los sistemas de

distribucin y generacin de energa y el de las redes informticas.

5. Recogida semanal ptima de dos clases de residuos urbanos

UPV: Mikel Lezaun, Gloria Prez, Eduardo Sinz de la Maza.CESPA: Alejandro Martnez

CESPA, S.A. es una empresa del grupo Ferrovial que ofrece servicios de

- Limpieza: urbana, industrial, qumica, playas, descontaminacin de suelos.- Recogida de residuos: slidos urbanos, industriales, selectiva,...- Seleccin, tratamiento, depsito de residuos.- Diseo, construccin y mantenimiento de jardines, de parques infantiles.

CESPA est presente en ms de 260 municipios espaoles, tiene una flota dems de 4.800 vehculos, y su facturacin anual supera los 700 millones de euros.

El proyecto consisti en confeccionar un programa software para la recogidadiaria ptima de dos clases de residuos de una ciudad. Los datos de partida son:


Residuos a recoger: orgnicos por un lado y resto.

Frecuencia : 6 das a la semana, los domingos no se recoge.

Datos de la ciudad: Habitantes, distancia de la nave a la ciudad, distanciadel vertedero a la nave, distancia de la ciudad al vertedero, tiempo de espe-ra y de descarga en el vertedero. Casco histrico: slo transitan camionesmonocompartimentados pequeos.

Medios materiales:

- 4 tipos de contenedores. Precio y coste de mantenimiento unitario.- 9 tipos de camin. Precio, seguro, consumos, mantenimiento, velocidades.Carga trasera monocompartimentados y bicompartimentados: conductor ydos peones. Carga lateral: conductor.

Produccin diaria de residuos urbanos por habitante en lunes y los demsdas de la semana.

a.- Los residuos diarios se tienen que recoger en contenedores

El nmero de contenedores de cada tipo necesarios para recoger los residuosdiarios son siete variables no enteras Yi j.

Cuatro restricciones del tipo

103680 90 Y11 + 72 Y21 + 224 Y41 .

b.- Los residuos de los contenedores pasan a cargas de camin

Tenemos veinte formas distintas de uso de camin atendiendo a su tipo, tama-o y forma de ir ocupado. El nmero de cargas de camin de cada tipo necesariaspara recoger todos los residuos de los contenedores son cuarenta variables no en-teras Xhki j .

Doce restricciones del tipo

90 Y11 + 90 Y11 0, 5 8000 X111 + 0, 5 16000 X112 + 0, 5 23000 X113+2/3 0, 5 15000 X1021 + 2/3 0, 5 15000 X1321+2/3 0, 5 23000 X1022 + 2/3 0, 5 23000 X1322+2/3 0, 5 17000 X1131 + 2/3 0, 5 17000 X1331+2/3 0, 5 23000 X1132 + 2/3 0, 5 23000 X1332 .


Residuos a recoger: orgnicos por un lado y resto.

Frecuencia : 6 das a la semana, los domingos no se recoge.

Datos de la ciudad: Habitantes, distancia de la nave a la ciudad, distanciadel vertedero a la nave, distancia de la ciudad al vertedero, tiempo de espe-ra y de descarga en el vertedero. Casco histrico: slo transitan camionesmonocompartimentados pequeos.

Medios materiales:

- 4 tipos de contenedores. Precio y coste de mantenimiento unitario.- 9 tipos de camin. Precio, seguro, consumos, mantenimiento, velocidades.Carga trasera monocompartimentados y bicompartimentados: conductor ydos peones. Carga lateral: conductor.

Produccin diaria de residuos urbanos por habitante en lunes y los demsdas de la semana.

a.- Los residuos diarios se tienen que recoger en contenedores

El nmero de contenedores de cada tipo necesarios para recoger los residuosdiarios son siete variables no enteras Yi j.

Cuatro restricciones del tipo

103680 90 Y11 + 72 Y21 + 224 Y41 .

b.- Los residuos de los contenedores pasan a cargas de camin

Tenemos veinte formas distintas de uso de camin atendiendo a su tipo, tama-o y forma de ir ocupado. El nmero de cargas de camin de cada tipo necesariaspara recoger todos los residuos de los contenedores son cuarenta variables no en-teras Xhki j .

Doce restricciones del tipo

90 Y11 + 90 Y11 0, 5 8000 X111 + 0, 5 16000 X112 + 0, 5 23000 X113+2/3 0, 5 15000 X1021 + 2/3 0, 5 15000 X1321+2/3 0, 5 23000 X1022 + 2/3 0, 5 23000 X1322+2/3 0, 5 17000 X1131 + 2/3 0, 5 17000 X1331+2/3 0, 5 23000 X1132 + 2/3 0, 5 23000 X1332 .


c.- Cada carga de camin supone un viaje al vertedero

Los viajes al vertedero son cuarenta variables enteras T hki j .Cuarenta restricciones del tipo

Xhki j T hki j .d.-Nmero de camiones necesarios para realizar todos los viajes al vertedero

El nmero de camiones necesarios para hacer el nmero de viajes que hayaque hacer al vertedero depender del nmero de stos, del tiempo en horas quetarda en llenarse una carga de camin y del tiempo en horas que dedica un camina recoger y verter contenedores al da.

El nmero de camiones necesarios para recoger y verter las cargas con losresiduos son dieciocho variables enteras Xi j (nueve para el lunes y otros nuevepara el resto de los das de la semana).

Dieciocho restricciones del tipo

X111 + 1, 917 T111 + 1, 541 X

311 + 1, 917 T

311 6 X11 .

El nmero de camiones de los martes tiene que ser menor o igual al de loslunes, que es el da que ms residuos hay que recoger. Esto nos da nueve restric-ciones del tipo

S Xi j Xi j .e.- El problema de optimizacin

El problema de optimizacin consiste en hallar los valores (no negativos) delnmero de contenedores, nmero entero de camiones los lunes, nmero de cargasde camin los lunes, nmero entero de viajes al vertedero los lunes, nmero enterode camiones los martes, nmero de cargas de camin los martes, nmero enterode viajes al vertedero los martes (105 variables de las cuales 58 son enteras), quehagan mnimo el coste, verificando las 83 restricciones como las descritas.

Este es un problema de optimizacin lineal mixto, ya que hay variables realesy variables enteras. Lo resolvemos utilizando el paquete de software comercialLINGO. Los resultados obtenidos se ajustan a la realidad de la recogida de losresiduos de distintas ciudades realizada por CESPA.

6. Asignacin de las jornadas de trabajo a los conductores deMetro Bilbao

UPV: Mikel Lezaun, Gloria Prez, Eduardo Sinz de la MazaMetro Bilbao: Juan Carlos Mendoza, Fernando Quintanilla


c.- Cada carga de camin supone un viaje al vertedero

Los viajes al vertedero son cuarenta variables enteras T hki j .Cuarenta restricciones del tipo

Xhki j T hki j .d.-Nmero de camiones necesarios para realizar todos los viajes al vertedero

El nmero de camiones necesarios para hacer el nmero de viajes que hayaque hacer al vertedero depender del nmero de stos, del tiempo en horas quetarda en llenarse una carga de camin y del tiempo en horas que dedica un camina recoger y verter contenedores al da.

El nmero de camiones necesarios para recoger y verter las cargas con losresiduos son dieciocho variables enteras Xi j (nueve para el lunes y otros nuevepara el resto de los das de la semana).

Dieciocho restricciones del tipo

X111 + 1, 917 T111 + 1, 541 X

311 + 1, 917 T

311 6 X11 .

El nmero de camiones de los martes tiene que ser menor o igual al de loslunes, que es el da que ms residuos hay que recoger. Esto nos da nueve restric-ciones del tipo

S Xi j Xi j .e.- El problema de optimizacin

El problema de optimizacin consiste en hallar los valores (no negativos) delnmero de contenedores, nmero entero de camiones los lunes, nmero de cargasde camin los lunes, nmero entero de viajes al vertedero los lunes, nmero enterode camiones los martes, nmero de cargas de camin los martes, nmero enterode viajes al vertedero los martes (105 variables de las cuales 58 son enteras), quehagan mnimo el coste, verificando las 83 restricciones como las descritas.

Este es un problema de optimizacin lineal mixto, ya que hay variables realesy variables enteras. Lo resolvemos utilizando el paquete de software comercialLINGO. Los resultados obtenidos se ajustan a la realidad de la recogida de losresiduos de distintas ciudades realizada por CESPA.

6. Asignacin de las jornadas de trabajo a los conductores deMetro Bilbao

UPV: Mikel Lezaun, Gloria Prez, Eduardo Sinz de la MazaMetro Bilbao: Juan Carlos Mendoza, Fernando Quintanilla


DATOS: Vacaciones de los conductores; nmero de jornadas de maana, tardey noche a realizar en cada poca del ao; restricciones de obligado cumplimiento,preferencias.

OBJETIVO: Distribucin equitativa del trabajo.

Este problema lo descomponemos en varios subproblemas. Describiremos condetalle el primero, los dems son del mismo tipo.

a.- Asignacin de las semanas de reserva

En toda esta seccin el ndice i corresponde a los conductores, que variarentre 1 y 64, y el ndice l a las semanas, por lo que variar de 1 a 52. Las vacacionesestn dadas. Por tanto, conocemos V(i, l) tales que V(i, l) = 1 si el conductor i-simo est de vacaciones la semana l-sima, y V(i, l) = 0 si no lo est.

Las incgnitas son R(i, l), variables 0-1, de forma que R(i, l) = 1 si el conductori-simo est de reserva la semana l-sima, y R(i, l) = 0 si no lo est.

Restricciones:

1.- Si se est de vacaciones no se est de reserva:

Si V(i, l) = 1 entonces R(i, l) = 0 .

2.- Cada semana, segn sea de invierno, verano 1 o verano 2, el nmero de con-ductores de vacaciones o reserva est fijado:

64i=1

(V(i, l) + R(i, l)) = l .

3.- Cada conductor tiene que tener 7 u 8 semanas de reserva:

7 52l=1

R(i, l) 8 .

4.- Ningn conductor tendr ms de tres semanas seguidas de reserva:

R(i, l) + R(i, l + 1) + R(i, l + 2) + R(i, l + 3) 3 .

5.- Ningn conductor tendr una semana de reserva aislada:

R(i, l + 1) R(i, l) + R(i, l + 2) .

6.- Ningn conductor puede tener una semana aislada de trabajo entre vacacionesy/o reserva:

R(i, l) + V(i, l) + R(i, l + 2) + V(i, l + 2) 1 + R(i, l + 1) + V(i, l + 1) .


DATOS: Vacaciones de los conductores; nmero de jornadas de maana, tardey noche a realizar en cada poca del ao; restricciones de obligado cumplimiento,preferencias.

OBJETIVO: Distribucin equitativa del trabajo.

Este problema lo descomponemos en varios subproblemas. Describiremos condetalle el primero, los dems son del mismo tipo.

a.- Asignacin de las semanas de reserva

En toda esta seccin el ndice i corresponde a los conductores, que variarentre 1 y 64, y el ndice l a las semanas, por lo que variar de 1 a 52. Las vacacionesestn dadas. Por tanto, conocemos V(i, l) tales que V(i, l) = 1 si el conductor i-simo est de vacaciones la semana l-sima, y V(i, l) = 0 si no lo est.

Las incgnitas son R(i, l), variables 0-1, de forma que R(i, l) = 1 si el conductori-simo est de reserva la semana l-sima, y R(i, l) = 0 si no lo est.

Restricciones:

1.- Si se est de vacaciones no se est de reserva:

Si V(i, l) = 1 entonces R(i, l) = 0 .

2.- Cada semana, segn sea de invierno, verano 1 o verano 2, el nmero de con-ductores de vacaciones o reserva est fijado:

64i=1

(V(i, l) + R(i, l)) = l .

3.- Cada conductor tiene que tener 7 u 8 semanas de reserva:

7 52l=1

R(i, l) 8 .

4.- Ningn conductor tendr ms de tres semanas seguidas de reserva:

R(i, l) + R(i, l + 1) + R(i, l + 2) + R(i, l + 3) 3 .

5.- Ningn conductor tendr una semana de reserva aislada:

R(i, l + 1) R(i, l) + R(i, l + 2) .

6.- Ningn conductor puede tener una semana aislada de trabajo entre vacacionesy/o reserva:

R(i, l) + V(i, l) + R(i, l + 2) + V(i, l + 2) 1 + R(i, l + 1) + V(i, l + 1) .


7.- Ningn conductor puede tener solo dos semanas de trabajo entre vacacionesy/o reserva:

R(i, l)+V(i, l)+R(i, l+3)+V(i, l+3) 1+R(i, l+1)+V(i, l+1)+R(i, l+2)+V(i, l+2).

Funcin objetivo: Con el fin de agrupar reservas delante o detrs de vacacioneshallaremos el mximo de semanas de reserva pegadas a vacaciones.

Este problema lineal de optimizacin tiene 2880 variables binarias y 12479restricciones. El mximo es 412, por lo que solo hay 52 semanas de reserva nopegadas a vacaciones.

b.- Lista cclica de tantos patrones semanales como conductores con trabajoprogramado, de forma que un mismo conductor los pueda hacer de forma conse-cutiva. Hay que hacer una para cada poca del ao.

c.- Asignacin anual de los patrones semanales de forma consecutiva, segnsea la poca del ao, de forma que al final del ao todos los conductores tenganigual carga de trabajo.

Los problemas de optimizacin se resuelven con LINGO, y los resultados ob-tenidos son plenamente satisfactorios para la empresa.

Bibliografa[1] M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 2nd ed. Springer-Verlag, New-York, 1978.

[2] P.A. Griffihs, Las matemticas ante el cambio de milenio, La Gaceta de la RealSociedad Matemtica Espaola, vol 3, no 1, 23-41, 2000.

[3] J.P. Gouteaux, M. Artzrouni, M. Jarry, Une pidmie mise en quations, LaRecherche, 34-39, Octubre 2000.

[4] K. Howard, La fiebre bioinformtica, Investigacin y Ciencia, 42-47, Septiem-bre 2000.

[5] G. Israel, La mathmatisation du rel, ditions du Seuil, Pars, 1996.

[6] T.R. Karl, K.E. Trenberth, Influencia del hombre sobre el clima, Investigaciny Ciencia, 54-59, Enero 2000.

[7] M. Lezaun, Modelos matemticos en las ciencias, captulo del libro Las Cien-cias experimentales y el progreso social, Real Sociedad Bascongada de los Ami-gos del Pas Universidad del Pas Vasco, Bilbao, 2002.

[8] M. Lezaun, Predicciones del Tiempo y Matemticas, Boletn de la SociedadEspaola de Matemtica Aplicada, nmero 22, 59-98, 2002.


7.- Ningn conductor puede tener solo dos semanas de trabajo entre vacacionesy/o reserva:

R(i, l)+V(i, l)+R(i, l+3)+V(i, l+3) 1+R(i, l+1)+V(i, l+1)+R(i, l+2)+V(i, l+2).

Funcin objetivo: Con el fin de agrupar reservas delante o detrs de vacacioneshallaremos el mximo de semanas de reserva pegadas a vacaciones.

Este problema lineal de optimizacin tiene 2880 variables binarias y 12479restricciones. El mximo es 412, por lo que solo hay 52 semanas de reserva nopegadas a vacaciones.

b.- Lista cclica de tantos patrones semanales como conductores con trabajoprogramado, de forma que un mismo conductor los pueda hacer de forma conse-cutiva. Hay que hacer una para cada poca del ao.

c.- Asignacin anual de los patrones semanales de forma consecutiva, segnsea la poca del ao, de forma que al final del ao todos los conductores tenganigual carga de trabajo.

Los problemas de optimizacin se resuelven con LINGO, y los resultados ob-tenidos son plenamente satisfactorios para la empresa.

Bibliografa[1] M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 2nd ed. Springer-Verlag, New-York, 1978.

[2] P.A. Griffihs, Las matemticas ante el cambio de milenio, La Gaceta de la RealSociedad Matemtica Espaola, vol 3, no 1, 23-41, 2000.

[3] J.P. Gouteaux, M. Artzrouni, M. Jarry, Une pidmie mise en quations, LaRecherche, 34-39, Octubre 2000.

[4] K. Howard, La fiebre bioinformtica, Investigacin y Ciencia, 42-47, Septiem-bre 2000.

[5] G. Israel, La mathmatisation du rel, ditions du Seuil, Pars, 1996.

[6] T.R. Karl, K.E. Trenberth, Influencia del hombre sobre el clima, Investigaciny Ciencia, 54-59, Enero 2000.

[7] M. Lezaun, Modelos matemticos en las ciencias, captulo del libro Las Cien-cias experimentales y el progreso social, Real Sociedad Bascongada de los Ami-gos del Pas Universidad del Pas Vasco, Bilbao, 2002.

[8] M. Lezaun, Predicciones del Tiempo y Matemticas, Boletn de la SociedadEspaola de Matemtica Aplicada, nmero 22, 59-98, 2002.


[9] J.L. Lions, El Planeta Tierra. El papel de las matemticas y los superordena-dores, Espasa Calpe, Madrid, 1990.

[10] J.L. Lions, Es posible describir el mundo de lo inanimado y del ser vivocon los lenguajes matemtico e informtico?, Jornada Matemtica celebrada el21/02/200 en el Congreso de los Diputados, Publicaciones del Congreso de losDiputados, Madrid, 2000.

[11] E. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, Seattle,1993. (Traduccin en espaol La esencia del caos, Debate, Madrid, 2000).

[12] Mteo-France, http://www.meteo.fr

[13] G. Musser, M. Alpert, Cmo ir a Marte, Investigacin y Ciencia, 48-55,Mayo 2000.

[14] S. Thomke, M. Holzner, T. Gholami, Estrellarse en automvil, Investigaciny Ciencia, 72-77, Mayo 1999.

[15] E. Zuazua, Teora Matemtica del Control: Notas histricas, avances recien-tes y perspectivas, Notas del Curso de Verano de San Sebastin 2000.

Mikel LezaunUniversidad del Pas Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea

Facultad de Ciencia y TecnologaDepartamento de Matemtica Aplicada, Estadstica e Investigacin Operativa

Barrio Sarriena s/n48940 Leioa

e-mail: [email protected]


[9] J.L. Lions, El Planeta Tierra. El papel de las matemticas y los superordena-dores, Espasa Calpe, Madrid, 1990.

[10] J.L. Lions, Es posible describir el mundo de lo inanimado y del ser vivocon los lenguajes matemtico e informtico?, Jornada Matemtica celebrada el21/02/200 en el Congreso de los Diputados, Publicaciones del Congreso de losDiputados, Madrid, 2000.

[11] E. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, Seattle,1993. (Traduccin en espaol La esencia del caos, Debate, Madrid, 2000).

[12] Mteo-France, http://www.meteo.fr

[13] G. Musser, M. Alpert, Cmo ir a Marte, Investigacin y Ciencia, 48-55,Mayo 2000.

[14] S. Thomke, M. Holzner, T. Gholami, Estrellarse en automvil, Investigaciny Ciencia, 72-77, Mayo 1999.

[15] E. Zuazua, Teora Matemtica del Control: Notas histricas, avances recien-tes y perspectivas, Notas del Curso de Verano de San Sebastin 2000.

Mikel LezaunUniversidad del Pas Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea

Facultad de Ciencia y TecnologaDepartamento de Matemtica Aplicada, Estadstica e Investigacin Operativa

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