Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley Ejemplox1 = x 61 = 6x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5... etc...

52 1 × 5 × 5 2551 1 × 5 550 1 15-1 1 ÷ 5 0.25-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 10n = 0, así que ... 00 = 0Cuando dudes... 00 = "indeterminado"

Convertir Decimales a Fracciones

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción

Paso 1: Escribe: 0.75

1Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100

0.75=

75

1 100

× 100(¿Ves como el número de arriba se convierte

en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25

75=

3

100 4

÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común !

Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción

Paso 1: escribe:

0.6251

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)

625

1,000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

÷ 25 ÷ 5

  625

=25

=5

1.000 40 8

  ÷ 25 ÷ 5

Respuesta = 5/8

 

Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción

Paso 1: Escribe abajo:

0.3331

Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000)

3331,000

Step 3: Simplifica la Fracción:

¡No se puede simplificar!

Respuesta = 333/1000

Exponentes NegativosA los exponentes también se los llama índices.

El exponente de un número nos dice cuántas veces debemos usar ese número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se podría llamar "8 elevado al 2" o simplemente "8 al cuadrado".

Entonces, en general:

an te dice que multipliques a por sí misma un número n de veces:

Pero esos son exponentes positivos, ¿qué pasa si tenemos algo como…?

8-2

Este exponente es negativo ... ¿qué quiere decir?

Exponentes Negativos

¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!

La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación.

Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número.

Por ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0.125

O muchas divisiones:

Por ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Pero se puede hacer de una forma más fácil:

5-3 también podría calcularse así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0.008

El ultimo ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes negativos:

Calcula el exponente (an) Luego utiliza su Inverso (1/an)

 

Para cambiar el signo (más a menos, o menos a más) de el exponente usa el Recíproco (es decir, 1/an)

 

Entonces, ¿cómo sería 8-2 ?

Por ejemplo: 8-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/82 = 1/64 = 0.015625

 

Más ejemplos:

Exponente negativo Inversa de un exponente positivo Respuesta4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0.062510-3 = 1 / 103 = 1/1,000 = 0.001

Todo Tiene Sentido

Mi método favorito es comenzar con “1” y luego multiplicar o dividir tantas veces como el exponente me diga. Así obtendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: Exponentes de 5.. etc..

52 1 × 5 × 5 2551 1 × 5 550 1 15-1 1 ÷ 5 0.25-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, el cero o los exponentes negativos son parte del mismo modelo (bastante simple).