Leyes de los exponentes

1era Ley:Producto de potencias con la misma base am an = a m+nEjemplo:53 + 58 =5 11 2da Ley: Cociente de potencias con la misma base

Ejemplo

3era Ley : Potencia de potencia) n = Ejemplo:) 4 =

4ta Ley: Potencia de un producto

5ta Ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia.m =4 = = ===

EJERCICIOS()2 x ()2 =

() -2 x () -3 = x = x == - 2=

()2 = (6 =531441 + p R

x

3

TRIANGULO DE PASCAL

EjemploFORMULA GENERAL += ++

Los exponentes deavandisminuyendo, de Uno en Uno, es decir den a cero;y los exponentes de bvanaumentando, de Uno en Uno, decero a n, detalManera que lasuma de los exponentes de a y de ben cada enTrminoes Igual an.a y b pueden ser nmeros, letras o expresiones algebraicasRECUERDABINOMIO DE NEWTONEl binomio de Newton es una frmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una frmula para desarrollar la expresin: ; n N

EjerciciosEncontrar el quinto termino de 12 5

( )12 5

( )792(1)792

3 0 3 0 3 0 3 0

=( ) - ( ) +( )- ( )

Expresin AlgebraicaPropiedades de la Fraccion

FUNCION DE VARIABLE REALSean X y Y dos conjuntos no vacos, subconjuntos de los nmeros reales. Una funcin de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un nico elemento de Y. Esto se representa simblicamente por:

A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como variable dependiente.Ejemplo:F(x)= = + 1

Dominio de una variable real

Sea f una funcin de variable real f: X m Y. El conjunto X para el cual se encuentra denida, constituye el dominio de la funcin. Este conjunto se representa simblicamente por dom f.

Se puede expresar el dominio de una funcin mediante la notacin de intervalos, la notacin de conjuntos, o con palabras, segn sea lo ms conveniente.

Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situacin.

; x 1

Si f (x) contiene una raz de ndice par, esta existir slo si el radicando es positivo o cero.F(x):

EJERCICIOSDeterminar el dominio de la siguiente funcin

F(x)=3x + 2xY

03(0) +2=2

13(1) +2=5

23(2) +2=8

-13(-1) +2=-1

-23(-2) +2=-4

Dom= ( R )

F(x)= ; x 3

Por lo tanto, dom f =R -{3}

F(x)=x-13dom : (Dominio del rango Sea f una funcin de variable real f: X Y, el conjunto de todas las imgenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la funcin. Este conjunto se representa simblicamente por rg f.Ejemplos: Determinar el rango de la funcin f(x)=2x -3Y=2x -3X= Dom:R Rg = R

Grafica de una funcin real

Si f es una funcin de A en B, entonces la grfica de f es el conjunto de puntos o pares ordenados de A x B, tales que sus coordenadas (x, y) pertenecen a f.

Tipos de funciones

Funcion inyectivaUna funcin f: X m Y es inyectiva, si y slo si para cualquier eleccin de nmeros x1 y x2, si x1 x2 en el dominio de f, entonces f (x1) f (x2), esto es:A

x1, x2 X [(x1 x2) m ( f (x1) f (x2))]Una curva en el plano cartesiano representa una funcin inyectiva, si y slo si cualquier recta horizontal interseca su grfica, como mximo, en un punto.

Funcion sobreyectivaUna funcin f: X Y es sobreyectiva, si y slo si todo elemento de Y se encuentra relacionado con algn elemento de X, lo cual se representa por:A

y Y x X [y = f (x)]

Funcion creciente

Una funcin f es creciente en un intervalo , si y slo si para cualquier eleccin de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) b f (x2). A

x1, x2 [(x1 < x2) m ( f (x1) b f (x2))]

Funcion decrecienteUna funcin f es decreciente en un intervalo , si y slo si para cualquier eleccin de x1 y x2 en , siempre que x1= f (x2).A

x1, x2 [(x1 < x2) m ( f (x1) r f (x2))]

Funcion parUna funcin f es par si para todo x en su dominio, el nmero x tambin est en el dominio y adems, f (-x) = f (x).A

x dom f [ f (x) = f (x)]

Funcion ImparUna funcin f es impar si para todo x en su dominio, el nmero x tambin est en el dominio y adems, f (-x) = -f (x).A

x dom f [ f (x) = f (x)]

Funcion PeriodicaUna funcin f (x) que cumple la propiedad:T R x dom f [ f (x T) = f (x)]

Funcion por tramosPara la function f:

Determine: f (1), f (2) y f (5). dom f rg f

Dom f=[-2,5]Rg f=[-3,-1) U [0,4]Operaciones con funcionesSean f y g dos funciones de variable real, se denen las cuatro operaciones fundamentales as:

Funcin suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)Funcin diferencia (f - g)(x) = f (x) -g(x)Funcin producto (f g)(x) = f (x) g(x)Funcin cociente fg(x) = f (x)/g(x), g(x) 0

EJERCICIOS

Dada las funciones de variable real:

Funcion PotenciaUna funcin potencia de grado n,es de la forma f(X)= donde a s un numero real a0 y n>0 es un entero.Ejemplo:F(x)= xY

-24

-11

00

11

F(x)=xY

-216

-11

00

11

F(x)=

xY

-2648

-1312.5

00

140,5

Funcion InversaFuncion uno a unoUna funcionf es uno a uno si para cualquier eleccin de numeri x1 y x2, x1 x2. Es el dominio de f. Entonces f(x1) f(x2).Ejemplo:X1X2X3Y1Y2Y3

De las siguientes graficas identificar cual de las siguientes funciones son uno a uno.

No es funcin uno a uno

Funcion inversaSi f es una funcin uno auno, y va a ser igual a f(x).La inversa de f, denotada por , es una funcin tal que Para todo x el dominio de f y f( para todo el dominio de (x)En donde:Dom f= rg Rg f= dom

Ejemplo:

Y=x=5x xy = 4y + 25x 2=4y + xy5x 2= y(4-x)Y= Y= Y=xY

-2-0.86

-1-0.33

00.4

11,5

xY

-2-6

-1-2,3

0-0.5

10,6

Derivadas1) Derivada de una constanteF(x)=2 F(x)=0

2)Derivada xF(x)=x

3)Derivada de un exponenteF(x)= F(x)=K.U

4)Derivada de un productoF(x)=U.V= U`V + UV`

EJEMPLOS:F(x)=-2

F(x)=

F(x)=