Leyes de los exponentes

I. am.an = am+n

II. (am)n = amn

III. (ab)m = am bm

IV. (a/b)m = am/bm

V. am/an= am-n, m>nVI. am/an = 1/an-m, m<n

Estas leyes han sido establecidas solamente para exponentes enteros y positivos. Sise quiere que estas leyes sean también validas para exponentes que no sean números y positivos, es necesario establecer el significado que se debe dar a los exponentes negativos.

Sea q un numero entero y positivo y por tanto 1/q una fracción positiva. Consideramos ahora el significado que debe tener 1/q como, exponente, es decir, el significado de a1/q cuando a ≠0. Para que la ley de los exponentes I sea valida para este exponente fraccionario deberá verificarse que:

a1/q. a1/q. a1/q….q factor =

a1/q+1/q+1/q+………………q términos

= a(1/q)q = a

Esto es, a1/q tiene que tener la propiedad due que su potencia de grado q sea igual a a. Entonces definimos a1/q como una raíz de índice q de a, y escribimos.

a1/q= q√a

En donde el símbolo √ se llama signo radical y el entero q es el índice de la raíz. Para q=2 es costumbre omitir el índice, correspondiente a la operación llamada raíz cuadrada.

Charles H. Lehman, Algebra, Pag. 51, tema 2.13 Exponentes.

Binomio de Newton

La Ley del Binomio, descubierta por Newton nos permite elevar a un binomio a una potencia cualquiera, directamente, y se cumple para cualquier exponente entero y positivo como probaremos en seguida. Esta Ley general se representa por medio de la siguiente fórmula:

En esto se cumplen las siguientes leyes:

1. Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.2. El exponente de “a” en el primer término del desarrollo es igual al

exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1.

3. El exponente de “b” en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a este, aumenta 1.

4. El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.

5. El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo termino aumentado en 1.

6. El último término del desarrollo es b elevada al exponente del binomio.

EJEMPLO:

Desarrollar (x + y) 4 Aplicando la ley del binomio:

a = x b = y n = 4

= x4 + 4x4 - 1 y + 4(4-1)/ 1.2 x4 - 2 y2 + 4(4-1)(4-2)/1.2.3 x4 – 3 y3 + 4(4-1)(4-2)(4-3)/1.2.3.4

x4 – 4 y4

(x + y) 4 = x 4+ 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 2 y 3 + y 4

Los coeficientes también se pueden obtener siguiendo esto:

El coeficiente del primer término es 1; el del segundo término es 4 (por el exponente de “x” en el 1er término). El tercer coeficiente es 6 (multiplicando el coeficiente anterior por el exponente de “x” en ese término y dividiendo esto entre el exponente de “y” en dicho 2do termino + 1, o sea: 4 x 3 = 12 entre 2 =

6). El coeficiente del 4to termino se encuentra siguiendo el paso anterior, o sea: 6 x 2 = 12 entre 3 = 4, y así sucesivamente.

DESARROLLO DE (a - b) n

Cuando el segundo término del binomio es negativo, los signos del desarrollo son alternativamente + y -. En efecto: (a – b)n = [a + (-b)]n y al desarrollar

podemos escribir:

Desarrollar: (a – 2x) 5 Como el 2do término es negativo los signos se alternan:

(a – 2x)5 = a5 – 5a4 (2x) + 10a3 (2x)2 – 10a2 (2x)3 + 5a (2x)4 – (2x)5

= a5 – 10a4x + 40a3x2 – 80a2x3 + 80ax4 – 32x5

PROBLEMAS DE TAREA:

1. (x4 + 5y3)6

2. (2x – y/2)5

Bibliografía:

Baldor, A. ALGEBRA.

CAPITULO XXVIII POTENCIACION PAG. 382 - 387