Aplicaciones: (E.D de Variables Separables.)Docente: Francisco Arias Dominguez

Ley de Torricelli Drenado de un tanque

Considere un tanque de una cierta forma geomtrica lleno de agua hasta una altura H. Suponga que el aguauye a travs de un oricio de seccin transversal a, el cual est ubicado en la base del tanque. Se desea establecerla altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

Sea h(t) la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y V (t) el volumen de agua del tanque en eseinstante. La velocidad v del agua que sale a travs del oricio es:

v =p2gh (1)

donde g es la gravedad. La ecuacin (1) representa la velocidad que una gota de agua adquirira al caer librementedesde la supercie del agua hasta el agujero.En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un oricio, por

lo que se tendrv = k

p2gh (2)

donde k es el coeciente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < k < 1).Observacin: Cuando el valor del coeciente de descarga k no se indica, se asume que k = 1.Segn la Ley de Torricelli, la razn con la que el agua sale por el agujero (variacin del volumen de lquido

en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el rea adel oricio de salida por la velocidad v delagua drenada, esto es

dV

dt= av; (3)

sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (3), por lo tanto,

dV

dt= ak

p2gh: (4)

Si A(bh) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura bh, aplicando el mtodo del volumenpor secciones transversales se obtiene

V (h) =

hZ0

A(bh)dbhderivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del clculo

dV

dt= A(h)

dh

dt: (5)

De (3) y (5), obtenemos el siguiente modelo8

Notas:| Si, adems, hay aporte de lquido al tanque, la ecuacin diferencial es8

5) Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = x4=3 alrededor del eje y. Siendolas 11 : 27 de la maana se retira un tapn que est en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en eltanque es 12 pies. Una hora ms tarde la profundidad del agua a descendido a la mitad. Determinea) A qu hora estar vaco el tanque?b) A qu hora quedara en el tanque 25% del volumen de lquido inicial?(Rta: a) El tanque demora en vaciarse tv = 4800 = 1 hora y 20 min. Si el proceso de vaciado se inicio a las

11 : 27 am, entonces para saber a que hora el tanque estar vaco, debe sumarse el tiempo de vaciado tv a las11 : 27. Luego, el tanque estar vaco a las 12 : 47 pm. b) El tanque demora t = 3216; 66 seg = 53 min y 36 seg envaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial. Luego tendra el 25% de su capacidad a las 12 : 20 : 36 pm)

6) El tanque que se muestra en la gura est totalmente lleno de lquido. Se inicia el proceso de vaciado, poruna perforacin circular de rea 1 cm2 ubicada en la base inferior del depsito. Si se ha establecido el coecientede descarga k = 0; 447 y la gravedad es g = 10 m=seg2

Determine:a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18; 75% de su capacidad.b) Tiempo de vaciado total del tanque.(Rta: a) El tanque demora en vaciarse hasta el 18; 75% del volumen total t = 126727; 1934 seg = 35 horas 12

min 7 seg = 1 da 11 horas 12 min 7 seg. b) El tanque demora en vaciarse totalmente t = 213435; 273 seg = 59hora 17 min 15 seg = 2 das 11 horas 17 min 15 seg)7) Un tanque lleno de agua, con un oricio circular en el fondo de radio 1 pie, tiene la forma geomtrica dada

por el siguiente grco

a: Calcular el tiempo de vaciado del tanque.b: Encontrar y resolver la ecuacin diferencial que modela el volumen en trmino de h:8) El tanque que se muestra en la gura se encuentra lleno en un 100%: El lquido escapa por un oricio de 5

3

cm2 de rea, situado en el fondo del tanque.

Determinea) Tiempo de vaciado totalb) Tiempo para que el volumen de lquido en el tanque descienda 5 metros.(Rta: a) El tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t = 41709; 9673 seg = 11 horas 35 min 10 seg. b)

El tiempo que demora en descender 5 mts la cantidad de lquido en el tanque es de t = 18315; 34004 seg = 5 horas5 min 15 seg)

9) Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuya dimensiones son 2 mt dedimetro y altura 3 mt. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidad y el liquido escapa por un oricio de 20cm2 de rea situado al fondo del tanque. Determinea) Cunto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque slo un tercio de su capacidad inicial.b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.(Rta: a) Transcurrir un tiempo t = 3251; 2093 seg, esto es 54 min 11 seg, para que en el tanque quede un tercio

del volumen total. b) El tanque se vaca totalmente en un tiempo t = 8189; 7429 seg, es decir, en 2 horas 16 min30 seg)

10) Un depsito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2 mt de radio menor, 4 mt de radiomayor y 8 mt de altura, est lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa por un oricio de 10 cm2

de rea, ubicado al fondo del tanque, y sabiendo que el coeciente de descarga se ha establecido en 0; 75, determine4

el tiempo que tardar en vaciarse totalmente. (Rta: El tanque demora un tiempo t = 5515; 5375 seg, equivalentea 1 hora 31 min 56 seg, en vaciarse totalmente.)

11) El da 15 de julio de 2006, a las 2; 25 pm, se pone a vaciar un tanque cilndrico con eje horizontal, el cualest inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de 10 mt, el radio 4 mt. Si el agua uye por un oriciode rea 2 cm2 , situado en el fondo del tanque y se ha establecido el coeciente de descarga en 0; 6, determine queda y a que hora el taque se vaca totalmente. (Rta: El tanque demora en vaciarse un tiempo t = 283800; 3808seg = 78 horas 50 min = 3 das 6 horas 50 min. Luego, el tanque se vaci despus de 3 das, 6 horas y 50 min deiniciado el proceso de vaciado, el cual comenz el da 15 de julio de 2006 a las 2 : 25 pm. Por lo tanto el tanquetermin de vaciarse el da 18 de julio de 2006 a la 9 : 15 pm)

12) Un tanque en forma semiesfrica de 8 mt de radio est totalmente lleno de agua. Se retira un tapn queest en el fondo, justo a las 4 : 27 pm. Una hora despus la profundidad del agua en el tanque ha descendido 1 mt.Determine:a) A qu hora el tanque estar vaco?b) A qu hora quedar en el tanque 31; 25% del volumen inicial.(Rta: a) El tanque demora en vaciarse 26163; 64395 seg = 7 horas 16 min 4 seg. Si comenz a vaciarse a las

4 horas 27 min de la tarde entonces estar totalmente vaco a las 7 horas 43 min 4 seg de la noche. b) El tanquedemora 14931; 29638 seg = 4 horas 8 min 51 seg en alcanzar 31; 25% del volumen total. Si comenz a vaciarse alas 4 horas 27 min de la tarde entonces alcanzar el 31; 35% del volumen total a las 8 horas 35 min 51 seg de lanoche.)

13) El tanque que se muestra en la Fig:1 est lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarse por un oriciosituado en su base inferior de Acm2 de rea. Si transcurrida 1 hora 6 minutos 40 segundos el nivel libre delquido ha descendido 5 mt y el coeciente de descarga se ha establecido en 0; 8. Determine:

5

a) rea del oricio de salida.b) Tiempo de vaciado total.(Rta: a) A = 1; 652 103 m2. b) El tanque demora en vaciarse totalmente t = 7652; 943 seg = 2 horas 7 min

33 seg.)

14) Un cono circular recto de radio R y altura H tiene su vrtice hacia abajo. El tanque tiene un oricioen el fondo cuya rea A es controlada por una vlvula y es proporcional a la altura del agua en cada instante.Suponiendo que el tanque est lleno de agua, calcular el tiempo de vaciado. Del tiempo de vaciado, qu porcentajees requerido para vaciar la mitad del volumen? (Rta: el porcentaje requerido para bajar la mitad del volumen es29; 3 %)15) Una tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con una profundidad de 10

pies y un tapn en el fondo es retirado en el momento t = 0 (horas). Despus de 1 hora la profundidad del aguaha descendido a 4 pies. Cunto tiempo tardar el agua en salir por completo?16) Un tanque semiesfrico tiene un radio de 1 pie; el tanque est inicialmente lleno de agua y en el fondo tiene

un oricio de 1 pulg. de dimetro. Calcular el tiempo de vaciado.17) Un tanque semiesfrico tiene un radio de 1 metro; el tanque est inicialmente lleno de agua, en el fondo

tiene un oricio de 1 cm de dimetro. Calcular el tiempo de vaciado.18) Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con una profundidad de 10

pies y un tapn en el fondo es retirado en el momento t = 0 (horas). Despus de 1 h la profundidad del agua hadescendido a 4 pies. Cunto tiempo tardar el agua en salir por completo?.19) Suponga que un cilindro que inicialmente contiene V0 galones de agua se vaca (a travs de un agujero en

el fondo) en T minutos. Utilice la ley de Torricelli para demostrar que el volumen del agua en el tanque despusde t T minutos est dado por

V = V0

1 t

T

2:

20) Un tanque cbico de lado 4 pies, est lleno de agua, la cual sale por una hendidura vertical de 18pulg. de

ancho y de 4 pies de alto. Encontrar el tiempo para que la supercie baje 3 pies. (Ayuda: encontrar el nmero depies cbicos por segundo de agua que salen de la hendidura cuando el agua tiene h pies de profundidad).21) Un tanque rectangular vaco de base B2 pies2, tiene un agujero circular de rea A en el fondo. En el instante

t = 0, empieza a llenarse a razn de E pies cbicos por segundo. Hallar t en funcin de h. Mostrar que si el tanquetiene una altura H, nunca se llenara a menos que E > 4; 8A

pH.

(Rta: t = 2a

hb ln

b

bph

phi, b >

ph, donde, a = 4;8A

B2, b = E

4;8A:)

22) Dado el tanque de la gura. Est lleno de H2O, dura en vaciarse: 22281 horas. Los oricios son circulares eiguales. Diga que rea tienen los oricios?

6

Sugerencia: Consideremos el grco

En este caso, el modelo que describe la situacin del problema es:Caso I) Para 9 h 25, tenemos

8>:32dh = 4; 8a

ph+

ph 9

dt

h(0) = 25 y h(t1) = 9

(1)

Caso II) Para 0 h 9, tenemos

8