PRÁCTICA 2:

Ley de conducción de Fourier.

Nahuel Barrios, Carlos Javier Vega, Joaquín Chadicov.

Resumen: En esta práctica se tomaron medidas periódicas de la temperatura en distintas posiciones de

una barra de aluminio cuyos extremos se mantuvieron a temperatura constante. El objetivo de la práctica es comparar estas medidas con los resultados de las predicciones de la ecuación de conducción de calor de Furier.

Se obtuvieron fuertes concordancias cualitativas con el modelo empleado. Sin embargo, hay importantes desviaciones cuantitativas con lo predicho por la teoría, las cuales podrían deberse a hipótesis muy fuertes a la hora de modelar el sistema en cuestión. Algunas de estas hipótesis son, por ejemplo, que la temperatura en los extremos de la barra permanece constante, o haber considerado la barra como un objeto unidimensional, cuando en realidad nuestro dispositivo podría estar más lejos de cumplir estas propiedades de lo esperado. Un análisis más profundo de estas discrepancias puede encontrarse en las conclusiones.

Fundamento teórico:

La ley de Fourier establece la siguiente relación entre calor por unidad de tiempo y área con el gradiente de la temperatura:

Tkq Ecuación 1

Consideremos la región material D en el espacio, como indica la figura. Suponemos que este sistema es cerrado, por lo que no entra ni sale masa y además que cuenta con un volumen fijo.

FIGURA 1.1

Si efectuamos un balance energético en esta región obtenemos la siguiente ecuación:

dsnqudV

tDD

..Ecuación 2

En esta ecuación, u representa la energía interna por unidad de masa que al ser

multiplicada por la densidad de masa e integrada en el volumen de la región D lo que

obtenemos es la energía interna total. Como manifiesta la ecuación, la variación de energía

en el volumen de control se debe al calor que entra o sale a través de la frontera.

Aplicando el teorema de la divergencia del cálculo vectorial llegamos a:

qt

u. Ecuación 3

La densidad no varía en el tiempo, dado que el sistema es cerrado y de volumen

constante. Si sustituimos este resultado en la ecuación 1 tenemos:

t

uTk 2

Ecuación 4

La variación en el tiempo de la energía interna puede ser escrita a partir del calor

específico y la variación de temperatura en el tiempo, o sea:

t

Tc

t

uv Ecuación 5

Podemos unir la ecuación 4 y la ecuación 5 para así obtener la ecuación diferencial a la cual se la denomina usualmente como ecuación del calor:

t

TT

c

k

v

2

Ecuación 6

Para el caso unidimensional como puede ser el caso de una barra que varia su

temperatura en función del tiempo y de una sola variable espacial x, el Laplaciano en esta

ecuación se reduce a la derivada parcial segunda de T en x:

t

T2

2

x

T

c

k

v Ecuación 7

De aquí en más; vc

k

.

La figura 2 muestra una barra metálica a la que en cierto instante se le impone

temperaturas fijas en sus extremos. Evidentemente el calor fluye a través de la barra

haciendo que ésta vaya cambiando su temperatura en el tiempo. Además la temperatura de

la barra no es uniforme, dependiendo de la posición relativa respecto a la barra. Al cabo del

transcurso del tiempo la temperatura comienza a estabilizarse por lo que podemos asumir

que desaparece su dependencia temporal. Desde un punto de vista teórico, esto quiere decir

que el sistema se estabiliza para tiempo infinito, en la práctica podemos pensar en un

intervalo considerable de tiempo dado que, como se demostrará, la temperatura de un

punto en la barra va a depender exponencialmente del tiempo. Por lo tanto vamos a tener

dos estados, uno transitorio al principio y otro estacionario, éste último se caracteriza por

tener un flujo de calor constante.

Figura 2

La solución de la ecuación 7 nos tiene que proporcionar la función ),( xtT cuyo límite en

el tiempo infinito depende únicamente de la variable espacial. Este límite es la solución de la

ecuación para el estado estacionario la cual se obtiene fácilmente si no tenemos en cuenta

la variación del tiempo en la ecuación 7, o sea:

baxxTax

T

x

TE

EE )(02

2

Los valores de a y b se obtienen a partir de las condiciones de borde que se le imponen

a la barra. Por lo tanto:

L

TTaTLaLT

TbbaT

xL

xE

xE

0

0

0

.)(

0)0(

Por ende:

0

0)( x

xL

E TxL

TTxT Ecuación 8

La solución general de la ecuación 7 la podemos escribir como la suma de dos

soluciones dado que es una propiedad de las ecuaciones diferenciales. Estas soluciones

pueden ser ET y otra que también cumpla la ecuación del calor, teniendo que ser esta

ultima dependiente del tiempo.

Por lo tanto se va a cumplir que

),()(),( xtTxTxtT tE Ecuación 9

Teniendo en cuenta las condiciones de borde:

L

x

tE

TLtT

TtT

xtTxTxtT

),(

)0,(

),()(),(

0 0)0,(tTt

y 0),( LtTt

Busquemos soluciones de ),( xtTt haciendo una separación de variables de la forma:

)()(),( xXtGxtTt

Por lo que G(t)X(x) debe verificar la ecuación 7 por lo que deben cumplir la siguiente

relación:

2)(

)(

)(

X

xX

tG

tG Ecuación 10

Por tratarse de dos variables una a cada lado de la igualdad la única forma de que esto

se cumpla es que ambos lados se igualen a una constante, en este caso particular dicha

constante es negativa; la razón de esto quedará en evidencia al resolver las ecuaciones

diferenciales que se explicitan en la doble ecuación 10.

0)()(

0)()(

2

2

xXxX

tGtG

Resolviendo nos queda:

xCxAsenxX

tetG

cos)(

.2)(

En este resultado queda en evidencia que la constante debe aparecer con un signo

de menos adelante ya que solo así 0),(lim xtTtt

.

Considerando las condiciones de borde para ),( xtTt concluimos que A=0 y que

L

n , donde n es un natural. Por lo tanto para cada n distinta tendremos una solución

),(, xtT nt .

La relación que aparece en la ecuación 9 debe cumplir que a tiempo cero la

temperatura sea la inicial en la barra a la que denotamos como 0T :

0),0()(),0( TxTxTxT tE

Por lo tanto:

)(),0( 0 xTTxT Et Ecuación 10

Si tomamos n igual a un k dado de modo que xL

ksenAxT kkt ),0(, la ecuación 10

no se verificaría. Si en vez de esto ponemos ),0(, xT kt como una serie con n desde 1 a .

Ésta va a tener la forma de un desarrollo de Fourier en senos y la función que va a aproximar

va a ser )()( 0 xTTxf E .

O sea: xL

nsenAxf

n

n

1

)( ecuación 11

Esto es posible si y sólo si f(x) se extiende de forma impar en el intervalo [ -L , L ]. Para

ello debemos de redefinir f(x) como:

0

0.

)(0

00

00

xxL

TTTT

xxL

TTTT

xfLx

x

Lxxo

Ecuación 12

Los An que aparecen en la ecuación 11 son los coeficientes de Fourier para desarrollo

en senos de la función f(x) y se encuentran a partir de:

dxxL

nsenxf

LA

L

L

n )(1

Una vez determinados los coeficientes nA podemos escribir la solución general de la ecuación

de calor para este caso como:

texL

nsenAx

L

TTTxtT

n

n

xL

ox.2

.),(1

0 Ecuación 13

Esta ecuación contempla todos los requisitos del problema;

- t

T2

2

x

T

- )(),(lim xTxtT Et

- 0),0( TxT

-0)0,( xTtT y LTLtT ),(

Métodos:

Materiales:

2 recipientes adiabáticos.

Barra de aluminio.

7 Termistores y 7 voltímetros.

Cronómetros.

Agua caliente y hielo

Procedimiento:

En primer lugar se montó el dispositivo experimental; la barra de aluminio con sus extremos en

el interior de dos recipientes. Los termistores se colocaron ajustados en pequeños orificios en la

barra a diferentes distancias, las cuales luego se midieron para determinar la posición de cada

termistor.

Con la ayuda de un cronómetro y 7 voltímetros se tomaron medidas de resistencia de forma

periódica de cada uno de los termistores, siendo la primer medida momentos antes de verter el agua

caliente y el hielo en los recipientes, y la segunda medida momentos después. Se siguió vertiendo

hielo y agua caliente en sus respectivos recipientes acorde a las lecturas de los termistores de los

extremos con el fin de mantener la temperatura de los extremos aproximadamente constante.

Luego se pasaron los datos a una computadora para ser procesados con la ayuda de Matlab.

Análisis de datos:

Para comenzar se calcularon las temperaturas de los diferentes termistores a partir de sus

valores de resistencia y se obtuvo el siguiente gráfico:

Al visualizar el gráfico pueden verse algunas cosas que se esperaban a priori; en primer lugar,

puede verificarse que los extremos de la barra (aparecen como caliente y frío en la gráfica) se

mantuvieron a temperatura aproximadamente constante. La diferencia entre las temperaturas

máxima y mínima no excede los 3ºC. Además puede verse que a mayor temperatura las curvas varían

cada vez menos, lo cual también era esperable siguiendo el modelo teórico.

Debido a lo explicado y deducido en el fundamento teórico, el valor teórico de la temperatura

obedece a la siguiente expresión:

n

n

tL

n

n exL

nsenAx

L

TTTtxT

0

121

2

,

Suponiendo que para el tiempo cero la temperatura es constante en la barra e igual a la

temperatura ambiente (22,8ºC) pudieron calcularse algunos de los coeficientes de la serie.

00, TxT para todo x; entonces:

012

1

0

TxL

TTTx

L

nsenA

n

n

n (*)

A partir de esto último pueden despejarse los coeficientes de la sumatoria.

L

n dxxL

nsenx

L

TTTT

LA

0

1210

2

Resulta obvio, que para llegar a las aproximaciones teóricas buscadas no se podrá utilizar la

cantidad infinita de coeficientes por lo que se buscará un número de éstos que resulte adecuado.

Así se comenzó en un principio con 50 coeficientes. Para obtener alguna orientación al

momento de saber si esto era adecuado se procedió de un modo más bien cualitativo al comienzo.

Se realizó el gráfico en función de x para cada uno de los miembros de (*) para visualizar si la

sumatoria de 50 términos lograba ser una “buena” aproximación de 012

1 TxL

TTT

Dada la imprecisión de la sumatoria al momento de aproximar la recta en algunos puntos

optamos por tomar el doble de términos, y se observó de forma cualitativa que la suma de los 100

términos ajustaba bastante bien la curva deseada. Sin embargo, también lograba verse que las curvas

teóricas de temperatura para la barra obtenidas con 100 términos en la suma no ajustaban de la

forma esperada las curvas de temperatura medidas, para descartar que el error estuviera en la baja

cantidad de términos se realizó un tratamiento de datos con 500 términos. Se comparó la suma con

dicha cantidad de términos y se obtuvo el siguiente gráfico:

Alcanza con mirar la gráfica anterior para afirmar que la serie aproxima la recta mencionada

bastante bien, pero también son notorias las grandes diferencias que hay entre ambos gráficos cerca

de los extremos de la barra.

Si hacemos un acercamiento del gráfico en torno al extremo caliente (posición=0m) esto es lo

que se observa:

La diferencia máxima entre la serie y la recta se da justamente en el extremo de la barra y

resulta ser de aproximadamente 68K, lo cual es una diferencia enorme teniendo en cuenta que los

extremos de la recta difieren en menos de 100K. Sin embargo, se observa que a partir de los 5cm la

serie y la recta difieren en menos de 1K, y el primer termistor (no constante) está ubicado a 7,4cm

del extremo caliente de la barra. Esto indica que la suma de 500 términos aproxima bien (para las

escalas de temperatura manejadas) a la serie infinita en el intervalo donde se ubican los termistores

de interés.

Una de las causas de la diferencia importante observada en los extremos puede venir dada de

suponer en t=0s una temperatura uniforme y constante en la barra. Es de tener en cuenta que el

hielo y el agua caliente usados para modificar la temperatura de los extremos de la barra no pueden

“verterse” de forma instantánea, y demoran un tiempo en estabilizarse las convexiones de calor

interiores a los recipientes, y esto podría afectar de forma inesperada la medida en los termistores.

Sin embargo, sin suponer una temperatura constante (lo cual ciertamente resulta razonable, ya que

la barra debería encontrarse en equilibrio térmico con respecto al ambiente) es difícil imaginar qué

forma adoptaría la temperatura, de modo que al no tener con qué comparar y al no resultar para

nada descabellada la suposición hecha, se continuará el trabajo con estos coeficientes y con el

número de ellos antes mencionado.

Una vez calculados los An sólo resta hallar el valor de λ para obtener la expresión teórica de la

evolución de la temperatura en función de la posición y el tiempo dentro de la barra.

Esto se realizó mediante la función de Matlab, fminsearch; buscando aquel valor de λ que

minimizaba la suma de los cuadrados de la diferencia entre el valor teórico y experimental para cada

uno de los tiempos en los cuales se tomaron datos y para cada punto de la barra en el cual se

encontrara un termistor.

Se obtuvo un valor de λ para cada termistor, sin embargo la ecuación que rige el fenómeno es

una sola, así que se tomo λ como el promedio de los valores obtenidos para cada termistor. El

resultado obtenido fue: λ= (3.8436 ± 0.8612)x10-5m2/s. El error es la desviación estándar de los cinco

valores obtenidos inicialmente con respecto al promedio.

Una vez calculados todos los parámetros que determinan la serie en la ecuación de la

temperatura, se procedió a calcular el término lineal de dicha ecuación.

Para tiempos muy grandes, el término de la serie en la ecuación de la temperatura se aproxima

a cero y predomina el término que es lineal con la posición. Tomando en cuenta lo anterior se hizo

un promedio de los últimos 5 valores e temperatura medidos para cada termistor. Luego se realizó

un ajuste lineal de dichos valores en función de la posición de los termistores y se hallaron los

coeficientes de la recta:

En el siguiente gráfico se pueden comparar la recta teórica hallada con las temperaturas finales:

El error en las Temperaturas proveniente de las medidas de resistencia con los voltímetros es

del orden de 1K, por lo que no sirve para explicar las diferencias observadas en la grafica anterior.

También, el coeficiente de correlación entre la temperatura final y la posición es de 0.93, lo cual

también es muy bajo, pero aún así parece indicar que existe una relación lineal entre ambas

variables.

Con los coeficientes del término lineal y del término de la serie hallados estamos en condiciones

de comparar los resultados experimentales con la función teórica obtenida.

La comparación entre ambas curvas se aprecia en las siguientes gráficas:

Como se puede apreciar, todas las gráficas muestran que la curva teórica tiene una forma

similar a la experimental. Sin embargo, también son evidentes las grandes diferencias observadas,

de más de 20K en algún caso.

Como ya se mencionó anteriormente, los errores obtenidos para la temperatura, los cuales

rondan el Kelvin no sirven para explicar estas diferencias. Y si bien λ también se obtuvo con una

desviación considerable, se hicieron las gráficas para λ±σλ y se obtuvieron soluciones

apreciablemente diferentes, pero tampoco explican estas diferencias observadas.

Conclusiones: En principio podemos concluir con sólo observar las gráficas, que las temperaturas se estabilizan

de forma aparentemente exponencial con el tiempo de acuerdo a lo que predice el modelo, ya que

las soluciones teóricas obtenidas tienen una forma similar a los datos tomados.

También se observa que grandes diferencias entre las medidas de temperatura y lo predicho por

la teoría, especialmente para tiempos finales. Esto puede deberse a diversos factores.

En principio, sabemos, de las observaciones hechas en el análisis de datos, que los coeficientes

An obtenidos para aproximar la serie con 500 sumandos ajustan bien la recta 012

1 TxL

TTT

,

lo cual sugiere que no debe de haber un error significativo en esta parte. Sin embargo, no hay que

olvidarse de que el ajuste lineal para las temperaturas finales en función de la posición no resultó

satisfactorio, con un coeficiente de correlación de tan solo 0.93 y un error en las medidas que no

llega a explicar la falta de correlación lineal entre dichas cantidades. Esto podría implicar que la recta

aproximada por la serie tiene un error relativamente grande que desconocemos, y los An son

consecuentemente afectados del mismo error.

Si el problema no yace en los An (lo cual tampoco podemos afirmar con seguridad) debe

encontrarse entonces en el factor λ de la parte exponencial de la serie. Y de hecho, es probable que

así sea ya que se observa que las curvas experimentales de temperatura se vuelven constantes antes

que las teóricas, y aparentemente es esa la causa de las grandes diferencias de temperatura para

tiempos finales.

Si bien no hay variaciones importantes de la temperatura en los extremos de la barra, se ve

claramente que no permanece constante. Recordando que dichas temperaturas están relacionadas

con el término lineal de la ecuación, se deduce que, dicho término no sería tan lineal como

esperábamos, sino que variaría con el tiempo de una forma que desconocemos, haciendo que al

aplicar fminsearch a las diferencias cuadráticas de los valores experimentales y la función teórica

para hallar λ, hallamos un valor de λ diferente al real, el cual tal vez debería hasta variar con el

tiempo según las fluctuaciones en la temperatura de los extremos de la barra.

Otro factor importante a tener en cuenta es la calibración de los termistores, la cual fue para

todos la misma cuando tal vez podrían tener calibraciones diferentes entre sí. Esto cambia la

constante de proporcionalidad B entre la temperatura y el logaritmo de la resistencia y produce así

curvas más achatadas o ensanchadas en altura (en temperatura) en relación a las observadas. Siendo

ese el caso, las desviaciones observadas con respecto a la temperatura teórica podrían disminuir

considerablemente. De todas formas parece más importante el efecto de la variación en la

temperatura de los extremos de la barra.

Por último, hay que reconocer la extrañeza en la falta de linealidad con respecto a la posición en

las temperaturas finales. Esto podría deberse a la consideración de que es un fenómeno

unidimensional cuando en realidad podría no ser tan así. Por ejemplo, si hubiese termistores

ubicados a distintas distancias del eje de la barra (cilíndrica) sería de considerar la transmisión de

calor en la componente perpendicular al eje x de la barra, y lo mismo si la densidad de la barra no

fuese uniforme. Por supuesto que las observaciones anteriores; la falta de constancia en la

temperatura de los extremos y la calibración posiblemente errónea de los termistores son factores

importantes en esta parte, especialmente el último mencionado; en principio las temperaturas

finales obtenidas para cada termistor podrían no ser las correctas y por esta razón encontrarse

corridas de la recta a la que deberían ajustarse. En cualquier caso nos es imposible afirmar cual de

estos factores resulta más significativo al momento de comparar con nuestro modelo teórico.

Bibliografía:

H.B. Callen; Thermodynamics and an introduction to thermostatistics.