Ley de los gases ideales

Ley de Boyle

( )constanteatemperaturaconstante=PVLey de Charles

( )constantepresiónaconstante=TV

Ley combinada

CT

PV=

Podemos calcular el valor de la constante C substituyendo el volumen que ocupa un gas a determinada condición de temperatura y presión. Para una masa dada de gas, el volumen es diferente para diferentes gases. Sin embargo, un kilomol de cualquier gas ocupa un volumen igual a 224 m3 a 0°C y una atmósfera de presión (condiciones STP). Para n kilomoles, el volumen es n(224 m3). Substituyendo estos valores en la ley combinada (cambiando primero los grados Celsius a Kelvin) tenemos:

( )( )

( )

KmolJ

KkmolJR

nRKkmolJnCK

mNkmolmnCT

PV

⋅=

⋅×=

=⋅×=

×==

31.81031.8donde

1031.815.273

10013.1/224

3

3

253

Ecuación de un gas ideal

Se sabe que un mol de cualquier gas tiene el mismo número de moléculas NA = 6.022x1023 moléculas/mol. El número de moléculas N en n moles es N=nNA. La ecuación anterior puede escribirse en términos de N de la siguiente manera:

nRTPV =

Podemos escribir ahora la ley combinada en términos del número de moles n y la constante R:

NkTTNRNPV

A

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

donde k = 1.38x10-23 J/K es la constante de Boltzmann.

Teoría Cinética de los GasesCálculo de la presión ejercida por un gas sobre las paredes del envase en términos de cantidades microscópicas:

1

El momento transferido a la pared 1 por una molécula que, moviéndose a la derecha con velocidad vx1, choca con ésta es:

11 2 xmvp =∆

El momento total transferido por todas las N1 moléculas moviéndose con velocidad vx1, las cuales están contenidas en el volumen A(vx1∆t), es:

( )( ) tAmvVNmvtAv

VNp xxxtotal ∆=∆=∆ 2

11

111

1 221

La fuerza total ejercida por todas las moléculas de clase 1 es:

AmvVN

tp

F xtotal 2

111

1 =∆

∆=

y la presión ejercida por esta clase de moléculas es:

21

111 xmv

VN

AFP ==

Supongamos que hay N2 moléculas moviéndose con velocidad vx2, N3 moléculas moviéndose con velocidad vx3, etc. La presión total será la suma de las presiones debido a cada grupo de moléculas:

( )+++=

+++=

233

222

211

23

322

221

1

xxx

xxx

vNvNvNmPV

mvVN

mvVN

mvVN

P

Definimos la velocidad promedio en x por la siguiente ecuación:

NvNvNvNv

NNNvNvNvNv

xxxx

xxxx

+++=

++++++

=

233

222

2112

321

233

222

2112

De la última ecuación tenemos:

2233

222

211 xxxx vNvNvNvN =+++

Por lo tanto:2xvmNPV =

En general,

2222zyx vvvv ++=

Como las moléculas se mueven completamente al azar, tenemos que

2222

31 vvvv zyx ===

Usando este resultado, el producto PV es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

2

2

21

3231

vmNPV

vmNPV

La cantidad en paréntesis es la energía cinética promedio de una molécula Kprom:

23 promPV N K NkT= =

De ésta última ecuación tenemos que la energía cinética promedio de una molécula es proporcional a la temperatura. En otras palabras, la temperatura es una medida de la agitación molecular en el gas:

32promK kT=

Calor específico molar de un gas ideal

Energía interna de un gas:

Asumiendo el gas es monoatómico, tenemos

( )int

int

32

32

prom A

A

E NK nN kT

RUsando k tenemosN

E nRT

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

Vemos que la energía interna de un gas ideal depende solo de la temperatura.

Calor específico molar a volumen constante

( )int

:

0 .1 :

32

32

3 12.52

V

V

V

V

Calor añadido esQ nc TEl trabajo es cero Wra ley termo E Q W

nRT nc T

nR T nc T

Jc Rmol K

= ∆

=

∆ = −

⎛ ⎞∆ = ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = ∆

= =⋅

Calor específico molar a presión constante

int

:

.1 :

32

32

32

p

p

p

p V

Calor añadido esQ nc T

El trabajo W p Vra ley termo E Q W

nRT nc T p V

nR T nc T nR T

c R R c R

= ∆

= ∆∆ = −

⎛ ⎞∆ = ∆ − ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = ∆ − ∆

= + = +

Expansión adiabática de un gas:

1

, pi i f f

V

cpV const ó pV p V

cnRT V const ó TV constV

γ γ γ

γ γ

γ

−

= = =

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

int

int

int

0

3 32 2

1 1

1 1

V

V

dE dQ dW pdVdE pdV

dE nRdT n R dT nc dT

pV nRT pdV Vdp nRdT

dT pdV VdpnR nR

nc pdV Vdp pdVnR nR

= − = −

= −

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∴ + =

= +

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0

0

0

0

V V

V V

p V

V V

p

V

c cpdV VdpR Rc R cpdV Vdp

R Rc pdV c Vdpc pV c pVc dV dpc V pγ

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

+ =

0

ln lnln

dV dpV pV p const

pV constpV const

γ

γ

γ

γ

+ =

+ =

=

=