LES PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLE · 2009. 3. 11. · 2000]. Cal tenir present, a més, que les...

LES PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLE

COM A INSTRUMENT PEDAGÒGIC DE MILLORA

DELS RESULTATS DELS APRENENTATGES

MATEMÀTICS AL BATXILLERAT

ESTUDI TEÒRIC, VALIDACIÓ EXPERIMENTAL I

ELABORACIÓ DE MATERIALS CURRICULARS AUTOR: JOSEP M. OLM MIRAS COS: PROFESSORAT D’ENSENYAMENT SECUNDARI ESPECIALITAT: MATEMÀTIQUES CENTRE: IES RIBERA BAIXA – EL PRAT DE LLOBREGAT LLICÈNCIA PER AL CURS 2005-2006MODALITAT A

DR. PELEGRÍ VIADER CANALS DEPARTAMENT D’ECONOMIA I EMPRESA

SUPERVISOR:

UNIVERSITAT POMPEU FABRA

3

AGRAÏMENTS El treball que recull aquesta memòria ha comptat amb la col·laboració desinteressada i inestimable de persones i institucions que, d’una o altra manera i en major o menor grau, han contribuït amb temps i esforç al seu desenvolupament. Vull fer menció als IES Pla d’en Boet de Mataró, IES Ribera Baixa d’El Prat de Llobregat, IES Torre Roja de Viladecans i IES XXV Olimpíada de Barcelona, que m’han permès portar a terme la part pràctica del treball amb alumnat de 2n curs de Batxillerat. Aquest agraïment és particularment especial per al professorat de Matemàtiques que ha intervingut directament en l’experiència i que, a banda de les classes, han hagut de dedicar moltes hores de feina a la preparació i revisió coordinada de programacions, material didàctic i resultats, així com a suportar visites i contestar correus electrònics i trucades telefòniques de qui signa amb paciència infinita i educació contrastada. A més, els seus suggeriments han estat de gran ajuda en la definició del procediment i, per descomptat, en l’èxit del pilotatge. Des d’aquí doncs, Moltes Gràcies Sr. Sergi Cámbara, Sr. Juan Flavio Felipe, Sra. Àngels Otón i Sr. Kepa Uranga! Voldria també aprofitar aquest apartat per fer constar el meu agraïment a totes aquelles persones a qui he robat estones i coneixements per tal de preparar aquesta memòria. Demano sinceres disculpes a tots i totes aquells i aquelles que ben segur em deixo: Dr. Claudi Alsina, Dept. d’Estructures Arquitectòniques – UPC Sra. Sara Arjona, Unitat de Projectes TIC per a l'Educació – Dept. d’Educació i Universitats Sr. Jaume Bartrolí, SGTI – Dept. d’Educació i Universitats Sr. Francesc Busquets, SGTI – Dept. d’Educació i Universitats Dra. Anna Cuxart, Dept. d’Economia i Empresa – UPF Dr. Vicenç Font, Dept. de Didàctica de les C. Experimentals i de la Matemàtica – UB Sra. Cristina Fuertes, SGTI – Dept. d’Educació i Universitats Sr. Antoni Gomà, IES Joanot Martorell – Dept. d’Educació i Universitats Dr. Antoni Montes, Dept. de Matemàtica Aplicada II – UPC i Coordinador de l’àrea de Matemàtiques de les PAU Dr. Miguel-Carlos Muñoz, Dept. de Matemàtica Aplicada IV – UPC

4

Dr. Sergi Múria, IES Margarida Xirgu – Dept. d’Educació i Universitats i Grup TELEMAT – Dept. de Didàctica de les C. Experimentals i de la Matemàtica – UB Dr. Josep Otón, IES Joan Miró – Dept. d’Educació i Universitats Sr. Xavier Ros, Facultat de Matemàtiques i Estadística – UPC Dra. Núria Rosich, Dept. de Didàctica de les C. Experimentals i de la Matemàtica – UB Dr. Rafael Torrubia, Dept. de Psiquiatria i Medicina Legal – UAB Dr. Cristòfol-A. Trepat, Dept. de Didàctica de les Ciències Socials – UB Dr. Jorge Villar, Dept. de Matemàtica Aplicada IV – UPC Finalment vull agrair, també de manera molt especial, la tasca de la persona que ha supervisat aquest treball: el Dr. Pelegrí Viader, professor del Dept. D’Economia i Empresa i Vicerector de Comunitat Universitària de la UPF. Malgrat les seves múltiples ocupacions, derivades entre altres de la tasca docent i de recerca, del càrrec que ocupa i de la seva reconeguda activitat envers la difusió de les Matemàtiques a Catalunya, des de bon començament el Dr. Viader va mostrar molt d’interès per la proposta de treball que li vaig plantejar, i de seguida va acceptar fer-se’n càrrec de la supervisió. A partir d’aquí, les seves idees, suggeriments i comentaris han contribuït en gran mesura a culminar amb èxit, si se’m permet, la iniciativa. Des d’aquí vull fer-li saber que ha estat per mi un privilegi i un plaer poder compartir amb ell totes aquestes estones parlant de Matemàtiques.

5

ÍNDEX Agraïments .....................................................................................................3 Índex ...............................................................................................................5 1.Introducció ..................................................................................................7 1.1 Hipòtesi de partida i objectius ..................................................................8 1.2 Descripció del treball ...............................................................................9 1.3 Justificació del tema ...............................................................................11 1.4 Marc referencial en el qual es fonamenta l’estudi ..................................12 1.5 Aplicacions en el sistema educatiu .........................................................14 2. Estudi teòric ..............................................................................................17 2.1 Introducció ............................................................................................ 17 2.2 Presència i grau d’utilització de PEM en el nostre entorn .....................17 2.2.1 PEM a l’educació secundària .....................................................................17 2.2.2 PEM a les PAU ........................................................................................18 2.2.3 PEM a la Universitat .................................................................................18 2.3 Instruments de mesura del rendiment acadèmic .....................................19 2.3.1 Requisits de les proves de rendiment acadèmic ..............................................19 2.3.2 Tipus de proves de rendiment acadèmic ........................................................21 2.4 Les PEM com a instruments pedagògics de millora dels aprenentatges 24 2.4.1 PEM i avaluacions formativa i diagnòstica ....................................................25 2.4.2 Revisió d’experiències prèvies ....................................................................25 2.4.3 PEM i rendiment en funció del gènere .........................................................26 2.5 Elaboració de proves d’elecció múltiple ................................................26 2.5.1 Elements d’una PEM .................................................................................27 2.5.2 Elaboració d’ítems d’opció múltiple .............................................................27 2.5.3 Valoració de PEM .....................................................................................28 2.5.4 Avaluació de PEM ....................................................................................28 3. Validació experimental .............................................................................31 3.1 Introducció .............................................................................................31 3.2 Descripció de la intervenció didàctica ....................................................31

6

3.3 Anàlisi de resultats .................................................................................35 3.3.1 Condicions inicials i evolució dels resultats ...................................................36 3.3.2 Anàlisi dels ritmes d’aprenentatge ...............................................................39 3.3.3 Efecte de la resolució de tests diagnòstics sobre les notes de l’examen i del test de síntesi .............................................................................................................44 3.3.4 Rendiment en funció del gènere ..................................................................47 3.3.5 Comparació de correccions de l’examen final ................................................48 3.3.6 Comparació de les avaluacions fetes amb PEM i amb examen ..........................49 3.3.7 Avaluació del test final: anàlisi d’ítems i valoració de la prova .........................50 4. Materials curriculars .................................................................................53 4.1 Introducció .............................................................................................53 4.2 L’entorn “Quaderns Virtuals” ................................................................53 4.3 Continguts avaluats amb els models de PEM ........................................54 5. Conclusions i recerca futura ...................................................................105 Annex 1: Programació del tema impartit en la fase de pilotatge ................109 Annex 2: Recull d’exercicis .......................................................................113 Annex 3: Solucionari del recull d’exercicis ...............................................129 Annex 4: Proves diagnòstiques ..................................................................183 Annex 5: Elements per a la diagnosi enviats als centres ............................189 Annex 6: Examen i test finals ....................................................................201 Annex 7: Solucions dels tests diagnòstics i final, i criteris de correcció de l’examen final .............................................................................................205 Annex 8: Revisió de continguts de Matemàtiques de 1r de Batxillerat .....209 Bibliografia .................................................................................................223

7

1. INTRODUCCIÓ Les proves d’elecció múltiple (d’ara endavant PEM), també conegudes com a proves tipus test, són instruments de mesura objectiva de capacitats que s’utilitzen en entorns molt diversos des de fa vàries dècades. Des dels tests de personalitat i d’intel·ligència (per exemple l’estàndard WAIS), de tots coneguts, als tests d’aptitud per al desenvolupament de determinades funcions, abastament usats en processos de selecció de personal [Consultores 2005], passant per la part teòrica de l’examen per obtenir el carnet de conduir, qui més qui menys ha de resoldre en algun moment PEM en diferents contextos. Pel que fa al món acadèmic, les PEM són un instrument habitual d’avaluació en múltiples estudis universitaris. Destaca, sobre tot, el cas de Medicina, on la majoria dels futurs professionals de la salut trien especialitat segons l’ordenació donada pels resultats de l’examen MIR, que és enterament tipus test. D’altra banda, des de fa aproximadament dos cursos les professores i professors que impartim assignatures al Batxillerat venim sentint que s’introduiran preguntes tipus PEM en les Proves d’Accés a la Universitat (PAU). En les convocatòries de 2004 algunes matèries incloïen PEM amb un pes variable en la nota final. Pel que fa a l’àrea de Matemàtiques, en les diverses reunions convocades a finals de 2004 per informar de les PAU 2005 es va comentar el fet que s’inclourien PEM en les proves de 2006. Malgrat el que hem exposat fins ara, podem afirmar sense por a equivocar-nos que en l’ensenyament secundari, i concretament a Batxillerat, no s’utilitzen –o s’utilitzen molt poc– PEM. Sembla que les limitacions de les PEM com a prova de rendiment acadèmic (PRA) –que les té, com en tenen totes les PRA–, han passat pel davant dels seus avantatges globals com a instrument pedagògic amb grans possibilitats [Sans i Trepat 2000]. Cal tenir present, a més, que les PEM, amb l’ajut de les noves TIC, poden contribuir decisivament a la motivació de l’alumnat envers l’estudi. A tot això cal afegir el fet que diversos treballs posen de manifest que la resolució de PEM, com qualsevol altre instrument d’avaluació, precisa d’una tècnica que només s’assoleix de forma efectiva via la pràctica reiterada. Això fa que, en igualtat de condicions, individus que tenen experiència en la resolució de PEM tinguin a priori més possibilitats d’èxit davant una prova d’aquest tipus que d’altres que s’hi troben per primera vegada [Guilbert 1994]. Per tot l’exposat més amunt penso que estem en un moment en el qual es fa necessari plantejar la introducció de PEM com a element didàctic al Batxillerat. Aquest treball està integrat per dues parts. En la primera es proposa, bàsicament, estudiar les possibilitats que poden oferir les PEM en la millora del procés d’ensenyament-aprenentatge de capacitats matemàtiques, tant des del punt de vista d’eina avaluadora de resultats com d’instrument de diagnosi de processos i de motivació a l’estudi. La segona part consisteix

8

en l’elaboració de models de PEM per al curriculum de Matemàtiques de les modalitats de Batxillerat de Ciències de la Naturalesa i la Salut i de Tecnologia. 1.1 HIPÒTESI DE PARTIDA I OBJECTIUS El treball de recerca educativa que es presenta parteix de la següent hipòtesi: Les proves de correcció objectiva i, en particular, les PEM, constitueixen un instrument pedagògic la utilització del qual comporta una millora de l’eficiència dels resultats dels aprenentatges matemàtics de l’alumnat de Batxillerat i, a la vegada, posa en contacte els estudiants amb una eina d’avaluació de capacitats d’ús generalitzat en les etapes acadèmiques i professionals posteriors a l’educació secundària post-obligatòria. Per tal de provar aquesta hipòtesi, es fixen els objectius relacionats a continuació: a) Dimensionar l’ús de PEM com a instrument de recollida d’informació objectiva que permeten la presa de decisions referides a capacitats individuals en múltiples camps del nostre entorn. b) Posar de manifest els avantatges que pot representar per a l’alumnat el fet d’haver-se enfrontat a la resolució de PEM durant el Batxillerat de cara al seu futur acadèmic i/o professional. c) Estudiar els diferents tipus de proves de rendiment acadèmic que permeten avaluar de forma objectiva els resultats dels aprenentatges matemàtics de l’alumnat de Batxillerat. d) Descobrir l’aplicabilitat de les PEM en tant que: d.1) Instrument de mesura objectiva de les competències matemàtiques que ha d’assolir l’alumnat de Batxillerat. d.2) Instrument que permet recollir informació destinada a fer una diagnosi sobre les diferents fases i processos de l’aprenentatge d’una determinada competència matemàtica. d.3) Instrument pedagògic que afavoreix l’aprenentatge de capacitats Matemàtiques. e) Proporcionar al professorat arguments, criteris i recursos per tal que pugui usar, de manera eficaç i en la justa mesura, PEM com a instrument d’avaluació objectiva i diagnòstica i, en definitiva, com a eina didàctica de millora dels resultats del procés d’ensenyament-aprenentatge dels continguts de Matemàtiques de Batxillerat. f) Posar a l’abast de professorat i alumnat, via els recursos que actualment ofereixen les noves tecnologies, tot un recull de models de PEM per a cadascun dels diferents temes

9

que componen el currículum de l’assignatura de Matemàtiques de les modalitats de Batxillerat de Ciències de la Naturalesa i la Salut (CNS) i de Tecnologia (T). g) Utilitzar l’entorn de treball “Quaderns Virtuals”, de recent desenvolupament a la SGTI del Departament d’Educació i que forma part de l’entorn EDUCAMPUS, com a suport dels models de PEM descrites a l’apartat anterior, amb la intencionalitat següent: g.1) Mostrar al professorat d’una forma pràctica les possibilitats dels “Quaderns Virtuals” com a eina vehicular d’aprenentatge de les Matemàtiques en particular i, per extensió, de la resta de matèries del currículum. g.2) Motivar i, d’aquesta manera, potenciar l’estudi personal de l’alumnat, ja que el fet d’haver de treballar en línia i amb proves de resposta tancada possibilita una correcció automàtica dels exercicis. Això ha de revertir tant en estímul de continuació com en afany de superació per tal de, prèvia consolidació d’un determinat nivell de coneixement, passar al nivell superior. 1.2 DESCRIPCIÓ DEL TREBALL El treball té tres parts i s’organitza tal com segueix: 1) Primera part: Estudi teòric En aquesta part es porta a terme un estudi teòric sobre la validesa de les PEM com a element dinamitzador del procés d’ensenyament-aprenentage de les capacitats matemàtiques al Batxillerat. Així, aquí es troben: 1. Un petit recull d’informació sobre la presència i grau d’utilització de PEM en el nostre entorn. Aquí l’objectiu és dimensionar l’ús que es fa de les PEM en l’entorn dels ensenyaments secundaris postobligatoris. 2. Un estudi dels diferents tipus de proves de rendiment acadèmic (PRA) que es poden usar per avaluar els resultats dels aprenentatges matemàtics. Això permet situar les PEM dins el context de les PRA, comparar les seves característiques i donar indicacions per tal d’adequar correctament el tipus de PRA amb l’objectiu de l’avaluació. 3. Un estudi de l’aplicabilitat de les PEM com a instruments pedagògics d’afavoriment de l’aprenentatge de capacitats matemàtiques. Es planteja explorar la capacitat de les PEM per contribuir de forma efectiva a la millora de l’eficiència dels aprenentatges de continguts matemàtics al Batxillerat. El fet que permeten una correcció immediata les fa idònies per fomentar la discussió guiada a l’aula. A la vegada, la facilitat de correcció en línia permet l’autoaprenentatge de l’alumnat. Si a tot això hi sumem el fet que la feina es

10

pot fer en el marc d’Internet, les TIC ens proporcionen un element motivador afegit l’efectivitat del qual està abastament descrit i demostrat. D’altra banda, val a dir que l’avaluació diagnòstica té una importància capital en el procés d’aprenentatge, en tant que actua com a element regulador del sistema: és la que proporciona el feedback necessari que permet l’adequació de l’acció educativa de l’ensenyant a la realitat de l’aula. S’estudien també en aquest apartat les característiques de l’avaluació diagnòstica i es posa de manifest de quina manera poden les PEM aportar la seva dosi d’objectivitat a aquest tipus d’avaluació. L’anàlisi d’experiències realitzades en aquest sentit contribueix a validar la tesi. 4. Un estudi de les normes d’elaboració de PEM. Ens permetrà sistematitzar el treball amb PEM segons els estàndards referenciats a la literatura especialitzada, per tal de fugir d’idees preconcebudes i evitar errors de planteig en la seva confecció. L’objectiu aquí és proveir-nos d’un procediment que possibiliti una explotació rendible de les PEM en tant que eines d’avaluació objectiva de capacitats i diagnòstica de processos. 2) Segona part: Validació experimental Per tal de validar experimentalment la hipòtesi de treball i a l’hora, proporcionar un exemple pràctic d’aplicació de les PEM a la tasca docent habitual del professorat de Matemàtiques de Catalunya, s’ha portat a terme una experiència didàctica consistent, a grans trets, en el següent: en quatre grups de 2n de Batxillerat de les modalitats CNS i T, corresponents a quatre IES diferents, s’ha impartit un tema del currículum de Matemàtiques amb una programació comuna, amb l’única diferència que en dos dels centres s’han realitzat diversos tests diagnòstics al llarg del desenvolupament del tema. Al final s’ha proposa un examen final “clàssic” i un altre tipus test idèntics per a tothom, i s’han fet un estudi comparatiu de resultats. 3) Tercera part: Elaboració de materials curriculars Aquesta part inclou tot un recull de models de PEM per a cadascun dels diferents temes que componen el currículum de l’assignatura de Matemàtiques de 2n curs de Batxillerat, modalitats de CNS i T. Aquesta col·lecció ha estat elaborada a partir d’una anàlisi dels continguts curriculars de la matèria fet en el següent sentit: partint dels blocs temàtics i continguts prescriptius que marca la normativa vigent [Decret 182/2002], s’ha fet un repartiment per temes i, dins cada tema, s’han explicitat els conceptes i procediments corresponents; a partir d’aquí s’han confeccionat les preguntes. Això es pot trobar abans dels models de prova, juntament amb una relació de les preguntes associades a cada contingut conceptual a procedimental. La col·lecció de PEM, que aquí es presenta en format Word, està disponible a Internet via l’aplicació “Quaderns Virtuals”, de recent desenvolupament al SGTI del Dept. d’Educació i Universitats. És per això aquesta part s’inicia amb un petit estudi de l’entorn de treball “Quaderns Virtuals”.

11

1.3 JUSTIFICACIÓ DEL TEMA El treball està directament relacionat amb tres de les temàtiques prioritzades en la convocatòria: informació, orientació i transició a la vida activa, didàctica de les Matemàtiques i aplicació de les TIC en el procés d’ensenyament-aprenentatge. Això es justifica tot seguit. 1) Informació, orientació i transició a la vida activa Les PEM són abastament usades com a instruments de mesura objectiva de capacitats en la vida activa que espera l’alumnat de l’etapa de secundària post-obligatòria una vegada l’hagin finalitzat. Tal i com s’ha mencionat en apartats anteriors, tant aquells estudiants que continuïn formant-se acadèmicament com aquells que s’incorporin al mercat laboral hauran de resoldre PEM en camps tals com: - proves d’accés a la Universitat - exàmens en un gran nombre de carreres universitàries - part teòrica de l’examen per a l’obtenció del carnet de conduir - tests d’intel·ligència, de personalitat i/o de determinades capacitats - processos de selecció de personal Així, la trobada de l’alumnat amb PEM és segura tot just després del Batxillerat, i a partir dels resultats es prendran decisions que poden ser d’especial transcendència per a ells. Donat que la resolució de PEM requereix d’un cert procés d’entrenament per tal d’assolir bons nivells de rendiment, entenem que el contacte dels estudiants amb aquest tipus de proves els serà especialment beneficiós de cara a la transició a futures etapes de la seva vida. 2) Currículum i innovacions: didàctica de les Matemàtiques La introducció de PEM en l’ensenyament de les matemàtiques al Batxillerat representa una innovació didàctica per les següents raons: a) Es tracta d’un instrument molt poc utilitzat en l’ensenyament secundari. b) Es proposa utilitzar-lo no només en la seva versió clàssica de prova de rendiment acadèmic (PRA), sinó també com a element de diagnòstic de processos i de millora del procés d’ensenyament-aprenentatge de capacitats matemàtiques. c) En el marc de les TIC, el fet que sigui possible realitzar PEM des de qualsevol ordinador i obtenir-ne una correcció immediata contribueix tant a motivar l’alumnat com a facilitar l’autoaprenentatge en una disciplina com les Matemàtiques, on això resulta a vegades particularment complicat.

12

d) La introducció d’un nou element pedagògic comporta una reflexió prèvia individual (professor) i col·lectiva (departament didàctic) sobre els objectius a aconseguir i l’elecció de les vies per assolir-los, cosa molt positiva pel sistema educatiu. e) L’elaboració de PEM atenent les recomanacions especificades en els textos especialitzats (veure, per exemple, [Carreño 1977], [Fernández, Sarramona i Tarín 1977], [Gronlund 1978] o [Guilbert 1994]) comporta una tasca d’equip que reverteix directament en una millora de la praxis professional individual. 3) Tecnologies de la informació i la comunicació: aplicació de les TIC en el procés d’ensenyament-aprenentatge Les possibilitats que ofereixen les PEM es veuen amplificades per la plataforma que representen les noves tecnologies: a) Des del punt de vista del professorat, la disponibilitat en xarxa tant de models de PEM com d’eines que els permetin generar les seves pròpies PEM, bé per a ús del seu alumnat, bé per compartir amb altres companys no pot sinó revertir en una millora notable de la didàctica de les Matemàtiques. b) Pel que fa a l’alumnat, és de tothom coneguda la motivació addicional que representa poder treballar amb ordinador i, encara més, via Internet. A aquest fet cal afegir que la correcció de PEM en línia no només és possible sinó que és immediata. Això possibilita tant un treball guiat pel professor/a a l’aula d’informàtica com una tasca d’autoaprenentatge de l’alumne.

c) El treball proposa la utilització dels Quaderns Virtuals, eina de recent desenvolupament per part de la SGTI del Departament d’Educació, com a suport dels models PEM de la fase de pilotatge i també d’aquells que es proposa generar en la segona part (apartat 2.2.5). És doncs obvi que s’està aplicant un novíssim instrument TIC al procés d’ensenyament-aprenentatge i, a la vegada, es contribueix a la seva millora i difusió entre la comunitat educativa no ja de forma genèrica, sinó des de l’experiència positiva. 1.4 MARC REFERENCIAL EN EL QUAL ES FONAMENTA L’ESTUDI Les PEM són, eminentment, un tipus de PRA, això és, un element d’avaluació. Així, el marc teòric que serveix de referència per a aquest estudi és aquell que considera l’avaluació un element motor fonamental no només del sistema educatiu, sinó de la societat en general. El Dr. Joaquín Giménez, del Dept. de Didàctica de la Matemàtica de la UB, exposa en el seu llibre [Giménez 1997] les funcions que cal esperar a dia d’avui de l’avaluació a Matemàtiques. A continuació s’expliciten aquestes funcions i el paper que al nostre parer juguen les PEM en cadascuna d’elles.

13

1) Funció social L’estudiant, un cop superada l’etapa d’escolarització obligatòria, continua la seva formació en un sistema de competitivitat creixent en el que es dóna prioritat a la diferenciació social de l’alumnat. Així, la capacitat matemàtica sol ser un element decisori a l’hora d’aconseguir una feina, seleccionar aspirants per a una determinada funció, etc. Cal, per tant, anar preparant l’estudiant de Batxillerat en aquest sentit i, a ser possible, començar a usar elements d’avaluació habituals per a aquesta tasca en etapes posteriors a la secundària post-obligatòria. Una d’aquestes eines són les PEM. 2) Funció ètica i política La funció ètica de l’avaluació ha de destacar la legitimitat de l’error com a via d’accés al coneixement, complementada amb la crítica i superació del coneixement deficient. A més, considerar l’avaluació com a part del procés educatiu implica una concepció de l’ensenyament com a revisió constant d’allò que succeeix, i comporta per tant una postura crítica i oberta del professor. Al mateix temps es promou una obertura ètica, ja que es recull i proporciona informació a tots els actors del procés educatiu. El model d’utilització de PEM que es proposa en el treball contempla la posta en comú de la correcció, a fi i efecte de fomentar la discussió tot encetant diàlegs sobre les diverses opcions de resposta de l’alumnat i aprofitant els errors per reflexionar sobre la seva naturalesa i descobrir individualment i conjunta les respostes correctes. D’altra banda, la vessant diagnòstica que permet l’ús de PEM ajuda a la reorientació continuada del procés d’ensenyament-aprenentatge en el sentit d’una més sòlida adquisició de les competències matemàtiques. Finalment, les característiques inherents a la correcció de PEM fan que la informació sobre el procés educatiu que es pot facilitar sigui altament objectiva, contribuint així de manera substancial a la funció ètica de l’avaluació. 3) Funció pedagògica Aquesta és la funció més important de l’avaluació, ja que es centra en la regulació i control de l’aprenentatge i les seves interaccions. Amb ella es pot adequar constantment la planificació del professorat a les dificultats dels estudiants. També ha de permetre assessorar l’alumne sobre els seus progressos i motivar-lo en el domini de noves capacitats matemàtiques. Les PEM com a instruments de valoració de resultats i diagnosi de processos satisfan perfectament les característiques de la funció pedagògica.

14

4) Funció professional Es manifesta en el caràcter reflexiu que implica l’avaluació pel que fa a la constant formació que es requereix sempre del professorat. Cal, per tant, controlar el propi sistema avaluador en tant que adequat a les seves funcions i finalitats: - viabilitat: adequada als interessos i subjectes implicats. - utilitat: promoció i control de progressos. - propietat: ha d’identificar habilitats, estudiar errors, regular processos, intervenir en la planificació i influir en les decisions. - precisió: fiabilitat, validesa i objectivitat han d’estar entre les seves característiques. Les PEM permeten portar a terme la funció professional de l’avaluació sempre que es preparin de forma adequada. Diversos textos entre els que destaquen [Gronlund 1978], [Pérez i Torrubia 1981] o [Guilbert 1994] expliciten com s’han d’elaborar les PEM perquè responguin a aquestes expectatives. També aquestes obres constitueixen un marc de referència per al treball proposat. Finalment, es considera també com a referent els criteris i orientacions per a l’elaboració d’instruments d’avaluació objectiva de resultats d’aprenentatges matemàtics i per a l’avaluació diagnòstica dels processos d’aprenentatge continguts a [Busquets, 2002]. Val a dir que aquesta referència treballa l’etapa educativa corresponent a secundària obligatòria. 1.5 APLICACIONS EN EL SISTEMA EDUCATIU És objectiu genèric del present treball que reverteixi de manera directa en la millora de la pràctica docent, en la millora organitzativa dels centres, en la innovació i la recerca educativa, en l'aprofundiment dels continguts curriculars, en les estratègies metodològiques i en els recursos didàctics. Això s’aconsegueix en tant que les aplicacions que se’n deriven es concreten en els següents aspectes: 1. Justifica la conveniència d’introduir PEM en la pràctica docent habitual dels i les ensenyants de Matemàtiques. 2. Fomenta la reflexió crítica del professorat sobre la seva pròpia tasca docent, tant individualment com en el sí del Departament, donat que planteja utilitzar un nou instrument didàctic. 3. Descobreix les PEM com a elements eficaços d’avaluació objectiva i diagnòstica de capacitats matemàtiques i, fins i tot, com a instruments pedagògics que permeten millorar l’eficiència dels resultats dels aprenentatges.

15

4. Proporciona al professorat arguments, criteris i recursos per tal que pugui usar, de manera eficaç i en la justa mesura, PEM com a instrument d’avaluació objectiva i diagnòstica i, en definitiva, com a eina didàctica de millora dels resultats del procés d’ensenyament-aprenentatge dels continguts de Matemàtiques de Batxillerat. 5. Exemplifica de forma pràctica les prestacions de l’eina “Quaderns Virtuals” tant pel que fa a l’aprenentatge dirigit com a l’autoaprenentatge, alhora que contribueix pròpiament al desenvolupament de l’aplicació. 6. Posa a l’abast de professorat i alumnat una col·lecció completa de PEM per a cadascun dels temes que componen el currículum de l’assignatura de Matemàtiques de Batxillerat, agrupats per concepte o procediment i també per nivell de dificultat, possibilitant així diverses opcions de selecció dels exercicis. 7. Contribueix al foment de l’autoavaluació mitjançant TIC. Aquestes actuen com a element motivador en el procés d’ensenyament-aprenentatge de continguts matemàtics de l’alumnat de Batxillerat. 8. Permet tant l’organització d’un curs de formació del professorat específic sobre proves de rendiment acadèmic com la inclusió de part del material en un curs més genèric sobre avaluació a l’àrea de Matemàtiques.

17

2. ESTUDI TEÒRIC 2.1 INTRODUCCIÓ En aquesta secció ens proposem un doble objectiu. D’una banda, a l’apartat 2.2 es posa de manifest el poc ús que es fa de les PEM a l’educació secundària, en contrast amb la creixent importància que van assolint en àmbits acadèmics immediatament posteriors, és a dir, PAU i Universitat. En segon lloc, es tracta de fer-se una idea de la teoria que suporta la utilització de PEM. Donat que les PEM són, essencialment, un instrument avaluatiu, es recomana al lector que consulti prèviament els capítols 1 i 2, apartat 2.1, del treball [Busquets 2002], on s’estableix un marc teòric sobre avaluació per després contextualitzar-lo en l’àmbit de l’avaluació matemàtica. Per tal d’evitar solapaments innecessaris, l’apartat 2.3 del present estudi està dedicat directament als instruments de mesura de rendiment acadèmic. La validesa de les PEM com a instrument de millora de l’eficiència dels aprenentatges s’estudia a l’apartat 2.4, i l’apartat 2.5 està centrat en les normes de preparació, aplicació, valoració i avaluació de PEM. El material exposat en aquests tres últims apartats ha estat extret, bàsicament, de [Fernández, Sarramona i Tarín 1977], [Guilbert 1994], [Gronlund 1978] i [Pérez i Torrubia 1981]. 2.2 PRESÈNCIA I GRAU D’UTILITZACIÓ DE PEM EN EL NOSTRE ENTORN 2.2.1 PEM a l’educació secundària Les PEM són un recurs molt poc utilitzat actualment en la pràctica docent habitual dins l’ensenyament secundari. Malgrat això, hi ha tres experiències que val la pena destacar. La primera la constitueixen les proves CANGUR [Cangur]. Es tracta d’un concurs de Matemàtiques en el qual hi participen un gran nombre d’estudiants de Catalunya, el País Valencià, les Illes i la Comunitat de Múrcia, agrupats en quatre nivells educatius, des de 3r d’ESO a 2n de Batxillerat. Consisteix en resoldre 30 preguntes tipus PEM, amb cinc opcions de resposta cadascuna i amb grau de dificultat creixent. El temps de què es disposa és 1h 15m. El nombre de participants s’incrementa cada any, i en el Cangur 2006 se n’han registrat 15491. La segona experiència, descrita a [Sans i Trepat 00] i referida a la matèria d’Història de Batxillerat, verifica que les PEM mesuren igual i són més fiables i equitatives en la seva emissió de judici posterior que les proves d’assaig. Cal destacar que en aquest estudi es posa de manifest la capacitat de les PEM per valorar adequadament els sis nivells de coneixement segons la taxonomia de Bloom [Rosales 81]: coneixements, comprensió, aplicació, anàlisi, síntesi i avaluació, tot i que fa menció explícita de la necessitat de recórrer a altres tipus de PRA per avaluar àrees d’expressió i determinat tipus de

18

problemes. Finalment, es conjectura que la incorporació continuada de PEM al llarg del curs podria facilitar un seguiment del procés d’aprenentatge de l’alumnat i, a l’hora, constituir un bon estímul per a la continuïtat de l’ensenyament. La tercera experiència representa la verificació de la hipòtesi avançada al final del paràgraf anterior. El grup de recerca DHIGES [DHIGES 06], format en el sí del Dpt. de Didàctica de les Ciències Socials de la UB, ha treballat el tema “L’avaluació de correcció objectiva com a eina de millora de l’eficiència de l’aprenentatge en els resultats de les PAU a Catalunya a la disciplina d’Història” sota la direcció del Dr. Trepat. L’experiència està comentada amb detall a l’apartat 2.4. 2.2.2 PEM a les PAU Com ja s’ha comentat anteriorment, en les proves PAU de 2004 algunes matèries incorporaven PEM amb un pes variable en la nota final. Destaquem entres aquestes la Química, la Tecnologia, la Filosofia i la Història de la Música [PAU 04]. En les PAU 2005 i 2006 s’ha extès a d’altres assignatures, com ara la Física. Diversos estudis [Cuixart i Longford 98], [Grau, Cuxart i Martí-Recober 02], [Cuxart 99], [Sans i Trepat 00] han posat abastament de manifest que la millora de la qualitat en el procediment d’admissió a la universitat passa, entre altres, per reduir la variabilitat en la nota deguda al procés de correcció. L’efecte de factors tals com la severitat (grau de “duresa” en la correcció per part d’un corrector) i la inconsistència (canvis aleatoris en els criteris de correcció degut a cansament, nombre d’exàmens corregits anteriorment, ...) en la variabilitat de les notes ha aportat valors inacceptables fins i tot en Matemàtiques i, si bé la concreció dels criteris de correcció disminueix un xic aquesta variabilitat, és obvi que les proves objectives la redueixen a zero. És per tant d’esperar, en un futur immediat, que una part important dels exàmens proposats a les PAU continguin PEM, tal i com es proposa a [Cuxart 99]. A més, des del Departament d’Educació i Universitats es posa a disposició de tot l’alumnat de Batxillerat interessat a presentar-se a les PAU la possibilitat d’exercitar en línia els seus coneixements sobre les diverses matèries objecte d’estudi. Això es fa mitjançant la pàgina web POSA’T A PROVA [Posa’t a prova 05]: tots els exercicis són via PEM i és possible la correcció immediata. Pel que fa a l’assignatura de Matemàtiques, entre el 04/04/2005 i el 21/06/2005 es van registrar 50624 preguntes contestades. Això s’ha d’interpretar en el sentit que l’alumnat sí fa ús d’aquest tipus de recursos i referma l’interès i utilitat que pot tenir l’elaboració dels materials curriculars realitzada a la Secció 4. 2.2.3 PEM a la Universitat L’ús de PEM per mesurar el rendiment dels estudiants universitaris s’ha anat consolidant en el nostre país durant els últims vint anys i avui en dia és una eina absolutament habitual en estudis que van de la Psicologia i Psicopedagogia a les Enginyeries, passant per la Medicina. De fet, i a títol de curiositat, cal esmentar l’existència d’un tríptic editat

19

pel Gabinete Psicopedagógico de la Universitat de Granada on es fan una sèrie recomanacions als estudiants de cara a la resolució d’exàmens tipus test [GPP 2005]. Des de la pàgina web [Guia Medicina 0405] dels estudis de Medicina de la UAB es pot comprovar que totes les assignatures de primer curs excepte una tenen exàmens amb PEM. Pel que fa a l’Enginyeria de Telecomunicació, per exemple, a l’ETSETB de la UPC els estudiants de 1r curs són avaluats mitjançant PEM en les quatre matèries de Matemàtiques que cursen, amb pesos oscil·lants entre el 50% i el 90% de la nota. A la Facultat de Psicologia de la UB es poden trobar assignatures com “Psicobiologia”, “Bases i inicis del desenvolupament” o “Aprenentatge i motivació” amb avaluacions que inclouen PEM [Guia Psicologia 0405], mentre que els estudiants de Psicopedagogia de la UAB tenen PEM en diverses assignatures, entre les que es destaquen “Psicologia de l’Educació” o “Psicologia del desenvolupament i de l’educació” [Guia Psicopedagogia 0405]. D’altra banda, des de la pàgina web de determinats estudis d’Enginyeria (Telecomunicació [ETSETB 05], Camins [ETSECCPB 05], ...) es pot resoldre una col·lecció de PEM destinades a orientar l’aspirant a estudiant universitari de les seves capacitats i/o mancances per tal de començar la carrera amb garanties. Finalment, val a dir que les Universitats catalanes estan actualment immerses en un procés de renovació pedagògica catalitzat, entre altres, pels requeriments derivats de la transició a l’Espai Europeu d’Educació Superior en quant a actualització de metodologies. L’impuls de projectes d’innovació docent en els últims anys és molt remarcable, i entre aquests destaquen els dedicats a virtualització d’assignatures –seguint la línea de la UOC– en ensenyaments semipresencials. El paper de les PEM és fonamental en tot allò que representa autoaprenentage i avaluació [ICE-UPC]. 2.3 INSTRUMENTS DE MESURA DEL RENDIMENT ACADÈMIC L’avaluació de l’assoliment dels objectius educatius, ja sigui contínua, formativa, diagnòstica o sumativa, es recolza en les mesures realitzades mitjançant proves de rendiment. Així, les proves de rendiment acadèmic constitueixen els instruments amb els qual es pretén mesurar i/o millorar el progrés en els aprenentatges. 2.3.1 Requisits de les proves de rendiment acadèmic Les PRA han de complir quatre requisits bàsics: 1) Fiabilitat És la constància amb què un instrument mesura una variable determinada. Aquest tipus de constància s’ha d’entendre com constància dels resultats en el temps, constància dels resultats segons les preguntes i constància dels resultats segons els examinadors. Així, una prova és fiable quan la seva puntuació en un individu o mostra es manté en

20

circumstàncies similars. La fiabilitat és un concepte purament estadístic que es mesura mitjançant diversos coeficients, cadascun dels quals està relacionat amb factors que la poden afectar. La proximitat a 1 d’aquests coeficients indica una major fiabilitat: a) Fiabilitat test-retest. La mateixa prova es passa dues vegades i es correlacionen els resultats. Cal especificar l’intèrval de temps entre aplicacions. b) Fiabilitat mitjançant formes paral·leles. Es tracta d’aplicar dues versions de la mateixa prova a un mateix individu o mostra i correlacionar les puntuacions. Cal especificar si les aplicacions són simultànies o no i, en el segon cas, cal indicar l’intèrval de temps entre aplicacions. c) Fiabilitat per divisió en meitats. La prova es divideix en dues meitats comparables, això és, amb continguts equivalents, i es correlacionen les puntuacions. d) Fiabilitat de Kuder-Richardson. Es basa en la consistència de les respostes dels individus a tots els elements de la prova, que augmenta en funció de la seva homogeneïtat. Es pot calcular mitjançant el coeficient KR21 de Kuder-Richardson (veure [Pérez i Torrubia, 1981]). e) Fiabilitat del corrector. Es calcula tot correlacionant les puntuacions que un mateix corrector atorga a una mateixa prova en dos instants diferents. 2) Validesa La validesa es refereix al grau de precisió amb que una prova mesura veritablement allò per al qual ha estat dissenyat com a instrument de mesura. Cal, doncs, d’evitar les interferències degudes a la manera d’avaluar. Per exemple, si en un aprova es vol mesurar capacitat de síntesi, s’ha de procurar que no entre en competició amb ella un altre element, com podria ser l’estil. D’entre els diferents tipus de validesa descrits a [Pérez i Torrubia, 1981], la que realment interessa en el camp de l’avaluació educativa és l’anomenada validesa de contingut. Es determina, essencialment, a partir de l’examen sistemàtic del contingut de la prova per tal de determinar si inclou una mostra representativa de l’àrea a la qual es suposa que representa. L’àrea de contingut a considerar ha d’estar descrita prèviament a l’elaboració de la prova. Així, una prova té validesa de contingut quan avalua una mostra representativa dels coneixements o capacitats que s’esperen de l’alumnat. És doncs fonamental una correcta definició d’objectius on s’especifiqui al màxim el tipus de resposta que s’espera de l’alumnat en finalitzar el període d’ensenyament-aprenentatge [Fernández, Sarramona i Tarín 1977]. 3) Objectivitat Mesura el grau de concordància entre les puntuacions que correctors independents assignen a una determinada execució. L’objectivitat es pot estudiar a partir del coeficient de correlació calculat entre les puntuacions donades per diversos examinadors a un mateix examen.

21

4) Comoditat Ve determinada pel temps necessari per a la construcció de la prova, la seva administració, qualificació i interpretació dels resultats. Mai ha de prevaldre sobre la validesa de la prova. A banda d’aquestes qualitats bàsiques, [Guilbert 1994] llista les següents qualitats complementàries: - Pertinença: grau de respecte dels criteris establerts en la selecció de les preguntes per tal que estiguin en concordància amb la finalitat de l’instrument de mesura. És molt semblant a la validesa de contingut. - Equilibri: s’ha de donar entre la proporció de preguntes associades a cada objectiu i la proporció que correspondria idealment. - Equitat: grau de concordància entre les preguntes proposades i el contingut dels ensenyaments. - Especificitat: qualitat que fa que un alumne/a intel·ligent que no ha seguit els ensenyaments sobre els quals versa la prova obtingui un resultat equivalent a l’esperable per atzar. - Discriminació: la prova ha de permetre distingir l’alumnat que ha assolit els continguts avaluats de l’alumnat que no els ha assolit - Eficiència: qualitat de l’instrument de mesura que permet el major nombre de respostes independents per unitat de temps. - Temps: la durada de la prova ha de ser adequada al seu contingut - Extensió: la fiabilitat d’un instrument de mesura pot incrementar-se a voluntat per addició de noves preguntes de qualitat equivalent a les que constitueixen la prova original. 2.3.2 Tipus de proves de rendiment acadèmic Hi ha diverses maneres de recollida d’informació per portar a terme una activitat avaluadora[Busquets 2002]. Les més tradicionals i utilitzades són les proves escrites, i seran aquestes les que centraran la nostra atenció. Així, segons el tipus de resposta [Pérez i Torrubia, 1981] distingeix: 1) Proves de subministrament: l’alumnat ha d’elaborar la resposta. Aquestes proves poden ser: 1.1) Proves tipus assaig extens: l’alumnat ha de desenvolupar un tema ampli.

22

1.2) Proves tipus assaig resumit: s’han de contestar preguntes concretes respecte d’algun tema. 1.3) Proves de resposta breu: s’ha de respondre de forma molt concisa, amb una paraula o frase. 1.4) Proves amb resposta de complement: es tracta d’omplir espais en blanc. 2) Proves de selecció: l’alumnat ha de tria la resposta adequada entre diverses opcions presentades. Els tipus més habituals són: 2.1) Vertader-fals: cal indicar la certesa o falsedat d’un determinat enunciat. 2.2) Correspondència: es proporciona una llista de premisses i una altra de respostes, totes en ordre aleatori. L’alumnat ha de relacionar cada premissa amb la resposta correcta. 2.3) Elecció múltiple: es presenta una pregunta seguida de diferents opcions de resposta , entre les quals es troba o es troben les respostes correctes, que han de ser indicades per l’alumnat. Les més comuns són aquelles en les quals la resposta correcta és única, i han estat les escollides en aquest treball. A elles ens referim quan parlem de PEM. Les PRA també admeten una classificació segons el tipus de correcció emprada: A) Proves objectives. Són aquelles per a les quals diferents examinadors haurien d’atorgar una mateixa puntuació. En aquest grup s’inclouen les de resposta breu, resposta de complement i totes les de selecció. B) Proves d’assaig. Són aquelles que no poden, o és molt difícil que puguin, ser corregides amb criteris objectius, la qual cosa fa que diversos examinadors puguin atorgar puntuacions força diferents. En aquest grup es troben les proves d’assaig extens i les d’assaig resumit. En taula de la pàgina següent se’ns presenta una comparació entre les proves objectives i d’assaig. La PRA ideal seria aquella que recollís els avantatges dels dos tipus de proves i, a l’hora, pogués deixar de banda els seus inconvenients. Hauria de poder ser corregida objectivament i, a més, permetre mesurar tots els nivells d’aprenentatge que, segons la taxonomia de Bloom, són: a) Coneixements: retenció del material prèviament estudiat. b) Comprensió: entesa del significat del material.

23

Proves objectives Proves d’assaig Resultats Bones per mesurar

coneixements, comprensió, aplicació i anàlisi. Poc adequats per mesurar capacitats de síntesi i avaluació.

Poc eficaços per mesurar coneixements. Bons per a comprensió, aplicació i anàlisi. Òptims per mesurar síntesi i avaluació.

Validesa de contingut Alta, ja que tenen moltes preguntes.

Baixa, ja que tenen poques preguntes.

Preparació de les preguntes Llarga i laboriosa. Curta i senzilla. Qualificació Objectiva, ràpida i fiable. Subjectiva, llarga i poc

fiable. Factors que distorsionen les qualificacions degut a l’examinat

Habilitat de lectura. Respostes a l’atzar.

Habilitat d’expressió escrita.

Factors que distorsionen les qualificacions degut a l’examinador

Cap. Emocions, cansament, presentació de l’examen, tipus de lletra.

Efecte sobre l’aprenentatge Ajuden a recordar, interpretar i analitzar les idees d’altres. El coneixement dels resultats de la prova pot ser immediat, cosa que possibilita una millora de l’aprenentatge.

Ajuden a organitzar, integrar i expressar les idees pròpies. El coneixement dels resultats no pot ser immediat.

Font: [Pérez i Torrubia, 1981] c) Aplicació: ús de la informació en situacions concretes. d) Anàlisi: divisió del material en les seves parts. e) Síntesi: integració de les parts en un tot. f) Avaluació: jutjar el valor d’una cosa per a un propòsit determinat, tot emprant criteris prèviament definits. És clar que aquest tipus de prova no existeix. Per tant, caldrà triar el tipus de prova més adequada davant una necessitat avaluativa concreta. Tanmateix, però, si no ens és prioritari mesurar les capacitats de síntesi i avaluació, les PEM són les més completes en el sentit anteriorment indicat [Pérez i Torrubia, 1981].

24

L’argument d’objectivitat, ja indicat a la taula anterior, també té un pes específic molt important a favor de les PEM. A [Torrubia i Pérez 2005] es reporten dues experiències empíriques que posen de manifest la poca objectivitat de les proves d’assaig i de les possibilitats de reduir la diferència mitjançant l’acord de criteris de correcció. D’altra banda, ja s’ha comentat a l’apartat 2.2.2 la variabilitat que es presenta en les notes de Matemàtiques de les PAU, malgrat s’adoptin criteris de correcció detallats. 2.4 LES PEM COM A INSTRUMENTS PEDAGÒGICS DE MILLORA DELS APRENENTATGES L’objectiu principal de les PEM és el de millorar l’aprenentatge, i el seu ús pot tenir un efecte immediat i directe en els següents aspectes [Gronlund 1978]: 1) Motivació. Els tests periòdics proporcionen a l’alumnat metes a curt termini, aclarint els resultats que poden esperar i donant-los un feedback relatiu als seus progressos. L’anunci de l’aplicació d’un test incrementa l’activitat d’aprenentatge per part de l’alumne i, malgrat que a vegades aquest efecte es considera indesitjable, la seva influència no és necessàriament negativa. En tot cas, aquesta dependrà de la fidelitat amb què els resultats reflecteixin els resultats dels aprenentatges que pretenem que assoleixi l’alumnat, i també de l’ús que fem d’aquesta informació. Així, l’anàlisi dels resultats del test amb els i les alumnes constitueix la necessària retroalimentació relativa a les capacitats que han assolit en relació a determinats continguts, cosa que proporcionarà la pauta per efectuar els canvis necessaris de cara a la millora del seu rendiment. D’aquesta manera, PEM elaborats adequadament poden motivar i encaminar l’alumnat per tal que treballi en la consecució dels objectius del curs. 2) Retenció i transferència. Donat que les PEM tendeixen a dirigir els esforços dels estudiants cap a objectius mesurables, es poden usar com a instruments per augmentar la retenció i transferència del procés d’aprenentatge. En general, els resultats d’aprenentatge a nivell d’enteniment, aplicació i interpretació de conceptes es retenen durant més temps i tenen un major valor de transferència que no pas els resultats pura i simplement coneguts. La inclusió de mesures d’aquests aspectes del coneixement els les PEM permetrà focalitzar més fàcilment l’atenció en els aspectes més elevats de l’aprenentatge, augmentant així la probabilitat que aquest tingui un valor més permanent per a l’alumnat. 3) Autocomprensió. És element fonamental en tot el procés educatiu que l’individu assoleixi una millor comprensió de sí mateix, per tal que pugui prendre decisions de manera més intel·ligent i valorar més eficaçment el seu propi rendiment. Els tests periòdics i el feedback

25

proporcionat pels resultats atorguen a l’alumnat una informació per tal que pugui planificar de manera objectiva el seu programa educatiu, escollir educació futura i desenvolupar capacitat d’autoavaluació. 2.4.1 PEM i avaluacions formativa i diagnòstica L’avaluació formativa [Rosales 1981] té com a finalitat el perfeccionament del procediment didàctic en un moment en que encara s’està a temps de portar-lo a terme. Pedagògicament, l’avaluació formativa ve a constituir una constatació permanent del nivell d’aprenentatge de cada alumne en cada unitat d’aprenentatge. Aquesta constatació es pot portar a terme a través de procediments d’observació de l’activitat discent o bé a mitjançant l’aplicació de proves amb caràcter freqüent i molt específic. És aquí on [Gronlund 1978] estableix que la informació proporcionada pels resultats de PEM pot ajudar a determinar el grau d’assoliment dels objectius didàctics, de l’adequació de la metodologia docent i de la bona organització de les experiències d’aprenentatge, això és, avaluació formativa. Així, quan una majoria d’estudiants té un rendiment deficient respecte a preguntes equivalents d’un test idòniament validat, cal que el professorat actuï a nivell per tal de corregir aquesta tendència. D’altra banda, l’avaluació diagnòstica té per objecte conèixer les dificultats d’un alumne/a davant un determinat concepte, així com les causes subjacents als esmentats errors o problemes d’aprenentatge. [Rosales 1981] apunta la possibilitat d’utilitzar en ella instruments d’avaluació estandaritzats, entre els quals s’inclouen les PEM. Es fa doncs palès que els resultats del test no solament informen sobre el progrés d’assoliment de capacitats individuals, també poden revelar mancances en el procés d’aprenentatge personals o grupals. Per tant, les respostes dels estudiants i la posterior discussió de resultats proporciona indicis sobre fonts de dificultat i permet l’adopció de mesures correctores individuals i col·lectives. 2.4.2 Revisió d’experiències prèvies A [DIGHES 2004] es descriu el pilotatge d’una experiència similar a la que es planteja en aquest treball, amb tres diferències: involucra uns 800 alumnes, està centrada en la matèria d’Història de 2n de Batxillerat i abasta un curs sencer. En el treball es comparen rendiments entre alumnes que han rebut ensenyaments “iguals”, amb la diferència que en un dels grups s’han anat introduint periòdicament proves tipus test al llarg del curs. La conclusió obtinguda és remarcable: el grup que ha resolt PEM acaba obtenint gairebé un punt més de mitjana en les PAU d’Història. Cal esmentar, però, que això s’observa únicament si es compara els grups amb test i sense que han estat impartits per un/a mateix/a professor/a. Pel que fa a l’àrea de Matemàtiques, específicament, no hi ha descrit res semblant a la literatura, i els experts consultats no en tenen coneixement. Únicament a [Sánchez i Ice 2004] es recolza l’ús de tests a classes de Matemàtiques tenint l’alumnat davant l’ordinador i amb finalitat diagnòstica.

26

En el treball de O. Busquets, “L’avaluació dels aprenentatges matemàtics: cap a una avaluació objectiva dels resultats i diagnòstica dels processos” [Busquets 2002] es donen, previ estudi teòric, eines per a l’elaboració de proves per a l’avaluació objectiva i per a l’avaluació diagnòstica a partir d’una experiència de pilotatge. En algun moment usa tests. 2.4.3 PEM i rendiment en funció del gènere El rendiment en Matemàtiques en funció del gènere ha estat i és una qüestió força controvertida. [Lánguiz 2001] cita diversos treballs que indiquen diferències de gènere en el rendiment a Matemàtiques i d’altres que marquen el contrari. Altres treballs apunten al fet que, el rol social és causa de petites diferències observades a favor dels nois, cosa que s’accentua a les societats occidentals [Cai 2002], [Mukhopadhyay 2004] i, que, en qualsevol cas, tendeixen a disminuir [Lauzon 2001]. Pel que fa al format de la pregunta i les possibles diferències de gènere en el rendiment, els autors tampoc no es posen d’acord. Per exemple, [O’Neil i Brown 1997] no observen diferències de gènere a l’hora de resoldre preguntes de resposta oberta i PEM. En canvi, [Kimball 1989] reporta una lleugera diferència en favor dels nois pel que fa a PEM, mentre la balança s’inclina cap al cantó de les noies quan es tracta de proves més clàssiques. Aquesta experiència té un interès particular pel que fa a aquest treball, doncs les proves passades són de Matemàtiques. En relació a Catalunya, les úniques dades disponibles són les de les proves CANGUR [Cangur]. Un una ràpida mirada als cartells de premis dels últims anys permeten observar una clara polarització dels millors resultats per part dels nois. Tot i tractar-se d’una prova competitiva i, per tant, de resultats no extrapolables directament al gruix de la població estudiantil, no és menys cert que convoquen un gran nombre d’alumnes (veure apartat 2.2.1) i les diferències observades no deixen ningú indiferent. En el pilotatge de la part experimental d’aquest treball s’ha marcat el gènere com a variable. Els resultats estan presentats i analitzats a l’apartat 3.3 2.5 ELABORACIÓ I AVALUACIÓ DE PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLE A l’apartat 2.3.2 s’han posat de manifest els avantatges de les PEM en tant que bons instruments de mesura de coneixements, comprensió, aplicació i anàlisi no només davant les proves d’assaig, sinó també davant els altres tipus de proves objectives, a les que supera en grau de validesa contingut [Pérez i Torrubia 1981]. En aquest apartat, després de descriure els elements constitutius d’una PEM, ens centrarem en les normes bàsiques per a la seva elaboració i avaluació, tot seguint les indicacions de [Gronlund 1978] i [Pérez i Torrubia 1981].

27

2.5.1 Elements d’una PEM Les PEM estan constituïdes per ítems, el nombre dels quals variarà en funció dels objectius educatius a avaluar. Cada ítem consta d’un enunciat, on es presenta una determinada situació problemàtica, i diverses opcions de resposta. En el cas més habitual, només una de les possibles respostes és correcta. Les respostes incorrectes reben el nom de distractors i, tal i com el seu nom indica, tenen per objecte confondre l’alumnat que no està segur de la resposta correcta. Tot i que no es prescriptiu, a efectes de valoració de la prova és aconsellable que el nombre d’opcions de resposta de cada ítem sigui sempre el mateix dins una mateixa PEM. Això s’observa amb claredat a l’apartat 2.5.3. El nombre d’opcions de resposta sol variar entre tres i cinc. 2.5.2 Elaboració d’ítems d’elecció múltiple Idealment, un ítem d’opció múltiple hauria de presentar als estudiants una tasca que vingui al cas, que s’entengui clarament i que només pugui ésser contestada correctament (llevat d’atzar) per aquelles persones que hagin assolit l’aprenentatge corresponent. A continuació es presenta un petit recull de normes que, enteses de forma no dogmàtica, han de servir per a una adequada preparació d’ítems d’opció múltiple: 1) Cada ítem ha de mesurar un resultat important de l’aprenentatge. 2) La pregunta de l’ítem ha de presentar un sol problema. 3) La pregunta de l’ítem ha d’estar ha d’estar clarament formulada i, en la mesura del possible, ha d’estar redactada amb un llenguatge clar i senzill. 4) La pregunta de l’ítem ha d’incloure tot el contingut comú possible, de manera que les opcions de resposta continguin tot just les paraules imprescindibles. 5) La pregunta de l’ítem s’ha de formular en forma afirmativa, sempre que sigui possible. 6) Quan una pregunta es formuli en sentit negatiu, cal remarcar clarament aquest fet. 7) En el cas de PEM amb ítems d’una sola opció de resposta correcta, cal assegurar-se que tots i cadascun dels ítems tenen una i només una opció de resposta correcta. 8) Totes les opcions de resposta han de ser gramaticalment consistents amb la pregunta de l’ítem i han de tenir forma paral·lela a la d’aquest. 9) En la redacció de la pregunta cal evitar indicis sintàctics que permetin l’alumnat seleccionar la resposta correcta o descartar distractors. 10) Els distractors han d’aparèixer com plausibles i atractives a estudiants poc informats.

28

11) Variar la longitud relativa de la resposta correcta en els diferents ítems, per tal que aquesta dada no es pugui usar com a indici sobre la resposta correcta. 12) Cal evitar en la mesura del possible la opció de resposta “totes les anteriors” i utilitzar amb molta cura “cap de les anteriors”. 13) Variar a l’atzar la posició de l’opció de resposta correcta. 14) Controlar la dificultat de l’ítem bé variant la pregunta, bé variant les opcions de resposta. 15) Cal assegurar-se que cada ítem és independent dels altres, això és, cal evitar que la informació donada en la pregunta d’un ítem serveixi per respondre correctament un altre ítem, així com evitar que el coneixement de la resposta correcta a un ítem depengui de que es conegui la resposta d’un ítem anterior. 16) El format dels ítems d’una PEM ha de ser el mateix, i la seva presentació ha de ser ben clara. Un cop elaborats els ítem de la PEM i de cara a la seva aplicació, cal que aquesta inclogui les instruccions necessàries per a ésser contestada i informació clara del sistema de correcció i puntuació que s’emprarà. 2.5.3 Valoració de PEM A l’hora d’atorgar una puntuació a una PEM, és aconsellable neutralitzar l’efecte que pot tenir l’atzar en les respostes de l’alumnat. Això s’aconsegueix tot descomptant punts per les respostes contestades incorrectament. Normalment, s’estableix com a norma per determinar la quantitat a descomptar per resposta incorrecta que l’esperança matemàtica de nota d’un individu que contesti tots els ítems a l’atzar sigui zero. Així, suposem una PEM de N ítems, amb n opcions de resposta per ítem i tal que per cada ítem correctament contestat s’atorguen p punts. La quantitat q a descomptar per resposta errònia es calcula com:

1 1 01

n pE N p N q qn n n

−= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ =

−,

on E representa l’esperança de nota, calculada com la puntuació esperada per respostes correctes menys la associada a respostes incorrectes. Normalment no es descompta per respostes en blanc. 2.5.4 Avaluació de PEM L’avaluació d’una PEM comprèn la determinació d’indicadors de qualitat per a cadascun dels ítems que la composen i per a la prova vista globalment.

29

Indicadors de qualitat d’un ítem Els indicadors de qualitat d’un ítem són l’índex de dificultat, l’índex de discriminació i l’eficàcia dels distractors. Per tal portar a terme aquesta anàlisi cal, prèviament, ordenar els fulls de resposta de l’alumnat segons el nombre de respostes correctament encertades i separar-los en dos grups d’igual nombre d’individus: el grup superior, amb les puntuacions més altes, i el grup inferior, amb les més baixes. Si el nombre total d’individus és senar, eliminem el que ocupa la posició central. Quan el nombre d’individus és molt gran, els grups es fan amb el 27% superior i el 27% inferior. A continuació cal comptar i registrar el nombre d’individus de cada grup que han triat cada opció de resposta d’un determinat ítem, considerant la no resposta també com una opció de resposta. 1) Índex de dificultat d’un ítem Es calcula com el nombre d’individus que no han respòs correctament, dividit entre el nombre total d’individus. Varia entre 0 i 1. 2) Índex de discriminació d’un ítem Es calcula com la diferència entre el nombre d’individus del grup superior que han respòs correctament i el d’individus del grup inferior que han respòs també correctament, dividit entre el nombre d’individus de cada grup. Varia entre -1 i 1. 3) Eficàcia dels distractors d’un ítem Un distractor es considera eficaç quan ha estat triat per més individus del grup inferior que del grup superior. Un ítem es considera òptim quan presenta un índex de dificultat de 0.5, un índex de discriminació de 1 i tots els distractors han estat triats. A voltes s’eliminen els ítems amb índex de discriminació inferior a zero, tot i que aquesta decisió correspon al professorat avaluador. Indicadors de qualitat de la prova La valoració global d’una prova es fa en base al coeficient de dificultat, al coeficient de fiabilitat i a l’anàlisi de la seva validesa de contingut. 1) Coeficient de dificultat Es calcula fent la mitjana aritmètica dels índexs de dificultat dels ítems no exclosos. Varia entre 0 i 1. 2) Coeficient de fiabilitat

30

Es sol utilitzar com a tal el coeficient de fiabilitat KR21 de Kuder-Richardson:

2

( )21 1 x N xKRN σ⋅ −

= −⋅

,

on x representa la mitjana aritmètica del nombre de respostes correctes d’un individu, σ és la desviació estàndard i N és el nombre d’ítems de la prova. És sempre igual o inferior a 1. 3) Validesa de contingut de la prova No hi ha cap mètode estandaritzat que permeti obtenir un valor numèric associat a la validesa de contingut. És per això que la validesa de la prova s’espera que sigui acceptable si s’han seguit acuradament les instruccions per a la seva elaboració. Els valors òptims del coeficient de dificultat es situen al voltant de 0.5, mentre que es consideren acceptables per a PRA coeficients de fiabilitat superiors a 0.6.

31

3. VALIDACIÓ EXPERIMENTAL 3.1 INTRODUCCIÓ La validació experimental de la hipòtesi de treball s’ha realitzat mitjançant una intervenció didàctica en quatre centres docents que presenten un perfil socioeconòmic similar i que es troben relacionats a continuació: IES Pla d’en Boet, Mataró IES Ribera Baixa, El Prat de Llobregat IES Torre Roja, Viladecans IES XXV Olimpíada, Barcelona Per tal d’evitar en la mesura del possible comparacions entre centres, d’ara en endavant venen referits amb les lletres A, B, C i D. De la mateixa manera, l’anonimat de l’alumnat queda garantida en tant que s’identifiquen de forma alfanumèrica. L’apartat introductori d’aquesta secció es completa amb dos apartats més. El primer es dedica a descriure l’experiència portada a terme, mentre que el segon conté l’anàlisi de resultats. 3.2 DESCRIPCIÓ DE LA INTERVENCIÓ DIDÀCTICA A principis de curs es va donar a triar als Departaments de Matemàtiques dels centres implicats un d’entre els següents blocs de continguts, tots ells propis de l’assignatura de Matemàtiques de 2n curs de Batxillerat, modalitats de CNS i T, segons estableix el [Decret 182/2002]: 1) Aplicació de la derivada a l’estudi d’una funció i a problemes d’optimització. 2) Integral d’una funció en un interval. Càlcul de primitives (immediates i per canvis de variable senzills). Aplicació al càlcul d’àrees planes. 3) Resolució de sistemes lineals amb dues o tres incògnites. 4) Geometria analítica a l’espai. Equacions de la recta i del pla. Qüestions afins i mètriques. A tal efecte es va fer arribar un petit qüestionari al professorat on se’ls demanava, entre altres coses, la distribució anual dels blocs de continguts i una gradació segons preferència dels temes a tractar. Finalment es va acordar de treballar la resolució de

32

sistemes lineals, però ampliant l’abast de la intervenció al bloc temàtic en que està inclòs, això és Matrius i Sistemes. D’aquesta manera es tancava un bloc sencer de continguts (considerat així tant des del punt de vista del currículum com des de les PAU), a l’hora que asseguràvem que tot l’alumnat havia vist continguts similars de Matrius, tema previ i fonamental de cara a treballar els Sistemes d’Equacions. A més, per tal de completar el bloc temàtic de Matrius i Sistemes es va incloure, malgrat no ser prescriptius, els següents continguts: Matriu inversa, Determinants i Regla de Cramer. A l’hora d’impartir el tema escollit, els alumnes dels grups de Matemàtiques de 2n de Batxillerat de les modalitats esmentades i pertanyents als instituts C i D han rebut els ensenyaments sense que el professorat hagi fet servir en cap moment PEM. En canvi, l’alumnat dels centres A i B ha resolt tres PEM de vuit preguntes cadascun amb continguts del tema en tres instants de temps diferents. Cada PEM ha tingut una durada de 30 minuts i s’han treballat els conceptes i procediments introduïts fins al moment, amb una estructura i gradació de dificultat que ha proporcionat informació diagnòstica individual i col·lectiva del nivell d’assimilació d’una determinada capacitat. Després de cada PEM, el/la professor/a ha dedicat els trenta minuts restants de la classe a la correcció col·lectiva de la prova, fomentant la participació de tot l’alumnat i discutint tant encerts com errors. Per tal d’estimular un xic més l’alumnat, se l’ha assabentat que aquestes proves tindran un pes conjunt del 10% en la nota corresponent a la part d’avaluació objectiva del tema. Un cop finalitzat el desenvolupament del tema, l’alumnat dels quatre instituts ha passat dues proves d’1h de durada cadascuna, totes dues consensuades amb el professorat dels IES i amb continguts basats, fonamentalment, en Sistemes d’Equacions. La primera ha estat una prova “clàssica”, mentre que la segona ha consistit en una PEM. En la intervenció didàctica s’ha tingut en compte les següents consideracions, totes de comú acord amb el professorat implicat: a) No ha estat necessari sincronitzar el desenvolupament dels temes en els centres ja que forçava massa les dates i, estant el procediment ben lligat i tractant-se de centres de localitats diferents, resultava del tot innecessari. b) Per a l’elaboració de la programació seguida, disponible a l’Annex 1, la matèria s’ha dividit en tres temes: Matrius, Determinants i Sistemes d’Equacions. Per a cadascun dels temes el procediment ha estat: 1. Desenvolupament del tema: conceptes + exercicis il·lustratius 2. Ribera Baixa+XXV Olimpíada: Test de 30m + 30m dedicats a la correcció Pla d’en Boet+Torre Roja: 1h dedicada a la resolució d’exercicis 3. Dues hores més de classe/s dedicada/es a la resolució d’exercicis i problemes triats adequadament segons la informació diagnòstica proporcionada pel test. c) Una vegada acordada la programació, i per tal d’intentar que en els quatre centres es fessin les coses de la manera més semblant possible, s’ha consensuat una col·lecció

33

suficientment àmplia d’exercicis i problemes que comprèn dels més senzills als més complicats, de manera que únicament es treballaran a classe els de la llista. El llistat, que es pot trobar a l’Annex 2, està organitzat de manera que els exercicis disponibles per a cada tema estan agrupats segons els diferents apartats que consten a la programació i, a més, incorporen al final un recull de qüestions teòriques i problemes apareguts en proves PAU d’anteriors convocatòries. d) El llistat de problemes es completa amb el corresponent solucionari, elaborat pel signant d’aquest treball amb l’ajut del paquet de software matemàtic MAPLE. L’avantatge que presenta utilitzar aquest software envers altres potser més populars a secundària (DERIVE, WIRIS) és que, amb una simplicitat de maneig semblant, presenta un potencial de càlcul molt superior. Això pot semblar innecessari en aquesta etapa educativa, però si es té en compte que MAPLE és extremadament popular entre la comunitat matemàtica i és abastament utilitzat en la realització de pràctiques de laboratori de matemàtiques a la Universitat, potser valdria la pena plantejar-se seriosament la possibilitat d’introduir en el seu ús l’alumnat de Matemàtiques de Batxillerat. El solucionari es troba a l’Annex 3. e) El procediment d’avaluació acordat ha tingut en compte la necessitat d’estimular l’alumnat de cara als tests de diagnòstic, quan s’escau, i al de síntesi. Així, s’ha informat dels següents criteris d’avaluació: * IES A i B: Examen final clàssic: 60% de la nota. Examen final test: 30% de la nota. Tests diagnòstics sobre matrius, determinants i sistemes d’equacions: 10% de la nota. * IES C i D: Examen final clàssic: 60% de la nota. Examen final test: 40% de la nota. També s’ha acordat que els tests s’utilitzin en benefici de l’alumne, sobretot en els centres que no han fet tests de diagnòstic. Per tant, ha quedat a criteri últim de cada professor/a el pes de la part de test en la nota de l’alumne/a. f) L’examen “clàssic” acordat és disponible a l’Annex 6. Atès [Cuxart 1999], per tal d’objectivar-ne al màxim la correcció de cara a l’anàlisi de resultats i, a la vegada, minimitzar l’efecte de la intervenció en els processos d’avaluació particulars de cada grup, s’ha acordat que els exàmens siguin corregits independent pel professor corresponent, segons el seu criteri, i també per l’autor del treball, tot seguint el criteri unificat que consta a l’Annex 7. Així, la nota de cada alumne a efectes avaluatius individuals ha estat decidida pel professor/a corresponent, mentre que, a l’hora, la relació de notes apte per a l’anàlisi de resultats ha estat atorgada per qui signa aquest treball en base als criteris abans esmentats. g) Els criteris per elaborar la prova PEM final, que es pot consultar a l’Annex 6 test són:

34

- preguntar, en la mesura del possible, tots els continguts que es demanen a l’examen clàssic - preguntar continguts que no tenen cabuda en l’examen clàssic - no preguntar continguts que no hagin aparegut en les proves diagnòstiques Per acabar, cal esmentar que el desenvolupament de la intervenció didàctica en els diferents centres no ha patit cap incidència remarcable, llevat d’un parell coses a l’IES B: 1) Degut a un error en la distribució de la versió definitiva de la prova diagnòstica relativa al tema de Sistemes d’Equacions Lineals, s’ha hagut d’anular la pregunta 6 (només en aquest centre). 2) El desenvolupament s’ha vist interromput pel viatge de 2n de Batxillerat i per la Setmana Santa. Sobre l’avaluació formativa i diagnòstica portada a terme als IES A i B Pels centres amb proves diagnòstiques (A i B), el mateix dia de la prova s’han recollit els resultats i se n’ha fet una anàlisi exhaustiva de forma immediata, tot seguint els patrons detallats més avall. D’aquesta manera, el/la professor/a ha rebut sempre i no més tard de l’endemà de cada prova elements de diagnosi que ha pogut usar en la planificació d’intervencions pedagògiques posteriors de caire individual i col·lectiu. Les proves diagnòstiques es poden consultar a l’Annex 4, mentre que els documents retornats als centres amb l’anàlisi dels resultats de cadascuna es troben a l’Annex 5. Donada una prova de diagnosi de vuit preguntes, l’anàlisi s’ha fet en base als elements que s’esmenten a continuació. 1) Elements de diagnosi individual. Seguint les indicacions de [Busquets 2002], per portar a terme l’avaluació pròpiament diagnòstica s’ha classificat l’alumnat segons el nombre d’encerts obtinguts en la prova i s’han donat orientacions segons el cas: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que es portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que es treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que es treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts.

35

Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que es tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. 2) Elements de diagnosi col·lectiva. El treball [Busquets 2002], referent en l’avaluació diagnòstica a l’àrea de Matemàtiques, no tracta de forma explícita elements de diagnosi que permetin intervencions pedagògiques de caire col·lectiu, això és, elements d’avaluació formativa. Fóra bo, però, disposar d’elements objectius que permetin saber fins a quin punt un determinat concepte ha estat o no assolit des d’un punt de vista col·lectiu, i ja s’ha reportat a l’apartat 2.4 la validesa de les PEM en aquest sentit. La proposta que aquí es fa, i que de fet és la que s’ha usat en el pilogtatge, té en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada i categoritzant tal com segueix: Categoria X (IES A: 7 o 8; IES B: 9 o 10 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (IES A: 5 o 6; IES B: 6, 7 o 8 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (IES A: 3 o 4; IES B: 3, 4 o 5 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (IES A i B: 0, 1 o 2 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint pràcticament de zero. 3.3 ANÀLISI DE RESULTATS El tractament dels resultats gira al voltant dels eixos següents: a) L’anàlisi del ritme d’aprenentatge de l’alumnat dels centres A i B en el tema objecte d’estudi. b) L’anàlisi de l’efecte que la resolució prèvia de PEM al llarg del tema té sobre la nota de la prova d’assaig i també sobre la nota de la prova de síntesi tipus PEM i, en definitiva, sobre l’eficiència dels aprenentatges. c) Un petit estudi del rendiment de l’alumnat en l’examen final i en la prova PEM final en funció del gènere. d) Una comparació de les notes obtingudes per l’alumnat a l’examen “clàssic” en la correcció efectuada per l’autor del treball segons els criteris indicats a l’Annex 7, i les obtingudes en la correcció del professor/a respectiu amb criteri particular.

36

e) La constatació que la prova PEM final permet una avaluació de continguts més àmplia que no pas la prova final “clàssica”. f) Una anàlisi del test final en els termes establerts a l’apartat 2.5.4. La presentació de resultats s’inicia amb un recull de dades relatives a les condicions inicials i de l’evolució dels resultats al llarg del curs. Per tal de contextualitzar adequadament els resultats obtinguts en les proves relacionades amb l’experiència didàctica, la presentació de resultats s’inicia amb un recull de dades relatives a les condicions inicials i de l’evolució dels resultats al llarg del curs que es concreten en: - Alumnat repetidor - Nota de Matemàtiques de 1r de Batxillerat - Nota de Matemàtiques obtinguda cada trimestre - Nota de Matemàtiques de final de curs - Alumnat que ha superat el Batxillerat El nombre total d’alumnes implicats ha estat el següent: IES A: 9 alumnes, 8 dels quals han completat totes les proves IES B: 14 alumnes, 10 dels quals han completat totes les proves IES C: 7 alumnes IES D: 14 alumnes, 13 dels quals han completat totes les proves En l’anàlisi de resultats únicament s’han considerat els i les alumnes que han completat totes les proves. 3.3.1 Condicions inicials i evolució dels resultats La taula següent intenta reflectir: a) Les condicions inicials dels i de les alumnes participants en l’estudi, tot proporcionat el percentatge d’alumnat repetidor per grup i el d’alumnat pendent de l’assignatura de Matemàtiques de 1r de Batxillerat. b) L’evolució del seu rendiment, partint de la nota mitjana de Matemàtiques de 1r de Batxillerat, continuant amb les notes mitjanes de Matemàtiques obtingudes en cadascun dels 3 trimestres (cal recordar que la fase de validació experimental es porta a terme entre el 2n i 3r trimestre) i acabant amb la nota mitjana final de Matemàtiques de Batxillerat. Com a dada complementària s’aporta el percentatge d’alumnat que aprova finalment el Batxillerat. Les quantitats entre parèntesi corresponen a les desviacions estàndard.

37

Centre A Centre B Centre C Centre D Repetidors de 2n (%) 12.50 30.00 28.57 46.15Pendents de Mat. de 1r BAT (%) 0.00 40.00 57.14 15.38Nota mitjana final 1r BAT 6.13 (1.36) 4.70 (2.31) 5.00 (2.24) 5.62 (1.33)Nota mitjana 1r Trimestre 4.50 (2.00) 4.40 (1.84)) 5.43 (0.98) 3.69 (1.70)Nota mitjana 2n Trimestre 5.25 (1.67) 5.20 (2.49) 5.00 (2.58) 2.77 (1.30)Nota mitjana 3r Trimestre 4.13 (2.36) 4.10 (2.02) 5.71 (1.50) 4.69 (1.55)Nota mitjana final BAT 4.75 (2.05) 4.50 (1.96) 5.57 (1.13) 4.15 (1.57)Aproven el BAT (%) 25.00 50.00 100.00 38.46 La visualització gràfica d’aquestes dades es troba a continuació:

CONDICIONS INICIALS DE LA MOSTRA

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

Centre A Centre B Centre C Centre D

Repetidors de 2n BAT Alumnat amb les Matemàtiques de 1r BAT pendents

38

EVOLUCIÓ DEL RENDIMENT AL LLARG DEL CURS: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

7

Centre A: ambtests diagnòstics

Centre B: ambtests diagnòstics

Centre C: sensetests diagnòstics

Centre D: sensetests diagnòstics

Nota final 1r BAT Nota 1r Trimestre de 2n Nota 2n Trimestre de 2nNota 3r Trimestre de 2n Nota Final BAT

PERCENTATGE D'ALUMNAT PARTICIPANTQUE APROVA EL BATXILLERAT

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%





39

3.3.2 Anàlisi dels ritmes d’aprenentatge La taula següent mostra les notes mitjanes i desviacions estàndard (entre parèntesi) de les notes obtingudes per l’alumnat del centres A i B en els tres tests diagnòstics i els dos exàmens realitzats: la prova PEM i la prova “clàssica”. Test Matrius Test Determ. Test Sistemes Test Final Examen FinalCentre A 8.02 (1.46) 6.04 (2.50) 4.22 (2.15) 5.47 (2.31) 3.91 (2.46) Centre B 6.79 (2.80) 6.02 (2.23) 3.81 (3.18) 5.31 (1.63) 4.40 (1.82) Gràficament:

EVOLUCIÓ DELS RESULTATS:NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Test Matrius TestDeterminants

Test Sistemes Test Final Examen final

Centre A Centre B

Es pot observar que les notes en els tests diagnòstics han anat disminuint, per passar a recuperar-se una mica en el test final i tornar a baixar en l’examen. L’estudi es pot individualitzar a partir dels resultats per alumne/a en cada prova. A continuació es presenta aquesta informació únicament en format taula i en format gràfic pels dos centres considerats:

40

Centre A Test Matrius Test Determ. Test Sistemes Test Final Examen FinalA1 7.08 2.08 5.00 3.54 4.75A2 8.75 7.08 3.75 5.83 4.25A3 6.67 6.67 3.33 5.63 1.75A4 6.67 5.00 5.00 2.92 2.75A5 6.67 8.33 2.08 5.63 1.50A6 10.00 5.00 7.08 6.88 5.00A7 10.00 10.00 6.67 10.00 9.00A8 8.33 4.17 0.83 3.33 2.25 Centre B Test Matrius Test Determ. Test Sistemes Test Final Examen FinalB1 6.67 3.75 0.00 3.75 2.25B2 6.67 5.00 4.29 5.83 6.75B3 6.67 7.08 2.86 6.67 4.00B4 2,08 4.17 0.48 4.17 4.75B5 10.00 8.33 3.33 8.75 6.25B6 10.00 5.00 2.86 6.25 6.00B7 2.92 10.00 6.19 4.38 1.50B8 5.42 4.33 7.14 4.58 4.50B9 7.50 4.17 0.95 3.33 2.50B10 10.00 8.33 10.00 5.42 5.50

CENTRE A

0123456789

10

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

Test Matrius Test Determinants Test Sistemes Test Final Examen final

41

CENTRE B

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10

Test Matrius Test Determinants Test Sistemes Test Final Examen final

L’evolució dels resultats en els tests diagnòstics des del punt de vista de la classificació de l’alumnat en classes segons el nombre de respostes correctes i segons la distribució de les preguntes o ítems en categories segons el nombre de vegades que han estat correctament encertades confirmen el descens en les notes observades en els resultats d’evolució presentats a l’inici de la discussió. Tots els resultats de la taula estan donats en tant per cent. Centre A Clas. A Clas. B Clas. C Clas. D Cat. X Cat. Y Cat. Z Cat. TTest Mat. 50.00 50.00 0.00 0.00 75.00 12.50 12.50 0.00 Test Det. 25.00 50.00 25.00 0.00 25.00 50.00 25.00 0.00 Test Sist. 0.00 25.00 62.50 12.50 14.29 14.29 57.13 14.29 Centre B Clas. A Clas. B Clas. C Clas. D Cat. X Cat. Y Cat. Z Cat. TTest Mat. 30.00 50.00 20.00 0.00 37.50 50.00 12.50 0.00 Test Det. 20.00 40.00 30.00 0.00 50.00 12.50 25.00 12.50 Test Sist. 10.00 30.00 50.00 10.00 14.29 28.56 42.86 14.29

42

TESTS DIAGNÒSTICS CENTRE A: DISTRIBUCIÓ DE L'ALUMNAT PER CLASSES

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

Test Matrius Test Determinants Test Sistemes

Classe A Classe B Classe C Classe D

TESTS DIAGNÒSTICS CENTRE B:DISTIBUCIÓ DE L'ALUMNAT PER CLASSES

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%


Classe A Classe B Classe C Classe D

43

TESTS DIAGNÒSTICS CENTRE A:DISTRIBUCIÓ DE PREGUNTES ENCERTADES PER

CATEGORIES

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%


Categoria X Categoria Y Categoria Z Categoria T

TESTS DIAGNÒSTICS CENTRE B:DISTRIBUCIÓ DE PREGUNTES ENCERTADES PER

CATEGORIES

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%


Categoria X Categoria Y Categoria Z Categoria T

44

3.3.3 Efecte de la resolució de tests diagnòstics sobre les notes de l’examen i del test de síntesi La taula següent mostra les notes mitjanes i desviacions estàndard (entre parèntesi) obtingudes en l’examen i el test final per l’alumnat dels diferents centres. Centre A Centre B Centre C Centre D Nota mitjana examen 3.91 (2.46) 4.40 (1.82) 4.89 (1.76) 4.06 (1.24) Nota mitjana test 5.47 (2.31) 5.31 (1.63) 6.10 (1.37) 5.11 (1.84) Si tenim en compte que en els centres A i B s’han fet tests diagnòstics al llarg del tema, la taula no permet apreciar efectes diferencials positius respecte dels centres C i D, on aquestes proves no s’han passat. El gràfic de les mitjanes és:

RESULTATS SEPARATS PER CENTRES: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

7





Nota examen Nota test

L’agrupació de les dades en centres amb i sense tests diagnòstics tampoc no posa de manifest la verificació de la hipòtesi de treball: Centres A i B (amb tests) Centres C i D (sense tests) Nota mitjana examen 4.18 (2.08) 4.35 (1.45) Nota mitjana test 5.38 (1.90) 5.46 (1.72)

45

Gràficament:

RESULTATS AGRUPATS PER CENTRES: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

Centres A i B: amb tests diagnòstics

Centres C i D: sense testsdiagnòstics


Ara bé, en passar a analitzar l’efecte de la resolució de tests en els alumnes que aproven l’assignatura de Matemàtiques a final de curs, això és, els que presenten un millor rendiment acadèmic en l’assignatura des d’un punt de vista global, els resultats semblen confirmar la hipòtesi: Centres A i B (amb tests) Centres C i D (sense tests) Nota mitjana examen 5.56 (1.77) 4.79 (1.45) Nota mitjana test 6.27 (2.11) 5.72 (1.87) Malgrat això, les proves de contrast d’hipòtesi, realitzades per a un nivell de confiança del 95%, no adverteixen diferències estadístiques significatives entre les mitjanes de les poblacions respectives, ni pel que fa als resultats de l’examen final ni pel que fa als resultats del test. Els resultats es poden visualitzar en el gràfic següent:

46

APROVATS DE MATEMÀTIQUES A FINAL DE CURS: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

7




En canvi, quan ens fixem en els alumnes que finalment suspenen el curs, això és, els que presenten pitjor rendiment acadèmic, sembla que la resolució de tests diagnòstics no els afavoreixen: Centres A i B (amb tests) Centres C i D (sense tests) Nota mitjana examen 2.81 (1.33) 3.54 (1.14) Nota mitjana test 4.49 (1.20) 4.97 (1.41) Tampoc en aquesta ocasió les proves de contrast d’hipòtesi portades a terme estableixen diferències estadístiques significatives entre les mitjanes de les poblacions a què correspondrien les mostres amb les quals hem treballat. El nivell de confiança amb què s’ha treballat ha estat del 95%. Gràficament:

47

SUSPESOS DE MATEMÀTIQUES A FINAL DE CURS: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6




3.3.4 Rendiment en funció del gènere La separació de la mostra per sexes revela la presència de 19 dones i 19 homes. En la taula següent s’observen les notes mitjanes de Matemàtiques de 1r de Batxillerat i de tot el Batxillerat, i també les notes mitjanes de l’examen i del test. En tots els casos les noies presenten mitjanes superiors. Això ens permet afirmar que, al menys en la mostra que ens ocupa, el rendiment de les noies en Matemàtiques i, en particular, en el test, no és inferior al dels nois. Les quantitats entre parèntesi corresponen a les desviacions estàndard. Dones Homes Nota mitjana final 1r Batxillerat 5.74 (1.85) 5.00 (1.76)Nota mitjana examen 4.32 (2.01) 4.22 (1.32)Nota mitjana test 5.64 (2.18) 5.21 (1.25)Nota mitjana final Batxillerat 5.05 (2.19) 4.21 (1.29) Aquesta informació es pot visualitzar en el gràfic de la pàgina següent. En aquest cas, les proves de contrast d’hipòtesi no indiquen diferències estadístiques significatives en les notes mitjanes de les poblacions respectives, tant pel que fa a l’examen com pel que fa al test. El nivell de confiança és del 95%.

48

RENDIMENT EN FUNCIÓ DEL GÈNERE: NOTES MITJANES

0

1

2

3

4

5

6

7

Nota final 1r BAT Nota examen Nota test Nota final BAT

Dones Homes

3.3.5 Comparació de correccions de l’examen final En l’elaboració de l’examen final no es van adoptar altres criteris de correcció comuns que les puntuacions màximes a atorgar en cadascun dels apartats, en quantitats que van dels 0.75 punts als 2 punts. En la taula adjunta es poden observar diferències entre mitjanes de fins a 0.65 punt, i desviacions de fins a 0.70. Centre A Centre B Centre C Centre DNota mitjana atorgada per qui signa 3.91 4.40 4.89 4.40 Nota mitjana atorgada pel professor 3.81 3.75 5.39 4.32 Desviació mitjana entre ambdues notes 0.41 0.70 0.57 0.56 Així es valida novament la tesi ja comentada que estableix la important dispersió de notes que es produeix en la correcció de proves d’assaig en presència de criteris imprecisos. La informació continguda en la taula es grafica a continuació:

49

COMPARACIÓ DE CORRECCIONS DE L'EXAMEN FINAL

0

1

2

3

4

5

6

Centre A Centre B Centre C Centre D

Nota mitjana atorgada per l'autor del treballNota mitjana atorgada pel professor corresponentDesviació mitjana entre ambdues notes

3.3.6 Comparació de les avaluacions fetes amb PEM i amb examen El quadre que es presenta a continuació permet visualitzar els continguts sobre els quals s’ha preguntat de forma directa en una i altra prova. Tal i com s’indica en l’apartat 2.3.2, la prova PEM presenta una validesa de contingut més elevada, ja que permet plantejar més preguntes i, per tant, l’exploració dels coneixements de l’alumnat és més completa. Tanmateix, però, hi ha qüestions específiques que no permeten una formulació senzilla amb PEM i per això no s’han demanat en aquesta prova: en són exemple el planteig i resolució d’un problema de sistemes pel mètode de Gauss. A l’hora, la PEM no fa explícit el tractament del llenguatge matemàtic i no matemàtic per part de l’alumne, la consolidació del qual és un aspecte de summa importància en l’etapa educativa que ens ocupa.

50

Test Examen Suma de matrius X Diferència de matrius X Producte de matrius X X Resolució d’una equació matricial X X Aplicació del concepte de rang d’una matriu X Càlcul del determinant d’una matriu 3x3 X Condició necessària i suficient de l’existència de matriu inversa X X Resolució d’una equació amb determinants X X Concepte de solució d’un sistema X Interpretació geomètrica del cas d’incompatibilitat X Planteig d’un sistema a partir d’una situació problemàtica X Resolució d’un sistema pel mètode de Gauss X Resolució d’un sistema de Cramer X Concepte de sistemes equivalents X Classificació de sistemes X Aplicació directa del teorema de Rouché-Frobenius X Resolució d’un sistema compatible indeterminat X X Concepte de sistema homogeni X Discussió d’un sistema 2x2 amb un paràmetre X Discussió d’un sistema 3x3 amb un paràmetre X X 3.3.7 Avaluació del test final: anàlisi d’ítems i valoració de la prova El test final consta de 16 preguntes i ha estat resolt per un total de 38 alumnes. L’avaluació del test, això és, la cerca d’ indicadors de qualitat de cadascun dels ítems en particular i també de la totalitat de la prova, s’ha fet seguint les pautes donades a l’apartat 2.5.4 i sense separar per centres, donat el nombre relativament baix d’alumnes implicats en cadascun d’ells. El primer gràfic de la pàgina següent mostra els índexs de dificultat i de discriminació del test final. S’observa un grau de dificultat variable en els ítems, mentre el fet que tots els índex de discriminació siguin positius o nuls indica que tots discriminen correctament. Pel que fa l’eficàcia dels distractors dels diversos ítems, cal dir que: 1) 13 dels 48 distractors (un 27% del total), no han estat triats per cap dels 38 individus que han resolt el test final. 2) D’entre els 35 distractros seleccionats per algun individu, únicament 4 (un 11%) no són eficaços en el sentit indicat a l’apartat 2.5.4, això és, han estat triats per més individus del grup inferior que no pas del superior. 3) Només en 3 dels ítems es troba que el grup inferior ha donat més respostes en blanc que no pas el grup superior. Això, però, es pot interpretar en el sentit que els individus del

51

grup superior estan més segurs del que saben i el que no saben que no pas els del grup inferior.

TEST FINAL: ANÀLISI D'ÍTEMS

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Índex de dificultat Índex de discriminació

En relació a la valoració global de la prova s’han obtingut i representat gràficament els coeficients de dificultat i de fiabilitat. Es pot observar al gràfic següent que aquests no es troben en el rangs considerats acceptables, això és, coeficient de dificultat al voltant de 0.5 i coeficient de fiabilitat a partir de 0.6.

TEST FINAL: VALORACIÓ DE LA PROVA

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

Coeficient de dificultat Coeficient de fiabilitat

52

A la vista de les expressions utilitzades per calcular aquests valors (veure apartat 2.5.4), l’explicació es troba en la relativament elevada mitjana de respostes correctes per individu, que és de 9.89, i en la poca dispersió al voltant de la mitjana, tal i com es pot apreciar en el gràfic corresponent.

TEST FINAL: DISTRIBUCIÓ DE RESPOSTES CORRECTES

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0--2 3--4 5--6 7--8 9--10 11--12 13--14 15-16

53

4. MATERIALS CURRICULARS 4.1 INTRODUCCIÓ L’elaboració de materials curriculars constitueix el tercer eix vertebrador del treball. Concretament, s’han elaborat models PEM que recobreixen tot el currículum de Matemàtiques de 2n curs de Batxillerat, modalitats CNS i T. Tal i com s’ha indicat a la Secció 1, els models estan a l’abast de tota la comunitat educativa via Internet en format “Quaderns Virtuals”. És per això que la secció que ens ocupa s’inicia amb un apartat dedicat a aquesta aplicació. A continuació es pot trobar un recull dels continguts conceptuals i procedimentals sobre els quals s’articulen els models PEM. La secció es clou amb la presentació dels models en format Word. 4.2 L’ENTORN “QUADERNS VIRTUALS” Recentment, la SGTI del Departament d’Educació ha desenvolupat l’aplicació “Quaderns Virtuals” [Gea i Busquets 05]. Tal i com els autors indiquen, es tracta d’una eina per a la creació i realització d’activitats didàctiques multimèdia que possibilita la interacció alumne-professor i l’avaluació en contextos presencials i virtuals d’ensenyament i aprenentatge. Des de l’entorn EDUCAMPUS [Edu 05], on s’integra, es posa a disposició dels educadors un potent mitjà de creació de recursos pedagògics multimèdia que permet aplicar noves estratègies d’aprenentatge, així com innovadores metodologies de treball. Hi ha exemples de “Quaderns Virtuals” disponibles a la referència [Quaderns 05]. Segons es pot trobar a [Gea i Busquets 2005], Quaderns Virtuals implementa l’estàndard QTI (Question and Test Interoperability), definit pel IMS Global Learning Consortium, i està basat en XML (Extensible Markup Language). Així, cada quadern consisteix en un arxiu XML que conté les preguntes i el material associat a elles, que pot ser de tipus multimèdia. El sistema permet la creació dels exercicis i també la seva correcció immediata, però també pot guardar les respostes i vehicular la interacció professorat-alumnat, que pot ser sincrònica o asincrònica, facilitant d’aquesta manera el seguiment i atenció individualitzada. Les preguntes es creen mitjançant l’editor de quaderns, mentre que un visualitzador la interfície d’accés de l’alumnat als quaderns. Des del punt de vista del treball que realitzem, els Quaderns Virtuals representen una molt bona opció per a la creació de proves PEM, a més de ésser igualment vàlids per generar preguntes d’ordenació, d’omplir espais, d’arrossegament, de delimitació de zones o d’unió dels punts d’una imatge. És per tot això que han estat escollits com a suport del material curricular creat, amb un resultat més que satisfactori.

54

Malgrat l’exposat més amunt, com a producte nou que és presenta alguna limitació quan es generen preguntes i qüestions pròpies de l’àrea de Matemàtiques, i que cal tenir ben present de bon principi. La més important fa referència a la baixa velocitat de treball que ofereix actualment l’editor de quaderns a l’hora de jugar amb fórmules i/o símbols matemàtic: cadascun s’ha de generar independentment, s’ha de guardar com a imatge en format .jpg, s’ha de carregar per separat i, finalment, s’ha de modificar el codi font XML de cada pregunta per tal d’obtenir el resultat de visualització desitjat. Això representa una important despesa de temps. La segona i segurament més fàcil d’arreglar té a veure amb la puntuació de les respostes en blanc, que ara per ara no es poden diferenciar de les errònies. 4.3 CONTINGUTS AVALUATS AMB ELS MODELS DE PEM L’elaboració de models PEM ha requerit una anàlisi acurada dels continguts curriculars de Matemàtiques de 2n curs de Batxillerat, modalitats CNS i T. Prenent com a base els continguts prescrits normativament i explicitats a [Decret 182/2002], s’ha fet un repartiment temàtic equivalent a un segon nivell de concreció. Aquest repartiment ha servit per la posterior articulació dels models PEM a raó d’un per tema. Així, a continuació es pot trobar una fitxa per a cadascun dels temes considerats: en cada fitxa es poden trobar els continguts conceptuals i procedimentals associats al tema en qüestió, agrupats per apartats, i una indicació –en la columna situada més a la dreta– de quines són les preguntes del corresponent model PEM associades a cada apartat. Abans, però, el lector es pot fer una idea ràpida del repartiment per temes que s’ha fet si es dóna un cop d’ull al que seria pròpiament la divisió en blocs temàtics i temes efectuada: BLOC 1: FUNCIONS Tema 1: Límits i continuïtat Tema 2: Derivades Tema 3: Aplicacions de les derivades Tema 4: Integrals BLOC 2: MATRIUS I SISTEMES Tema 1: Matrius Tema 2: Determinants Tema 3: Sistemes d’equacions lineals BLOC 3: GEOMETRIA ANALÍTICA A L’ESPAI Tema 1: Vectors a l’espai Tema 2: Rectes i plans a l’espai Tema 3: Geometria mètrica a l’espai

55

Bloc 1: Funcions Tema 1: Límits i continuïtat 1.1.1 Límit d’una funció quan x → +∞ . Límit finit. Definició. Operacions amb límits finits. Límit infinit. Definició. Operacions amb límits infinits. Exemples de límits infinits. Comparació d’infinits. Operacions amb expressions infinites. Indeterminacions.

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

1.1.2 Càlcul de límits quan x → +∞ . Fraccions racionals. Expressions amb radicals. Potències. Resolució d’indeterminacions del tipus 1+∞ : el nombre e .

1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8

1.1.3 Límit d’una funció quan x → −∞ . Definició. Càlcul de límits.

1.1.9 1.1.10

1.1.4 Límit d’una funció en un punt. Límits laterals infinits. Límits laterals finits. Càlcul de límits quan ,x c c +→ ∈ .

Resolució d’indeterminacions: 00

, ( ) ( )+∞ − +∞ , 1+∞

1.1.11 1.1.12 1.1.13

1.1.5 Continuïtat. Funció contínua en un punt. Funció contínua en un interval. Funció discontínua. Estudi de la continuïtat de funcions que presenten un paràmetre. Teorema de Bolzano.

1.1.14 1.1.15 1.1.16 1.1.17 1.1.18 1.1.19 1.1.20

56

Bloc 1: Funcions Tema 2: Derivades 1.2.1 Derivada d’una funció en un punt. Definició. Interpretació geomètrica. Derivades laterals. Derivabilitat i continuïtat.

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.20

1.2.2 Funció derivada. Definició. Derivades successives.

La idea de funció derivada es pot usar en tots els exercicis. En l’exercici 15 es demana una derivada segona.

1.2.3 Propietats de les funcions derivades. Derivada de la suma de funcions. Derivada del producte de funcions. Derivada del producte d’una funció per un escalar.Derivada del quocient de funcions. Derivada de la composició de funcions: regla de la cadena.

Explícitament: 1.2.9 1.2.10 Les propietats s’usen de forma més o menys explícita en moltsdels exercicis.

1.2.4 Càlcul de derivades. Derivada d’una funció constant. Interpretació geomètrica. Derivada de la potència. Derivada de les funcions trigonomètriques i de les seves inverses. Derivada de la funció exponencial. Derivada de la funció logarítmica. Derivació implícita. Derivació logarítmica.

1.2.11 1.2.12 1.2.13 1.2.14 1.2.15 1.2.16 1.2.17 1.2.18 1.2.19

57

Bloc 1: Funcions Tema 3: Aplicacions de les derivades 1.3.1 Primeres aplicacions. Equació de la recta tangent a una corba en un punt. Equació de la recta normal a una corba en un punt.

1.3.1 1.3.2 1.3.3

1.3.2 Creixement i decreixement de funcions. Funció creixent en un punt. Funció decreixent en un punt. Derivabilitat, creixement i decreixement puntual. Funció creixent en un interval. Funció decreixent en un interval. Identificació d’intervals de creixement i decreixement.

1.3.4 1.3.5 1.3.6

1.3.3 Extrems relatius d’una funció. Definició de màxim i mínim relatiu. Condició necessària d’extrem relatiu en funcions derivables. Punts singulars. Caracterització d’extrems relatius mitjançant la primera derivada.

1.3.7 1.3.8 1.3.9 1.3.10

1.3.4 Concavitat, convexitat i punts d’inflexió. Concavitat i convexitat en un punt. Concavitat i convexitat en un interval. Punt d’inflexió. Curvatura i segona derivada. Identificació d’intervals de creixement i decreixement. Caracterització d’extrems relatius mitjançant la segona derivada.

1.3.11 1.3.12 1.3.13

1.3.5 Optimització de funcions. Càlcul dels extrems absoluts d’una funció en un interval. Problemes d’optimització.

1.3.14 1.3.15 1.3.16

1.3.6 Representació gràfica de funcions. Domini i recorregut. Simetries i periodicitat. Punts de tall amb els eixos. Asímptotes: verticals, horitzontals i obliqües. Creixement i extrems relatius. Concavitat, convexitat i punts d’inflexió. Gràfic d’una funció.

1.3.17 1.3.18 1.3.19 1.3.20

58

Bloc 1: Funcions Tema 4: Integrals 1.4.1 Integral indefinida d’una funció. Primitiva d’una funció. Integral indefinida d’una funció. Linealitat de la integral indefinida: integral de la suma i integral d’una funció per un escalar.

1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.11

1.4.2 Integrals immediates i quasiimmediates. La regla de la cadena i el càlcul de primitives.

1.4.6 1.4.7

1.4.3 Mètodes d’integració. Integració per canvi de variable. Integració per parts.

1.4.8 1.4.9

1.4.4 Integració de funcions racionals. El denominador té arrels reals senzilles. El denominador té arrels reals múltiples.

1.4.10

1.4.5 Integral definida d’una funció. El problema del càlcul de l’àrea sota una corba. Integral definida d’una funció contínua en un interval. Propietats de la integral definida.

1.4.12

1.4.6 Càlcul d’integrals definides. Teorema fonamental del càlcul. Regla de Barrow.

1.4.131.4.14

1.4.7 Càlcul d’àrees. Àrea tancada per una funció contínua en un interval. Àrea tancada entre dues funcions contínues.

1.4.151.4.161.4.171.4.181.4.191.4.20

59

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 1: Matrius

2.1.1 Definicions. Matrius nxm. Matrius quadrades. Matriu fila. Matriu columna. Igualtat de matrius. Transposada d’una matriu. Matriu simètrica. Matriu triangular. Matriu diagonal.

2.1.1 2.1.2

2.1.2 Operacions amb matrius. Suma de matrius. Propietats. Producte d’una matriu per un escalar. Propietats. Producte de matrius. Propietats.

2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8

2.1.3 Matrius quadrades. Matriu unitat. Concepte de matriu inversa. Propietats de les operacions amb matrius a ( )nM R .

2.1.9 2.1.10

2.1.4 Equacions matricials. Resolució d’equacions en les quals les incògnites són elements de matriu. Resolució d’equacions i sistemes d’equacions en els quals les incògnites són matrius.

2.1.11 2.1.12 2.1.13

2.1.5 Rang d’una matriu. Triangulació de matrius mitjançant el mètode de Gauss. Discussió del rang de matrius que presenten un paràmetre.

2.1.14 2.1.15 2.1.16 2.1.17 2.1.18 2.1.19 2.1.20

60

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 2: Determinants 2.2.1 Definicions. Determinants d’ordre 2. Determinants d’ordre 3. Regla de Sarrus.

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

2.2.2 Determinants d’ordre qualsevol. Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Regla de Laplace.

2.2.5 2.2.6

2.2.3 Propietats dels determinants.

2.2.7 2.2.8 2.2.9

2.2.4 Aplicacions dels determinants. Càlcul de la matriu inversa. Condició necessària i suficient. Càlcul del rang d’una matriu. Discussió del rang de matrius que presenten un paràmetre.

2.2.10 2.2.11 2.2.12 2.2.13 2.2.14 2.2.15 2.2.16 2.2.17 2.2.18 2.2.19 2.2.20

61

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 3: Sistemes d’equacions lineals 2.3.1 Definicions. Equacions lineals. Solucions. Interpretació geomètrica de l’equació lineal amb dues incògnites. Interpretació geomètrica de l’equació lineal amb tres incògnites. Sistemes d’equacions lineals. Solucions.

2.3.1 2.3.2 2.3.3

2.3.2 Classificació dels sistemes d’equacions lineals. Sistemes compatibles. Sistemes incompatibles. Sistemes compatibles determinats i compatibles indeterminats. Interpretació geomètrica dels sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites i amb tres incògnites.

2.3.4 2.3.5 2.3.6

2.3.3 Representació matricial d’un sistema d’equacions. Forma matricial d’un sistema d’equacions. Matriu del sistema. Matriu ampliada. Resolució de sistemes de Cramer via la matriu inversa.

2.3.7 2.3.8

2.3.4 Resolució i discussió de sistemes d’equacions amb el mètode de Gauss. Sistemes d’equacions triangulars inferiors (sistemes escalonats). Solució. Sistemes d’equacions equivalents. Transformacions que mantenen l’equivalència entre sistemes. Mètode de Gauss: triangulació del sistema. Discussió de sistemes amb un paràmetre mitjançant el mètode de Gauss.

2.3.9 2.3.102.3.11

2.3.5 Teorema de Rouché-Frobenius.

2.3.122.3.132.3.142.3.15

2.3.6 Resolució de sistemes d’equacions mitjançant determinants: Regla de Cramer.

2.3.162.3.172.3.18

2.3.7 Sistemes homogenis.

2.3.192.3.20

2.3.8 Discussió de sistemes d’equacions amb un paràmetre mitjançant determinants.

2.3.212.3.222.3.232.3.242.3.25

62

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 1: Vectors a l’espai 3.1.1 Definicions. Vectors fixos. Origen i extrem. Vectors lliures. Mòdul, direcció i sentit. Igualtat entre vectors.

3.1.2 Operacions amb vectors. Suma. Producte per escalars. Propietats de les operacions amb vectors. L’espai vectorial.

3.1.1

3.1.3 Expressió analítica d’un vector. Combinació lineal de vectors. Dependència i independència lineal. Base d’un espai vectorial. Bases ortogonals i ortonormals. Components d’un vector respecte d’una base. Suma i producte per escalars amb vectors expressats en components.

3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.1.8

3.1.4 Producte escalar de vectors. Definició. Propietats. Aplicacions: mòdul d’un vector, angle entre dos vectors, vectors ortogonals (perpendiculars) entre sí, projecció d’un vector sobre un altre.

3.1.9 3.1.10 3.1.11 3.1.12 3.1.13

3.1.5 Producte vectorial. Definició. Expressió analítica. Propietats. Aplicacions: obtenció d’un vector perpendicular a altres dos, àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors.

3.1.14 3.1.15 3.1.16 3.1.18 3.1.19 3.1.20

3.1.6 Producte mixt de tres vectors. Definició. Expressió analítica. Interpretació geomètrica.

3.1.17

63

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 2: Rectes i plans a l’espai

3.2.1 Sistemes de referència a l’espai. Referències cartesianes. Punts i vectors. Primeres aplicacions: punt mitjà d’un segment, divisió d’un segment en n parts iguals, simètric d’un punt respecte d’un altre.

3.2.1 3.2.2 3.2.3

3.2.2 Equacions de la recta Determinació vectorial: vector de posició i vector director. Equació vectorial i equacions paramètriques. Equació contínua i equacions implícites.

3.2.4 3.2.5 3.2.6

3.2.3 Posició relativa de dues rectes. Coincidència, paral·lelisme, intersecció i creuament. Estudi mitjançant vectors de posició i vectors directors. Estudi a partir de les equacions implícites.

3.2.7 3.2.8

3.2.4 Equacions del pla. Determinació vectorial: vector de posició i vectors directors. Equació vectorial i equacions paramètriques. Equació implícita. Vector normal al pla.

3.2.9

3.2.5 Posició relativa de dos plans. Coincidència, paral·lelisme, intersecció. Estudi a partir de l’equació implícita. La recta com a intersecció de plans.

3.2.153.2.163.2.17

3.2.6 Posició relativa de recta i pla. Recta continguda en el pla, paral·lelisme, coincidència. Estudi a partir del vector director de la recta i del vector normal al pla. Estudi a partir de les equacions implícites.

3.2.183.2.193.2.20

3.2.7 Problemes típics. Alineació i coplanarietat de punts. Pla determinat per dues rectes paral·leles i per dues rectes secants. Recta que en talla altres dues. Interpretació geomètrica dels sistemes d’equacions lineals amb tres incògnites. Discussió de posicions relatives de rectes i/o plans que depenen d’un paràmetre.

3.2.103.2.113.2.123.2.133.2.14

64

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 3: Geometria mètrica a l’espai

3.3.1 Problemes afins i mètrics. Pla que conté una recta i és perpendicular a un altre pla. Recta que talla perpendicularment altres dues. Recta quer passa per un punt i talla perpendicularment una altra recta. Recta continguda en un pla que talla perpendicularment una altra recta Simètric d’un punt respecte d’una recta. Simètric d’un punt respecte d’un pla. Projecció ortogonal d’una recta sobre un pla

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.3.19 3.3.20

3.3.2 Angles. Angle entre dues rectes. Angle entre dos plans. Angle entre una recta i un pla.

3.3.9 3.3.10 3.3.11

3.3.2 Distàncies. Distància entre dos punts. Distància entre un punt i una recta. Distància entre un punt i un pla. Distància entre dues rectes. Distància entre una recta i un pla. Distància entre dos plans.

3.3.12 3.3.13 3.3.14 3.3.15 3.3.16 3.3.17 3.3.18

65

4.4 MODELS DE PEM A continuació es troben deu models PEM en format Word, un per a cadascun dels temes que figuren en l’apartat 4.3. Cada model consta de vint preguntes, llevat d’un que en té vint-i-cinc. Al final de l’apartat s’inclou un quadre amb les respostes. La versió d’aquests models PEM elaborada amb l’aplicació “Quaderns Virtuals” està disponible a la Biblioteca de Quaderns Virtuals http://clic.xtec.net/qv_biblio/act.jsp?activity_id=71 També són accessibles des de la pàgina web: http://iesriberabaixa.xtec.net/Departaments/Matematiques/index.htm on, a més, es poden descarregar les PEM en format Word.

http://clic.xtec.net/qv_biblio/act.jsp?activity_id=71

http://iesriberabaixa.xtec.net/Departaments/Matematiques/index.htm

66

Bloc 1: Funcions Tema 1: Límits i continuïtat 1.1.1. Siguin f(x) i g(x) tals que lim ( )

xf x α

→+∞= i lim ( )

xg x β

→+∞= , amb ,α β ∈ . Indica

quina de les següents afirmacions és FALSA: a) lim [ ( ) ( )]

xf x g x α β

→+∞+ = + b) lim [ ( ) ( )]

xf x g x α β

→+∞− = −

c) [ ]lim ( ) ( )x

f x g x α β→+∞

⋅ = ⋅ d) ( )lim( )x

f xg x

αβ→+∞

=

1.1.2. Siguin f(x) i g(x) tals que lim ( )

xf x

→+∞= +∞ i lim ( ) 0

xg x

→+∞= . Aleshores podem afirmar

que:

a) [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x g x→+∞

⋅ = b) ( )lim [ ( )]g x

xf x

→+∞= +∞ c) ( )lim 0

( )x

g xf x→+∞

= d) ( )lim 0( )x

f xg x→+∞

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

1.1.3. A partir de quin valor x es té que la distància entre 1 1( )2

f xx

= + i el seu límit quan

x → +∞ es fa més petita que 0.001?

a) 1000x > b) 12

x > c) 0.001x > d) 0x >

1.1.4. A partir de quin valor x es té que ( )f x x= és més gran que 1010? a) 1010x > b) 2010x > c) 510x > d) 10x > 1.1.5. Indica quina de les següents expressions és FALSA:

a) 1lim 02

x

x→+∞

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) lim 2x

x→+∞= +∞

c) 1lim 2 02

x

x→+∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

d) lim [ 2 2 ]x

x→+∞− ⋅ = +∞

1.1.6. El valor de 2

lim3 1 3x

x xx→+∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

és:

a) 0 b) +∞ c) 13

d) 19

1.1.7. Siguin 2

2 3( )9 1

xf xx x

+=

+ + i 5( )

15 2xg x

x=

+. Aleshores,

a) lim [ ( ) ( )] 1x

f x g x→+∞

+ = b) No existeix lim [ ( ) ( )]x

f x g x→+∞

−

67

c) [ ]lim ( ) ( ) 2x

f x g x→+∞

⋅ = d) ( ) 1lim( ) 2x

f xg x→+∞

=

1.1.8. Indica quina de les següents expressions és FALSA:

a) 51lim 1 1

x x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 1lim 1x

x x e→+∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2

2

2lim1

x

x

x xx→+∞

⎛ ⎞+ += +∞⎜ ⎟+⎝ ⎠

d) 1

2 14 1lim 21

xx

x

xx

+−

→+∞

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

9. Assenyala l’expressió correcta:

a) lim 3x

x→−∞= −∞ b)

3

2

3lim2 1x

xx→−∞

−= +∞

+

c) 2lim 1x

x→−∞

− = +∞ d) 3

2

1lim4 2 4 4x

x xx→−∞

⎡ ⎤− =⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.1.10. Siguin 2

3 1( )1

xf xx

−=

+ i ( ) 1g x x= + . Aleshores,

a) lim [ ( ) ( )] 3x

f x g x→−∞

+ = − b) lim [ ( ) ( )]x

f x g x→−∞

− = −∞

c) ( )lim( )x

f xg x→−∞

= −∞ d) ( )lim( )x

g xf x→−∞

= +∞

1.1.11. Sigui 3 1 0

( ) 1 01

x xf x

xx

− <⎧⎪= ⎨

>⎪ −⎩

. Aleshores,

a) 0

lim ( ) 0x

f x−→

= b) 0

lim ( )x

f x+→

= +∞ c) 0

lim ( ) 1x

f x→

= − d) No existeix 0

lim ( )x

f x→

1.1.12. El valor de 4 3 2

3 21

2lim3 2x

x x xx x x→

− +− +

és:

a) 0 b) 1 c) 2 d) +∞

1.1.13. El valor de 23

3lim5 6x

xx x+→

−

− + és:

a) 0 b) 1 c) 2 d) No existeix

1.1.14. Sigui la funció 0

( )0

a xf x

b x≠⎧

= ⎨ =⎩, amb ,a b∈ . Indica quina de les següents

afirmacions és FALSA: a)

0lim ( )x

f x a→

= b) f(x) és contínua en x=0 sí i només si a=b

68

c) Si a b≠ , f(x) és discontínua en x=0 d) 0

lim ( )x

f x b→

=

1.1.15. Considerem

2 04( ) 0 12

1 1

x xxf x xx

xx

⎧⎪ − ≤⎪ −⎪= < ≤⎨ +⎪⎪ >⎪⎩

. Aleshores f(x):

a) És discontínua en x=0 i x=-2 b) Té una discontinuïtat de salt en x=1 c) És contínua en x=0 i discontínua en x=2 d) Té una discontinuïtat asimptòtica en x=0

1.1.16. Sigui 2( 1) ( 3)( )

( 4)( 2)( 1)x xf x

x x x− −

=− − −

. Aleshores f(x):

a) Té una discontinuïtat evitable en x=3 b) És contínua en x =1 c) Té una discontinuïtat de salt en x =2 d) Té una discontinuïtat asimptòtica en x=4

1.1.17. Considerem

2

2

33( )

6 39

x xxf x

x xx

⎧<⎪⎪ −= ⎨

−⎪ >⎪ +⎩

. Aleshores:

a) 3

lim ( )x

f x+→

= +∞ b) 3

2lim ( )3x

f x−→

= − c) f(x) és discontínua en x=3 d) 3

lim ( ) 3x

f x→

=


1 1( )

4 1x x

f xkx x

+ ≤⎧= ⎨

− >⎩, amb k ∈ . El valor de k pel qual f(x) és

contínua en x=1 és: a) 6 b) 4 c) 2 d) No n’hi ha cap 1.1.19. Sigui :[0,1]f → una funció tal que f(0)=1 i f(1)=-1. Aleshores, a) f(x) té un zero a (0,1) b) f(x) té, com a mínim, un zero a (0,1) c) Si f(x) és contínua té, com a mínim, un zero a (0,1) d) f(x) no té cap zero a (0,1) 1.1.20. Indica quina de les següents funcions és contínua en [0,2] i, a més, té com a mínim un zero en (0,2):

a) 2 1( )4

xf xx

−=

− b) 1( )

1f x

x=

− c) ( ) 1f x x= + d) 2( ) 1f x x= +

69

Bloc 1: Funcions Tema 2: Derivades 1.2.1. Indica quina de les gràfiques següents correspon a la d’una funció derivable a (0,2): a)

b)

c)

d)

1.2.2. La gràfica representa la derivada d’una certa funció f(x). Indica quina de les següents afirmacions és FALSA:

a) '(0 ) 1f + = b) '(2 ) 2f − = c) '(1) 0f = d) '( )f x no és derivable en x=1

1.2.3. Considera la funció 2

( 1) 0( )

0x x x

f xx x

− ≤⎧= ⎨

>⎩. Aleshores,

a) f(x) no és derivable en x=0 b) f(x) no és contínua en x=0 c) '(0 ) 1f + = − d) '(0 ) 0f − =

70

1.2.4. Sigui 2( ) 3 2f x x x= − + . Aleshores f(x): a) Pren valors negatius a l’intèrval (1,2) b) És discontínua en x=1 i x=2 c) És derivable en tot el seu domini d) No és derivable en x=1 i x=2 1.2.5. Indica quina de les següents afirmacions és certa: a) Si existeixen els límits laterals d’una funció en un punt, aleshores existeix el límit de la funció en aquest punt b) Si una funció té límit en un punt, aleshores és contínua en aquest punt c) Si una funció és contínua en un punt, aleshores és derivable en aquest punt d) Si una funció és derivable en un punt, aleshores és contínua en aquest punt 1.2.6. Sigui la funció 3 2( ) 2 5 1f x x kx= − + . Quin ha de ser el valor de k per tal que la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa x=2 sigui paral·lela a la recta 4 3 0x y− + = ? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

1.2.7. Considereu 2

4 2( )

2x b x

f xax x

+ ≤⎧= ⎨

>⎩, amb ,a b∈ . Aleshores f(x):

a) És contínua i derivable per a a=1 i b=-4 b) És derivable per a a=1 c) És discontínua per a a=2 i b=0 d) És contínua i derivable per a a=4 i b=8 1.2.8. Indica en quina de les gràfiques següents hi pot haver representada una funció i la seva derivada: a)

b)

c)

d)

71

1.2.9. Siguin f(x) i g(x) tals que (2) 4, (2) 2, (2) 1, (2) 3f Df g Dg= = − = = . Aleshores, a) [ ]( ) 2 0D f g+ = b) ( )[ ]2 1D f g− =

c) [ ]( ) 2 12D f g⋅ = d) [ ]2 14fDg

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1.2.10. Sabem que (0) (0) (0) (0) 1f g Df Dg= = = = i (1) (1) (1) (1) 2f g Df Dg= = = = . Aleshores [ ]( ) 0D f g val: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 1.2.11. La derivada de 3 2( ) 2 4 3 1f x x x x= − + − és: a) 2 3x x− + b) 26 8 3x x− + c) 0 d) No existeix '( )f x 1.2.12. La derivada de 2( ) ( 1)( 2)f x x x= − + és: a) 2x b) 3 22 2x x x+ − − c) 23 4 1x x+ − d) 2 ( 2)x x +

1.2.13. La derivada de 2

23)( 2 −−

=x

xxf és:

a) 1x

− b) ( )

2

22

2 6 4

2

x x

x

− +

− c)

( )2

22

6 6 4

2

x x

x

− + +

− d) 26 6 4x x− + +

1.2.14. La derivada de ( )22 2( ) 1 1f x x x= + + − és:

a) ( )2

2

12 12 1

xx

+ +−

b) 2 122

xx

+

c) 4 2 22 1 1x x x+ + + − d) 3

24 4

1xx x

x+ +

−

1.2.15. La derivada segona de ( ) 2sin cosf x x x= és:

a) 2cos sinx x− b) ( )2 22 cos sinx x− c) 4sin 2x− d) 0 1.2.16. La derivada de 2 2( ) sin ( 1) arctan 2f x x x= + + és:

a) ( )22

22cos 11 4

xx

+ ++

b) ( ) ( )2 22

22sin 1 cos 11 4

x xx

+ + ++

c) ( )22

12 sin 2 21

x xx

+ ++

d) ( ) ( )2 22

24 sin 1 cos 11 4

x x xx

+ + ++

1.2.17. La derivada de ( ) lnxf x e x= és:

72

a) lnxe x b) 1lnxe xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

c) xe

x d) lnxe x

x

1.2.18. Indica quina és la derivada de f(x) sabent que ( ) [ ]221 ( ) 1 4x f x− + − = :

a) 1( ) 1

xf x

−−

b) 21 4 ( 1)x+ − − c) 21 3 2x x+ + − d) 2

113 2

xx x

−+

+ −

1.2.19. La derivada de 12

)1()( +−= xxxf és:

a) 2 12 ln( 1) ( )

1xx x f xx

⎡ ⎤+− + ⋅⎢ ⎥−⎣ ⎦

b) 2 12 ln( 1)

1xx xx

+− +

− c) ( )( )

22 1 1 xx x+ − d) 21 x

1.2.20. Sigui 2( )1k xf x

x−

=−

, amb k ∈ . Aleshores,

a) f(x) no té cap punt de tangent horitzontal b) Si k=1, aleshores f(x) té un sol punt de tangent horitzontal c) f(x) té dos punts de tangent horitzontal [ ]1,1k∀ ∉ − d) '( )f x és negativa en tot el seu domini

73

Bloc 1: Funcions Tema 3: Aplicacions de les derivades 1.3.1. L’equació de la recta tangent al gràfic de la funció 3( ) 2 4f x x x= − en el punt d’abscissa x=1 és: a) 2 4y x= + b) 2 4y x= − + c) 2 4y x= − d) 2 4y x= − − 1.3.2. El pendent de la recta normal al gràfic de ( ) 8f x x= en el punt (2,1) val: a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 1.3.3. Considerem la funció 2( ) 1f x x= − i la recta 4 4 5 0r y x≡ − + = . Assenyala l’afirmació correcta: a) r no és tangent a f(x) b) Si r és tangent a f(x) en x=a, aleshores '( ) 4f a = c) r és la tangent a f(x) que forma un angle de 45º amb l’eix d’abscisses d) r és tangent a f(x) en (4,5) 1.3.4. Sigui una funció f(x) derivable en x=a. Indica quina de les següents afirmacions és FALSA: a) Si '( ) 0f a > , aleshores f(x) és creixent en x=a b) Si '( ) 0f a = , aleshores la tangent a f(x) en x=a és paral·lela a l’eix OX c) Si '( ) 0f a < , aleshores f(x) és decreixent en x=a d) Si f(x) és creixent en x=a, aleshores '( ) 0f a > 1.3.5. Indica quina de les següents funcions és decreixent a (1,2) i creixent a (2, )+∞ :

a) 2

( )1

xf xx

=−

b) ( )1

xf xx

=−

c) 1( )1

f xx

=−

d) ( ) 1f x x= −

1.3.6. Sigui la funció 2( ) xf xx k

= −+

, amb 0k > . Aleshores f(x),

a) Creix a ( ),k k− b) Decreix a ( ),k k−

c) És creixent 0k∀ > d) És decreixent 0k∀ > 1.3.7. El gràfic representa la derivada d’una certa f(x). Aleshores podem dir que f(x):

74

a) Creix a ( ,0) (2, )−∞ ∪ +∞ b) Té extrems relatius en x=0 i x=2 c) És creixent en x=2 d) És decreixent en x=0

1.3.8. La funció ( )2

xef xx

= :

a) Té un màxim relatiu a x=1 b) Té un mínim relatiu a x=1 c) No té extrems relatius a (0, )+∞ d) És sempre decreixent a (0, )+∞ 1.3.9. La funció 2( ) 2 12 10f x ax x= − + té un mínim relatiu en x=3 quan a val: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 1.3.10. La funció 2( )f x x ax b= − + + té un màxim en el punt (1,2) per a: a) 2, 1a b= = b) 2, 1a b= − = c) 1, 2a b= − = d) 1, 2a b= = 1.3.11. La funció 3 2( ) 2 3 36 1f x x x x= + − + :

a) És còncava a 1,2

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) És convexa a 1 ,2

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Té un punt d’inflexió a 12

x = d) No té punts d’inflexió

1.3.12. La funció 4 2( ) 6f x x x= − : a) És creixent a (-1,1) i és decreixent a ( , 1) (1, )−∞ − ∪ +∞ b) És decreixent a (-1,1) i és creixent a ( , 1) (1, )−∞ − ∪ +∞ c) És còncava a (-1,1) i és convexa a ( , 1) (1, )−∞ − ∪ +∞ d) És convexa a (-1,1) i és còncava a ( , 1) (1, )−∞ − ∪ +∞ 1.3.13. Les funcions del tipus 3 2( )f x ax bx cx d= + + + , amb 0a ≠ , sempre: a) Creixen b) Decreixen c) Tenen extrems relatius d) Tenen un punt d’inflexió 1.3.14. Sigui el rectangle d’àrea màxima inscrit en una circumferència de radi 2: a) És un quadrat de costat 2 b) És un quadrat de costat 2 c) És un rectangle de base 2 i altura 1 d) La seva àrea és 4π 1.3.15. Es vol dissenyar un tetrabrick de base quadrada destinat a contenir 1 litre de líquid. Interessa que el cost del material sigui el més petit possible. Designem amb les lletres b i h la base i l’altura, respectivament, del tetrabrick. Aleshores, a) La funció a optimitzar és 2( , )F b h b h= b) La relació entre base i altura és 22 4 1b bh+ = c) El resultat òptim s’aconsegueix amb 1, 1b h= = d) El problema no té solució

75

1.3.16. El cost d’un marc per a una finestra rectangular és de 6€ per cada metre d’alçària i de 8€ per cada metre d’amplada. La finestra ha de tenir 3m2 de superfície. Aleshores, el marc més barat possible: a) Té un cost de 48€ b) Té una base de 2m i una alçària de 1,5m c) Té un perímetre de 3,5m d) És quadrat 1.3.17. Sigui la funció 3 2( ) 3f x x x= − . Indica quina de les següents afirmacions és FALSA: a) El seu gràfic té l’aspecte:

b) El seu domini són tots els reals i talla els eixos a (0,0) i (3,0) c) Té extrems relatius en els punts d’abscissa x=0 i x=2 d) Té un punt d’inflexió a x=1

1.3.18. Sigui la funció 2 1( ) xf xx+

= :

a) No té asímptotes obliqües b) Té un mínim relatiu a x=-1 i un màxim relatiu a x=1 c) Creix a ( ,0)−∞ i decreix a (0, )+∞ d) El seu gràfic té l’aspecte:


14)(xxxf −

= :

a) El seu domini són tots els reals i talla l’eix OX a 14

x =

b) És decreixent en tot el seu domini c) No té extrems relatius d) El seu gràfic té l’aspecte:

76

1.3.20. Indica quin dels quatre gràfics següents no correspon a la funció associada:

a) 2 1( )

2xf xx

−=

−

b) 2( )( 1)

xf xx

=−

c) 2

2( )4

xf xx

=−

d) ( )1

xef xx

=−

77

Bloc 1: Funcions Tema 4: Integrals

1.4.1. Indica quina de les següents funcions és una primitiva de 1( ) 2sin cos

f xx x

= − :

a) 2 ln(tan )x x− b) 12sin cosx x

− c) 2 2

1 1sin cosx x

− d) 2 tanx x−

1.4.2. Donada la funció f(x) de la figura següent, indica quina de les opcions de resposta conté una primitiva de f(x).

a)

b)

c)

d)

78

1.4.3. Siguin 1( )F x i 2 ( )F x dues primitives d’una certa funció f(x). Aleshores, a) [ ]1 2( ) ( ) ' , 0F x F x k k− = ≠ b) 1 2( ) ( ) ,F x F x k k− = ∈ c) La diferència 1 2( ) ( )F x F x− pot dependre explícitament de x d) Les rectes tangents a 1( )F x i 2 ( )F x en un punt qualsevol es poden tallar

1.4.4. El resultat de 4 3 22 3 5 4x x x x dx

x− + − +

∫ és:

a) 3 2 42 3 5 ,x x x k kx

− + − + + ∈ b) 4 3 21 2 3 5 4ln ,4 3 2

x x x x x k k− + − + + ∈

c) 22

43 4 3 ,x x k kx

− + − + ∈ d) 4 3 21 2 3 5 4 ,4 3 2

x x x x k k− + − + + ∈

1.4.5. La funció que passa per (1,0) i és tal que el seu pendent en un punt x qualsevol ve donat per 3( ) 8 4 1f x x x= − + és: a) No n’hi ha cap b) 224 24x − c) 38 4 4x x− − d) 4 22 2 1x x x− + − 1.4.6. Assenyala la igualtat FALSA:

a) ( ) ( )2 311 1 ,3

x dx x k k+ = + + ∈∫ b) ( )2

3 3 ,11

dx k kxx

= − + ∈−−∫

c) 2sin( 3) 2cos( 3) ,x dx x k k− = − + ∈∫ d) 2 2 ,x xe dx e k k− −− = + ∈∫ 1.4.7. Assenyala la igualtat FALSA:

a) ( )323 1 3 1 ,9

x dx x k k− = − + ∈∫ b) ( )22

2 2 ln 1 ,1

x dx x k kx

= + + ∈+∫

c) 4cos 2 2sin 2 ,xdx x k k= + ∈∫ d) 24

2 arctan ,1

x x k kx

= + ∈+∫

1.4.8. Assenyala la igualtat FALSA:

a) ( )32

21

1 ,3

xx x dx k k

−− = + ∈∫

b) 3 32 1 144 ,

3x xx e dx e k k+ += + ∈∫

c) 4 51sin cos cos ,5

x xdx x k k= + ∈∫

d) ( )22

4 1 12ln 9 arctan ,9 3 3

x xdx x k kx

−= + − + ∈

+∫


79

a) 21 1ln ln ,2 2

x xdx x x k k⎛ ⎞= − + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫

b) ( )1cos sin cos ,2

x xe xdx e x x k k= + + ∈∫

c) ( )2 2sin 2 sin 2 cos ,x xdx x x x x k k= + − + ∈∫

d) ( )21arctan ln 1 ,2

xdx x k k= + + ∈∫


a) 2

1 1 1ln ,1 2 1

xdx k kx x

+= + ∈

− −∫

b) 2

3

1 1ln arctan ,x xdx x k kx x x

− += + + ∈

+∫

c) 2

3 2

3 1ln 1 arctan ,2 2 2 2

x x xdx x k kx x x

− += − − + ∈

− + −∫

d) 4 2 3

3 2

2 6 ( 2)ln ,2 2 1

x x x x xdx x k kx x x x

+ − += − + + ∈

+ − −∫

1.4.11. La funció f(x) tal que ''( ) 12 4, '(0) 3, (0) 0f x x f f= − = = és: a) 3 22 2 3x x x− + b) 12 4x − c) 26 4 3x x− + d) No n’hi ha cap 1.4.12. Siguin a i b dos valors reals tals que a b< . Assenyala l’afirmació correcta: a) Si f(x) és integrable en ( , )a b , aleshores f(x) és contínua en ( , )a b b) Si f(x) és discontínua en ( , )a b , aleshores f(x) no és integrable en ( , )a b c) Si f(x) és derivable en ( , )a b , aleshores f(x) és integrable en ( , )a b d) Si f(x) no és derivable en ( , )a b , aleshores f(x) no és integrable en ( , )a b 1.4.13. Assenyala la igualtat FALSA:

a) 3

2

0

( 1) 6x dx− =∫ b) 4

3 2

1

(4 6 4 2) 145x x x dx−

− + − =∫ c) 2

0

sin 4xdxπ

=∫ d) 1

1 1e

dxx

=∫

1.4.14. El resultat de 4

0

( 1)( 3)x x dx− −∫ és:

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 1.4.15. L’àrea tancada entre la paràbola 2 3 2y x x= − + − , l’eix d’abscisses i les rectes x=0 i x=3 val:

a) 32

− b) 116

c) 116

− d) 32

80

1.4.16. L’àrea de la superfície compresa entre la corba 2 4y x= − i la recta 4 8y x= + val:

a) 0 b) 1283

c) 2563

d) 5123

1.4.17. Indica quina de les opcions de resposta representa l’àrea limitada per la paràbola

2y x x= − i les seves tangents en els punts en què talla l’eix d’abscisses. El gràfic corresponent és:

a) 1

12 b) 1

24 c) 1

3 d) 1

6

1.4.18. El valor de a que fa que y ax= i 2y x= tanquin una àrea de 36 unitats de superfície és: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 1.4.19. El valor de a que fa que la recta x a= divideixi en dues parts d’igual àrea el recinte limitat per la paràbola 2y x= i l’eix OX entre x=0 i x=2 és: a) 1 b) 3 2 c) 3 3 d) 3 4 1.4.20. L’àrea tancada entre la cúbica 2( 2)y x x= − i la recta y x= val:

a) 376

b) 3712

c) 3718

d) 3724

81

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 1: Matrius

2.1.1. Sigui 0 1 11 0 21 2 0

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Quina de les següents afirmacions és certa?

a) A és simètrica b) A és antisimètrica c) A no és quadrada d) A és diagonal

2.1.2. Sigui la matriu 1 2 30 2 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Quina de les següents afirmacions és FALSA?

a) 2 3( )A M ×∈ b) L’element de matriu 12a és 0 c) A és triangular inferior d) A no és ni simètrica ni antisimètrica

2.1.3. Siguin 1 2 03 1 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 0 2 21 1 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. La matriu suma A B+ val:

a) 1 4 22 0 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 4 1 41 3 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) No es pot efectuar perquè A i B no tenen les mateixes dimensions.

d) No es pot efectuar perquè A i B no són quadrades.

2.1.4. Sigui a b

Ac d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, amb , , ,a b c d ∈ , i sigui també k ∈ . El producte k A⋅ val:

a) ka kbc d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) a kbc kd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ka bc kd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ka kbkc kd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.1.5. Siguin 0 21 3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ i

1 02 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. El producte A B⋅ val:

a) 0 02 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 4 25 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 0 21 7

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) No es pot efectuar perquè no tenen les mateixes dimensions.

2.1.6. Siguin 3 4 ( )A M ×∈ i 2 4 ( )B M ×∈ . Quin dels següents productes es pot efectuar? a) A B⋅ b) B A⋅ c) TA B⋅ d) TB A⋅

2.1.7. Siguin 1 03 21 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 1 21 4

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:

82

a) 0 24 21 1

B A⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) 1 7 31 5 3

TB A− −⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 25 22 2

A B−⎛ ⎞

⎜ ⎟⋅ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

d) 2 22 6

TA B−⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.1.8. Siguin 2 31 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 0 11 3

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 2 40 1

A B−⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ b)

2 22 5

A B−⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c) 0 5

23 4

A ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ d)

0 22

2 6TB ⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2.1.9. La matriu unitat del conjunt 2 ( )M és:

a) 1 11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 01 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 10 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 00 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.1.10. La matriu inversa de 1 1 00 1 01 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

és:

a) 1 1 00 1 01 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b) 1 1 00 1 0

11 12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 1 00 1 01 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2.1.11. Siguin 1 23 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 3 01 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

. La solució de l’equació 2 0X A B+ − = és

a) 4 22 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ b)

2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ c)

4 22 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.1.12. Considera les matrius 3 0 11 1 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 1 4 31 1 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. La solució de

l’equació matricial 2 3X B A+ = és:

a) 4 2 01 2 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 8 4 02 4 4

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

83

c) 7 10 94 1 8

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ d) No té solució perquè A i B no tenen les

mateixes dimensions.

2.1.13. Sigui la matriu 0

0x

Ax

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Indica quina de les opcions de resposta següents

conté tots els valors de x per als quals es satisfà l’equació 226 9 0A A I− + = .

a) No existeix cap valor de x per al qual es satisfaci l’equació. b) 2x = i 3x = c) 2x = d) 3x =

2.1.14. Sigui 1 2 30 2 30 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) ( ) 0rang A = b) ( ) 1rang A = c) ( ) 2rang A = d) ( ) 3rang A =

2.1.15. Sigui 1 4 32 8 6

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Aleshores,


2.1.16. Sigui 1 2 3 40 5 6 70 0 0 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) ( ) 1rang A = b) ( ) 2rang A = c) ( ) 3rang A = d) ( ) 4rang A = 2.1.17. Sigui 3 4 ( )A M ×∈ . Quina afirmació és certa? a) ( ) 4rang A = b) ( ) 3rang A = c) ( ) 3rang A ≤ d) No es pot afirmar res sobre el ( )rang A

2.1.18. Sigui 1

1a

Aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

a) Si 1a = − , aleshores ( ) 2rang A = . b) Si 1a = , aleshores ( ) 2rang A = . c) Si 1a = ± , aleshores ( ) 1rang A = . d) Si 1a ≠ ± , aleshores ( ) 1rang A = .

2.1.19. Sigui 12 4

aA ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Si 2a = , aleshores ( ) 1rang A = ; si 2a ≠ , aleshores ( ) 2rang A = .

b) Si 2a ≠ , aleshores ( ) 1rang A = ; si 2a = , aleshores ( ) 2rang A = .

c) ( ) 1,rang A a= ∀ ∈ . d) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈ .

84

2.1.20. Sigui 1 2 40 10 4

A aa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Si 2a ≠ ± , aleshores ( ) 3rang A = . b) Si 2a ≠ ± , aleshores ( ) 2rang A = . c) ( ) 3,rang A a= ∀ ∈ . d) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈ .

85

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 2: Determinants

2.2.1. Sigui 1 32 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Aleshores,

a) det 4A = b) det 10A = c) det 2A = − d) det 2A =

2.2.2. Sigui 1 0 01 2 03 2 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) det 0A = b) det 2A = c) det 4A = d) det 6A =

2.2.3. Sigui 1 0 21 2 00 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) det 0A = b) det 2A = c) det 4A = d) det 4A = −

2.2.4. La solució de l’equació 1 1

03 x

−=

− és:

a) 3x = − b) 3x = c) 1x = ± d) No té solució

2.2.5. Sigui la matriu 0 3 22 1 01 1 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

a) L’adjunt de l’element 33a és -6 b) L’adjunt de l’element 13a és -1 c) L’adjunt de l’element 32a és 3 d) L’adjunt de l’element 21a és -14

2.2.6. El determinant de

2 0 1 01 2 3 10 0 3 10 2 2 2

A

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

val:

a) -7 b) 7 c) -6 d) 6

2.2.7. Sigui a b

Ac d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Aleshores, det( )k A⋅ és igual a:

a) ka kbc d

b) ka bc kd

c) a kbkc d

d) ka kbkc kd

86

2.2.8. Siguin 3( )A M∈ i k ∈ . Aleshores det( )k A⋅ és igual a: a) det A b) detk A⋅ c) 2 detk A⋅ d) 3 detk A⋅ 2.2.9. Indica quina de les següents afirmacions és certa: a) det( ) det( )A B B A⋅ = ⋅ siguin quines siguin A i B b) det( ) det( )A B B A⋅ ≠ ⋅ perquè A i B , en general, no commutenc) det( ) det( ) det( )A B A B⋅ = ⋅ siguin quines siguin A i B d) det( ) det( ) det( )A B A B⋅ = ⋅ sí i només si A i B quadrades 2.2.10. Siguin A , B i C tres matrius quadrades de les mateixes dimensions. Sabem que det( ) 0A ≠ i det( ) 0B ≠ . Aleshores, la solució de l’equació matricial A X B C⋅ ⋅ = és: a) 1 1X A B C− −= ⋅ ⋅ b) 1 1X A C B− −= ⋅ ⋅ c) 1 1X C A B− −= ⋅ ⋅ d) No podem assegurar que existeixi solució

2.2.11. La matriu inversa de 2 12 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

és:

a) No existeix inversa perquè det 0A =

b)

1 14 21 14 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

1 14 41 12 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2 12 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.2.12. Indica quina de les següents afirmacions és certa: a) Tota matriu té inversa b) Tota matriu quadrada té inversa c) Tota matriu quadrada amb determinant no nul té inversa d) Cap matriu té inversa

2.2.13. Sigui a d a d

A b e b ec f c f

+⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠


a) det 0A = b) ( ) 2rang A ≤ c) No existeix 1A− d) ( ) 3rang A = 2.2.14. Sigui A una matriu quadrada n n× i tal que det 0A = . Aleshores, a) Tots els elements de matriu de A són nuls b) A no té inversa c) ( ) 0rang A = d) ( )rang A n=

2.2.15. Sigui 1 4 52 5 7

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Aleshores,


87

2.2.16. Sigui 1 2 12 4 21 3 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) ( ) 0rang A = b) ( ) 1rang A = c) ( ) 2rang A = d) ( ) 3rang A = 2.2.17. Sigui A una matriu. Li afegim una nova columna i designem A la nova matriu. Aleshores, a) ( ) ( )rang A rang A= b) ( ) ( ) 1rang A rang A≤ + c) det( ) det( )A A= d) det( ) det( ) 1A A= + 2.2.18. Siguin A i B matrius quadrades tals que det( ) 0A = i det( ) 0B ≠ . Aleshores, a) det( ) 0A B⋅ = b) No es pot assegurar que det( ) 0A B⋅ =c) ( ) ( )rang A B rang B⋅ = . d) ( ) ( )rang A rang B= .

2.2.19. Sigui 1 10 1

aA

a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 0 ( ) 1a rang A= ⇒ = b) 1 ( ) 3a rang A≠ ⇒ = c) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈ d) 1 ( ) 1a rang A= ⇒ =

2.2.20. Sigui 2 1 10 1 1

1 1A

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 2 ( ) 2a rang A= ⇒ = b) 2 ( ) 3a rang A= ⇒ = c) 2 ( ) 2a rang A≠ ⇒ = d) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈

88

Bloc 2: Matrius i Sistemes Tema 3: Sistemes d’equacions lineals

2.3.1. Siguin els sistemes 2 2 1

:2 5 0x y

x xy⎧ − =

Σ = ⎨− =⎩

, 2 3

:2 1

x y xx y

− =⎧Ξ = ⎨ + =⎩

i 3 4

:2 2

x yx y

+ =⎧Θ = ⎨ − = −⎩

.

Aleshores, a) Ξ no és un sistema lineal b) Θ és un sistema lineal c) Σ és un sistema lineal d) Cap dels tres sistemes és lineal

2.3.2. Sigui el sistema 2 1

2 5 0x y

x y− =⎧

⎨ − =⎩. Aleshores,

a) (3,1) és solució del sistema b) (10,4) és solució del sistema c) (5,2) és solució del sistema d) Cap de les anteriors és solució del sistema 2.3.3. Sabem que la solució d’un sistema compatible indeterminat és ,x λ= 1 ,y λ= +

1 ,z λ= − amb λ ∈ . Aleshores, a) 1, 1, 1,x y z= = = és una solució del sistema b) 0, 1, 1,x y z= = = és una solució del sistema c) 1, 1, 0,x y z= = = és una solució del sistema d) Ens cal conèixer el sistema per comprovar si les afirmacions anteriors són certes o falses 2.3.4. Assenyala l’afirmació correcta: a) Els sistemes incompatibles poden tenir solució b) Els sistemes compatibles indeterminats no tenen solució única c) Els sistemes compatibles no poden tenir solució única d) Els sistemes incompatibles indeterminats tenen infinites solucions

2.3.5. El sistema 3 2 5

9 6 15x y

x y− = −⎧

⎨− + =⎩

a) Representa dues rectes del pla que són paral·leles b) És incompatible c) No és compatible determinat d) Representa dues rectes del pla que es tallen en un únic punt

2.3.6. El sistema 123

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩

a) És incompatible b) És compatible determinat c) Representa tres plans que es tallen en una recta d) Té infinites solucions

89


1x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩. La seva solució ve donada per:

a) 2 1 31 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b)

1 1 31 2 1

xy

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

c) 2 3 11 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ d)

3 1 21 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2.3.8. Sabem que el sistema Ax b= és de Cramer. Aleshores, a) 1x A b−= b) 1x bA−= c) No té solució d) No existeix 1A− , però el sistema podria ser compatible 2.3.9. Dos sistemes són equivalents quan: a) Tenen el mateix nombre d’equacions b) Tenen el mateix nombre d’incògnites c) Tenen solució d) Tenen les mateixes solucions 2.3.10. Indica quina de les següents transformacions no manté necessàriament l’equivalència entre sistemes: a) Afegir una nova equació obtinguda com a combinació lineal de les equacions inicialsb) Restar a una equació una combinació lineal de les altres c) Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero d) Substituir una equació per una combinació lineal de les altres equacions

2.3.11. 1 1 1 62 3 2 153 0 4 11

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ ⎠⎝

i 1 1 1 60 1 0 30 0 1 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ ⎠⎝

són les matrius ampliades de dos sistemes

d’equacions. Aleshores, a) Els sistemes són equivalents b) El sistema associat a B és incompatible c) Els sistemes no són equivalents d) Cap de les afirmacions anteriors és certa 2.3.12. Tenim un sistema amb n incògnites i tal que ( ) ( )rang A rang A n= < . Aleshores, a) No podem afirmar res sense conèixer el sistema b) És compatible determinat c) És compatible indeterminat d) És incompatible 2.3.13. Sigui A la matriu de coeficients d’un sistema de n incògnites, i sigui A la corresponent matriu ampliada. Aleshores, a) Si ( ) ( )rang A rang A= el sistema és incompatible b) Si ( )rang A n= el sistema és compatible c) Si ( ) 1rang A n= + el sistema és incompatible d) Si ( )rang A n= el sistema és compatible determinat 2.3.14. Els sistemes amb més incògnites que equacions:

90

a) No poden ser compatibles determinats b) No poden ser compatibles indeterminats c) No poden ser incompatibles d) Cap de les respostes anteriors és certa

2.3.15. La matriu de coeficients d’un sistema és 1 0 21 1 03 2 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Aleshores,

a) És compatible determinat b) És compatible indeterminat c) És incompatible d) No pot ser compatible determinat


2 2 21

x y zx y z

x y z

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩

. Aleshores,

a) 0 2 1

1 2 1 212

1 1 1x

−=

− − b)

1 2 11 2 1 2

121 1 1

y−

=− −

c) 0 0 1

1 2 2 212

1 1 1z

−=

− d) És incompatible

2.3.17. La solució del sistema 2 1

23 3

x y zy zx y

+ − =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

és:

a) És incompatible, no té solució b) 1, 2, 3x y z= = = c) 3 3 , , 2 ,x y zλ λ λ λ= − + = = − ∈ d) 3 3 , 2 , ,x y zλ λ λ λ= − + = − = ∈

2.3.18. Sigui el sistema 1

2 32 2 1

x zx y z

x y z

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

. La solució és:

a) És incompatible b) 11 .

,

xyz

λλ

λ

= −⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

c) 111

xyz

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

d) 1 .1 ,

xyz

λλ

λ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ = +⎩

2.3.19. Un sistema amb tots els termes independents nuls: a) Pot ser incompatible b) No pot ser compatible indeterminat c) Sempre és compatible d) No pot ser compatible determinat

91

2.3.20. Sigui 2 4 0

02 0

x y zx y z

x y

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩

. Indica quina de les següents afirmacions és FALSA:

a) És homogeni b) És compatible c) 0, 0, 0,x y z= = = n’és solució d) No és compatible determinat

2.3.21. La matriu de coeficients d’un sistema és 4

1a

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) Si 2 o 2a a= = − el sistema és incompatible b) Si 2a = la solució és un punt del pla

c) Si 2a = − la solució és una recta del pla d) Si 2a ≠ i 2a ≠ − el sistema és compatible determinat

2.3.22. Sigui el sistema amb matriu ampliada 1 0 2 30 1 10 0 1 1

A aa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ + ⎠⎝

. Aleshores,

a) Si 1a = − el sistema és compatible determinat b) Si 0a = el sistema és incompatible c) Si 0a ≠ i 1a ≠ − el sistema és compatible determinat d) Si 0a ≠ el sistema és compatible indeterminat

2.3.23. Sigui el sistema 14

x y z ax ay zax y z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩

.

a) Si 1a ≠ i 1a ≠ − la matriu de coeficients del sistema és invertible b) Si 1a = el sistema és compatible indeterminat c) Si 1a = − el sistema és compatible d) Si 1a ≠ el sistema és incompatible

2.3.24. Considereu el sistema 3

2 02 3

x yx ayx y

+ =⎧⎪ − =⎨⎪− + =⎩

.

a) És incompatible a∀ ∈ b) Si 1a = és compatible determinat c) 0, 0, 0,x y z= = = n’és solució d) Si 1a = és compatible indeterminat

2.3.25. Sigui 2

1x y az a

x ay zx y z a

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

.

a) Si 1a = el sistema és compatible determinat

b) Si 2a ≠ el sistema és compatible indeterminat

c) Si 1a ≠ el sistema és compatible d) Si 2a = el sistema és incompatible

92

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 1: Vectors a l’espai 3.1.1. Siguin , ,A B C tres punts de l’espai. Indica quina de les següents afirmacions és FALSA: a) 0AB BC A C+ = ⇒ = b) AB BC AC+ = c) AB AC BC+ = d) 0AB BA+ = 3.1.2. Els vectors (1,0,0), (1,1,0) i (2,1,0): a) Són linealment independents b) No són coplanaris c) Qualsevol vector de 3 es pot escriure en combinació lineal d’ells d) No són base de 3 3.1.3. Siguin els vectors (2,1,0), ( 1,3, 2), ( 1, 2,1)u v w= = − − = − − . El resultat de l’operació 5 3u v w− + és: a) (8,-4,5) b) (14,8,-1) c) (7,2,1) d) (6,-4,5) 3.1.4. Siguin els vectors (1,0,0), (0,1,0), (1,1,1)u v w= = = : a) Són base de 3 b) Són ortogonals dos a dos c) Les components de ( 1,0,2)x = − en la base { }3 , ,u v w= són (-1,0,2)

d) ,u v i (1,1,0)y = sí són base de 3 3.1.5. El nombre màxim de vectors linealment independents que trobem en el conjunt format per ( 6,4,1), (2, 1,3), (8, 5,2)u v w= − = − = − és: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 3.1.6. Siguin ( , 2, 2), (2, , ), (6, 4,6),u k v k k w k= = = ∈ . Són linealment independents si i només si: a) 2k = o 2k = − b) 2k ≠ i 2k ≠ − c) 0k ≠ d) 1k = 3.1.7. Assenyala l’afirmació correcta: a) Si tres vectors de 3 no són base d’aquest espai vectorial, aleshores cap vector de 3 es pot escriure en combinació lineal d’ells b) Si tres vectors de 3 són linealment independents, com a mínim un d’ells es pot posar en combinació lineal dels altres dos c) Si tres vectors de 3 són linealment independents, aleshores són base de 3 d) Si un conjunt de vectors de 3 són generadors de l’espai, aleshores són base de 3 3.1.8. Les components de (2,3,5)x = en la base de 3 formada per

(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0)u v w= = = són:

93

a) , ,u v w no són base de 3 b) (2,3,5) c) (3,2,0) d) (2,3,0) 3.1.9. Siguin els vectors (3, 2,0), (4,1,3)u v= − = . Aleshores: a) 10u v⋅ = b) Són ortogonals c) Són paral·lels d) Formen un angle de 30º 3.1.10. Donats els vectors (1, 1,0), (2,0, ),u v k k= − = ∈ , a) Si 0k = són ortogonals b) Si 2k = són paral·lels c) Si 2k = − formen un angle de 60º d) 1u v k⋅ = + 3.1.11. Siguin ,u v tals que ( )4, 2, , 60ºu v u v= = = . Aleshores u v− val:

a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5 d) 2 7 3.1.12. El valor de la projecció ortogonal de (3, 4,0)u = − sobre (4,4, 2)v = − és:

a) 43

− b) -1 c) 45

− d) 23

−

3.1.13. Siguin ,u v dos vectors unitaris tals que la projecció ortogonal de u sobre v és igual a 1− . Aleshores: a) ,u v són ortogonals b) ,u v són linealment dependents c) 1u v⋅ = d) u v= 3.1.14. Siguin (1,1,0), (0,1,1)u v= = . Aleshores u v∧ és: a) (1,-1,1) b) (1,1,1) c) (-1,1,1) d) (1,1,-1) 3.1.15. Dos vectors d’igual mòdul formen un angle de 30º i determinen un paral·lelògram d’àrea 8. El mòdul d’aquests vectors val: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 3.1.16. L’àrea del triangle de vèrtexs (0,0,0), (2,3,1), (0,6,2)A B C val: a) 2 10 b) 2 11 c) 2 12 d) 0 3.1.17. El volum del paral·lelepípede definit per (1,3,2), ( 1,0,1), (0,1, 1)u v w= = − = − és: a) -6 b) 6 c) -3 d) 3 3.1.18. Siguin (1,0,1), (0, 1,1)u v= = − . Les components de (1,2,2)w = en la base

{ }3 , ,u v u v= ∧ són: a) (1,-1,-1) b) (2,-1,-1) c) (-1,1,1) d) (-2,1,1) 3.1.19. Siguin els vectors , ,u v u v∧ , amb , 0u v ≠ : a) Si 0u v∧ = , aleshores ,u v són linealment independents b) 0u v∧ ≠

94

c) ( ) 0u v u v∧ ∧ ∧ =⎡ ⎤⎣ ⎦

d) Si 0u v⋅ = , aleshores ,u v són linealment dependents 3.1.20. Siguin , ,u v w tals que u v u w⋅ = ⋅ . Aleshores: a) v w= b) u i v w− són paral·lels c) u i v w− són perpendiculars d) ( ) 0u v w∧ − =

95

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 2: Rectes i plans a l’espai 3.2.1. Considerem els punts (2, 3,8) i (8,9, 4)A B− − . Aleshores, a) El punt mitjà del segment AB és (3,3,2) b) Els punts que divideixen AB en tres parts iguals són (4,1,4) i (6,5,0) c) El punt (5,3,2) no està sobre el segment AB d) El punt mitjà del segment AB no coincideix amb el punt mitjà del segment BA 3.2.2. Siguin els punts (2, 1,4) i (1, 3,2)O A− − . El punt simètric de A respecte de O és:

a) '(3,1,6)A b) '(0, 5,0)A − c) 3' , 2,32

A ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

d) '(1,2,2)A

3.2.3. Siguin els punts (1,3, 2), (4,5, 2) i ( , , 18)A B C x y− − . Per a quins valors de ix y resulta que , iA B C estan alineats?

a) 5 , 42

x y= = b) 3 , 12

x y= = c) 16, 13x y= = d) 0, 0x y= =

3.2.4. Considerem la recta ( , , ) (1,2, 1) (1,0,1)x y z λ= − + . Aleshores, a) Passa per l’origen de coordenades b) És paral·lela a totes les rectes de vector director ( 1,1,1)v = − c) És perpendicular a l’eix OY d) (1,0,1) és un punt de la recta 3.2.5. Sigui la recta r que passa pels punts (1,3, 2) i (0, 2,5)A B− − . Indica quina de les següents equacions NO REPRESENTA r:

a) ( , , ) (0, 2,5) (1,5, 7)x y z λ= − + − b) 13 52 7

xyz

λλ

λ

= −⎧⎪ = −⎨⎪ = − +⎩

c) 3 215 7

y zx − +− = =

− d)

5 27 5 11

x yy z

− =⎧⎨ + = −⎩

3.2.6. L’equació de la recta que passa per (1,1,1) i és perpendicular als vectors

(1,0, 1) i (2,1,1)u v= − = és:

a) 2 4 0

0x y z

x z+ + − =⎧

⎨ − =⎩ b) ( , , ) (1,1,1) (2,1,1)x y z λ= +

c) 111 2

xyz

λλλ

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

d) 1 113 0

x zy− −= − =

96

3.2.7. Les rectes 3 2 41 5 i

2 22 3x yx zr y s

x z− =⎧+

≡ = + = ≡ ⎨ + =− ⎩:

a) Són paral·leles b) Es tallen en el punt 5 23 9, ,2 4 4

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Es creuen sense tallar-se d) No són coplanàries

3.2.8. Siguin les rectes 2

31

x ar y b

z

λλ

λ

= − +⎧⎪≡ = +⎨⎪ = −⎩

i 2 1 25 3

x ys z− +≡ = = − . Els valors de ia b

que les fan paral·leles són: a) 5, 3a b= = b) 5, 3a b= − = − c) 5, 3a b= = − d) 5, 3a b= − = 3.2.9. Considerem el pla determinat pels punts (0,0,0), ( 2,1,3) i (1,0,5)A B C− . Aleshores: a) Respon a l’equació 2 3 0x y z− + + = b) (-2,1,3) i (-3,1,2) en són vectors directors b) (5,13, 1)v = − n’és un vector normal d) (1,1,1) és també un punt del pla 3.2.10. L’equació del pla paral·lel a 2 3 7 3 0x y zπ ≡ − + − = que passa per (7,0,-2) és: a) 7 2 3 0x z+ − = b) 2 3 7 0x y z− + = c) 2 3 7 3 0x y z− + − + = d) 3 2 8 0x y z− + + = 3.2.11. L’equació del pla que conté el punt (1, 2,3)P i és perpendicular a la recta que passa per (1,1,1) i (2,0, 4)A B és: a) ( , , ) (1, 2,3) (1,1,1) (2,0, 4)x y z λ μ= + + b) 2 3 14 0x y z− + − = b) 2 3 2 0x y z− + − = d) 3 8 0x y z− + − =

3.2.12. L’equació del pla que conté les rectes 3 22 3 i 31 0

x xr y s y

z z

λ λλ λ

= − = +⎧ ⎧⎪ ⎪≡ = + ≡ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

és:

a) 3 5 6 0x y z+ − − = b) 3 3 0x y− + − = c) 3 2 0x y− − = d) 3 2 8 0x y z− + + = 3.2.13. La recta que passa per (0,2,2)P i talla perpendicularment la recta

3 2 1 01 0

x y zr

x y+ − − =⎧

≡ ⎨ + − =⎩ és:

a) 32 22

xyz

λλ

λ

=⎧⎪ = +⎨⎪ = −⎩

b) ( , , ) (0, 2, 2) (1, 1,1)x y z λ= + −

c) 1 10x y z= − = − d)

04

xy z

=⎧⎨ + =⎩

97

3.2.14. La recta que passa per (1,0,1)P , és paral·lela al pla 3 2 2 4 0x y zπ ≡ − + − = i talla

la recta 20

yz

=⎧⎨ =⎩

és:

a) 1 13 2 2

x y z− −= =

− b) ( , , ) (1,0,1) (0,2,0)x y z λ= +

c) 3 2 2 5 0

2x y z

y z− + − =⎧

⎨ + =⎩ d)

1 221

xyz

λλ

λ

= +⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

3.2.15. Siguin 1 2 1 0x y zπ ≡ − − + = , 2 0x y zπ ≡ + − = i 3 4 2 2 1 0x y zπ ≡ − + + + = . Aleshores: a) 1 3iπ π són paral·lels b) 1 2iπ π són perpendiculars c) 1 3iπ π són el mateix pla d) Tots tres plans es tallen en un punt 3.2.16. Els plans 1 23 2 1 0 i 2 6 4 3 0, ,kx y z x y z kπ π≡ + − + = ≡ − + + = ∈ són tals que: a) Es tallen en una recta per a qualsevol valor de k b) Són paral·lels per a 2k = c) Són coincidents per a 1k = d) Són perpendiculars per a 13k = 3.2.17. Siguin 1 2 2ax y zπ ≡ − + + = , 2 1x y z aπ ≡ − + − = − i 3 1,x y azπ ≡ − + + = amb a ∈ . Aleshores: a) Si 1a = − , es tallen en una recta b) Si 2a = , n’hi ha dos que són paral·lels c) Si 1 i 2a a≠ − ≠ , es tallen en un punt d) Si 1 o 2a a= − = , el sistema format per les equacions dels tres plans és compatible determinat

3.2.18. Considerem la recta 213 2

xr y

z

λλ

λ

=⎧⎪≡ = −⎨⎪ = +⎩

i el pla 2 2 1 0x y zπ ≡ − − + = . Aleshores:

a) Són secants b) Són paral·lels c) El pla conté la recta d) Cap de les anteriors és certa

3.2.19. Siguin la recta 2 1

1x y z

rkx y z

+ + =⎧≡ ⎨ + + =⎩

i el pla 1x y kzπ ≡ + + = , amb k ∈ .

Aleshores: a) No existeix cap valor de k per al qual ir π siguin perpendiculars b) Si 0 i 1k k≠ ≠ , ir π són paral·lels

98

c) Si 0k = , r està continguda en π d) Si 1k = , ir π són secants

3.2.20. Donades la recta 1

2 0x y z

rx y z+ + =⎧

≡ ⎨− − + =⎩ i el pla 2x y az bπ ≡ + + = , amb ,a b ∈ ,

resulta que: a) Si 4a ≠ , ir π són perpendiculars b) Si 4a = , ir π són secants c) Si 4 i 3a b= = , r està continguda en π d) Si 3b ≠ , ir π són paral·leles

99

Bloc 3: Geometria analítica a l’espai Tema 3: Geometria mètrica a l’espai 3.3.1. Considerem el pla π i les rectes r i s: a) Si totes dues rectes estan contingudes en el pla, aleshores les rectes són secants b) Si r és paral·lela a π i s és perpendicular a π , aleshores les rectes són secants c) Si totes dues rectes són paral·leles a π , aleshores són paral·leles entre elles d) Si totes dues rectes són perpendiculars a π , aleshores són paral·leles entre elles 3.3.2. Donada una recta r i un punt P de r, a) Existeix una sola recta perpendicular a r que passa per P i un sol pla perpendicular a r que passa per P b) Existeixen infinites rectes perpendiculars a r que passen per P i un sol pla perpendicular a r que passa per P c) Existeix una sola recta perpendicular a r que passa per P i infinits plans perpendiculars a r que passen per P d) Existeixen infinites rectes perpendiculars a r que passen per P i infinits plans perpendiculars a r que passen per P 3.3.3. El pla que conté la recta ( , , ) (0,1,0) (1,1,1)r x y z λ≡ = + i és perpendicular al pla

2 3 0x y zπ ≡ − − − = té per equació: a) 3 2 3 0x y z− + + = b) 1 0x y z+ + − = c) 2 2 3 0x y+ − = d) 2 1 0x y z− − + =

3.3.4. La recta que talla perpendicularment les rectes 1

5 01 i

5 03

xx

r y sy z

z

λλ

λ

= − +⎧− =⎧⎪≡ = − ≡⎨ ⎨ − + =⎩⎪ =⎩

és:

a) 1 4

1xyz

λλ

λ

= +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩

b) ( , , ) ( 1,1,0) (0,1,1)x y z λ= − +

c) ( , , ) (1, 1,6) ( 4, 1,1)x y z λ= − + − − d) 01

x yy z

+ =⎧⎨ + =⎩

3.3.5. L’equació de la recta que passa pel punt (0,1,3)P i talla perpendicularment la recta

2 1 13 1 2

x y zr − + −≡ = = és:

a) ( , , ) (0,1,3) (1,1,1)x y z λ= + b) 3 5 0

2 3 0x y

y z− − =⎧

⎨ − + =⎩

100

c) 21 23 2

xyz

λλλ

=⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩

d) 3 1 20 1 3

x y z− − −= =

3.3.6. La recta continguda en el pla 2 0x y zπ ≡ − + − = que talla perpendicularment la recta r x y z≡ = = és:

a) ( , , ) (2,2,2) (1,0, 1)x y z λ= + − b) 2

0yx z

=⎧⎨ + =⎩

c) 222

xyz

λ

λ

= − −⎧⎪ = −⎨⎪ = − +⎩

d) 2 2 21 0 1

x y z+ + += =

−

3.3.7. El simètric del punt (2,1,0)P respecte de la recta 1 1r x y z≡ = − = + té coordenades: a) (0,3,0) b) (3,0,0) c) (0,3,3) d) (3,3,0) 3.3.8. El simètric del punt ( 1, 2,1)P − respecte del pla 4 13 0x y zπ ≡ − + − = té coordenades: a) (0,7,3) b) (7,0,3) c) (7,3,0) d) (0,3,7) 3.3.9. El cosinus de l’angle format pel vector director de la recta que passa per (2,2,0) i

(4,5,2) i el de la recta 4 0

0x z

ry

− =⎧≡ ⎨ =⎩

val:

a) 717

b) 817

c) 917

d) 1017

3.3.10. Siguin els plans 1 21 0 i 2 1 0,x y z ax y z aπ π≡ + − + = ≡ + + − = ∈ . Indica per a quin dels següents valors d’a l’angle entre els dos plans val 60º: a) 4 3 3+ b) 3 4 3+ c) 4 4 3+ d) 3 3 3+ 3.3.11. L’angle format per la recta ( , , ) ( 1,2,2) (1,0,1)r x y z λ≡ = − + i el pla que passa per

( , , ), , ,P a b c a b c ∈ , i és perpendicular a la recta 2 2 21 1 0

x y zs + + −≡ = = , val:

a) 60º b) 45º c) 30º d) Depèn de , ia b c 3.3.12. La distància entre els punts (1,0,1)P i ( 1, , 2),Q k k− ∈ , és: a) k b) 25 k+ c) 2 5k + d) k 3.3.13. Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director v , i sigui Q un punt exterior a r. Aleshores, la distància entre Q i r ve donada per:

101

a) PQ vv∧ b)

v QP

v

∧ c)

PQ v

v

∧ d)

PQ v

PQ

∧

3.3.14. Considerem un punt P i un pla π . Indica quina de les següents opcions NO coincideix amb la distància entre P i π : a) La distància entre P i un punt qualsevol de π b) La projecció ortogonal del vector que uneix P i un punt qualsevol de π sobre un vector normal a π c) La distància entre una recta paral·lela a π que passi per P i una recta continguda en π i paral·lela a la primera d) La distància entre P i el punt d’intersecció de π amb la recta perpendicular a π que passa per P

3.3.15. Considerem les rectes 2

( , , ) (2, 1,1) (1,2,2) i 313

xr x y z s zy

λ=⎧

⎪≡ = − + ≡ −⎨+ =⎪⎩

. La

distància que les separa és:

a) 126

b) 226

c) 326

d) 426

3.3.16. Un cub té dues cares sobre els plans 1 4 3 4 0y zπ ≡ − + + = i 2 8 6 42 0y zπ ≡ − + = . El volum del cub és: a) 125 b) 64 c) 27 d) No existeix tal cub 3.3.17. Suposem una recta i un pla tals que no es tallen. La distància del pla a la recta: a) Coincideix amb la distància de qualsevol punt del pla a la recta b) Coincideix amb la distància de qualsevol punt de la recta al pla c) No està definida si la recta està continguda en el pla d) Sempre val 0

3.3.18. Considerem la recta 612 3

y zr x +≡ − = = i el pla 4 0x y zπ ≡ + + − = . Els punts

de r que disten 3 unitats de π són: a) (-6,2,-3) i (-3,4,-2) b) (6,-2,3) i (3,-4,2) c) (-3,2,-6) i (-2,4,-3) d) (3,-2,6) i (2,-4,3) 3.3.19. L’àrea del triangle determinat pels punts de tall de les rectes r x y z≡ = = ,

2 6 33 4 1

x y zs + − −≡ = =

− i 4 1 1

1 2 1x y zt + + +

≡ = = amb el pla 10 9 7 0x y zπ ≡ + − = és:

a) 920 b) 230 c) 1152

d) 1158

102

3.3.20. La recta que s’obté en projectar ortogonalment la recta 3 1 12 1 3

x y zr − − −≡ = =

−

sobre el pla 3 2 2 0x y zπ ≡ − + − = és:

a) 3 1 12 1 3

x y z− − −= =

− b)

2 1 03 2 2 0

x yx y z

+ + =⎧⎨ − + − =⎩

c) 2 3 0

3 2 2 0x y zx y z

+ − − =⎧⎨ − + − =⎩

d) 7 5 15 0

3 2 2 0x y z

x y z− − − =⎧

⎨ − + − =⎩

103

RESPOSTES TEMES

BLOC 1 BLOC 2 BLOC 3 QÜEST. 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3

1 D C C A B C B C B D 2 C B B C B D C D A B 3 A A C B A A B A C A 4 B D D B D B B A C C 5 D D A D B D C B D C 6 D B B C C C A B A A 7 A A D B C A D C B A 8 C A B C A D A D B B 9 D D B D D D D A C D

10 B C A A A B D C B A 11 C B C A B C A B D C 12 A C D C A C C D A C 13 B B D C D D C B C B 14 D D A D D B A A D D 15 B C C B C C D D A B 16 D D A C B C A A D A 17 C B A A C B D B C B 18 C A D D C A B B B D 19 C A D D A C C C A C 20 A C C B A A D C C D 21 D 22 C 23 A 24 B 25 D

105

5. CONCLUSIONS I RECERCA FUTURA Conclusions Després de l’estudi teòric i validació experimental portats a terme en les Seccions 2 i 3, i a la vista dels materials elaborats en la Secció 4, es poden establir les següents conclusions: 1) La incorporació de proves PEM de tipus diagnòstic en el desenvolupament del tema permet objectivar els ritmes d’aprenentatge de l’alumnat, tant des d’un punt de vista individual com col·lectiu. 2) Els resultats del pilotatge aporten indicis del fet que la realització de tests diagnòstics millora el rendiment acadèmic de l’alumnat amb millors resultats de Matemàtiques, això és, d’aquells que acaben aprovant l’assignatura a finals de curs. En canvi, no s’aprecien indicis de millora per a la resta. Cal, doncs, esperar a ampliar l’estudi per veure si és possible millorar també el rendiment d’aquest grup d’alumnes abans d’introduir PEM diagnòstiques de forma generalitzada. Mentrestant, i en qualsevol cas, fora bo facilitar la realització de tests diagnòstics a l’alumnat que hores d’ara se’n veu beneficiat. 3) Partint de les mostres usades en aquest treball resulta que, estadísticament parlant, les dones presenten mitjanes iguals a les dels homes tant pel que fa a l’examen com pel que fa al test. Es més, en aquestes mostres les dones presenten, en mitjana, un rendiment lleugerament superior al dels homes. 4) Es presenten diferències en les notes atorgades per professors diferents en l’examen “clàssic” tot i haver-se establert puntuacions màximes per a cadascun dels apartats de la prova. Es fa palesa la necessitat d’afinar molt els criteris de correcció en proves tipus PAU, on calgui ordenar alumnes segons les qualificacions atorgades per professors diferents. És clar, però, que amb proves PEM s’aconsegueix objectivitat absoluta en la correcció. 5) Les proves PEM permeten explorar un rang de continguts més ampli que no pas els exàmens clàssics, però, d’altra banda, presenten dificultats a l’hora de demanar l’aplicació de determinades tècniques o accions concretes en la resolució de problemes, i tampoc no ajuden l’alumnat a millorar la seva expressió des del punt de vista matemàtic. És per això que la introducció mesurada de preguntes tipus test en els exàmens “clàssics”, en un percentatge possiblement no superior al 30% o 40%, faria possible una observació més completa del grau d’assoliment dels ensenyaments rebuts per part de l’alumnat. Així s’aprofitarien els avantatges i no s’acusarien les mancances que comporta una avaluació exclusiva amb aquesta eina. A més, d’aquesta manera l’alumne/a pren un contacte previ i necessari amb una tècnica avaluativa abastament extesa en molts àmbits, tal i com s’ha posat de manifest a l’apartat 2.2.

106

6) Les tècniques d’anàlisi d’ítems i de valoració de proves PEM, introduïdes a l’apartat 2.5.4, es revelen a la pràctica com a eines que possibiliten l’objectivació de conceptes tals com dificultat d’un ítem, dificultat de la prova fiabilitat de la prova. 7) S’ha posat a l’abast de professorat i alumnat una col·lecció de proves PEM que cobreixen tot el currículum de 2n curs de Batxillerat de Matemàtiques. La col·lecció és accessible a Internet. 8) L’eina Quaderns Virtuals s’ha revelat com un instrument molt útil en tant que suport telemàtic dels tests mencionats al punt anterior, i la possibilitat de correcció en línia facilita enormement l’autoaprenentatge. Cal, però, treballar per superar les limitacions que comporta el seu ús en el camp de les Matemàtiques, segons s’indica a l’apartat 4.2. Recerca futura La recerca portada a terme ha deixat en el tinter, bàsicament per l’ampliació portada a terme en la fase de pilotatge, alguns punts del projecte de treball inicial. Així doncs, penso que els primers passos a donar en una fase posterior d’investigació podrien dedicar-se a tancar temes que, si bé ara com ara es podrien catalogar de col·laterals, no son menys interessants i ben segur que poden donar molt de joc. Tanmateix, a la vista del treball completat en tota la seva extensió, la recerca futura es podria orientar des d’una posició de coneixement més global que l’actual. D’entre les tasques no realitzades, potser la més interessant tindria a veure amb la realització d’una enquesta que possibilités la determinació del grau de coneixement i ús que el professorat de Matemàtiques de Catalunya té i fa de les PEM en la seva pràctica docent habitual, així com l’opinió que els mereix la seva utilització. A la vista dels resultats i, per descomptat, del conjunt de tota la feina realitzada, pagaria la pena de concretar per escrit una col·lecció de criteris que permetin usar efectivament PEM per a l’avaluació objectiva, diagnòstica i, en definitiva, com a instrument de millora dels resultats dels aprenentatges matemàtics de l’alumnat de Batxillerat. Un altre aspecte no completat en el treball és l’elaboració de PEM que recobreixin el currículum de Matemàtiques de 1r de Batxillerat. El que sí s’ha fet és l’anàlisi dels continguts corresponents a aquest curs, que es pot consultar a l’Annex 8. Respecte als models PEM ja elaborats, la seva validesa com a elements d’autoaprenentatge quedaria significativament incrementada si s’utilitzessin quadres de diàleg per comentar les respostes incorrectes. El tercer apartat a considerar hauria de ser una contribució al desenvolupament de l’aplicació “Quaderns Virtuals” que aporti propostes de funcionament actualment no disponibles. De fet, si no s’han elaborat PEM per a 1r de Batxillerat ha estat per la baixa velocitat de treball que ofereixen actualment els “Quaderns Virtuals”, ja comentada en l’apartat 4.2. Qualsevol millora en aquest aspecte resultaria en una disminució dels temps dedicats a la rutinària tasca de passar preguntes “a net”.

107

Un cop estudiats els aspectes descrits més amunt, val a dir que la recerca futura que es deriva de forma natural d’aquest treball presenta dues línies bàsiques d’investigació: 1) La primera passa per extendre l’experiència de pilotatge a un curs sencer i involucrant un nombre suficient i representatiu d’alumnes. L’objectiu és doble. D’una banda es tracta de verificar els indicis que indiquen la millora en el rendiment del sector d’alumnes classificats com a bons quan resolen tests diagnòstics mentre es desenvolupa un tema. L’altre ha de considerar la situació de la resta de l’alumnat davant les proves PEM, i estudiar de quina manera aquestes poden influir positivament i favorable en el seu rendiment. 2) La segona consisteix en l’extensió de l’experiència a la secundària obligatòria, seguint la línea marcada pel grup del professor Trepat, del Departament de Didàctica de les Ciències Socials i el Patrimoni la UB, que actualment estudia la millora en l’eficiència dels aprenentatges que pot suposar la utilització de PEM en l’àrea de Ciències Social al primer cicle de l’ESO.

109

ANNEX 1: PROGRAMACIÓ DEL TEMA IMPARTIT EN LA FASE DE PILOTATGE Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’equacions lineals Programació Curs 2005/2006

CONTINGUTS 1. MATRIUS 1.1 Definicions. Matrius nxm. Matrius quadrades. Matriu fila. Matriu columna. Igualtat de matrius. Transposada d’una matriu. Matriu simètrica. Matriu triangular. Matriu diagonal. 1.2 Operacions amb matrius. Suma de matrius. Propietats. Producte d’una matriu per un escalar. Propietats. Producte de matrius. Propietats. 1.3 Matrius quadrades. Matriu unitat. Concepte de matriu inversa. Propietats de les operacions amb matrius a ( )nM R . 1.4 Equacions matricials. Resolució d’equacions en les quals les incògnites són elements de matriu. Resolució d’equacions i sistemes d’equacions en els quals les incògnites són matrius. 1.5 Rang d’una matriu. Triangulació de matrius mitjançant el mètode de Gauss. Discussió del rang de matrius que presenten un paràmetre.

110

2. DETERMINANTS 2.1 Definicions. Determinants d’ordre 2. Determinants d’ordre 3. Regla de Sarrus. 2.2 Determinants d’ordre qualsevol. Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Regla de Laplace. 2.3 Propietats dels determinants. 2.4 Aplicacions dels determinants. Càlcul de la matriu inversa. Condició necessària i suficient. Càlcul del rang d’una matriu. Discussió del rang de matrius que presenten un paràmetre 3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 3.1 Definicions. Equacions lineals. Solucions. Interpretació geomètrica de l’equació lineal amb dues incògnites. Interpretació geomètrica de l’equació lineal amb tres incògnites. Sistemes d’equacions lineals. Solucions. 3.2 Classificació dels sistemes d’equacions lineals. Sistemes compatibles. Sistemes incompatibles. Sistemes compatibles determinats. Sistemes compatibles indeterminats. Interpretació geomètrica dels sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites. Interpretació geomètrica dels sistemes d’equacions lineals amb tres incògnites. 3.3 Representació matricial d’un sistema d’equacions. Forma matricial d’un sistema d’equacions. Matriu del sistema. Matriu ampliada. Resolució de sistemes de Cramer via la matriu inversa. 3.4 Resolució i discussió de sistemes d’equacions mitjançant el mètode de Gauss. Sistemes d’equacions triangulars inferiors (sistemes escalonats). Solució. Sistemes d’equacions equivalents.

111

Transformacions que mantenen l’equivalència entre sistemes. Mètode de Gauss: triangulació del sistema. Discussió de sistemes amb un paràmetre mitjançant el mètode de Gauss. 3.5 Teorema de Rouché-Frobenius. 3.6 Resolució de sistemes d’equacions mitjançant determinants: Regla de Cramer. 3.7 Sistemes homogenis. 3.8 Discussió de sistemes d’equacions amb un paràmetre mitjançant determinants.

PLANIFICACIÓ I TEMPORITZACIÓ Per a cadascun dels tres temes la idea és: 1. Desenvolupament del tema: conceptes + exercicis il·lustratius 2. Centres A i B: Test de 30m + 30m dedicats a la correcció Centres C i D: 1h dedicada a la resolució d’exercicis 3. Dues classes dedicades a la resolució d’exercicis i problemes triats adequadament segons la informació proporcionada pel test Un cop finalitzat el tema de Sistemes es dedicarà 1h a un examen clàssic i una altra hora a una prova tipus test. El contingut d’ambdues proves estarà basat, fonamentalment, en sistemes d’equacions. Tema Desenvolup. Exercicis/Test Exercicis de síntesi Total Matrius 3h 1h 2h 6h Determinants 3h 1h 2h 6h Sistemes d’equacions 4h 1h 2h 7h Proves Examen 1h Prova tipus test 1h

113

ANNEX 2: RECULL D’EXERCICIS Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Exercicis Curs 2005-2006 1. MATRIUS. Definicions. 1.1 Escriu: a) Una matriu 4x3. b) Una matriu quadrada 2x2. c) Una matriu fila 1x3. d) Una matriu columna 4x1. e) Una matriu 3x3 simètrica. f) Una matriu 3x3 antisimètrica. g) Una matriu 4x4 triangular. h) Una matriu 4x4 diagonal. 1.2 Donades les matrius següents, indica’n les seves dimensions, troba’n les transposades i digues si són simètriques o antisimètriques.

a) 2 01 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

4 11 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠c)

2 3 0 13 5 4 10 4 1 1

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 0 1 11 0 2

1 2 0D

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Operacions amb matrius. Matrius quadrades.

1.3 Donades les matrius 1 02 12 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0 22 30 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0 12 11 0

C⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 8 42 62 4

D⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

,

calcula:

a) A B+ b) C D− c) 13 22

A B C D− − + d) TA C+ e) T TC D+

1.4 Donades les matrius 1 31 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 2 23 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcula:

a) A B+ b) 2 3A B− c) A B⋅ d) B A⋅ e) 2 22A A B B− ⋅ + f) 2( )A B−

114

1.5 Donades les matrius A i B de l’exercici 4, comprova que a) ( )T T TA B A B− = − b) ( )T T TA B B A⋅ = ⋅ 1.6 Efectua, sempre que es pugui, els següents productes matricials:

a) 1 1 22 1 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

b) 2 1 11 2 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

c) ( )3

2 12

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ d) ( )

21 1

4⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

1.7 Efectua les operacions:

a) 1 2 0 1 0 12 1 1 2 3 43 0 1 0 2 1

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

b) 3 1

5 2 4 12 0

1 3 2 11 2

−⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 3 1 2 3 2 0 1

22 1 0 1 2 1 1 0

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

d) 2 1

1 3 2 1 10 1

1 0 1 0 21 2

⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

1.8 Siguin les matrius 1 31 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 2 23 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1 12 3

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 2

1 00 1

I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Comprova que: a) 2 2A I I A A⋅ = ⋅ = b) ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅

c) ( )A B C A C B C+ ⋅ = ⋅ + ⋅ d) ( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1.9 Donada la matriu 2 10 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠,

a) Comprova que ( )2

2 22 0A I− = . b) Usa la relació anterior per determinar 1A− .c) Comprova que 1 1

2A A A A I− −⋅ = ⋅ = .

1.10 Siguin les matrius 1 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ i

2 2 22 2 22 2 2

B− − −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

.

a) Calcula 2A , 3A i dona una expressió per a nA . b) Calcula nB .

115

Equacions matricials 1.11 Troba la matriu X que verifica:

a) 3 4 6 10

2 1 0 3 51 1 1 0

X⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 2 1 5 5 1 2

2 34 1 4 8 12 3

X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.12 Troba les matrius A i B que satisfan els sistemes:

a)

1 32 1

2 02

5 1

A B

A B

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b)

6 13 2

1 3

4 12 3

1 2

A B

A B

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠−⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1.13 Considera la matriu A de l’exercici 9. Resol l’equació 8 04 4

A X ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

1.14 Donada 2 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, determina B per tal que

3 11 0

A B ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

1.15 Siguin les matrius 2

1x

Ay

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 0

1z

Bt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Determina x , y , z i t sabent que

4 32

4 1A B ⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

1.16 Troba els valors de x per als quals 2 00

Ax

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ satisfà 2

2 25 6 0A A I− + = .

1.17 Troba x i y per tal que les matrius 1

0 1x⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

i 1 2

1y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

commutin.

Rang d’una matriu 1.18 Troba el rang de les matrius següents:

a) 1 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

2 0 11 0 2

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ c)

1 1 32 0 43 1 8

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

116

d) 1 2 22 4 25 10 7

D−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) 2 1 0 16 0 1 54 4 2 6

E−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

f)

1 1 11 3 21 0 53 2 2

F

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

1.19 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a :

a) 1 23

Aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

11a

Ba

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ c)

1 2 36 6

Ca a

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 1 1 11 1 22 1

Da

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 2 1 41 1 31 2

Ea

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 3 2 12 6 44 12 8 4

F a−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1.20 Sigui la matriu 5 5 65 3 10 7

Aa

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Determina a per tal que ( ) 2rang A = .

1.21 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre k :

a) 1 2 12 4

2 1A k

k

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 0

0 1 31 1

kB

k

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Qüestions teòriques 1.22 Respon de forma raonada a les següents qüestions: a) Siguin A i B dues matrius. Quan es pot afirmar que ( )2 2 22A B A A B B+ = + ⋅ ⋅ + ? b) Si A és una matriu 3x3 de rang 3, pot variar el seu rang si la afegim una fila? I si li afegim una columna? c) Si A és una matriu 3x3 de rang 3, com pot variar el seu rang si li traiem una fila? I si li traiem una fila i una columna?

d) Es pot afegir una fila a la matriu 1 21 21 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

per tal que la nova tingui rang 3?

117

PAU

1.23 (Juny 2005-Sèrie 4-Qüestió 1). Siguin les matrius 10 1

aA ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 10 1

bB ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, on a i

b són valors reals. Determina els possibles valors de a i b que fan que les dues matrius commutin, és a dir, que A B B A⋅ = ⋅ .

1.24 (Setembre 2004-Sèrie 5-Qüestió 3). Siguin les matrius 3 22 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ i

1 11 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

a)Troba X per tal que A X B⋅ = . b) Calcula 100B . Raona la resposta. 1.25 (Juny 2005-Sèrie 1-Qüestió 2). La matriu següent expressa el preu unitari, en euros, de quatre articles, A , B , C i D , procedents de les fàbriques f1, f2 i f3:

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

P

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Si una comanda és representada per una matriu –“un vector”, en l’enunciat original– fila ( , , , )C x y z t= , què representa cadascun dels elements del resultat del producte C P⋅ ? Si

volem comprar 25 unitats de A , 30 de B , 60 de C i 75 de D , quina de les fàbriques ens ofereix el millor preu?

118

2. DETERMINANTS Definicions 2.1 Calcula el valor dels determinants següents:

a) 1 23 8

b) 2 35 6

− − c)

3 34 2

−−

d) 3 52 2

e) 2 43 6

−−

2.2 Calcula el valor dels determinants següents:

a) 2 1 31 2 51 4 7

− b) 1 1 10 3 12 5 0

−− c)

0 3 11 1 12 0 1−

d) 2 1 20 0 32 1 1

− −

e) 0 2 32 1 30 1 0

−−

− f)

1 0 11 2 11 2 0

−−

− g)

2 5 43 0 10 1 0

−

− h)

0 1 31 0 00 2 3

−

2.3 Calcula el valor dels determinants següents en funció del paràmetre k :

a) 2 11 k−

b) 2

2k

k−

c) 2 20 3 11 1 1

k −

− d)

3 4 51 1

1 1k

k

−−−

2.4 Soluciona les equacions següents:

a) 2

3 1x

=0 b) 1

1x

x−

=0 c)

22 30 1 14 2 2

x=0 d)

1 21 2

1 1 1

xx

x− − −+

=0

e) 1 2

84x

−=

− f)

24 13

5x

xx

= + g) 1 02 3 1 61 2

x

x= − h)

2 05

3 1 64 1

5 2

xx

x− =

Determinants d’ordre qualsevol 2.5 Calcula mitjançant la Regla de Laplace el valor dels determinants dels apartats a, b, c i d de l’exercici 2.2.

119

2.6 Calcula el valor dels determinants següents mitjançant la Regla de Laplace:

a)

2 0 1 11 3 0 24 0 1 03 2 0 1

−

−−

b)

0 2 0 11 0 0 22 3 1 01 1 2 1

−

−

c)

3 0 0 21 1 2 10 2 0 02 1 0 1

− −

−

d)

2 1 0 0 00 1 4 5 20 0 1 3 10 0 0 2 20 0 0 0 1

Propietats dels determinants 2.7 Prova les següents igualtats sense desenvolupar els determinants, usant únicament les propietats:

a) 2 0

01 0

= b) 3 2

06 4

−=

− d)

2 4 33 0 1 06 12 9

−− =

− − e)

1 2 13 5 4 04 6 6

=

2.8 Sigui la matriu x y

Mz t

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, de la qual sabem que 2M = . Calcula el valor dels

determinants següents:

a) x zy t

b) 22

x yz t

c) 3 33 3y xt z

−−

d) x y yz t t++

2.9 Sabem que 5a b cd e fg h i

= . Calcula el valor dels determinants següents:

a) 3 3 3

c a bf d ei g h

b) 2 2 2a b c

a d b e c fa g b h c i

+ + +− − −

c) 222

a b a c cd e d f fg h g i i

− + −− + −− + −

2.10 Demostra, sense desenvolupar els determinants, les igualtats següents:

a) 1 1 1

0x y zy z x z x y

=+ + +

b) 2 2 2

1 1 1( )( )( )x y z z x y x z y

x y z= − − −

120

Aplicacions dels determinants 2.11 Donades les matrius següents, calcula’n les inverses:

a) 2 11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 3 42 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) 1 22 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 3 70 5 10 4 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 0 1 12 3 13 2 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.12 Estudia l’existència d’inversa per a les matrius següents segons els valors de k :

a) 1

2 1k⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠ b)

33

kk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 0 12 2 13 2 1

k⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2.13 Donades les matrius 1 31 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠,

1 01 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 1 23 4

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠, resol l’equació

matricial A X B C⋅ ⋅ = 2.14 Determina el rang de les matrius següents:

a) 1 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

2 0 11 0 2

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ c)

1 1 32 0 43 1 8

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 2 22 4 25 10 7

D−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) 2 1 0 16 0 1 54 4 2 6

E−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

f)

1 1 11 3 21 0 53 2 2

F

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

2.15 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a :

a) 1 23

Aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

11a

Ba

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ c)

1 2 36 6

Ca a

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 1 1 11 1 22 1

Da

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 2 1 41 1 31 2

Ea

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 3 2 12 6 44 12 8 4

F a−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.16 Troba a per tal que 4 3 20 2 21 5

rang aa

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

121

2.17 Sigui 1 3 11 42 2

A kk

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Estudia la invertibilitat d’A segons els valors del paràmetre

k . Qüestions teòriques 2.18 Respon de forma raonada a les preguntes següents. a) És cert que det( ) det( ) det( )A B A B⋅ = ⋅ per a qualsevol parell de matrius ,A B ? b) Demostra la relació anterior quan A i B són dues matrius quadrades 2x2. c) Sigui λ un nombre real i A una matriu quadrada nxn. És cert que

det( ) det( )A Aλ λ= ? Comprova la teva resposta per a 2λ = i 3 15 6

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

d) Si det( ) 1A = i det(3 ) 81A = , de quin ordre és la matriu A ? PAU NOTA: Els determinants no formen part del currículum normatiu de l’assignatura de Matemàtiques de Batxillerat i, per tant, tampoc entren a les PAU. Així, les matrius contingudes en la pregunta 2.19 han apareguts en proves PAU diverses, mentre que la pregunta 2.20 es pot resoldre mitjançant determinants. 2.19 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a :

a) 1 12 1 81 2 10

a−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b) 3 1 12 1

3 2a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) 1 1

2 11 1 1

aa

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 2 1

1 1 10 1 1

a aa

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

2.20 (Juny 2004-Sèrie 1-Qüestió 3). Siguin les matrius 2 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ i

1 22 2

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Determina la matriu X tal que A X A B⋅ + = .

122

3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS Definicions 3.1 Indica raonadament quin(s) d’aquest(s) sistemes d’equacions són lineals i resol-los:

a) 2

20

x yx y

+ =⎧⎨

− =⎩ b)

12 3 0x y

x y− =⎧

⎨ − =⎩ c)

3

2 2

x xy

x y

+ =⎧⎪⎨

− =⎪⎩ d)

2 42 4 2

x yx y

− =⎧⎨− + =⎩

Classificació dels sistemes d’equacions lineals 3.2 Resol, classifica i interpreta geomètricament els sistemes d’equacions següents:

a) 20

2 1

x yx y

x y

+ =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩

b) 2

2 3 22

x yx y

x y

− =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

c) 9 6 126 4 8

x yx y

− =⎧⎨ − =⎩

d) 6

2 13

x y zx y

x z

+ + =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

e) 2 2

02 2

x y zx y

x y z

− + =⎧⎪ + =⎨⎪ − + =⎩

f) 2 1

03 0

x y zx zx y

− + =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩

Representació matricial d’un sistema d’equacions 3.3 Escriu els següents sistemes d’equacions en forma matricial i resol usant la matriu inversa:

a) 2 5

3x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩ b)

2 32 4 5x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩ c)

2 43 3 62 3 8

x y zy zx y z

− − =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

d) 1

2 3 13 2 2 2

y zx y zx y z

− + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + − = −⎩

Resolució i discussió de sistemes d’equacions mitjançant el mètode de Gauss 3.4 Resol els següents sistemes d’equacions:

a) 2

3x yy

− =⎧⎨ =⎩

b) 3 5

2 6 10x y

x y− =⎧

⎨ − =⎩ c)

2 3 36

x yx

− =⎧⎨ =⎩

123

d) 2 4

22 4

x y zy zz

+ − =⎧⎪ − =⎨⎪ =⎩

e) 2 3 5

2 1x y z

y z+ − =⎧

⎨ − =⎩ f)

31

5

x y zy zx

− − =⎧⎪ − =⎨⎪ =⎩

3.5 Indica, sense resoldre’ls, quins dels següents parells de sistemes d’equacions lineals són equivalents:

a) 416

x yx y

− =⎧⎨ + =⎩

i 106

xy

=⎧⎨ =⎩

b) 2 5

2 4 10x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩ i

12

xy

=⎧⎨ =⎩

c) 2 5

2 4 10x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩ i

2 153 6 15x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩ d)

45

2 2 9

x y zx z

x y z

− + =⎧⎪ + =⎨⎪ − + =⎩

i 5

1x zy

+ =⎧⎨ =⎩

3.6 Estudia i resol els següents sistemes mitjançant el mètode de Gauss:

a) 2 4

2 04

x y zx z

x y z

− + =⎧⎪ − =⎨⎪ + + =⎩

b) 2 3 2

3 13 2 3 3

x y zx yx y z

− + =⎧⎪ + = −⎨⎪ + + =⎩

c) 2 2 4

23 5 5 6

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

d)

22 3 8

2 13

y zx y zx y z

x y z

− = −⎧⎪ − + =⎪⎨− + + =⎪⎪ + + =⎩

3.7 Discuteix els següents sistemes mitjançant el mètode de Gauss:

a) 2 02 1

x y z ax ay z

x y z

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

b) 2 32 2

2 3

x yx ay

x y

− =⎧⎪ + =⎨⎪− + = −⎩

c) 1

2 13 2 4 3

ax y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + = −⎩

d) 2 3 2 4

26 5 3 5

x y zax y z

x y z a

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

Teorema de Rouché-Frobenius i Regla de Cramer 3.8 Classifica els següents sistemes usant el Teorema de Rouché-Frobenius i resol els que siguin compatibles mitjançant la Regla de Cramer:

a) 2 7

3 0x y

x y+ =⎧

⎨ − =⎩ b)

2 13 6 4x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩ c)

22 2 4

x yx y

− =⎧⎨− + = −⎩

124

d) 2 6

2 2 43 3 10

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

e) 35

2 2 4

x y zx y z

y z

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩

f) 2 1

20

x y zx y z

x y z

+ − = −⎧⎪ + + =⎨⎪− − + =⎩

Sistemes homogenis 3.9 Resol els següents sistemes homogenis:

a) 2 2 2 0

2 010 5 0

x y zx y z

x y

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − =⎩

b)

8 4 03 9 2 0

3 02 2 0

x y zx y z

x y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ − − =⎪⎪ + − =⎩

Discussió de sistemes d’equacions amb un paràmetre mitjançant determinants 3.10 Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre m :

a) 1

mx y mx my

+ =⎧⎨ + = −⎩

b) 24

x y z mx y mz

x my z

+ + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + =⎩

c) 44

3 5

x y mzmx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

d) 2 0

02 0

mx y zx y z

x mz

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩

3.11 Discuteix i interpreta geomètricament els sistemes següents segons els valors del paràmetre k :

a) 2 11

x ky kkx y

− = −⎧⎨ − =⎩

b) 2kx y

x ky k+ =⎧

⎨ − =⎩ c)

2 2 211

x y z kkx y z kx ky z k

+ − = −⎧⎪ + + = +⎨⎪ + + = +⎩

3.12 Estudia per a quins valors de λ resulta que:

a) 5 0

2 33

x yx y

x yλ

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + = −⎩

és compatible determinat b) 2 4

4

x yx yx y

λ λ− =⎧

⎪ + =⎨⎪ + =⎩

és incompatible

3.13 Discuteix el sistema 4 0

1 01 0

x ky zx y zkx y z

+ + − =⎧⎪ + + + =⎨⎪ − − + =⎩

segons els valors del paràmetre k .

125

3.14 Discuteix i resol en funció del paràmetre quan el sistema sigui compatible:

a) 2 54 10

x yx ay

+ =⎧⎨ − =⎩

b) 2 14 36 2 1

x yx y ax y a

− =⎧⎪ + =⎨⎪ + = −⎩

c) 2

2 2 2x ay z

x y z a− + =⎧

⎨ − + =⎩

d) 12

ax y zx ay zx y az a

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

e) 3 1

02 2 2

x ay z ax zx y az a

+ + = +⎧⎪− + =⎨⎪− + + = +⎩

f) 2 1

3 23

x yx y z ax y z

− + = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

Problemes 3.15 Troba tres nombres, la suma dels quals val zero, sabent que el triple del primer més el doble del segon més el tercer val 1, i que cinc vegades el primer més el triple del resultat de sumar el segon més el tercer val 3. 3.16 Tenim dues caixes de llibres A i B. Si passem 12 llibres de la caixa A a la B, totes dues caixes tindran la mateixa quantitat de llibres. Si passem 12 llibres de la B a la A, la caixa A tindrà el triple de llibres que la caixa B. Quants llibres conté cada caixa? 3.17 Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B i C en l’elaboració de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 s’elabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 s’elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C, i la P3 s’elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al públic és de 4,80€ per a P1, 4,10€ per a P2 i 4,90€ per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) és de 1,60€ en cadascuna, trobeu quant costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada. 3.18 La Joana i la Mercè tenien 20000€ cadascuna per invertir. Cadascuna d’elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850€ d’interessos, mentre que la Mercè n’ha rebut 950€. De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R? 3.19 Tres germans tenen edats diferents, però sabem que la suma de les edats dels tres germans és de 37 anys, i la suma de l’edat del més gran més el doble de l’edat del mitjà més el triple de l’edat del petit és de 69 anys. a) Expresseu les edats dels tres germans en funció de l’edat del germà petit. b) És possible que el germà petit tingui 5 anys? I 12 anys? Raoneu les respostes. c) Calculeu l’edat dels tres germans.

126

Qüestions teòriques 3.20 Suposa que tenim un sistema format per dues equacions lineals amb dues incògnites. Respon raonadament a les qüestions següents: a) Si el sistema és compatible determinat, es pot aconseguir un sistema compatible indeterminat afegint una tercera equació? I un d’ incompatible? b) Si el sistema és compatible indeterminat, es pot aconseguir un sistema incompatible afegint una tercera equació? I un de compatible determinat? c) Si el sistema és incompatible, es pot aconseguir un sistema compatible indeterminat afegint una tercera equació? I un de compatible determinat? 3.21 Considera un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i amb coeficients reals. És possible que el sistema tingui exactament dues solucions? I exactament tres solucions? Justifica les respostes.

3.22 Donat el sistema 11

x y zx y z

+ + =⎧⎨ − + =⎩

a) Afegeix una tercera equació per tal que sigui compatible determinat. b) Afegeix una tercera equació per tal que sigui compatible indeterminat. c) Afegeix una tercera equació per tal que sigui incompatible. 3.23 En un sistema de tres equacions lineals amb dues incògnites, el rang de la matriu de coeficients és 2. Què pots dir –raonadament– sobre la compatibilitat del sistema? 3.24 Podem afirmar que tot sistema amb més equacions que incògnites és sempre compatible indeterminat? Raona la resposta. PAU 3.25 (Setembre 2005-Sèrie 3-Qüestió 1). En un sistema hi ha, entre d’altres, aquestes dues equacions:

2 3 5x y z+ − = i 2 4 6 2.x y z+ − = − Què pots dir de les solucions del sistema? 3.26 (Juny 2005-Sèrie 4-Problema 5). De tres nombres , , ,x y z sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres és 0 i, per acabar, que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i el tercer dóna 1. a) Què pots dir del valor de k ? b) Quant valen els tres nombres?

127

3.27 (Juny 2005-Sèrie 1-Qüestió 1). Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a :

13

x ayax y

− =⎧⎨ + =⎩

a) Discuteix-lo en funció del paràmetre a . b) Resol els casos compatibles.

3.28 (Juny 2004-Sèrie 3-Problema 5). Donat el sistema 2

2 1(2 2 ) (2 2) 1

y zx y z

m x m z m

+ =⎧⎪− + + = −⎨⎪ − + − = −⎩

on

m és un paràmetre: a) Discuteix el sistema segons els valors de m . b) Resol els casos compatibles. c) En cada un dels casos de la discussió de l’apartat (a), fes una interpretació geomètrica del sistema. 3.29 (Juny 2004-Sèrie 1- Qüestió 1). La matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és

1 2 1 00 1 2 1 .0 0 0 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. b) En cas que sigui compatible resol-lo. 3.30 (Juny 2003-Sèrie 5-Qüestió 4). Considera el sistema d’equacions

12 2

4

ax y z ax y az a

x y z

+ + = + ⎫⎪− + = + ⎬⎪− + = ⎭

on a és un paràmetre. Si 1, 1, 2x y z= = − = és una solució, quin és el valor del paràmetre a ? 3.31 (Juny 2003-Sèrie 2-Qüestió 4). Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d’equacions

2 ( 2) 0(2 ) 3 9

2 4

x y zx y z

x z

λλ

+ + + = ⎫⎪+ + = ⎬⎪− = ⎭

és compatible i indeterminat?

128

3.32 (2000-Sèrie 1-Qüestió 3). Donat el sistema d’equacions 3 2 52 3 4x y zx y z

− + =⎧⎨ − + =⎩

a) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. b) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resol el sistema que s’obtingui. 3.33 (Sèrie 4-Opció B-Qüestió 3). Explica què vol dir que un sistema d’equacions lineals sigui compatible i què vol dir que sigui indeterminat. Poden haver-hi sistemes que siguin a la vegada incompatibles i indeterminats? Digues finalment per a quins valors del paràmetre a el sistema d’equacions següent és indeterminat, i per a quins valors de a és incompatible:

2 03

1

a x yx y z a

x y z

⎧ + =⎪ + + =⎨⎪− + + =⎩

3.34 (2000-Sèrie 3-Qüestió 3). Se sap que el sistema d’equacions 2

2 8 12 10 5

x y azx y zx y z

+ − = −⎧⎪ + − = −⎨⎪− − + =⎩

té

més d’una solució. Calcula a i digues quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d’aquest sistema. 3.35 (1999-Sèrie 2-Qüestió 3). Si el rang de la matriu d’un sistema de tres equacions amb tres incògnites és 2 i el de la matriu ampliada és 3, quines interpretacions geomètriques pots donar a aquest sistema? Dóna un exemple de sistema amb aquestes característiques i la seva interpretació geomètrica.

129

ANNEX 3: SOLUCIONARI DEL RECULL D’EXERCICIS Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d'Equacions - Solucionari d'exercicis Curs 2005-2006 1. MATRIUS 1.1 Escriu: a) Una matriu 4x3. b) Una matriu quadrada 2x2. c) Una matriu fila 1x3. d) Una matriu columna 4x1. e) Una matriu 3x3 simètrica. f) Una matriu 3x3 antisimètrica. g) Una matriu 4x4 triangular. h) Una matriu 4x4 diagonal. > with(LinearAlgebra): > A:=Matrix([[1,0,-1],[2,1,-2],[0,1,1],[3,-3,0]]);

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 -12 1 -20 1 13 -3 0

> B:=Matrix([[-2,2],[1,3]]);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 21 3

> C:=Matrix([[2,1,0]]); := C [ ]2 1 0

> DD:=Matrix([[1],[-1],[-2],[2]]);

:= DD

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1-1-22

> E:=Matrix([[2,1,0],[1,3,2],[0,2,4]]);ET:=Transpose(E);

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 01 3 20 2 4

:= ET⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 01 3 20 2 4

> F:=Matrix([[0,-1,3],[1,0,2],[-3,-2,0]]);FT:=Transpose(F);F+FT;

130

:= F⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 -1 31 0 2

-3 -2 0

:= FT⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 -3-1 0 -23 2 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 0 00 0 00 0 0

> G:=Matrix([[3,4,1,2],[0,-1,1,4],[0,0,-2,3],[0,0,0,5]]);

:= G

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

3 4 1 20 -1 1 40 0 -2 30 0 0 5

> H:=Matrix([[1,0,0,0],[0,2,0,0],[0,0,-2,0],[0,0,0,3]]);

:= H

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 0 00 2 0 00 0 -2 00 0 0 3

> 1.2 Donades les matrius següents, indica'n les seves dimensions, troba'n les transposades i digues si són simètriques o antisimètriques. > A:=Matrix([[2,0],[1,1]]);AT=Transpose(A);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 01 1

= AT ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 10 1

A és 2x2 i no és ni simètrica ni antisimètica. > B:=Matrix([[4,-1],[-1,1]]);BT=Transpose(B);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 -1-1 1

= BT ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 -1-1 1

B és 2x2 i ni simètrica. > C:=Matrix([[-2,3,0,1],[3,5,4,-1],[0,4,-1,1]]);CT=Transpose(C);

131

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-2 3 0 13 5 4 -10 4 -1 1

= CT

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

-2 3 03 5 40 4 -11 -1 1

C és 3x4 i no és ni simètrica ni antisimètica. > DD:=Matrix([[0,1,-1],[-1,0,-2],[1,2,0]]);DT:=Transpose(DD);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 -1-1 0 -21 2 0

:= DT⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 -1 11 0 2

-1 -2 0

D és 3x3 i antisimètrica. > 1.3 Donades les matrius A, B, C i D següents, fes les operacions indicades més abaix. > A:=Matrix([[1,0],[2,-1],[2,3]]);B:=Matrix([[0,2],[-2,3],[0,1]]);C:=Matrix([[0,1],[-2,1],[-1,0]]);DD:=Matrix([[8,4],[-2,6],[-2,-4]]);

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 02 -12 3

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 2-2 30 1

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 1-2 1-1 0

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

8 4-2 6-2 -4

> A+B; ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 20 22 4

132

> C-DD; ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-8 -30 -51 4

> 3*A-2*B-C+(1/2)*DD; ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

7 -311 -7

6 5

> Transpose(A)+C; Error, (in rtable/Sum) invalid arguments La suma no es pot efectuar perquè les dues matrius no tenen les mateixes dimensions. > Transpose(C)+Transpose(DD);

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

8 -4 -35 7 -4

> 1.4 Donades les matrius A i B següents, fes els càlculs indicats més avall. > A:=Matrix([[1,3],[-1,2]]);B:=Matrix([[-2,2],[3,1]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 3-1 2

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 23 1

> A+B; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-1 52 3

> 2*A-3*B; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

8 0-11 1

> A.B; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

7 58 0

> B.A; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-4 -22 11

> A^2-2*A.B+B^2; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-6 -3-22 8

133

> (A-B)^2; ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

5 4-16 -3

> 1.5 Donades les matrius A i B de l'exercici 4, comprova que: > Transpose(A-B)=Transpose(A)-Transpose(B);

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -41 1

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -41 1

> Transpose(A.B)=Transpose(B).Transpose(A);

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

7 85 0

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

7 85 0

> 1.6 Efectua, sempre que es pugui, els següents productes matricials: > Matrix([[1,1],[2,-1]]).Matrix([[2],[1]]);

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

33

> Matrix([[2],[1]]).Matrix([[1,1],[2,-1]]); Error, (in LinearAlgebra:-MatrixMatrixMultiply) first matrix column dimension (1) <> second matrix row dimension (2) No es poden multiplicar, ja que el nombre de columnes de la matriu de l'esquerra no coincideix amb el nombre de files de la matriu de la dreta. > Matrix([[2,-1]]).Matrix([[3],[2]]);

[ ]4

> Matrix([[2],[4]]).Matrix([[-1,1]]); ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 2-4 4

> 1.7 Efectua les operacions: > Matrix([[1,2,0],[-2,-1,1],[3,0,-1]]).Matrix([[1,0,-1],[2,3,-4],[0,-2,1]]);

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

5 6 -9-4 -5 73 2 -4

> Matrix([[-3,1],[2,0],[1,2]]).Matrix([[5,2,4,-1],[1,3,2,1]]);

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-14 -3 -10 410 4 8 -2

7 8 8 1

134

> Matrix([[1,3],[2,-1]]).(Matrix([[1,2,3],[0,-1,-2]])+2*Matrix([[2,0,1],[-1,1,0]]));

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-1 5 -112 3 12

> Matrix([[1,-3,2],[1,0,1]]).Matrix([[2,1],[0,-1],[1,2]]).Matrix([[-1,1],[0,2]]);

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-4 20-3 9

> 1.8 Siguin les matrius següents. Fes les comprovacions indicades més avall. > A:=Matrix([[1,3],[-1,2]]);B:=Matrix([[-2,2],[3,1]]);C:=Matrix([[1,-1],[2,3]]);I2:=IdentityMatrix(2);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 3-1 2

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 23 1

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -12 3

:= I2 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 00 1

> A.I2=I2.A;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 3-1 2

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 3-1 2

> A.(B+C)=A.B+A.C;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

14 1311 7

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

14 1311 7

> A.(B.C)=(A.B).C;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

17 88 -8

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

17 88 -8

> 1.9 Sigui la matriu A: > A:=Matrix([[2,1],[0,2]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 10 2

Fer les comprovacions següents: > (A-2*I2)^2;

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 00 0

135

> A:='A':I2:='I2':expand((A-2*I2)^2=0); = − + A2 4 A I2 4 I22 0

> invA=-1/4*(A-4*I2);A:=Matrix([[2,1],[0,2]]):I2:=IdentityMatrix(2):invA=-1/4*(A-4*I2);

= invA − + A4 I2

= invA

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

12

-14

012

> invA:=A^(-1);

:= invA

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

12

-14

012

> A.invA=invA.A;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 00 1

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 00 1

> 1.10 a Troba A^2, A^3 i dóna una expressió per a A^n. > A:=Matrix([[1,1],[1,1]]);A2:=A^2;A3:=A^3;

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 11 1

:= A2 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 22 2

:= A3 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 44 4

> An=Matrix([[2^(n-1),2^(n-1)],[2^(n-1),2^(n-1)]]);

= An⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

2( ) − n 1

2( ) − n 1

2( ) − n 1

2( ) − n 1

Per comprovar que l'expressió de An és correcte, la definim com a funció i l'avaluem en 2 i 3: > An:=n->Matrix([[2^(n-1),2^(n-1)],[2^(n-1),2^(n-1)]]);

:= An → n ( )Matrix [ ],[ ],2( ) − n 1

2( ) − n 1

[ ],2( ) − n 1

2( ) − n 1

> An(2);An(3);

136

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 22 2

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 44 4

1.10.b Calcula B^n. > B:=Matrix([[-2,-2,-2],[-2,-2,-2],[-2,-2,-2]]);

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-2 -2 -2-2 -2 -2-2 -2 -2

Observem que B=-2*BB, on > BB:=Matrix([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]);

:= BB⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 11 1 11 1 1

> BB^2;BB^3; ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

3 3 33 3 33 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

9 9 99 9 99 9 9

Així, conjecturem > Bn=(-2)^n*Matrix([[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)],[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)],[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)]]);

= Bn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

( )-2 n 3( ) − n 1

Per comprovar que l'expressió de Bn és correcte, la definim com a funció i l'avaluem en 2 i 3: > Bn:=n->(-2)^n*Matrix([[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)],[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)],[3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)]]); Bn n ( )-2 n → :=

( )Matrix [ ], ,[ ], ,3( ) − n 1

3( ) − n 1

3( ) − n 1

[ ], ,3( ) − n 1

3( ) − n 1

3( ) − n 1

[ ], ,3( ) − n 1

3( ) − n 1

3( ) − n 1

> Bn(1)=B;Bn(2)=B^2;Bn(3)=B^3;

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-2 -2 -2-2 -2 -2-2 -2 -2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-2 -2 -2-2 -2 -2-2 -2 -2

137

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

12 12 1212 12 1212 12 12

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

12 12 1212 12 1212 12 12

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-72 -72 -72-72 -72 -72-72 -72 -72

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-72 -72 -72-72 -72 -72-72 -72 -72

NOTA: Les demostracions s'han de completar, per exemple, per inducció. Com que s'escapa del nivell del curs, ho deixem així. > 1.11 Resoldre les equacions matricials següents: 1.11.a > x:='x':a:='a':b:='b':sol:=solve({2*a+x=b},{x}):x:=subs(sol,x);

:= x − + 2 a b

> a:=Matrix([[3,4],[1,0],[-1,1]]):b:=Matrix([[6,10],[3,5],[1,0]]):X=x;

= X⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 21 53 -2

1.11.b > x:='x':a:='a':b:='b':c:='c':sol:=solve({2*x+3*a=b+c},{x}):x:=subs(sol,x);

:= x − + + 3 a2

b2

c2

> a:=Matrix([[2,1],[4,1]]):b:=Matrix([[5,5],[4,8]]):c:=Matrix([[1,2],[12,-3]]):X=x;

= X ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 22 1

> 1.12 Resoldre els sistemes d'equacions matricials següents: 1.12.a > x1:='x1':x2:='x2':a:='a':b:='b':A:='A':B:='B':sol:=solve({a+b=x1,2*a-b=x2},{a,b}):a:=subs(sol,a);b:=subs(sol,b);

:= a + x13

x23

:= b − 2 x1

3x23

138

> x1:=Matrix([[1,3],[2,1]]):x2:=Matrix([[2,0],[-5,-1]]):A=a;B=b;

= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 1-1 0

= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 23 1

1.12.b > x1:='x1':x2:='x2':a:='a':b:='b':A:='A':B:='B':sol:=solve({3*a-2*b=x1,2*a-3*b=x2},{a,b}):a:=subs(sol,a);b:=subs(sol,b);

:= a − + 2 x2

53 x1

5

:= b − + 3 x2

52 x1

5

> x1:=Matrix([[6,1],[1,3]]):x2:=Matrix([[4,-1],[-1,2]]):A=a;B=b;

= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 1

= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 11 0

> 1.13 Considera la matriu A de l'exercici 9 i la matriu B següent. Resol l'equació AX=B. > A:=Matrix([[2,1],[0,2]]);B:=Matrix([[8,0],[4,-4]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 10 2

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

8 04 -4

> LinearSolve(A,B); ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 12 -2

> 1.14 Donades B i C, determina A per tal que AB=C, essent > A:='A':B:=Matrix([[2,1],[1,1]]);C:=Matrix([[3,1],[-1,0]]);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 1

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 1-1 0

139

> A=C.MatrixInverse(B);

= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 -1-1 1

> 1.15 Siguin les matrius A i B següents. troba x, y, z i t sabent que 2A+B és igual a una tercera matriu C. > x:='x':y:='y':z:='z':t:='t':A:=Matrix([[x,2],[-1,y]]);B:=Matrix([[0,z],[t,-1]]);C:=Matrix([[4,3],[-4,1]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x 2-1 y

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 zt -1

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 3-4 1

> 2*A+B=C;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 x + 4 z− + 2 t − 2 y 1

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 3-4 1

> solve({2*x=4,4+z=3,-2+t=-4,2*y-1=1},{x,y,z,t}); { }, , , = x 2 = y 1 = z -1 = t -2

> 1.16. Troba els valors de x per als quals la matriu A satisfà la relació A^2-5A+6I2=0. > x:='x':y:='y':A:=Matrix([[2,0],[0,x]]);B:=A^2-5*A+6*I2:A^2-5*A+6*I2=Matrix([[0,0],[0,0]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 00 x

= ⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

0 00 − + x2 5 x 6

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

0 00 0

> solve({B[2,2]},{x}); ,{ } = x 3 { } = x 2

> 1.17 Troba x i y per tal que les matrius següents commutin: > x:='x':y:='y':A:=Matrix([[x,1],[0,1]]);B:=Matrix([[1,2],[y,1]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x 10 1

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 2y 1

140

> C1:=A.B:C2:=B.A:C1=C2;

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

+ x y + 2 x 1y 1

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x 3y x + y 1

> solve({C1[1,1]=C2[1,1],C1[1,2]=C2[1,2],C1[2,1]=C2[2,1],C1[2,2]=C2[2,2]},{x,y});

{ }, = x 1 = y 0

> 1.18 Troba el rang de les matrius següents: > A:=Matrix([[1,1],[1,1]]);rangA=Rank(A);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 11 1

= rangA 1

> B:=Matrix([[2,0,1],[1,0,2]]);rangB=Rank(B);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 0 11 0 2

= rangB 2

> C:=Matrix([[1,-1,3],[2,0,4],[3,1,8]]);rangC=Rank(C);

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 32 0 43 1 8

= rangC 3

> DD:=Matrix([[1,-2,2],[2,-4,2],[5,-10,7]]);rangDD=Rank(DD);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -2 22 -4 25 -10 7

= rangDD 2

> E:=Matrix([[2,1,0,-1],[-6,0,1,5],[-4,4,2,6]]);rangE=Rank(E);

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 0 -1-6 0 1 5-4 4 2 6

= rangE 2

> F:=Matrix([[1,1,-1],[1,3,2],[-1,0,5],[-3,-2,2]]);rangF=Rank(F);

141

:= F

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 -11 3 2

-1 0 5-3 -2 2

= rangF 3

> 1.19 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a. > a:='a':f1:=[1,2]:f2:=[3,a]:A:=Matrix([f1,f2]);f22:=f2-3*f1:AA:=Matrix([f1,f22]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 23 a

:= AA ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 20 − + 6 a

> AA[2,2]=0;solve({AA[2,2]=0},{a}); = − + 6 a 0

{ } = a 6

a/=6 => rang(A)=2 a=6 => rang(A)=1 > a:='a':f1:=<1|a>:f2:=<a|1>:B:=<f1,f2>;f22:=f2-VectorScalarMultiply(f1,a);BB:=<f1,f22>;

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 aa 1

:= f22 [ ],0 − 1 a2

:= BB ⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

1 a0 − 1 a2

> BB[2,2]=0;solve({BB[2,2]=0},{a}); = − 1 a2 0

,{ } = a -1 { } = a 1

a/=-1 i 1 => rang(B)=2 a=-1 o 1 => rang(C)=1 > a:='a':f1:=<1|2|3>:f2:=<a|6-a|6>:C:=<f1,f2>;f22:=f2-VectorScalarMultiply(f1,a);CC:=<f1,f22>;

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 2 3a − 6 a 6

:= f22 [ ], ,0 − 6 3 a − 6 3 a

:= CC ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 2 30 − 6 3 a − 6 3 a

142

> CC[2,2]=0;solve({CC[2,2]=0},{a}); = − 6 3 a 0

{ } = a 2

a/=2 => rang(C)=2 a=6 => rang(C)=1 > a:='a':f1:=<1|-1|-1>:f2:=<1|-1|2>:f3:=<2|1|a>:DD:=<f1,f2,f3>;f22:=f2-f1;f33:=f3-VectorScalarMultiply(f1,2);DDD:=<f1,f33,f22>;

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 -11 -1 22 1 a

:= f22 [ ], ,0 0 3 := f33 [ ], ,0 3 + a 2

:= DDD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 -10 3 + a 20 0 3

Rang(D)=3 per tot valor de a > a:='a':f1:=<2|-1|4>:f2:=<-1|1|3>:f3:=<1|a|2>:E:=<f1,f2,f3>;f22:=VectorScalarMultiply(f2,2)+f1;f33:=VectorScalarMultiply(f3,2)-f1;EE:=<f1,f22,f33>;EEE:=<<2|4|-1>,<0|10|1>,<0|0|2*a+1>>;

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 -1 4-1 1 31 a 2

:= f22 [ ], ,0 1 10 := f33 [ ], ,0 + 2 a 1 0

:= EE⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 -1 40 1 100 + 2 a 1 0

:= EEE⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 4 -10 10 10 0 + 2 a 1

> EEE[3,3]=0;solve({EEE[3,3]=0},{a}); = + 2 a 1 0

{ } = a -12

a/=-1/2 => rang(E)=3

143

a=-1/2 => rang(E)=2 > a:='a':f1:=<1|3|2|-1>:f2:=<2|6|4|a>:f3:=<4|12|8|-4>:F:=<f1,f2,f3>;f22:=f2-VectorScalarMultiply(f1,2);f33:=f3-VectorScalarMultiply(f1,4);FF:=<f1,f22,f33>;

:= F⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 3 2 -12 6 4 a4 12 8 -4

:= f22 [ ], , ,0 0 0 + a 2 := f33 [ ], , ,0 0 0 0

:= FF⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 3 2 -10 0 0 + a 20 0 0 0

> FF[2,4]=0;solve({FF[2,4]=0},{a}); = + a 2 0

{ } = a -2

a/=2 => rang(F)=2 a=2 => rang(F)=1 > 1.20 Sigui la matriu A següent. Determina a per tal que el rang d' sigui 2. > A:=Matrix([[5,-5,-6],[-5,3,-1],[0,a,7]]);f1:=[5,-6,-5]:f2:=[-5,-1,3]:f3:=[0,7,a]:AA:=Matrix([f1,f2,f3]);f22:=f2+f1;AAA:=Matrix([f1,f22,f3]);f33:=f3+f22;AAAA:=Matrix([f1,f22,f33]);

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

5 -5 -6-5 3 -10 a 7

:= AA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

5 -6 -5-5 -1 30 7 a

:= f22 [ ], ,0 -7 -2

:= AAA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

5 -6 -50 -7 -20 7 a

:= f33 [ ], ,0 0 − + 2 a

:= AAAA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

5 -6 -50 -7 -20 0 − + 2 a

144

> AAAA[3,3]=0;solve({AAAA[3,3]=0},{a}); = − + 2 a 0

{ } = a 2

> 1.21 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre k: > k:='k':A:=<<1|2|-1>,<2|4|k>,<k|2|1>>;f1:=<2|1|-1>:f2:=<4|2|k>:f3:=<2|k|1>:AA:=<f1,f2,f3>;f22:=f2-VectorScalarMultiply(f1,2);f33:=f3-f1;AAA:=<f1,f22,f33>;

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 -12 4 kk 2 1

:= AA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 -14 2 k2 k 1

:= f22 [ ], ,0 0 + k 2 := f33 [ ], ,0 − k 1 2

:= AAA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 -10 0 + k 20 − k 1 2

> AAA[2,3]=0;solve({AAA[2,3]=0},{k}); = + k 2 0

{ } = k -2

> k:='k':B:=<<k|1|0>,<0|1|3>,<k|1|1>>;f1:=<1|k|0>:f2:=<1|0|3>:f3:=<1|k|1>:BB:=<f2,f1,f3>;f22:=f1-f2;f33:=f3-f1;BBB:=<f2,f22,f33>;f222:=f22+3*f33;BBBB:=<f2,f222,f33>;

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

k 1 00 1 3k 1 1

:= BB⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 31 k 01 k 1

:= f22 [ ], ,0 k -3 := f33 [ ], ,0 0 1

:= BBB⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 30 k -30 0 1

145

:= f222 [ ], ,0 k 0

:= BBBB⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 30 k 00 0 1

k/=0 => rang(B)=3 k=0 => rang(B)=2 > 1.22 Respon de forma raonada a les següents qüestions: 1.22.a Quan commuten. 1.22.b En cap cas pot variar. 1.22.c Si li traiem una fila el rang es convertirà en 2. Si li traiem una fila i una columna el rang pot quedar-se en 2 o 1. 1.22.d No es pot, ja que té clarament rang 1. > 1.23 (Juny 2005-Sèrie 4-Qüestió 1). Siguin les matrius A i B següents, on a i b són valors reals. Determina els possibles valors de a i b que fan que les dues matrius commutin. > a:='a':b:='b':A:=Matrix([[1,a],[0,1]]);B:=Matrix([[1,b],[0,1]]);C1:=A.B:C2:=B.A:C1=C2;

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 a0 1

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 b0 1

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 + b a0 1

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 + b a0 1

És clar que AB=BA sempre. Per tant, A i B commuten per a tot a,b. > 1.24 (Setembre 2004-Sèrie 5-Qüestió 3). Siguin les matrius A i B següents: > A:=Matrix([[3,-2],[-2,1]]);B:=Matrix([[1,1],[1,1]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -2-2 1

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 11 1

1.24.a Troba X per tal que AX=B. > X=A^(-1).B;

= X ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-3 -3-5 -5

1.24.b Calcula B^100. Raona la resposta. Exercici 10.a >

146

1.25 La matriu P expressa el preu unitari, en euros, de quatre articles, A, B, C i D, procedents de les fàbriques f1, f2 i f3. Si una comanda és representada per una matriu -"un vector", en l'enunciat original- fila C=(x,y,z,t), què representa cadascun dels elements del resultat del producte CP? Si volem comprar 25 unitats de A, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix el millor preu? > P:=Matrix([[34,40,36],[11,8,12],[23,27,32],[25,21,30]]);

:= P

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

> C:=Matrix([[x,y,z,t]]);CP=C.P; := C [ ]x y z t

= CP [ ] + + + 34 x 11 y 23 z 25 t + + + 40 x 8 y 27 z 21 t + + + 36 x 12 y 32 z 30 t

El producte CP representa una matriu fila tal que les seves tres components són els preus d'una comanda C en les fàbriques f1, f2 i f3, respectivament. > x:=25:y:=30:z:=60:t:=75:C.P;

[ ]4435 4435 5430

f1 i f2 ens ofereixen el mateix preu. En canvi, f3 ens ofereix un preu més car. >

147

2. DETERMINANTS > 2.1 Calcula el valor dels determinants següents: > A:=Matrix([[1,2],[3,8]]);detA=Determinant(A);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 23 8

= detA 2

> B:=Matrix([[-2,-3],[5,6]]);detB=Determinant(B);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 -35 6

= detB 3

> C:=Matrix([[3,-3],[-4,2]]);detC=Determinant(C);

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -3-4 2

= detC -6

> DD:=Matrix([[3,5],[2,2]]);detDD=Determinant(DD);

:= DD ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 52 2

= detDD -4

> E:=Matrix([[-2,4],[3,-6]]);detE=Determinant(E);

:= E ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 43 -6

= detE 0

> 2.2 Calcula el valor dels determinants següents: > A:=Matrix([[2,1,3],[-1,2,5],[1,4,7]]);detA=Determinant(A);

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 3-1 2 51 4 7

= detA -18

> B:=Matrix([[-1,1,1],[0,3,-1],[2,5,0]]);detB=Determinant(B);

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-1 1 10 3 -12 5 0

= detB -13

> C:=Matrix([[0,3,1],[1,1,1],[2,0,-1]]);detC=Determinant(C);

148

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 3 11 1 12 0 -1

= detC 7

> DD:=Matrix([[2,-1,-2],[0,0,3],[2,1,1]]);detDD=Determinant(DD);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 -1 -20 0 32 1 1

= detDD -12

> E:=Matrix([[0,-2,3],[2,1,-3],[1,0,-1]]);detEE=Determinant(E);

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 -2 32 1 -31 0 -1

= detEE -1

> F:=Matrix([[1,0,-1],[-1,2,1],[1,-2,0]]);detF=Determinant(F);

:= F⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 -1-1 2 11 -2 0

= detF 2

> G:=Matrix([[-2,5,4],[3,0,1],[0,-1,0]]);detG=Determinant(G);

:= G⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-2 5 43 0 10 -1 0

= detG -14

> H:=Matrix([[0,1,-3],[1,0,0],[0,2,3]]);detH=Determinant(H);

:= H⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 -31 0 00 2 3

= detH -9

> 2.3 Calcula el valor dels determinants següents en funció del paràmetre k: > k:='k':A:=Matrix([[2,1],[-1,k]]);detA=Determinant(A);

149

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 1-1 k

= detA + 2 k 1

> B:=Matrix([[k,-2],[2,k]]);detB=Determinant(B);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

k -22 k

= detB + k2 4

> C:=Matrix([[2,k,-2],[0,3,1],[1,-1,1]]);detC=Determinant(C);

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 k -20 3 11 -1 1

= detC + 14 k

> DD:=Matrix([[3,4,-5],[k,-1,1],[1,-1,k]]);detDD=Determinant(DD);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

3 4 -5k -1 11 -1 k

= detDD + − 2 k 2 4 k2

> 2.4 Soluciona les equacions següents: > A:=Matrix([[x,2],[3,1]]);detA=Determinant(A);solve({Determinant(A)=0},{x});

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x 23 1

= detA − x 6 { } = x 6

> B:=Matrix([[1,-x],[x,1]]);detB=Determinant(B);solve({Determinant(B)=0},{x});

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 −xx 1

= detB + 1 x2 ,{ } = x I { } = x −I

150

> C:=Matrix([[2,3,x^2],[0,1,1],[4,2,2]]);det=Determinant(C);solve({Determinant(C)=0},{x});

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 3 x2

0 1 14 2 2

= det − 12 4 x2

,{ } = x − 3 { } = x 3

> DD:=Matrix([[1,2,x],[-1,-x,-2],[1+x,1,1]]);detC=Determinant(DD);solve({Determinant(DD)=0},{x});

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 x-1 −x -2 + 1 x 1 1

= detC − + + 6 x x2 x3 , ,{ } = x 0 { } = x 2 { } = x -3

> E:=Matrix([[-1,2],[x,-4]]);det=Determinant(E);solve({Determinant(E)=8},{x});

:= E ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-1 2x -4

= det − 4 2 x { } = x -2

> 2.5 Calcula mitjançant la Regla de Laplace el valor dels determinants dels apartats a, b, c i d de l'exercici 2.2. Veure exercici 2.2 > 2.6 Calcula el valor dels determinants següents mitjançant la Regla de Laplace: > A:=Matrix([[2,0,1,-1],[1,3,0,2],[4,0,-1,0],[3,-2,0,1]]);detA=Determinant(A);

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2 0 1 -11 3 0 24 0 -1 03 -2 0 1

= detA -53

> B:=Matrix([[0,-2,0,1],[1,0,0,2],[2,3,1,0],[-1,1,2,1]]);detB=Determinant(B);

151

:= B

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 -2 0 11 0 0 22 3 1 0

-1 1 2 1

= detB 17

> C:=Matrix([[3,0,0,2],[-1,1,2,-1],[0,2,0,0],[-2,1,0,1]]);detC=Determinant(C);

:= C

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

3 0 0 2-1 1 2 -10 2 0 0

-2 1 0 1

= detC -28

> DD:=Matrix([[2,1,0,0,0],[0,1,4,5,2],[0,0,1,3,1],[0,0,0,2,2],[0,0,0,0,1]]);detDD=Determinant(DD);

:= DD

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 0 0 00 1 4 5 20 0 1 3 10 0 0 2 20 0 0 0 1

= detDD 4

> 2.7 Prova les següents igualtats sense desenvolupar els determinants, usant únicament les propietats: > A:=Matrix([[2,0],[1,0]]);detA=Determinant(A);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 01 0

= detA 0

La segona columna és nul·la. > B:=Matrix([[3,-6],[-2,4]]);detB=Determinant(B);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -6-2 4

= detB 0

La segona fila és -2 vegades la primera. > C:=Matrix([[2,-4,3],[3,0,-1],[-6,12,-9]]);detC=Determinant(C);

152

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 -4 33 0 -1

-6 12 -9

= detC 0

La tercera fila és -3 vegades la primera. > DD:=Matrix([[1,2,1],[3,5,4],[4,6,6]]);detDD=Determinant(DD);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 13 5 44 6 6

= detDD 0

La tercera columna és igual a 3 vegades la primera menys la segona. > 2.8 Sigui la matriu M, de la qual sabem que |M|=3. Calcula el valor dels determinants següents: > x:='x':y:='y':z:='z':t:='t':M:=Matrix([[x,y],[z,t]]);

:= M ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x yz t

> A:=Matrix([[x,z],[y,t]])=MT;detA=2;

:= A = ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x zy t

MT

= detA 2

> B:=Matrix([[2*x,y],[2*z,t]]);detB=2*detM;detB=4;

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 x y2 z t

= detB 2 detM = detB 4

> C:=Matrix([[3*y,-3*x],[3*t,-3*z]]);detC=-9*det(Matrix([[y,x],[t,z]]));detC=9*det(Matrix([[x,z],[y,t]]));detC=18;

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 y −3 x3 t −3 z

= detC −9 ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟det ⎡

⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

y xt z

= detC 9 ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟det ⎡

⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

x zy t

153

= detC 18

Les columnes estan permutades. > DD:=Matrix([[x+y,y],[z+t,t]]);detDD=2;

:= DD ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

+ x y y + z t t

= detDD 2

A la primera columna li hem sumat la segona; per tant, el determinant no varia. > 2.9 Sabem que detM=5. Calcula el valor dels determinants següents: > M:=Matrix([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]);

:= M⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a b cd e fg h i

> A:=Matrix([[c,a,b],[f,d,e],[3*i,3*g,3*h]]);detA=3*detM;detA=15;

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

c a bf d e

3 i 3 g 3 h

= detA 3 detM = detA 15

Hi ha dues transposicions, el signe del determinant no varia > B:=Matrix([[2*a,2*b,2*c],[a+d,b+e,c+f],[a-g,b-h,c-i]]);detB=-2*detM;detB=-10;

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 a 2 b 2 c + a d + b e + c f − a g − b h − c i

= detB −2 detM = detB -10

Després de treure factor comú el 2, veiem que a la segona fila li hem sumat la primera i la tercera l'hem canviiat de signe i també li hem sumat la primera. > C:=Matrix([[a,b-2*a+c,-c],[d,e-2*d+f,-f],[g,h-2*g+i,-i]]);detC=-detM;detC=-5;

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a − + b 2 a c −cd − + e 2 d f −fg − + h 2 g i −i

= detC −detM = detC -5

154

A la segona columna li hem restat el doble de la primera i li hem sumat la tercera; a més, hem canviat el signe de la tercera columna. > 2.10 Demostra, sense desenvolupar els determinants, les igualtats següents: > A:=Matrix([[1,1,1],[x,y,z],[y+z,x+z,x+y]]):det(A)=0;

= ⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟det

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 1x y z

+ y z + x z + x y0

Sumem la segona fila a la tercera fila, treiem factor comú (x+y+z) a la tercera fila i el determinant té dues files (primera i tercera) iguals. > B:=Matrix([[1,1,1],[x,y,z],[x^2,y^2,z^2]]):det(B)=(y-x)*(z-x)*(z-y);

= ⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟det

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 1x y zx2 y2 z2

( ) − y x ( ) − z x ( ) − z y

Fem segona columna menys primera columna, tercera columna menys primera columna i treiem factor comú (z-x)(y-x), queda > det(B)=(y-x)*(z-x)*det(Matrix([[1,0,0],[x,1,1],[x^2,y+x,z+x]]));

= ⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟det

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 1x y zx2 y2 z2

( ) − y x ( ) − z x⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟det

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 0x 1 1x2 + x y + x z

Ara desenvolupem per la primera fila i ja està. > 2.11 Donades les matrius següents, calcula'n les inverses: > A:=Matrix([[2,1],[1,1]]);invA=A^(-1);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 1

= invA ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -1-1 2

> B:=Matrix([[3,-4],[2,-1]]);invB=B^(-1);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -42 -1

= invB

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

-15

45

-25

35

> C:=Matrix([[1,2],[2,4]]);invC=C^(-1);detC=Determinant(C);

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 22 4

155

Error, (in rtable/Power) singular matrix

= detC 0

> DD:=Matrix([[-1,3,7],[0,5,1],[0,4,1]]);invDD=DD^(-1);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-1 3 70 5 10 4 1

= invDD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-1 -25 320 1 -10 -4 5

> E:=Matrix([[0,-1,1],[2,-3,1],[3,2,-2]]);invE=E^(-1);

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 -1 12 -3 13 2 -2

= invE

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

23 0 1

376

-12

13

136

-12

13

> 2.12 Estudia l'existència d'inversa per a les matrius següents segons els valors de k: > k:='k':A:=Matrix([[k,1],[2,-1]]);Determinant(A)=0;solve({Determinant(A)=0},{k});

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

k 12 -1

= − − k 2 0 { } = k -2

Existeix inversa sempre que k/=-2. > B:=Matrix([[k,3],[k,3]]);Determinant(B)=0;

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

k 3k 3

= 0 0

No existeix inversa per a cap valor de k. > C:=Matrix([[0,k,1],[-2,2,1],[3,2,1]]);Determinant(C)=0;solve({Determinant(C)=0},{k});

156

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 k 1-2 2 13 2 1

= − + 10 5 k 0 { } = k 2

Existeix inversa sempre que k/=2. > 2.13 Donades les matrius A, B i C, resol l'equació matricial AXB=C. > A:=Matrix([[1,3],[1,4]]);B:=Matrix([[1,0],[-1,1]]);C:=Matrix([[-1,2],[3,-4]]);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 31 4

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 0-1 1

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-1 23 -4

> X=A^(-1).C.B^(-1);

= X ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

7 20-2 -6

> 2.14 Determina el rang de les matrius següents: Són les de l'exercici 1.18. > 2.15 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a: Són les de l'exercici 1.19. > 2.16 Troba A per tal que rangA=2. > a:='a':A:=Matrix([[4,3,2],[0,a,-2],[1,a,5]]);;Determinant(A)=0;solve({Determinant(A)=0},{a});

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

4 3 20 a -21 a 5

= − 26 a 6 0

{ } = a 313

El rang 2 està assegurat, de manera que n'hi ha prou demanant detA=0. >

157

2.17 Sigui la matriu A. Estudia la invertibilitat d'A segons els valors del paràmetre k. > k:='k':A:=Matrix([[1,3,1],[1,4,k],[2,k,2]]);;Determinant(A)=0;solve({Determinant(A)=0},{k});

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 3 11 4 k2 k 2

= − − + 6 k2 7 k 0 ,{ } = k 1 { } = k 6

A és invertible per a tot k diferent de 1 i de 6. > 2.18 Respon de forma raonada a les preguntes següents. 2.18.a És cert que det(AB)=det(A)det(B) per a qualsevol parell de matrius A,B? No, només quan a i B són quadrades. 2.18.b Demostra la relació anterior quan A i B són dues matrius quadrades 2x2. > A:=Matrix([[a11,a12],[a21,a22]]);B:=Matrix([[b11,b12],[b21,b22]]);Determinant(A.B)=expand(Determinant(A)*Determinant(B));

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

a11 a12a21 a22

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

b11 b12b21 b22

+ − − a11 b11 a22 b22 a12 b21 a21 b12 a11 b12 a22 b21 a12 b22 a21 b11 = + − − a11 b11 a22 b22 a12 b21 a21 b12 a11 b12 a22 b21 a12 b22 a21 b11

2.18.c Sigui lambda un nombre real i A una matriu quadrada nxn. És cert que det(lambda*A)=lambda*det(A)? Comprova la teva resposta per a: > lambda:=2;A:=Matrix([[3,-1],[-5,6]]);

:= λ 2

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

3 -1-5 6

No, és: > det(lambdaA)=lambda^n*detA;

= ( )det lambdaA 2n detA

> Determinant(lambda*A)=lambda^2*Determinant(A); = 52 52

2.18.d Si det(A)=1 i det(3A)=81, de quin ordre és la matriu A? Segons la relació anterior, és n=4. >

158

2.19 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre a: > a:='a':A:=Matrix([[1,1,a],[2,1,8],[-1,-2,10]]);detA=Determinant(A);solve({Determinant(A)=0},{a});

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 a2 1 8

-1 -2 10

= detA − − 2 3 a

{ } = a -23

a/=-2/3 => rangA=3 a=-2/3 => rangA=2 > a:='a':B:=Matrix([[3,1,1],[2,-1,a],[a,3,-2]]);detB=Determinant(B);solve({Determinant(B)=0},{a});

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

3 1 12 -1 aa 3 -2

= detB − + 16 8 a a2 ,{ } = a 4 { } = a 4

a/=4 => rangA=3 a=4 => rangA=2 > a:='a':C:=Matrix([[a,1,1],[2,-1,a],[1,-1,1]]);detC=Determinant(C);solve({Determinant(C)=0},{a});

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a 1 12 -1 a1 -1 1

= detC − a2 3

,{ } = a 3 { } = a − 3

> %?, {a = -3^(1/2)}; a/=+-sqrt(3) => rangA=3 a=+-sqrt(3) => rangA=2 > a:='a':DD:=Matrix([[a,2,1,a],[1,-a,1,1],[a,0,1,a+1]]);

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a 2 1 a1 −a 1 1a 0 1 + a 1

La segona i tercera columna garanteixen rangDD>=2. D'altra banda és rangDD<=3. Veiem si hi ha algun a que ens proporciona rangDD=2: > a:='a':DD1:=Matrix([[a,2,1],[1,-a,1],[a,0,1]]);detDD1=Determinant(DD1);solve({Determinant(DD1)=0},{a});a:='a':DD2:=Matrix([[2,1,a],[-

159

a,1,1],[0,1,a+1]]);detDD2=Determinant(DD2);solve({Determinant(DD2)=0},{a});

:= DD1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a 2 11 −a 1a 0 1

= detDD1 − + 2 2 a { } = a 1

:= DD2⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 1 a−a 1 10 1 + a 1

= detDD2 3 a { } = a 0

rang(DD)=3 per a tot a. > 2.20 (Juny 2004-Sèrie 1-Qüestió 3). Siguin les matrius A i B següents. Determina la matriu X tal que AX+A=B. > A:=Matrix([[2,1],[1,1]]);B:=Matrix([[1,2],[2,2]]);X=A^(-1).(B-A);

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 1

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 22 2

= X ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

-2 03 1

>

160

3. SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS > 3.1 Indica raonadament quin(s) d'aquest(s) sistemes d'equacions són lineals i resol-los: (a) no és lineal perquè la 2a equació té un terme quadràtic, i (c) tampoc perquè la 2a equació conté l'arrel quadrada de y > e1:=x-y=1;e2:=2*x-3*y=0;solve({e1,e2});

:= e1 = − x y 1 := e2 = − 2 x 3 y 0

{ }, = y 2 = x 3

> e1:=x-2*y=4;e2:=-2*x+4*y=2;solve({e1,e2}); := e1 = − x 2 y 4

:= e2 = − + 2 x 4 y 2

veiem que (d) no té solució. > 3.2 Resol, classifica i interpreta geomètricament els sistemes d'equacions següents: 3.2.a Compatible determinat; tres rectes del pla es tallen en un punt. > e1:=x+y=2;e2:=x-y=0;e3:=2*x-y=1;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + x y 2 := e2 = − x y 0

:= e3 = − 2 x y 1 { }, = y 1 = x 1

3.2.b Incompatible; tres rectes del pla tals que no existeix cap punt comú a totes tres a l'hora. > e1:=x-y=2;e2:=2*x-3*y=2;e3:=x+y=2;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − x y 2 := e2 = − 2 x 3 y 2

:= e3 = + x y 2

3.2.c Compatible indeterminat; dues rectes del pla que, de fet, són la mateixa. > e1:=9*x-6*y=12;e2:=6*x-4*y=8;solve({e1,e2});

:= e1 = − 9 x 6 y 12 := e2 = − 6 x 4 y 8

{ }, = y − 3 x2 2 = x x

3.2.d Compatible determinat; tres plans de l'espai es tallen en un punt. > e1:=x+y+z=6;e2:=2*x-y=1;e3:=x+z=3;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + + x y z 6

161

:= e2 = − 2 x y 1 := e3 = + x z 3

{ }, , = z 1 = x 2 = y 3

3.2.e Compatible indeterminat; tres plans de l'espai es tallen en una recta. > e1:=x-2*y+z=2;e2:=x+y=0;e3:=2*x-y+z=2;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + x 2 y z 2 := e2 = + x y 0

:= e3 = − + 2 x y z 2 { }, , = x −y = z + 3 y 2 = y y

3.2.f Incompatible; tres plans de l'espai tals que no existeix cap punt comú a totes tres a l'hora. > e1:=2*x-y+z=1;e2:=x-z=0;e3:=3*x-y=0;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + 2 x y z 1 := e2 = − x z 0

:= e3 = − 3 x y 0

> 3.3 Escriu els següents sistemes d'equacions en forma matricial i resol usant la matriu inversa: > A:=Matrix([[2,1],[1,1]]):v:=Matrix([[x],[y]]):a:=Matrix([[5],[3]]):A,v=a;v=A^(-1).a;

,⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 1

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

xy

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

53

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

xy

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

21

> B:=Matrix([[1,2],[2,4]]):b:=Matrix([[3],[5]]):B,v=b;

,⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 22 4

= ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

xy

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

35

> v=B^(-1).b; Error, (in rtable/Power) singular matrix No es pot perquè la matriu B és singular, és a dir, no té inversa. > C:=Matrix([[1,-2,-1],[0,3,3],[2,1,3]]):v:=Matrix([[x],[y],[z]]):c:=Matrix([[4],[6],[8]]):C,v=c;v=C^(-1).c;

,⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -2 -10 3 32 1 3

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

xyz

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

468

162

Error, (in rtable/Power) singular matrix No es pot perquè la matriu C és singular, és a dir, no té inversa. > DD:=Matrix([[0,-1,1],[2,-3,1],[3,2,-2]]):v:=Matrix([[x],[y],[z]]):d:=Matrix([[1],[-1],[2]]):DD,v=d;v=DD^(-1).d;

,⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

0 -1 12 -3 13 2 -2

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

xyz

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1-12

= ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

xyz

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

4373

103

> 3.4 Resol els següents sistemes d'equacions: > e1:=x-y=2;e2:=y=3;solve({e1,e2});

:= e1 = − x y 2 := e2 = y 3

{ }, = y 3 = x 5

> e1:=x-3*y=5;e2:=2*x-6*y=10;solve({e1,e2}); := e1 = − x 3 y 5

:= e2 = − 2 x 6 y 10 { }, = x + 3 y 5 = y y

> e1:=2*x-3*y=3;e2:=x=6;solve({e1,e2}); := e1 = − 2 x 3 y 3

:= e2 = x 6 { }, = y 3 = x 6

> e1:=2*x+y-z=4;e2:=y-z=2;e3:z=4;solve({e1,e2,e3}); := e1 = + − 2 x y z 4

:= e2 = − y z 2 = z 4

{ }, , = z 1 = y 3 = x 1

> e1:=x+2*y-3*z=5;e2:=2*y-z=1;solve({e1,e2}); := e1 = + − x 2 y 3 z 5

:= e2 = − 2 y z 1

163

{ }, , = z − 2 y 1 = x + 2 4 y = y y

> e1:=x-y-3*z=0;e2:=y-z=1;e3:=x=5;solve({e1,e2,e3}); := e1 = − − x y 3 z 0

:= e2 = − y z 1 := e3 = x 5

{ }, , = z 1 = y 2 = x 5

> 3.5 Indica, sense resoldre'ls, quins dels següents parells de sistemes d'equacions lineals són equivalents: 3.5.a Ho són, ja que tots dos son SCD i es comprova substituint que la solució del primer és també la del segon. 3.5.b No ho són, perquè el primer és SCI i el segon és SCD. 3.5.c Ho són, ja que les primeres equacions coincideixen i les segones són proporcionals. 3.5.d Ho són, ja que: en el primer sistema la tercera equació és suma de les dos primeres; a més, la primera del segon coincideix amb la segona del primer i la segona del segon es troba restant la segona menys la primera del primer sistema. > 3.6 Estudia i resol els següents sistemes mitjançant el mètode de Gauss: > e1:=x-y+2*z=4;e2:=2*x-z=0;e3:=x+y+z=4;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + x y 2 z 4 := e2 = − 2 x z 0

:= e3 = + + x y z 4 { }, , = y 1 = z 2 = x 1

> e1:=2*x-y+3*z=2;e2:=x+3*y=-1;e3:=3*x+2*y+3*z=3;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + 2 x y 3 z 2 := e2 = + x 3 y -1

:= e3 = + + 3 x 2 y 3 z 3

Incompatible. > e1:=2*x-2*y+z=4;e2:=x+y-z=2;e3:=3*x-5*y+5*z=6;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + 2 x 2 y z 4 := e2 = + − x y z 2

:= e3 = − + 3 x 5 y 5 z 6 { }, , = y 0 = z 0 = x 2

> e1:=y-z=-2;e2:=2*x-y+3*z=8;e3:=-x+2*y+z=1;e4:=x+y+z=3;solve({e1,e2,e3,e4});

164

:= e1 = − y z -2 := e2 = − + 2 x y 3 z 8 := e3 = − + + x 2 y z 1

:= e4 = + + x y z 3 { }, , = y 0 = z 2 = x 1

> 3.7 Discuteix els següents sistemes mitjançant el mètode de Gauss: 3.7.a Compatible determinat per a qualsevol valor d'a. > a:='a':e1:=x-y-z=3*a;e2:=2*x+a*y+z=0;e3:=x+2*y-z=3;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = − − x y z 3 a := e2 = + + 2 x a y z 0 := e3 = + − x 2 y z 3

{ }, , = z − − + 23

53 a 1

3 a2 = y − 1 a = x + + 13

13 a 1

3 a2

3.7.b a/= -1=> SCD; a=-1=>SI > BA:=Matrix([[2,-1,3],[2,a,2],[-2,1,-3]]);detBA=Determinant(BA);

:= BA⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 -1 32 a 2

-2 1 -3

= detBA 0

La tercera equació és múltiple de la primera equació. Ens quedem amb: > e1:=2*x-y=3;e2:=2*x+a*y=2;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = − 2 x y 3 := e2 = + 2 x a y 2

{ }, = x + 3 a 22 ( ) + a 1 = y −

1 + a 1

> e1:=2*x-y=3;e2:=2*x-1*y=2;solve({e1,e2},{x,y}); := e1 = − 2 x y 3 := e2 = − 2 x y 2

3.7.c a/=1=>SCD; a=1=>SCI > e1:=x+a*y-z=1;e2:=2*x-y+2*z=2;e3:=3*x+z=3;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + − x a y z 1 := e2 = − + 2 x y 2 z 2

165

:= e3 = + 3 x z 3 { }, , = z 0 = x 1 = y 0

> e1:=x+y-z=1;e2:=2*x-y+2*z=2;e3:=3*x+z=3;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + − x y z 1 := e2 = − + 2 x y 2 z 2

:= e3 = + 3 x z 3 { }, , = x x = z − + 3 x 3 = y − + 4 x 4

3.7.d a/=2=>SCD; a=2=>SI > e1:=2*x+3*y-2*z=4;e2:=a*x-y+z=2;e3:=6*x+5*y-3*z=5*a;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + − 2 x 3 y 2 z 4 := e2 = − + a x y z 2

:= e3 = + − 6 x 5 y 3 z 5 a { }, , = x -5 = y + 18 10 a = z + 20 15 a

> e1:=2*x+3*y-2*z=4;e2:=2*x-y+z=2;e3:=6*x+5*y-3*z=5*a;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + − 2 x 3 y 2 z 4 := e2 = − + 2 x y z 2

:= e3 = + − 6 x 5 y 3 z 5 a

> 3.8 Classifica els següents sistemes usant el Teorema de Rouché-Frobenius i resol els que siguin compatibles mitjançant la Regla de Cramer: 3.8.a SCD > A:=Matrix([[2,1],[1,-3]]);detA:=Determinant(A);x=Determinant(Matrix([[7,0],[1,-3]]))/detA,y=Determinant(Matrix([[2,1],[7,0]]))/detA;

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 11 -3

:= detA -7 , = x 3 = y 1

3.8.b SI > B:=Matrix([[1,2],[3,6]]);detB=Determinant(B);BA1:=Matrix([[1,1],[3,4]]);detBA1=Determinant(BA1);

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 23 6

166

= detB 0

:= BA1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 13 4

= detBA1 1

3.8.c SCI > C:=Matrix([[1,-1],[-2,2]]);detC:=Determinant(C);CA1:=Matrix([[1,2],[-2,-4]]);detCA1=Determinant(CA1);x=2+y;

:= C ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -1-2 2

:= detC 0

:= CA1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 2-2 -4

= detCA1 0 = x + 2 y

3.8.d SCI > DD:=Matrix([[1,-1,2],[2,2,1],[3,1,3]]);detDD:=Determinant(DD);DD1:=Matrix([[1,-1],[2,2]]);detDD1:=Determinant(DD1);DDA1:=Matrix([[1,-1,6],[2,2,4],[3,1,10]]);detDDA1:=Determinant(DDA1);x=Determinant(Matrix([[6-2*z,-1],[4-z,2]]))/detDD1,y=Determinant(Matrix([[1,6-2*z],[2,4-z]]))/detDD1; >

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 22 2 13 1 3

:= detDD 0

:= DD1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -12 2

:= detDD1 4

:= DDA1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 62 2 43 1 10

:= detDDA1 0

, = x − 45 z4 = y − + 2 3 z

4

167

3.8.e SI > E:=Matrix([[1,-1,-1],[1,1,1],[0,2,2]]);detE:=Determinant(E);E1:=Matrix([[1,-1],[1,1]]);detE1:=Determinant(E1);EA1:=Matrix([[1,-1,3],[1,1,5],[0,2,4]]);detEA1:=Determinant(EA1);

:= E⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 -11 1 10 2 2

:= detE 0

:= E1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -11 1

:= detE1 2

:= EA1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -1 31 1 50 2 4

:= detEA1 4

3.8.f SCD > F:=Matrix([[1,2,-1],[1,1,1],[-1,-1,1]]);detF:=Determinant(F);x=Determinant(Matrix([[-1,2,-1],[2,1,1],[0,-1,1]]))/detF,y=Determinant(Matrix([[1,-1,-1],[1,2,1],[-1,0,1]]))/detF,z=Determinant(Matrix([[1,2,-1],[1,1,2],[-1,-1,0]]))/detF;

:= F⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 -11 1 1

-1 -1 1

:= detF -2 , , = x 2 = y -1 = z 1

> 3.9 Resol els següents sistemes homogenis: 3.9.a S. Homogeni CD => x=0,y=0,z=0 > A:=Matrix([[2,2,-2],[1,-2,1],[10,0,-5]]);detA:=Determinant(A);

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2 2 -21 -2 1

10 0 -5

:= detA 10

3.9.b S. Homogeni CI

168

> B1:=Matrix([[1,8,4],[3,9,2],[1,-7,-6]]);detB1:=Determinant(B1);B2:=Matrix([[1,8,4],[3,9,2],[2,1,-2]]);detB2:=Determinant(B2);

:= B1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 8 43 9 21 -7 -6

:= detB1 0

:= B2⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 8 43 9 22 1 -2

:= detB2 0

> B1:=Matrix([[1,-3],[2,1]]);detB1:=Determinant(B1);

:= B1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 -32 1

:= detB1 7

> x=Determinant(Matrix([[z,-3],[2*z,1]]))/detB1,y=Determinant(Matrix([[1,z],[2,2*z]]))/detB1;

, = x z = y 0

> 3.10 Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre m: 3.10.a m/=1 i -1=>SCD; m=1 o -1=>SI > m:='m':A:=Matrix([[m,1],[1,m]]);detA:=Determinant(A);solve({detA=0});

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

m 11 m

:= detA − m2 1 ,{ } = m 1 { } = m -1

> AA:=Matrix([[m,m],[1,-1]]);detAA:=Determinant(AA);solve({detAA=0});

:= AA ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

m m1 -1

:= detAA −2 m { } = m 0

3.10.b m/=1 i -1=>SCD; m=1 o -1=>SI > B:=Matrix([[1,1,1],[-1,1,m],[1,m,1]]);detB:=Determinant(B);solve({detB=0});

169

:= B⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 1-1 1 m1 m 1

:= detB − 1 m2 ,{ } = m -1 { } = m 1

> B1:=Matrix([[1,1],[-1,1]]);detB1:=Determinant(B1);

:= B1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 1-1 1

:= detB1 2

> BA1:=Matrix([[1,1,m],[-1,1,2],[1,m,4]]);detBA1:=Determinant(BA1);solve({detBA1=0});

:= BA1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 m-1 1 21 m 4

:= detBA1 − − 10 3 m m2 ,{ } = m -5 { } = m 2

3.10.c m/= 1 i 3=>SCD; m=1=>SCI; m=3=>SI > C:=Matrix([[1,1,m],[m,1,1],[1,1,3]]);detC:=Determinant(C);solve({detC=0});

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 mm 1 11 1 3

:= detC + − 3 m2 4 m ,{ } = m 3 { } = m 1

> C1:=Matrix([[1,1],[1,3]]);detC1:=Determinant(C1);

:= C1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 11 3

:= detC1 2

> CA1:=Matrix([[4,1,m],[4,1,1],[5,1,3]]);detCA1:=Determinant(CA1);solve({detCA1=0});

:= CA1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

4 1 m4 1 15 1 3

:= detCA1 − + m 1

170

{ } = m 1

3.10.d És un sistema homogeni: m/=5=>SCD, sol. x=y=z=0; m=5=>SCI > DD:=Matrix([[m,-1,2],[1,1,1],[2,0,1]]);detDD:=Determinant(DD);solve({detDD=0});

:= DD⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

m -1 21 1 12 0 1

:= detDD − m 5 { } = m 5

> 3.11 Discuteix i interpreta geomètricament els sistemes següents segons els valors del paràmetre k: 3.11.a k/= 1 i -1=>SCD (dues rectes del pla que es tallen en un punt); k=1=>SCI (dues rectes del mpla que, de fet, són la mateixa); k=-1=>SI (dues rectes del pla paral·leles) > k:='k':A:=Matrix([[1,-k],[k,-1]]);detA:=Determinant(A);solve({detA=0});

:= A ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 −kk -1

:= detA − + 1 k2 ,{ } = k 1 { } = k -1

> AA1:=Matrix([[1,2*k-1],[k,1]]);detAA1:=Determinant(AA1);solve({detAA1=0});

:= AA1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

1 − 2 k 1k 1

:= detAA1 − + 1 2 k2 k

,{ } = k-12 { } = k 1

3.11.b SCD per a qualsevol valor de k (dues rectes del pla que es tallen en un punt) > B:=Matrix([[k,1],[1,-k]]);detB:=Determinant(B);solve({detB=0});

:= B ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

k 11 −k

:= detB − − k2 1 ,{ } = k −I { } = k I

3.11.c k/=-5/2 i 1=>SCD; k=1=>SCI; k=-5/2=>SI

171

> C:=Matrix([[1,2,-2],[k,1,1],[1,k,1]]);detC:=Determinant(C);solve({detC=0});

:= C⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 -2k 1 11 k 1

:= detC − − 5 3 k 2 k2

,{ } = k -52 { } = k 1

> C1:=Matrix([[2,-2],[1,1]]);detC1:=Determinant(C1);

:= C1 ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 -21 1

:= detC1 4

> CA1:=Matrix([[k-2,2,-2],[k+1,1,1],[k+1,k,1]]);detCA1:=Determinant(CA1);solve({detCA1=0});

:= CA1⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

− k 2 2 -2 + k 1 1 1 + k 1 k 1

:= detCA1 − 3 k 3 k2 ,{ } = k 0 { } = k 1

> 3.12 Estudia per a quins valors del paràmetre resulta que: 3.12.a El sistema següent és compatible determinat: ho és per a lambda=14 > solve({Determinant(Matrix([[1,5,0],[2,1,3],[1,lambda,-3]]))});

{ } = λ 14

3.12.b El sistema següent és incompatible: ho és per a tot lambda/=11/5 > solve({Determinant(Matrix([[1,-2,4],[1,lambda,lambda],[1,1,4]]))});

{ } = λ 4

> 3.13 Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre k: > solve({Determinant(Matrix([[1,k,1],[1,1,1],[k,-1,1]]))});

,{ } = k 1 { } = k 1

> Determinant(Matrix([[1,1,4],[1,1,-1],[1,-1,-1]])); -10

k/=1=>SCD; k=1=>SI >

172

3.14 Discuteix i resol en funció del paràmetre quan el sistema sigui compatible: 3.14.a a/=-2=>SCD: > a:='a':e1:=2*x+y=5;e2:=4*x-a*y=10;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = + 2 x y 5 := e2 = − 4 x a y 10

{ }, = y 0 = x 52

a=-2=>SCI > e1:=2*x+y=5;e2:=4*x+2*y=10;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = + 2 x y 5 := e2 = + 4 x 2 y 10

{ }, = y − + 2 x 5 = x x

3.14.b SCD per a tot valor de a > solve(Determinant(Matrix([[2,-1,1],[4,3,a],[6,2,a-1]]))); > e1:=2*x-y=1;e2:=4*x+3*y=a;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = − 2 x y 1 := e2 = + 4 x 3 y a

{ }, = x + a

103

10 = y − a5

25

3.14.c a/=1=>SCI > e1:=x-a*y+z=2:e2:=2*x-2*y+2*z=a;solve({e1,e2},{x,y});

:= e2 = − + 2 x 2 y 2 z a

{ }, = y − + 4 a2 ( ) − a 1 = x − − + + 4 2 a z 2 z a2

2 ( ) − a 1

a=1=> SI > e1:=x-y+z=2:e2:=2*x-2*y+2*z=1;solve({e1,e2},{x,y});

:= e2 = − + 2 x 2 y 2 z 1

3.14.d a/=0 i 1 i -1=>SCD > a:='a':solve({Determinant(Matrix([[a,1,1],[1,a,1],[1,-1,a]]))});

, ,{ } = a 0 { } = a 1 { } = a -1

> e1:=a*x+y+z=1;e2:=x+a*y+z=2;e3:=x-y+a*z=a;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + + a x y z 1 := e2 = + + x a y z 2 := e3 = − + x y a z a

173

{ }, , = z + − 1 a2 aa ( ) − a 1 = x −

1a ( ) − a 1 = y 1

a

a=0=>SI > e1:=y+z=1;e2:=x+z=2;e3:=x-y=0;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + y z 1 := e2 = + x z 2 := e3 = − x y 0

a=1=>SI > e1:=x+y+z=1;e2:=x+y+z=2;e3:=x-y+z=1;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + + x y z 1 := e2 = + + x y z 2 := e3 = − + x y z 1

3.14.e a/=4 i -2=>SCD > solve({Determinant(Matrix([[3,a,1],[-1,0,1],[-2,2,a]]))});

,{ } = a 4 { } = a -2

a=4=>SI > e1:=3*x+4*y+z=5;e2:=-x+z=0;e3:=-2*x+2*y+4*z=6;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + + 3 x 4 y z 5 := e2 = − + x z 0

:= e3 = − + + 2 x 2 y 4 z 6

a=-2=>SI > e1:=3*x-2*y+z=-1;e2:=-x+z=0;e3:=-2*x+2*y-2*z=0;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = − + 3 x 2 y z -1 := e2 = − + x z 0

:= e3 = − + − 2 x 2 y 2 z 0

3.14.f a/=0 i 1=>SCD > solve({Determinant(Matrix([[1,-2,a],[1,4,a^2],[1,-8,a^2]]))});

,{ } = a 0 { } = a 1

a=0=>SCI > e1:=x-2*y=0;e2:=x+4*y=6;e3:=x-8*y=-6;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = − x 2 y 0 := e2 = + x 4 y 6 := e3 = − x 8 y -6

174

{ }, , = z z = y 1 = x 2

a=1=>SI > e1:=x-2*y+z=1;e2:=x+4*y+z=7;e3:=x-8*y+z=-6;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = − + x 2 y z 1 := e2 = + + x 4 y z 7 := e3 = − + x 8 y z -6

> 3.15 Troba tres nombres, la suma dels quals val zero, sabent que el triple del primer més el doble del segon més el tercer val 1, i que cinc vegades el primer més el triple del resultat de sumar el segon més el tercer val 3. > e1:=x+y+z=0;e2:=3*x+2*y+z=1;e3:=5*x+3*(y+z)=3;solve({e1,e2,e3});

:= e1 = + + x y z 0 := e2 = + + 3 x 2 y z 1

:= e3 = + + 5 x 3 y 3 z 3

{ }, , = z 12 = y -2 = x 3

2

> 3.16 Tenim dues caixes de llibres A i B. Si passem 12 llibres de la caixa A a la B, totes dues caixes tindran la mateixa quantitat de llibres. Si passem 12 llibres de la B a la A, la caixa A tindrà el triple de llibres que la caixa B. Quants llibres conté cada caixa? > A:='A':B:='B':e1:=A-12=B+12;e2:=A+12=3*(B-12);solve({e1,e2});

:= e1 = − A 12 + B 12 := e2 = + A 12 − 3 B 36 { }, = B 36 = A 60

> 3.17 Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B i C en l'elaboració de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 s'elabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 s'elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C, i la P3 s'elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al públic és de 4,80€ per a P1, 4,10€ per a P2 i 4,90€ per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) és de 1,60€ en cadascuna, trobeu quant costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada. > Digits:=2:C:='C':e1:=A+2*B+2*C=4.80-1.60;e2:=2*A+B+C=4.10-1.60;e3:=2*A+B+2*C=4.90-1.60;solve({e1,e2,e3});Digits:=10:

:= e1 = + + A 2 B 2 C 3.2 := e2 = + + 2 A B C 2.5

175

:= e3 = + + 2 A B 2 C 3.3 { }, , = C 0.80 = A 0.60 = B 0.50

> 3.18 La Joana i la Mercè tenien 20000€ cadascuna per invertir. Cadascuna d'elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d'un any, a la Joana li han donat un 4% d'interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850€ d'interessos, mentre que la Mercè n'ha rebut 950€. De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R? > P:='P':Q:='Q':R:='R':e1:=P+Q+R=20000:e2:=0.04*P+0.05*Q+0.04*R=850;e3:=0.05*P+0.06*Q+0.04*R=950;solve({e1,e2,e3});

:= e2 = + + 0.04 P 0.05 Q 0.04 R 850 := e3 = + + 0.05 P 0.06 Q 0.04 R 950

{ }, , = Q 5000. = P 5000. = R 10000.

> 3.19 Tres germans tenen edats diferents, però sabem que la suma de les edats dels tres germans és de 37 anys, i la suma de l'edat del més gran més el doble de l'edat del mitjà més el triple de l'edat del petit és de 69 anys. 3.19.a Expresseu les edats dels tres germans en funció de l'edat del germà petit. > e1:=g+m+p=37;e2:=g+2*m+3*p=69;solve({e1,e2},{g,m});

:= e1 = + + g m p 37 := e2 = + + g 2 m 3 p 69

{ }, = m − + 2 p 32 = g + p 5

3.19.b És possible que el germà petit tingui 5 anys? I 12 anys? Raoneu les respostes. > g(p=5):=5+5;m(p=5):=-2*5+32;

:= ( )g = p 5 10 := ( )m = p 5 22

> g(p=12):=12+5;m(p=15):=-2*12+32; := ( )g = p 12 17 := ( )m = p 15 8

No pot ser p=5 perquè el germà gran tindria menys edat que el mitjà, i no pot ser p=12 perquè el mitjà tindria menys edat que el petit. 3.19.c Calculeu l'edat dels tres germans. > p:'p':g:=p+5:m:=-2*p+32;solve(g>m,{p});solve(m>p,{p});

:= m − + 2 p 32 { } < 9 p

176

{ } < p 323

> p:=10:petit=p;mitjà=m;gran=g; = petit 10 = mitjà 12 = gran 15

> 3.20 Suposa que tenim un sistema format per dues equacions lineals amb dues incògnites. Respon raonadament a les qüestions següents: 3.20.a Si el sistema és compatible determinat, es pot aconseguir un sistema compatible indeterminat afegint una tercera equació? I un d' incompatible? NO-SÍ 3.20.b Si el sistema és compatible indeterminat, es pot aconseguir un sistema incompatible afegint una tercera equació? I un de compatible determinat? SÍ-SÍ 3.20.c Si el sistema és incompatible, es pot aconseguir un sistema compatible indeterminat afegint una tercera equació? I un de compatible determinat? NO-NO > 3.21 Considera un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i amb coeficients reals. És possible que el sistema tingui exactament dues solucions? I exactament tres solucions? Justifica les respostes. No pot ser. Es justifica geomètricament. > 3.22 Donat el sistema següent, > e1:=x+y+z=1;e2:=x-y+z=1;

:= e1 = + + x y z 1 := e2 = − + x y z 1

3.22.a Afegeix una tercera equació per tal que sigui compatible determinat. > e3:=x-y-z=1;solve({e1,e2,e3});

:= e3 = − − x y z 1 { }, , = y 0 = z 0 = x 1

3.22.b Afegeix una tercera equació per tal que sigui compatible indeterminat. > e3:=e2;solve({e1,e2,e3});

:= e3 = − + x y z 1 { }, , = y 0 = x − 1 z = z z

3.22.c Afegeix una tercera equació per tal que sigui incompatible. > e3:=x-y+z=0;solve({e1,e2,e3});

:= e3 = − + x y z 0

>

177

3.23 En un sistema de tres equacions lineals amb dues incògnites, el rang de la matriu de coeficients és 2. Què pots dir -raonadament- sobre la compatibilitat del sistema? Pot ser SCD o SI, però no pot ser SCI. > 3.24 Podem afirmar que tot sistema amb més incògnites que equacions és sempre compatible indeterminat? Raona la resposta. No. Pot ser SCI o SI. En cap cas SCD. > 3.25 (Setembre 2005-Sèrie 3-Qüestió 1). En un sistema hi ha, entre d'altres, les dues equacions següents. Què pots dir de les solucions del sistema? > rangM=Rank(Matrix([[1,2,-3],[2,4,-6]]));

= rangM 1

> rangMA=Rank(Matrix([[1,2,-3,5],[2,4,-6,-2]])); = rangMA 2

El sistema és incompatible. > 3.26 (Juny 2005-Sèrie 4-Problema 5). De tres nombres x, y, z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres és 0 i, per acabar, que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i el tercer dóna 1. 3.26.a Què pots dir del valor de k? > solve({Determinant(Matrix([[1,1,0],[1,0,1],[k,2,2]]))});

{ } = k 4

Els 3 nombres existeixen => el sistema és SCD => k/=4 3.26.b Quant valen els tres nombres? Suposant k/=4, > e1:=x+y=0;e2:=x+z=1;e3:=k*x+2*(y+z)=1;solve({e1,e2,e3},{x,y,z});

:= e1 = + x y 0 := e2 = + x z 1

:= e3 = + + k x 2 y 2 z 1

{ }, , = x −1

− k 4 = z − k 3 − k 4 = y 1

− k 4

> 3.27 (Juny 2005-Sèrie 1-Qüestió 1). Considera el sistema següent en funció d'un paràmetre real. 3.27.a Discuteix-lo en funció del paràmetre a. > solve({Determinant(Matrix([[1,-a],[a,1]]))});

,{ } = a I { } = a −I

És SCD per a qualsevol valor de a.

178

3.27.b Resol els casos compatibles. > e1:=x-a*y=1;e2:=a*x+y=3;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = − x a y 1 := e2 = + a x y 3

{ }, = x + 3 a 1 + 1 a2 = y −

− a 3 + 1 a2

> 3.28 (Juny 2004-Sèrie 3-Problema 5). Donat el sistema següent, a) Discuteix-lo segons els valors del paràmetre. b) Resol els casos compatibles. c) En cada un dels casos de la discussió de l'apartat (a), fes una interpretació geomètrica del sistema. 3.28.a Discuteix-lo segons els valors del paràmetre. La discussió es pot simplificar fent un canvi tipus a=m-1. m/=1=>SCD; m=1=>SCI > m:='m':solve({Determinant(Matrix([[0,1,1],[-2,1,1],[2-2*m,0,2*m-2]]))});

{ } = m 1

> rangM=Rank(Matrix([[0,1,1],[-2,1,1],[2-2*1,0,2*1-2]]));rangMA=Rank(Matrix([[0,1,1,2],[-2,1,1,-1],[2-2*1,0,2*1-2,0]]));

= rangM 2 = rangMA 2

3.28.b m/=1=>x=3/2,y=0,z=2; m=1=>x=3/2,y=2-z > e1:=y+z=2;e2:=-2*x+y+z=-1;e3:=(2-2*m)*x+(2*m-2)*z=m-1;solve({e1,e2,e3},{x,y,z}); >

:= e1 = + y z 2 := e2 = − + + 2 x y z -1

:= e3 = + ( ) − 2 2 m x ( ) − 2 m 2 z − m 1

{ }, , = z 2 = x 32 = y 0

> e1:=y+z=2;e2:=-2*x+y+z=-1;solve({e1,e2},{x,y}); := e1 = + y z 2

:= e2 = − + + 2 x y z -1

{ }, = x32 = y − 2 z

3.28.c m/=1=> tres plans de l'esoai es tallen en un punt; m=1=> tres plans de l'espai es tallen en una recta.

179

> 3.29 (Juny 2004-Sèrie 1- Qüestió 1). La matriu ampliada d'un sistema d'equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és la següent. 3.29.a El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. Es tracta d'un SCI: rangA=rangMA=2<3 (n. incògnites) 3.29.b En cas que sigui compatible resol-lo. > e1:=x+2*y-z=0;e2:=y+2*z=1;solve({e1,e2},{x,y});

:= e1 = + − x 2 y z 0 := e2 = + y 2 z 1

{ }, = y − + 2 z 1 = x − 5 z 2

> 3.30 (Juny 2003-Sèrie 5-Qüestió 4). Considereu el sistema d'equacions següent. Si x=1, y=-1, z=2 és una solució, quin és el valor del paràmetre? > solve({a*1-1+2=a+1});solve({2+1+2*a=a+2});

{ } = a a { } = a -1

a=-1 > 3.31 (Juny 2003-Sèrie 2-Qüestió 4). Per a quin o quins valors del paràmetre el sistema d'equacions següent és compatible i indeterminat? > solve({Determinant(Matrix([[1,2,lambda+2],[1,2*lambda,3],[2,0,-1]]))});

,{ } = λ-72 { } = λ 1

> rangM1=Rank((Matrix([[1,2,-7/2+2],[1,2*(-7/2),3],[2,0,-1]])));rangMA1=Rank((Matrix([[1,2,-7/2+2,0],[1,2*(-7/2),3,9],[2,0,-1,4]])));

= rangM1 2 = rangMA1 2

> rangM2=Rank((Matrix([[1,2,1+2],[1,2*1,3],[2,0,-1]])));rangMA2=Rank((Matrix([[1,2,1+2,0],[1,2*1,3,9],[2,0,-1,4]])));


Per a lambda=-7/2 > 3.32 (2000-Sèrie 1-Qüestió 3). Donat el sistema d'equacions següent, > e1:=3*x-2*y+z=5;e2:=2*x-3*y+z=4;

:= e1 = − + 3 x 2 y z 5

180

:= e2 = − + 2 x 3 y z 4

3.32.a Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. > e3:=2*x-3*y+z=3;solve({e1,e2,e3});

:= e3 = − + 2 x 3 y z 3

3.32.b Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resol el sistema que s'obtingui. > e3:=2*x-3*y+z=4;solve({e1,e2,e3});

:= e3 = − + 2 x 3 y z 4 { }, , = x − 1 y = z + 2 5 y = y y

> 3.33 (Sèrie 4-Opció B-Qüestió 3). Explica què vol dir que un sistema d'equacions lineals sigui compatible i què vol dir que sigui indeterminat. Poden haver-hi sistemes que siguin a la vegada incompatibles i indeterminats? Digues finalment per a quins valors del paràmetre el sistema d'equacions següent és indeterminat, i per a quins valors de a és incompatible. > Compatible=>té solució; Indeterminat=>entenent que es refereix a compatible indeterminat, es tracta de sistemes que tenen solució, però que no és única En el supòsit anterior, no n'hi poden haver d'incompatibles i indeterminats. a=1=>SCI; a=-1=>SI > solve({Determinant(Matrix([[a^2,1,0],[1,3,1],[-1,1,1]]))});

,{ } = a 1 { } = a -1

> rangM1=Rank((Matrix([[1,1,0],[1,3,1],[-1,1,1]])));rangMA1=Rank((Matrix([[1,1,0,0],[1,3,1,1],[-1,1,1,1]])));


> rangM2=Rank((Matrix([[1,1,0],[1,3,1],[-1,1,1]])));rangMA2=Rank((Matrix([[1,1,0,0],[1,3,1,-1],[-1,1,1,1]]))); >


> 3.34 (2000-Sèrie 3-Qüestió 3). Se sap que el sistema d'equacions següent té més d'una solució. Calcula a i digues quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema. > solve({Determinant(Matrix([[1,1,-a],[2,1,-8],[-1,-2,10]]))});

181

{ } = a 6

Per a a=6; es tracta de tres plans de l'espai que es tallen en una recta. > 3.35 (1999-Sèrie 2-Qüestió 3). Si el rang de la matriu d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites és 2 i el de la matriu ampliada és 3, quines interpretacions geomètriques pots donar a aquest sistema? Dóna un exemple de sistema amb aquestes característiques i la seva interpretació geomètrica. Es tracta de dos plans de l'espai que són paral.lels, i el tercer els talla a tots 2, i també una recta paral·lela a un pla de l'espai. > e1:=x+y+z=1;e2:=x+y+z=2;e3:=x-y+z=0;

:= e1 = + + x y z 1 := e2 = + + x y z 2 := e3 = − + x y z 0

> rangM=Rank((Matrix([[1,1,1],[1,1,1],[1,-1,1]])));rangMA=Rank((Matrix([[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,-1,1,0]])));

= rangM 2 = rangMA 3

La interpretació és quasevol de les dues anteriors ja que, de fet,representen la mateixa situació.

183

ANNEX 4: PROVES DIAGNÒSTICS Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Test Matrius Curs 2005-2006 INSTRUCCIONS: 1) Contesta en el full de respostes tot encerclant l’opció seleccionada. 2) Per a cada pregunta només una de les opcions de resposta és correcta. Si es selecciona més d’una opció de resposta en una pregunta, es considerarà resposta incorrecta. 3) Puntuació: 1 punt per resposta correcta, -1/3 per resposta incorrecta, 0 per pregunta no contestada.

1. Sigui 0 1 11 0 21 2 0

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Quina de les següents afirmacions és certa?

a) A és simètrica b) A és antisimètrica c) A no és quadrada d) A és diagonal

2. Siguin 1 2 03 1 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 0 2 21 1 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. La matriu suma A B+ val:

a) 1 4 22 0 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 4 1 41 3 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) No es pot efectuar perquè A i B no tenen les mateixes dimensions.

d) No es pot efectuar perquè A i B no són quadrades.

3. Siguin 0 21 3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ i

1 02 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. El producte A B⋅ val:

a) 0 02 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 4 25 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 0 21 7

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) No es pot efectuar perquè no tenen les mateixes dimensions.

4. Siguin 3 4 ( )A M ×∈ i 2 4 ( )B M ×∈ . Quin dels següents productes es pot efectuar? a) A B⋅ b) B A⋅ c) TA B⋅ d) TB A⋅

184

5. Siguin 1 23 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 3 01 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

. La solució de l’equació 2 0X A B+ − = és

a) 4 22 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ b)

2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ c)

4 22 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Sigui 1 2 30 2 30 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,


7. Sigui 1 2 40 10 4

A aa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Si 2a ≠ ± , aleshores ( ) 3rang A = . b) Si 2a ≠ ± , aleshores ( ) 2rang A = . c) ( ) 3,rang A a= ∀ ∈ . d) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈ .

8. Sigui 1

1a

Aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

a) Si 1a = − , aleshores ( ) 2rang A = . b) Si 1a = , aleshores ( ) 2rang A = . c) Si 1a = ± , aleshores ( ) 1rang A = . d) Si 1a ≠ ± , aleshores ( ) 1rang A = .

185

Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Test Determinants Curs 2005-2006 INSTRUCCIONS: 1) Contesta en el full de respostes tot encerclant l’opció seleccionada. 2) Per a cada pregunta només una de les opcions de resposta és correcta. Si es selecciona més d’una opció de resposta en una pregunta, es considerarà resposta incorrecta. 3) Puntuació: 1 punt per resposta correcta, -1/3 per resposta incorrecta, 0 per pregunta no contestada.

1. Sigui 1 0 21 2 00 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) det 0A = b) det 2A = c) det 4A = d) det 4A = − 2. Sigui 3 ( )A M∈ i k ∈ . Aleshores det( )k A⋅ és igual a: a) det A b) detk A⋅ c) 2 detk A⋅ d) 3 detk A⋅

3. Sigui a d a d

A b e b ec f c f

+⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠


a) det 0A = b) ( ) 2rang A ≤ c) No existeix 1A− d) ( ) 3rang A = 4. Indica quina de les següents afirmacions és certa: a) Tota matriu té inversa. b) Tota matriu quadrada té inversa. c) Tota matriu quadrada amb determinant no nul té inversa. d) Cap matriu té inversa. 5. Sigui A una matriu. Li afegim una nova columna i designem A la nova matriu. Aleshores, a) ( ) ( )rang A rang A= b) ( ) ( ) 1rang A rang A≤ + c) det( ) det( )A A= d) det( ) det( ) 1A A= +

6. Sigui 1 4 52 5 7

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Aleshores,

186


7. Sigui 2 1 10 1 1

1 1A

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 2 ( ) 2a rang A= ⇒ = b) 2 ( ) 3a rang A= ⇒ = c) 2 ( ) 2a rang A≠ ⇒ = d) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈

8. Sigui 1 10 1

aA

a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 0 ( ) 1a rang A= ⇒ = b) 1 ( ) 3a rang A≠ ⇒ = c) ( ) 2,rang A a= ∀ ∈ d) 1 ( ) 1a rang A= ⇒ =

187

Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Test Sistemes d’Equacions Lineals Curs 2005-2006 INSTRUCCIONS: 1) Contesta en el full de respostes tot encerclant l’opció seleccionada. 2) Per a cada pregunta només una de les opcions de resposta és correcta. Si es selecciona més d’una opció de resposta en una pregunta, es considerarà resposta incorrecta. 3) Puntuació: 1 punt per resposta correcta, -1/3 per resposta incorrecta, 0 per pregunta no contestada.

1. El sistema 3 2 5

9 6 15x y

x y− = −⎧

⎨− + =⎩

a) Representa dues rectes del pla que són paral·leles. b) És incompatible. c) No és compatible determinat. d) Representa dues rectes del pla que es tallen en un únic punt.

2. Sigui el sistema 2 3

1x y

x y+ =⎧

⎨ + =⎩. La solució és:

a) 2 1 31 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b)

1 1 31 2 1

xy

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

c) 2 3 11 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ d)

3 1 21 1 1

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. Indica quina de les següents transformacions no manté necessàriament l’equivalència entre sistemes: a) Afegir una nova equació obtinguda com a combinació lineal de les equacions inicials.b) Restar a una equació una combinació lineal de les altres. c) Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero. d) Substituir una equació per una combinació lineal de les altres equacions. 4. Sigui A la matriu de coeficients d’un sistema de n incògnites, i sigui A la corresponent matriu ampliada. Aleshores, a) Si ( ) ( )rang A rang A= el sistema és incompatible. b) Si ( )rang A n= el sistema és compatible. c) Si ( ) 1rang A n= + el sistema és incompatible.

188

d) Si ( )rang A n= el sistema és compatible determinat.


2 2 21

x y zx y z

x y z

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩

. Aleshores,

a) 0 2 1

1 2 1 212

1 1 1x

−=

− − b)

1 2 11 2 1 2

121 1 1

y−

=− −

c) 0 0 1

1 2 2 212

1 1 1z

−=

−

d) És incompatible.

6. La solució del sistema 2 1

23 3

x y zy zx y

+ − =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

és:

a) 1, 2, 3x y z= = = . b) 3 3 , , 2 ,x y zλ λ λ λ= − + = = − ∈ . c) És incompatible, no té solució. d) 3 3 , 2 , ,x y zλ λ λ λ= − + = − = ∈ . 7. Un sistema amb tots els termes independents nuls, a) Pot ser incompatible. b) No pot ser compatible indeterminat. c) Sempre és compatible. d) No pot ser compatible determinat..

8. Sigui el sistema amb matriu ampliada 1 0 2 30 1 10 0 1 1

A aa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ + ⎠⎝

. Aleshores,

a) Si 1a = − el sistema és compatible determinat. b) Si 0a = el sistema és incompatible. c) Si 0a ≠ i 1a ≠ − el sistema és compatible determinat. d) Si 0a ≠ el sistema és compatible indeterminat.

189

ANNEX 5: ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI ENVIATS ALS CENTRES IES A Prova Diagnòstica Matrius

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 01.02.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (b). Definicions. Pregunta 2. (a). Suma de matrius. Pregunta 3. (b). Producte de matrius. Pregunta 4. (c). Producte de matrius. Teòrica. Pregunta 5. (b). Equacions matricials. Diferència de matrius i producte per escalars. Pregunta 6. (d). Rang d’una matriu triangular 3x3. Pregunta 7. (a). Discussió del rang d’una matriu 3x3. Pregunta 8. (c). Discussió del rang d’una matriu 2x2. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts.

190

Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. 3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada: Categoria X (7, 8 o 9 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (5 o 6 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (3 o 4 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1 o 2 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent: IDENT PROVA 1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLAS NOTA A1 b d b c b d c 6 1 1 B 7,08 CL-A 44,4% A2 b a b b d a c 7 0 1 A 8,75 CL-B 44,4% A3 b a a b b c c 4 3 1 C 3,75 CL-C 11,1% A4 b a a d b d a c 6 2 0 B 6,67 CL-D 0% A5 b a b a b d c c 6 2 0 B 6,67 A6 d a b c b d c c 6 2 0 B 6,67 A7 b a b c b d a c 8 0 0 A 10 A8 b a b c b d a c 8 0 0 A 10 A9 b a b c b d d c 7 1 0 A 8,33 RESULT. PER PREG BE 8 8 7 5 9 8 4 9 MAL 1 1 2 3 0 1 3 0 NC 0 0 0 1 0 0 2 0 CAT X X X Y X X Z X CAT X 75% CAT Y 12,5% CAT Z 12,5% CAT T 0%

191

IES B - Prova Diagnòstica Matrius

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 16.02.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (b). Definicions. Pregunta 2. (a). Suma de matrius. Pregunta 3. (b). Producte de matrius. Pregunta 4. (c). Producte de matrius. Teòrica. Pregunta 5. (b). Equacions matricials. Diferència de matrius i producte per escalars. Pregunta 6. (d). Rang d’una matriu triangular 3x3. Pregunta 7. (a). Discussió del rang d’una matriu 3x3. Pregunta 8. (c). Discussió del rang d’una matriu 2x2. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. 3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada:

192

Categoria X (11, 12 o 13 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (8, 9 o 10 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (4, 5, 6 o 7 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1, 2 o 3 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent:

IDENT TEST MATRIUS

1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLASNOTA B1 b a b d b d c c 6 2 0 B 6,67 CL-A 30,8% B2 b a b c b d c a 6 2 0 B 6,67 CL-B 46,1% B3 b a b c d d a b 6 2 0 B 6,67 CL-C 23,1% B4 b d b c d d c a 4 4 0 C 3,33 CL-D 0% B5 a a c d d c c 3 4 1 C 2,08 B6 b a b c b d a c 8 0 0 A 10 B7 b a b c b d a c 8 0 0 A 10 B8 d a b c b d a c 7 1 0 A 8,33 B9 b a a c d 3 2 3 C 2,92 B10 b a d b d c c 5 2 1 B 5,42 B11 b a a c b d 5 1 2 B 5,83 B12 b a b c b d 6 0 2 B 7,5 B13 NO PRESENTAT B14 b a b c b d a c 8 0 0 A 10

RESULT. PER PREG

B 11 12 9 10 9 12 5 7 M 2 1 3 2 4 1 5 3

NC 0 0 1 1 0 0 3 3 CAT X X Y Y Y X Z Z

CAT X 37,5% CAT Y 37,5% CAT Z 25% CAT T 0%

193

IES A Prova Diagnòstica Determinants

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 16.02.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (a). Càlcul d’un determinant 3x3. Pregunta 2. (d). Propietats dels determinants (producte d’un determinant per un escalar). Teòrica. Pregunta 3. (d). Propietats dels determinants (columna linealment dependent) + rang + existència de matriu inversa. Teòrica. Pregunta 4. (c). Existència de matriu inversa. Teòrica. Pregunta 5. (b). Determinants + rangs. Teòrica. Pregunta 6. (c). Rang d’una matriu 2x3. Pregunta 7. (a). Discussió del rang d’una matriu 3x3. Pregunta 8. (c). Discussió del rang d’una matriu 2x3. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts.

194

3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada: Categoria X (7 o 8 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (5 o 6 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (3 o 4 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1 o 2 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent: IDENT PROVA 1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLAS NOTA A1 a c c c c c a 3 4 1 C 2,08 CL-A 25% A2 a b d c b a c 6 1 0 B 7,08 CL-B 50% A3 NO PRESENTAT CL-C 25% A4 a d d b b b a c 6 2 0 B 6,67 CL-D 0% A5 a b b c b b a c 5 3 0 B 5 A6 a d d c b c a a 7 1 0 A 8,33 A7 a b d c a c b c 5 3 0 B 5 A8 a d d c b c a c 8 0 0 A 10 A9 a b c b a c 4 2 2 C 4,17 RESULT. PER PREG BE 8 3 5 7 5 4 6 6 MAL 0 4 2 1 2 3 2 2 NC 0 1 1 0 1 1 0 0 CAT X Z Y X Y Z Y Y CAT X 25% CAT Y 50% CAT Z 25% CAT T 0%

195

IES B - Prova Diagnòstica Determinants

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 02.03.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (a). Càlcul d’un determinant 3x3. Pregunta 2. (d). Propietats dels determinants (producte d’un determinant per un escalar). Teòrica. Pregunta 3. (d). Propietats dels determinants (columna linealment dependent) + rang + existència de matriu inversa. Teòrica. Pregunta 4. (c). Existència de matriu inversa. Teòrica. Pregunta 5. (b). Determinants + rangs. Teòrica. Pregunta 6. (c). Rang d’una matriu 2x3. Pregunta 7. (a). Discussió del rang d’una matriu 3x3. Pregunta 8. (c). Discussió del rang d’una matriu 2x3. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. 3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada:

196

Categoria X (11, 12, 13 o 14 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (8, 9 o 10 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (4, 5, 6 o 7 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1, 2 o 3 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent:

IDENT TEST MATRIUS

1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLASNOTA B1 a b c a c a d 4 3 1 C 3,75 CL-A 21,4% B2 a c b c a c a c 5 3 0 B 5 CL-B 42,9% B3 a b d c c a c 6 1 1 B 7,08 CL-C 35,7% B4 c c a c 3 1 4 C 3,33 CL-D 0% B5 a c c c c a 4 2 2 C 4,17 B6 a d d c c a c 7 0 1 A 8,33 B7 a c b c a c a c 5 3 0 B 5 B8 a b b c b c a c 6 2 0 B 6,67 B9 a d d c b c a c 8 0 0 A 10 B10 a d c c c a a 5 2 1 B 4,33 B11 a b b c a c b c 4 4 0 C 3,33 B12 a b c c b c 4 2 0 C 4,17 B13 a b b c b c a a 5 3 0 B 5 B14 a c d c b c a c 7 1 0 A 8,33

RESULT. PER PREG

B 13 3 4 13 4 14 12 10 M 1 9 8 0 5 0 2 3

NC 0 3 2 1 5 0 0 1 CAT X T Z X Z X X Y

CAT X 50% CAT Y 12,5% CAT Z 25% CAT T 12,5%

197

IES A Prova Diagnòstica Sistemes d’Equacions Lineals

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 07.03.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (a). Classificació de sistemes + interpretació geomètrica d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites. Pregunta 2. (b). Representació matricial d’un sistema + resolució via la matriu inversa. Pregunta 3. (d). Transformacions equivalents. Teòrica. Pregunta 4. (c). Teorema de Rouché. Teòrica. Pregunta 5. (a). Resolució d’un sistema compatible determinat pel mètode de Cramer. Pregunta 6. (d). Resolució d’un sistema compatible indeterminat (Gauss o Cramer). Pregunta 7. (c). Sistemes homogenis. Teòrica. Pregunta 8. (c). Discussió d’un sistema 3x3 dependent d’un paràmetre. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (7 o 8 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (5 o 6 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (3 o 4 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. Classe D (0, 1 o 2 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts.

198

3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada: Categoria X (7, 8 o 9 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (5 o 6 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (3 o 4 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1 o 2 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent: IDENT PROVA 1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLAS NOTA A1 c a c d a d c c 5 3 0 B 5 CL-A 0% A2 a b d a d c b 4 3 1 C 3,75 CL-B 44,5% A3 d a b d a c c 2 5 1 D 0,42 CL-C 33,3% A4 c a b d a b c c 4 4 0 B 3,33 CL-D 22,2% A5 a a d c a d a c 5 3 0 C 5 A6 a b d b a a b 3 4 1 C 2,08 A7 c b d a d d c 6 1 1 B 7,08 A8 c b b b a d c c 6 2 0 B 6,67 A9 a c d a c c 2 4 2 D 0,83 RESULT. PER PREG BE 4 4 3 1 9 5 5 6 MAL 5 4 5 7 0 3 3 2 NC 0 1 1 1 0 1 1 1 CAT Z Z Z T X Y Y Y CAT X 12,5% CAT Y 37,5% CAT Z 37,5% CAT T 12,5%

199

IES B - Prova Diagnòstica Sistemes d’Equacions Lineals

ELEMENTS PER A LA DIAGNOSI 1. Previs La prova s’ha desenvolupat el 03.04.06. La durada ha estat de 30m. La resta de la classe s’ha dedicat a la resolució col·lectiva de la mateixa. La prova consta de 8 preguntes, tot i que la pregunta 6 s’ha eliminat per un error en la versió de la prova utilitzada. En cadascuna d’elles es tracten els següents continguts: Pregunta 1. (a). Classificació de sistemes + interpretació geomètrica d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites. Pregunta 2. (b). Representació matricial d’un sistema + resolució via la matriu inversa. Pregunta 3. (d). Transformacions equivalents. Teòrica. Pregunta 4. (c). Teorema de Rouché. Teòrica. Pregunta 5. (a). Resolució d’un sistema compatible determinat pel mètode de Cramer. Pregunta 6. Eliminada. Pregunta 7. (c). Sistemes homogenis. Teòrica. Pregunta 8. (c). Discussió d’un sistema 3x3 dependent d’un paràmetre. 2. Diagnosi individual Es fa en base a la classificació establerta a la columna CLAS del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre d’encerts de cada alumne/a: Classe A (6 o 7 encerts): Continguts notablement consolidats. És recomanable que portin a terme activitats més aviat d’ampliació de coneixements. Classe B (4 o 5 encerts): Continguts suficientment consolidats. És recomanable que treballin els continguts relatius a les preguntes errades abans de passar a activitats d’ampliació. Classe C (2 o 3 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que treballin a fons els continguts relatius a les preguntes errades. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. Classe D (0 o 1 encerts): Continguts insuficientment consolidats. És recomanable que tornin a treballar el tema des de bon principi, partint pràcticament de zero. L’objectiu mínim ha de ser la consolidació de continguts. 3. Diagnosi col·lectiva Es fa en base a la categorització establerta a la fila CAT del quadre de resultats, tot tenint en compte el nombre de vegades que cada pregunta ha estat encertada:

200

Categoria X (11, 12, 13 o 14 encerts): Contingut notablement consolidat. No cal tornar a insistir especialment sobre el mateix. Categoria Y (8, 9 o 10 encerts): Contingut suficientment consolidat. Cal, però, un petit repàs. Categoria Z (4, 5, 6 o 7 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal tornar a insistir-hi. Categoria T (0, 1, 2 o 3 encerts): Contingut insuficientment consolidat. Cal introduir-lo novament partint de zero. 4. Resum dels resultats Els resultats de la prova estan resumits en el quadre següent:

IDENT TEST MATRIUS

1 2 3 4 5 6 7 8 BE MAL NC CLASNOTA B1 d a d * d 0 4 3 D 0 CL-A 7,1%B2 c a a b a * c c 4 3 0 B 4,29 CL-B 28,6%B3 a d d c E c c 3 3 1 C 2,86 CL-C 57,2%B4 a d d L c 2 2 3 C 1,9 CL-D 7,1%B5 a a b d a I a c 2 5 0 C 0,48 B6 a d c M c c 3 2 2 C 3,33 B7 a a b a I c c 3 3 1 C 2,86 B8 a d b c a N d c 3 4 0 C 2,38 B9 a a d c a A c c 5 2 0 B 6,19 B10 c c a D c c 5 0 2 B 7,14 B11 a a d d a A c c 4 3 0 B 4,29 B12 b a d b * a c 2 4 1 C 0,95 B13 a c d b * d c 2 4 1 C 0,95 B14 c b d c a * c c 7 0 0 A 10

RESULT. PER PREG

B 3 1 8 4 8 * 8 13 M 11 9 3 7 4 * 4 1

NC 0 4 3 3 2 * 2 0 CAT T T Y Z Y * Y X

CAT X 14,3% CAT Y 42,8% CAT Z 14,3% CAT T 28,6%

201

ANNEX 6: EXAMEN I TEST FINAL Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Examen Curs 2005-2006 NOM

1. Considereu les matrius 1 31 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 0 11 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 1 11 1

C− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:

a) Troba una matriu X tal que: 2 3B X A− + = . (0.75 punts) b) Troba una matriu Y tal que: ( )Y A B C= ⋅ − . (0.75 punts) c) Demostra que la matriu C no té inversa. (0.75 punts)

d) Resol l’equació: 2 3

det2

Ax

=− −

. (0.75 punts)

2. Resol el problema següent usant el mètode de Gauss: “L’Anna es compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret per 77€. La Roser compra 1 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per 73€. La Susanna compra 2 pantalons, 2 bruses i 2 barrets per 82€. Quant costa cada peça?” (2 punts)

3. Considera el sistema 2

2 3 26

x myx y m

x my

− =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

.

a) Determina, si és que existeix(en), el(s) valor(s) de m que el fa(n) compatible determinat. (1.5 punts) b) Dóna una interpretació geomètrica pel cas d’incompatibilitat. (0.5 punts)

4. Sigui el sistema d’equacions lineal 12 1

( 1)

x yx ay zx a y az a

+ =⎧⎪ − − =⎨⎪ + + + =⎩

a) Classifica’l segons els valors del paràmetre a . (2 punts) b) Resol pel cas 1a = usant el mètode de Cramer. (1 punt)

202

Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Test Final Curs 2005-2006 INSTRUCCIONS: 1) Contesta en el full de respostes tot encerclant l’opció seleccionada. 2) Per a cada pregunta només una de les opcions de resposta és correcta. Si es selecciona més d’una opció de resposta en una pregunta, es considerarà resposta incorrecta. 3) Puntuació: 1 punt per resposta correcta, -1/3 per resposta incorrecta, 0 per pregunta no contestada.

1. Siguin 2 31 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 0 11 3

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Aleshores,

a) 2 40 1

A B−⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ b)

2 22 5

A B−⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c) 0 5

23 4

A ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ d)

0 22

2 6TB ⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2.Siguin 1 03 21 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 1 21 4

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:

a) 0 24 21 1

B A⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) 1 7 31 5 3

TB A− −⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 25 22 2

A B−⎛ ⎞

⎜ ⎟⋅ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

d) 2 22 6

TA B−⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

3. Considera les matrius 3 0 11 1 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

i 1 4 31 1 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. La solució de l’equació

matricial 2 3X B A+ = és:

a) 4 2 01 2 2

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 8 4 02 4 4

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 7 10 94 1 8

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) No té solució perquè A i B no tenen les mateixes dimensions.

203

4. Sigui 3 4 ( )A M ×∈ . Quina afirmació és certa? a) ( ) 4rang A = b) ( ) 3rang A = c) ( ) 3rang A ≤ d) No es pot afirmar res sobre el ( )rang A

5. Sigui 1 0 01 2 03 2 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) det 0A = b) det 2A = c) det 4A = d) det 6A = 6. Sigui A una matriu quadrada n n× i tal que det 0A = . Aleshores, a) Tots els elements de matriu de A són nuls. b) A no té inversa. c) ( ) 0rang A = d) ( )rang A n=

7. La solució de l’equació 1 1

03 x

−=

− és:

a) 3x = − b) 3x = c) 1x = ± d) No té solució


2 5 0x y

x y− =⎧

⎨ − =⎩. Aleshores,

a) (3,1) és solució del sistema. b) (10,4) és solució del sistema. c) (5,2) és solució del sistema. d) Cap de les anteriors és solució del sistema. 9. Sabem que el sistema Ax b= és de Cramer. Aleshores, a) 1x A b−= . b) 1x bA−= . c) No té solució. d) No existeix 1A− , però el sistema podria ser compatible. 10. Dos sistemes són equivalents quan: a) Tenen el mateix nombre d’equacions. b) Tenen el mateix nombre d’incògnites. c) Tenen solució. d) Tenen les mateixes solucions. 11. Els sistemes amb més incògnites que equacions: a) Sempre son incompatibles. b) Sempre son compatibles indeterminats. c) Sempre son compatibles determinats. d) Cap de les respostes anteriors és certa.

12. La matriu de coeficients d’un sistema és 1 0 21 1 03 2 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Aleshores,

a) És compatible determinat. b) És compatible indeterminat. c) És incompatible. d) No pot ser compatible determinat.

204

13. Sigui el sistema 1

2 32 2 1

x zx y z

x y z

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

. La solució és:

a) És incompatible. b) 11 .

,

xyz

λλ

λ

= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ = −⎩

c) 111

xyz

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

d) 1 .1 ,

xyz

λλ

λ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ = +⎩

14. Sigui 2 4 0

02 0

x y zx y z

x y

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩

. Indica quina de les següents afirmacions és FALSA:

a) És homogeni. b) És compatible. c) 0, 0, 0,x y z= = = n’és solució. d) No és compatible determinat.

15. La matriu de coeficients d’un sistema és 4

1a

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Aleshores,

a) No es pot garantir la compatibilitat del sistema en el cas 2a = . b) Si 2a = la solució és un punt del pla. c) Si 2a = − la solució és una recta del pla. d) Si 2a ≠ i 2a ≠ − el sistema és incompatible.

16. Sigui el sistema 14

x y z ax ay zax y z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩

.

a) Si 1a ≠ i 1a ≠ − la matriu de coeficients del sistema és invertible. b) Si 1a = el sistema és compatible indeterminat. c) Si 1a = − el sistema és compatible. d) Si 1a ≠ el sistema és incompatible.

205

ANNEX 7: SOLUCIONS DELS TESTS DIAGNÒSTICS I FINAL, I CRITERIS DE CORRECCIÓ DE L’EXAMEN FINAL

SOLUCIONS TESTS DIAGNÒSTICS I FINAL Matrius Determinants Sistemes Test Final 1 B A C A 2 A D B C 3 B D D A 4 C C C C 5 B B A D 6 D C D B 7 A A C B 8 C C C C 9 A

10 D 11 D 12 D 13 B 14 D 15 A 16 A

206

Matemàtiques 2n Batxillerat Matrius i Sistemes d’Equacions – Criteris de Correcció de l’Examen Curs 2005-2006 CRITERIS GENERALS: 1) No es descomptarà per errors arrossegats, llevat que portin a resultats incoherents i l’alumne/a no ho faci constar. Malgrat això, la nota d’un exercici no podrà ser màxima si el resultat no és correcte. 2) Els exercicis resolts per mètodes diferents dels aquí proposats –llevat del 2 i del 4b, on es demana la resolució per mètodes concrets– es puntuaran a criteri del corrector. CRITERIS ESPECÍFICS:

1. Considereu les matrius 1 31 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 0 11 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

i 1 11 1

C− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:

a) Troba una matriu X tal que: 2 3B X A− + = . (0.75 punts) - Aïllament de X : 0,25P - Producte per escalars: 0,25P (com a mínim un dels 2 productes ben fet) - Suma: 0,25P b) Troba una matriu Y tal que: ( )Y A B C= ⋅ − . (0.75 punts) - Diferència: 0,25P - Producte: 0,5P (si s’equivoca en 1 dels 4 coeficients: 0,25P) c) Demostra que la matriu C no té inversa. (0.75 punts) - Explicitar condició necessària i suficient (determinant no nul, quadrada i rang màxim): 0,5P (si s’aprecia confusió entre condició necessària i condició suficient: 0,25P) - Càlcul efectiu del determinant o del rang: 0,25P (si comprova que el determinant és nul o el rang és 3, sense escriure res: 0,5P) - Mostrar la impossibilitat de calcular 1C− : fins a 0,75P

d) Resol l’equació: 2 3

det2

Ax

=− −

. (0.75 punts)

- Càlcul determinants: 0,25P+0,25P - Aïllament x : 0,25P

(Resposta: 3 111 4

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

; 1 41 6

Y−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠; det 0C = ; 3x = )

207

2. Resol el problema següent usant el mètode de Gauss: “L’Anna es compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret per 77€. La Roser compra 1 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per 73€. La Susanna compra 2 pantalons, 2 bruses i 2 barrets per 82€. Quant costa cada peça?” (2 punts) - Planteig del sistema: 0,25P - Triangulació: 1P (restar 0,25P per cada error de càlcul) - Aïllament de les incògnites: 0,5P (restar 0,25P per cada incògnita aïllada inc.) - Expressió (explicitació de la correspondència entre preus de peces i lletres i/o expressió de la solució en termes de preus de les peces): 0,25P (Resposta: pantalons -> 15€, brusa -> 6€, barret -> 20€)

3. Considera el sistema 2

2 3 26

x myx y m

x my

− =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

.

a) Determina, si és que existeix(en), el(s) valor(s) de m que el fa(n) compatible determinat. (1.5 punts) - Resolució per determinants: * explicitació de que els rangs de la matriu del sistema i de l’ampliada han de ser 2: 0,25P * càlcul del determinant de la ampliada: 0,5P (restar 0,25P per error apreciable) * resolució de l’equació: 0,25P * comprovació de que el rang de la matriu del sistema val 2 amb els 2 valors de m : 0,25P+0,25P - Resolució per Gauss: * explicitació de que els rangs de la matriu del sistema i de l’ampliada han de ser 2: 0,25P * triangulació: 1P (restar 0,25P per cada error) * resolució de l’equació: 0,25P b) Dóna una interpretació geomètrica pel cas d’incompatibilitat. (0.5 punts) - Interpretació correcte: 0,5P - Si no és del tot correcte però té un cert sentit: 0,25P (Resposta: 1, 3m m= = ; es tracta de 3 rectes del pla no concurrents)

4. Sigui el sistema d’equacions lineal 12 1

( 1)

x yx ay zx a y az a

+ =⎧⎪ − − =⎨⎪ + + + =⎩

a) Classifica’l segons els valors del paràmetre a . (2 punts)

208

- Resolució per determinants: * càlcul del determinant de la matriu del sistema: 0,5P (restar 0,25P per error apreciable) * resolució de l’equació: 0,25P * explicitació cas SCD: 0,25P * estudi dels cassos SCI+SI: 0,5P+0,5P - Resolució per Gauss: * triangulació: 0,5P (restar 0,25P per cada error) * resolució de l’equació: 0,25P * explicitació cas SCD: 0,25P * estudi dels 2 cassos: 0,5P+0,5P b) Resol pel cas 1a = usant el mètode de Cramer. (1 punt) - Conversió del sistema en un de Cramer: 0,25P - Escriure les expressions de les incògnites: 0,25P+0,25P (restar 0,25P si no divideix pel determinant de la matriu de coeficients del sistema de Cramer) - Expressió de la solució: 0,25P (admetre, com a molt, un error de càlcul en una incògnita) (Resposta: 0 1a a≠ ∧ ≠ => SCD; 0a = => SI; 1a = => SCI; ( 1) 1 ,x a λ= = +

( 1) ,y a λ= = − ( 1) ,z a λ= = λ ∈ )

209

ANNEX 8: REVISIÓ DELS CONTINGUTS DE MATEMÀTIQUES DE 1r DE BATXILLERAT Seguint un patró similar al de l’apartat 4.2, a continuació es pot trobar un repartiment dels continguts conceptuals i procedimentals prescriptius de 1r curs de Batxillerat en blocs temàtics i temes, per tal que puguin ésser usats en la confecció de models PEM. BLOC 1: NOMBRES i ÀLGEBRA 1. NOMBRES REALS 1.1 Nombres racionals. Nombres naturals, nombres enters i nombres racionals. Expressió decimal d’un nombre racional. Representació de nombres racionals sobre la recta. Densitat de . 1.2 Nombres irracionals. Prova de la no racionalitat de 2 . Nombres irracionals: expressió decimal. Altres nombres irracionals: , eπ i Φ . 1.3 Els nombres reals. La recta real. El conjunt dels nombres reals. Aproximació decimal d’un nombre real. La recta real. 1.4 Intervals. Intervals oberts, tancats i semioberts: definició, simbologia i representació. Operacions amb intervals. 1.5 Valor absolut. Definició. Representació de conjunts numèrics definits mitjançant el valor absolut. 1.6 Radicals. Propietats.

210

Radical, radicand i índex. Forma exponencial. Propietats de les operacions amb radicals. Racionalització. 1.7 Error absolut i error relatiu. Expressió aproximada d’un nombre. Error absolut i error relatiu. Operacions aritmètiques i error. 1.8 Notació científica. Expressió d’un nombre en notació científica. Ordre de magnitud. Operacions amb nombre expressats en notació científica. 1.9 Logaritmes. Definició. Propietats. Càlcul de logaritmes. Equacions logarítmiques. 2. NOMBRES COMPLEXOS 2.1 Els nombres complexos Ampliació del conjunt dels nombres reals: l’equació 2 1 0x + = . Nombres complexos. Forma binòmica. Part real i part imaginària d’un nombre complex. El conjunt dels nombres complexos. Igualtat entre nombres complexos. Inclusió de en . Nombres reals purs i nombres imaginaris purs. Conjugació de complexos. El pla complex. 2.2 Operacions amb complexos en forma binòmica. Suma, diferència, producte i quocient de nombres complexos en forma binòmica. Propietats de les operacions. 2.3 Nombres complexos en forma polar.

211

Alternativa a la representació cartesiana: mòdul i argument d’un nombre complex. Forma polar. Relacions de conversió entre les formes polar i binòmica d’un nombre complex. Forma trigonomètrica d’un nombre complex. 2.4 Operacions amb complexos en forma polar. Producte i quocient. Potència d’un nombre complex. Fórmula de De Moivre. 2.5 Radicació de nombres complexos. Càlcul de les arrels n-èssimes d’un nombre complex. Interpretació geomètrica. 3. POLINOMIS 3.1 Conceptes bàsics. Polinomis de grau n amb una indeterminada. Elements d’un polinomi: coeficients, monomis (termes) de grau k i terme independent. Igualtat de polinomis. Polinomis mònics, polinomis incomplets i polinomis constants. El polinomi 0 o polinomi nul. Grau. Els conjunts [ ]n x i [ ]x . 3.2 Suma i producte de polinomis. Suma i diferència de polinomis. Producte d’un polinomi per un escalar. Producte de polinomis. 3.3 Divisió de polinomis. Quocient de monomis. Divisió euclidiana de polinomis. Divisió d’un polinomi per un binomi de la forma x–a: Regla de Ruffini. 3.4 Divisibilitat de polinomis. Divisió exacta: polinomis divisors i múltiples. Polinomis irreductibles. 3.5 Teorema del residu.

212

Valor numèric d’un polinomi en x=a. Teorema del residu. 3.6 Arrels d’un polinomi. Concepte d’arrel d’un polinomi. Arrels d’un polinomi i divisibilitat. Arrels simples i arrels múltiples. Ordre de multiplicitat d’una arrel. Màxim nombre d’arrels d’un polinomi. 3.7 Descomposició factorial de polinomis. Polinomis irreductibles a [ ]x . Descomposició factorial d’un polinomi a [ ]x . Procediment per factoritzar un polinomi. Divisibilitat d’un polinomi amb coeficients enters entre un binomi de la forma x–a, amb a ∈ . 3.8 Fraccions algebraiques. Definició. Fraccions equivalents. Fracció racional. Simplificació de fraccions. Fraccions irreductibles. 3.9 Operacions amb fraccions algebraiques. Suma i diferència. Producte i divisió. 4. EQUACIONS, INEQUACIONS I SISTEMES 4.1 Equacions de segon grau. L’equació de segon grau. La funció quadràtica. Interpretació gràfica de les solucions de l’equació de segon grau. Equacions de segon grau incompletes. 4.2 Equacions biquadrades. 4.3 Equacions amb radicals. 4.4 Equacions polinòmiques: resolució via factorització.

213

4.5 Equacions amb fraccions algebraiques. 4.6 Equacions exponencials. 4.7 Equacions logarítmiques. 4.8 Sistemes d’equacions en el pla. Sistemes compatibles i incompatibles. Interpretació gràfica. Resolució de sistemes d’equacions: mètodes de substitució, igualació i reducció. 4.9 Inequacions amb una incògnita. Inequacions amb una incògnita: resolució. Inequacions lineals amb una incògnita. Sistemes d’inequacions lineals amb una incògnita. Inequacions quadràtiques amb una incògnita. 4.10 Inequacions lineals amb dues incògnites. Inequació lineal amb dues incògnites. Conjunt de solucions d’una inequació lineal amb dues incògnites. Resolució de sistemes d’inequacions lineals amb dues incògnites. BLOC 2: GEOMETRIA 1. TRIGONOMETRIA 1.1 Raons trigonomètriques d’un angle agut. Raons trigonomètriques fonamentals d’un angle agut. Propietats. Relacions entre les raons trigonomètriques fonamentals d’un angle agut. 1.2 Resolució de triangles. Resolució de triangles rectangles. Resolució de triangles no rectangles: estratègia de l’altura. 1.3 Raons trigonomètriques d’angles qualssevol. La circumferència trigonomètrica. Raons trigonomètriques fonamentals d’un angle qualssevol. Interpretació gràfica.

214

1.4 Relacions entre les raons trigonomètriques d’angles: Complementaris. Que difereixen en 90º. Suplementaris. Que difereixen en 180º. Oposats. 1.6 Resolució de triangles qualssevol. El teorema del sinus. El teorema del cosinus. Resolució de triangles coneguts els tres costats. Resolució de triangles coneguts dos costats i l’angle que formen. Resolució de triangles coneguts dos costats i l’angle oposat a un d’ells. Resolució de triangles coneguts dos angles i un costat. 1.7 El radiant. Concepte de radiant. Relació entre graus sexagesimals i radiants. 1.8 Funcions circulars. La funció sinus. La funció cosinus. La funció tangent. Periodicitat de les funcions circulars. 1.9 Fórmules trigonomètriques. Raons trigonomètriques de l’angle suma. Raons trigonomètriques de l’angle diferència. Raons trigonomètriques de l’angle doble. Raons trigonomètriques de l’angle meitat. Sumes i diferències de sinus i cosinus. 1.10 Equacions trigonomètriques. 2. VECTORS 2.1 Vectors. Operacions. Vector fix d’origen A i extrem B. Mòdul d’un vector.

215

Direcció i sentit. Vectors lliures. Igualtat entre vectors lliures. El conjunt V2 dels vectors lliures del pla. 2.2 Operacions amb vectors lliures. Suma i resta de vectors. Producte d’un escalar per un vector. Combinació lineal de vectors. Expressió d’un vector com a combinació lineal d’altres dos. Dependència i independència lineal. 2.3 Bases de V2. Concepte de base. Bases ortogonals i bases ortonormals. Base canònica de V2. Components d’un vector en una certa base. Relació entre el conjunt de vectors lliures del pla i el conjunt de punts del pla. 2.4 Operacions amb components. Suma i diferència de vectors. Producte per escalars. Estudi de la dependència i independència lineal de vectors. 2.5 Mòdul i argument d’un vector. Definició. Relació entre el mòdul i l’argument d’un vector i les seves components. 2.6 Producte escalar de vectors. Definició. Propietats. Expressió amb components. Angle entre dos vectors del pla. 3. GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 3.1 Sistemes de referència en el pla. 3.2 Algunes aplicacions dels vectors.

216

Condició d’alineació de tres o més punts del pla. Punt mitjà d’un segment. Divisió d’un segment en n parts iguals. Simètric d’un punt respecte d’un altre. 3.3 Equacions de la recta. Equació vectorial. Equacions paramètriques. Equació implícita. Equació explícita. 3.4 Equació de la recta que passa per dos punts. Obtenció de l’equació vectorial. Obtenció de l’equació explícita. 3.5 Angle entre dues rectes. Càlcul de l’angle entre dues rectes a partir dels seus vectors directors o normals. Càlcul de l’angle entre dues rectes a partir dels seus pendents. Paral·lelisme i perpendicularitat de rectes. 3.6 Posició relativa de dues rectes. Rectes secants, paral·leles i coincidents. Estudi a partir de la forma vectorial. Estudi a partir de la forma implícita. Estudi a partir de la forma explícita. 3.10 Càlcul de distàncies. Distància entre dos punts. Distància entre un punt i una recta. 4. LLOCS GEOMÈTRICS 4.1 Llocs geomètrics. Exemples. Definició de lloc geomètric. La mediatriu d’un segment. La bisectriu d’un angle. 4.2 Les còniques com a llocs geomètrics.

217

La circumferència. L’el·lipse. La hipèrbola. La paràbola. 4.3 Estudi de la circumferència. Equació de la circumferència. Equació implícita de la circumferència. Determinació de centre i radi. Posició relativa d’una recta i una corcumferència. Posició relativa de dues cicumferències. 4.4 Estudi de l’el·lipse. Centre, semieixos i semidistància focal. Excentricitat. Equació reduïda. Equació general. 4.5 Estudi de la hipèrbola. Centre, semieix, semidistància focal i asímptotes. Excentricitat. Equació reduïda. Equació general. 4.6 Estudi de la paràbola. Vèrtex, focus i directriu. Excentricitat. Equació reduïda. BLOC 3: FUNCIONS 1. FUNCIONS ELEMENTALS 1.1 Concepte de funció. Concepte de funció. Imatge i antiimatge. Domini i recorregut. Funcions reals de variable real.

218

1.2 Domini de definició d’una funció. Domini de definició de les funcions polinòmiques. Domini de definició de les funcions algebraiques. Domini de definició de les funcions amb radicals. 1.3 Funcions lineals. 1.4 Funcions quadràtiques. 1.5 Transformacions de funcions.

( )y f x k= ± . ( )y f x a= ± .

( )y f x= − . ( )y f x= − .

1.6 Funcions de proporcionalitat inversa. 1.7 Funcions radicals. 1.8 Funcions definides a trossos. 1.9 Valor absolut d’una funció. 1.10 Composició de funcions. 1.11 La funció inversa. 1.12 Les funcions exponencials. 1.13 Les funcions logarítmiques. 1.14 Les funcions trigonomètriques inverses. 2. LÍMITS DE FUNCIONS 2.1 Discontinuïtats. Continuïtat. Noció de funció contínua en un punt. Discontinuïtats. Discontinuïtat asimptòtica. Asímptota vertical. Discontinuïtat de salt. Discontinuïtat evitable.

219

2.2 Límit d’una funció en un punt. Límits laterals. Límit d’una funció en un punt. Límits i continuïtat. 2.3 Càlcul del límit d’una funció en un punt. Càlcul del límit en un punt on la funció és contínua. Càlcul del límit de funcions definides a trossos. Càlcul del límit en quocients de polinomis. 2.4 Límit per a x → +∞. Definició. Asímptotes horitzontals. 2.5 Càlcul de límits quan x → +∞. Funcions polinòmiques. Funcions racionals. 2.6 Branques infinites. Asímptotes. Branques infinites per a x → c: asímptotes verticals. Branques infinites per a x → +∞: asímptotes horitzontals i obliqües i branques parabòliques. Obtenció de branques infinites en funcions racionals. 2.7 Límits per a x → –∞. Definició. Càlcul de límits quan x → -∞. Branques infinites. Asímptotes. 2.8 Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques. BLOC 4: ESTADÍSTICA 1. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT 1.1 Càlcul de probabilitats.

220

Esdeveniments aleatoris. Freqüència relativa. Probabilitat. Llei de Laplace. 1.2 Càlcul de probabilitats en experiments compostos. Experiments independents. Experiments dependents: probabilitat condicionada. 1.3 Nombres combinatoris. El triangle de Tartaglia. 1.4 Estadística. Nocions generals. Població. Mostra. Individu. Variable estadística. Classificació. Estadística descriptiva. Estadística inferencial. 1.5 Distribucions estadístiques Distribucions estadístiques o de freqüència. Representacions gràfiques: diagrames de barres i histogrames. Mitjana. Variància i desviació típica. 1.5 Distribucions de probabilitat de variable discreta. Definició. Mitjana (esperança matemàtica). Variància i desviació típica. 1.6 La distribució binomial. Definició. Càlcul de probabilitats en una distribució binomial. 1.7 Distribucions de probabilitat de variable contínua. Densitat de probabilitat. Càlcul de probabilitats en una distribució de variable contínua. Paràmetres estadístics: mitjana, desviació típica, percentil 1.8 La distribució normal.

221

La corba normal. Distribucions normals de probabilitat. La corba normal N(0,1). Càlcul de probabilitats en una distribució N(0,1). Càlcul de probabilitats en una distribució ( , )N μ σ : tipificació de la variable. 1.9 Aproximació de la distribució binomial per la distribució normal. 1.10 Ajust d’un conjunt de dades a una distribució binomial. 1.11 Ajust d’un conjunt de dades a una distribució normal. 2. DISTIBUCIONS BIDIMENSIONALS 2.1 Núvols de punts. Correlació. Distribució bidimensional. Núvol de punts o diagrama de dispersió. Noció de correlació. Correlacions positives i negatives. 2.2 Mesura de la correlació. Centre de gravetat d’una distribució bidimensional. Covariància. Coeficient de correlació. Propietats. 2.3 Recta de regressió de Y sobre X. Equació de la recta de regressió de Y sobre X. Estimacions mitjançant la recta de regressió. 2.4 Recta de regressió de X sobre Y. Equació de la recta de regressió de X sobre Y. Estudi conjunt de les dues rectes de regressió. 2.5 Representació gràfica de les dades estadístiques corresponents a una distribució bidimensional.

223

BIBLIOGRAFIA [Busquets 2002] L’avaluació dels aprenentatges matemàtics: cap a una avaluació objectiva dels resultats i diagnòstica dels processos. O. Busquets. Memòria de llicència retribuïda, curs 2001-2002, Dept. d’Educació. [Cai 2002] Exploring gender differences of U.S. and chinese students in their solution processes of solving routine and nonroutine mathematical problems. J. Cai. Research in Middle Level Education, vol. 26, no. 1, 2002. [Cangur] Pàgina web de les Proves Cangur: http://www.cangur.org. [Carreño 1977] Instrumentos de medición del rendimiento escolar. F. Carreño. Ed. Trillas, México, 1977. [Consultores 2005] Pàgina web: http://www.consultorescomerciales.com/test/index.asp [Cuxart 1999] Modelos Estadísticos y Evaluación: Tres Estudios en Educación. A Cuxart. Economics and Business Working Papers Series, 421. Universitat Pompeu Fabra, Novembre, 1999. [Cuxart i Longford 1998] Monitoring the University Admission Process in Spain. A. Cuixart i N. Longford. Higher Education in Europe, vol. XXIII, n. 3, pp. 385-396, 1998. [Decret 182/2002] Decret 182/2002 de 25 de juny, que modifica el Decret 82/1996, de 5 de març, pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de batxillerat, i el Decret 22/1999, de 9 de febrer, pel qual s’adequa l’organització dels ensenyaments de batxillerat al règim nocturn. [DIGHES 2004] L’avaluació de correcció objectiva com a eina de millora de l’eficiència de l’aprenentatge en els resultats de les PAU a Catalunya a la disciplina d’Història. Memòria provisional de recerca. Grup DIGHES. UB, 2004. [DHIGES 2005] Pàgina web del grup DHIGES http://www2.ub.edu/or5/grups/dhiges.htm [Edu 2005] Des del portal http://www.edu365.com [EQV 2005] Editor de Quaderns Virtuals: http://clic.xtec.es/qv/editor.html [ETSETB 2005] Test orientatiu d’autoavaluació per a futurs estudiants de l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona: http://www.etsetb.upc.es/estudis/acces/curs_introduccio/autotest.html

http://www.cangur.org/

http://www.consultorescomerciales.com/test/index.asp

http://www2.ub.edu/or5/grups/dhiges.htm

http://www.edu365.com/

http://clic.xtec.es/qv/editor.html

http://www.etsetb.upc.es/estudis/acces/curs_introduccio/autotest.html

224

[ETSECCPB 2005] Test orientatiu d’autoavaluació per a futurs estudiants de l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona: http://www-camins.upc.edu/preparacio [Fernández, Sarramona i Tarín 1977] Tecnología didáctica. Teoría y práctica de la programación escolar. A. Fernández, J. Sarramona i L. Tarín. Ed. CEAC, Barcelona, 1977. [Gea i Busquets 2005] Quaderns virtuals, herramienta de apoyo al aprendizaje en línea. E. Gea i F. Busquets. Preprint. [Giménez 1997] Educación en Matemáticas. Una integración de perspectivas. J. Giménez. Ed. Síntesis. Madrid, 1997. [GPP 2005] Exámenes tipo test. Folleto informativo. Gabinete Psicopedagógico. Universidad de Granada, 2005. A partir de http://www.ugr.es/~ve/pdf/test.pdf [Grau, Cuxart i Martí-Recober 2002] La calidad en el proceso de corrección de las pruebas de acceso a la universidad: variabilidad i factores. R. Grau, A. Cuxart i M. Martí-Recober. Revista de Investigación Educativa, vol. 20, n. 1, pp. 209-223, 2002. [Gronlund 1978] Elaboración de tests de aprovechamiento. Norman E. Gronlund. Ed. Trillas, Méxic, 1978. [Guia Psicologia 0405] Guia docent dels estudis de Llicenciatura en Psicologia. UB. A partir de http://www.u.eduu/psicolog/consell_estudis/plans.htm [Guia Psicopedagogia 0405] Guia docent dels estudis de Llicenciatura en Psicopedagogia. UAB. A partir de http://dewey.uab.es [Guia Medicina 0405] Guia docent dels estudis de Llicenciatura en Medicina. UAB. A partir de http://clon.uab.es/index.html [Guilbert 1994] Guía pedagógica para el personal de salud. J.J. Guilbert. OMS-Universidad de Valladolid. 1994. [ICE-UPC] Pàgina web de l’Institut de Ciències de l’Educació de la UPC. A partir de: http://ice.upc.edu [Kimball 1989] A new perspective of women’s math achievement. M.M. Kimball. Psychological Bulletin, vol. 105, no. 2, pp. 198–214, 1989. [Lánguiz 2001] Aproximación multivariada al rendimiento en Matemáticas. J.C. Lánguiz. Tesi doctoral. UB, 2001.

http://www-camins.upc.edu/preparacio

http://www.ugr.es/~ve/pdf/test.pdf

http://www.u.eduu/psicolog/consell_estudis/plans.htm

http://dewey.uab.es/

http://clon.uab.es/index.html

http://ice.upc.edu/

225

[Lauzon 2001] Gender differences in large scale, quantitative assessments of mathematics and science achievement. D. Lauzon. WRNET Conference on Empirical Issues in Canadian Education, Ottawa, Nov. 23-24, 2001. [Mukhopadhyay 2004] A feminist cognitive antropology: the case of women and mathematics. C.C. Mukhopadhyay. Ethos, vol. 32, issue 4, pp. 458-492, 2004. [O’Neil i Brown 1997] Differential Effects on Question Format in Math Assessment on Metacognition and Affect. H.F. O’Neil Jr i R.S. Brown. Center for the Study of Evaluation Technical Report no. 449. Desembre de 1997. [PAU 2004] Proves PAU 2004 – Catalunya. A partir de: http://www10.gencat.net/dursi/ca/un/pau_examens.htm [Pérez 2003] Pàgina web del Dept. de Matemàtiques de l’IES Ribera Baixa. D. Pérez, 2003. http://www.xtec.es/centres/a8047492/Pagines/Departaments/esoibatx.htm [Pérez i Torrubia 1981] Proves de rendiment acadèmic. J. Pérez i R. Torrubia. Monografies Pràctiques, n. 3. Bellaterra, UAB, 1981. [Posa’t a prova 2005] A la pàgina web: http://www10.gencat.net/dursi/AppJava/posat.jsp [Quaderns 2005] A la pàgina web: http://clic.xtec.net/qv/samples.html [Rosales 1981] Criterios para una evluación formativa. C. Rosales. Ed. Narcea, Madrid, 1981. [Sánchez i Ice 2004] Assessment technologies for the classroom. W.B. Sánchez i N.F. Ice. News Bulletin, NCTM, 2004. [Sans i Trepat 2000] La evaluación de la historia en el Bachillerato. A. Sans i C. Trepat. 2000. A partir de: http://www.histodidactica.com/investiga/tofol-sans.htm. [Torrubia i Pérez 2005] La difícil objetividad de las pruebas de ensayo en la evaluación del rendimiento académico. R. Torrubia i J. Pérez. Preprint. UAB, 2005.

http://www10.gencat.net/dursi/ca/un/pau_examens.htm

http://www.xtec.es/centres/a8047492/Pagines/Departaments/esoibatx.htm

http://www10.gencat.net/dursi/AppJava/posat.jsp

http://clic.xtec.net/qv/samples.html

http://www.histodidactica.com/investiga/tofol-sans.htm

LES PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLE · 2009. 3. 11. · 2000]. Cal tenir present, a més, que les...

Documents

Transcript of LES PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLE · 2009. 3. 11. · 2000]. Cal tenir present, a més, que les...