Leontief
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Tema: MODELO DE LEONTIEF Matriz de insumo -producto
Métodos Cuantitativos III -Algebra Lineal
Análisis de Insumo-producto
Wassily Leontief
Nobel de economía, 1 973
¿QUÉ SON LAS MATRICES DE INSUMO-PRODUCTO?
Indican interrelaciones entre oferta y
demanda que se dan entre los diferentes
sectores de una economía durante algún
periodo.
Las matrices muestran los valores de
los productos de cada industria que son
vendidos como insumos, tanto a
industrias como a consumidores finales
(externos).
Veamos un ejemplo hipotético de la
economía de un país que consta de dos
industrias digamos manufactura (A) y
agricultura (B) y está dado por una
matriz donde cada industria aparece en
cada fila y en cada columna, esta matriz
es llamada matriz de insumo-producto :
Ejemplo
Totales
Consumidores (insumo)
Productores
(producto)
Otros factores de producción 600 800
Industria Demanda
A B externa
Industria de manufactura (A) 240 500 460
Industria agrícola (B) 360 200 940
Totales
1500
1200
15001200
Ejemplo
•Los otros factores de producción son los costos
para las respectivas industrias como: mano de
obra, utilidad, etc.
OBSERVACIONES:
La fila muestra las compras
del producto de una
industria por los sectores
industriales y otros
consumidores para su uso
final.
La columna da el valor de lo
que compró como insumo
de cada industria así como
lo gastado en otros
conceptos.
Las entradas representan
los valores de los productos
y podrían estar en unidades
de millones de dólares del
producto.
Para cada industria la suma
de las entradas de su fila es
igual a la suma de entradas
de su columna: “El valor de
su producción es igual al
valor de sus insumos
totales”.
El análisis de insumo producto nos
permite estimar la producción total
de cada sector industrial cuando
existe un cambio en la demanda
final mientras que la estructura
básica de la economía permanece
igual.
CAMBIO DE LA DEMANDA
Supongamos que el valor final de la
demanda cambia de 460 a 500 para A y de
940 a 1200 para la industria B.
¿Cuáles serán los valores de la producción
total de A y de B para satisfacer las
demandas de ambas industrias y de la
demanda final (externa) ?
158
15231
2110351
1500800
1500200
1500500
1200600
1200360
1200240
A B A B
A
B
Otros
A
B
Otros
MATRIZ DE COEFICIENTES DE INSUMO-PRODUCTO
La suma de cada columna es 1
Ecuaciones
Valor consumido por la demanda
final
Valor total de la producción de
A
= Valor
consumido por A
+ Valor
consumido por B
+
Así tenemos,
Para A: XA = XA + XB + 500 51
31
Para B: XB = XA + XB + 1200 103
152
Ecuación Matricial
1200
500
X
X
152
103
31
51
X
X
B
A
B
A
FinalDemandadeMatriz1200
500C
esCoeficientdeMatriz
152
103
31
51
A
ProduccióndeMatrizX
XX
:Donde
B
A
Ecuación Matricial
Así tenemos la siguiente ecuación matricial:
X = AX + C
De donde:
X = (I - A)-1 C
Si (I - A)-1 existe
I – A, es la Matriz de Leontief.
RESOLVIENDO LA ECUACIÓN:
X = (I - A)-1 C =
Para satisfacer la industria A se debe producir 1404,49 unidades y la industria B debe producir 1870,79.
¿Cuál es el valor de los otros factores de producción para A?
PA = (1/2) XA = 702,25
1870,79
1404,49
EJERCICIOS : Dada la siguiente matriz de insumo producto
Otros 600 800
Demanda Acero Carbón final
Industria Acero 200 500 500 Carbón 400 200 900
Industria
Encuentre la matriz de producción,si la demanda final
cambia a 600 para el acero y a 805 para el carbón.
Encuentre el valor total de los otros costos de producción
que esto implica.
* Entradas en millones de dólares
EJERCICIOS : Dada la siguiente matriz de insumo producto
Otros 40 90
Demanda
Educación Gobierno final
Industria: Educación 40 120 40 Gobierno 120 90 90
Industria
Encuentre la matriz de producción,si la demanda final cambia
a 200 para educación y a 300 para el gobierno. Encuentre el
valor total de los otros costos de producción que esto implica.
* Entradas en millones de dólares