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Leemos y observamos las siguientes situaciones

Las escaleras mecánicas se usan para transportar con comodidad y rápidamente un gran número de personas entre los pisos de un edificio, especialmente en centros comerciales, aeropuertos, estaciones de transporte público, etc. Para la construcción de un nuevo centro comercial de dos niveles, de 6 m de altura cada uno, se están acondicionando dos escaleras mecánicas (subida y bajada). El ingeniero encargado de la obra sugiere que deben tener una pendiente de como máximo. 13

1. ¿Cuál es la longitud de la escalera eléctrica?

2. Si la altura de cada peldaño de la escalera mide 200 mm,

¿cuántos peldaños tiene la escalera?

Nos piden encontrar:

• La longitud de la escalera.

• La cantidad de peldaños.

Tengo como datos:

13• La altura de la escalera: 6 m.• La pendiente de la escalera: .

La pendiente se usa para describir la inclinación de una recta y se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal.

α

Si m es la pendiente de la recta, entonces:

m = tg 𝛼X

Y

HorizontalV

erti

cal

Además, la pendiente m es igual a tg 𝛼.𝜶

tg𝛼 = cateto opuestocateto adyacente

Según dato la pendiente es .13

Entonces, m = tg 𝜶 = 𝟏𝟑 .

1

3α

k

2k

k 360°

30°

𝛼 = 30°

13m =

• Nos piden calcular la longitud de la escalera, es decir, lo puedo relacionar con la medida de la hipotenusa del triángulo. Si tenemos la siguiente relación de la medida de los lados del triángulo de 30° y 60°.

La longitud de la escalera es 2(6 m) = 12 m.

Se observa que la hipotenusa mide 2(6 m) = 12 m.Entonces, multiplicamos por seis la medida de cada lado.

Según dato la altura de la escalera debe ser 6 m.

1

3α = 30°

2

1(6) = 6 m

(6)

30°

2(6)

3

Escalerah = 12 m

Vertical6 m𝜶

Entonces:

Tengo como dato:

• La pendiente de la escalera: m = . 13

Se sabe que la tangente es igual a la pendiente:

=6

x

13x = 6 3

• Altura de la escalera: 6 m.• Piden la longitud de la escalera.

(6)𝛼°

6 3b𝛼°

h

a

Teorema

de Pitágoras

h2 = a2 + b2

Vertical6 m𝜶

x

tg α = m

tg 𝛼 La pendiente de acuerdo al gráfico es:

tg α =6

x

tan 𝛼 = tg 𝛼

Calculamos la longitud de la escalera con el teorema de Pitágoras:

h2 = a2 + c2

Reemplazamos datos:

h2 = (6 m)2 + (6 3 m)2

h2 = 36 m2 + 36 ∙ 3 m2

h2 = 144 m2

h = 144m2

h = 12 m

La longitud de la escalera es de 12 m.

• La escalera eléctrica tiene una altura de 6 m, entonces relaciono lo siguiente:

Dividimos la altura donde reposa la escalera entre la altura

de cada peldaño,

= = = 306 ∙ 10

0,20 ∙ 10

6 m

0,20 m

602

1000 mm

200 mm

1 metro

0,20 metrosentre 5entre 5

Para responder a la segunda pregunta, identifico los datos.

La escalera tendrá 30 peldaños.

1 cm = 10 mm1 m = 100 cm1 m = 1000 mm

Recuerda:

2. Si la altura de cada peldaño es de 200 mm, ¿cuántos peldaños tiene

la escalera?

La NASA (National Aeronautic and

Space Administration), la agencia del

gobierno estadounidense responsable

del programa espacial civil, así como

de la investigación aeronáutica y

aeroespacial, está a punto de lanzar un

cohete de prueba. ¿Cuál será la

inclinación para iniciar su despegue

teniendo en cuenta la siguiente figura?

• Recuerdo que el coseno relaciona la medida del lado adyacente y la medida de la hipotenusa:

Observamos en el triángulo rectángulo de 37° y 53°:

Por lo tanto, el ángulo de inclinación es 53°.

cos53° =3

5

cos Ɵ = cateto adyacente

hipotenusa

53°

3k

5k

4k

37°

cosƟ =5,4

9=

54

90= =

3

59

54

10

• Nos piden el ángulo de inclinación: Ɵ.

• Relaciono una razón trigonométrica con los datos conocidos.

• Para Ɵ tenemos la medida de su lado adyacente y de la hipotenusa.

Ɵ

Jairo acude con su familia a un centro de esparcimiento de Chosica. Él se sube a un tobogán y desde allí observa un árbol. Para ver la base de este, necesita bajar la vista 37°respecto a la horizontal, y para observar la punta de la copa del árbol, debe levantar su mirada 45° respecto a la horizontal. El tobogán está ubicado a 8 m del árbol. Con esta información, ¿será posible calcular la altura del árbol? Efectúa el procedimiento.

Línea horizontalαβ

α: ángulo de elevación

β: ángulo de depresión

Plano de referencia

• Represento la situación.

45°

37°

h

8 m

A

B

CD

E

Del gráfico, tengo la siguiente información:

En el rectángulo EBCD, los lados EB = DC = 8 metros.En el triángulo rectángulo AEB, los lados EB = AE = 8 metros, por ser triángulo notable de 45°.

• En el triángulo rectángulo EBD (notable de 37° y 53°) el segmento EB = 4k = 8 m; el segmento ED = 3k.

• Completo los datos y la información obtenida en el gráfico, como se muestra a continuación:

45°

37°

h

8 m

A

B

CD

E 8 m

8 m

45°

53°3k

4k

Calculo el valor de k, en el segmento EB:

4k = 8 m

k = 2 m

Calculo h, la altura del árbol:

h = 8 m + 3k

h = 8 m + 3(2 m)

h = 14 m

Sí, es posible calcular la altura del árbol. Su medida es de 14 m.

Gracias