Modelos VAR estructurales y funciones de respuesta a un impulso

1. IntroducciónUna de las más frecuentes utilidades de los modelos multivarianteses analizar la interacción dinámica entre las variables del modelo.Esto se conoce como función de respuesta a un impulso y es algo queya hemos visto en el contexto de las funciones de transferencia. Eneste tema vamos a verlo en un caso más general en el que lasdiferentes ecuaciones de un modelo son endógenas.Hacer esto en E-views o en cualquier otro software econométrico esmuy fácil pero entender cuál es el significado de esas estimacionesno es algo que se haga correctamente en la mayoría de los casos.Los modelos VAR que hemos visto hasta ahora son formas reducidas yson simplemente vehículos para comprender las propiedades dinámicasde los datos, Cooley y LeRoy (1985). Sin embargo, esos modelos nose utilizan para pensar en la verdadera relación económica de lasvariables dado que excluyen parámetros que expliquen la relacióncontemporánea entre dichas variables.Desde la creación de la econometría como ciencia por la CowlesCommission se proponen modelos cuya finalidad es estimar el impactoque tienen las variables políticas en las variables económicas. Seasume que estas variables políticas son exógenas y el impacto deestas variables se realiza con un análisis de respuesta a unimpulso muy similar al realizado en el tema anterior. La crítica deLucas supone un problema importante en la construcción de modeloseconométricos ya que expone la importancia de Modelizar estasvariables políticas como endógenas. En otras palabras, los impulsosno los podemos establecer nosotros sino que vienen determinadosendógenamente por la autoridad política.Sims (1981, 1986), Bernanke (1986) y Shapiro y Watson (1988)propusieron un nuevo tipo de modelos que se conocen como modelosVAR estructurales. En estos modelos, la identificación concierne alos errores del sistema que son identificados como shocks exógenos.Estos modelos no explican el efecto de cosas esperadas (tales comopolíticas monetarias sistemáticas) sino el efecto de shocksinesperados. Además, la identificación de estos modelos requieresiempre un cierto grado de arbitrariedad (la ciencia siempre esarbitraria). Aquí se va a ver como identificar modelosestructurales bajo diferentes supuestos.

2. Los modelos

Partimos de los modelos VAR y de corrección de error en forma reducida, estos son los modelos que estimamos cuando vamos a E-views

Estos modelos no describen la relación contemporánea entre las diferentes variables del sistema. Un modelo de corrección del equilibrio estructural toma la siguiente forma

Nótese que .

En este modelo, el vector de shocks estructurales viene dado por .

Estos shocks tienen un significado económico tal como shocks petrolíferos, shocks en los tipos de cambio o shocks monetarios. Además estos shocks están relacionados con los errores del modelo. Los términos deterministas ni las variable exógenas son importantes ya que no son afectados por los impulso que golpean el sistema y ellos tampoco afectan a estos impulsos. En la práctica generalmente se ajustan las variables de los elementos deterministas antes del análisis y se consideran todas las variables como endógenas por lo que el modelo quedaría de la siguiente forma:

y . Este modelo tiene una representación VAR equivalente de

la forma

Existen infinitas matrices que pueden considerarse para formar un

modelo estructural. Incluso si la matriz fuera la matriz identidad, el supuesto de ortogonalidad no es suficiente para conseguir la identificación del sistema. Para un sistema de dimensión se requieren restricciones ya que hay

covarianzas diferentes. Pista: el modelo en forma reducida

tiene que no tiene el modelo estructural y el modelo

estructural tiene parámetros diferentes del modelo en forma reducida. Estas restricciones de identificación pueden obtenerse a partir del modelo estructural, un ejemplo es la identificación triangular propuesta por Sims (1980). En estos modelos, los shocks entran sucesivamente en las ecuaciones. Esta es la forma que establece E-views por defecto. Pero, ojo!!! Para implementar esta

forma, el orden en el que uno introduce las variables es muy importante. Se debe introducir primero la variable cuya reacción en más lenta, después la segunda variable más lenta y así sucesivamente. En la práctica es lógico asumir que las variables financieras reaccionan casi instantáneamente a la información económica, después las variables reales y las variables nominales (como precios o salarios) son las que tienen una reacción más lenta. Las restricciones más populares usadas en la literatura son: a) , en este caso . Las restricciones lineales en

pueden escribirse explícitamente como , donde

contiene los elementos no restringidos de y contiene

elementos igual a 0-1. Por último, contiene constantes de normalización.

b) , en este caso y para la identificación es necesario

excluir alguna combinación lineal de shocks estructurales. En este caso, las restricciones lineales pueden escribirse explícitamente como , donde contiene los

elementos no restringidos de y contiene elementos igual a 0-1.

c) El modelo A-B de Amisano y Giannini (1997) combina restricciones para y en los dos primeros casos.

d) Se puede utilizar información a priori sobre el efecto a largo plazo de los distintos shocks, Blanchard y Quah (1989). Por ejemplo, los shocks de demanda no tienen efecto en el largo plazo pero los shocks de oferta sí.

En general, el número total de nuevos elementos en el modelo estructural será que viene de y por lo que el número de restricciones necesarias para identificar todo el sistema será

Si fijamos una de las dos matrices o igual a la identidad, sólo

serán necesarias restricciones.

Consideramos como ejemplo el simple modelo IS-LM propuesto por Pagan (1995). Sean , y output, tipos de interés y saldos

reales. Los errores del modelo VAR correspondiente se denotan por . Un modelo que refleja el teoría Keynesiana vendría

dado por:

donde se asume que los shocks estructurales están mutuamente incorrelados. La primera ecuación representa una curva de demanda agregada. La segunda viene de resolver para los tipos de interés la curva de demanda de dinero. Finalmente, la tercera ecuación postula que las innovaciones en la base monetaria se mueven por shocks exógenos. Esta representación de la economía es muy estilizada por lo que una mejor representación vendría dada por Galí (1992). Representar la forma en que quedaría :

Como se ilustrarían las restricciones

y

Para casa: ¿cuántas restricciones se han impuesto exactamente en este modelo? ¿está el modelo identificado?

3. Análisis de respuesta a un impulso. Si el proceso se compone de variables I(0) el efecto de los shocks puede ser observado a partir de la representación de Wald como un MA infinito

donde y , s=1,2,…,

puede ser computado recursivamente a partir del modelo VAR en forma reducida. Los coeficientes pueden ser interpretados como reflejos de las respuestas a los impulsos que golpean el sistema. Más explícitamente, el elemento (i,j) de la matriz puede

interpretarse como la respuesta de a un cambio unitario en

manteniendo constantes todos los valores pasados de . Un aspecto

importante a notar es que tiende a cero cuando todas las

variables son estacionarias.

Ocasionalmente, el interés se centra en los efectos acumulados de respuesta a un impulso que se pueden obtener fácilmente sumando las matrices . Esta suma existe si el proceso es estable.

Una importante crítica a este análisis es que uno no sabe de qué shocks estamos hablando ya que los residuos están correlacionados contemporáneamente. Es decir, la matriz no es ortogonal. Así, el

efecto de shocks ortogonales es siempre preferido ya que permite distinguir entre shocks. Un modo de obtener esto es mediante la descomposición de Cholesky de forma que , de forma que los

shocks ortogonalizados se pueden obtener por . Así,

obtendríamos las siguientes respuestas

donde ( ). Aquí será una matriz triangular y

el orden tendrá un significado económico.

Existen muchas matrices tal que además de la descomposición

de Cholesky por lo que su selección es hasta cierto punto arbitraria a menos que haya un buen motivo para la estructura recursiva dada por . Un orden diferente de variables puede producir shocks diferentes. Sims (1981) recomienda utilizar diferentes ordenes y considerar la robustez de las respuestas a las distintas especificaciones.

En el modelo A-B las restricciones se ponen conjuntamente en los dos parámetros y las respuestas a impulsos pueden obtenerse a partir de . Si existen restricciones de largo plazo,

estas deben imponerse en , donde .

Un ejemplo de restricciones a largo plazo viene dado por Blanchard y Quah (1989). En su modelo los shocks de oferta tienen un efecto de largo plazo mientras los shocks de demanda son transitorios. Suponemos un modelo VAR con que denotan el crecimiento

del output y el desempleo. A partir de aquí queremos identificar shocks de oferta y de demanda como . Como tenemos n=2

variables y podemos imponer , necesitamos

restricciones para identificar los shocks estructurales de

los residuos. La restricción de que los shocks de demanda no tienen impacto a largo plazo puede obtenerse de .

Para variables no estacionarias, aunque no existe la representación de Wald, se pueden computar las respuestas a distintos periodos

aunque estas convergerán a infinito por lo que los shocks pueden tener un efecto permanente en las variables.

Otro aspecto importante a considerar es que cuando las variables están cointegradas, la matriz es singular. La forma MA

de un modelo de corrección de equilibrio como

seguimos la versión de Johansen (1995) del teorema de representación de Granger

donde , .

Demostración: Tenemos la matriz tal que y . La matriz

no es única. Ahora hacemos uso de la siguiente relación

Esta expresión descompone un vector en dos partes, una que pertenece al espacio y la otra que pertenece al espacio de .

Ahora premultiplicamos el modelo (3.3) por de forma que

Los autovalores de la matriz están dentro del círculo

unitario ya que es estacionario. Así, podemos representar

Ahora podemos multiplicar el vector de variables por la expresión

recogida en (3.5).

Por otro lado, si premultiplicamos el modelo (3.3) por , obtendremos la ecuación

que tiene como solución

Ahora, si utilizamos la expresión (3.5) tenemos

con lo que queda demostrado. Ejercicio para casa, hacerlo para el caso general siguiendo el capítulo 4 de Johansen (1996). Pista, ahora y .

El rango de es n-r. De nuevo, en este caso debemos identificar los shocks para tener funciones de respuesta a impulso consistentes con la teoría económica. Si remplazamos por , las respuestas de impulso a

corto plazo pueden obtenerse como . Es más, el efecto a largo

plazo de los shocks estructurales viene dado por . Esta matriz tiene rango n-r. Es decir, esta matriz tiene rango n-r. Es decir, esta matriz tiene como mucho r columnas de ceros por lo que habrá como mucho r shocks transitorios y como mucho n-r shocks tendrán un efecto permanente. King et al. (1991) discute la identificación de estos sistemas. Para identificar los shocks permanentes necesitamos ((n-r)*[(n-r)-1])/2 restricciones. De forma adicional, necesitaremos r(r-1)/2 restricciones para identificar los shocks transitorios. En total el número de restricciones será n(n-1)/2. Es decir, asumiendo que A=I, ya tenemos suficientes restricciones para identificar B. Por ejemplo, King et al. (1991) considera un modelo para el output, el consumo y la inversión. Usando teoría económica infiere que estas variables deben ser I(1) con r=2 y sólo un shock permanente. Ya que sólo hay un shock permanente, este se identifica sin ninguna restricción. Para la identificación del shock transitorio se

necesita r(r-1)=1 restricción. Suponga que se asume que el segundo shock transitorio no tiene un efecto instantáneo en el primero. Si situamos primero los shocks permanentes, las restricciones pueden representarse de la siguiente forma:

ya que tiene rango 1, las dos columnas de ceros representan dos restricciones independientes. La tercera restricción se sitúa en B. En algunas situaciones A puede ser especificado de forma diferente a la matriz identidad. Para ilustrar el proceso vamos a mostrar un ejemplo algo más complejo. Describimos un modelos macroeconómico para el mercado laboral presentado por Jacobson, Vredin y Warne (1997) para investigar el efecto de shocks de desempleo. El modelo consiste en una función de producción, una demanda de trabajo y una ecuación de salarios. Todas las variables están expresadas en logaritmos naturales. La función de producción relaciona al empleo como sigue:

(3.11)

donde mide los retornos a escala. es una tendencia tecnológica

que sigue un paseo aleatorio,

y es un shock tecnológico puro. La demanda de trabajo relaciona

el empleo con el nivel de output y los salarios reales

con un error

Si , la demanda de trabajo sería estacionaria. En ese caso

una innovación en la demanda tendría un efecto en el empleo temporal. Jacobson et al. (1997) asume a priori que , lo que

implica que el shock de demanda de trabajo no tiene efectos de largo plazo. Con un análisis de cointegración, la estacionariedad de la demanda de trabajo puede ser contrastada por lo que no se necesitaría una imposición a priori. En la tercera de las ecuaciones, la fuerza de trabajo se relaciona con los salarios reales por medio de la siguiente ecuación

La tendencia exógena en el mercado de trabajo sigue un paseo aleatorio

donde es un shock exógeno de oferta de trabajo. Finalmente,

tenemos la relación de fijación de salarios dada por la relación

que dicen que los salarios son una función de la productividad

y el desempleo . La tendencia de los salarios puede

ser estacionaria o no dependiendo de en

bajo estos supuestos, la solución del modelo en términos de los shocks viene dada por

con

En este sistema hay como poco y como mucho cuatro tendencias en este sistema lo que implica que hay como mucho dos relaciones de cointegración. El modelo requiere un conjunto de restricciones de identificación. Supóngase por ejemplo que se encuentran dos relaciones de cointegración. Para que la demanda de trabajo y la fijación de salarios sea estacionaria los shocks de demanda de trabajo y salarios no deberían tener un impacto de largo plazo en el sistema lo que significa que la segunda y cuarta columna de la matriz de impactos a largo plazo son cero. Para identificar el shock permanente necesitamos imponer una restricción adicional. Suponiendo retornos constantes a escala , la productividad sólo está conducida por

shocks de productividad en el largo plazo. Así, si , el

conjunto de restricciones puede expresarse como sigue

También necesitamos una restricción de corto plazo para identificar el sistema y escogemos que los shocks de demanda no afecten a los salarios reales en su impacto, es decir . Un problema típico con modelos VAR estructurales es que el modelo teórico no sugiere restricciones de contemporaneidad.

4. Estimación de los parámetros estructurales. La estimación de modelos VAR estructurales es muy similar al problema de estimar un modelo de ecuaciones simultáneas con restricciones en la matriz de covarianzas. Primero, consideraremos un modelo sin restricciones en los parámetros de largo plazo. Se asume que y el siguiente modelo estructural

donde . El modelo de forma reducida que corresponde

es

Usamos la notación y , la función de

verosimilitud es:

Maximizando con respecto a , y sustituyendo resulta la

función de verosimilitud concentrada

La función (4.4) se puede maximizar con respecto a y sujeto a las restricciones del sistema por lo que el modelo puede ser escrito de forma compacta como:

Ya que no existe una solución analítica para este problema, se tiene que resolver de forma numérica. Por esta razón, Amisano y Giannini (1997) propusieron usar un algoritmo de scoring. De forma precisa, estiman y mediante la iteración

El estimador OLS resultantes es asintóticamente eficiente y está distribuido normalmente, donde la matriz de covarianzas asintótica está estimada por la inversa de la matriz de información. Es más, el estimador ML de viene dador por:

Nótese que sólo corresponde a la estimación en forma reducida de

si el modelo está exactamente identificado. Si existen

restricciones de sobreidentificación, el test de razón de verosimilitud en estas restricciones se construye como

Este estadístico tiene una distribución con grados de libertad igual al número de restricciones de sobreidentificación. Hay momentos en el que se impone que la matriz estructural sea triangular como en Blanchard y Quah (1989) y Galí (1999). En este caso la estimación es tremendamente fácil. Estimamos la matriz de impactos contemporáneos y notamos que la matriz de respuesta a shocks estructurales viene dada por

tal que

(4.10)

ya que se asume que es triangular, se puede obtener a partir de la descomposición de Choleski de la matriz

Reemplazando, uno puede encontrar una estimación para la matriz dada por

Esta estimación sólo funciona como modelos VAR estacionarios ya que la matriz de impactos a largo plazo no existe en otro caso. Este procedimiento funciona cuando no estamos interesados en los parámetros estructurales en sí mismos sino en las funciones de respuesta a un impulso. Modelos VECM estructurales: si existen restricciones de identificación a largo plazo, esta labor es tremendamente difícil al ser la función de verosimilitud altamente no lineal en los parámetros pero básicamente se trata de imponer las restricciones en el problema de identificación.

5. Modelos estructurales con expectativas racionales 6. Inferencia estadística para respuestas a un impulso.

Las respuestas a un impulso son siempre una función de los

parámetros estructurales, , tal que

Si tiene una distribución asintóticamente normal

también se distribuye asintóticamente

donde

Sin embargo, a efectos prácticos, la inferencia sobre los parámetros del modelo se basa en la metodología bootstrap ya que proporciona una inferencia más fiable para muestras pequeñas. Es más, la expresión analítica de los coeficientes de respuesta a un impulso son bastante complicadas.

El procedimiento consiste en 1) recoger muestras de residuos centrados ; 2) estas muestras se utilizan para computar

series de datos de forma recursiva; 3) el modelo es reestimado y los parámetros de interés son obtenidos; 4)repitiendo este proceso muchas veces se obtienen los parámetros de interés.